一类具有退化大平流项的椭圆形算子的主特征值和特征函数的限制行为

《Mathematics and Computers in Simulation》：Limiting behavior of principal eigenvalues and eigenfunctions for a class of elliptic operators with degenerate large advection

　　S. Cano-Casanova | J. López-Gómez | M. Molina-Meyer
ICAI，马德里康米利亚斯宗座大学，西班牙

摘要
在本文中，我们通过数值和解析方法研究了当 s → +∞ 时，方程 (1.1) 的主特征函数的渐近行为，并通过 (1.2) 对其特征函数进行了归一化。基于本文的数值计算，我们可以证明，在条件 (Hm) 下，φs 在 [?1,1] 区间内一致地趋近于 1，而 φs′ 一致地趋近于 0。作为这一结果的副产品，我们推导出了一维情况下主特征值的渐近行为，这是 Chen 和 Lou（2008年）以及 Peng 和 Zhou（2018年）的研究未曾涵盖的，因为我们在这里对 m(x) 只提出了最少的正则性要求。Bai 等人（2025年）的最新研究表明，如果 m(x) 具有强烈的振荡性，主特征值可能会随 s → +∞ 而振荡。因此，m(x) 的不规则性可能会严重影响 (λs,φs) 随 s → +∞ 的行为。

1. 引言
在本文中，我们分析了线性特征值问题 (1.1) 的主特征函数 φs≡φ(s) 和主特征值 λs≡λ(s) 的极限行为：
(1.1)：?φs′′?2sm′(x)φs′+c(x)φs=λ(s)
φs′(?1)=φs′(1)=0
其中 m 满足条件 (Hm)：m ∈ C1([?1,1];R)，并且存在唯一的 x0∈(?1,1) 使得 m(x0)=‖m‖∞=max|x|≤1。此外，对于所有 x∈[?1,x0)，有 m′(x)≥0；对于所有 x∈(x0,1)，有 m′(x)≤0；并且 m(x) 在 (?1,1) 区间内至多仅有有限个临界点。

在 (1.1) 中，c∈C([?1,1];R) 是任意的，尽管最终我们需要关注某些特殊类型的 c。在本文中，主特征函数被归一化，以满足条件 (1.2)：‖φs‖∞=max|x|≤1和φs(x)=1。

在多维情况下，Chen 和 Lou 在 [1] 中研究了该问题。在本文的设定下，他们证明了如果另外满足 m′′(x0)<0 且 m(x) 在 [?1,1] 内的唯一临界点是 x0，那么 (1.3)：lims↑∞λ(s)=c(x0) 成立。虽然 Chen 和 Lou 的定理 [1] 不能直接应用于满足条件 (Hm) 的 m(x) 的情况，但根据 Peng 和 Zhou 的一维结果 [2]，如果在条件 (Hm) 下 m ∈ C2([?1,1];R，那么 (1.3) 也是成立的。然而，即使在条件 (Hm) 成立的最简单情况下，[2] 也无法推导出 (1.3)，因为 (Hm) 对 m(x) 提出了最少的正则性要求，而这超出了 [2] 方法的处理范围。实际上，在 [1] 和 [2] 中，(1.1) 的微分方程通过变量替换 ws(x)?esm(x)φs(x)，|x|≤1 被转化为自伴微分方程：?w′′+[s2(m′(x))2+sm′′(x)+c(x)?λs]w=0。因此，Chen 和 Lou [1] 以及 Peng 和 Zhou [2] 的变分方法无法用于处理 m ∈ C1([?1,1];R 的情况。

Furter 和 López-Gómez [3]、Dancer 和 López-Gómez [4]、Cano-Casanova 和 López-Gómez [5] 以及 López-Gómez [6][7] 之前已经分析了当扩散系数趋于零或势能 c(x) 的幅度趋于无穷大时主特征值的渐近行为。然而，其中一些关键文献并未被纳入 [1] 和 [2] 的参考文献列表中。根据 [3] 的引理 3.1，问题 ?dΔφ/d+c(x)φd=λ(d)φdinΩ，φd=0 在 ?Ω 上的解（其中 Ω 是 RN 的一个足够光滑的子域，N≥1）满足 limd↓0λ(d)=minΩ?c。

后来，Dancer 和 López-Gómez [4] 找出了 φd 和 λ(d) 随 d↓0 的精确渐近展开式，这适用于包括传输项在内的一般薛定谔算子，从而完善了 Martínez 和 Rouleux [8]、Helffer [9]、Helffer 和 Sj?strand [10] 以及 Simon [11] 的一些先前结果。同样，根据 [6] 的定理 3.3，如果 c≥0 且 c?1(0)=Ω?0 对于 Ω 的某个光滑子域 Ω0，那么问题 ?Δφd+sc(x)φd=λ(s)φdinΩ，φd=0 在 ?Ω 上的主特征值 λ(s) 满足 lims↑∞λ(s)=σ[?Δ,Ω0]，其中 σ[?Δ,Ω0] 表示在 ?Ω0 上施加狄利克雷边界条件时 ?Δ 在 Ω0 中的主特征值。López-Gómez [7] 和 Cano-Casanova 和 López-Gómez [5] 进一步改进了这一结果，使其适用于非经典混合边界条件下的一般二阶椭圆算子（详见 [12] 及其中的参考文献列表）。López-Gómez [6][13]、Cano-Casanova 和 López-Gómez [14]、López-Gómez 和 Molina-Meyer [15][16] 以及 [17] 利用这些奇异扰动结果对竞争物种理论进行了应用。

本文的主要目标是数值和解析地分析 λs 和 φs 随 s → +∞ 的极限行为。由于 (1.1) 没有继承 [1][2] 中的优良变分形式，因此本文采用的技术必须与这些论文中的技术有所不同。此外，与 [1][2] 中不同的是，函数 ws 被归一化以满足 ∫?11ws2(x)dx=1，因此必然有 ∫?11e2sm(x)φs2(x)dx=1 对于所有 s>0 都成立。因此，由于在没有失去一般性的情况下，我们可以假设对于所有 x∈[?1,1]，有 m(x)>0（因为 (1.1) 的形式只涉及 m′∈C([?1,1];R），特征函数 φs(x) 应该随着 s → +∞ 而趋近于零，这与 (1.2) 的要求不符。由于 (1.1) 的特征函数满足不同的归一化条件，本文的分析与 [1][2] 中的分析有显著区别；它独立于本文对 m(x) 的最小正则性要求。

随后，对于每个整数 n=2ν≥2，我们考虑了满足条件 (Hm) 的函数序列 (1.4)：m(x)=1?xn，|x|≤1。对于这种选择，m(x) 在 x0=0 处的简并度可以任意大，实际上，当 |x|<1 时，limn↑∞(1?xn)=1。图 1 显示了通过 (1.2) 归一化的相应特征函数 φs 及其导数 φs′，以及对于一系列 s 的值（从 s=10?2 到 s=10?），选择 (1.5)：c(x)=2+x，m(x)=1?x?，|x|≤1（即 n=4 在 (1.4) 中）时的 λ(s)?c(0) 的图。与本节的其余特征函数一样，这些函数是通过将在第 5 节讨论的伪谱方法计算得出的。

数值模拟表明，对于我们计算的所有 s 值，特征函数都是递减的，并且随着 s 的增加而稳定在 1；同时，它们的导数 φs′ 随着 s 的增加而趋于 0。此外，lims↑∞λ(s)=2=c(0)。因此，在 x0=0 时 (1.3) 成立，尽管 m′′(0)=m′′′(0)=0。图 2 显示了对于选择 (1.6)：c(x)=402?cos(x?13)，m(x)=1?x?，|x|≤1 时的 φs、φs′ 及相应的 λ(s)?c(0) 的图。

对于这种选择，尽管在初始的 s 范围内 φs′ 的符号会改变，导致 φs 在区间的左侧增加而在右侧减少，但对于足够大的 s，φs 和 φs′ 的行为与选择 (1.5) 时类似；然而，λ(s) 的行为却截然不同，如图 1 所示，对于足够大的 s，λ(s) 随着 s 的增加而增加。然而，对于选择 (1.6)，根据图 2 可知，λ(s) 随着 s 的增加而衰减到 c(0)=42.2017，尽管如图 2 的右侧图所示，λ(s) 并不总是递减的。

下载：下载高分辨率图像（296KB）
下载：下载全尺寸图像

图 1. 对于选择 (1.5)，一系列 s∈[10?2,10?]，归一化特征函数 φs（左）、它们的导数 φs′（中）以及 λ(s)?c(0) 的图（右），其中 λs=λ(s）。图 3 显示了对于选择 (1.7)：c(x)=2?x，m(x)=1?x?，|x|≤1 时的数值实验结果。

图 2. 对于选择 (1.6)，一系列 s∈[10?2,10?]，归一化特征函数 φs（左）、它们的导数 φs′（中）以及 λ(s)?c(0) 的图（右）。

这种情况比 (1.5) 和 (1.6) 更为奇特，因为现在 n=8 在 (1.4) 中。在这个例子中，φs 随着 x 的增加而增加，正如预期的那样，lims↑∞λ(s)=c(0)=2。然而，与选择 (1.5) 相比，收敛速度要慢得多，因为 s 需要远高于某个值才能使 λ(s) 接近其极限值 c(0)=2。
下载：下载高分辨率图像（339KB）
下载：下载全尺寸图像

图 3. 对于选择 (1.7)，一系列 s∈[0,10?]，归一化特征函数 φs（左）、它们的导数 φs′（中）以及 λ(s)?c(0) 的图（右）。

为了正确比较不同 c(x) 和 m(x) 选择下 λ(s) 的行为，本文的所有数值模拟中配点数量固定为 N+1=802（见第 5 节）。具体来说，s 的取值范围是 [10?2,10?] 或 [10?2,10?]，以使 λ(s) 的数值计算稳定。图 4 显示了对于选择 (1.8)：c(x)=402?cos(x?13)，m(x)=1?x1?，|x|≤1 的数值计算结果。由于 s 的值必须增加到足够大才能捕捉到 ?2sm′(x) 在 0 处的期望斜率，因此 λ(s) 向 c(0) 的收敛速度较慢。当数值计算开始变得不稳定（N+1=802，s=10?），我们在 φs 能够处处接近 1 且 λ(s) 的切线与 c(0)=42.2017 重合之前停止了计算。尽管如此，读者应该知道 (0.5)1?～0.00001525878～10??。这很好地量化了 1?x1? 在 x0=0 处的高度简并性，并体现了用于绘制图 1、图 2、图 3、图 4 的数值方法的高精度。

下载：下载高分辨率图像（375KB）
下载：下载全尺寸图像

图 4. 对于选择 (1.8)，一系列 s∈[10?2,10?]，归一化特征函数 φs（左）、它们的导数 φs′（中）以及 λ(s)?c(0) 的图（右）。

从本文的数值实验中，至少可以推断出对于选择 (1.4)，当 s → +∞ 时 φs、φs′ 和 λ(s) 具有以下一般性质：
(P1) lims↑∞φs=1 在 [?1,1] 中一致；
(P2) lims↑∞φs′=0 在 [?1,1] 中一致；
(P3) lims↑∞λ(s)=c(0) 也是一致的。

无论偶数整数 n≥2 的值如何，下一个结果都成立。

定理 1.1
假设 c∈C([?1,1];R) 且 m 满足条件 (Hm)。那么，lims→∞‖φs′‖∞=0 以及 lims→∞‖φs?1‖∞=0。基于这个结果，下一个定理成立。

定理 1.2
假设 m(x) 满足条件 (Hm)，并且函数 c(x) 满足以下条件之一：
(i) 存在 y0∈(?1,1) 使得 c 在 [?1,y0) 区间内增加，在 (y0,1) 区间内减少；
(ii) 存在 y0∈(?1,1) 使得 c 在 [?1,y0) 区间内减少，在 (y0,1) 区间内增加；
(iii) c 在 [?1,1] 区间内增加；
(iv) c 在 [?1,1] 区间内减少。那么，(1.9)：lims↑∞λ(s)=c(x0) 成立。由于条件 (Hm) 仅要求 m 属于 C1 类，定理 1.2 对 Chen 和 Lou [1] 以及 Peng 和 Zhou [2] 的发现进行了补充，后者提出了更强的假设 m∈C2([?1,1];R。需要注意的是，在对 m(x) 的正则性要求最低的情况下，(1.1) 不具备任何变分结构，因此 [1][2] 中的变分技术不能用于得到我们的主要结果。

Bai 等人（2025年）的最新研究表明，如果 m(x) 具有振荡性，λ(s)可能会随 s → +∞ 而振荡。因此，m(x) 的不规则性可能会影响 (λs,φs) 随 s → +∞ 的行为。

回到微分方程 (1.1)，由于 m′(x?)=0，我们发现 ?φs′′(x?)=?φs′′(x?)?2sm′(x?)φs′(x?)=(λ(s)?c(x?))φs(x?)。因此，根据定理 1.1，(1.9) 成立当且仅当 (1.10)：lims↑∞φs′′(x?)=0。尽管根据定理 1.1，在假设 (Hm) 下 (1.10) 应该成立，但我们无法严格证明这一点，除非 c(x) 满足定理 1.2 中的条件 (Hc)。

假设 m(x) 在 (?1,1) 中有一些临界点 xc∈{x?}，且 c(x) 满足条件 (Hc)。那么，根据定理 1.2，lims↑∞λ(s)=c(x?)。
此外，假设 c(x) 被选择为 c(xc)≠c(x?)。那么，由于 m′(xc)=0，对于所有 x∈R，有 ?φs′′(xc)=(λ(s)?c(xc))φs(xc)。因此，根据定理 1.1 和定理 1.2，lims→∞φs′′(xc)=c(xc)?c(x?)≠0。因此，在本文的一般设定下，lims↑∞φs′′≠0；然而对于特殊选择 (1.4)，其中 x0 是 m(x) 的唯一临界点，我们的数值模拟表明 φs′′ 应该随着 s → +∞ 在 (?1,1) 中趋于 0。然而，需要注意的是，由于我们是在非通量边界条件下工作的，我们有 ?φs′′(±1)=2sm′(±1)φs′(±1)+(λs?c(±1))φs(±1)=(λs?c(±1))φs(±1)。因此，根据定理 1.1 和定理 1.2，lims↑+∞φs′′(±1)=c(±1)?c(0)。因此，φs′′ 在 x=±1 处可以发展出两个边界层。实际上，如果 c(?1)≠c(0)≠c(1)，φs′′ 会表现出两个边界层（见图 5）。φs′′ 的渐近行为在本文中仍是一个未解决的问题。这种更细致的分析可能有助于将定理 1.2 推广到 m(x) 的更一般情况。图 5 收集对于每种选择（1.5）（左）、（1.6）（中）和（1.7）（右），计算出的函数φs′′的图形。2. (λ(s),φs)的一般性质在本文中，我们设定 ?s??d2/dx2?2sm′(x)/dx2 对所有 s∈R，并用 N 表示在区间 [?1,1] 两端的诺伊曼算子，即 N(φ)??φ′(?1),φ′(1)。此外，对于所有连续函数 h∈C([?1,1];R)，我们用 hL?min|x|≤1h(x)，hM?max|x|≤1h(x) 来表示。使用这些符号，问题 (1.1) 可以等价地表示为 ?sφs+c(x)φs=λ(s)φsin[?1,1]，N(φs)=0。主要特征值 (2.1)λ(s)=σ[?s+c(x),N] 和主要特征函数 φs 以及它们的主要性质可以在 [12, 第 7 章] 中找到。本节的主要目的是分析 φs 的形状，使其满足 (1.2)，即 (φs)M=‖φs‖∞=1。由于 φ=1>0 是 ?sφ=0 在 [?1,1] 上的一个正解，并且 φ′(?1)=φ′(1)=0，根据主要特征值的唯一性，可以明显得出 (2.2)σ[?s,N]=0。因此，当 c(x) 是一个常数 c 时，对于所有 s∈R，我们有 λ(s)=σ[?s+c,N]=c，无论 m(x) 的性质如何。下一个结果估计了当 c(x) 是非常数时 λ(s) 的值。它有一个明显的多维对应物，并且证明完全相同。引理 2.1 假设 c∈C[?1,1] 是非常数。那么，对于所有 s∈R，λ(s)∈(cL,cM)。因此，存在 xs∈[?1,1] 使得 λ(s)=c(xs)。证明 固定 s∈R。由于主要特征值关于势函数的单调性（见 [5, 第 3 节），从 (2.1), (2.2) 可以得出 cL=σ1[?s,N]+cL< /><σ1[?s,n]+cm=cm。由于 c(x) 的连续性，xs 的存在是成立的。这就完成了证明。□下一个结果为我们提供了从特征函数 φs(x) 的任何临界点 y0∈[?1,1] 出发导数 φs′(x) 的值。引理 2.2 假设 y0∈[?1,1] 是 φs 的一个临界点，即 φs′(y0)=0。那么，对于所有 x∈[?1,1]，(2.3)φs′(x)=∫y0x(c(t)?λ(s))φs(t)e2s(m(t)?m(x))dt。特别地，由于 φs′(?1)=φs′(1)=0，∫?1y0(c(t)?λ(s))φs(t)e2sm(t)dt=0=∫y01(c(t)?λ(s))φs(t)e2sm(t)dt。注意，在 (2.3) 中选择 y0=?1 和 y0=1，我们发现 (2.4)φs′(x)=∫?1x(c(t)?λ(s))φs(t)e2s(m(t)?m(x))dt=∫x1(λ(s)?c(t))φs(t)e2sm(t)dt 对所有 x∈[?1,1] 都成立。证明 在 (1.1) 中进行变量替换 us=φs′，us 满足一阶问题 (2.5)us′(x)+2sm′(x)us(x)=(c(x)?λ(s))φs(x)，x∈[?1,1]，us(y0)=0，其解可以通过变量替换 (2.6)φs′(x)=us(x)=e?2sm(x)vs(x) 来轻松确定。实际上，代入 (2.5) 可以显示 ?2sm′(x)e?2sm(x)vs(x)+e?2sm(x)vs′(x)+2sm′(x)e?2sm(x)vs(x)=(c(x)?λ(s))φs(x)。因此，简化并重新排列项后，我们发现对于所有 x∈[?1,1]，vs′(x)=(c(x)?λ(s))φs(x)e2sm(x)。因此，由于 vs(y0)=0，可以明显得出 vs(x)=∫y0x(c(t)?λ(s))φs(t)e2sm(t)dt。通过将这个等式代入 (2.6) 可以直接得出 (2.3)。□现在，我们将介绍一些基本概念和符号约定，这些将在本文的其余部分中使用。定义在某个子区间 j=[?1,1] 上的函数 h∈c(j)，如果存在一个可忽略的子集 z?j，其勒贝格测度为零，使得对于所有 x∈j?z，h(x)>0 或 h(x)<0，则称 h 在 J 中满足 h>0 或 h<0。自然地，对于任何其他函数 g∈C(J)，如果 h?g>0 或 h?g<0，则称 h>g 或 h0 使得要么 •c?λ>0 在 [x1?η,x1) 中且 c?λ<0 在 (x1,x1+η] 中，要么 •c?λ<0 在 [x1?η,x1) 中且 c?λ>0 在 (x1,x1+η) 中，则称 λ 是 c(x) 在 x1 处的横向值。随后，我们将假设 c∈C[?1,1] 满足以下横向条件 (TC) 对于每个 λ∈[cL,cM]，使得 c(x1)=λ 且 λ 是 c(x) 在 x1 处的横向值的 x1 的集合是有限的。下一个结果根据 c(x)?λ(s) 的节点结构，在特征函数 φs 的任何临界点 y0 的某个邻域内提供了 φs 的一些重要性质。这是确定 φs(x) 的精确形状的关键结果，取决于 c(x)?λ(s) 在 [?1,1] 中的节点性质。引理 2.3 假设 c(x) 满足 (TC) 并且 y0∈[?1,1] 使得 φs′(y0)=0。那么，满足以下性质：(a) 如果 y0<1 并且存在 x+∈(y0,1) 使得 c<λ(s) 在 (y0,x+) 中并且 λ(s) 在 x+ 处是 c(x) 的横向值，则对于所有 x∈(y0,x+)，φs′(x)<0。(b) 如果><λ(s) 在 (x?,y0) 中并且 λ(s) 在 x? 处是 c(x) 的横向值，则对于所有 x∈[x?,y0]，φs′(x)>0。(c) 如果 y0<1 并且存在 x+∈(y0,1) 使得 c>λ(s) 在 (y0,x+) 中并且 λ(s) 在 x+ 处是 c(x) 的横向值，则对于所有 x∈(y0,x+)，φs′(x)>0。(d) 如果 ?1λ(s) 在 (x?,y0) 中并且 λ(s) 在 x? 处是 c(x) 的横向值，则对于所有 x∈[x?,y0]，φs′(x)<0。证明 根据引理 2.2，我们已经知道对于所有 x∈[?1,1]，φs′(x)=∫y0x(c(t)?λ(s))φs(t)e2s(m(t)?m(x))dt。因此，部分 (a) 是由于 x>y0 当 x∈(y0,x+) 且 c<λ(s) 在 (y0,x+)。类似地，部分 (c) 是由于假设 c>λ(s) 在 (y0,x+)。最后，请注意，在部分 (b) 和 (d) 的设置中，由于 xλ(s) 在 (x?,y0)，则 φs′(x)<0；如果 c<λ(s) 在 (x?,y0)，则 φs′(x)>0。这就完成了证明。□基于引理 2.3，下一个结果成立。定理 2.1 假设 c 满足横向条件 (TC)。那么，λ(s) 是 c(x) 在 xt 处的横向值的 xt 的值集合是有限的，记为 Ts={xt,j:1≤j≤qs} 对于某个整数 qs≥1。此外，(a) 如果 qs=1 且 c<λ(s) 在 (?1,xt,1) 中，则对于所有 x∈(?1,1)，φs′(x)<0。(b) 如果 qs=1 且 c>λ(s) 在 (?1,xt,1) 中，则对于所有 x∈(?1,1)，φs′(x)>0。(c) 假设 qs≥2。那么：(i) 如果 c<λ(s) 在 (?1,xt,1) 中，则对于所有 x∈(?1,xt,1]，φs′(x)<0 (resp. φs′(x)>0)。(ii) 如果 c>λ(s) 在 (?1,xt,1) 中，则对于所有 x∈[xt,qs,1)，φs′(x)<0 (resp. φs′(x)>0)。(iii) 对于任何给定的 j∈{1,…,qs?1}，如果存在某个点 y0,j∈(xt,j,xt,j+1) 使得 φs′(y0,j)=0，则 y0,j 是唯一的，并且 (2.7)φs′(x)>0 对所有 x∈[xt,j,y0,j)，φs′(x)<0 对所有 x∈(y0,j,xt,j+1)，如果 c<λ(s) 在 (xt,j,xt,j+1)；而 (2.8)φs′(x)<0 对所有 x∈[xt,j,y0,j)，φs′(x)>0 对所有 x∈(y0,j,xt,j+1)，如果 c>λ(s) 在 (xt,j,xt,j+1)。因此，y0,j 是特征函数 φs 在 [xt,j,xt,j+1] 中的唯一临界点。此外，如果 c<λ(s) 在 (xt,j,xt,j+1)，y0,j 是全局最大值；如果 c>λ(s) 在 (xt,j,xt,j+1)，则 y0,j 是全局最小值。证明 陈述的第一个断言是横向条件 (TC) 的直接结果。假设 qs=1 且 c<λ(s) 在 (?1,xt,1)。那么，c>λ(s) 在 (xt,1,1)。因此，通过应用引理 2.3(a) 并且 y0=?1 和 x+=xt,1，可以明显看出对于所有 x∈(?1,xt,1)，φs′(x)<0。类似地，通过应用引理 2.3(d) 并且 x?=xt,1 和 y0=1，可以明显看出对于所有 x∈[xt,1,1)，φs′(x)<0。这完成了部分 (a) 的证明。现在，假设 qs=1 且 c>λ(s) 在 (?1,xt,1)。那么，c<λ(s) 在 (xt,1,1)。因此，通过应用引理 2.3(c) 并且 y0=?1 和 x+=xt,1，可以明显看出对于所有 x∈(?1,xt,1)，φs′(x)>0。类似地，通过应用引理 2.3(b) 并且 x?=xt,1 和 y0=1，可以明显看出对于所有 x∈[xt,1,1)，φs′(x)>0。这完成了部分 (b) 的证明。对于证明的其余部分，我们假设 qs≥2。假设 c<λ(s) 在区间 (?1,xt,1) 中。那么，通过应用引理 2.3(a) 并且 y0=?1 和 x+=xt,1，我们发现对于所有 x∈(?1,xt,1)，φs′(x)<0。类似地，当 c>λ(s) 在 (?1,xt,1) 时，φs′(x)>0 对所有 x∈(?1,xt,1] 是引理 2.3(c) 的直接结果。这完成了部分 (c)(i) 的证明。部分 (c)(ii) 通过应用引理 2.3(b) 和 (d) 并且 y0=1 和 x?=xt,qs 很容易得出。最后，假设对于某些 j∈{1,…,qs?1}，存在某个 y0,j∈(xt,j,xt,j+1) 使得 φs′(y0,j)=0，并且 c<λ(s) 在 (xt,j,xt,j+1)。那么，由于 (2.3)，可以明显看出 (2.7) 成立。类似地，当 c>λ(s) 在 (xt,j,xt,j+1) 时，(2.8) 也成立。由于 (2.7), (2.8) 确保了 φs 在 (xt,j,xt,j+1) 中的临界点的唯一性，证明就完成了。□当然，当 c(x) 是单调的时，那么 qs=1，因此根据定理 2.1(a)，如果 c 在 [?1,1] 中是递减的，则对于所有 x∈(?1,1)，φs′(x)<0；如果 c 在 [?1,1] 中是递增的，则对于所有 x∈(?1,1)，φs′(x)>0。根据部分 (c)(iii)，如果 c∈C[?1,1] 满足以下横向条件 (TC)，则 φs 在区间 [xt,j,xt,j+1] 中最多有一个唯一临界点。φs 是否在区间 (xt,j,xt,j+1) 中有临界点取决于 c(x) 和 m(x) 的特定选择。λ(s) 的值当然可能会严重影响标准化特征函数 φs 的可接受临界点的数量。无论如何，φs 的振荡行为可以通过以下论证来确定。根据定理 2.1(a,b)，如果 qs=1，则特征函数 φs 是严格单调的。现在，假设 qs=2 并且例如 c>λ(s) 在 (?1,xt,1) 中。那么，c<λ(s) 在 (xt,1,xt,2) 中，并且 c>λ(s) 在 (xt,2,1) 中。因此，根据定理 2.1(c)(i)，我们有 φs′(x)>0 对所有 x∈(?1,xt,1]。类似地，由于定理 2.1(c)(ii)，φs′(x)<0 对所有 x∈[xt,2,1)。特别地，φs′(xt,1)>0 并且 φs′(xt,2)<0。因此，存在 y0,1∈(xt,1,xt,2) 使得 φs′(y0,1)=0。因此，根据定理 2.1(c)，y0,1 是 φs 在 [xt,1,xt,2] 中的唯一临界点，并且 φs′(x)>0 对所有 x∈[xt,1,y0,1)，<0 对所有 x∈(y0,1,xt,2)。特别地，φs(y0,1)=(φs)L=min[?1,1]φs。现在，假设 qs=3 并且 c>λ(s) 在 (?1,xt,1) 中。那么，c<λ(s) 在 (xt,1,xt,2) 中，c>λ(s) 在 (xt,2,xt,3) 中，并且 c<λ(s) 在 (xt,3,1) 中。因此，由于定理 2.1，φs′(x)>0 对所有 x∈(?1,xt,1]。此外，假设存在 y0,1∈(xt,1,xt,2) 使得 φs′(y0,1)=0。那么，由于定理 2.1，y0,1 是唯一的，并且由于 c<λ(s) 在 (xt,1,xt,2) 中，我们发现 φs′(x)>0 对所有 x∈[xt,1,y0,1)，<0 对所有 x∈(y0,1,xt,2)。此外，由于 φs′(xt,2)<0 并且 φs′(xt,3)>0，存在 y0,2∈(xt,2,xt,3) 使得 φs′(y0,2)=0，并且由于定理 2.1，y0,2 是唯一的并且 φs′(x)<0 对所有 x∈(xt,2,y0,2)，>0 对所有 x∈(y0,2,xt,3)。因此，y0,2 是 [xt,2,xt,3然后，考虑到 min[?1,xc?δ]m′>0，并适应第一种情况中的证明步骤1，可以很容易地得出存在 s1=s1(?)>0，使得对于所有 x∈[?1,xc?δ]，有 (3.18)|φs′(x)|s1(?)，使得对于所有 x∈[xc?δ,xc+δ]，有 (3.19)|φs′(x)|s1(?)，使得对于所有 s>s2(?)，有 (3.21)|φs′(xc?δ)|0，我们从 (3.17) 可以得出 (3.22)|∫xc?δx(c(t)?λ(s))φs(t)e2s(m(t)?m(x))dt|≤4‖c‖∞δ0 且 m′(1)<0，通过适应在区间 [?1,1] 中的第一种情况的证明论证，可以得出存在 s3=s3(?)>s2(?)，使得对于所有 x∈[xc+δ,1]，有 |φs′(x)|0 是足够小的。这结束了当 xcx0 的情况。第二种情况的证明已经完成。

第三种情况。在这种情况下，我们假设 m′(±1)≠0，并且 m 在区间 (?1,1) 的临界点集 C 为 C=C?∪x0∪Cr，其中 C?=0?，或者 C?=x?j，c:1≤j≤p 对于某些 p∈N，以及 Cr=0?，或者 Cr=xrk，c:1≤k≤q 对于某些 q∈N，并且 C?{x0}=C?∪Cr≠0?，并且按照约定 x?j,c< />< />< />< />0 并取一个足够小的 δ∈(0,?/‖c‖∞)，使得对于所有 s>s2(?)，有 (3.21)|φs′(xc?δ)|0，我们从 (3.17) 可以得出 (3.22)|∫xc?δx(c(t)?λ(s))φs(t)e2s(m(t)?m(x))dt|≤4‖c‖∞δ0 且 m′(1)<0，通过适应在区间 [?1,1] 中的第一种情况的证明论证，可以得出存在 s3=s3(?)>s2(?)，使得对于所有 x∈[xc+δ,1]，有 |φs′(x)|此外，存在两个序列 xn,1 和 xn,2，其中 n≥1，且满足 ?1< />λn。特别地，对于足够大的 n≥1，有 ?1< />< />N?，则会稳定（第二行）。当然，由于收敛原因，配点不能在快速变化区域内任意聚集，伪谱近似很好地适应了这种中等厚度内层的表示。然而，在示例 A1 中，m(x)=1?x4，c(x)=40(2?cos(x?1/3)), x∈[?1,1]，内层非常狭窄，需要高阶多项式来准确捕捉 φs′′ 在原点的快速变化。无论如何，我们必须使用足够多的配点数来确保 Chebyshev–Gauss–Lobatto 点在零附近的密度是适当的。尽管有这些特点，对于每个 s>0，φs′′ 是解析的，因此我们的伪谱方法随着 N↑+∞ 而表现出指数收敛。

下载：下载高分辨率图像（306KB）
下载：下载全尺寸图像
图 12. 示例 A1（左）、A2（中）和 A3（右）：计算出的特征值 λs,N 的条件数 κ(λs,N）（上），λs,N?c(0)（中）和 ‖φs,N?1‖∞（下）的图表，对于一系列 N 的值（在横坐标上）。

下载：下载高分辨率图像（304KB）
下载：下载全尺寸图像
图 13. 示例 B1（左）、B2（中）和 B3（右）：计算出的特征值 λs,N 的条件数 κ(λs,N）（上），λs,N?c(0)（中）和 ‖φs,N?1‖∞（下）的图表，对于不同的 N 值。

下载：下载高分辨率图像（233KB）
下载：下载全尺寸图像
图 14. 示例 A1（左）、A2（中）和 A3（右）：标准化特征函数的二阶导数的图表。上图为 N=151（左），N=31（中）和 N=31（右）。下图为 N=301（左），N=151（中）和 N=121（右）。

除了围绕原点的这些技术问题外，由于我们使用的是非通量边界条件，当 s↑+∞ 时，φs′′(±1) 可以在 x=±1 处发展出两个边界层，这大大增加了问题的刚性（见第 1 节的末尾）。

在图 14 的所有示例中，我们选择了 c(x)=40(2?cos(x?1/3)), x∈[?1,1]，以及 m(x)=1?x2ν, x∈[?1,1]，其中示例 A1 中 ν=2，示例 A2 中 ν=5，示例 A3 中 ν=8。整数 ν 越大，m(x) 在原点的退化程度就越高，根据我们的数值实验，高退化使得 s=106 不足以捕捉 φs′′ 在原点的尖峰。实际上，根据图 14，当 m(x)=1?x4 时，只需取 s=106 即可得到 φs′′ 的脉冲行为，但对于 m(x)=1?x10 和 m(x)=1?x16，s=106 不足以模拟 φs′′ 的尖锐行为。只需简单看一下图 14，就可以很容易地看出，当 N>N? 时，第二行的图表不显示振荡，而当 NN?，增加 N 并不会显著改变固定 s 时的 φs′′ 的图表，尽管它会改善边界层的计算。这就是为什么本文中的所有数值实验都是使用 N=801 进行的，这比所有示例中的 N? 都大得多。我们正在处理的特征值问题在 ν 较大时表现出高度的简并性，因此为了精确捕捉 φs′′ 的渐近行为，需要计算 s 的非常大的值对应的解。总结来说，稳定性阈值 N? 本质上与问题的刚性有关：对于之前选择的 m(x) 值，φs′′ 越接近其当 s 趋向于无穷大时的极限行为，N? 就必须越大。这是相当自然的，因为经验表明，原点处的内层越薄，计算它所需的 CGL 点数就越多。

图15展示了对于示例 A1 中的 φs′′ 在 s 从 10^4 到 1.15×10^6 不等的一系列值时，其二阶导数在零点附近的放大图。在这个例子中，对于所有 x∈(-1,1)，lims↑∞φs′′(x)=0，尽管 φs′′ 在 ±1 处有两个边界层。

最后，在图15中，我们收集了一系列当 s 的值在 10^4 到 1.15×10^6 之间时，φs′′ 图形的零点附近的放大图。

作者贡献声明：
S. Cano-Casanova：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，监督，方法学，研究，形式分析，概念化。
J. López-Gómez：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，监督，方法学，研究，资金获取，形式分析，概念化。
M. Molina-Meyer：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，方法学，研究，形式分析，概念化。