具有集成气动驱动功能的菱形双稳态复合材料及圆柱形弯曲结构 徐泽锋（Zefeng Xu） 刘仕（Shi Liu） 任启才（Qicai Ren） 杨毅（Yi Yang） 陶涛（Tao Tao） 郭馨冉（Xinran Guo） 周一彤（Yitong Zhou） 梁家桥（Jiaqiao Liang） 刘佩宇（Peiyu Liu）

《Journal of Composites Science》：Rhombic Bistable Composites with Integrated Pneumatic Actuation and Cylindrical Curved Shapes Zefeng Xu, Shi Liu, Qicai Ren, Yi Yang, Tao Tao, Xinran Guo, Yitong Zhou, Jiaqiao Liang and Peiyu Liu

　　**摘要**
本研究提出了一种新型的气动驱动机械预应力菱形双稳态复合层压板，该层压板具有非对称的圆柱曲率，能够呈现两种弱耦合的圆柱形状，每种形状都受到平面形状和几何参数的影响。为了预测层压板在气压作用下的准静态平衡形状和跳变过程，开发了一个降阶分析模型，该模型通过施加于流体通道内的压力来触发这些现象。基于该模型的敏感性研究探讨了关键平面形状和几何参数（内部角度α和长宽比E）对层压板面外变形和跳变压力的影响。研究结果表明，增大α值可以降低实现双稳态所需的临界预应力并放大小变形，而过大的α值可能导致单稳态曲线。长宽比的变化会改变正交PEMC层之间的耦合刚度，从而影响双稳态域和临界跳变压力。这些发现为双稳态复合结构的设计提供了方法。

**1. 引言**
复合层压板在受到非对称机械预应力作用时表现出典型的双稳态特性，即在没有连续外部能量输入的情况下保持两种不同的稳定配置[1]。这一独特性质使得轻量级、高能效且可逆变形的智能结构得以开发，并已广泛应用于机器人技术[2]、可展开的航空航天结构[3]和能量收集领域[4]。层压板的平衡配置和能量势能井分布主要取决于其几何尺寸、平面形状、层厚度比以及组成材料的力学性能[5]。因此，聚合物复合材料通常被建模为层压板，其在恒定曲率假设下通过最小化应变能量来计算其变形形状[6]。例如，张P等人探讨了方形复合层压板稳定态和跳变双稳态的非线性效应[7]；张Z等人研究了具有不同边界形状的非对称交叉层压板的双稳态特性[8]。这些研究通过调整材料性能[9]、堆叠顺序和方向角度[10]以及引入功能梯度或混合层结构[11]，扩展了双稳态配置的设计空间和可调范围。然而，大多数现有研究集中在被动双稳态结构上，其稳定态转换依赖于外部机械加载或热驱动[12,13]，在需要可控变形和快速响应的场合应用受到限制[14]。近年来，气动驱动复合材料的研究为克服这一问题提供了新的方法。通过将流体通道嵌入层压板内部[15,16]，可以在施加的气压下主动控制形状变形，实现主动变形和稳定态切换。这种驱动策略不仅简化了驱动系统，还在紧凑性、响应速度和集成能力方面具有显著优势。此外，菱形平面作为一种特别有效的几何形状，能够激活层内剪切-弯曲耦合，从而实现双稳态配置的几何控制[17]。然而，菱形平面在复合双稳态层压板及其相关双稳态域和驱动行为中的应用尚未得到系统性的研究。本研究提出了一种具有正交几何形状和集成气动驱动的机械预应力菱形双稳态复合层压板，如图1所示。在我们之前的研究中，徐和周已经全面介绍了机械预应力复合材料的制造工艺及其对应分析模型的实验验证[18]。为了快速预测变形形状和参数敏感性，开发了一个计算效率高的三阶分析模型。尽管如此，平面几何形状对这些层压板的双稳态域和驱动特性的影响尚未得到深入研究。平面内配置的变化预计会显著改变可实现的平衡形状，并改变触发跳变转变所需的临界压力。因此，基于所开发的分析模型，进行了系统的敏感性分析，以阐明平面几何形状的变化如何影响复合层压板的双稳态配置演变和跳变行为。

**2. 分析模型**
该模型通过Rayleigh-Ritz方法最小化净能量来确定层压板的未知系数和位移场，并考虑了非正交预应力和非圆柱形状。图2展示了所提出的菱形双稳态层压板的结构和几何形状。层压板由三部分组成：上部的流体预应力复合材料（FPC-A），包括0°预应力弹性体基质复合材料（EMC）、流体层和无应力的EMC；以及下部的弹性体层（FPC-B），结构与上部类似。EMC是通过将碳纤维夹在两层弹性体之间制成的[19]，纤维方向垂直于EMC的长度。FPC-A和FPC-B中的EMC分别称为EMC-A和EMC-B。层压板的双稳态形状是由每个FPC中的机械预应力EMC层产生的。为了防止加压时出现膨胀，在流体层内部设计了纵向肋条，有助于将气压转化为形状变形的能量。层压板的坐标系以其几何中间平面的中心为准，如图2b所示。FPC-A和FPC-B分别在Y方向和X方向上预应力，并在整个研究中被认为是固定方向的。复合层压板的设计参数如表1所示。通过调整预应力和设计尺寸，可以产生多种菱形双稳态圆柱曲率形状。

**2.1. 应变公式**
根据von Kármán假设，执行器上任意点的应变表示如下[17]：
由此得到以下关系：
其中 和 分别是平面轴向应变， 是平面剪切应变， 和 分别是中间平面的曲率和扭转。面外变形 表示为：
平面应变 和 可以用偶数阶多项式表示[20]。因此， 和 可以表示为二阶多项式：
为了计算剪切应变，可以通过将方程（4）积分到方程（1）中得到位移 和 ：
其中a、b、c、d是未确定的系数项。通过将方程（3）和（5）代入方程（1）可以获得剪切应变。

**2.2. 预应力EMC的本构关系**
由于预应力EMC可能经历较大的预应力，其应变能量以经验公式表示，该公式基于EMC的应变。使用经验非线性表达式来描述EMC的本构应力-应变关系：
其中 是由于施加的预应力 在EMC中产生的应变。在早期研究中[21]，实验确定的预应力范围为 = 0 ~1.2。实验表明，即使在较高的预应力水平（ = 1.5）下，EMC仍能保持其弹性工作状态。在每个预应力下，非线性应力-应变曲线下的面积等于基于胡克定律的本构表达式。通过计算与预应力 和复合层平面应变 相关的经验应力-应变曲线下的面积来确定预应力方向上的应变能量：
为了进一步提高计算效率，这里采用点 interes 方法[22]来计算应变能量。线性等效模量 计算如下：
然后，基于线性等效模量 计算预应力EMC沿其预应力方向的降阶应变能量：

**2.3. 应变能量计算**
根据经典层压板理论[17]，忽略了横向应力。然后根据材料和几何属性以通用格式计算每层的应变能量：
其中 表示该层的平面应力缩减刚度[23]。核心层和流体层是各向同性材料，而EMC是各向异性材料。每层的材料特性和积分限值如表2和表3所示。注意，由于假设EMC的平面泊松比为零，所有EMC的系数 为零。预应力EMC的应变能量表示如下：

**2.4. 气压所做的功**
FPC流体层两侧的气压源所做的功表示如下[24]：

**2.5. 稳定复合形状的计算**
然后使用变分Rayleigh-Ritz方法最小化净能量，以确定层压板的平衡形状：
注意， 是方程（3）、（4）和（5）中的一组系数 和 。使用Newton-Raphson方法在MATLAB v2020a中符号计算十四个非线性函数。

**3. 敏感性研究**
如图1所示，所提出的层压板由夹在两个流体预应力复合材料（FPC）层之间的钢芯组成。每个FPC由预应力弹性体基质复合材料（PEMC）层、流体通道层和无应力的EMC层（SEMC）构成。EMC是纤维增强的弹性体层，具有固有的各向异性力学性能[16]。在两个EMC层中施加机械预应力会在两个主方向上产生残余应力，从而实现双稳态形状。此外，核心面板沿X轴的内部角度 可以精确调整，以实现具有可调正交性的菱形双稳态配置。提出了一种结合经典层压板理论和von Kármán假设的分析模型，用于计算层压板的准静态平衡形状。徐和周通过两项独立研究[16,18]的实验比较，验证了层压板的几何形状和面外变形。图3展示了使用所提出的分析模型，对预应力 = 0.3 和 = 0.6的层压板在压力增加时的模拟跳变过程。如图4a所示，复合材料最初呈现单一曲率形状，随着预应力的增加，最终达到双稳态。因此，在90° PEMC层中给定的预应力下，0° PEMC中存在相应的临界预应力，该临界值隨预应力的增大而增大。此外，在（Lx/2, 0）处测量的面外变形也随预应力的增大而增大。当比较第二稳定形状时，也可以观察到EMC层的预应力之间的类似关系，如图4b所示。随着预应力的进一步增加，PEMC会发生弹性老化或循环疲劳，导致PEMC本构关系的等效斜率减小，从而在同一预应力条件下减弱层压板的面外变形。执行器的垂直于平面方向的偏转对应于绕（a）Y轴（从形状II到I）和（b）X轴（从形状I到II）的曲率。ε90和ε0分别是施加在90°和0° PEMCs上的预应变。进行了一系列参数研究，以探讨平面几何形状对层压板双稳态行为的影响。研究该模型是为了探讨角度E（Ex/Ey = 1~2.5）对层压板的形状和断裂压力（SP）的敏感性，即双稳态域（由相关参数定义）。除非另有说明，否则使用第2节中指定的几何参数和材料特性进行分析。如图5a所示，为了研究内部角度α（= 60~180°）对双稳态的影响，将层压板顶点（0, Ly/2）处的垂直于平面方向的偏转作为预应变的函数绘制出来，其中90° PEMC的预应变=0.6。随着α的增加，诱导双稳态所需的临界预应变减小，导致端点（0, Ly/2）处的偏转增大。此外，响应曲线随着α的增加而呈发散趋势，主要是由于核心区域的扩大，这降低了层压板的整体弯曲刚度。在第二稳态中也观察到了类似的功能关系[图5b]。值得注意的是，临界预应变相对于α存在一个拐点。超过这一点后，α的增加会导致层压板围绕Y轴呈现单稳态曲率。

图5. 偏转在(Lx/2, 0)和(0, Ly/2)作为(a) α和(b) α的函数，以及不同锥度的值。偏转在(Lx/2, 0)和(0, Ly/2)作为(c) E和(d) E的函数，其中E = Ex/Ey。图5c,d展示了临界双稳态阈值随E（E = Ex/Ey）的变化，其中Lx/2和Ly/2保持恒定。尽管总体趋势与图5a,b中的观察结果相似，但背后的机制是不同的。在这里，α的增加对应于更宽的FPC-A，这增强了层压板的局部弯曲刚度，从而影响了其双稳态响应。

此外，图6a展示了双稳态域的变化。图6a显示了双稳态域随内部角度α的变化。与E相比，临界预应变α对α的变化更为敏感。产生双稳态的允许组合范围随着α的增加而扩大。这种趋势可能归因于90° EMC长度的增加，导致更大的偏转。图6b展示了对于α的增加，双稳态域呈单调减少趋势，而对于E的增加，双稳态域呈增加趋势。这种差异可能是由于局部弯曲刚度的增强效应。结果表明，在E值的中间范围内，存在一个具有良好制造公差和结构稳健性的设计范围。

图7a(i)比较了从形状I过渡到形状II所需的断裂压力（SP）作为内部角度α的函数。结果表明，SP随着预应变的增加而增加，并且也随着α的增加而逐渐增加。曲线最初陡峭，然后逐渐平缓，这主要是由于在较大的α下核心区域增加率的减小，从而减轻了其对层压板弯曲刚度的影响。图7a(ii)展示了从形状II反向过渡到形状I的SP–曲线。与图7a(i)相反，SP随着α的增加而减小，因为较大的α允许0° PEMC储存更多的弹性恢复能量，因此需要较低的压力建立反向过渡到形状I。值得注意的是，曲线之间的间距较宽，这表明在图7a(i)中，形状I对α的变化比E的变化更敏感。相反，图7a(ii)中更陡峭的曲线表明形状II对α的变化比E的变化更敏感。这可能是由于形状II与层压板的整体弯曲刚度之间的更强耦合，随着α的增加而显著减小。

图7. SP与α和E的曲线：(a) α = 0.6，当E = 0.3, 0.4, 0.5, 和 0.6；以及(b) α = 0.6，当E = 0.3, 0.4, 0.5, 和 0.6 [其中(i)展示从形状I到形状II，(ii)展示从形状II到形状I]。此外，图7b(i)中的曲线显示出增加趋势，可能是由于在固定α下形状I与整体弯曲刚度之间的增强耦合。与图7a(i)相反，图7b(ii)中的SP随着α的增加而减小，因为较高的α使得90° EMC能够贡献更多的弹性能量，从而降低激活到形状II所需的压力。另一方面，图7b(ii)中的趋势与图7a(i)中的趋势相似，其中SP随着α的增加而增加。然而，其对α的响应与图7a(ii)中的相反，进一步突出了两种稳定状态形状相关的不同激活机制和结构耦合行为。

另外，SP–E曲线显示出与图8a,b中的SP–α曲线相反的减少趋势。这是由于0° FPC宽度的增加，这增强了整体刚度，并使SP主要受刚度支配。如图8a(i)所示，曲线首先随着α的增加而增加，然后随着α的增加而减少，主要是由于形状I和II之间的耦合逐渐减弱。

图8. SP与α的曲线：(a) α = 0.6，当E = 0.3, 0.4, 0.5, 和 0.6；以及(b) α = 0.6，当E = 0.3, 0.4, 0.5, 和 0.6 [其中(i)展示从形状I到形状II，(ii)展示从形状II到形状I]。

4. 讨论提出的分析模型有效地捕捉了具有菱形几何形状的气动驱动复合层压板的双稳态行为。增加内部角度α降低了实现双稳态所需的临界预应变，同时由于核心区域的扩大而增加了垂直于平面方向的偏转，从而降低了层压板的整体弯曲刚度。纵横比E同样影响双稳态，较高的E值增强了局部弯曲刚度并影响了临界预应变。α与E之间的关系比E与α之间的关系更为敏感，使得α成为双稳态中更重要的因素。与矩形层压板相比，菱形配置提供了几个优点：它引入了可调的剪切-弯曲耦合，允许在不改变材料层铺层或厚度的情况下调整双稳态区域，并能够重新分配刚度和弹性能量。对于相同的厚度和预应变，菱形层压板显示出100%到200%更大的垂直于平面方向的偏转，在某些情况下，断裂压力降低了25%[16,18]，提供了更大的设计灵活性和几何控制。

此外，尽管该模型在几何相似性和材料一致性下显示出良好的可扩展性，但扩大到更大结构引入了工程挑战，如流体通道的制造和密封可靠性、刚度的变化以及重力的影响。这些因素不会使模型失效，但需要为实际应用进行调整。

5. 结论本研究提出了一个机械预应力、气动驱动的菱形双稳态复合层压板，具有圆柱形曲率。通过将经典层压板理论与冯·卡门运动学假设相结合，开发了一个三阶分析模型，以表征层压板在耦合机械和气动载荷下的准静态响应。该模型能够有效地预测平衡形状、双稳态域和断裂压力，并进一步用于进行参数敏感性分析。结果表明，平面几何形状，包括内部角度α和纵横比E，在定义双稳态和激活特性方面起着决定性作用。增加α降低了实现双稳态所需的临界预应变，并放大了垂直于平面方向的偏转。纵横比的变化修改了正交PEMC层之间的耦合刚度，从而影响双稳态域和临界断裂压力。此外，断裂压力在向前和反向过渡中表现出不对称趋势，这受到储存的弹性能量与几何刚度耦合之间相互作用的控制。

本文为可编程双稳态复合结构提供了理论和设计见解。未来的研究将集中在断裂的动态和速率相关效应、多场耦合策略以及结构的稳健性、疲劳和制造公差方面。