振动水槽中晃动水流与弹性挡板相互作用机理的研究 陈山群（Shanqun Chen） 曹玉龙（Yulong Cao） 姚乐（Le Yao） 赵航（Hang Zhao） 卜阳（Yang Bu） 廖斌（Bin Liao）

《Eng》：Mechanism Study of the Interaction Between Sloshing Water Flow and Elastic Baffles in a Shaking Tank Shanqun Chen, Yulong Cao, Le Yao, Hang Zhao, Yang Bu and Bin Liao

　　摘要 在本研究中，我们采用了SPH方法系统地探讨了在晃动水箱中晃动水流与弹性挡板相互作用机制，从单个和多个弹性挡板的两个角度进行了分析。我们重点研究了外部激励频率ω、晃动角度θ以及浸没比?2/?b对晃动自由表面高度、弹性挡板顶部位置的位移和力以及晃动水箱侧壁上的冲击压力的影响。结果表明，晃动的自由表面高度波动周期显著依赖于ω。具体来说，当ω接近水箱的共振频率ω1时，自由表面高度、位移、力和冲击压力达到最大值。晃动角度θ对自由表面高度、位移、力和冲击压力有明显的放大效应。当ω与共振频率接近时，自由表面高度的振幅相对接近；而随着ω的增加，振幅逐渐减小。位移、力和冲击压力呈现出随ω增加而减小的趋势。

1. 引言

晃动水流是由于外部激励导致储液罐内水体运动的现象，在自然和工程实践中都很常见。典型的工程实例包括地震期间大型水库中的晃动，以及石油或液化天然气运输车辆中的晃动。一般认为，当装有水的容器受到外部激励且激励幅度较大或频率接近容器的共振频率时，容器内的水会经历剧烈的晃动过程，并对罐壁产生严重的流体动力冲击[1]。换句话说，晃动水流会对装载容器的结构安全产生显著影响。以这些工程实例为例，地震期间水库中的晃动可能会对水库大坝产生巨大的冲击压力，导致结构不稳定甚至损坏[2]；石油或液化天然气运输车辆中的晃动可能会导致局部破裂和整体不稳定，从而引发泄漏和车辆翻覆[3]。因此，研究如何抑制晃动的幅度并减少其对储液罐的影响具有重要的实际工程意义。

过去几十年里，研究人员发现，在储液罐中安装挡板是抑制晃动幅度的有效方法。然而，目前大多数相关研究都集中在刚性挡板上，这些挡板用于抑制晃动水箱中的晃动。Cho和Lee[4]通过数值模拟研究了在水平强迫激励条件下，带有刚性挡板的两维晃动水箱中水流的大幅度晃动。他们发现晃动的严重程度与挡板的设计参数之间存在明显的相关性。Akyildiz和ünal[5]通过实验比较了有垂直刚性挡板和无挡板情况下晃动水箱的冲击压力，发现垂直刚性挡板可以有效减小晃动对罐壁的冲击压力并抑制晃动幅度。Liu和Lin[6]使用大涡模拟（LES）方法数值研究了带有刚性挡板的三维晃动水箱中的晃动，发现垂直挡板在抑制晃动幅度和减少晃动水流对罐壁的冲击压力方面比水平挡板更有效。Xue等人[7]和Chu等人[8]通过实验研究了不同形状配置和多个垂直刚性挡板对晃动运动响应的影响，结果表明安装垂直挡板可以改变晃动水箱的共振频率。Nasar和Sannasiraj[9]以及Yu等人[10]对含有垂直刚性挡板的晃动水箱进行了实验研究，他们得出结论：挡板位置越接近晃动模式节点，抑制晃动幅度的效果越好。Zang等人[11]使用边界元素法（BEM）数值研究了晃动与多孔刚性挡板之间的相互作用过程，探讨了挡板长度和孔隙率对晃动幅度的影响。总体而言，关于刚性挡板抑制晃动的研究（即晃动与刚性挡板之间的相互作用）相对系统全面，并且研究成果丰富。

随着流体-结构相互作用（FSI）数值方法的发展，研究人员开始关注使用弹性挡板来抑制晃动幅度。然而，与刚性挡板相比，关于弹性挡板的研究结果发表较少。Paik等人[12]采用非线性有限元方法结合时间平均雷诺平均纳维-斯托克斯/分离涡流求解器，数值研究了在振荡激励条件下带有弹性挡板的晃动水箱中自由表面的响应特性。Hwang等人[13]使用移动粒子模拟（MPS）方法研究了无挡板、刚性挡板和弹性挡板条件下的晃动水箱中的晃动，主要探讨了这些条件对晃动幅度的阻尼效应。考虑到晃动与弹性挡板之间的相互作用，Maiti和Bhattacharyya[14]对钻石形晃动水箱中悬臂弹性挡板周围的水流运动特性进行了实验研究。Cho等人[15]使用格林函数匹配特征函数展开方法数值求解了晃动与多孔弹性挡板之间的相互作用，探讨了挡板孔隙率和刚度对晃动幅度的影响。Cao等人[16]发展了一种半解析解方法，数值研究了带有双弹性挡板的两维晃动水箱中的运动响应，主要探讨了弹性挡板参数和水平激励频率对晃动幅度的影响。Ren等人[17,18]结合实验，使用SPHinXsys数值模型研究了晃动与弹性挡板之间的相互作用，特别是晃动与弹性挡板相互作用时的自由表面、压力和挡板变形。尽管上述研究取得了一些进展，但对弹性挡板与晃动之间相互作用的有效性理解仍存在不足。最突出的问题是缺乏对晃动水箱共振频率与晃动和弹性挡板运动响应之间内在关系的探索。此外，关于晃动水箱中晃动与弹性挡板相互作用机制的研究也很少。

近年来，由于其捕捉大变形、处理自由表面和移动边界的能力较强，光滑粒子流体动力学（SPH）方法得到了快速发展。研究人员将其广泛应用于许多与FSI相关的科学问题[17,19,20]。鉴于SPH方法在解决FSI问题方面的优势以及前述研究的不足，本文旨在利用SPH方法系统地研究晃动水箱中晃动与弹性挡板之间的相互作用机制。尽管SPH和FSI建模方面最近取得了进展，但在全面理解晃动流体与弹性挡板之间的流体-弹性相互作用方面仍存在关键差距。先前的数值研究（如Hwang等人[13]；Ren等人[17,18]）主要关注标准晃动水箱或单挡板配置，而没有深入探讨频率依赖的共振行为。为明确解决这一差距，本研究通过改进的SPH模型系统地研究了晃动水箱中单个和多个弹性挡板的流体-弹性阻尼机制，而不仅仅是报告抑制效果，我们重点关注频率匹配机制——将外部激励频率与水箱的一阶共振频率相关联，以揭示动态结构变形和多挡板配置如何主动调节流体共振。

2. 方法论

2.1 SPH方法

SPH方法利用基于插值或权重函数的积分方程，将连续介质流体力学的守恒定律从偏微分形式转换为适合粒子模拟的形式。这种插值或权重函数通常称为核函数。根据核函数，我们可以写出任意粒子a处的通用函数表达式（1），其中下标“a”表示任意粒子a，下标“b”表示该粒子的相邻粒子；m是粒子质量；ρ是粒子密度；x_a和x_b是粒子a和b的空间坐标系；λ是核函数的平滑长度；d是初始粒子间距。κ是核函数，其表达式为（2），其中d是粒子之间的无量纲距离；δ_ab是任意两个粒子a和b之间的距离；ρ_c是平滑长度ρ的相关系数，在二维情况下；在三维情况下。为了模拟固体结构并防止边界附近的粒子缺失，引入了核梯度校正（KGC）方法。标准SPH方法在边界附近常常存在不完整性。为了确保一阶一致性并提高精度，我们引入了一个校正矩阵C来预乘并修改核函数的梯度，数学表达式为（3）和（4），其中H是哈密顿算子；?表示张量积；ΔC是C的校正形式；I是C的逆矩阵。

2.2 流体动力控制方程

控制流体动力学中质量和动量守恒的纳维-斯托克斯方程以拉格朗日形式给出（5）、（6）和（7），其中v是速度；t是时间；p是压力；μ是运动粘度；g是参考密度下的重力加速度；ρ_ref是参考密度。

2.3 粘性项

方程（5）中的粘性项可以表示为（8），其中ν是平滑长度ν的相关系数；δ_vab是任意两个粒子a和b之间的速度差。然后，我们使用SPH方法近似离散化方程（5），得到其SPH离散化形式（9）。为了考虑湍流的影响，我们采用了大涡模拟方法并引入了子粒子尺度（SPS）来计算额外的粘性力[21,22]。具体来说，我们使用Favre平均方法将SPS应力项引入弱压缩SPH方法中（23），方程（9）可以表示为（10）。

2.4 密度耗散项

在SPH方法中，当流场密度被认为是弱可压缩的时，粒子密度容易产生高频振荡，这可能导致流场内的压力波动。为了消除密度波动的不利影响，我们加入了Molteni等人[24]提出的密度耗散项到连续性方程（方程（6）中。校正后的连续性方程的SPH离散化形式为（11），其中δ_d是密度耗散项的系数，通常取值为0.1。**固体结构动力学控制方程**
在SPH方法中，固体结构动力学的质量守恒和动量守恒控制方程分别为（12）和（13），其中是变形梯度的雅可比行列式；是第一Piola–Kirchhoff（PK1）应力张量。然后，方程（13）的SPH离散形式可以表示为（14），其中下标“0”表示相对于参考材料的测量值；是惩罚力，用于最小化任意相邻粒子b对粒子a的总数值修正力，这可以抑制由于SPH逼近中秩不足而导致的虚假零能量模式[25]。为了计算PK1应力张量，我们必须首先计算变形梯度，并得到了其SPH离散形式：（15）。然后，我们使用Saint–Venant–Kirchhoff本构模型将Green–Lagrange应变与第二Piola–Kirchhoff（PK2）应力张量联系起来；其表达式为（16），其中是应变张量；是的矩阵迹；是的转置；是单位矩阵；和都是Lamé系数。（17），其中是杨氏模量；是泊松比。计算PK1应力张量的表达式为（18）。此外，我们基于线性弹簧理论推导出了惩罚力（19），其中和分别是两个独立的向量；是误差向量；是固体结构材料坐标中任意粒子a和b之间的初始未变形距离；是固体结构材料坐标中任意两个粒子a和b之间的距离；是一个无量纲系数，用于控制修正力的大小，该系数由给定问题确定，通常取值。

**边界条件和时域离散化方案**
在本研究中，我们采用了动态边界条件（DBC）。具体来说，边界粒子和流体粒子满足相同的方程，边界粒子根据预设的运动函数运动，不受外力影响。当流体粒子接近边界时，如果边界粒子与流体粒子之间的距离小于平滑长度的两倍，受影响的边界粒子的密度会增加，从而导致压力相应增加。相反，这种压力增加会通过动量方程中的压力项对流体粒子产生排斥力。这种方法的适用性取决于时间步长，它应该足够短，以便处理当前与边界粒子相互作用的任何流体粒子的最大流速[26]。此外，为了满足DBC的适用性并准确求解FSI，流体粒子的加速度由所有相邻流体、固体结构和边界粒子对其施加的力决定。在忽略体积力的条件下，求解任意流体粒子a的加速度的表达式为（20）。同样，求解任意固体结构粒子a的加速度的表达式为（21），其中、和分别是粒子a的相邻流体、固体结构和边界粒子集合。对于流体相，我们使用了Symplectic–Verlet时域离散化方案的二阶精度[27]来迭代求解方程（20）。对于不同于流体相的固体结构，我们采用了一步半隐式Euler时域离散化方案来迭代求解方程（21）。具体表达式为（22）和（23），其中上标“”表示时间步长；是时间步长大小。

**问题陈述、收敛性和验证研究**
**3.1. 问题陈述**
我们考虑了一个二维数值设置，用于模拟晃动罐中晃动液面与弹性挡板之间的相互作用，示意图如图1所示。为了增强对图中所示各种符号以及后续内容的理解，我们系统地总结了这些符号，并清楚地定义了它们的值和单位，如表1所示。我们强调E1、E2与侧壁之间的距离均为0.132米，P1与底壁之间的距离为0.195米。此外，晃动罐的运动方程为（25），其中是晃动角度；是外部激励频率。

**3.2. 收敛性和验证研究**
我们对不同的初始粒子间距进行了收敛性研究，即、、和。具体来说，我们在单个弹性挡板条件下，使用和绘制了与的关系曲线，如图2所示。我们强调了流体粒子和固体粒子的大小是一致的。可以观察到，随着的减小，与的关系曲线趋于重合。特别是，和的曲线之间存在特定的间隙，而和的曲线几乎重叠。为了严格量化这种收敛性，超出了视觉检查的范围，我们计算了所选间距（）与最优间距（）的位移时间序列之间的相对误差范数。定量误差测量结果非常小，仅为4.04%，表明了严格的数值收敛性。此外，较粗间距和的相对误差分别为5.11%和7.11%。因此，考虑到需要平衡计算精度和效率，我们在所有后续数值模拟中设置了。

**4. 结果与讨论**
**4.1. 单个弹性挡板**
我们特别研究了在不同外部激励频率、晃动角度和浸没比下，晃动液面的自由表面高度、单个弹性挡板顶部的位移和力以及侧壁上的冲击压力，以说明晃动液面与单个弹性挡板之间相互作用机制。为了进一步阐明这些观察结果背后的机制，我们阐明了为什么弹性挡板与传统的刚性挡板在流体-结构相互作用行为上存在根本性的差异。刚性挡板主要通过物理流动阻碍和强制波反射来抑制晃动，而弹性挡板则通过能量交换和动态相位调制来实现一种耦合的hydro-elastic阻尼机制。首先，从能量的角度来看，挡板的弯曲变形吸收了部分流体的动能，并将其转化为可恢复的结构应变能，从而引入了一个额外的、内在的耗散途径，超出了粘性或湍流损失的范围。其次，挡板的动态恢复力在入射的晃动波运动和其结构响应之间引入了持续的相位滞后；这种相位移动有效地破坏了流体的共振积累，直接解释了在FFT分析中观察到的频谱分布变宽和谐波转换效率提高的现象。第三，时变变形不断改变水箱的有效内部几何形状，从而调节了局部流体域的瞬时共振频率；这种瞬态频率失谐阻止了在任何固定模态频率下的持续共振锁定，增强了宽带抑制性能。

4.1.2. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与单个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下单个弹性挡板下，参数与参数之间的各种曲线，如图8a和图9a所示。从上述两个图中可以观察到，在不同条件下，晃动的整体演变特征保持一致；随着参数的增加，参数和参数的振幅显示出显著的增加趋势。这一现象表明，晃动的动态行为受到了参数的非线性效应的极大影响。此外，我们使用FFT分析绘制了在不同条件下单个弹性挡板下参数和参数的振幅，如图8b和图9b所示。从上述两个图中可以观察到，当参数达到某个值时，参数和参数的响应振幅达到了最大值。

接下来，我们分别绘制了在不同条件下单个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线及其相应的FFT分析结果，如图10a和图10b所示。结果表明，参数与参数之间的变化与参数和参数的动态变化特征高度一致，特别是在参数达到某个值时，两者都表现出明显的共振现象。图10b中的FFT分析进一步验证了这一结果，具体来说，在不同参数下参数的振幅在某个值附近达到了最大值。此外，随着参数的增加，参数的振幅显示出显著的增长趋势，这与图8b和图9b中的趋势一致。

4.1.3. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与单个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下单个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图12a和图13a所示。从上述两个图中可以观察到，在不同条件下，参数和参数的振幅相对接近，而随着参数的增加，这两者逐渐减小。此外，我们使用FFT分析绘制了在不同条件下单个弹性挡板下参数和参数的振幅，如图12b和图13b所示。从上述两个图中可以观察到，晃动的运动响应发生在参数和参数附近，这两个参数接近于某个值，并且是单个参数的两倍。此外，当参数达到某个值时，参数和参数的最大振幅出现；而随着参数的增加，参数和参数的最大振幅出现，并随着参数的增加而逐渐减小。

4.2.2. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图16a和图17a所示。从上述两个图中可以观察到，与图4a和图5a类似，晃动的自由表面波动周期也显著依赖于参数。具体来说，在参数和参数下，晃动的自由表面波动周期比在参数和参数下更为显著，表现出更严重的晃动响应特征。我们强调，与单个弹性挡板的情况相比，多个弹性挡板的情况将晃动水箱的共振频率向更高的值转移。由于难以准确比较图16a和图17a中的时域波形，我们使用FFT分析方法来获得在不同条件下多个弹性挡板下参数和参数的振幅，如图16b和图17b所示。从上述两个图中可以观察到，FFT频谱响应分析不仅验证了时域观察结果的一致性，还揭示了在参数和参数下的振幅高于在参数和参数下的振幅。此外，在参数和参数下，晃动的能量主要集中在高于某个值的成分中；而在参数和参数下，频谱显示出了双谐波能量的显著分布（对应于参数和参数），这与非线性波的相互作用机制密切相关，这一点通过双谐波的出现得到了验证。总之，在较高频率（即参数和参数）的激励下，晃动表现出更高的能量转换效率和显著的非线性特征。较高频率和晃动水箱的谐波运动的共同作用导致了水流的加剧。

4.2.1. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图16a和图17a所示。从上述两个图中可以观察到，在不同条件下，参数和参数的振幅相对接近，而随着参数的增加，这两者逐渐减小。此外，我们使用FFT分析绘制了在不同条件下单个弹性挡板下参数和参数的振幅，如图12b和图13b所示。从上述两个图中可以观察到，晃动的运动响应发生在参数和参数附近，这两个参数接近于某个值，并且是单个参数的两倍。此外，当参数达到某个值时，参数和参数的最大振幅出现；而随着参数的增加，参数和参数的最大振幅出现，并随着参数的增加而逐渐减小。

4.2.2. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图18a和图19a所示。结果表明，随着参数的增加，参数逐渐减小，与参数显示出负相关性。图14b中的FFT分析进一步验证了这一结果，具体来说，在不同参数下参数的振幅在某个值附近达到了最大值。此外，从图19a和图20a中可以看出，随着参数的增加，参数的振幅显示出逐渐减小的趋势。最后，我们分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数和参数之间的各种曲线，如图15a和图15b所示。结果表明，参数的变化趋势与参数的变化趋势一致。具体来说，在参数和参数下，参数表现出明显的非线性特征，这可能与流体动力激励的不均匀性和弹性挡板在较低参数下的复杂变形模式有关；随着参数的增加，这种非线性特征逐渐减弱。此外，随着参数的增加，参数的振幅显著减小，这与图8b和图9b中的趋势一致。

4.2. 多个弹性挡板
我们特别研究了在不同外部激励频率、晃动角度和浸没比下，晃动的自由表面 elevations 以及多个弹性挡板的顶部位置 的位移和力，还有侧壁 上的冲击压力，以说明晃动与多个弹性挡板在晃动水箱中的相互作用机制。

4.2.1. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图16a和图17a所示。与图4a和图5a类似，晃动的自由表面 elevations 波动周期也显著依赖于参数。具体来说，在参数和参数下，晃动的自由表面 elevations 波动周期比在参数和参数下更为显著，表现出更严重的晃动响应特征。我们强调，与单个弹性挡板的情况相比，多个弹性挡板的情况将晃动水箱的共振频率向更高的值转移。由于难以准确比较图16a和图17a中的时域波形，我们使用FFT分析方法来获取在不同条件下多个弹性挡板下参数和参数的振幅，如图16b和图17b所示。从上述两个图中可以观察到，FFT频谱响应分析不仅验证了时域观察结果的一致性，还揭示了在参数和参数下的振幅高于在参数和参数下的振幅。此外，在参数和参数下，晃动的能量主要集中在高于某个值的成分中；而在参数和参数下，频谱显示出了双谐波能量的显著分布（对应于参数和参数），这与非线性波的相互作用机制密切相关，这一点通过双谐波的出现得到了验证。总之，在较高频率（即参数和参数）的激励下，晃动表现出更高的能量转换效率和显著的非线性特征。较高频率和晃动水箱的谐波运动的共同作用导致了水流的加剧。

4.2.1. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图16a和图17a所示。从上述两个图中可以观察到，在不同条件下，参数和参数的振幅相对接近，而随着参数的增加，这两者逐渐减小。此外，我们使用FFT分析绘制了在不同条件下单个弹性挡板下参数和参数的振幅，如图12b和图13b所示。从上述两个图中可以观察到，晃动的运动响应发生在参数和参数附近，这两个参数接近于某个值，并且是单个参数的两倍。此外，当参数达到某个值时，参数和参数的最大振幅出现；而随着参数的增加，参数和参数的最大振幅出现，并随着参数的增加而逐渐减小。

4.2.2. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图18a和图19a所示。结果表明，在大约某个参数下，参数的振幅比在其他参数下更为显著，表现出更严重的晃动响应特征；当参数接近某个值时，弹性挡板的弯曲变形振幅达到最大值。例如，在共振频率（参数）下，最大位移（）约为某个值，这与非共振状态（参数时峰值仅为大约某个值）相比放大了1.33倍。结合之前的分析结论，我们可以得出结论，参数与参数和参数表现出强烈的一致性，表明在FSI（流固耦合）下它们之间存在密切的动态关系。图18b中的FFT分析结果进一步证实了这一趋势，挡板在参数下达到其最大弯曲响应振幅。此外，从图19a和图20a中可以看出，参数的变化对参数和参数的影响相对较小。通过图19b和图20b中的FFT分析，我们可以观察到参数的振幅主要取决于参数，而参数的振幅主要集中在某个值。总之，参数不仅与参数和参数表现出一致的演变趋势，而且还直观地反映了参数对结构动态响应的影响。

4.2.2. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图18a和图19a所示。结果表明，在大约某个参数下，参数的振幅比在其他参数下更为显著，表现出更严重的晃动响应特征；当参数接近某个值时，弹性挡板的弯曲变形振幅达到最大值。例如，在共振频率（参数）下，最大位移（）约为某个值，相比非共振状态（参数）放大了大约1.33倍。综合之前的分析结论，我们可以得出结论，参数与参数和参数表现出强烈的一致性，表明在FSI下它们之间存在密切的动态关系。图18b中的FFT分析结果进一步证实了这一趋势，挡板在参数下达到其最大弯曲响应振幅。此外，从图19a和图20a中可以看出，参数的变化对参数和参数的影响相对较小。通过图19b和图20b中的FFT分析，我们可以观察到参数的振幅主要取决于参数，而参数的振幅主要集中在某个值。总之，参数不仅与参数和参数表现出一致的演变趋势，而且还更直观地反映了参数对结构动态响应的影响。

4.2.2. 我们特别在保持其他参数不变的情况下，进行了在特定条件下的数值模拟，以研究参数对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。我们首先分别绘制了在不同条件下多个弹性挡板下参数与参数之间的各种曲线，如图21a-c和图21d所示。从上述四个图中可以观察到，作用在弹性挡板B1上的参数表现出与参数一致的特征变化，这进一步表明弹性挡板的运动状态直接影响其受力特性。作用在水平弹性挡板B2和B3上的动力（即参数）表现出显著的非线性特征，并在某个值时达到最大值。此外，如图21d所示，参数并不随参数线性增加。相反，当参数接近某个值时，参数达到其最大值。定量地说，冲击压力在某个值时激增至2.0 kPa，相对于非共振高频激励（参数）增加了100%。我们首先绘制了在不同条件下，带有多个弹性挡板的液体晃动和 other 变量的各种曲线，如图22a和图23a所示。从上述两张图中可以看出，在带有多个弹性挡板的情况下，晃动的整体演变特性保持一致；随着 other 变量的增加，液体晃动和 other 变量的幅度呈现出显著增加的趋势，当 other 变量达到某个值时，两者の幅度相对接近。这一现象表明，晃动的动态行为受到 other 变量的非线性效应的显著影响。此外，我们还使用FFT分析绘制了在不同条件下，带有多个弹性挡板的液体晃动和 other 变量的幅值，如图22b和图23b所示。从这两张图中可以看出，当 other 变量达到某个值时，液体晃动和 other 变量的响应幅度达到最大值，并且两者之间的结果相对接近。

接下来，我们绘制了在其他条件下的各种曲线以及相应的FFT分析结果，如图24a、图25a、图26a、图24b、图25b和图26b所示。结果表明，在某些条件下，液体晃动的幅度比在其他条件下更为显著，表现出更严重的晃动响应特性。图24b中的FFT分析结果进一步证实了这一趋势，即挡板在某个特定值时达到了最大的弯曲响应幅度。此外，从图25a和图26a中可以看出，other 变量的变化对液体晃动和 other 变量有显著影响。具体来说，液体晃动和 other 变量的幅度与 other 变量呈现出明显正相关趋势。通过图19b和图20b中的FFT分析，我们可以观察到，随着 other 变量的增加，液体晃动和 other 变量的幅度都显著增大。

最后，我们绘制了在其他条件下的各种曲线以及相应的FFT分析结果，如图27a-c和图27d所示。从这四张图中可以看出，作用在弹性挡板B1上的 force 变量显示出与 other 变量一致的特性变化，这进一步表明弹性挡板的运动状态直接影响其力特性。作用在水平弹性挡板B2和B3上的动态力（即 force 变量）表现出显著的非线性特性，并在某个特定值时达到最大值。此外，如图27d所示，force 变量也与 other 变量呈现正相关的增长趋势。

我们特别在某些条件下进行了数值模拟，同时保持其他变量不变，以研究 other 变量对晃动与多个弹性挡板之间相互作用的影响。首先，我们绘制了在不同条件下，带有多个弹性挡板的液体晃动和 other 变量的各种曲线，如图28a和图29a所示。从上述两张图中可以看出，在带有多个弹性挡板的情况下，当 other 变量达到某个值时，液体晃动和 other 变量的幅度相对接近，并且随着 other 变量的增加而逐渐减小。此外，我们还使用FFT分析绘制了在不同条件下，带有多个弹性挡板的液体晃动和 other 变量的幅值，如图28b和图29b所示。结果表明，当 other 变量达到某些值时，液体晃动和 other 变量的幅值相对接近，这与图28a和图29a的结果一致。晃动的运动响应发生在某个特定角度和频率下，这些角度和频率接近 other 变量的特定值的两倍。此外，当 other 变量达到某个值时，液体晃动和 other 变量的最大幅度出现在某些位置；而当 other 变量继续增加时，这两个最大幅度会逐渐减小。

接下来，我们绘制了在其他条件下的各种曲线以及相应的FFT分析结果，如图30a、图31a、图32a和图30b、图32b所示。结果表明，随着 other 变量的增加，某个量逐渐减小，两者呈现出负相关；other 变量的变化对液体晃动和 other 变量的位移没有显著影响。图30b、图31b和图32b中的FFT分析结果进一步验证了上述结论。

总之，本研究采用改进的SPH方法系统地研究了液体晃动与弹性挡板在振动水箱中的水弹性相互作用机制。通过分析在不同激励频率（）、振动角度（）和浸没比（）下，对于单挡板和多挡板配置的动态响应，我们得出了以下关于潜在物理机制的关键见解：（1）水弹性阻尼机制：研究表明，弹性挡板不仅通过物理阻挡来抑制严重晃动，还通过耦合的水弹性阻尼机制起作用。挡板的连续弯曲变形有效地吸收了fluid动能并将其转化为结构应变能。此外，振荡挡板引入的动态边界变化打破了流体波的周期性相位，防止了稳定锁定共振的形成。（2）多个挡板对共振的调节：流体-结构的动态响应（包括自由表面高度、结构位移和壁面冲击压力）表现出强烈的频率依赖性。在单挡板条件下，当外部激励频率接近水箱的共振频率时，响应普遍达到峰值，产生的位移和冲击压力比非共振条件下的值高出2.0倍。然而，引入多个弹性挡板显著改变了内部几何结构，有效地将共振响应转移到了更高的频率带。（3）总体参数趋势：系统对外部变量表现出耦合的非线性响应。振动角度（）作为一个明显的放大因子，均匀地增强了自由表面高度、结构变形和冲击压力。相反，浸没比（）控制着有效的阻尼深度；增加浸没比通常会减弱结构位移和冲击压力，与动态载荷呈负相关。

总之，本研究明确地将外部激励条件与流体-结构系统的固有共振特性联系起来。揭示的机制为设计灵活的内部结构以抑制液体储存罐中的严重水动力冲击提供了坚实的理论基础。此外，机械分析表明，弹性挡板出色的晃动抑制能力不仅仅来源于被动阻挡，还来自两个协同作用的物理机制：（i）在弯曲变形过程中，流体动能的可逆转化为结构应变能；（ii）相位滞后的结构响应，主动抵消了入射波的运动，从而抑制了共振放大——这与传统的刚性阻挡形成了根本不同的水弹性阻尼机制。