热力学第二定律与弹性理论的应变梯度理论 克劳迪奥·乔治（Claudio Giorgi） 安杰洛·莫罗（Angelo Morro）

《Entropy》：Second Law of Thermodynamics and Strain Gradient Theories of Elasticity Claudio Giorgi and Angelo Morro

　　**摘要**
本文通过一般形式的克劳修斯-杜埃姆不等式（Clausius–Duhem inequality）探讨了热力学第二定律，其中熵流（entropy flux）和熵产生（entropy production）由适当的本构函数（constitutional functions）给出。为了明确性，本文研究了弹性固体的可能模型，在这些模型中，为了考虑非局部性质（non-local properties），应力（stress）依赖于应变梯度（strain gradients）直到二阶。尽管以往的方法是通过变分公式（variational formulations）或虚拟功率方法（virtual power method）来发展的，但本文表明，不需要改变能量平衡（energy balance）或动能（kinetic energy）的形式；只要熵流由适当的本构函数给出即可。本文还强调，非局部本构性质（non-local constitutive properties）源自克劳修斯-杜埃姆热力学不等式，而变分公式和虚拟功率方法实际上仅限于纯机械背景，因为它们只涉及运动方程（equation of motion）。

**1. 引言**
连续体的熵平衡（entropy balance）长期以来一直由熵增原理（principle of increase of entropy）的连续表述来表达。如果 \( \rho_E \) 是比熵密度（specific entropy density），\( \rho \) 是质量密度（mass density），\( q \) 是热流（heat flux），\( R \) 是热供应（heat supply），\( T \) 是绝对温度（absolute temperature），那么在任何过程中，时间导数 \( \frac{d\rho_E}{dt} \) 需要满足以下关系：
\[ \frac{d\rho_E}{dt} = q + R - \kappa\Delta\theta \]
（公式1）通常被称为克劳修斯-杜埃姆不等式（CD inequality）。根据定义，（公式1）的左侧被称为熵产生率（rate of entropy production），其中 \( \kappa\Delta\theta \) 表示熵产生率与熵流和热供应之间的差异。Coleman 和 Noll [1] 提出，这个不等式必须适用于每一个可接受的热力学过程。因此，克劳修斯-杜埃姆不等式在概念上成为选择物理上可接受的连续体模型的标准。
后来，Müller [2] 指出，为了更大的通用性，熵流应该用不一定等于热供应的表达式来表示。因此，公式（1）应该被替换为：
\[ \frac{d\rho_E}{dt} = q + R - \kappa\psi\Delta\theta \]
其中 \( \psi(\Delta\theta) \) 是依赖于应变梯度的适当函数。在本文看来，将 \( \psi(\Delta\theta) \) 视为等于右侧是一个进一步的自然推广。换句话说，\( \psi(\Delta\theta) \) 可以由适当的（本构）函数给出，而不一定是由克劳修斯-杜埃姆不等式定义的，这样公式（1）和（2）就被视为方程，而不是恒等式（见第2节）。关于这一点，已经在滞后材料（hysteretic materials）的建模中得到了证明（见 [3] 和 [4] 的第13-15章）。在 [5] 中进一步应用了这种观点。在我们看来，每当考虑考虑时空非局部性或滞后性的材料模型时，克劳修斯-杜埃姆不等式需要以一般形式（2）存在，并且 \( q \) 和 \( \psi(\Delta\theta) \) 由适当的本构函数给出。
异质系统以及微观和纳米级别的现象是通过赋予适当阶数的梯度依赖性来建模的 [6,7]。

**2. 符号和平衡方程**
设 \( \Omega \) 是物体所占的时间依赖区域。点 \( \mathbf{r} \) 在 \( \Omega \) 中的位置由向量 \( \mathbf{r} \) 表示，相对于选定的原点 \( O \) 和时间 \( t \)；而在参考配置（reference configuration）中的位置由 \( \mathbf{r}_0 \) 表示。因此，\( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \Delta\mathbf{r} \)，描述了物体的运动。为了明确性，向量的分量是相对于右手正交三元组（right-handed orthonormal triplet）来考虑的。我们用 \( \nabla \) 表示相对于 \( \mathbf{r} \) 和 \( \mathbf{r}_0 \) 的梯度算子（gradient operator）。梯度 \( \nabla\mathbf{r} \) 称为变形梯度（deformation gradient），用 \( \nabla\mathbf{r} \) 表示；其分量表示为 \( \nabla\mathbf{r}_x \), \( \nabla\mathbf{r}_y \), \( \nabla\mathbf{r}_z \)。差 \( \Delta\mathbf{r} \) 称为位移（displacement），那么 \( \nabla\mathbf{r} \) 即为位移梯度，\( I \) 为单位矩阵（identity tensor）。张量 \( \nabla\Delta\mathbf{r}\nabla\mathbf{r} \) 是对称的格林-拉格朗日应变（symmetric Green–Lagrange strain）。如果对于任何分量 \( i \), \( \nabla\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_i = 0 \)，那么应变 \( \epsilon_{ij} \) 可以用 \( \epsilon_{ij} = \frac{\nabla\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j}{\nabla\Delta\mathbf{r}\nabla\mathbf{r}_{ij} \) 来近似，其中 \( \epsilon_{ij}^s \) 表示对称部分。为了简化写作，我们用逗号后跟后缀表示空间偏导数；例如，\( \nabla\mathbf{r}_x \) 表示 \( \frac{\partial\mathbf{r}_x}{\partial t} \)。
叠加点表示材料（或拉格朗日）时间导数。对于任何函数 \( f \), \( f_{tt} = f(t)\nabla\mathbf{r} \)。张量 \( \nabla v \) 表示速度梯度 \( \nabla\mathbf{v} \)。设 \( \rho \) 是质量密度。质量守恒导致连续性方程：
\[ \nabla\cdot\mathbf{r} = \rho \]
设 \( \sigma \) 是柯西应力张量（Cauchy stress tensor），\( \vec{F} \) 是单位质量的体力（body force per unit mass）。线性动量守恒导致运动方程：
\[ \nabla\cdot(\mathbf{r} \cdot\mathbf{v}) = \vec{F} \]
我们假设物体是非极性的（non-polar）。角动量守恒则意味着：
\[ \nabla\times\mathbf{r} \cdot\mathbf{v} = \vec{0} \]
设 \( E \) 是单位质量的非动能密度；\( q \) 是热供应，\( q_f \) 是热流。因此，能量密度平衡导致方程：
\[ E + q_f = \nabla\cdot(\mathbf{r} \cdot\mathbf{v}) \]
使用运动方程（4），我们得出能量密度平衡为：
\[ E = \rho\frac{q_f}{T} + \nabla\cdot(\mathbf{r} \cdot\mathbf{v}) \]
设 \( T \) 是绝对温度，\( \rho_E \) 是单位质量的熵密度。熵平衡假设时间导数 \( \frac{d\rho_E}{dt} \)，减去熵供应 \( q_f \) 和熵流 \( q_f \) 的贡献后是非负的。形式上我们需要：
\[ \frac{d\rho_E}{dt} = q_f + \kappa\Delta\theta \]
其中 \( \kappa\Delta\theta \) 是熵产生密度，需要确定。为了技术上的方便，我们用 \( q_f + \kappa\psi(\Delta\theta) \) 表示 \( \nabla\cdot(\mathbf{r} \cdot\mathbf{v} \)，其中 \( q_f \) 是来自系统热力学的经典熵流，\( \kappa\psi(\Delta\theta) \) 是需要根据材料确定的额外熵流。热力学过程是一组时间依赖的场 \( \{F(t), \nabla\mathbf{r}(t)\} \)，满足平衡方程（3）–（6）。作为热力学第二定律，我们假设对于任何物理上可接受的热力学过程，方程（7）成立，其中 \( \gamma \) 是非负的。考虑到（6），我们用 \( \nabla\cdot(\mathbf{r} \cdot\mathbf{v} \) 替换 \( \frac{d\rho_E}{dt} \)，并考虑亥姆霍兹自由能（Helmholtz free energy） \( F \) 来得到：
\[ F = E - \kappa\int_{\Omega}\Omega^{T}\nabla\cdot(\mathbf{r} \cdot\mathbf{v}\nabla\mathbf{r}dV \]
在整个讨论中，我们理解 \( \nabla\cdot(\mathbf{r} \cdot\mathbf{v} \) 和 \( E \) 与文献一致，方程（8）被称为克劳修斯-杜埃姆不等式（CD inequality）。由于函数的数量多于平衡方程的数量，因此热力学过程由一组本构方程补充。因此，克劳修斯-杜埃姆不等式导致物理上可接受的本构方程的选择过程。

**3. 高阶弹性与超应力**
基于有时默认的假设，即应变梯度弹性涉及张量 \( \nabla\mathbf{r}_i \) 或 \( \nabla\mathbf{r}_j \) 作为变量，本构关系对应变梯度的依赖性是由 Mindlin [21] 提出的，用于描述毛细现象，也与 Korteweg 流体有关。
出发点是将第三阶梯度材料定义为具有依赖于 \( \nabla\mathbf{r}_i \), \( \nabla\mathbf{r}_j \) 的自由能的固体。因此，除了其他依赖性（例如温度）之外，我们有：
\[ E(\mathbf{r}, \nabla\mathbf{r}_i, \nabla\mathbf{r}_j) = F(\mathbf{r}_i, \nabla\mathbf{r}_j, T, \partial\theta) \]
根据虚拟功率的一般陈述 [14]，\( \nabla\mathbf{r}_i \nabla\mathbf{r}_j \) 在区域 \(\Omega \) 中的功率表示为：
\[ \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \cdot\nabla\mathbf{r}_j = q_f + \kappa\Delta\theta\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \]
其中 \( q_f \) 和 \( \kappa\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \) 是本构函数。我们注意到（见 [4] 第1.5.1节）：
\[ \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \cdot\nabla\mathbf{r}_j \approx q_f + \kappa\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j - \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \]
利用这些恒等式，我们可以将所称的功率表示为体力项和边界项的总和。基于这些恒等式，我们可以将与应力张量相关的功率表示为：
\[ \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j\cdot\nabla\mathbf{r}_j = q_f + \kappa\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j - \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \]
与力学中通常的类似，n阶张量的散度是通过对最后一个指标求偏导数来计算的。关于在连续体建模中引入超应力的主要评论是：由于涉及依赖于第一应变梯度的能量函数 [22,23]，结论是有效应力具有形式 [8,13]。更一般地 [6,12,21]，使用第二应变梯度，有效应力由下式给出：
\[ \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j\cdot\nabla\mathbf{r}_j = q_f + \kappa\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j - \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \]
Germain [14] 的虚拟功率方法为将体力表示为依赖于应变梯度的线性形式提供了形式基础，例如对于弹性材料（见 [24,25,26,27]）。在下一节中，我们证明不需要引入超应力，就可以通过单一应力张量来建模应变梯度弹性。

**4. 通过单一应力张量的高阶应变梯度弹性**
基于柯西定理关于应力张量存在的结论，对于非极性物体，应力功率 \( q_f \) 可以表示为：
\[ q_f = \nabla\cdot(\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \]
然后我们得出 \( q_f \) 是作用在内部能量上的体力密度。现在建立了两个基于使用应力功率的方案：一个是类似欧拉的（Eulerian-like），使用柯西应力；另一个是拉格朗日的（Lagrangian），应力状态由第二 Piola 应力描述。

**4.1. 通过应变梯度的柯西应力**
考虑应变张量 \( \nabla\mathbf{r} \)。计算时间导数 \( \frac{d(\nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j)}{dt} \)，得到 \( \nabla\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \)。由于 \( \nabla\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \neq 0 \)，则假设 \( \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \approx q_f + \kappa\Delta\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j \) 是合理的。为了方便，参考梯度 \( \nabla\mathbf{r}_i \) 在 \( \nabla\Delta\mathbf{r}_j \)，\( \nabla\Delta\mathbf{r}_j \nabla\mathbf{r}_j \) 的出现表明我们应该以适当的参考形式考虑克劳修斯-杜埃姆不等式（8）。设 \( \nabla\mathbf{r}_i \) 表示参考热流，\( \nabla\mathbf{r}_j \) 表示参考额外熵流。观察到 [4]：
\[ \frac{d\rho_E}{dt} = q_f + \kappa\Delta\theta\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j - \nabla\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j + J\Delta\mathbf{r}_i \nabla\mathbf{r}_j \]
因此，乘以 \( J \) 我们得到：
\[ \frac{d\rho_E}{dt} = q_f + \kappa\Delta\theta\psi(\Delta\mathbf{r}_i\nabla\mathbf{r}_j + J\Delta\mathbf{r}_i \nabla\mathbf{r}_j \]
设 \( \mathbf{R} \) 是变量集，而 \( \psi(\Delta\mathbf{r}_i, \nabla\mathbf{r}_j \) 由（本构）函数给出。在假设函数连续的情况下，这些函数也被假设为可连续微分的。空间质量密度可以通过观察来确定。与假设一致，我们可以应用近似方法来计算，并将其代入（11）式中，得到（12）。线性和任意性意味着（13）。将剩余的方程除以（13）后，我们得到（14）。使用恒等式，我们可以将方程（14）写成（15）的形式，其中（15）中的（某个符号）是由（16）定义的二阶变分导数。根据（13），可以得出（某个符号）与（其他符号）无关。因此，如果（17）成立，那么CD不等式（15）就成立。结果（17）表明，尽管CD不等式对本构函数有严格限制，但单一的Cauchy应力张量可以是应变和应变梯度的非线性函数。此外，目前的程序表明，对更高阶应变梯度的依赖性与热力学是一致的。从技术上讲，应力是（某个符号）的函数，这要归功于非零的额外熵和合适的自由能函数。然而，还需要说明一点：目前的程序涉及到应变及其梯度，因此允许交换这些量。根据（17），额外熵通量在（某些符号）和（其他符号）中是线性的，而这些项是非客观的（参见例如[4]第1.9节）。现在，作为起点，我们使用了关于应力功率的近似。总之，如果用（某个符号）替换（某个符号），则（15）变得客观。正如本节以及下一节所示，应变梯度模型的热力学一致性是通过依赖于（某些符号）和（某些符号）的额外熵通量来获得的。这是因为自由能对应变梯度的依赖性导致了应变梯度的时间导数，然后分部积分产生了应力张量的变分导数和与（某些符号）和（某些符号）成比例的额外熵通量。从力学角度来看，CD不等式中的功率与（某些符号）或（某些符号）成正比，因此如果额外熵通量包含适当的项，CD不等式就成立。

在假设函数连续的情况下，这些函数也被假设为可连续微分的。空间质量密度可以通过观察来确定。与假设一致，我们可以应用近似方法来计算，并将其代入（11）式中，得到（12）。线性和任意性意味着（13）。将剩余的方程除以（13）后，我们得到（14）。使用恒等式，我们可以将方程（14）写成（15）的形式，其中（15）中的（某个符号）是由（16）定义的二阶变分导数。根据（13），可以得出（某个符号）与（其他符号）无关。因此，如果（17）成立，那么CD不等式（15）就成立。结果（17）表明，尽管CD不等式对本构函数有严格限制，但单一的Cauchy应力张量可以是应变和应变梯度的非线性函数。此外，目前的程序表明，对更高阶应变梯度的依赖性与热力学是一致的。从技术上讲，应力是（某个符号）的函数，这要归功于非零的额外熵和合适的自由能函数。然而，还需要说明一点：目前的程序涉及到应变及其梯度，因此允许交换这些量。根据（17），额外熵通量在（某些符号）和（其他符号）中是线性的，而这些项是非客观的（参见例如[4]第1.9节）。现在，作为起点，我们使用了关于应力功率的近似。总之，如果用（某个符号）替换（某个符号），则（15）变得客观。正如本节以及下一节所示，应变梯度模型的热力学一致性是通过依赖于（某些符号）和（某些符号）的额外熵通量来获得的。这是因为自由能对应变梯度的依赖性导致了应变梯度的时间导数，然后分部积分产生了应力张量的变分导数和与（某些符号）和（某些符号）成比例的额外熵通量。从力学角度来看，CD不等式中的功率与（某些符号）或（某些符号）成正比，因此如果额外熵通量包含适当的项，CD不等式就成立。

为了明确起见，我们考虑四阶弹性固体，因为涉及的应变梯度允许达到四阶。因此，我们让（某些符号）作为变量，（某些符号）作为本构函数。为了形式上的简洁，我们让自由能依赖于应变梯度直到二阶（以及一阶的温度梯度），即（18）。假设函数（某个符号）是连续可微分的，而（其他符号）是连续的。使用Coleman-Noll程序[1]，我们现在为具有形式为（18）的自由能的四阶材料建立热力学要求。计算（某些符号）并将其代入CD不等式中后，我们得到（19）。线性和任意性意味着（19），而（某些符号）的值不能被视为（任意且）独立于CD不等式中的其他项，特别是在（某个表达式中）。因此，我们将方程（19）除以（某个符号），得到（20）。为了简化数学形式，我们考虑（21）。函数（某个符号）是Massieu势的相反形式[28]；借用[29]中的术语，我们可以说（某个符号）是Helmoltz自由负熵。使用（21），我们考虑恒等式（某些符号），并引入由（22）定义的二阶变分导数（某个符号）。注意这里（某个符号）可以准确地被视为关于（某个符号）的二阶标准变分导数（参见例如[30]第4章）。因此，（20）可以重写为（23），其中（24）确定了（23）有效性的充分条件，从而确定了特定的热力学一致模型。在这个意义上，一个简单的情形是让（某些符号），其中（某个符号）和（某些符号）分别是四阶、六阶和二阶的半正定张量。对应的熵产生表达式是（某个符号）。将注意力限制在非耗散的Piola应力上。因此，我们假设（某个符号），这样就（某些符号），并且从（24）我们得到（25）。在后缀表示法中，这个本构方程的形式是（某个符号）。根据定义，Cauchy应力（某个符号）在分量中是（某个符号）。让（某些符号）是半正定张量，就可以确定（23）有效性的充分条件。显然，耗散（某个符号）仅由热流引起，而额外熵通量向量（某个符号）是由（某个符号）对应变梯度的依赖性引起的，如果应变是时间独立的，则该向量消失。然而，一般来说，应变率（某个符号）没有任何限制。

如果（某些符号）和（某些符号）在空间上是均匀的，那么（某些符号）因子可以与空间算子（某个符号）交换。例如，如果（26），其中（某些符号）和c是空间均匀参数，那么（27）。从热力学要求（25）可以看出（某个符号）和（某个符号）的对称性，在选定的例子中也是必然的。如果（某些符号）和c在自由能（26）中独立于（某个符号），那么（某个符号）。因此，内能（某个符号）由（某个符号）给出。否则，形式为（26）的自由能，其中（某个符号）独立于温度，但b和c与（某些符号）成比例，给出了形式为（某个符号）的熵函数，然后内能（某个符号）独立于应变梯度。一个更复杂的例子是让Helmoltz自由能定义如下（与[6]中的方程（18）比较）（28）。在分量中，相应的Helmoltz自由负熵是（某个符号），其中叠加的波浪号表示除以（某个符号）。这些假设意味着（某个符号），其中（某个符号）。从一般形式（28）我们得到（某个符号）。然后，由于（22），应力公式（25）给出（参见[6]中的方程（12）（29）。尽管应变梯度的Lagrangian方案在文献中相当不寻常，但通过类比其他方案，可以说（某个符号）代表Piola应力的局部线性形式，而（某些符号）和（某些符号）表示不同阶的超应力。除了对张量（某些符号）、（某些符号）和（某些符号）的解释之外，我们得出结论：进入运动方程的有效应力涉及到应变和偶数阶的空间导数。

higher-order strain gradient theories 推导运动方程是通过对Hamilton原理的应用（参见例如参考文献[6,21,31]及其中的引用）。同时，考虑到与之前的类Cauchy方法的不同，值得重新审视整个过程。设（某些符号）为动能密度，（某些符号）为应变能密度。因此（某个符号）是Lagrangian密度。类比例如[6,7,23]，我们假设（某些符号）。如同[6]中所述，我们设（某个符号）为位移，其中（某个符号）为单位体积的外力，（某个符号）为外部牵引力。未知场（某个符号）假设满足Hamilton原理，即在（某个条件）下使I静止。设（参见例如[32]第4.8节），然后我们假设Hamilton原理的形式为（30）。为了找到（30）的后果，我们注意到当（某个符号）时（某个符号）。因此（某个符号）。设（某个符号），具有明显的对称性（某些符号）。使用恒等式（某些符号），我们可以将（某个符号）消失的形式写为（31）。由于（某个符号）的任意性，我们可以在边界处取（某个符号）和（某个符号）为零，并在（某个条件）处取（某个符号）。因此，（某个符号）意味着（某个符号）。（某些符号）的任意性意味着（32）。如果让我们设（某个符号）为通常的动能，我们发现（32）是运动方程，（33），其中（某个符号）作为有效应力张量。值得注意的是，有效应力张量的结构（34）与第一节中的形式相同，而不是一开始就假设功率涉及超应力。关于变分公式有一些评论。正如文献中的标准做法（参见例如[31,33]），未知场被描述为（某些符号）和t的函数，如同欧拉描述中的情况，其中（某个符号）被视为控制区域。然而，这可以反驳说（某个符号）不是速度。为了克服这个问题，我们可以正式地用（某个符号）作为对流区域，相应地将时间导数视为材料的时间导数。不管对区域的看法如何，质量密度（某个符号）作为一个常数被涉及。

在比较CD不等式和Hamilton原理时，一些结果，如（16）-（17）和（34）所示，可能表明CD不等式和Hamilton原理是替代程序。然而，这两种程序在概念和形式上存在着根本的不同。从概念上讲，Hamilton原理源自分析力学，并导致平衡方程（参见例如[33]第7.7.3节）。相比之下，CD不等式预先假设了平衡方程并选择了可接受的本构方程。形式上，经典的作用Lagrangian变分，用（某个符号）替换（某个符号），涉及未知场的变化。通用项（某个符号）然后是（某个符号）或（某个符号）。相反，CD不等式涉及相关势函数的材料时间导数（某个符号），而（某个符号）。实际上，对于对梯度的依赖性，变分满足恒等式（某些符号），而（某个符号）的时间导数提供了（某些符号）。此外，在变分公式中，分部积分直接导致边界项。在CD不等式中，类似的边界项通过额外熵通量出现，这涉及到温度（某个符号）和质量密度（某个符号）。只有当（某个符号）和（某个符号）是均匀的时候，两种程序中的边界项在形式上才是相同的。

在模拟弹性材料的非局部性质时，涉及应变梯度的方案展示了一些有趣的概念问题。由于弹性特性，应力对应变梯度的依赖性必须来自适当的自由能势。然而，这反过来要求应力功率具有形式为（9）的形态，其中包含应变梯度时间导数的相应项之和。在某些方法中，这种应力功率的一致性是通过虚拟功率的声明来证明的，其中单个应力项被称为超应力。通过变分声明（第5节），也得到了类似的方案。在这两种情况下，应力（某个符号）都具有形式（34），通过超应力。然而，这两种方法都不属于任何热力学分析。相反，如第4节所示，允许使用热力学方案，其中（某个符号）作为（体）应力功率，而不依赖于超应力，通过让自由能，从而应力是Green-Lagrange应变张量梯度的函数。欧拉版本是作为Lagrangian方案的近似。最终发现应力张量具有变分导数的形式，尽管如果温度场不均匀，则会有额外的项。实际上，已经表明，来自热力学限制的动力学方程等同于Massieu势的变分方法产生的方程。本文的结果是，即使对于非简单连续体，如应变梯度弹性固体，也可以通过对热力学第二定律的详细分析来建立热力学一致的模型，同时保持平衡定律的经典形式。至于应变梯度模型的其他方法，我们提到[18]，其中应力功率涉及超应力，运动方程假设（某个符号）作为有效应力。形式上的区别在于依赖于曲率张量（某个符号），而不仅仅是（某个符号）。在[16]中，应用了Liu的程序，假设内能u具有形式（某个符号），其中e是标准内能。除了耗散项之外，结果表明应力（某个符号）受到本构方程的约束（某个符号）。对内能的不寻常假设导致了应力（某个符号）的不寻常本构方程，这值得特别关注。