使用自消像差光栅设计视场偏转器并分析其衍射效率 谢娜（Na Xie）， 傅景义（Jingyi Fu）， 吴云安（Yunan Wu）， 谢冰清（Bingqing Xie）， 马宁（Ning Ma）， 常军（Jun Chang）

《Photonics》：Design and Diffraction Efficiency Analysis of Field-of-View Deflectors Using Self-Achromatic Grism Na Xie, Jingyi Fu, Yunan Wu, Bingqing Xie, Ning Ma and Jun Chang

　　摘要 场偏转光学元件在各种高分辨率和可扩展视场（FOV）的光学系统中发挥着重要作用。在我们之前的工作中，我们提出了一种自消色差的双面光栅（DFG）配置，该配置能够实现场偏转。在本文中，为了有效地指导DFG衍射微结构的设计和制造，我们基于标量衍射理论分析了光在DFG内的衍射过程，建立了DFG的衍射效率模型，并提出了一种优化方法，以在提高所有视场（FOVs）的衍射效率的同时，最小化波段内的衍射效率变化。按照这种设计方法，专门设计了两种用于3–5 μm波长的DFG：一种适用于4.4°视场且偏转角度为1.6°，另一种适用于40°视场且偏转角度为15°。进一步的优化将带宽积分平均衍射效率（BIADE）提高到0.93以上，并将波段内的衍射效率变化降低了23.5%和48%。基于公差分析模型，我们对所设计的DFG进行了公差分析。在考虑制造误差后，这两种元件的BIADE在所有视场中仍可超过0.86，保持了较高的衍射效率。结果表明，这种方法可以有效指导衍射微结构的设计和制造。

1. 引言
随着各种新技术的不断涌现和应用，对成像系统的性能要求越来越高，包括更大的视场（FOV）和更高的分辨率。成像系统设计中的一个长期挑战是扩大大视场，而场偏转光学元件在其中起着关键作用。为了减小整体系统的尺寸和功耗，主要的视场扩展方法是使用Risley棱镜作为场偏转组件，通过电驱动Risley棱镜来调整成像光学系统的瞬时视场。这种方法依次捕捉不同子场的图像，然后将它们拼接成全景图像[1,2,3]。然而，使用Risley棱镜作为场偏转元件的主要缺点是它们的固有色差，表现为横向色差，这在使用旋转对称的成像光学系统时难以补偿。因此，实现自消色差的技术挑战限制了它们在宽带成像中的应用，主要局限于单色系统。

近年来，衍射光学的技术创新显著提高了经典光学设计的性能[4,5,6,7]。同时，它们也为解决Risley棱镜的色差问题提供了更多可能性。例如，Chen提出了结合消色差棱镜和消像差棱镜与衍射光栅的方案[8,9]。Weber等人在ZnSe棱镜的表面制造了蚀刻衍射光栅，并开发了一种包含衍射校正模块的双棱镜扫描系统[10]。棱镜-光栅混合光学元件因其低色散和紧凑的结构而得到广泛应用[11,12,13,14]。然而，由于衍射表面的色散与光学材料的色散之间存在差异，这种棱镜-光栅结构在用于小视场和大口径的光学系统中的视场偏转时，其自消色差性能较差。Nie Xin等人进一步建立了旋转双光栅棱镜的数学模型[15]。为了解决视场偏转条件下的色差问题，我们之前提出了一种基于单棱镜的自消色差双面光栅-棱镜（DFG）结构[16]。这种结构通过棱镜前后衍射表面之间的相互色散抵消实现了自消色差。与Chen和Weber提出的方法相比，本文提出的消色差配置可以应用于窄视场大口径和宽视场小口径的光学系统的视场偏转。尽管在那篇论文中提出了确定DFG自消色差参数（包括顶角、两个衍射表面的周期、衍射级数和残余色差）的方法，但该研究缺乏对衍射微结构设计方法及其衍射效率的分析，使得直接进入实际制造阶段变得困难。

由于其特征尺寸明显大于入射光波长，DFG可以使用标量衍射理论进行有效分析，这满足了设计和精度要求。其结构与双层衍射光学元件（DLDOEs）非常相似，因此DLDOEs的衍射效率分析和方法可以很大程度上作为参考。例如，Xue[17,18]研究了DLDOEs中衍射效率与波长之间的数学关系，并提出了一种带宽积分平均衍射效率（BIADE）最大化方法。Mao[19]引入了一种基于角-带宽积分平均衍射效率的微结构高度优化方法，分析了波长和场角对DLDOEs衍射效率的影响。由于衍射表面在不同波长下的衍射效率存在显著变化，某些波段的衍射效率可能会大幅降低，从而降低了光学检测系统在这些波长下对具有显著辐射特性的目标的检测能力。为了避免这种情况，需要最小化波段内的衍射效率差异。

在本文中，为了促进DFG的实际制造和应用，我们基于标量衍射理论分析了光在DFG内的衍射过程，建立了DFG的衍射效率模型，并提出了一种优化方法，以在提高所有视场（FOVs）的衍射效率的同时，最小化波段内的衍射效率变化。同时，我们使用所提出的方法设计了两种DFG的衍射微结构，并对设计结果进行了公差分析。第2节介绍了DFG的衍射效率模型，包括衍射效率计算模型、衍射效率优化模型和公差分析模型。第3节和第4节介绍了两种DFG的衍射微结构的最佳设计及其衍射效率和公差特性的分析。第5节进行了讨论。

2. DFG衍射微结构的设计理论
2.1. 衍射效率计算模型
我们在参考文献[16]中提出的自消色差DFG的配置如图1a所示[16]。这种配置涉及在光学棱镜的正面和背面蚀刻光栅表面，通过两次光栅衍射实现自消色差，并通过调整入射角到光栅上的顶角来实现场偏转。使用DFG实现场偏转角度的光线传输过程如图1b所示[16]。
（a）DFG的结构以及通过DFG实现光线偏转和聚焦的过程。
（b）光线通过DFG时的自消色差衍射过程。该系统在以为中心的波段内工作。角度定义如下：FOV；来自光栅1的入射角；来自光栅1的衍射角：；来自光栅2的相应衍射角：；。
（c）图例。我们使用标量衍射理论设计了DFG，衍射光学元件的衍射微结构通常由多级相位光栅表示。多级相位光栅具有多步衍射微结构，衍射效率随着步数的增加而逐渐提高。对于顶角为A的DFG，其多级相位光栅的结构如图2所示，其中齿高d大约等于N级微结构高度之和，即。
图2. DFG衍射表面轮廓及其多级衍射微结构的示意图。当两束光线以入射角α斜入射到DFG上时（即FOV），相邻子周期上产生的相位差异可以表示为
(1)
其中λ是波长，n1(λ)是入射介质的折射率，n?(λ)是DFG基板材料的折射率，n2(λ)是出射介质的折射率。如图3所示，y1和y2分别表示光线在DFG第一个衍射表面两侧的光程差；y3和y4表示光线在DFG第二个衍射表面两侧的光程差。
图3. 斜入射光通过DFG相邻子周期的情况。α是当前的入射角；A是DFG的顶角；，，和是光线在DFG每个衍射表面处的入射角和出射角。我们将光线的顺时针旋转角定义为“?”，逆时针旋转角定义为“+”。与多级相位衍射光栅的衍射效率推导类似，DFG子周期的相位延迟表达式可以从方程(1)获得[20]。
(2)
然后可以在一个周期T内获得N级相位光栅的相位延迟[20]
(3)
设，其中d0是衍射光栅的齿高。假设衍射级数为m，设计波长为，设计视场为。根据标量衍射理论[20]，当N→∞时，可以使用多层衍射光学元件的衍射效率公式来确定齿高d0[4]。
(4)
将方程(4)代入方程(2)和(3)，得到不同波长和不同入射角下的相位延迟[5]
根据衍射光学元件的衍射效率公式，DFG的衍射效率公式为[20]
(6)

2.2. 衍射效率优化模型
根据方程(3)–(6)，通过优化设计波长、设计视场和衍射光栅齿高d0，可以进一步提高DFG的衍射效率。因此，我们取、和d0作为优化变量，并通过设计一个收敛的目标函数来获得最佳微结构高度d，以提高DFG的衍射效率。
通常，带宽积分平均衍射效率（BIADE）用于表征衍射光学元件的宽带衍射性能。BIADE表示为[17]
(7)
其中和表示实际光学系统的最小和最大波长，表示m阶的衍射效率，表示DFG的BIADE。较大的表示元件在宽波段内的衍射效率较高。
由于衍射表面在不同波长下的衍射效率存在显著变化，某些波段的衍射效率可能会大幅降低，从而降低了光学检测系统在这些波长下对具有显著辐射特性的目标的检测能力。为了避免这种情况，需要最小化波段内的衍射效率差异。因此，引入了波段衍射效率的标准差（SDWD）来评估不同波长的衍射效率差异：
(8)
其中S是设计波长范围内的波长样本数量，是第i个波长的衍射效率。
最后，为了平衡和的提高以及的减少，定义了收敛目标函数f为
(9)
其中b和k是和的权重系数。
DFG衍射微结构的优化过程如图4所示。首先，根据DFG的初始配置输入优化变量的初始值、和。然后，定义了优化变量的优化区间、和。随后，我们使用方程(6)和(9)计算所有优化变量在其各自优化区间内的f的最小值。然后，通过找到min(f)可以确定相应的齿高d、设计入射角和设计波长。这些齿高d、设计入射角和设计波长就是优化结果。最后，完成了DFG的双面高度赋值（即d1 = d和d2 = ?d），从而完成了DFG衍射微结构的优化。
图4. DFG优化流程图。

2.3.根据DFG的结构特性，我们从齿高误差、占空比误差、周期误差和双面侧向对准误差等方面对DFG进行了公差分析。由于齿高对应于亚微米级的微结构，可以通过电子束光刻（EBL）、反应离子刻蚀（RIE）等工艺实现纳米级精确控制，齿高的重复性和均匀性可以稳定控制在±0.01 μm范围内。在 diffractive 光学元件和光栅的制造过程中，周期定位误差可以通过光刻、激光直写和精密对准工艺控制在1–5 μm范围内。槽角误差可以通过精密光刻和对准来调节，一般的加工精度为±0.1°至±0.3°，这可以通过角度测量和校正加工来保证。在光刻图案转移和刻蚀过程中，线宽和占空比的控制精度通常可达3–5%。

a. 齿高误差（Δh）
将齿高误差加到DFG两侧的衍射微结构d1和d2上后，根据方程（4）–（6）建立的包含误差的衍射效率计算公式如下：
(10)

b. 占空比误差（Δf）
通常微结构的占空比设置为0.5。占空比偏离0.5的程度越大，衍射效率的降低越显著。引入占空比误差的衍射效率公式如下：
(11)

c. 周期误差（ΔT1 和 ΔT2）
周期误差指的是两个衍射表面上周期的制造误差。引入周期误差后的衍射效率公式为：
(12)

d. 双面侧向对准误差（ΔΦ 和 ?y）
双面侧向对准误差包括两个衍射表面围绕光轴的相对旋转误差（即槽角）ΔΦ和周期对准误差?y。两个衍射表面围绕光轴的相对旋转误差导致的衍射效率降低通常与光束直径有关：角误差越大，光束直径越大，衍射效率的降低越显著。引入双面侧向对准误差的衍射效率公式如下：
(13)

3. 窄视场偏转设计示例
3.1. 衍射微结构设计与优化
根据第2节中的设计理论，我们完成了参考文献[16]中DFG元件的最优设计。初始视场（FOV）为±2.2°，偏转后的FOV范围从?3.6°到+0.8°。基于参考文献[16]中对DFG基本参数的优化，分解元件的设计要求列在表1中。
表1. 设计要求
根据表1中的设计要求，初始设计波长确定为4 μm，初始设计FOV为?1.4°，顶角A = 0.4°，衍射级数m = 1，n1 = n2 = 1。元件的基板材料为硅，根据硅的柯西色散公式计算得到n = 3.42。然后使用方程（3）计算出初始微结构高度d0为0.83 μm，因此d1 = 0.83 μm和d2 = ?0.83 μm。根据方程（4）–（6）计算了不同FOV和不同波长的衍射效率。由于FOV范围较小，不同FOV之间的衍射效率分布几乎没有差异。
图5a显示了?1.4° FOV下不同波长的衍射效率，其中最小衍射效率为0.683，最大衍射效率为1。计算得出α=0.928，范围为0.317，β=0.0773。
图5. ?1.4° FOV下不同波长的衍射效率。(a) 初始衍射效率曲线；(b) 优化后的衍射效率曲线。
然后我们使用第2.2节中介绍的优化模型对DFG的衍射微结构进行了优化。在此优化中，的优化区间为(3.8, 4.2)，的优化区间为(?3, 0.2)，的优化区间为(0.75, 0.9)。此处波长采样点数S设置为100。在收敛目标函数f中，b = 1且k = 0.2。优化前，目标函数的值为f = 0.092。优化后，目标函数降低到f = 0.073，同时微结构高度优化为d = 0.78 μm，其他参数保持不变。
图5b显示了?1.4° FOV下不同波长的优化后衍射效率，其中最小衍射效率为0.8，最大衍射效率为1。计算得出α=0.932，范围为0.203，β=0.0591。范围减少了35%，减少了23.5%。优化后，DFG的性能满足了设计要求。

3.2. 公差分析
根据第2.3节中总结的几个误差，我们将制造误差添加到了上述DFG模型中。误差值及其对应的场平均BIADE降低效果列在表2中。
表2. 公差分析结果
不同误差下每个FOV的BIADE变化曲线显示在图6a中。每个FOV的理想BIADE为0.932，加入误差后降低到0.882。加入误差后不同波长的衍射效率变化显示在图6b中。每个波长的衍射效率可以超过0.66。
图6. 公差分析结果。(a) 不同误差下每个FOV的BIADE；(b) 加入误差后不同波长的衍射效率变化。其中齿高误差为0.04 μm，周期误差为5 μm，这两种误差都可以通过现有加工技术实现。

4. 宽视场偏转设计示例
4.1. 衍射微结构设计与优化
为了进一步分析DFG的衍射效率性能，我们使用参考文献[16]中描述的方法设计了宽视场偏转的DFG。初始FOV为±20°，偏转后的FOV范围从?5°到+35°。分解元件的设计要求列在表3中。
表3. 设计要求
根据表3中的设计要求，初始设计波长确定为4 μm，初始设计FOV为15°，顶角A = 5°，衍射级数m = 1，n1 = n2 = 1，元件的基板材料为硅。根据方程（3）计算出初始微结构高度d0 = 0.81 μm；因此d1 = 0.81 μm和d2 = ?0.81 μm。根据方程（4）和（5）计算了不同FOV和不同波长的衍射效率，并显示在图7a中。根据方程（7）计算出的不同FOV的BIADE显示在图7c中。可以看出，随着FOV角度的增加，BIADE减小，其中最大值为?5°时的0.931，最小值为35°时的0.904。
图7e显示了35°下不同波长的衍射效率，其中最小衍射效率为0.551，最大衍射效率为1，范围为0.452，σ = 0.1217。
图7. 衍射效率分布。(a) 不同FOV和不同波长的初始衍射效率分布。图例中的红色矩形表示衍射效率分布的平均值；(b) 不同FOV和不同波长的优化后衍射效率分布。图例中的红色矩形表示衍射效率分布的平均值；(c) 不同FOV的初始BIADE；(d) 不同FOV的优化后BIADE；(e) 35°下不同波长的初始衍射效率；(f) 35°下不同波长的优化后衍射效率。
然后我们使用第2.2节中介绍的优化模型对DFG的衍射微结构进行了优化。在此优化中，的优化区间为(3.8, 4.2)，的优化区间为(10, 20)，的优化区间为(0.75, 0.9)。此处波长采样点数S设置为100。在收敛目标函数f中，b = 1且k = 0.2。优化前，目标函数的值为f = 0.085。优化后，目标函数降低到f = 0.073，同时微结构高度优化为d = 0.77 μm，其他参数保持不变。
不同FOV和不同波长的优化后衍射效率计算并显示在图7b中。不同FOV的优化后BIADE显示在图7d中，所有FOV的BIADE值达到0.931。
图7f显示了35°下不同波长的衍射效率，其中最小衍射效率为0.746，最大衍射效率为1，范围为0.254，σ = 0.0632。因此，范围减少了44%，σ减少了48%，这表明优化的元件参数满足了设计要求。

4.2. 公差分析
根据第2.3节中总结的几个误差，我们将制造误差添加到了上述DFG模型中。误差值及其对应的场平均BIADE降低效果列在表4中。
表4. 公差分析结果
不同误差下每个FOV的BIADE变化显示在图8a中。35°时BIADE的变化最为显著，理想BIADE为0.931，加入误差后降低到0.864。
图8. 公差分析结果。(a) 不同误差下每个FOV的BIADE；(b) 加入误差后不同波长的衍射效率变化。
加入误差后35° FOV下不同波长的衍射效率变化显示在图8b中，每个波长的衍射效率均保持在0.54以上。其中齿高误差为0.04 μm，周期误差为20 μm，这两种误差都可以通过现有的制造工艺实现。
图9展示了加入误差前后每个FOV和每个波长的衍射效率比较。
图9. 衍射效率分布的比较。(a) 加入误差前每个FOV和每个波长的衍射效率分布；(b) 加入误差后每个FOV和每个波长的衍射效率分布。

5. 讨论
基于标量衍射理论，我们分析了DFG中光线的衍射过程，建立了DFG的衍射效率模型，并提出了一种优化方法，以在最小化波段内衍射效率变化的同时提高所有FOV的衍射效率。利用这种方法，完成了3–5 μm波段内4°和40°瞬时FOV的两个DFG设计。优化后，两个DFG的BIADE增加到0.93以上，带宽衍射效率的标准差分别减少了23.5%和48%。设计结果表明，该方法可以有效指导DFG衍射微结构的设计。
此外，基于公差分析模型，我们对设计的DFG进行了公差分析。结果表明，加入制造误差后，两个元件在所有FOV下的BIADE都可以超过0.86，保持了高衍射效率。
本文提出的优化设计方法补充了DFG衍射微结构设计和衍射效率分析的研究，为DFG的实际制造和应用提供了理论支持。在未来的工作中，我们将专注于DFG的实际制造，对制造的元件进行色差分析和衍射效率分析，并进一步完善设计优化模型。