在低光子条件下，针对水下光子计数激光雷达的走离误差校正进行优化 王尊辉， 王一成， 马庆丽， 吴艳华

《Photonics》：Optimization of a Range Walk Error Correction for Underwater Photon Counting LiDAR Under Low-Photon Conditions Zunhui Wang, Yicheng Wang, Qingli Ma and Yanhua Wu

　　摘要

在水下门控时间相关单光子计数（TCSPC）激光雷达中，当弱目标回波与强后向散射共存时，该技术具有优势。然而，在第一光子触发和SPAD死时间机制下，估计的飞行时间会依赖于返回信号的强度，从而导致测距误差（RWE）。本文开发了一种基于条件校准的校正框架，用于低光子条件下的累积直方图测距。一种非均匀泊松第一到达模型综合考虑了门控信号光子和门内背景触发，从而得出了总触发概率和条件第一到达时间的可计算表达式。在???????≈0附近的的一阶展开下，当前系统-水条件下的RWE–???????关系近似为线性。结合基于密度的信号窗口定位方法和噪声遮挡补偿的???????估算器，并利用参考平面差分校准进行校正。在10米深的透明淡水池中的实验表明，平均绝对误差从39.205毫米降低到2.130毫米，提高了94.57%。与高光子条件下的二次模型相比，所提出的线性模型在低光子区域（???????<1.6）产生的残差误差小一个数量级。

1. 引言

基于时间相关单光子计数（TCSPC）的光子计数激光雷达结合了单光子灵敏度和皮秒级的时间标记能力，即使在极弱回波或明显背景噪声的情况下也能实现精确的测距和3D成像[1]。通过记录光子到达时间并将它们累积到时间直方图中，即使只检测到少数信号光子，仍可以推断出有用的飞行时间信息，从而提高几何重建的准确性[2,3]。实际上，光子计数激光雷达通常采用盖革模式的“第一光子触发+死时间”机制。除了随机波动外，这种机制还会引入依赖于回波强度的系统性测距漂移。特别是在强回波或复杂背景下，死时间引起的堆积和直方图变形会改变触发统计特性，并使估计的飞行时间产生偏差；这种偏差随信号光子数量和背景水平而变化[3,4,5]。为了扩展有效工作范围，已经探索了阈值光子数分辨检测及相关估算策略，以改善不同光子通量条件下的性能[6]。同时，还开发了针对高背景下的混合统计特性的失真抑制方法，以减少提前噪声触发和深度估算中的统计偏差[7]。

水下的光传播受到强吸收和多次散射的挑战。水柱后向散射、气泡、悬浮颗粒和环境光会降低信噪比，扩大系统响应范围，并导致检测到的光子计数产生较大波动。折射、表面起伏和多路径传播等其他因素进一步复杂化和时变误差源。因此，由于其对手册下弱回波的敏感性，光子计数方法受到了关注。Hua等人通过结合信号/噪声分离和先验模型来校正水下光子计数成像中的系统性偏差[8]。后续研究通过共轴扫描中的时空相关性处理提高了成像精度[9]，并开发了完全浸没的TCSPC系统和多通道采集架构，以增强水下的操作稳定性和数据一致性[10,11]。此外，特定于水下的噪声抑制策略，如基于偏振的后向散射拒绝、单光子水下激光雷达测量光学参数（例如，光束衰减系数）以及紧凑型水下单光子成像原型进一步表明，实际应用必须同时解决噪声抑制和时间误差校准问题[12,13,14]。

在各种误差机制中，测距误差（RWE）是限制高精度水下测距的关键因素。它通常表现为随返回光子数量变化的系统性测距偏差。本质上，在第一光子触发下，返回光子统计特性的变化——特别是信号初级光电子的平均数——会使统计上的首次检测时间提前于实际飞行时间。水下衰减、浊度波动和目标反射率差异会进一步放大这种效应，使其成为测距精度和3D成像一致性的主要瓶颈。为了补偿RWE，以往的研究提出了包括校准映射、统计建模、硬件辅助方案和波形域校正在内的多种方法。典型的例子包括通过触发/响应率校准映射进行深度补偿[15]；考虑泊松到达、死时间和时间抖动的理论模型和改进[16,17]；针对阈值架构的RWE–光电子关系的查找表补偿[18]；以及全波形或基于表面形状的校正[19,20]。最近的陆地激光雷达研究也表明，即使目标静止，依赖于反射率的偏差和时间稳定性也会变得实际重要[21,22]。尽管如此，在低光子条件下，水下操作仍存在局限性。强后向散射和脉冲展宽使得仪器响应和首次检测统计特性对浊度和门控更加敏感，因此固定先验在不同条件下的适用性较差。现有的水下校正通常依赖于从仪器响应函数导出的高阶先验曲线来抑制成像“步进”[8,9]，但往往缺乏专门的低光子校准和对系统性与随机时间误差的明确讨论。此外，底层测距误差机制并非水下激光雷达所独有；水下特有的校准场景在于水介质会重塑门内的波形和背景统计特性。因此，我们将本工作定义为一种针对低光子条件下的条件校准方法，而不是建立在水下特有的物理效应基础上的。

为了解决这些差距，本文重点关注TCSPC光子计数激光雷达中RWE与信号初级光电子平均数之间的映射，并开发了一种适用于低光子条件的建模和校正程序。主要贡献如下：（1）在非均匀泊松第一到达框架内，我们明确区分了总触发概率和仅信号触发概率，并将水下背景触发纳入模型；（2）我们推导了低光子条件下RWE–关系的线性近似表达式；（3）我们提出了一种具有噪声遮挡补偿和参考平面差分校正的实际估算器；（4）我们在水下测距实验中验证了该方法，并将其与高光子条件下常用的二次校正模型进行了比较。该方法适用于累积直方图TCSPC测量，而不是用于快速移动的非合作目标的单次测距，预计能为后续的激光雷达感测、图像重建、3D重建和定量测量提供更准确和稳定的距离信息。

2. 水下测距误差的机制和建模框架

在“第一光子触发+死时间”的TCSPC操作模式下，本节建立了低光子条件下水下测距的测距误差统计模型。与自由空间传播不同，水下吸收和多次散射同时重塑了返回波形并提高了背景触发水平：一方面，目标回波变得宽化并产生长尾；另一方面，水柱后向散射、探测器暗计数和环境光在门内引入了近似连续的噪声到达率。这些因素共同将“首次检测时间”提前于实际的往返飞行时间，导致系统性测距偏差。在本手稿中，本节旨在阐明RWE的物理机制及其对测量条件的依赖性，而实际使用的校正系数则通过第4.3节描述的参考平面差分校准来确定。

2.1. 门内的信号初级光电子和背景光子统计

假设一个门控检测方案，其门窗口为。设t表示门相对时间。在一个脉冲重复周期内，如果该周期内没有检测到信号，则不产生t记录。门内的光子到达过程被建模为一个非均匀泊松过程，其瞬时率为目标信号和背景噪声的叠加：

(1)

其中代表水下目标回波的信号诱导到达率。它不仅取决于目标反射率和系统光电效率，还隐含了水中的双向衰减和散射引起的时域扩展。为了将模型与实验可观测量联系起来，定义了门内的信号初级光电子的平均数（即平均信号光子数）为：

(2)

背景到达率主要包括探测器暗计数、环境照明和水柱后向散射。对于此处考虑的实验配置（窄带滤波和短门），门内的背景可以近似为常数（如果近场后向散射随时间显著变化，则可以使用分段常数或指数衰减近似）。因此，门内的背景光子数为：

(3)

在第一光子触发下，在脉冲重复频率内至少观察到一次检测事件的概率为：

(4)

方程(4)有意写为总触发概率，而不是仅信号检测概率。因此，当但背景非零时，仍然非零，因为仍可能发生背景触发。这种区分对于水下操作很重要，因为在水下不能忽略残余后向散射。

2.2. 第一光子触发统计和测距误差的定义

对于非均匀泊松过程，有限门内的首次到达时间首先由首次到达子密度描述[16,17]：

(5)

由于方程(5)在有限门上积分，所以在至少发生一次触发的条件下，条件分布可通过归一化得到：

(6)

设真实距离为。水中的光速为，其中是水介质的折射率。相应的理想往返飞行时间为：

(7)

如果使用首次检测时间的条件期望作为飞行时间估计（等效于许多脉冲重复频率上的“首次触发时间”的样本均值），则为：

(8)

测距误差的时域和范围域定义分别为：

(9)

(10)

3. 水下TCSPC系统和实验配置

为了在光子匮乏条件下获得稳定且可重复的第一光子统计，开发了一种基于门控时间相关单光子计数（TCSPC）的水下光子计数激光雷达平台，如图1所示。使用532纳米脉冲激光作为光源。发射的光束首先通过99:1分光器（BS）分离，1%的反射成分被引导到PIN光电二极管上。经过脉冲调节和波形整形后，光电二极管输出TTL信号，作为系统的启动同步信号，从而定义每个脉冲重复间隔的时间参考。剩余的光学能量通过光学衰减器组件（OA）调节，然后通过围绕轴外抛物面镜（OAP）形成的同轴光路传递到水下目标。在返回路径上，目标回波沿着相同的光轴传播，通过窄带滤波器（NBF）和聚焦透镜（FL）以提高背景抑制和光学耦合效率，最终由单光子雪崩二极管（SPAD）记录。在参考激光器触发的预设延迟后，范围门控生成器发出门控信号，从而将检测限制在预期的回波到达窗口内，而TCSPC模块则数字化每个脉冲重复间隔内首次检测到的事件的到达时间。

图1. 光子计数激光雷达的实验设置示意图。为了清晰起见，图1中采用的图形约定在此明确说明。深绿色线条和箭头表示从发射器到目标的发射光路，浅绿色表示从目标返回到接收器的反射光路，黑色线条表示用于同步、触发、门控和信号读出的电气互连。这种统一的表示方法将光传播与电子定时链分开，使得系统架构和工作原理能够更直接地从示意图中理解。

采用同轴发射-接收几何结构，以最大化回波耦合效率并减少与对准误差相关的水下测距不稳定性。通过结合时间门控和窄带光谱滤波，系统有效地抑制了由近场后向散射、环境照明和寄生杂散光引起的无效触发。SPAD以盖革模式运行，仅记录每个重复间隔内的首次触发时间戳；然后从大量重复周期的集合中重建到达时间直方图。这种采集策略是本研究的核心，因为得到的直方图直接反映了低通量条件下控制测距误差形成的第一光子统计特性。

实验在10米深的透明淡水池的静态实验室条件下进行，真实目标距离约为9.11米。误差分析中使用的硬件模型和时相关规格总结在表1中，主要采集参数和环境条件列在表2中。水下门控TCSPC激光雷达的硬件配置和关键时间相关规格。表2. 水下验证实验中使用的采集和环境设置。在当前系统中，激光脉冲宽度主要决定了仪器的响应特性，SPAD的死时间会影响距离走动误差的物理形成，而TDC量化以及延迟发生器的抖动主要导致了校准后的残余误差。由于后续的校正基于参考平面的差分校准，由触发链、电缆布线和TDC零点参考引入的最为稳定的共模延迟在很大程度上被抵消了，因此预计它们不会主导预校正的厘米级偏差。第5.3节将提供基于这些规格的定量估计。4. 低光子条件下的距离走动误差精细模型。传统的RWE补偿通常采用RWE关系的二次多项式近似。然而，我们的实验数据表明，在低光子条件下，二次模型实际上退化为近似线性函数，其二阶项的贡献可以忽略不计。因此，对于水下低光子操作（在本工作中通常如此），我们构建了一个便于工程实现的RWE模型，并提出了一种基于参考平面的线性校准方法。与自由空间情况相比，水下吸收和多次散射改变了回波波形（变宽和长尾），并显著增加了门内的背景触发率，使得首次光子触发更容易受到“噪声优先”遮挡和水中条件变化的影响。因此，我们在保持低光子条件下线性模型可解释性的同时，将水下特有的波形不对称性和背景遮挡纳入了参数估计和校准步骤中。4.1. 低光子条件下RWE-Npe关系的线性化。当门宽足够短以防止堆积现象时，RWE通常表现出与Npe的近似线性依赖关系。为了得到可用于校正的解析形式，信号到达率被表示为（11），其中是门内回波的标准化时间形状（包括系统的IRF和散射引起的展宽和尾部）。设表示累积信号形状，并定义累积背景强度为（12）。使用方程（5）、（6）和（8），条件平均首次触发时间可以围绕展开为（13），其中是在仅背景触发条件下的平均首次检测时间。它仅在仅有背景触发事件具有非零概率时才定义：（14）。一阶系数量化了在注入弱信号光子时条件平均触发时间的漂移率。保留分子展开和归一化项可以得到（15）。将方程（13）代入方程（9）和（10）后，得到低光子条件下的以下近似线性校正表达式：（16）。符号和强调了拟合的斜率和截距是条件依赖参数，而不是通用常数。如果水条件变化仅改变回波幅度而不改变波形形状和门内背景水平，则这种效应会被测量值吸收。相比之下，如果浑浊度也改变了脉冲展宽、尾部或门内后向散射背景，则斜率和截距都会发生变化，校准需要更新。为了使条件依赖性更加明确，当水介质由光束衰减系数参数化时，方程（16）中的信号初级光子项可以分解为（17），其中吸收了传输脉冲能量、接收器几何形状、光学透过率和光电效率；是工作波长下的目标反射率；表示展宽的水下回波的门捕获因子。波形形状项和门内背景项可以表示为（18）和（19）。因此，方程（16）中的一阶线性系数可以解释为（20）。由此可见，如果水条件主要通过改变回波幅度而几乎不改变、和，则这种效应会被测量值吸收，拟合的RWE-线变化不大。相反，如果也改变了EMG宽度、散射尾部、门捕获因子或门内后向散射项，则a和b都会发生变化，校准需要更新。在当前的清澈水槽实验中，用作水条件的紧凑描述符，而不是作为一个独立反转的测量变量。4.2. 水下低光子数据中RWE和Npe的实际估计。为了支持在低光子条件下对水下光子计数激光雷达的距离走动误差进行建模和校正，本小节描述了数据采集和噪声处理流程。水下数据的一个特点是目标回波由于吸收和多次散射而变宽和有尾部，而暗计数、环境光和后向散射会在门内引入近似随机的噪声触发。核心挑战在于信号光子集中在一个狭窄的时间间隔内，而背景光子几乎随机地穿过门，并且其幅度可能相当。如果在整个门上计算首次触发时间的统计量，早期的噪声触发将系统性地遮挡后续信号，从而偏置飞行时间估计和光子数估计。因此，我们采用了两阶段“分离估计”程序：将直方图分解为信号触发和噪声触发部分，明确补偿了噪声遮挡效应，并计算了测量的回波时间和。 （1）信号窗口的密度驱动定位。将门离散化为K个时间区间，直方图计数用表示。使用宽度为w的滑动窗口沿时间轴计算局部总和。满足条件的区间被视为候选信号区间，然后通过连通性合并以获得最终的信号区间。 （2）信号/噪声分解和飞行时间估计。设信号区间从长度为m的区间l开始，并用表示该区间内的计数。为了适应散射引起的峰宽，我们使用加权质心估计测量到的回波时间： （22） （3）检测概率和估计（考虑噪声遮挡）。在单次曝光中，累积了N次脉冲重复频率。通过归一化信号区间内的总计数得到信号触发概率： （23）在信号到达之前，估计带头区间内的噪声触发概率，并相应地恢复无遮挡情况下的等效信号触发概率： （24）在泊松到达假设下，门内信号初级光子的平均数量为 （25）方程（24）必须满足物理区间。当低计数或背景估计不确定性使超出该区间时，相应的样本被视为超出估计器的有效工作范围，而不是将其纳入方程（25）。现在明确这一实际限制，以避免审稿人指出的非物理对数问题。由于上述估计器中明确考虑了“噪声优先触发”，即使在强后向散射情况下也能保持的跨条件可比性。在估计和之后，可以解决后续的RWE校准和补偿模型。为了获得数值上可处理且与水下回波形态一致的表达式，使用指数修正的高斯（EMG）来模拟目标回波的等效时间响应，这可以从物理上解释为“高斯系统抖动”和“由水下散射引起的指数尾部”的卷积[23,24]： （26），其中反映了系统抖动和水下传播展宽的综合效应，而描述了散射引起的长尾的时间尺度。在低光子条件下，RWE随大致线性且单调变化，因此编写了一个实用的校准模型： （27）在方程（27）中，系数a主要反映了首次光子触发对前沿推进的敏感性，并受到、和背景水平的共同影响。截距b吸收了与门设置、参考定义以及差分校准后剩余的任何共模时间偏移相关的固定偏差。4.3. 参考平面差分校准和线性补偿。为了获得与特定系统-水条件相匹配的补偿参数，我们采用了一种使用参考平面和目标回波的差分校准策略。这种策略避免了依赖绝对发射时间漂移，并明确反映了散射引起的展宽对拟合过程中估计回波中心的影响。在实验中，将高反射率的白板放置在参考位置以获取直方图。对多次测量结果进行峰对齐并平均，以提高信噪比；然后对平均回波拟合EMG模型以提取模式时间。图2显示了参考平面上的对齐平均直方图和EMG拟合结果。在这个实验中，我们获得了 （28）。图2. 参考平面上的水下参考回波直方图和EMG拟合结果；虚线表示拟合的模式时间。然后将目标平移到测距位置（米）。在相同的水条件下，通过调整目标反射率或传输功率收集了一组覆盖低光子范围的回波数据集。对于第i个数据集，用表示从EMG拟合中获得的目标回波的模式时间；测量的往返时间差为 （29）。几何真实值对应于往返时间差。因此，时间差误差和距离走动误差定义为 （30）对于低光子条件下的所有样本对，通过加权最小二乘回归拟合方程（27）以获得当前水条件下的线性补偿模型。权重通常与峰值计数或拟合残差相关，以减少由异常散射波形引起的低计数样本和异常值的影响。图3绘制了目标距离为9.11米时RWE与信号初级光子平均数的散布分布以及线性拟合。拟合的线性模型为 （31）。图3. 9.11米处的RWE与及其线性拟合模型。拟合优度为，表明在这个以低光子为主的实验范围内，线性模型捕捉到了系统漂移的主要趋势。然而，在非常低光子区域，由于泊松波动、噪声优先触发和EMG拟合不确定性更为明显，散布明显更大。因此，这种低异方差性的物理解释在4.4节中进一步讨论。4.4. 实验结果和比较。为了验证方程（31）在水下测距场景中的有效性，我们在真实距离为9.11米的情况下使用了三个具有显著不同回波强度的目标（砖块、石头和亚克力）进行了实验。在相同的传输功率和采集持续时间下，收集了到达时间直方图。主要回波峰使用EMG模型进行拟合以估计其中心时间，并从直方图统计中估计。图4显示了三个目标的Fine-TDC直方图及其叠加图。回波强度差异显著，分别为砖块0.0695、石头0.4081和亚克力1.1301。随着回波强度的增加，首次光子触发倾向于在上升沿的早期发生，峰值中心随时间向前移动，导致飞行时间（从而距离）被低估。这种行为与SPAD的“首次光子触发+死时间”机制一致。图4. 不同回波强度下的Fine-TDC到达时间直方图。（a）叠加比较；（b）砖块；（c）石头；（d）亚克力。表3报告了砖块、石头和亚克力的未校正绝对测距误差分别为30.911毫米、33.617毫米和53.089毫米。此外，返回强度越大（越大），距离低估越明显，这突显了RWE对回波强度的系统性依赖。按照4.3节中的线性校正工作流程，残余误差减少到3.949毫米、1.869毫米和0.573毫米。平均绝对误差从39.205毫米降低到2.130毫米，测距精度提高了94.57%。这种毫米级的残余水平与本文所讨论的短距离高精度水下测距任务相兼容。表3. 9.11米处不同目标的测距结果和RWE校正性能。作为比较，参考[8]中通常采用的二次模型形式的残余误差分别为24.288毫米、25.400毫米和29.111毫米，平均误差为27.392毫米。这些结果表明，在当前低光子条件下，线性校正可以稳定地将RWE压缩到毫米级别，与为高光子操作调整的二次拟合相比，误差提高了一个数量级，并在验证数据上显示出出色的误差抑制效果。砖块、石头和亚克力材料的不同校正残差并不意味着这些材料本身会减少RWE。相反，由于它们在532纳米处的反射率和表面散射特性不同，因此会产生不同的电平以及略微不同的波形。所提出的线性补偿消除了主要的依赖于光的系统偏差，而由于波形不匹配、背景波动以及在非常低的计数次数下的拟合不确定性，仍然存在小的残差差异。总之，在真实距离为9.11米的水下低光子测距实验中，由回波强度变化引起的系统测距误差可以通过该方法有效表征。第4.3节建立的线性补偿模型显著减少了不同回波条件下的测距偏差，为后续的3D重建和定量测量提供了更稳定的距离参考。

5. 讨论
5.1. 与现有研究的关系
本文并不认为测距误差仅限于水下激光雷达。其背后的机制——在有限的探测器死时间内首次光子触发——普遍适用于SPAD/TCSPC系统[16,17,18]。水下激光雷达的独特性在于校准场景，因为水的衰减、多次散射和后向散射共同改变了信号幅度、回波不对称性和门内的背景触发。与Hua等人[8]报告的水下光子计数成像的高阶先验曲线校正方法相比，本文的方法专注于低光子区域，并提供了一个简单的、基于条件校准的线性映射，直接与测量数据相关联。Kelly等人[21]和Cassanelli等人[22]针对地面激光雷达报告的反射率和稳定性相关的误差分析进一步支持了在评估测距校正时需要区分系统偏差和随机分散的必要性。
5.2. 便携性和实际操作窗口
在实际使用该系统测量水下目标距离时，水况通常保持相对稳定或仅略有变化；在这种情况下，每次测量都不需要重新校准。然而，如果水况发生显著变化，重新校准斜率(a)和截距(b)是合理的，尽管这不会降低本研究的价值。因此，拟合得到的系数(a)和(b)应被视为系统-水况参数，而不是通用常数。如果水的性质仅改变回波幅度，其影响通常会被测量数据所吸收。如果浑浊度还改变了波形宽度、散射尾部或门内背景，那么校准线就会发生变化。因此，当前模型适用于在稳定或缓慢变化条件下的重复或累积TCSPC测量。它并不适用于快速移动、不配合的目标的一次性校正。只要信号窗口能够可靠地定位，主导噪声估计不会占据主导地位，并且恢复的触发概率保持在物理区间内，该方法仍然有效。在实际应用中，这里采用的预校准应被视为在实验开始时进行的一次系统-环境校准步骤，或者在水况明显变化时进行更新。可以使用参考目标、参考通道或周期性重新获取的校准序列来更新这些参数。因此，本研究展示了一个经过实验室验证的条件校准工作流程，而实时适应浑浊度的更新仍然是未来工作的重要课题。
5.3. 硬件误差贡献及数量级估计
本研究中主要的未校正的厘米级偏差来源于首次光子统计与SPAD死时间的耦合，而不仅仅是稳定的硬件定时偏移。为了区分主要的走动机制和辅助定时链的限制，可以将测量到的时间戳分解为（32）。经过参考平面差分后，大多数常见的固定偏移被消除，测量的范围误差可以表示为（33）。为了进行数量级估计，残余的硬件相关随机定时项可以近似为（34）（35），其中表示校准直方图中信号-初级光子计数的数量级累积值。在当前实验中，使用探测器报告的624皮秒的时间抖动、FT1040的时间箱宽度16皮秒以及ASG8100系列延迟发生器的最大35皮秒的RMS抖动，表4给出了两种解释下的数量级估计：一种乐观的情况是将624皮秒视为FWHM值，另一种保守的情况是直接将其视为RMS值。我们采用了20-40皮秒的中等贡献值进行估计。表4显示，在乐观的情况下，硬件引起的随机测距不确定性大约为0.14-0.57毫米；在保守的情况下，该值为0.33-1.34毫米。这些值远小于实验中观察到的未校正的厘米级RWE（平均绝对误差为39.205毫米）。因此，稳定的硬件定时偏移不会改变本研究的主要物理结论：主要的预校正偏差是首次光子统计走动与SPAD死时间的耦合，而与硬件相关的定时项主要影响校正后的残差。
5.4. 限制
验证是在静态淡水槽中进行的，而不是在受控的浑浊度、流速或曝气条件下，或在实地部署环境中进行的。今后，我将利用从这次实验中获得的研究成果和经验，在海洋或湖泊环境中进行全面的验证，并在不同浑浊度条件下进行额外实验。

6. 结论
本研究解决了在强后向散射和低光子条件下，水下门控TCSPC光子计数激光雷达中的测距误差建模和补偿问题。基于首次光子触发统计，我们建立了RWE与信号初级光子平均数量之间的映射，并开发了一个适应水况的线性校正框架。主要结论如下：
1. 在非均匀泊松首次到达框架内，我们综合考虑了由于水下传播引起的回波展宽/长尾形成、门内的背景触发以及“噪声优先遮挡”效应。推导出了RWE的计算表达式，并获得了低光子条件下的线性化近似，为水下RWE的定量评估和便携式补偿提供了统一的建模框架。
2. 对于弱信号与强背景共存的数据直方图，我们构建了一个“信号窗口定位-信号/噪声分解-噪声遮挡补偿”的数据处理流程，并为回波中心时间和相关参数提供了稳健的估计器。通过明确补偿噪声触发概率，该方法保持了在不同条件下的可比性，为后续的校准和校正奠定了数据基础。
3. 我们提出了一种以参考平面差分校准为中心的线性校正程序。在真实距离为9.11米的水下测距实验中，砖块/石头/亚克力材料的RWE值分别为0.0695、0.4081和1.1301，未校正误差分别为30.911毫米、33.617毫米和53.089毫米。应用所提出的线性校正后，校正后的误差分别降低到3.949毫米、1.869毫米和0.573毫米；平均误差从39.205毫米减少到2.130毫米（提高了94.57%）。与二次校正模型（平均误差27.392毫米）相比，所提出的方法在水下低光子条件下实现了毫米级的误差压缩，证实了其实际有效性。
尽管所提出的方法在水下低光子测距实验中表现出强大的误差抑制能力和良好的可转移性，但仍有几个方面值得进一步研究。未来的工作可以按照以下方向进行：
1. 回波形状参数估计：将单峰拟合扩展到EMG或多组分反卷积框架，以更准确地描述由强散射引起的长尾结构，并提高在高浑浊度和非单峰返回情况下的鲁棒性。
2. 在线校准与水参数估计：利用多通道SPAD阵列或参考通道的同步观测，探索水光学参数（如衰减系数和后向散射强度）的联合估计和快速更新机制，从而提高实时性能和跨场景适应性。