从单次拍摄的离轴干涉图中提取定量相位因子以实现物体重建 陈家玲、 喻子茜、 雷江龙、 王元祥、 景清丽

《Photonics》：Quantitative Phase Factor Retrieval from Single-Shot Off-Axis Interferograms for Object Reconstruction Jialing Chen, Zixi Yu, Jianglong Lei, Yuanxiang Wang and Qingli Jing

　　摘要 在远场近似中，物体的衍射场可以表示为其傅里叶变换乘以一个相位因子。在这里，我们提出了一种简单的方法，可以直接从单次拍摄的离轴干涉图中检索这个相位因子。通过利用和调整其独特的二维二次型，通常可以忽略物体傅里叶变换的二次贡献，特别是对于仅具有振幅的物体和相位变化缓慢的物体。通过将二次曲面拟合到基于傅里叶变换的相位检索得到的展开相位中，就可以提取出相位因子。去除这个因子后，可以通过直接的傅里叶逆变换进行精确重建，而无需迭代计算。与传统的远场衍射设置相比，我们的方法减少了系统长度，并允许使用更小的CCD传感器。使用改进的Mach–Zehnder干涉仪进行的实验验证证明了高重建精度和鲁棒性。总体而言，这种方法为物体重建提供了一种高效、实用且实时的解决方案，具有简化和微型化光学设置的潜力，为标准的相干衍射成像技术提供了另一种方法。

1. 引言
直接观察微纳结构通常依赖于光学或电子显微镜，但更高的分辨率往往伴随着更高的成本。作为替代方案，相干测量技术（如数字全息术[1]、数字全息显微镜[2]和相干衍射成像方法[3,4]（包括层析术[5]）提供了非接触式的解决方案，并已被广泛应用。随着激光技术的迅速发展，这些方法[6,7,8,9]提供了显著的优势，例如更高的分辨率、定量相位检索和三维成像能力。
相位检索是相干衍射成像中的一个基本挑战。传统方法使用迭代算法（如Gerchberg–Saxton [10]和改进的Fienup [11]方法）从测量强度中恢复衍射场的相位。这些方法在物体平面和衍射平面之间交替进行，应用已知的约束来精细化估计的相位，并因其鲁棒性和多功能性而被广泛采用。最近，基于物理的深度学习网络[12,13]也被开发出来加速相位检索，能够在处理噪声或不完整数据的同时实现更快的重建，并将物理约束纳入网络架构中。
相位检索也可以使用干涉图案来进行，其中衍射场的相位编码在条纹结构中。相位移动干涉测量[14,15,16]通常需要两个或更多的图案，并提供高精度。或者，傅里叶变换方法[17,18,19]允许从单个干涉图案中检索相位，从而在传统的数字全息术[20]中实现高速和动态测量。一旦获得相位，就可以使用角谱或菲涅尔传播方法[21,22]对物体进行数值重建。值得注意的是，已经提出了用于从单次拍摄的干涉图中检索相位的深度学习框架[23]。
这些方法——包括深度学习[24]、迭代算法[25]和角谱方法[26]——也可以应用于远场衍射领域的物体重建。数字全息术特别适合这一领域，其中记录的全息图的傅里叶变换提供了物体波的空间频率分量，可以通过光谱过滤和傅里叶逆变换[27]进行重建。对于可见光，满足Fraunhofer条件通常需要几十厘米的传播距离。为了减少这个距离并最小化系统尺寸，可以使用透镜在其焦平面上记录衍射图案，从而有效地捕获物体的远场衍射图案。在这种配置中，迭代算法[28]或基于傅里叶级的指数滤波器[29]可以从远场强度测量中检索相位。
引入透镜不仅放宽了严格的远场条件，还允许使用更小的CCD传感器和更短的系统长度，同时保留了必要的相位信息。与通常要求物体-图像距离大于凸透镜焦距四倍的图像平面全息术[30]相比，我们的配置不施加这一要求，因此显著减小了系统尺寸。这种配置可以通过简单的傅里叶逆变换实现物体重建，无需迭代计算，使得基于透镜的设置对于紧凑、高速和实时成像具有吸引力，并为传统的远场衍射系统提供了实用的替代方案。此外，透镜引入了已知的瞳孔函数和可控像差，增加了物理约束，可以改善收敛性、鲁棒性和解的唯一性。然而，引入透镜也会增加重建复杂性。在最近的一项工作中[31]，使用了两个干涉图案来确定基于透镜的全息系统中的衍射场相位因子，这增加了实验复杂性。这引发了这样一个问题：是否可以在同一框架内从单次拍摄的干涉图中重建物体，从而实现实时成像？在这项工作中，我们给出了肯定的回答，并引入了一种针对先前方法关键限制的单次拍摄重建策略。

2. 方法
在这项工作中，我们提出了一种简单的方法，可以直接从单个干涉图案重建物体，该干涉图案是由物体的衍射场与参考平面波之间的干涉产生的。图1显示了使用凸透镜收集Fraunhofer衍射图案的示意图。系统的光轴沿z轴，物体平面位于。物体平面和透镜（接收平面）的坐标分别用和表示。从物体到透镜再到焦平面的传播在近轴近似下进行建模。位于物体平面上的具有复振幅的物体被波长为的平面波照射。产生的衍射波传播到位于的焦距为f的透镜。根据标量衍射理论[30]，透镜焦平面上的衍射场可以表示为（1）
（1）
其中是一个通用的球形相位因子，由（2）给出
（2）
图1. 使用凸透镜的Fraunhofer衍射示意图。彩色箭头表示入射光波和衍射光波。（2）式表明，这个相位因子仅由传播产生，与物体无关，其中P表示相应的二次系数，是波数。这个相位因子的存在阻止了通过对方程（1）中的衍射场应用傅里叶逆变换来直接重建物体。为了确保方程（2）的有效性，必须满足近轴近似。这意味着物体的大小应远小于物体-透镜距离和透镜的焦距。此外，它还应该远小于透镜的孔径。在我们的实验中满足了这些条件。当物体精确地放置在透镜的前焦平面（即）时，方程（1）中的相位因子消失，允许通过传统的全息重建过程检索物体。对于更一般的情况，这个相位因子嵌入在衍射场的相位中。可以通过对方程（1）中的相位因子进行除法，然后对方衍射场应用傅里叶逆变换来重建物体。为了获得衍射场的相位，可以使用各种相位检索方法，其中傅里叶变换相位检索方法[17]是一个特别合适的选择。当物体-透镜距离已知时，可以从方程（2）中轻松获得相位因子。然而，在这项工作中，我们提出了一种不需要预先知道这个距离来确定相位因子的新方法。
在最近的一项工作[31]中，我们提出了一种策略，利用具有已知几何形状的参考物体的额外干涉图案来提取相位因子。在这项工作中，为了简化过程，我们利用了方程（2）中给出的相位因子的独特形式，因此提出了一种从目标物体的衍射场直接提取相位因子的改进策略。这种策略的基础是，衍射场的二次相位主要来自相位因子，而物体傅里叶变换的贡献可以忽略。当物体平面远离透镜的前焦平面时，这种近似特别有效，如方程（2）所示，并将通过我们的实验结果得到验证。与图像平面数字全息术不同，在图像平面数字全息术中，物体平面和CCD平面通过透镜光学共轭，而提出的基于透镜的傅里叶变换方法在透镜焦平面记录衍射场。这消除了对精确的物体-透镜-传感器对准的需求，并减少了整个系统长度。

3. 结果与讨论
用于记录所需干涉图的实验设置如图2所示。这是一个改进的Mach–Zehnder干涉仪，使用He–Ne激光源（DH-HN250，Daheng Optics，北京，中国），其中数字微镜设备（DMD，DLP6500，Texas Instruments，达拉斯，TX，美国）替换了传统配置中的一个反射镜。DMD的像素间距为7.56 μm，分辨率为像素。为了将衍射场的光轴与z轴（图2中的水平方向）对齐，引入了两个额外的反射镜M2和M3。DMD用于生成任意形状的物体，当被激光束照射时，它会产生来自显示物体的衍射。在DMD后面放置了一个焦距为150 mm的凸透镜（L3），并在其焦平面上放置了一个CCD相机（HD-R2000C-GigE，Daheng Optics，北京，中国）来记录物体和参考平面波的衍射图案。CCD的像素间距为2.4 μm，分辨率为像素。
图2. 实验系统示意图，P：线性偏振器；L1和L2：光束扩展和准直系统；BS1和BS2：分束棱镜；M1、M2和M3：反射镜；AL：衰减器；DMD：数字微镜设备；L3：凸透镜；CCD：位于凸透镜L3的焦平面上以捕获干涉图案。我们首先使用仿真结果来验证我们的方法。假设相位因子中的二次相位系数为 m?2，并且参考平面波沿x轴和y轴的方向余弦值均为0.1。根据方程（1）计算物体的衍射场，参考光场的振幅设置为。边长为600 μm的正方形的相应干涉图案显示在图3a中。按照图4中说明的程序，干涉图的傅里叶逆变换以及重建物体的幅度和相位显示在图3c,d中。重建显示出优异的精度，正如预期的那样，提取出的x轴和y轴的二次相位系数分别为和 m?2，与设定值非常接近。此外，通过模拟验证，当捕获的干涉图的信噪比超过50 dB时，所提出的相位因子检索方法表现良好。我们的实验数据的信噪比应该满足这一要求。
图3. 正方形单体的仿真结果。（a）干涉图案，（b）干涉图的傅里叶逆变换，（c）振幅，（d）重建物体的相位。图4. 所提出方法的物体重建程序。正确提取传播因子依赖于这样一个假设，即由物体的傅里叶变换产生的衍射场中的二次相位相对较小。为了检验所提方法对相位变化缓慢的物体的有效性限制，特别是对于具有二次相位轮廓的物体，例如微透镜，我们在表1中展示了不同相位曲率Q的物体的衍射场的提取二次系数。和分别表示水平和垂直方向的二次系数。相位因子中的二次系数与图3中显示的相同。可以观察到，当物体相位曲率低于时，误差保持相对较小。然而，当物体相位曲率超过这个范围时，所提出的方法无法提供准确的重建，需要采用其他方法。此外，表1的最后一行展示了随机相位物体的结果，证明了所提方法在处理此类物体重建方面的有效性。表1中给出了不同二次相位曲率Q的物体衍射场的相位对应的拟合二次系数（单位为m^-2）及其平均值P，以及平均值与设定值之间的误差（单位为m^-2）。接下来，我们用图4中说明的程序将所提方法应用于几个示例，以验证其在实验中的有效性。首先，我们以一个大约500微米大小的五角星为例展示结果。然后应用傅里叶变换相位恢复方法[17]来获取该物体的衍射场。图5a中的干涉图案的傅里叶变换结果如图5b所示。通过精细调整参考平面波的倾斜角度，可以很好地分离出零阶和一阶项。通过对图5b中选定的第一阶项进行傅里叶逆变换，可以获得物体的振幅和相位，如图5c和d所示。这里的相位表示衍射场与参考平面波之间的差异。它可以被解释为衍射场的相位，因为在通过傅里叶逆变换重建物体时，平面波的相位只影响重建物体的位置。图5为五角星示例的实验结果。(a) 干涉图案，(b) 图(a)中干涉图案的傅里叶逆变换。通过对(b)中选定的矩形区域进行傅里叶变换，得到衍射场的振幅(c)和包裹相位(d)。一旦获得了衍射场的相位，我们就继续分离相位因子。我们首先应用最小二乘相位展开方法[32]来得到衍射场的展开相位。选择这种方法的原因是它高效、抗噪声，并且在重建复杂物体方面优于其他相位展开方法，如分支切割[33]和质量引导[34]方法。相应的结果如图6a所示。然后对图6a中的展开相位应用二次拟合。拟合结果如图6b所示，对应的二次系数分别为m^-2和m^-2。与理论预测一致，两者非常吻合。通过将衍射场除以这个相位因子后，应用傅里叶逆变换得到物体的相位。重建后的五角星如图6c和d所示。显然，重建结果准确地再现了结构，多尺度结构相似性指数(SSIM)值超过0.91。图6d中观察到的物体相位主要由光谱截断、边缘振幅不连续性或DMD的固有微镜特性引起的边缘效应导致。图6d中重建相位的平均值约为0.05弧度，证实了DMD结构表现得像一个非相位物体。图6为五角星示例的重建结果。(a) 图5d中的展开相位，(b) (a)的二维二次函数拟合结果。重建结果的振幅(c)和相位(d)。为了进一步证明我们重建方法的有效性，我们将其应用于用相同设置获得的相关干涉图中的几个其他物体。所有这些结构的大小都约为500微米。图7显示了重建后的正方形、三角形、字母“A”和字符“国”的振幅。由于DMD的反射特性，重建的图像出现在DMD上显示的物体的镜像中。显然，所有结构都被高精度地重建了。图7中显示的物体衍射场的相位因子的拟合二次系数列在表2中，连同相应的SSIM值和相位误差。表7中所有重建物体的SSIM值均高于0.91，用数值证据证明了我们方法的高重建精度。与之前工作报告[31]中的方法相比，我们方法的效率和精度都有所提高。表2最后一列中的参数表示重建物体相位的测量平均误差。这些值处于傅里叶变换相位恢复算法的精度范围（即0.01–0.1弧度）内。图7显示了其他几个物体的重建结果：(a) 正方形，(b) 三角形，(c) 字母“A”，(d) 字符“国”。表2列出了图7中物体衍射场的相位因子的拟合二次系数、P（单位为m^-2）以及SSIM值和测量相位误差。与之前的星星示例类似，表2中的拟合二次系数在所有情况下都非常接近。此外，所有二次系数都在m^-2左右，表明所有物体的衍射场表现出相同的相位因子，这与预测一致。轻微的差异主要来自相位展开误差或用于相位恢复的频率域的选择。因此，只要物体平面、透镜和接收平面在光学设置中保持不变，位于同一物体平面上的所有物体的衍射场相位因子是相同的。表2第四列中的参数P不是和的平均值，而是通过用拟合展开相位表面的二阶分量得到的二次系数。我们发现P系数在所有情况下的变化都小于和的变化，表明对相位因子的物理约束提供了更准确的描述。为了阐明和验证二次系数P与物体到透镜距离之间的关系，进行了一系列实验来捕捉三角形物体的干涉图案，该物体与图7中显示的相同，距离范围从5.5到20厘米。所提出的重建方法被应用于这些干涉图案以获取三角形物体，拟合的二次系数P作为距离的函数以离散点的形式绘制在图8中。显然，这些数据点沿一条直线排列，相应的线性拟合（如图8中的直线所示）由m^-2给出。这条线的斜率和截距与方程(2)预测的理论值m^-3和m^-2非常吻合。实验测量值与理论预测之间的小差异可能由多种因素引起，例如非理想的（非平面）光源、透镜像差或相位展开精度有限。图8显示了二次系数P与物体平面到凸透镜距离之间的关系。衍射场中相位因子的显式形式便于从其干涉图案中重建物体。在透镜像差（如散焦、场曲率和像差）显著的实验设置中，从干涉图案中准确提取相位因子对于消除这些效应在重建物体中的影响至关重要。此外，为了最小化物体傅里叶变换中二次相位的影响，可以调整物体平面的位置，使相位因子中的P系数相对较大。此外，所提出的方法在相位恢复后简化了物体重建过程。与角谱方法不同，它不需要测量传播距离；与相干衍射成像技术不同，它避免了对迭代算法的需求。在远场近似中，对于大小几百微米的物体，物体与像平面之间的距离通常超过几十厘米。当使用透镜时，这个距离可以缩短到透镜的焦距，从而可能减小远场范围内的衍射或干涉测量设置的整体尺寸。此外，误差减少和混合输入-输出相位恢复算法[28,35]主要是为远场相干衍射成像开发的，通常不适用于探测器位于透镜后焦平面的基于透镜的系统。与这些通常需要空间约束以确保迭代收敛的迭代算法不同，我们的重建方法不需要这样的约束。总之，我们提出了一种简单改进的方法，用于获取基于透镜的傅里叶变换系统中衍射场的相位因子，该方法不需要精确控制物体-透镜距离。这种方法通过物体衍射场和参考平面波形成的单次干涉图案简化了物体重建。关键思想是利用相位因子的独特二次形式，其相位以二维二次方式随位置变化。具体来说，首先使用基于傅里叶变换的相位恢复方法[17]恢复衍射场的相位，然后通过最小二乘方法[32]进行相位展开。然后对展开的相位进行二次表面拟合以提取相位因子的二次系数。随后通过对衍射场进行傅里叶逆变换并除以相位因子来重建物体。实验验证表明重建精度很高，而对不同物体平面位置的二次系数进行系统分析显示与理论预测非常吻合。重要的是，这个过程消除了对物体到接收平面传播距离的先验知识的需求，而这在角谱或菲涅尔传播方法[21,22]中是必需的。所提出的设置和方法扩展了远场数字全息术，并可以轻松应用于重建复数值物体。通过放宽物体必须精确位于透镜焦平面的要求，该方法减少了系统长度，并允许使用更小的CCD传感器，特别适合紧凑和微型化的实验设置。此外，重建算法简单、非迭代且计算效率高，能够在远场条件下实现动态小尺度物体的实时成像。此外，这种快速重建方法可以为迭代算法提供可靠的初始估计，提高它们的收敛性和整体效率。