当参数维度随样本量增加而扩大时——埃奇沃思扩展（Edgeworth Expansions） 克里斯托弗·斯特劳德·威瑟斯（Christopher Stroude Withers）

《Econometrics》：Edgeworth Expansions When the Parameter Dimension Increases with Sample Size Christopher Stroude Withers

　　摘要
假设我们有一个包含 q 个未知参数 w 的统计模型，并基于大小为 n 的样本得到了一个估计值 ^??。一个基本问题是：这个估计值的协方差是多少？协方差对于中心极限定理（CLT）是必需的，因为它为 ^?? 的分布提供了一个初步的近似。但是，如果 ????=?? 随着 n 的增加而增加，情况又会如何呢？增加的速度能有多快，同时 CLT 仍然成立呢？到目前为止，只有对于样本均值的情况才给出了答案。Edgeworth 展开也是如此。这些展开是以 ???1/2 为幂级数的形式表示 ^?? 的密度和分布的。对于固定的 q，这些展开非常重要，因为它们表明了 CLT 需要的 n 的最小值。当满足这个条件时，它们可以极大地提高 CLT 的准确性。我给出了一些条件，在这些条件下，当 ????=?? 随着 n 的增加时，Edgeworth 展开仍然有效。之前对于 ????=?? 的增加，只有样本均值的情况进行了 Edgeworth 展开的研究，而且只考虑了二阶 Edgeworth 展开。相比之下，我考虑了一类非常广泛的估计值，即非格子标准估计值。如果一个估计值的均值随着 n 的增加而收敛到其真实值，并且对于任何 r≥1，其 r 阶累积量的幅度为 ??^(-r)，并且可以用 ???1 的幂级数来表示，那么这个估计值就被认为是一个标准估计值。对于这类估计值，我证明了当 ???? 的增长速度小于 1/6 时，Edgeworth 展开是成立的。也就是说，我给出了以 ??^(-1/2 * q^3 * n) 为幂级数的展开式。这类估计值具有广泛的应用潜力，因为在应用统计学的几乎所有领域中，高维估计值都是常见的。最重要的标准估计值类型是那些是样本均值的平滑函数的情况。当样本均值或其相关参数中的一个或两个随着 n 的增加而增加时，我给出了它们增长的条件，以确保 Edgeworth 展开的有效性：p 的八次方乘以 q 的六次方不能增长得比 n 快。这个条件适用于固定的 p，前提是参数的增长速度小于某个特定的值。这似乎是第一次在不止一个维度允许随着 n 的增加而趋于无穷大的情况下，给出 Edgeworth 展开的证明。这为允许维度增加提供了两种不同的途径。当参数的增长速度满足条件时，我为标准化分布及其分位数给出了五阶 Edgeworth-Cornish-Fisher 展开，对于任何维度为 p 的样本均值的平滑函数都是如此。然而，对于这个函数是线性的特殊情况，对其增长速度没有任何限制！如果样本均值的各个分量也是独立的，那么这些展开可以使用更高次的幂级数表示。我还提出了一种方法，可以大大减少 Edgeworth 展开中二阶和三阶项所需的项数，即对 CLT 的一阶和二阶修正。我还将这些结果扩展到了多个独立样本均值的情况，每个样本均值的维度都随着 n 的增加而增加，总维度为 p。

1. 引言
任何统计模型的基本需求首先是根据大小为 n 的样本，用一个估计值来估计其未知参数；其次是如何近似该估计值的分布，或者某些函数的分布。（只有对于指数族，有时才有精确的分布。）在应用统计学的许多应用中，未知参数的数量 q 可能很大。因此，了解固定 q 下的标准结果是否仍然适用于参数随 n 增加的情况是很重要的。许多文章给出了关于参数增长的条件，以确保中心极限定理（CLT）的有效性。Kuelbs 和 Vidyashankar（2010）给出了样本均值的高技术性 CLT，但没有具体说明参数可以多大。为了指定增长率并进行比较，我使用了某些符号。

2. 定理
Koike（2026）的定理 2.1 给出了有界观测值情况下样本均值的一致 CLT 条件。Chernozhukov 等人（2017）的（8）条条件为有限随机向量的样本均值的一致 CLT 提供了支持，当满足某些条件时适用。（将其代入他们的条件中可以确认这一点。）对于对数凹函数，Fang 和 Koike（2021）给出了样本均值的一致 CLT。目前，这是已知的最佳增长速率。看看这个界限是否可以扩展到比样本均值更广泛的估计值类别，以及是否可以去除对数凹条件，将是很有趣的。

3. 二阶均匀 Edgeworth 类型展开
Koike（2026）的界限（2.4）似乎允许参数在一定范围内增长。Chernozhukov 等人（2013）考虑了当参数是标准化样本均值时，对于大 q 的均匀 Edgeworth 展开的有效性和准确性。他们的条件在 Koike（2026）的（1.1）中有所体现。Portnoy（1984, 1985）证明了当参数较大时，M-估计量的渐近正态性。Donoho（2016）给出了线性回归模型中 M-估计量的一致 CLT。相比之下，我为任何非格子标准估计值给出了 CLT 和四阶 Edgeworth 展开，尽管对参数的条件比上述样本均值的情况更为严格。

4. 实际意义
在许多应用中，模型包含大量的参数。像本文这样的结果扩展了使用标准推断程序处理高维参数的合法性。高维推断现在通常依赖于自助法（Koike，2026）、通过浓度的高斯逼近和去偏估计量。然而，自助法最多只能得到二阶展开。高斯逼近依赖于高阶交叉累积量为零，而这通常不成立。而且，仅靠减少偏差并不足以得到二阶展开，因为偏度的影响同样重要。这里的方法给出了更高阶的 Edgeworth 展开。

5. 文献综述
Kosorok 和 Ma（2007）考虑了从向量中抽样的情况，并研究了大规模参数的边际分布的同时估计。Fujikoshi（2009）研究了当参数固定时，参数之间的典型相关性的渐近分布。他们假设参数具有联合正态分布，并且推导出了典型的相关性的渐近分布。我使用了任何随机 Z 的期望值符号。

6. 概述
为了自包含性，第 3 节总结了本文考虑的三种 Edgeworth 展开，适用于参数 q 不依赖于 n 的情况。参数随 n 增加的速度有多快，才能使这些展开保持有效？第 4 节表明，如果满足某些条件，这些展开仍然成立。这个条件比 Fang 和 Koike（2021）为对数凹函数样本均值给出的条件更强。此外，我的条件也比 Koike（2026）为样本均值二阶 Edgeworth 类型展开所需的条件更严格。另一方面，我的结果也适用于更高阶的 Edgeworth 类型展开，以及比样本均值更广泛的估计值类别。第 5 节给出了一种减少二阶和三阶 Edgeworth 展开所需项数的方法。例如，如果参数的增长速度满足某些条件，它可以减少二阶和三阶 Edgeworth 展开所需的项数分别达到 57% 和 94%。如果参数的增长速度为 2 或 5，它分别可以减少 65% 和 69% 的项数。第 6、7 和 8 节给出了与文献中不同的结果。第 6 节考虑了当参数是具有有限矩的分布上的样本均值的平滑函数时，Edgeworth 展开的适用情况。第 7 节给出了当参数随样本大小增加时，任何 p 值样本均值的任何平滑函数的五阶 Edgeworth-Cornish-Fisher 展开。当参数的增长速度小于某个值时，这些展开仍然成立。第 8 节将第 6 和第 7 节的结果扩展到了多个独立样本均值的情况。

7. 结论
定理 1 给出了任何 p 值样本均值的任何 q 值平滑函数的四种四阶点态 Edgeworth 展开，当 p 和 q 都可以随样本大小 n 增加时。我首次为 p 值样本均值的任何非格子平滑函数给出了 Edgeworth-Cornish-Fisher 展开，当 p 随样本大小 n 增加时。对于这个函数是线性的特殊情况，对其增长速度没有任何限制！我将最后两个结果扩展到了多个向量均值的平滑函数。我提出了一种大大减少二阶和三阶 Edgeworth 展开所需项数的方法。我将最后两个结果扩展到了多个独立向量均值的平滑函数。如前所述，这个条件比Koike（2026）所需的条件更强，后者是用于样本均值的二阶Edgeworth型展开的条件。定理2提供了一种显著减少二阶和三阶Edgeworth展开所需项数的方法。定理4给出了三种四阶逐点Edgeworth展开，这些展开是基于某个量的幂次，用于估计该量的维度是样本均值的函数，当该量或两个量都随n增加时。这意味着这是首次提出一个允许两个维度随样本量同时增加的Edgeworth展开。如果该量是另一个量的单变量函数，那么五阶Edgeworth-Cornish-Fisher展开可以用该量的幂次来表示，这由推论1给出，适用于该量远离0的常规情况。推论2则适用于该量远离0的情况。然而，对于线性函数，根据推论4，最后一个限制可以放宽。也许最令人惊讶的结果是由推论3和推论4给出的：对于某些条件，这些展开可以用该量的幂次来表示，而不受该量增长速度的限制，只要该量远离0即可。如果该量的p个分量来自p个独立随机样本，那么根据推论5，这些展开可以用该量的幂次来表示，从而显著放大了大n量的效应，而之前的理论则减少了大n量的效应。定理8表明，定理4和推论1-5也适用于不仅是一个量，而是总共p个独立样本均值的函数。在这种情况下，定理9和定理10给出了这些量需要远离零的条件，这是推论1和推论2的样本扩展所要求的。

3. 多变量Edgeworth展开
假设是对n的一个标准估计。（n通常是样本量。）也就是说，随着n的增加，该量可以表示为其r阶累积量的展开。例如，如果该量是一个或多个样本均值的平滑函数，这个条件成立（见第6节和第8节）。累积量系数可能依赖于n，但它们是有界的。因此，这里用“^”符号代替每个n。例如，我保留这个符号来避免双重下标和复杂的方程。所以，(1)式在满足一定条件的情况下成立。V可能依赖于n，但我假设n是有限的。我们将看到，为了得到s项的Edgeworth展开所需的累积量系数如下：
- 对于中心极限定理（CLT），需要满足特定条件；
- 对于其他情况，也需要满足特定条件。
例如1。如果是一个随机样本的均值，其具有r阶累积量，则可以通过推论1得到这些展开。例如2。给定一个具有有限累积量的双变量分布的n个样本，协方差的经验估计可以通过Stuart和Ord（1991）中的累积量表达式轻松地用该量的幂次进行展开。这些Edgeworth系数对于该量的Edgeworth展开是必需的。它们可以通过下面的(8)式定义，并且要求它们关于n对称。因此，为了方便起见，Edgeworth展开的分量是Edgeworth系数的线性组合。这些Edgeworth系数是累积量系数的贝尔多项式，在Withers（2025a）中为该量定义并给出。它们的重要性在于它们在(8)、(9)和(14)中的Edgeworth展开中扮演中心角色。For (1)中的该量所需的Edgeworth系数在Withers（2025a）的(19)-(21)式中给出：
(4)
(5)
其中是用于对称化的运算符。因此，这些给出了四阶Edgeworth展开，将CLT视为第一阶Edgeworth展开。
设A为真。根据Withers（2025a）或Withers（1984/1986），对于非格构分布，该量的密度和分布可以表示为：
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
这里，和是多变量Hermite多项式，和是积分多变量Hermite多项式。根据Withers（2000），注意(8)和(9)使用了张量求和约定：(8)中的重复和(9)中的重复意味着它们在其范围内进行了隐式求和。Withers（2025a）明确给出了这些表达式对于特定情况的应用。

4. 当作为定理1的情况
设是一个非格构估计，满足某些条件。设。取。假设当，对于可测量的，(8)中的，(9)中的，和(13)中的。证明。设。对于(8)中的，(9)中的，和(13)及(14)中的，每个都有求和。因此每个都有给定k的幅度。（由于k的值由决定，即使这些值随k迅速增加，也没有必要对其进行限制。）因此，(8)中的，(9)中的，和(12)中的，每个都有项。所以，随着的增加，和每个都有幅度。因此定理得证。
□
注意(18)-(20)中的每项都有幅度。这个(19)是一个逐点结果，但它意味着余项在一个有界集上是均匀的，因为Hermite多项式是连续函数。关于(20)在置信区间和同时推断中的应用，参见Withers（2025a）中的示例3-5。

5. 减少项数
我的下一个定理提供了一种方法，可以将(8)、(9)和(14)中的项数从减少到，其中是某个量。由于我在本节不使用q的这个不同含义，因此没有歧义。每个都有k次求和。因此每个都有项。但由于是对称的，许多项是重复的。设，是多项式系数。例如。定理2。设在对称的情况下，其中求和是对不同的。这将(8)中的项数从减少到。作为检查，其中，且是第二类斯特林数。这些在Comtet（1974）的第310页上有表格。例如，在(8)中计算项数是。要将定理2应用于(8)、(9)或(14)，取，并且在(23)中没有使用张量求和。这表明我们可以在定理1的推导中用定理2的来替换。因此对于，(8)、(9)和(12)中的项数，即(21)和(22)中的项数，可以减少到。例如，如果，定理2可以将二阶和三阶Edgeworth展开的项数减少57%和94%。如果或为5，定理2可以将二阶Edgeworth展开的计算项数减少65%，将三阶Edgeworth展开的计算项数减少98%。在Withers（2025a）的第4节中使用了这种项数减少的方法。

6. 向量样本均值的函数
设是从具有有限交叉累积量的分布中获得的样本均值。那么，只有(3)中的首项是非零的。如Withers（2025a）中的示例2所示，通过(4)和(5)，对于这三个四阶Edgeworth展开所需的非零Edgeworth系数如下。替换后得到对于的。例如，当作为的第二项中的系数时。例如4。假设是中的独立随机向量，均值为。假设具有有限的交叉累积量。那么对于，对于，需要三个四阶Edgeworth展开的Edgeworth系数由示例1给出。

7. 术语的减少
我的下一个定理提供了一种方法，可以将(8)、(9)和(14)中的项数从减少到，其中是某个量。由于我在本节不使用q的这个不同含义，因此没有歧义。每个都有k次求和。因此每个都有项。但由于是对称的，许多项是重复的。设，是多项式系数。例如。定理2。设在对称的情况下，其中求和是对不同的。这将(8)中的项数从减少到。例如，这意味着可以将定理1的推导中的替换为定理2的。因此对于，(8)、(9)和(12)中的项数，即(21)和(22)中的项数，可以减少到。例如，如果，定理2可以将二阶和三阶Edgeworth展开以及CLT的计算项数减少57%和94%。当在Withers（2025a）的第4节中使用了这种项数减少的方法。

8. 函数的向量样本均值
设是从具有有限交叉累积量的分布中获得的样本均值。这扩展了之前使用的“^”符号，因为它现在也包括了中的。设是一个函数，其在处的导数有限。给定k和，我现在写。这是通过对求和得到的。更一般地，对于的任何分割，让表示对所有N个不同的排列求和。例如，以下定理给出了(3)中的累积量系数，并跟踪了它们相对于的p值的变化。现在我对给定的使用张量求和约定来求和。例如，给定和，作为t的下标和的上标都是js。定理3。对于(3)成立的情况，其中三阶Edgeworth展开所需的累积量系数如下。证明。这是Withers（2024）定理2的一个特例，其中被替换为。这里的复杂代数运算我们不必关心，除非我们正在应用它。我们只需要注意不同项作为p的幂次有不同的幅度。重要的是这些求和中的主导幅度。

9. 示例6
假设我们在R中有一个随机样本。设是样本的第i次幂的均值。那么是样本方差。在这种情况下，，和。引理1。对于，和(4)-(5)满足。因此对于，(27)成立。证明。使用定理3来验证。因此(27)成立。□
定理4。设是非格构的，且满足某些条件。假设当且仅当（28）成立时，（18）-（20）对于也成立。证明：对于（27）的某个值，有。现在取（23）的某个值。□例如，如果，则（28）对于固定的成立；如果，则（28）对于固定的成立。现在我将定理2应用于定理3的各个组成部分。

定理5：取定理2的某个值。将这些写为……例如，对于，所需的计算量减少了……的因子。现在可以对（23）的其他项以及Edgeworth展开式的其他项得出类似的结果。例如，如果不过进行隐式求和的话，

7. 大维度情况：这似乎是首次考虑这个重要情况下的Edgeworth展开式。我给出了5阶Edgeworth-Cornish-Fisher展开式。

正如第5节所述，设是来自非格子分布的样本均值，其均值为，具有限交叉累积量。设是在处具有有限导数的函数，（29）。

定理6：取。其累积量可以展开为（30），其中用于3阶Edgeworth展开的累积量系数如下。证明：将代入（3）得到（30）。其余部分来自定理3。□

例7：假设，其中。因此，的1阶和2阶导数为零。因此，（30）中的某些项简化为……其中对于，的1项，的1项，的前两项，的前三项，的前三项，的1项，以及的前三项。例如，如果，则……根据定理4，当对于时，（18）-（20）的Edgeworth展开式成立，即……然而，通常的Edgeworth展开式是针对其标准化估计的，即（31）中的标准化累积量系数。

假设是一个具有密度和分布的单元正态随机变量。首先考虑固定的情况。那么（31）中的具有Edgeworth-Cornish-Fisher展开式，其幂次为……其中是A为真的概率。和是关于y的多项式，它们也是（31）中标准化累积量系数的多项式。主要多项式为……其中是第k个Hermite多项式。根据Withers（2000），（36）……例如，参见Withers（2025a）的第1节。（A8）给出了对于的情况。对于，参见Withers（1984/1986）。

由于对于奇数r是偶数/奇数，（37）……

现在考虑随着n增加的情况。

推论1：假设对于，则对于，都是。此外，因此对于，满足推论1中的Edgeworth-Cornish-Fisher展开式。证明：其中是推论1中的。□

有一个非常重要的例外情况。现在假设，则对于，对于，都是有界的。因此对于，满足推论1中的Edgeworth-Cornish-Fisher展开式。证明：其中是推论1中的。□

推论4：假设（39）成立。那么对于，都是。因此对于，满足推论1中的Edgeworth-Cornish-Fisher展开式。证明：根据（41），。现在检查和其他的幅度。例如，通过（35），。

推论5：假设的各个组成部分是独立的，并且（39）成立。那么。此外，对于，也是。因此对于，满足推论1中的Edgeworth-Cornish-Fisher展开式。证明：检查。然后检查的幅度。□

因此，值得注意的是，在这种情况下，放大了大n的影响，而在之前它减小了大n的影响。然而回顾起来，推论5并不令人惊讶，因为可以将写成N个独立（但分布不同）随机变量的均值，然后应用例4。

8. 向量样本均值的函数：给定对于，设是从非格子分布中抽取的大小为的样本的均值，其均值为，具有有限交叉累积量。设（42），（43）。因此p是和的总维度。对于，设是的第j个组成部分。设是在处具有有限导数的函数。下一个定理使用了定理3中的T和U符号。

定理7：（44），（45）。那么（3）成立，其中用于3阶Edgeworth展开的累积量系数如下。证明：在定理3中，将替换为。这种形式由（44）保证。□

定理8：引理1、定理3-6和推论1-5对于（45）中的p（即的总维度）成立。证明：根据（43），我们可以将定理7中的界限替换为定理3中的界限。其余部分随之成立。□

现在我给出和中远离零的条件，这是推论1和2的I样本扩展所要求的。注意（46）是和的渐近方差，其中用替换了。

定理9：推论1中的条件，即远离零，对于（45）中的成立，如果对于远离零。证明：假设对于其中不依赖于p。设通过（46），对于，如果以概率，那么……

定理10：推论2中的条件，即远离零，对于（45）中的成立，如果对于远离零。证明：假设对于其中不依赖于p。设通过（46），□

9. 一致收敛：Koike（2026）、Chernozhukov等人（2017）和Fang与Koike（2021）为样本均值的中心极限定理（CLT）和二阶Edgeworth展开式给出了随着增加的一致收敛性。但对于一般的标准估计，我迄今为止只给出了逐点收敛结果。根据Withers（2025a）的推论A3，将s替换为，我们有

定理11：对于和，假设的r阶累积量可以展开为（47），其中每个都在n范围内有界。那么在Withers（2025a）的推论A3的Cramer型条件（A9）下，（1）满足（48），对于，（47）成立；对于，（47）成立；对于，（47）成立。因此（47）是（3）的弱形式，而（48）是（7）的一致形式。例如，如果这些条件对于成立，则（48）中的余项为。

对于具有和的样本均值，这个结果以及对于密度的类似结果，以及均匀Berry-Esseen界限可以在Feller（1966）的定理2.1、4.1和5.1中找到。了解是否可以推导出Berry-Esseen类型的界限将是有趣的。

使用这个定理，现在可以得到（7）、定理4的（19）以及推论1-5中的Edgeworth展开式的一致版本。假设对于合适的集合C，也可以为和得到类似的均匀结果。然而，我尚不清楚对于分位数是否有任何一致收敛的结果。

10. 结论：设是未知的标准估计。也就是说，是一致的估计，并且对于，其r阶累积量的幅度为，并且可以按的幂次展开。这是一个非常大的估计类别。它包括样本矩和经验分布的函数、独立但分布不同的随机向量的样本，以及来自平稳序列的样本。然后根据第2节，对于固定的q和非格子估计，对于和的密度和分布，可以使用Withers（2025a）中给出的Edgeworth系数得到Edgeworth类型的展开式。对于的前三项Edgeworth展开式，可以得到和的密度和分布。定理1表明，当，如果余项用替换，则这一点仍然成立。因此当，这三个Edgeworth展开式成立。

定理2给出了公式，显著减少了二阶和三阶Edgeworth类型展开所需的项数，即对于CLT的一阶和二阶修正。当和时，定理4表明，这里考虑的三个四阶Edgeworth展开式成立。例如，这对于固定的成立。如果，推论1和2也为标准化估计提供了Edgeworth-Cornish-Fisher展开式。这些结果是出乎意料的。对于通常的情况，当渐近方差为时，我只要求。当渐近方差为时，即当的组成部分独立时，我要求一个更强的条件。然而对于均值的线性函数，根据推论3和4，当渐近方差为时，对p的增长没有限制；而当渐近方差为时，我要求。如果的组成部分也是独立的，这些Edgeworth-Cornish-Fisher展开式是按的幂次展开的，因此放大了n的影响。

11. 讨论和未来方向：现在应该可以将Withers（1982, 1989）中给出的置信区间和误差置信域扩展到允许q和p随n增加的情况，其中用替换了。

定理1表明，这里考虑的三个Edgeworth展开式对于标准估计是成立的。这个结果是最优的吗？对于样本均值来说，它肯定不是最优的。例如，正如第1节中提到的，Koike（2026）的最新论文的定理2.1为样本均值的二阶Edgeworth展开式给出了条件，当对于任何c，或者即使当对于和。看看是否可以将这样的弱条件扩展到广泛的估计类别，如标准估计。

我的定理4表明，当对于时，三个四阶Edgeworth展开式成立。还有待观察这个条件可以放宽到多少程度。

不等式（43）以及定理7中的更强界限表明，可以根据（43）中的来加强s阶的Edgeworth展开式。当，推论1-5在各种条件下为标准化估计提供了五阶Edgeworth-Cornish-Fisher展开式。将第6节和第7节的结果扩展到，其中是从分布中抽取的大小为n的随机样本的经验分布，或者使用第8节，扩展到I个样本应该不是困难的。这里使用的方法也可能将一些结果从样本均值扩展到标准估计。它也可能将Portnoy（1984, 1985）和Donoho（2016）中提到的对于大量回归参数的结果扩展到。

另一个值得扩展的是将这些结果扩展到倾斜的Edgeworth展开式。极端估计，如样本最小值或最大值是一类特殊的标准估计，其（3）中的主要累积量系数为零：因此（1）中的不适用。相反，当标准化后，具有多变量极值极限，其分布和密度可以根据n的某些函数展开。例如，参见Withers和Nadarajah（2019）如果和是样本的最小值，或者Withers和Nadarajah（2018）如果和是来自分布的样本的最小值和最大值。或者更一般地，参见Withers和Nadarajah（2023）。尽管如此，这里的类似结果应该是可获得的。