平面机构基本运动链构成和拓扑选择的一般程序 Arthur Erdman, John Titus, Mahmud Suhaimi Ibrahim, Sean Mather

《Designs》：A General Procedure for Basic Kinematic Chain Formation and Topology Selection for Planar Mechanisms Arthur Erdman, John Titus, Mahmud Suhaimi Ibrahim and Sean Mather

　　摘要 在完整的运动学合成过程中，设计师必须选择一种适合其问题情况的平面连杆拓扑结构。这涉及到权衡一系列相互竞争的优先事项。例如，是选择生产成本较低的简单拓扑结构（如四杆机构），还是选择能够产生复杂运动但成本更高、合成难度更大的复杂拓扑结构（如八杆机构）？选择拓扑结构的过程通常被称为类型合成或结构合成，过去已经对此进行过研究。然而，以往关于平面连杆类型合成的研究过分强调了同构性检测，即识别具有一定连杆数量范围内的所有唯一拓扑结构，而选择理想拓扑结构这一核心问题往往被忽视了。在本研究中，提出了一种用于形成基本运动链（BKC）的通用方法，这是一种简化的拓扑表示方法。随后，提供了一套规则和设计原则，帮助设计师将无限多的BKC选项缩小到可管理的范围内。通过几个实际案例展示了该方法的有效性，并对现有研究进行了综述，同时介绍了其他方法，如同时算法方法和空间方法。

1. 引言
运动学合成是设计机构的关键过程。该过程可以分为四个步骤：数量合成、类型合成、尺寸合成和运动学分析，如图1所示。数量合成可能还包括拓扑合成与分析，即设计师确定机构应包含多少个连杆以及这些连杆的类型（例如二元、三元等）。类型合成是选择特定的运动学拓扑结构和反转方式的过程，同时也包括关节类型和位置的选择。尺寸合成是为所选拓扑结构中的每个连杆分配尺寸和角度以解决问题。运动学分析是最后的质量控制步骤，用于分析合成机构的性能（如机械优势、速度、连杆曲线、传动角度等）。根据这一步骤的结果，设计师可能需要返回尺寸合成步骤甚至类型合成步骤以改进最终输出。

1.2 文献综述
类型合成是运动学合成中的关键步骤，但目前相关研究主要集中在非同构运动链的完整枚举上，或者通过算法自动化来避免类型合成步骤。这些研究很有价值，但它们大多忽略了预测给定运动学任务下拓扑结构性能的关键挑战，以及据此选择最优拓扑结构的问题。为了选择最佳拓扑结构，需要有一种系统来预测其在特定任务中的表现。
Rao在探讨计算机辅助机构设计的未来时指出：“整个设计过程中最关键阶段是选择最合适的机构类型[即机构拓扑结构]”[1]。例如，如果选择了两自由度的运动链，而实际上一自由度的拓扑结构就足够了，那么解决方案将会变得不必要的复杂且成本高昂。另一方面，如果选择了简单的四杆机构，而更复杂的拓扑结构可能效果更好，那么设计师将会面临繁琐的尺寸合成过程，从而难以获得高质量的最终解决方案。类型合成对于机构分类也非常重要。18世纪末，詹姆斯·瓦特在开发蒸汽机时利用类型合成原理避开了现有专利的约束。直到今天，专利区分仍然是类型合成的重要应用之一。
不幸的是，尽管在运动学合成领域进行了大量研究，但针对特定运动学任务的最佳拓扑选择通用方法仍然相对较少。机器设计领域可以从开发一种通用方法来预测满足特定设计需求的最佳机构类型中受益。在这一领域发现的任何规则或原理都有助于建立机器设计的一般理论，并最终可以集成到机器设计专家系统或自动化合成系统中。罗伯特·威利斯教授在他的1841年著作《机构原理》中描述了这一目标。他认为，机构设计应该以系统化、数学化的方式来进行，以确定“适用于所需目的的所有形式和排列”，从而使设计师能够从中选出最合适的方案[2]。弗兰茨·鲁洛在他的经典著作《理论运动学》（1875年）中也表达了类似的观点[3]。自威利斯和鲁洛以来，许多学者进一步推动了类型合成的研究，并取得了许多进展，但仍存在进一步研究的空间。

1.2.1 文献综述
类型合成的一个子类别是识别复杂连杆中的同构性。如果两个运动链或拓扑结构在功能上是完全相同的，则被认为是同构的。对于连杆数量较少的情况，这个问题相对容易识别。然而，随着连杆数量的增加，找到同构子链的难度呈指数级上升。同构性很重要，因为如果算法在多个不同的拓扑结构中寻找解决方案，那么检查重复的同构集将是浪费精力。另一方面，如果错误地因为同构性而排除了一个可能最优的拓扑结构，搜索过程就会忽略这个潜在的最佳方案[4]。
许多研究人员已经关注了这个问题。Titus和Erdman利用图论和车多项式来识别同构链[5]；Rizvi等人使用邻接矩阵和所谓的“唯一链代码”来识别同构链。唯一链代码表示运动链的瞬心数量与相连连杆自由度之和[6]。其他人也采用了类似的方法，使用特征多项式或其他形式的链代码来区分不同拓扑结构，这些方法大多基于图论[4,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18]。Hasan展示了多种类似的同构性检测技术，包括关节-关节邻接矩阵[15,17,19,20,21]。Dargar等人研究了第一和第二连杆的邻接值作为运动学反转和离散运动链之间同构性检测的方法[19,20]。还有一些来自化学、信息论等的独特同构性检测方法[19,22,23,24]。Kong等人基于人工神经网络开发了一种方法，但Rao对该方法表示质疑，更倾向于使用汉明数技术[11,18,25,26,27,28,29]。在其他研究中，Rao将遗传算法应用于同构性检测和运动链选择，旨在优化特定设计参数[30,31]。
另一种常见的类型合成方法是参考运动学图谱。图谱通常专注于运动学的某个特定方面。例如，Hrones和Nelson创建了一个图谱，提供了大量不同配置和尺寸的四杆连杆的连杆曲线[32]。后续的一些研究通过改进或扩展原有内容，引入了新的机构类型[33,34,35,36,37,38,39]。这些资源展示了如何利用不同的拓扑结构和连杆尺寸来实现特定运动和连杆曲线。如果设计师在图谱中找到了合适的解决方案，则类型合成和尺寸合成已经完成。虽然图谱通常不提供关键性能的分析来帮助选择最佳设计，但它们可以作为识别哪些拓扑结构最适合执行特定任务的起点。
本文提出的方法将类型合成和尺寸合成过程划分为运动学合成过程中的独立步骤。一些学者采取了不同的方法，将类型合成和尺寸合成同时进行，通常使用自动化的计算方法[40,41]。Kim等人撰写了多篇关于使用弹簧支撑的刚体模型表示机构的同步求解器的论文，其他学者也探索了同步方法[42,43,44,45,46]。这些同步方法可以有效，但存在局限性。算法化地寻找最优拓扑结构在计算上成本高昂且耗时。即使这种暴力优化方法成为主流，预先了解拓扑结构的性能也能提高程序效率，减少对不太可能产生优质解的运动链的额外计算。
本研究将重点研究平面刚体机构的类型合成。假设机构中的所有连杆都是完全不可动的，且所有运动都发生在平行平面内。如果不做这些假设，问题情况将大不相同，从而需要完全不同的研究领域，即柔性连杆和空间连杆设计。为了完整性，简要提及了这些领域的一些研究，但这些研究与当前研究无关。例如，Murphy研究了在刚体连杆类型合成方法基础上构建具有柔性构件的拓扑结构的方法[47,48,49]。Zhu等人撰写了关于柔性连杆类型合成的综述，强调了拓扑优化方法[50]。空间连杆在三维空间中运动，需要类型选择过程。现有许多方法使用螺旋理论（一种表示空间运动和力的数学工具）来识别满足运动要求的可行配置[51,52,53]。然而，本研究的重点是刚性平面连杆，因此这些方法将不会详细讨论。

1.2.2 局限性和概述
如文献综述所示，类型合成作为运动学合成过程中的关键步骤受到了广泛关注。然而，很少有研究直接解决平面类型合成的核心问题，即“未来的设计师如何为它们想要解决的具体问题选择最佳拓扑结构？”大多数类型合成研究集中在非同构运动链的完整枚举上，或者通过算法自动化来避免类型合成步骤。这些研究很有价值，但它们大多忽略了预测给定运动学任务下拓扑结构性能的关键挑战，以及据此选择最优拓扑结构的问题。为了选择最佳拓扑结构，需要有一个系统来预测其在特定任务中的表现。
Rao研究了基于紧凑性的拓扑结构性能预测方法，紧凑性是根据两个连杆之间的距离（即最少的关节数量）来确定的。他在瓦特链和斯蒂芬森链上验证了这一概念，并将其应用于平台型机器人[54,55]。Dargar还研究了刚度和紧凑性与运动学链的关系，并将链模型化为串联弹簧，从而获得了对系统刚度的新视角[56]。Vijay等人将紧凑性概念应用于机器人手的选择，并考虑了刚度和正向运动任务中的有效性[57]。Rao和Jagadeesh将类似的概念应用于动态敏感性，认为动态性能与连杆离地的关节数量有关。他们发现，那些在静态性能（即高机械优势）方面表现良好的运动链往往具有更高的动态敏感性，这表明在拓扑选择上存在权衡 [58]。文献中的另一个空白是对具有更高一对连接的运动链的研究。在本文中，F2 关节或更高一对连接被定义为任何只消除一个自由度的两个或多个连杆之间的连接。这不同于常见的旋转和直动关节，后者消除了两个自由度。F2 关节（例如销槽关节、带滑动的凸轮和叉式关节）通常更复杂，但在现代产品设计中仍然被广泛使用。这种研究不足的显著例外是齿轮对，它只消除一个自由度（通常是旋转），并且已经被广泛研究。然而，之前提到的关于预测运动链质量的观点也同样适用于带齿轮的连杆机构。在类型合成文献中，Sayed 的论文就是一个例子，该论文使用图论研究了更高一对连接的同构性 [9]。为了重申文献综述的发现，类型合成是平面连杆机构合成过程的重要部分。直到多达 19 个连杆，非同构拓扑的完整集合已经得到很好的建立，但制定最优拓扑选择的一致性过程仍是一个需要进一步研究的领域。此外，现有文献没有明确说明理解和合成 F2 类型关节的过程。本文的其余部分侧重于解决这两个不足。首先，本文介绍了类型合成中固有的步骤的高层次概述。然后，介绍了基本运动链（BKC）形成的步骤，包括在常见机械元件中出现的某些 F2 关节。最后，概述了为给定应用选择最优 BKC 的程序。这项工作为任何平面运动合成问题提供了一个一致性的框架。

2. 材料和方法——类型合成方法论
类型合成包括许多可识别的步骤。例如，在类型合成过程中，可以按以下顺序考虑下面列出的问题。首先，根据要解决的任务要求，已知所需的自由度值。类型合成过程的步骤见表 1。表 1. 类型合成过程中的关键设计问题。类型合成可以细分为拓扑合成、拓扑分析和数量合成。问题 1 到 3 属于数量合成，问题 4 到 6 属于拓扑合成，问题 7 到 9 是典型的拓扑分析问题。图 1 列出了合成过程的步骤。类型合成的第一步是确定形成具有正确自由度的连杆机构所需的连杆数量和类型。这可以通过使用改进形式的 Gruebler 方程（方程（1）来完成。F = 3(N ? 1) ? 2F1 ? F2
(1)
其中 F 是机构的自由度数；N 是机构中的连杆数量；F1 是机构中的低一对连接数量（例如销接关节、滑块等）；F2 是机构中的高一对连接数量（例如齿轮、凸轮、销槽关节等）。使用方程（1）确定正确的连杆数量和关节数量后，使用方程（2）来确定实现所需自由度所需的每种类型连杆的数量。这里的“类型”指的是固定在一个连杆上的关节数量。具有两个关节的连杆称为二元连杆，具有三个关节的连杆称为三元连杆，依此类推。这个方程的解是满足所需自由度值的更高阶连杆（具有两个以上连接）的集合。N ? (F + 3) = T + 2Q + 3P
(2)
其中 N 是机构中的总连杆数量；T 是三元连杆的数量；Q 是四元连杆的数量；P 是五元连杆的数量；F 是执行所需任务所需的自由度。请注意，二元连杆从方程中排除，因为它们不是更高阶连杆。相反，二元连杆的数量是通过从总连杆数量中减去方程计算出的更高阶连杆数量来得出的。例如，Watt 连杆有六个连杆和一个自由度。使用这些值，方程（2）可以重写为 6 ? (1 + 3) = 2 = T + 2Q + 3P。有两个变量 T、Q 和 P 的值可以解这个方程，即当 T 等于 2 或 Q 等于 1 时。如果 T 等于 2，则必须有 4 个二元连杆，因为总连杆数量 N 必须等于 6。这种（T = 2, B = 4）的连杆组合用于 Watt 和 Stephenson 拓扑结构。另一种满足方程 2 的组合（Q = 1, B = 5）不会产生任何有用的（非同构的）组合。每组独特的 N 个连杆被称为运动连杆集解（KLSS）。使用基本运动链（BKCs）来分析这些连杆集解的方法在第 2.2 节中进行了说明。

Freudenstein 和 Maki 建议使用以下形式而不是经典的 Gruebler 方程，后者更为复杂，但也为设计者提供了更多的灵活性 [59]。具体来说，这个版本允许用户考虑空间机构；(3) 和 (4) 在这些方程中，
F = 机构的自由度数。
l = 机构的连杆数量（包括固定连杆；所有连杆都被视为至少有两个关节的刚体）。
j = 机构的关节数量；每个关节都被假定为二元关节（即连接两个连杆）；如果两个或多个连杆共享一个共同的旋转轴（即关节似乎重叠），则关节数量 j = N ? 1，其中 N 是共同关节轴上的连杆数量。这种共享关节轴的情况被称为“多关节”。fi = 第 i 个关节的自由度；这是连接连杆之间的相对运动自由度。对于 F1 关节，这将是 1；对于 F2 关节，这将是 2。空间关节类型可能具有更多的自由度。λ = 机构操作空间的自由度；对于在平面内移动的无约束连杆，λ = 3；对于在三维空间内移动的无约束连杆，λ = 6。LIND = 机构中的独立回路或闭环数量。方程（3）和（4）可以组合成方程（5）：
(5)
以设计一个具有单个自由度的四杆连杆机构为例。在这种情况下，F = 1，λ = 3。四杆连杆有一个闭环，因此 LIND = 1。然后，将这些值代入方程（4）得到四杆连杆的表达式如下：
j = LIND + l ? 1 = 1 + 4 ? 1 = 4
因此，关节的数量是四个；快速检查四杆连杆可以确认这个结果符合预期。方程（3）表明，具有五个 F1 关节的五杆连杆机构具有两个自由度：
F = 3(5 ? 5 ? 1) + 5 = +2
如果五个关节允许连接连杆之间的单个自由度，而一个关节允许两个自由度的相对运动（例如齿轮连接），则五杆连杆具有单个自由度。对于具有两个环路的六杆连杆（LIND = 2），从方程（4）得出 j = 2 + 6 ? 1 = 7，而从方程（3）（假设使用销接和滑块关节）得出 F = 3(6 ? 7 ? 1) + 7 = 1。

2.1. 基本运动链（BKCs）
每个潜在解所包含的连杆集合通过所有连杆连接点使用销接关节组装成图形。这些图形定义了由此集合形成的连杆机构的拓扑结构，并被称为同构体。这些同构体保证具有所需的整体自由度。从所有运动连杆集解中获得的每个具有所需自由度值和连杆数量的同构体称为基本运动链（BKC），有时也称为基本运动图（BKD）。图 2 显示了具有 6 个连杆和一个自由度的完全 BKCs 集合，并概述了寻找该集合的过程。根据 Gruebler 方程（方程（1）），如果没有 F2 关节，则六杆连杆具有一个自由度时，F1 关节的数量必须是七个。图 2 中的 BKCs C-H 具有零自由度的子链（所有 F1 型关节形成的三角形都是刚性的），因此它们是同构的且没有用处。这些链是不必要的复杂版本。例如，图 2 中同构体 C 的活动部分由于左侧的刚性三角形子链而简化为简单的四杆连杆。图 2 展示了六杆、一个自由度的连杆类型的类型合成。具体来说，展示了众所周知的 Watt 和 Stephenson 连杆的拓扑推导。类似的图形最初发表在《Advanced Mechanism Design Vol I》第 529 页 [60]。图中的一个自由度的六杆连杆有两种连杆集解，使用方程（2）找到。如前所述，第一种解集是 5 个二元连杆和 1 个四元连杆，第二种解集是 4 个二元连杆和 2 个三元连杆。第一组（5B 1Q）的所有同构体都失败了，因为它们包含刚性子链，去除这些子链后，BKC 会退化为其他更简单的连杆机构。例如，当去除右侧的刚性三角形后，链 G 简化为四杆连杆。同样，第二组中的 2/3 同构体（C-F）也失败了，因为它们包含刚性子链。剩下的两种拓扑分别标记为“A”和“B”，通常被称为 Stephenson 和 Watt 拓扑结构。

最后一步是识别给定运动链的所有拓扑反演。这些是通过一次接地 BKC 中的每个连杆来形成的，并确定哪些结果机构在拓扑上是唯一的。例如，Watt I 在拓扑上与 Watt II 不同，可能能够执行完全不同的任务。在 Watt I 中，一个二元连杆被接地，而在 Watt II 中，一个三元连杆被接地。Stephenson 连杆在图 2 中有三个独特的反演，而 Watt 连杆只有两个。很少有方法可以确定哪种拓扑反演最适合特定任务。图 2 中显示的六杆 1-DOF 情况是一个相对简单的例子，用于说明拓扑枚举的概念，但随着连杆数量或自由度的增加，这个过程的复杂性会迅速增加。正如文献综述中提到的，许多作者研究了拓扑枚举，即生成截至一定数量连杆的非同构运动链的完整集合。Hon-Sen Yan 开发了一个关于这个主题的重要表格，在此进行了修改后复制。表 2 显示了从 4 到 12 个连杆数量的不同自由度的独特运动链数量。请注意，这仅指独特的链，不包括运动反演。例如，表中报告的六杆和一个自由度的有用组合是两个，代表 Watt 和 Stephenson 连杆，而不是五个，包括所有独特的运动反演。还需要注意的是，该表没有考虑使用 F2 关节的拓扑结构，这就是为什么奇数个连杆组合不会产生奇数自由度的连杆机构，反之亦然——即使是偶数个连杆的组合也不会产生偶数自由度的连杆机构。表 2。根据连杆的数量和期望的自由度，可以形成多种有用且独特的运动链。该表格未包括独特的运动反转或F2型关节。该表格是基于Hong-Sen Yan在[61]中首次报告的类似表格修改而来的。8连杆链具有单一自由度的16种有用组合在连杆综合中是常见的结果，这些拓扑结构的示例可以在[61]中看到。2.2. BKC形成的特殊规则和技术下一节将展示如何通过用销钉关节替换其他类型的关节或机械元件，将图2中的BKC转换为不同的机构。BKC是一种封闭的平面结构，由下部的一对非多重旋转关节和多边形连杆组成。例如，二元连杆被表示为直线，三元连杆被表示为三角形。请记住，类型综合为设计师提供了拓扑信息，而不是尺寸信息，因此BKC模型与最终机构的几何形状相似与否并不重要。重要的是机构拓扑的“自由度等效性”。如果所有研究人员使用相同的机构模型，比较他们的工作会变得更加容易。BKC模型被优先选择，因为它是拓扑结构的“最基本”的视觉表示形式。表3中给出了一组称为变换规则的规则，这些规则可以保留或修改BKC的自由度，每种规则都有其特定的用途。在设计综合模式下，这些规则用于将BKC转换为不太抽象的对象，要么是另一种“不那么基本”的运动链，要么是表示连杆之间所需关节类型的机构模型（如果不是旋转关节）。在分析模式下，变换规则用于简化所有几何、尺寸和高级别关节信息，以确定特定设计所使用的底层拓扑结构。这有助于判断是否一致地使用相同的拓扑结构来解决相同或相似的任务。如果是这样，则可以研究为什么这种拓扑结构更适合该任务，并希望可以制定新的设计规则并应用于未来的设计工作中。图3展示了每个设计规则的视觉表示。图3. 简图显示了变换规则在简单运动链中的效果。左侧BKC中的数字对应于应用变换规则后右侧BKC中的相同元素。规则一表明，滑块（直线）关节在自由度上可以与销钉关节互换。这一属性对于强制两个连杆之间的相对直线运动非常有用。规则二、三和四有助于简化包含F2关节的拓扑结构，或将现有连杆转换为包含F2关节的结构。规则五表明，将三元连杆缩放为二元连杆可以保持自由度，但将整个连杆缩放为单个关节则不能保持自由度等效性（如规则六所示）。这一属性对于压缩连杆或减少关节数量非常有用。还可以通过将过于接近的关节合并在一个连杆上来简化设计。最后，规则七表明，将一个连杆固定在地面上与将单个关节固定在该连杆上在自由度上不等效。需要注意的是，这表明连杆可以在不失去运动特性的情况下安装在轴上。检查BKC要比研究从它们派生出的所有可能的机构容易得多。收集所有独特的BKC的原因是，如果缺少任何一个，设计师可能会错过一个潜在有用的机构拓扑结构。此外，BKC可以模拟所有机构。接下来将讨论常见元素及其运动学等价物的示例。2.3. 将常见机械元件建模为BKC皮带、链条和缆绳是最常用的柔性元件，主要用于摩擦或链轮传动中。它们的主要作用是作为动力传输元件。因此，它们的运动学任务是一个简单的函数生成案例，即保持两个轴之间的恒定角速度比或同步。带齿同步皮带是这一机械元件家族中的重要成员。有趣的是，18世纪初Newcomen蒸汽机中使用的链条就是这一家族成员的首批应用之一，用作联接连杆。这些元件只有在张力作用下才能传递运动和完成工作。它们用于在相距较远或不平行的轴之间传递动力。它们价格便宜且易于更换，可以调节以补偿制造误差，允许在轴之间进行调整，可以同时为多个轴提供动力，并减少通过机器的冲击载荷。这些元件的建模方式并不直接，即不是为皮带的每一侧都使用一个连杆。相反，只使用一个二元连杆来跨越 tension 侧的两个滑轮。松弛侧的连杆在运动学上是冗余的，用二元连杆对其进行建模会导致自由度不正确。通常，在多滑轮系统中，位于驱动滑轮和最后一个从动滑轮之间的松弛侧会被省略。因此，能够转换为包含皮带或链条传动的BKC必须具有一个自由度和一个二元联接连杆（如果系统包含多个轴，则需要一系列二元联接连杆）。用于模拟滑轮的连杆几乎总是需要通过旋转关节固定在地面上。图4展示了两种可以模拟这些机构的BKC。图4. 皮带和滑轮系统及其对应的BKC。图中的连杆编号在左右两侧是一一对应的。例如，左侧滑轮系统中的连杆1在右侧BKC中由连杆1表示。弹簧在机械中有许多用途，包括保持凸轮-从动系统中的高级别关节闭合、在机构装配中提供预加载、作为汽车底盘中的柔性支撑件、储存势能或作为平衡重。线性和扭转弹簧都被建模为二元对（两个串联的二元连杆）。汽车阀门弹簧和轴颈弹簧连接到地面连杆，而预加载和平衡重弹簧则不受BKC中特定位置的限制。在所有情况下，唯一的要求是弹簧两端必须连接到机器中的两个不同连杆，通常是相邻的两个连杆。要将弹簧纳入机械中，BKC需要包含一个二元对，该二元对将被弹簧替代。图5展示了一个压缩弹簧，保证了汽车阀门传动系统中凸轮-从动关节的闭合。图5. 弹簧保持汽车阀门装配中凸轮-从动关节的闭合。液压和气动缸几乎总是用作线性输入驱动器，尤其是在需要大力的情况下。当作为输入驱动器使用时，这种机械元件通常固定在地面的连杆上。尽管常见的使用方式是将气缸/轴组件建模为二元对（连杆之间的低级别销钉关节最终会成为低级别滑块），但气缸也可以成为其他连杆的连接点，在这种情况下成为BKC中的高级别连杆。BKC模拟液压/气动缸所需的正常特性是一个固定到地面的二元对。图6说明了模拟这种机械元件及其包含的BKC的结构。图6. 模拟液压和气动缸。每个编号的连杆对应于BKC中的相同编号元件。齿轮的主要用途是作为传动装置来传递动力和旋转运动。与皮带类似，这种用途也是一个简单的函数生成任务。齿轮对关节是一种高级别关节，具有滚动和滑动接触的特性，这表明候选BKC必须具备这些特性。一对啮合的齿轮通过四杆环来建模（见图7A）。两个齿轮位于环的相对两侧，连接齿轮中心的齿轮对关节和地面连杆也位于环的相对两侧。四个销钉关节标记为RRBB，其中Rs对应于齿轮的旋转中心，Bs对应于两个齿轮基圆的切线。另一组齿轮的模型在第一卷[60]的表1.2中有介绍。一个低级别等效物可以在瞬间匹配齿轮组的角速度比，其中两个枢轴位于齿轮的中心轴承上，另外两个枢轴位于每个齿轮的曲率中心。图7. 建模齿轮对并将其纳入BKC。机械中的编号连杆对应于BKC中的相同编号元件。（A）最基本的齿轮对情况，即两个固定的互锁齿轮的BKC。“虚构”的二元连杆B允许BKC具有一个自由度。（B）使用六杆Stephenson拓扑结构建模的五杆连杆。这种连杆可以用来重现四杆机构的路径，同时驱动两个固定的连杆[62]。在尝试将齿轮组替换到BKC中的逆问题时，满意的四杆环必须至少包含一个二元连杆。这个二元连杆成为两个基圆销钉关节之间的虚构联接连杆。如变换规则4所述，这个连杆将被更高级别的齿轮对关节替换。图7展示了如何将齿轮引入各种BKC中。其中一个草图显示了Stephenson I连杆如何模拟带齿轮的五杆连杆。这支持了带齿轮的五杆连杆是从六杆一自由度BKC派生出来的理论。单臂行星齿轮传动系统基本上是两自由度的装置。这些与一自由度齿轮传动系统不同，具有不同的BKC。这些机构的结构基于一自由度BKC，但第二个自由度是通过整个BKC围绕单个固定枢轴旋转来提供的，而不是通过一个固定连杆。这个枢轴对应于常见的主轴中心线。通过将RRBB环扩展为RARBB两自由度环，可以生成一组特别适用于合成行星齿轮传动的BKC。额外的A表示行星齿轮臂连杆与地面的连接相对于输入太阳齿轮的固定枢轴是分离的。这使得齿轮似乎围绕两个不同的中心线旋转，但如果要保持齿轮的啮合这是不可能的。为了保持一组标准的BKC，这是一个可以接受的代价。如果在设计阶段选择了BKC来表示行星齿轮传动系统，则必须记住从两自由度循环开始的额外规则。通过为每个额外的齿轮添加一个二元对（每个额外齿轮一个二元连杆）和一个虚构的联接连杆来形成更复杂的机构，这个虚构的联接连杆将在设计过程的后续步骤中被第4条变换规则消除，以模拟更高级别的齿轮关节。一般来说，一个具有N个啮合太阳轮的齿轮机构会有N个二元连杆对，一个用于臂部，以及两个N + i阶的连杆，其中一个是由行星轮组成的复合齿轮（在更复杂的机构中），另一个是固定连杆。从这两个原始的二自由度机构基础模型（BKC）出发，可以通过执行变换法则6和7来推导出多关节BKC的形式。图8演示了这些点。第一卷的图7.19展示了从BKC[60]中列举出的几种五连杆行星齿轮机构。图8显示了二自由度行星齿轮机构的BKC。在BKC中，HPGJ表示高阶齿轮关节；‘S’表示太阳轮，‘P’表示行星轮，‘A’表示齿轮机构的臂部；‘S-R’是齿轮的一种特例——齿圈。BKC中的元素编号与右侧行星系统中的齿轮编号相对应。凸轮和从动部件的建模方式与齿轮类似。高阶关节的类型对于两者来说都是相同的；齿轮对关节是凸轮关节的一种特例。因此，候选BKC所需的特性与齿轮对所需的特性相似并不令人惊讶。然而，有一个重要的区别：啮合齿轮机构在BKC中需要一个四杆循环结构，而凸轮-从动机构则不需要。图9展示了两种凸轮机构及其BKC的示例。同样，可以考虑用两端带有销钉的凸轮表面和从动部件曲率中心之间的连杆来替代高阶凸轮关节。第一卷的第6.10节展示了如何将BKC应用于凸轮调节的连杆系统——即凸轮和多循环连杆的组合[60]。图9展示了两种不同类型的凸轮系统及其BKC。左侧BKC中的编号与右侧机构中的连杆编号相对应。

2.4. 形态设计选择原则
一旦确定了候选BKC的集合，类型综合的最后一步就是选择其中一个（有时是几个）在尺寸分析步骤中进行综合。以下是一些通用设计规则的示例，这些规则说明了BKC和运动学反演选择方法。这类规则旨在系统化机械设计师在工作中的经验。除了限制设计空间的严格设计规则外，还有一些类型综合的设计原则可以指导形态选择。这些并不是严格意义上的“规则”，而是一系列工具，设计师可以利用它们来预测不同形态对某些性能指标的影响，特别是用于比较任意两个BKC。其中第一个原则是紧凑性，这在文献综述中已经简要介绍过。

2.4.1. 紧凑性
Rao提出了紧凑性作为一个指标，用于预测机构可以占据的最小空间，但它也对机构的静态性能有重要意义[54]。紧凑性定义为距离矩阵中所有元素的总和。距离矩阵是一个方阵，其中每个元素dij表示连杆i和连杆j之间的最短距离（即最少需要的关节数）。因此，对角线上的元素（i = j）都为零，所有其他元素都非零——任意两个连杆之间至少必须有一个关节。考虑图2所示的Stephenson III拓扑结构，其距离矩阵Ds可以按照公式（6）表示。尽管由于连杆编号方案的不同，公式有所差异，但结果与[54]中报告的结果一致。
紧凑性计算为距离矩阵中所有元素的总和。对于Stephenson BKC，其紧凑性得分为46。给定拓扑的所有反演形式都将具有相同的整体紧凑性得分，但并非所有连杆数相同的拓扑都具有相同的紧凑性得分。例如，另一种主要的单自由度六杆拓扑结构Watt链（见图6）的紧凑性得分为50，如公式（7）所示。可以看出，这个结果也与[54]中的报告一致。
正如这里定义的紧凑性所示，较低的得分表示机构更为紧凑，因此Stephenson链比Watt链更为紧凑。需要明确的是，这并不意味着所有的Stephenson连杆机构都比Watt链更小或更紧凑；紧凑性与物理尺寸无关，因为BKC/拓扑是无量纲的。更直观的理解方式是，如果使用同一组连杆创建了两种不同的拓扑结构，那么更为紧凑的机构通常会有更小的整体占用空间。紧凑性适用于整个解集或平均解，但不一定适用于任意两个具体尺寸解的直接比较。

2.4.2. 伸展范围
回忆一下，运动学反演是通过在基本运动链中固定不同的连杆来创建独特的机构布局。伸展范围是每个运动学反演特有的拓扑属性，它定义为最远连杆与固定框架之间的最小关节数。给定运动学反演的伸展范围是距离矩阵中相应行的最大值（该行根据被固定的连杆的参考编号来选择）。以公式（7）给出的Watt机构的距离矩阵为例，选择Watt II反演时，设计者可以固定三个连杆中的任何一个，这两个连杆对应于矩阵中的第三行和第四行。这两个连杆与拓扑中其他任何连杆之间的最小关节数永远不会超过2。然而，如果设计者固定任意一个二元连杆（即Watt I反演），那么至少会有一个连杆与固定框架之间的距离大于或等于3个关节。随着连杆与固定框架之间的关节数增加，其能够产生的运动复杂性也会增加。一个通过旋转关节固定在地面上的连杆只能产生围绕固定框架的圆形路径。更高一级的例子是一个与地面相距两个关节的连杆（如四杆机构的联轴器），它至少在一个关节上受到约束，只能沿固定框架做圆形运动。即便如此，根据Hrones和Nelson的研究，这种组合已经能够产生复杂的运动[32,33]。如果连杆与固定框架之间的距离超过三个关节，那么约束该连杆的关节就不一定仅限于圆形路径，从而大大增加了其运动的理论复杂性。伸展范围可以理解为机构从某种压缩状态展开的能力。具有较长伸展范围的机构能够更好地利用每个连杆的长度来远离固定点运动。图10展示了一个剪刀升降机构的实际例子，该机构看起来像一串堆叠的字母“X”，使得系统能够将底部的相对较小横向运动转化为较大的垂直运动。尽管它只有10个连杆（每个滑动部件算作一个独立的连杆），但它的伸展范围达到了5个关节。连杆的压缩能力是一种设计属性，并不意味着具有较大伸展范围的机构就一定更紧凑；缺点（如变形点或分支缺陷）可能会阻止最终尺寸设计的稳定性。总之，在设计可折叠连杆机构时，选择具有较大伸展范围的拓扑结构是一个好的起点。

2.4.3. 稳定性
稳定性对于任何机构都是一项重要的运动学属性，尤其是对于需要提升重物的机构而言。通常，这一属性应用于低速和高力作用下、静态力占主导的应用场景。这与动态性能（惯性力占主导的情况）有所不同。稳定性受到尺寸综合步骤和物理机构制造质量的影响，但形态选择仍然会对构建机构的性能产生多种影响。首先是与固定框架的连接数量（即固定的旋转点）有关。增加更多的固定连接点可以使力在固定框架上更均匀分布。其次是连杆之间的连通性。在大多数情况下，二元连杆可以近似为仅在两个关节之间传递轴向力的两力构件。然而，一旦增加第三个连接点或力，连杆就可以在其他非轴向方向上传递力。使用三元连杆作为固定框架是一种提高稳定性的有效方法，因为更多的力会传递到框架中。

2.4.4. 动态/静态性能
对于高速运行的机构来说，动态性能是一个关键属性。对于许多机构而言，在低速运行时可以忽略动态性能，因为静态力的影响占主导地位。但在高速运行时，与连杆质量相关的力（惯性力、角加速度和线性加速度、重力）将开始起主导作用，或者至少变得足够显著而不能再被忽视。尽管机构本质上不是静态的，但“静态性能”一词用于描述机构在静止配置下的低速运行情况。在这些条件下，基于运动机构瞬时快照的受力图将由静态力主导。机构的构建方式会对动态性能产生重大影响，例如使用轻质材料或将高阶连杆作为框架而不是实心连杆可以大大减少动态力。尺寸综合步骤也非常重要，因为较长的连杆会增加质量并增大扭矩，而在高速下分叉或连杆损坏等问题会更加严重。Rao和Jagadeesh在比较他们的两项研究结果时发现，包含更多高阶连杆（如三元或四元连杆）的连杆拓扑结构通常具有更好的动态性能，但静态性能较差[54,58]。

2.4.5. 复杂性和制造性
这个类别可能最为直接。随着连杆数量的增加，合成和最终构建机构的复杂性也会增加。类似地，使用专门的关节类型（如F2关节），或者要求将某个旋转关节替换为滑动关节，也会增加构建机构时的合成复杂性和挑战。与滑动关节和高阶关节相比，销轴关节总是更受欢迎。销轴关节的初始成本和维护成本较低，摩擦损失、磨损、噪音和热量积聚也较少。这不应该阻止设计师使用滑动关节或高阶凸轮关节，因为有时这些关节是满足特定需求的唯一选择，但通常首先应考虑使用销轴关节的解决方案。

需要强调的一个分析复杂性方面是机构中存在的大量传动角。四杆机构包含一个传动点，即连杆与从动连杆的连接处。在运动过程中，这个关节的角度应尽可能接近90度，以最大化力的传递效率。当角度接近0度时，通过二元连杆传递的大部分力会直接作用在地面上或导致连杆变形（拉伸/压缩）。随着机构中连杆数量的增加，相关传动点的数量也会增加。

以Watt II为例，它由两个四杆机构通过中间的一个共享的三杆连杆连接在一起。每个四杆机构都有自己独立的传动角，除非是在使用等效机构（cognates）创建的Chebyshev平行运动连杆这种特殊情况下。传动点还会增加新的缺陷形成位置。这些缺陷并不一定会在合成后的机构中出现，但随着传动点数量的增加，出现缺陷的概率也会增加。对于具有大量连杆的拓扑结构来说，找到一个没有缺陷且在整个运动过程中都具有有利传动角的解决方案的分析难度大大增加。尽管额外连杆带来的好处通常会超过额外传动角所带来的成本，但认为对复杂拓扑结构进行有效的尺寸合成只是简单地评估几个额外环路是极其不正确的。

随着连杆数量的增加，另一个成本是制造公差的累积。连杆越多，输出的精度就越低。虽然精确制造可以减少这些损失，但降低公差也会使项目成本增加。

2.4.6. 运动学任务——六杆机构示例

并非所有给定的BKC（Bernoulli-Koch connectors）变体在解决特定的运动学任务时都同样有效。Watt I和Watt II机构的比较是最能说明这一点的例子。尽管它们具有相同的BKC，但这两种变体在其最佳应用上却有很大不同。Watt II相当于一个带有驱动对（driving dyad）的四杆机构。除了在某些特定情况下（如使用等效机构创建的Chebyshev平行运动连杆），它在运动或路径生成任务中的效果并不比四杆机构更好。然而，在函数生成任务中，Watt II非常有效。其双四杆拓扑结构使其能够模拟输入和输出之间的复杂函数关系。另一方面，Watt I可能是六杆拓扑结构中在运动或路径生成任务中最有效的。如上所述，它具有所有1自由度六杆机构中最长的行程距离，相对于连杆长度能够实现复杂的运动和较大的移动距离。Watt I的两个地面支点之间的基础环路与一般的四杆机构相同。这意味着在函数生成任务中，Watt I具有六杆机构的复杂性和传动点，但在实际的运动学任务中并没有比四杆机构更多的优势。

除了长行程外，Watt I BKC还能通过Roberts-Chebyshev等效机构定理实现平行运动，这种特性在4杆和6杆BKC中是独特的（并且优于图11中所示的8杆BKC，后者由两个相同的4杆机构通过一个连接杆组成）。图11：(A) 两个相同的4杆机构连接在一起可以产生平行运动；(B) 从这个8杆BKC可以实现变点运动。平行运动生成是多种特定问题类型之一，其中所需的运动学任务决定了最终选择的拓扑结构。

另一个例子是驻留连杆（dwell linkage），其中一个经典的解决方案使用了Stephenson III BKC（见图12）。通过合成一个路径生成器4杆连杆来获得伪直线或圆弧形状的连接器曲线。然后通过滑块或直线二元连杆将输出（驻留对）连接到该连接器点。这是路径生成器驱动函数生成器的例子，与典型情况相反。图12展示了在驻留连杆中选择BKC的策略，其中当滑块5沿嵌入的4杆机构的直线部分移动时，连杆6会处于驻留状态。Stephenson III BKC是一种经典的驻留连杆拓扑结构。

多任务机器使用多个连杆来执行多种任务。最常见的方法是为每个任务分别设计一个自由度为1的机器，然后通过皮带驱动或其他函数生成机构将这些小型机器连接起来形成一个较大的自由度为1的机器。虽然概念上简单，但这通常是一种浪费且不必要的复杂方法。这类系统的构建和维护成本更高，驱动所需的能量也更多。这类系统的BKC由许多简单的子BKC组合而成。一个更优雅且简单的解决方案是设计一个机制，使机制的不同部分执行各种所需的运动。例如，对于双任务问题，至少需要一个8杆BKC。同样的任务也可以用6杆BKC来解决。尽管这种类型的机构更难合成，但其潜在的好处值得考虑。

一个聪明的双任务机构基于Watt I BKC（见图13）。问题是从泵中沿着特定路径输送材料。设计团队合成了一个4杆连杆来实现所需的路径，在此过程中，连杆和从动连杆的角速度方向相反。然后在原始连杆上叠加了一个额外的二元连杆，以便在循环的适当时刻激活泵。泵被连接到其中一个新的二元连杆上，另一个二元连杆则用滑动关节替换，并直接驱动泵。图13A显示了标记的BKC和该解决方案的草图，以及将两个4杆BKC组合成一个8杆BKC的典型策略（图13B）。图13左侧的连杆编号对应右侧BKC中的元素编号。

Watt II BKC经常被用作函数生成器或包含函数生成组件。从其拓扑结构来看，这是很显然的，它是由两个4杆链通过曲柄连接在一起组成的。在其他应用中，BKC的后半部分用于获得运动或路径特性，而前半部分则是函数生成器，用于限制输出运动或确保曲柄可以驱动机器。这种功能生成部分通常被称为驱动对（driving dyad），但整个4杆解决方案也被合成。这种拓扑的一个限制是不能提供比4杆拓扑更复杂的运动。然而，这种拓扑作为力或运动放大器效果非常好。图14展示了一个例子，其中洗衣机的输出搅拌连杆在输入曲柄每转半圈时旋转210度。

Stephenson III BKC在需要小的地面连杆和良好传动角能力的运动和路径生成任务中得到了广泛应用。三杆地面连杆也比二元地面连杆更稳定。通过在连接器上直接连接一个驱动对，可以克服嵌入4杆BKC中的不良传动角问题。这种三杆连接器还能使连接器更加稳定，并能够提供扭矩。

图15展示了一个从8杆BKC派生出的机构（将弹簧视为驱动对）。整个连杆中嵌入了一个Stephenson III BKC，用于引导汽车引擎盖的运动。引擎盖的运动由Stephenson BKC的4杆部分实现。添加额外连杆是为了保证力的稳定性并为平衡弹簧提供一个基础。图15显示了一个从8杆BKC派生出的用于打开汽车引擎盖的机构。通过添加弹簧，BKC可以被建模为一个等效的8杆机构。

2.4.7. 方法论总结

从类型合成的基本原理、对问题定义的深刻理解以及对拓扑属性的定量理解出发，设计师可以制定出一套一致的类型合成流程。该流程在图16中进行了高层次的概述。以下部分将通过一些实际设计案例来展示类型合成流程的应用。

3. 结果——设计示例

3.1. 设计示例#1——书柜封面

这个示例说明了整个类型合成过程。要求书柜包含一个由电机驱动的前玻璃盖，以防止灰尘进入。封面应旋转90度并向后移动到书柜的上部，如图17所示。连杆的整体设计应尽可能小巧，以不显眼，同时必须保持稳定和相对安静。

上述要求代表了开始设计时需要考虑的信息。一些重要的特性和约束条件包括：首先，该机构具有单一自由度，因为一个受控输入对应一个受控输出；其次，运动学任务是生成运动，需要控制一个浮动连杆沿着期望的路径和方向移动；第三，输入连杆应为曲柄，以便电机驱动连杆。驱动封面所需的传动角和输入扭矩也是一个需要考虑的因素。最终，连杆的长度和地面枢轴的位置不能侵入书架的空间，也不应对书架结构进行大幅修改。上述为解决此任务所需的评论提出了以下设计规则：
(R1) 盖板连杆必须能够进行复杂的（非圆形）运动。
(R2) 需要短连杆来支撑盖板的重量。
规则2的一个推论是：在盖板的另一端和书柜之间使用滑动连杆可能是有利的。
规则2及其推论被合并在一起，因为它们解决的是同一个设计问题。首先，应避免使用从地面连杆（书柜）到盖板的的长连杆串。这样的构造需要连杆具有较大的横截面尺寸以提供抗弯能力，并且需要非常精确加工的接头。较大的连杆深度尺寸难以适应有限的空间。其次，长连杆串的制造成本更高，并且需要大量空间来折叠到可用空间中。第三，滑动部件可以更容易地支撑盖板的重量，因为它可以直接在书柜框架上滑动，而盖板所需的平移运动强烈表明需要使用滑动组件。如果认为有必要，我们可以在将来放宽这一约束并研究由此产生的机构。

(R3) 该机构必须在蓋板上产生一个力偶（施加的扭矩）。
这一规则是因为盖板将由单一的曲柄输入控制。然而，简单的单循环曲柄机构链只能通过机构的一侧向盖板提供简单的扭矩，导致在-duty cycle的某些时刻运动传递不佳。需要第二个同时激活的输入会给用户带来不必要的复杂性，因此这是不理想的。因此，策略是在机构内分解单一的用户提供的输入运动来产生力偶。整个机构仍然只有一个自由度，用户也只提供一个输入，但在内部机构会在盖板上产生一个力偶。

基于这些设计规则，我们制定了拓扑规则，定义了成功的BKC和机构必须具备的具体结构要求。请注意，不同的设计规则将产生不同的拓扑规则，从而导致不同的候选BKC集合。拓扑规则被标记为TR#。一些规则是针对简单的齿轮传动输入的，这些规则将被标记为TR#-SG。

(TR1) 盖板连杆不能与地面相邻。
TR1直接来自规则R1，因为与地面相连的连杆只能产生相对于地面的圆形运动，而盖板必须遵循复杂的路径。最初认为一个分隔盖板和地面的二元连杆对是足够的。

(TR2) 地面连杆不应是二元的。
TR2源自R3，因为需要在盖板上施加力偶。通过增加地面枢轴的数量来分布力，这个特性将更容易实现。

(TR3) 盖板连杆不应是二元的。
TR3源于R2和R3。增加支撑盖板的连杆数量可以减少其偏移并更好地支撑其重量。这些支撑连杆形成从地面到盖板的链条。虽然可以在二元连杆盖板上生成力偶，但在更高阶的连杆上创建这个力系统会更简单。

(TR4) 需要一个多循环的BKC。
这来自R3。使用单个输入创建力偶系统需要一种拓扑结构，将输入分成两个链条，每个链条驱动盖板。驱动盖板的连杆应该是独立循环的一部分，或者不是必需的多余部分。多循环的单自由度BKC总是具有更高阶的连杆。

此时，我们可以开始描述成功的BKC的形式。它们是具有至少三个更高阶连杆（地面、输入曲柄和盖板）的多循环机构。此外，盖板连杆是一个浮动连杆，不与地面相邻，但滑动部件可以与地面相邻，也可以与盖板连接。齿轮驱动系统可以在机构内分解输入扭矩。下面列出了齿轮输入驱动器所需的特殊规则。这些规则是附加在上述列表之外的。

(TR-SG1) 四杆循环必须与地面相邻。这个四杆的连接器必须是二元连杆。
这是为了形成一个RRBB循环。回想一下，Rs对应于齿轮的旋转中心，而Bs对应于两个齿轮基圆的公切线。两个标记为B的销接头需要被消除。同时，请注意，两个齿轮都固定在地面上，因此它们都不是地面上的扇形齿轮。如果认为地面上的扇形齿轮是可行的，这个要求可以放宽。

(TR-SG2) 两个齿轮连杆必须是更高阶的连杆。
需要四个更高阶的连杆。这是为了确保齿轮传动有效。两个齿轮都是必要的，以驱动BKC的不同循环，最终驱动盖板的相对端。

最后，可以在这里列出一些尺寸规则。这些规则对BKC的选择影响较小，但这些点被认为非常重要，因此在这里进行了总结。

(DR1) 由于偏移考虑，使用短连杆和滑动部件是更优的选择。
(DR2) 除非尺寸很小，否则地面和盖板都不应该是扇形齿轮。
(DR3) 当盖板完全打开时，达到静止位置是理想的。

我们将把这些设计规则应用到BKC中，将所有设计建模为最多八个连杆的单自由度机构。我们试图超越滑动曲柄链的性能。然而，这种机构确实包含了许多所需的部件，如曲柄输入、书柜上的滑动鞋和盖板连杆。但是，BKC还不够复杂，因为它只是一个单循环链，只能在盖板上产生简单的扭矩。六个连杆是第一个多循环单自由度链。五个六杆拓扑结构都因各种原因失败了。列出这些细节是为了记录思考过程，并且在后来放宽任何违反的设计规则时可以回到这些选项。

Stephenson I失败是因为地面和盖板连杆都是二元的。
Stephenson II失败是因为地面是一个二元链，而与地面相邻的循环是一个五杆链。
Stephenson III失败是因为地面连杆将是一个扇形齿轮。
Watt I失败是因为地面将是一个二元扇形齿轮，而盖板也是二元的。
Watt II失败是因为盖板是二元的，且其中一个齿轮没有被利用。

如表2所示，有16个八杆BKC和这些基础拓扑的71种独特运动学逆构[61]。在排除了违反上述规则的拓扑后，只有3种机制值得进一步关注。满足设计规则的三种逆构在图18中标记。‘HS’表示虚构的二元连杆，用于模拟齿轮之间的高级旋转/滑动接头。类似的行星齿轮传动驱动规则集合只产生了6个八杆机构。其他类型的驱动器可能会产生额外的候选机制。到这一点，类型合成过程已经完成，揭示了所有适用于所需目的的形式和布局。现在可以进行尺寸合成工作，以确定完成该机构全尺寸合成的最佳连杆长度。图18显示了三种候选的盖板导向机构拓扑。右侧是一个具有该拓扑的机构草图；请注意，这些示例草图的尺寸合成尚未完成。

3.2. 设计示例#2
类型合成的一种应用是确认某设计与竞争产品或设计有足够的区别。使用独特的拓扑结构肯定不能涵盖任何专有技术的复制，但从运动学的角度来看，使用不同的拓扑结构可以确保底层连杆解决方案与任何竞争设计不同。这比稍微改变现有设计的一些尺寸并声称它是新产品要更有说服力。这个例子受到[60]中类似研究的启发。另一个关于车辆悬挂系统的类似类型分析示例见于[63]。在使用上述类型的合成方法时，需要为摩托车设计一个新的后悬挂系统。一般来说，摩托车的后轮悬挂是一个四杆连杆。然而，这样的设计无法提供大的车轮行程和可变的杠杆比。因此，已经采用了六杆连杆的概念来设计越野摩托车的后悬挂，例如Honda CR250R Pro-link（图19A）、Suzuki RM250X Full-Floater（图19B）和Kawasaki KX250 Uni-track（图19C）。需要找到与这三种不同的其他六杆解决方案。

图19. 摩托车后轮的各种候选悬挂设计。这三种悬挂有许多相似之处，但每种都使用略有不同的拓扑结构来完成悬挂任务。（A）Honda CR250R Pro-Link摩托车的悬挂模型。（B）Suzuki RM250X Full-Floater悬挂模型。（C）Kawasaki KX250 Uni-Track悬挂模型。
*图19A-C的类似版本之前发表在《高级机构设计I》教科书[60]中。它们最初是由前学生R. Rizq根据[64]中的研究改编的，H.S. Yan的《创造性机构设计方法》，1985年。在那篇论文中，Yan使用数字合成方法推导出98种新的车轮阻尼机构设计。

遵循以下过程：
(A) 确定它代表的六杆连杆类型（车轮不被视为连杆）。
(B) 仅使用单自由度的六杆BKC，创建尽可能多的与给定的三种不同的悬挂设计。
(C) 适用以下设计要求：
(R1) 必须有一个固定的连杆作为框架。
(R2) 悬挂必须有一个减震弹簧或液压缸来吸收冲击。它将被建模为两个二元连杆，因此BKC中必须有一个二元连杆对。
(R3) 必须有一个支撑后轮的摆动臂，且摆动臂必须与固定框架相邻以充分支撑车轮。
(R4) 固定连杆、减震器和摆动臂必须是不同的部件。

解决方案：
(A) 参考图19中的三种设计，设计A有三个地面枢轴，三元连杆是分离的，因此它是Stephenson III类型。设计B中的三元连杆也是分离的，并且都连接到二元地面，因此这是Stephenson I类型。设计C中的三元连杆相邻于一个三元地面，形成了Watt II六杆机构。
(B—R1) 任何Stephenson和Watt BKC都满足这些标准。
(B—R2) 图20显示了应用规则2后所有剩余的可能连杆和元件布局。这些可能是可以用悬挂弹簧或液压缸替换的相邻二元连杆（即连杆对）。图20中用Ss表示这个元件。图20显示了不符合要求的拓扑结构已经被排除。Sw表示支撑车轮的摆动臂，Gr表示摩托车的框架（地面），Ss表示两元件悬挂弹簧。未能满足规则3（摆动臂与地面相邻）的元件在图中被划掉了。

(B—R3, R4) 这些规则要求摆动臂与地面相邻，并且每个元件都是独特的。应用最终的设计要求后，只剩下六种设计（图20）。未能满足规则3的元件布局被划掉了。

图21显示了六个存活悬挂拓扑的未缩放运动学图。请注意，图21b展示了川崎KX2SO的Uni-trak悬挂系统，图21e用于本田CR2SO的Pro-link悬挂系统，而图21f则是铃木RM250的全浮动悬挂系统。因此，如图21a、c、d所示，有三种新的六连杆后轮悬挂系统用于越野摩托车。图21展示了六种常见的悬挂拓扑结构：(a) Watt II拓扑结构，在框架和摆臂之间装有悬挂弹簧；(b) Watt II拓扑结构，在框架和支持摆臂的连杆之间装有悬挂弹簧；(c) Watt I拓扑结构，在摆臂和相邻连杆之间装有悬挂弹簧；(d) Watt I拓扑结构，悬挂弹簧拉伸在两个连接到框架的连杆之间；(e) Stephenson III拓扑结构，在框架和第二个连杆之间装有悬挂弹簧；(f) Stephenson I拓扑结构，在直接支撑摆臂的两个连杆之间装有悬挂弹簧。3.3 设计示例编号3：这里介绍的类型合成原理具有很大的定性支持，并且在紧凑性和 reached（伸展距离）等特殊拓扑属性方面也有一定的定量支持。尽管如此，提供定量的原理证明仍然有助于进一步巩固关键点。这个最终设计示例的目的是提供一些初步的定量证据，以支持第2.4节中确定的设计原理和拓扑选择指南。类型合成只是完整运动学合成过程的一部分，这使得很难单独评估类型合成对最终机构设计的影响。即使保持拓扑选择不变，尺寸合成步骤也会根据输入变量产生具有显著不同运动学特性的输出。仅通过检查单个候选解决方案，几乎不可能准确地将某个属性的百分比归因于尺寸合成或类型合成步骤。鉴于这一限制，将通过比较两种拓扑结构之间的差异来进行定量分析。Watt I和Watt II拓扑结构将使用相同的网格搜索方法来完成相同的运动学任务，以尽量减少尺寸合成步骤的影响。问题参数见表4。Watt I和Watt II在表5中展示，它们是同一拓扑结构的两种运动学变形，具有相同数量的连杆和关节。尽管它们有相似之处，但如先前的分析所述，它们在伸展距离、紧凑性和稳定性等属性上表现出显著差异。

4. 结论：许多研究人员已经提出了发现、分类和枚举所有BKC（例如同构检测）的方法。这些工作为一般机械设计理论提供了基础，但在类型合成过程中，确定哪种拓扑变形最适合特定任务这一关键步骤仍然难以实现。这里提出的一种方法是制定一套设计规则和原理来缩小解决方案的范围。问题陈述和具体需求的约束定义了必须完成的任务。当任务被明确后，就制定了形成候选BKC拓扑要求的设计规则。这些要求将无限可能的运动学链减少到更可管理的数量。通过应用紧凑性、伸展距离和稳定性等通用设计原则，可以选择最佳的BKC和拓扑变形。这些规则和原理的结合提供了一种可行的、通用的类型合成方法，可以由人类设计师实施或集成到自动化合成程序中。未来在类型合成领域还有许多研究方向。文献综述中提到的一些超出当前研究范围的领域，如空间或柔顺连杆，可以从与当前工作的结合中受益。修改后的Gruebler方程对于确定空间连杆的自由度非常有效，而空间连杆同样需要拓扑选择。显然，对于空间或柔顺连杆，也应该存在类似伸展距离和稳定性这样的设计原则。根据这些和其他指标来确定预测拓扑性能的定量指标可能是一个有价值的贡献。对于平面连杆来说，确定评估拓扑特性的额外标准或方法也可以进一步推进这里提出的想法。