“块集猜想”中的块大小

《Forum of Mathematics, Sigma》：Block sizes in the block sets conjecture

　　摘要：如果对于任意的k和足够大的n，$\mathbb {R}^n$的每个k-着色都包含一个与X全等的单色副本，则称集合X为欧几里得Ramsey集。这一概念由Erd?s、Graham、Montgomery、Rothschild、Spencer和Straus提出。他们询问一个集合是否为Ramsey集，当且仅当它是球形的，即它位于球面上。不难证明，如果一个集合不是球形的，那么它也不是欧几里得Ramsey集；然而尽管多年来进行了大量研究，其逆命题仍然悬而未决。另一方面，块集猜想是一个纯粹的组合学问题，属于Hales-Jewett类型，它涉及“大乘积中的块”，由Leader、Russell和Walters提出。如果这个猜想成立，那么它将意味着每个传递集（对称群在其上具有传递作用的集合）都是欧几里得Ramsey集。至于上述问题，块集猜想仍然非常难以解答，目前只在少数情况下得到证实。在本文中，我们展示了即使对于大小为3的字母表模板，块集猜想中的块的大小也无法被限定。我们还证明了对于第一个非平凡的模板$123$，块的大小可以是2（对于任意数量的颜色）。这是最好的可能情况；所有之前的界限都是“塔型”的巨大值。

1. 引言：我们首先介绍一些关于欧几里得Ramsey理论和块集猜想的背景知识——已经熟悉这些内容的读者可以跳过这部分。如果对于某个欧几里得空间$\mathbb {R}^d$中的有限集合X，存在一个n，使得每当$\mathbb {R}^n$被k-着色时，就存在一个与X全等的单色副本，则称X为Ramsey集。Ramsey集的研究由Erd?s、Graham、Montgomery、Rothschild、Spencer和Straus发起。他们给出了Ramsey集的例子，并证明了非球形集合不可能是Ramsey集（这里球形集合是指某个球的子集）。他们推测这是集合成为Ramsey集的唯一障碍，换句话说，X是Ramsey集当且仅当X是球形的。关于这个问题的进展非常缓慢。Frankl和R?dl证明了每个三角形都是Ramsey集，随后又证明了每个单纯形都是Ramsey集[参考文献Frankl和R?dl4]。K?í?证明了每个正n边形都是Ramsey集，并且他还证明了这个结论的更一般版本，例如每个柏拉图立体都是Ramsey集。Leader、Russell和Walters提出了一个对立的猜想[参考文献Leader、Russell和Walters8]，他们猜测一个集合是Ramsey集当且仅当它是某个有限传递集的子集（也许存在于更高维空间中），其中传递集是指其对称群在其上具有传递作用的集合。很容易看出每个传递集必然是球形的，但事实证明（尽管这并不明显——参见[参考文献Leader、Russell和Walters8]和[参考文献Leader、Russell和Walters9]），存在一些球形集合无法嵌入任何传递集中。因此，这两个猜想本质上是不同的。现在，如果任一猜想成立，都将意味着所有传递集都是Ramsey集。这使得传递集成为欧几里得Ramsey理论中的一个关键概念。块集猜想首次出现在[参考文献Leader、Russell和Walters8]中，它是一个纯粹的组合学命题，暗示每个传递集都是Ramsey集。实际上，它等同于后一个命题的一个温和加强版本：它等同于这样的断言：对于任何传递集X，不仅X是Ramsey集，而且对于任何k，都存在某个幂$X^n$，使得每当$X^n$被k-着色时，就存在一个通过固定因子$\alpha$放大的X的单色副本——换句话说，对于任何k，都存在n和$\alpha$，使得$(1/\alpha ) X^n$对于X来说是“k-Ramsey”。在给出精确定义之前，让我们看一个块集的非正式例子。考虑单词$11223$，将其视为字母表$[3]=\{1,2,3\}$上的一个有限字符串。在乘积集$[3]^n$中，固定五个大小相同的坐标集$I_1,\dots ,I_5$。我们还为每个$i \in [n]$中的元素$a_i$分配一个不属于任何$I_j$的值$a_i$。然后我们在$[3]^n$中构造一个单词w，对于不在任何$I_j$中的i，将$w_i$设置为$a_i$，并在每个$I_j$中保持w为常数，这五个常数值以某种顺序为$1,1,2,2,3$。由此产生的30个点构成了一个以$11223$为模板、块大小为$|I_1|$的“块集”，或者简单地说是$11223$的一个“副本”。更正式地，我们定义一个在$[m]$上的模板为一个非递减单词$T\in [m]^l$。给定一个模板T，我们定义了带有模板T的块集的含义。设S为所有在字母表$[m]$上长度为l的单词集合，这些单词是T的排列。在$[m]^n$中，带有模板T的块集B是一个在字母表$[m]$上长度为n的单词集合，其形成方式如下：首先选择大小均为d的互不相交的子集$I_1,\dots I_l$，以及对于每个$i\notin \bigcup _j I_j$的元素$a_i$。换句话说，我们选择了T中所有字母的“块”位置及其出现的次数，以及它们之外的固定“参考”单词。现在，如果对于所有$i\notin \cup _j I_j$，都有$w_i=a_i$，并且存在$v\in S$使得当$i\in I_j$时$w_i=v_j$，那么单词w属于B。我们说这个集合B是一个块大小为d的块集。现在我们准备提出块集猜想。

猜想1 [参考文献Leader、Russell和Walters8]：设m和k为正整数，T为在$[m]$上的一个模板。那么存在正整数n和d，使得每当$[m]^n$被k-着色时，就存在一个度数为d且带有模板T的单色块集。现在，对于大小为2的字母表，很容易看出这对任何模板都是成立的。事实上，这是根据Ramsey定理得出的，而且可以将块的大小设为1。为了说明这一点，假设我们的模板有p个1和q个2。给定$[2]^n$中所有单词的k-着色，我们只考虑那些恰好有q个2的单词。这相当于$[n]^{(q)}$的k-着色，即$[n]$中所有q-集合的集合。根据Ramsey定理，存在一个大小为$p+q$的集合S，其中所有q-集合都具有相同的颜色，这对应于具有给定模板的块集——这$p+q$个块每个的大小都为1，恰好是S的元素。在[参考文献Leader、Russell和Walters8]中，对于第一个非平凡的模板$123$证明了猜想1，更一般地，对于形式为$1\underbrace {22222}_{p}\underbrace {33333}_{q}$的模板（对于任何正整数p和q）也证明了该猜想。但是对于大小为3的字母表上的所有模板，这个猜想尚未得到证明：$112233$的情况仍然是一个引人入胜的未解决的问题。顺便提一下，对于模板$1234$，这个猜想是成立的（这是根据上面提到的K?í?的结果），但对于$12345$，这个猜想仍然未知。那么块的大小呢？已知（参见[参考文献Leader、Russell和Walters8]），对于模板$123$，块大小为1是不够的。[参考文献Leader、Russell和Walters8]中对模板$123$的块集猜想的证明甚至没有给块大小设定任何固定界限：随着颜色数量k的增加，使用的块大小也会增加。还有一个关于模板$123$的证明可以从K?í?的结果[参考文献K?í?7]中得出（通过上述块集猜想的等价表述），这个证明给出了一个固定的块大小（随着颜色数量的变化而变化，但非常大，是一个长长的整数塔）。另一方面，尚未知道有哪个模板的块大小甚至2也是不够的：唯一的否定结果是块大小为1对于$123$（或使用所有符号$1,2,3$的任何其他模板）是不成立的。我们在本文中的一个目标是展示实际上块大小没有上限。我们证明了对于每个d，存在一个在$[3]$上的模板T和一定数量的颜色k，使得当我们用k-着色$[3]^n$（对于任何n）时，不存在具有模板T且度数最多为d的单色块集。我们强调，在此使用的模板都是已知满足块集猜想的模板。我们的另一个目标是展示对于第一个非平凡的模板$123$，实际上块大小为2就足够了。考虑到上述讨论，这是最好的可能情况。注意，这是对于任意数量的颜色。这或许表明，对于任何模板，块大小d可以独立于颜色数量k来选择。本文的计划如下：在第2节中，我们展示了块大小是没有界限的；在第3节中，我们证明了对于模板$123$，块大小为2就足够了；在第4节中，我们提出了一些未解决的问题。其中包括一个关于$l_1$范数下Ramsey集的诱人问题，这似乎与证明块集猜想的一些想法密切相关。

2. 无界块大小：在本节中，我们展示了块集猜想中所需的块大小没有通用界限。换句话说，对于每个d，我们给出了一个模板T和一定数量的颜色k，使得块大小不可能最多为d。我们再次强调，在所有情况下，我们考虑的模板都是已知满足块集猜想的模板（所有这些情况都在[参考文献Leader、Russell和Walters8]中得到了证明）。实际上，它们都将是字母表$[3]$上的模板。我们证明的大致思路如下：我们将通过着色的某些部分来编码信息，不仅关于单词x的“轮廓”（即x中每个符号出现的次数），还关于在1之前出现3的次数（不一定相邻，但遵循坐标的线性顺序）。实际上，我们还询问了1在这样一对中的实际位置（模去某个大的固定数），以便我们有几个独立的“贡献”。我们在下面详细说明这一点。

定理2：设d为一个固定的正整数。那么存在一个在字母表$[3]$上的模板T，以及一种对$[3]$上所有有限长度单词的着色方式，使得对于任何正整数n，$[3]^n$不包含任何块大小最多为d的T的单色副本。证明：设T为$1\underbrace {2\dots 2}_{d} \underbrace {3\dots 3}_{d^3}$。换句话说，T由一个1、d个2和$d^3$个3组成。T的大小为$s=1+d(d^2+1)$。对于着色，我们将为$[3]$上的每个有限单词分配一个长度为$d^2+1$的向量，其坐标位于$\mathbb {Z}_{d+1}$中——换句话说，位于$\mathbb {Z}_{m}^{l}$中，其中$m=d+1$且$l=d^2+1$。添加剂群的表示法源于这样一个事实：一种颜色是由某些“贡献”叠加而成的。首先，设$x$是一个在$[3]$上的有限单词。对于每个满足$x_i=1$的$i$，我们定义$a_i$为从左数到$i$之前出现的1和2的个数，取模$d^2+1$。用符号表示为：$$\begin{align*}a_i=|\{j<i:x_j=1\text{ 或 }x_j=2\}|\quad \mod d^2+1。\end{align*}$$我们定义$i$的“贡献”为基向量$e_{a_i}$，属于$\mathbb {Z}_m^l$。如果$x_i\neq 1$，那么$i$的贡献为0。最后，我们定义$x$的颜色$c$为所有这些贡献的总和：换句话说，就是$\sum _{\{i:x_i=1\}}e_{a_i}$。现在我们将证明，对于这种着色方式，不存在块大小最多为d的单色T的副本。假设相反的情况成立，即存在一个正整数n，以及块$B_1,B_2,B_3,\dots ,B_s$，它们的大小都最多为$d-1$，并且存在一个$y\in [3]^{[n]\setminus \bigcup _i B_i}$，可以构造出一个单色的T副本。如果需要，可以通过重新标记来确保对于所有$i<j$，块$B_i$的第一个坐标都小于块$B_j$的第一个坐标。对于每个$i$，设$b_i$为在$y$中（不包括块内的任何点）第一个坐标之前出现的1和2的个数，取模$d^2+1$。由于我们有$s=1+d(d^2+1)$个块，而$b_i$有$d^2+1$个可能的值，根据抽屉原理，必存在$d+1$个块的$b_i$值相同，设为b。设$B_{i_1},B_{i_2},\dots ,B_{i_{d+1}}$为这些块，其中$i_1<i_2<\dots <i_{d+1}$。为了清晰起见，设$C_j=B_{i_j}$对于所有$1\leq j\leq d+1$。因为我们的模板T中1和2的总数正好是$d+1$，从现在开始我们只在所有的$C_i$中替换一个1和d个2，从而强制其他块都为3。这给我们提供了$d+1$个单词$w_1,w_2,\dots ,w_{d+1}$，我们用这些单词来决定$C_i$中1的位置。我们将通过证明这$d+1$个单词实际上并不都具有相同的颜色来产生矛盾。首先观察到，其中一个单词的颜色是由坐标$\bigcup _i C_i$的“贡献”以及所有其他1的“贡献”叠加而成的，而其他1都不在任何一个块$B_i$中（所以它们是“非活跃”的或固定的坐标）。注意，“非活跃”坐标的“贡献”之和是常数，因为在我们的替换过程中我们从不将3替换为1或2，反之亦然。因此，由于我们假设所有贡献之和是常数，那么坐标$\bigcup _i C_i$的“贡献”之和也必须是常数，设为$v\in \mathbb {Z}_m^l$。对于每个$1\leq i\leq d+1$，我们用$p_i$表示在$w_j$中C_i的第一个坐标之前出现的1和2的个数（因为$w_j$之间的区别只是某些1变成了2或反之）。根据构造，当我们只看y时，所有的$C_i$都有相同数量的1和2，设为b，取模$d^2+1$。这意味着在C_1之前我们有$p_1 \equiv b\ \mod {d^2+1}$个1和2。接下来，$p_i$是$b+\lambda _i\ \mod d^2+1$，其中$\lambda _i$是$\bigcup _j C_j$中出现在C_i的第一个点之前的点的个数。由于所有块的大小最多为$d-1$，我们得到$\lambda _i\leq (i-1)d\leq d^2$，因此所有的$p_i$都取模$d^2+1$是不同的。此外，由于C_i的第一个坐标出现在C_{i+1}的第一个坐标之前，我们看到$\lambda _{i+1}\geq \lambda _i+1$。最后，注意到在块C_i中放入1会影响到着色的$p_i\ \mod {d^2+1}$坐标。因此，将1从C_1移动到C_i会加上贡献$e_{p_i}$并减去贡献$e_{p_1}$。然而，颜色v必须是相同的，所以$e_{p_i}$必须是由之前在C_1中的某个1的“贡献”。（这是因为这个块C_i中的其他贡献不能抵消$e_{p_i}$，因为$|C_i|\le d$。）由于对于任何$2\leq i\leq d+1$都成立，并且所有的$p_i$都取模$d^2+1$是不同的，所以C_1必须产生至少$d+1$个贡献，因此$|C_1|\ge d+1$，这是一个矛盾。我们注意到，如果希望使用更通用的模板${T=1\underbrace {22\dots 2}_{p}\underbrace {33\dots 3}_{q}}$，上述证明仍然是不变的。T的长度是$s=1+p+q$。着色方式相同——就像上面那样，将$[3]$上的每个单词与$\mathbb {Z}_m^l$中的一个点关联起来。只要s至少为$pl+1$，我们仍然得到$p+1$个具有相同$b_i$值的块。通过取$l>pd$，我们确保$\lambda _i$仍然是不相交的，并且由于$m>d$，我们仍然产生至少$d+1$个贡献。因此，如果$s\geq pl+1$，$pd<l$且$m>d$，上述证明仍然成立。所以我们得到的是，当$q\geq p^2d$时，一个包含一个1、p个2和q个3的模板确实需要块大小大于d。如果考虑自然模板$123\dots m$，很容易检查如果对于这样的模板$123\dots m$块集猜想成立，那么对于所有长度为m的模板也成立。这是因为将符号识别等同于将块集映射到块集。因此，根据定理2，对于任何d，都存在一个形式为$123\dots m$的模板，无法保证可以选择大小最多为d的块。我们提到，对于欧几里得Ramsey集，上述结果有以下后果：对于任何d，存在一个传递集X是Ramsey集，并且存在一个颜色k，使得当集合$(1/\alpha ) X^n$是X的k-Ramsey集时，我们必须有$\alpha \geq d$。这可以从上述关于乘积集的块集猜想的等价形式中得出。3 模板$123$ 如我们所见，对于字母表大小为2的模板，块集猜想基本上是显而易见的，即使是对于块大小为1的模板也是如此。因此我们现在将注意力转向第一个非平凡的模板，即$123$。在这里已知块不能是大小为1的，但已知有效的块大小非常大。实际上，在[Reference K?í?7]中，块大小是一个塔状结构，是通过对一些Ramsey定理的迭代应用得到的。而在[Reference Leader, Russell and Walters8]中并没有迭代，但证明使用了van der Waerden定理对于k种颜色，因此块大小甚至不是常数，而是随着颜色的数量而增长。我们的目标是证明块大小为2就足够了。鉴于上述评论，这是最佳情况。实际上，我们表明一个固定的模式就足够了：总是可以找到一个块集，其模式（即$2\cdot 3$坐标如何被分成3个块）是固定的，也就是$ABCCBA$。（这里$A,B,C$代表2-集合$I_1,I_2,I_3$在$[n]$上的相对位置。）关键思想实际上在于这种回文特性（使用反转）。相比之下，早期的证明使用了像$ABCABCABC\dots ABC$这样的模式，或者它的迭代版本，正如我们将在证明后的讨论中看到的，这使得证明变得更加困难。定理3。设T是模板$123$，k是一个正整数。那么存在n，使得每当$[3]^n$是k-着色的时候，就存在一个具有模式$ABCCBA$的单色T副本。证明。为了简单性和可读性，我们只是将n视为“非常大”：实际的n值将在证明过程中确定。设$\theta :[3]^n\rightarrow [k]$是$[3]^n$的一个固定的k-着色。我们必须证明我们可以找到$n-6$个固定坐标和6个活动坐标，按这个顺序标记为$ABCCBA$，这样每当我们将$1,2,3$（分别对应于A、B和C中的一个）替换进去时，所有6个结果单词都具有相同的颜色。我们的第一步是非正式地确保，通过转移到坐标的一个子集，‘3的位置不重要’。这是此类Ramsey论证中通常会采取的标准步骤。设$\mathcal A$是长度为n（在字母表$[3]$上）的单词集合，其中恰好包含$2k+2$个2和没有1。例如，如果$k=2$且$n=10$，这样的单词可以是$2322333222$。设$\chi $是长度为$2k+2$的单词集合，在字母表$[2]$上，其中恰好包含$k+1$个1和$k+1$个2。例如，如果$k=2$，那么像$111222$、$121212$、$1221211$这样的单词都在$\chi $中。显然，$\chi $的大小是$s=\binom {2k+2}{k+1}$，所以设$\chi =\{w_1, w_2, \dots , w_s\}$。给定一个单词$x\in \mathcal A$和一个单词$w\in \chi $，我们可以通过用单词w替换x中的2来生成一个在$[3]^n$中的唯一单词——换句话说，在x中2的位置插入w中的字母。例如，如果$k=2$，$n=10$，$x=2322333222$且$w=121212$，那么$f(x,w)=1321333212$。很明显，f是$\mathcal A\times \chi $与所有长度为n的单词之间的双射，这些单词恰好包含$k+1$个1和$k+1$个2。这使我们能够如下引入一个着色$\mathcal A$，使用$k^s$种颜色：$\Theta :\mathcal A\rightarrow [k]^s$由$\Theta (x)=(\theta (f(x, w_1)),\theta (f(x,w_2)),\dots ,\theta (f(x,w_s))$给出。接下来，$\mathcal A$中的单词w可以被视为$[n]$的一个大小为$2k+2$的子集，通过选择2所在的位置。因此我们也可以将$\Theta $视为$[n]^{(2k+2)}$的一个$k^s$-着色。根据Ramsey定理，存在n，使得每当$[n]^{(2k+2)}$是$k^s$-着色的时候，就存在一个大小为$2k+4$的集合S，使得$S^{(2k+2)}$是单色的。（这就是我们所需要的‘n非常大’的实际版本。）将这个应用于我们的着色$\Theta $，并且为了清晰起见假设$S=[2k+4]$，无论我们在前$2k+4$个坐标中插入多少个2和2个3，我们得到的颜色都是相同的。这意味着对于任何$w\in \chi $，如果$x_1, x_2\in \mathcal A$的2在前$2k+4$个坐标中，那么$\theta (f(x_1,w))=\theta (f(x_2,w))$。换句话说，无论我们如何在前$2k+4$个坐标中插入2和3，只要12单词相同，颜色就不会改变。也就是说，非正式地说，‘3的位置不重要’。现在考虑$\chi $中的以下$k+1$个单词：$$ \begin{align*} z_1&=211212\dots12\\z_2&=122112\dots12\\&\qquad\vdots\\z_{k+1}&=121212\dots21 \end{align*} $$换句话说，$z_i$在精确的位置$1,3,\dots , 2i-3, 2i,2i+1\dots 2k+1$处有1——或者简单来说，它是$k+1$个‘12’块的串联，其中第$i^{\text {th}}$个块被翻转成了‘21’。设$x\in \mathcal A$是一个以$2k+2$个连续2开始的单词，其余的都是3。考虑对于$1\leq i\leq k+1$的单词$f(x,z_i)$。由于我们只有k种颜色，根据抽屉原理存在$i<j$，使得$f(x,z_i)$的颜色与$f(x,z_j)$的颜色相同。然而，由于选择了特定的S，无论我们如何重新排列前$2k+4$个x坐标，这个颜色都不会改变。为了完成证明，我们将块划分为$\{2i-1,2j+2\}$、$\{2i, 2j+1\}$和$\{2i+1, 2j\}$，而固定的坐标是前$2k+4$个坐标中剩余的$k-1$个‘12’块以及所有值为3的块。这样就得到了一个单色的$123$，其模式为$ABCCBA$，正如所需要的那样。为了帮助读者理解上述构造，让我们看一个具体的例子。假设$k=3$，并且$f(x,z_1)$与$f(x, z_2)$颜色相同。换句话说，以下所有的表达式都获得相同的颜色，比如说颜色a：通过移动第一个词中的两个3，我们可以看到以下所有的表达式都是颜色a：
$$
\begin{align*}
\begin{array}{c}
3211231212\dots \\
2311321212\dots \\
2133121212\dots
\end{array}
\end{align*
$$
对第二个词做同样的操作，我们可以看到以下表达式也是颜色a：
$$
\begin{align*}
\begin{array}{c}
3122131212\dots \\
1322311212\dots \\
1233211212\dots
\end{array}
\end{align*
$$
因此，在模式$ABCCBA$下，前6个坐标构成一个单色的$123$。我们注意到，上述证明对于形式为$12\underbrace {33333}_{q}$的模板也以完全相同的方式适用，而且块的大小仍然是2。当然，根据定理2，对于形式为$1\underbrace {22222}_{p}\underbrace {33333}_{q}$的模板，则无法以同样的方式证明。然而，对于每个这样的模板，可能总是存在一个固定的块大小可以用来着色（对于任意数量的颜色）。对上述论证的后半部分（在3的位置确定之后），另一种观点是将一个词看作是在$\mathbb {Z}$上的一个向量。我们固定一个包含t个1的“参考”词w。然后，对于任何另一个包含t个1的词v，我们将v与$\mathbb {Z}^t$中的一个点对应起来，该点表示1在w和v之间的移动方式。换句话说，如果w在位置$a_1,\dots ,a_t$上有1，那么如果v在位置$a_1+b_1,\dots ,a_t+b_t$上有1，那么它对应于向量$(b_1,\dots ,b_t)$。因此，我们可以将词（包含t个1）的着色视为对$\mathbb {Z}^t$的着色。（严格来说，我们需要限制$\mathbb {Z}^t$中点的坐标，因为不希望t个1重叠——为了清晰起见，我们在这里忽略了这一点。）用这种语言表达，上述论证的最后一步就是断言：无论我们如何对$\mathbb {Z}^t$进行k色着色（对于固定的k和足够大的t），总会存在两个相同颜色的向量，它们之间的差异是一个形式为$e_i-e_j$的向量。将这一点与[Reference Leader, Russell and Walters8]中采用的方法进行比较是很有趣的，在那里没有出现反转的情况。在那篇文章中，思路是这样的：如果我们使用模式$ABCABCABC\dots ABC$（假设每个块的大小为d），那么我们就是在寻找$\mathbb {Z}^n$的一个k色着色中的两个点x和$x+v$，其中n很大，v有d个1，其他所有坐标都是0。这当然是不可能的，因为我们可以通过判断坐标之和模$2d$是否在$[0,d-1]$范围内来简单地实现2色着色。因此，人们还需要考虑像$AABBCCAABBCC\dots AABBCC$这样的模式，其中v有d个2，其他所有坐标都是0，等等。正是这种方法（多亏了van der Waerden定理，对于足够的候选模式是有效的）使得单独使用这些固定模式是不行的。为了结束这一节，我们应该记录定理3对Ramsey集合有以下直接的影响：如果X是一个正六边形，那么对于任何k，集合$X^n$（只缩小了$\sqrt {2}$倍）都是X的k-Ramsey集合。同样的情况也适用于任何$S_3$以传递方式作用的平面临六边形——即所有内角都是$120^{\circ}$且边长交替为$a,b,a,b,a,b$的六边形。这是根据块集猜想的等价表述得出的——参见[Reference Leader, Russell and Walters8]。

4. 讨论与未解决的问题
上一节提出的最有趣的问题之一是：随着颜色数量的增长，块大小保持不变的现象是否适用于任何模板。猜想4：设m是一个正整数，T是一个定义在$[m]$上的模板。那么存在一个d，对于任何k，都存在一个n，使得当$[m]^n$被k色着色时，存在一个度为d的单色块集，且该块集遵循模板T的规则。注意，这实际上意味着我们可以提前确定块的大小和块的模式。这是因为给定块大小的模式数量是有限的，所以如果不能保证有任何模式（对于块大小d），那么乘积着色将不会产生任何大小为d的块集。如上所述，定理3的证明同样适用于模板$12\underbrace {33333}_{q}$，因此猜想4适用于这些模板。模板$1\underbrace {22222}_{p}\underbrace {33333}_{q}$是我们知道块集猜想成立的第一批例子，但我们还不知道猜想4是否也成立。当然，关于块集猜想最重要的问题是猜想本身。在最简单的未知情况下，即使用小的字母表时，模板$T=112233$是一个例子。这似乎是下一个关键步骤，所有符号的重复是一个关键障碍。稍微离题一下，我们再次提到，对于更大的字母表，已知模板$1234$满足块集猜想，这可以从K?í? [Reference K?í?7]的结果中得出。实际上，K?í?展示了任何具有可解群并且作用方式是传递的集合都是Ramsey集合的，而这一点转换成块集的语言后表明模板$1234$满足块集猜想，因为群$S_4$是可解的。然而，模板$12345$仍然是未解决的——由于群$S_5$不是可解的，K?í?的结果就不适用了。（实际上，K?í?的证明总是允许块大小是固定的——例如，模板$1234$确实满足猜想4。）回到模板$112233$，并继续定理3证明后的思路，让我们考虑一个所有块的大小都是d的模式，比如形式为$ABCDEFABCDEF \dots $的模式——这不是回文的，但暂时忽略这一点。当我们将1从A和B“移动”到B和C（此时2移动到A），然后再从C移动到D（此时2移动到A和B），那么在第一个情况下1的位置变化了1（如上所述），在第二个情况下变化了2。如果我们使用的是一个回文版本，即包含$FEDCBA$的重复，那么这只会将一些$+1$和$+2$变为$-1$和$-2$。那么我们就会提出以下问题：给定k，是否存在一个d，使得当我们对$\mathbb {Z}^n$进行k色着色（对于足够大的n）时，总是能找到单色的$x,x+v,x+2v$，其中v有d个1，其余坐标都是0？遗憾的是，这并不成立，例如因为这样的v具有固定的$2$-范数，所以我们实际上是在要求一个非球形的集合（长度为3的等差数列）是Ramsey集合。现在，如果模式是形式为$AABBCCDDEEFF$的单词的串联（可能是回文的），那么这些移动将是$+2$和$+4$（当我们使用反向的单词时则是$-2$和$-4$）。因此，如果我们断言我们的模式由固定数量的$ABCDEF$单词和固定数量的$AABBCCDDEEFF$单词等组成，那么表示1在$12$-单词中位置的向量将取值像$x,x+v,x+2v$这样的值，其中v的形式包含$2t$个值，其中一定的数量是$\pm 1$，一定的数量是$\pm 2$，等等。然而，事实证明，当$v$的$l_1$-范数相同时，一些类似的行为也会出现——例如，当我们将1移动到模板的其他位置时，$1-n$-范数也会出现。因此，要求v不仅具有固定的支持大小（即$2d$），还要求固定的$1$-范数是有意义的。这意味着如果我们有固定数量的$ABCDEF$单词和固定数量的$AABBCCDDEEFF$单词等，那么表示1在$12$-单词中位置的向量将取值像$x,x+v,x+2v$这样的值，其中v的形式包含$2t$个值，其中一定数量的值是$\pm 1$，一定数量的值是$\pm 2$，等等。然而，事实证明，当$v$的$l_1$-范数相同时，也会出现类似的行为。所以，询问一个一般的向量是有意义的，也许这对于进一步的研究也是相关的。这个问题可能有些投机性，但听起来也太有意思了，不应该被忽略。问题5：给定k，是否存在d和n，使得当$\mathbb {Z}^n$被k色着色时，总是存在x和v，使得$\|v\|_1 = d$，并且所有的$x-v,x,x+v$都有相同的颜色？一个重要的点是这里有一个线性的约束，而不仅仅是度量上的约束：我们不仅仅是在寻找三个点，它们之间的$l_1$距离分别是$d,d,2d$。事实上，后者可以通过直接论证很容易实现。当然，在$l_2$中这些成对的距离会导致共线，但在$l_1$中则不会。现在，如果用2-范数代替1-范数，问题5就不成立了，因为[Reference Erd?s, Graham, Montgomery, Rothschild, Spencer and Straus2]的原始论证表明长度为3的等差数列不是球形的。另一方面，对于$l_\infty $-范数，结论是正确的。正如Kupavskii和Sagdeev [Reference Kupavskii and Sagdeev6]所指出的，这可以从Hales-Jewett定理中立即得出。实际上，任何在$[3]^n$中的单色线都对应于一个公差为$l_\infty $的等差数列。（参见那篇论文，以及Frankl, Kupavskii和Sagdeev [Reference Frankl, Kupavskii and Sagdeev3]中的几个关于实际维度所需的强界限。）还有关于所有$l_p$-范数（除了$p=1$）的一些有趣的相关工作——参见Cook, Magyar和Pramanik [Reference Cook, Magyar and Pramanik1]——但上述问题仍然是一个未解决的问题。上述内容应该只是一个开始，还有许多可以进一步推广的问题。如果问题5的答案是肯定的，那么人们实际上会希望找到更长的等差数列，以及更大的$l_1$-范数球——其中问题5中的集合$x-v,x,x+v$只是以x为中心的半径为d的$l_1$-球的一个非常小的部分。更有用的是，人们也可以（非正式地）将这组元素视为由单个向量v生成的半径为1的一维$l_1$球体（同样以x为中心）。实际上，即使对于模板$112233$来说，也需要某种形式的这种概念，因为在上述讨论中我们只考虑了1位于A和B、B和C或C和D的位置——结果发现，观察其他位置实际上相当于使用除了$x, x+v, x+2v$之外的其他向量，而这些向量确实都位于某个点周围、半径为$l_1$的球面上。因此，回答下面的问题可能对解决模板$112233$及其它相关问题的块集猜想具有重要意义。一般来说，我们定义由$u_1, \dots, u_t$生成的半径为r的$l_1$球体，其中$u_1, \dots, u_t$是$\mathbb{Z}^n$中互不相交的点，该球体包含所有形如$\sum \lambda_i u_i$的组合，其中$\lambda_i$是满足$\sum |\lambda_i| \leq r$的整数。问题6：给定r、t和k，是否存在d和n，使得当$\mathbb{Z}^n$被k种颜色着色时，存在互不相交的向量$u_1, \dots, u_t$，每个向量的1-范数为d，并且由$u_1, \dots, u_t$生成的半径为r的$l_1$球体的某个平移版本是单色的？如上所述，当$r=t=1$时的情况正是问题5。实际上，我们认为问题5是难点：如果问题5成立，那么问题6也可能成立。注意，由于$\mathbb{Z}^n$的任何有限子集都包含在某个$l_1$球体内，问题6具有拉姆齐问题的特性，即我们需要着色的对象与我们寻求单色副本的对象具有相同的结构。最后，我们提到，除了块集猜想本身之外，一个关键问题是关于欧几里得拉姆齐集的两个竞争性猜想中哪一个（如果有的话）是正确的。已知有些明确的集合是球形的，但不能嵌入到任何传递集中：一个例子是循环风筝形，即点$(\pm 1, 0)$和$(a, \pm \sqrt{1-a^2})$，其中a是一个超越数（参见[Reference Leader, Russell and Walters9]）。确定这个四边形是否满足拉姆齐性质将立即排除其中的一个猜想。

作者声明没有相互竞争的利益关系。本研究没有得到任何资助机构的财务支持。

参考文献：
[1] Cook, B., Magyar, á. 和 Pramanik, M., ‘A Roth-type theorem for dense subsets of ${\mathbb{R}}^d$’, Bull. Lond. Math Soc. 49 (2017), 676–689.
[2] Erd?s, P., Graham, R. L., Montgomery, P., Rothschild, B.L., Spencer, J. 和 Straus, E. G., ‘Euclidean Ramsey Theorems I’, J. Comb. Theory Ser. A 14 (1973), 341–363.
[3] Frankl, N., Kupavskii, A. 和 Sagdeev, A., ‘Max-norm Ramsey theory’, Eur. J. Comb. 118 (2024), 1039.
[4] Frankl, P. 和 R?dl, V., ‘All triangles are Ramsey’, Trans. Am. Math. Soc. 297 (1986), 777–779.
[5] Frankl, P. 和 R?dl, V., ‘A partition property of simplices in Euclidean spaces’, J. Am. Math. Soc. 136 (1990), 119–127.
[6] Kupavskii, A. 和 Sagdeev, A., ‘All finite sets are Ramsey in the maximum norm’, Forum Math. Sigma 9 (2021), 1–12.
[7] K?í?, I., ‘Permutation groups in Euclidean Ramsey theory’, Proceedings of the American Mathematical Society 112 (1991), 899–907.
[8] Leader, I., Russell, P. A. 和 Walters, M., ‘Transitive sets in Euclidean Ramsey theory’, J. Comb. Theory Ser. A 119 (2012), 382–396.
[9] Leader, I., Russell, P. A. 和 Walters, M., ‘Transitive sets and cyclic quadrilaterals’, J. Comb. 2 (2017), 459–462.