中岛翘曲捆包

《Journal of the Australian Mathematical Society》：NAKAJIMA QUIVER BUNDLES

　　**摘要** 我们引入了Nakajima束表示的概念。给定一个标记的箭图和一种多样体或流形X，这样的表示涉及到将一个复向量束分配给双重箭图的每个节点；对于边，我们则分配相关的扭曲束的截面和联络。在我们的发展中，大部分关注点限制在代数曲线或黎曼曲面上。我们的构造同时推广了普通的Nakajima箭图表示和箭图束表示。这些表示允许用规范理论的特征来描述，类似于Nakajima原始工作中的Atiyah–Drinfel’d–Hitchin–Manin方程，这使得可以使用带有时刻映射的约化程序来构造这些广义的箭图多样体。我们研究了Nakajima束表示的变形理论，证明了这些表示与稳定箭图束之间的Hitchin–Kobayashi对应关系，检查了结果模空间上的自然环面作用，并讨论了多样体是超凯勒（hyperk?hler）的情况。最后，我们提供了恢复已知模空间的具体例子。

**1 引言** 受到在四维渐近局部欧几里得（ALE）空间上研究杨-米尔斯方程的启发，Nakajima [Reference NakajimaNak94] 使用箭图的线性表示来构造任意维度中的非紧致超凯勒多样体的新例子——所谓的Nakajima箭图多样体，可以将其视为这些表示的模空间。这种构造基于Gibbons和Hawking在类型A [Reference Gibbons and HawkingGH79]、Atiyah、Drinfel’d、Hitchin和Manin [Reference Atiyah, Hitchin, Drinfel’d and ManinAHDM78] 的工作中的特定叙述，当底层箭图是类型A、D或E时；以及Kronheimer和Nakajima [Reference Kronheimer and NakajimaKN90] 关于ALE引力瞬子的研究。该构造也与$\text {SU }(2)$的有限子群的McKay对应关系密切相关。Nakajima箭图多样体在表示理论、辛代数几何和数学物理中占据重要地位。在基础性工作中 [Reference NakajimaNak98]，Nakajima将这些箭图多样体与简单编织的Kac–Moody代数的可积最高权重表示联系起来。具体来说，这些表示在这些多样体的同调环中有解释，而Kac–Moody代数通过相对于箭图多样体产品的拉格朗日子多样体定义的Hecke型对应关系以某种方式起作用。这些子多样体反过来为代数提供了生成元。同时，通过几何不变量理论或辛约化来改变模问题的稳定性参数，是解决辛奇点的一种方法 [Reference Bellamy and SchedlerBS21]——这包括一些令人惊讶的情况，例如在四个复杂维度中，每个特定商奇点的解析都可以实现为一个单一箭图的Nakajima箭图多样体 [Reference Bellamy, Craw, Rayan, Schedler and WeissBCR+24]。此外，Nakajima箭图多样体在关键方面类似于稳定希格斯束的模空间：两者都是配备了$\mathbb {C}^\times $作用的非紧致超凯勒多样体，尽管一个是有限维的（Nakajima）而另一个是无限维的（Hitchin）。[Reference Hausel, Letellier and Rodriguez-VillegasHLRV11]以及[Reference Fisher and RayanFR16, Reference Rayan and SchaposnikRS21]从特征多样性的角度探讨了它们之间的关系，其中星形和彗星形箭图的Nakajima箭图多样体被嵌入到亚纯希格斯束的模空间中，从而为某些旗类型引发了Hitchin系统的次可积系统。一个基本问题是，当线性表示数据被推广或“全球化”到其他类型的表示（例如在固定多样性上的向量束中估值的表示）时，这些箭图多样的行为如何。这在文献中已经有所体现。[Reference HitchinHit87]中对Riemann曲面X上的希格斯束模空间上$\mathbb {C}^\times $作用的固定点进行了首次研究。每个固定点都是一个希格斯束，其底层束有一个严格亚对角矩阵表示的分裂。因此，从表示理论的角度来看，这些固定点是X上的全纯束范畴中的A型箭图的表示。在这里，每个顶点被分配一个全纯向量束$E_i$，每条边被分配一个截面$\phi _i\in H^0(X,\operatorname {\mathrm {Hom}}(E_i,E_{i+1}))$。这样的表示通常被称为“全纯链”。更一般地（超出A型），它们被称为箭图束。这些对象也出现在箭图涡旋方程的解中 [Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03]，这些方程本身捕捉了许多众所周知的对应关系，即解的存在等价于满足某些曲率约束的联络的存在。一些最近在物理学方面的工作涉及箭图束，并强调与高维膜的联系，包括 [Reference Collinucci and SavelliCS15a, Reference Collinucci and SavelliCS15b, Reference Heckman, Hübner, Torres and ZhangHHTZ23]。这引出了本文的目标：通过复向量束来参数化双重箭图的表示。这样的表示将被称为“Nakajima束表示”。在此过程中，我们构造了类似于双重箭图上的箭图束的对象，称为$\overline {Q}$-束，并提供了一个Hitchin–Kobayashi型的对应关系，将Nakajima表示的模空间中的点与某些稳定的$\overline {Q}$-束相对应。这些表示与[Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03]中描述的箭图涡旋方程的解不同，因为在双重箭图中出现的反向边由原始数据的余切空间中的上同调类表示。通过这种方式，我们利用了表示空间上的自然全纯辛结构。结果对象可以从两个方面理解：作为表面X上的Nakajima箭图多样体的相对或全局版本，或者作为在全纯辛背景下的箭图束的研究。在当前工作之前，已经在[Reference Szendr?iSze08, Reference DiaconescuDia12]中出现了双重箭图的表示，分别是在全纯D-膜和局部Donaldson–Thomas理论的背景下。这些对象也与准映射 [Reference Ciocan-Fontanine, Kim and MaulikCFKM14] 相关。在这些工作中，没有办法区分来自双重箭图的表示和普通箭图的表示。在当前工作中，明显区分了两者。据作者所知，当前工作提供的方法和普遍性在文献中尚未得到强调。此外，当前工作提供了一个不依赖于基础的构造，涉及hermitian矩阵（引理13），从仅是$C^1$-有界的函数$\psi ,\Psi $开始，而不是光滑的函数。我们注意到Azam和第三位作者[Reference Azam and RayanAR24]的相关工作，他们发展了与箭图束相关的类似想法，但在模堆栈的范畴背景下，并考虑了同伦理论的应用，以及Minets [Reference MinetsMin20]的工作，他们在某些希格斯束模堆栈的同调上构造了一个余调Hall代数，将其视为余切堆栈。

**1.1 设置** 考虑一个具有单个顶点且没有箭头的箭图Q。在固定秩r和度d的情况下，一个箭图束是在X上的秩为r和度为d的全纯向量束。根据Narasimhan和Seshadri [Reference Narasimhan and SeshadriNS64]，在X上的稳定全纯向量束等价于具有hermitian联络A的复向量束E，其曲率满足方程$F_A =0$。然后，人们希望从这个箭图的表示中恢复出在X上具有秩r和度d的稳定束的模空间$\mathcal {N}_X(r,d)$。考虑到这一点，具有单个顶点且没有箭头的箭图的表示空间由与E上的hermitian度量兼容的联络$\mathcal {A}(E)$给出。然后，参数化表示的多样体正是hermitian Einstein联络的模空间。现在考虑从Q构造的双重箭图$\overline {Q}$，通过添加每个边的另一个副本，并反转其方向。由于没有箭头被双重化，$\overline {Q}$与普通箭图Q一致。然而，仍然有必要询问$\overline {Q}$应该有哪些表示。我们方法的指导原则是，在构造Nakajima箭图多样体时，双重箭图的表示空间是原始箭图的余切空间。对于普通箭图，一个表示（等价于）X上的稳定向量束。稳定束E的变形由$H^1(X,\operatorname {End}(E))$给出，因此根据Serre对偶性，余切方向是$H^0(X,\operatorname {End}(E)\otimes K)$，其中K是X的规范丛。因此，稳定束空间的余切空间包括所有对$(E,\phi )$，其中E是一个稳定的全纯束，$\phi $是一个在$\operatorname {End}(E)$中取值的$1$-形式，换句话说，是一个希格斯束。对于至少为$2$亏格的X，Simpson [Reference SimpsonSim92]证明了一个在X上的稳定希格斯束允许有一个hermitian度量h，使得对$(A_h,\phi )$满足Hitchin方程 (1-1) $$ \begin{align} \sqrt{-1}\Lambda F_{A_h} + [\phi,\phi^*] &= 0, \nonumber\\ \overline{\partial}_{A_h}\phi &= 0, \end{align} $$ 其中$A_h$是与h相关联的Chern联络，$\Lambda :\Omega ^{i,j}(X,E)\to \Omega ^{i-1,j-1}(X,E)$是与辛形式结合的收缩。希格斯束的模空间$\mathcal {M}^{\text {Higgs}}_X(r,d)$是一个作为方程(1-1)约化而产生的超凯勒多样体。为了恢复Simpson对$\mathcal {M}^{\text {Higgs}}_X(r,d)$的构造，双重箭图$\overline {Q}$的表示应该是一个hermitian联络A和一个截面$\phi \in \Omega ^{1,0}(X,\operatorname {End}(E))$。有了这些数据，满足方程(1-1)的箭图表示空间精确恢复了$\mathcal {M}_X^{\text {Higgs}}(r,d)$上的希格斯束的模空间。现在对于一般的箭图Q，将具有hermitian联络$A_v$的束$E_v$与每个顶点v相关联。如果$a:v_i\rightarrow v_j$是一条边，我们将其与一个束态射$x_a:E_{v_i}\rightarrow E_{v_j}$相关联，这可以识别为$X$上的$\operatorname {\mathrm {Hom}}(E_{v_i},E_{v_j})$的全局截面。通过取联络的$(0,1)$部分，我们得到$E_i$上的一个全纯结构，使我们能够理解全纯截面。一个截面$x\in \Omega ^0(X,\operatorname {\mathrm {Hom}}(E_{v_i},E_{v_j}))$是全纯的，如果它对于算子$\overline {\partial }_{A_{v_i}}$和$\overline {\partial }_{A_{v_j}}$是全纯的。在[Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03]中显示，满足涡旋方程的表示与稳定的Q-层之间存在对应关系。对于双重箭图$\overline {Q}$，为了捕捉顶点处的双重信息，除了束E之外，我们还分配一个截面$\phi \in \Omega ^{1,0}(X,\operatorname {End}(E))$。对于反向边，分配一个与$x_a$ Serre对偶的上同调类$y_a$。取满足时刻映射条件方程(2-1)和(2-2)的给定箭图的所有表示的等价类，产生了一个我们称之为Nakajima束多样体的多样体$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$。这些多样体在某种意义上是Nakajima箭图多样体的全局类比。

**1.2 组织** 本文的组织结构如下。第2-4节提供了本文的理论框架和主要结果。第2节介绍了双重箭图的适当表示，并给出了它们的模空间——Nakajima束多样体的构造。在构造了Nakajima束表示之后，第3节介绍了代数几何对应物$\overline {Q}$-束。第4节展示了稳定的$\overline {Q}$-束与解决时刻映射条件的表示之间的对应关系。在建立了通用框架之后，第5节致力于研究Nakajima束表示的无穷小变形，结合了[Reference Gothen and KingGK05]对箭图束的工作和[Reference BottacinBot00]的工作。第6节简要介绍了框架化的$A_1$-箭图的表示。最后，在第7节中描述了Nakajima丛多样性上的一个$\mathbb{C}^\times$-作用。第2节讨论了Nakajima丛多样性。本节定义了本文的主要对象，即Nakajima丛表示。这些表示是双箭图的表示，其中顶点由厄米向量丛表示，边则由在Hom-丛中取值的上同调类表示。群$\mathcal{G}=\prod_{v\in V}\text{Aut}(E_v)$对所有这些表示的空间有一个厄米作用。辛约化产生了一个Nakajima丛表示的模空间$\mathcal{M}^{r,d}_{\overline{Q}}(\tau)$。一个箭图Q由一个元组$(Q_0,Q_1,h,t)$组成，其中$Q_0=\{v_0,\ldots,v_n\}$是顶点集，$Q_1=\{a:v_i\rightarrow v_j\}$是边集，$h,t:Q_1\rightarrow Q_0$是指定每条边首尾的函数。给定任何箭图Q，双箭图$\overline{Q}$的顶点和边集满足$\overline{Q}_0 = Q_0$和$\overline{Q}_1 = Q_1 \sqcup -Q_1$。这里的$-Q_1$包含$Q_1$中每个元素的副本，但方向相反。为了定义箭图的表示，需要给它配备一个标签。给定一个箭图Q，Q的标签是一对$(r,d)$，其中$r=(r_v)_{v\in Q_0} \in \mathbb{N}^{\lvert Q_0\rvert}$和$d=(d_v)_{v\in Q_0}\in \mathbb{Z}^{\lvert Q_0\rvert}$。数据$(r,d)$被称为表示的类型。定义1. 设$\overline{Q}$是一个带有标签$(r,d)$的双箭图。对于每个$v\in Q_0$，让$E_v$是X上的一个秩为$r_v$、度数为$d_v$的复向量丛。$\overline{Q}$的一个Nakajima丛表示是由Q的顶点和边索引的一组对象$(A,\phi,x,y) = (A_v,\phi_v,x_a,y_a)$，包括以下内容：对于每个顶点，$A_v$是$E_v$上的一个联络，$\phi_v\in \Omega^1,0(X,\operatorname{End}(E_v))$；对于每条边，$x_a\in \Omega^0(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{t(a)},E_{h(a)})$，以及$y_a\in \Omega^0,1(X, \operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{t(a)},E_{h(a)})\otimes K)$，满足$\overline{\partial}x=0$相对于联络$A_{t(a)}$和$A_{h(a)}$。让$\mathcal{A}(E_v)$表示$E_v$上的单位联络空间。$\overline{Q}$的Nakajima丛表示空间$\text{Rep}(\overline{Q})$是$\text{Rep}(\overline{Q}) = \text{Rep}(Q_0) \oplus \text{Rep}(Q_1)$，其中$\text{Rep}(Q_1)$是子空间$\ker(\overline{\partial})$，定义为$$\begin{align*}\bigoplus_{a \in Q_1}(\Omega^0(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{t(a)},E_{h(a)})) \; \oplus \; \Omega^{0,1}(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{h(a)},E_{t(a)})\otimes K)\end{align*}$$。在每个顶点上，群$\mathcal{G}=\prod_{v\in Q_0} \mathcal{G}_v$对$E_v$的作用产生了一个作用：$$\begin{align*} g\cdot(A,\phi,x,y) = (g\cdot A, g_{v}\phi_v g^{-1}_{v}, g_{h(a)} x_ag^{-1}_{t(a)}, g_{t(a)} y_ag^{-1}_{h(a)}\end{align*}$$。在[Reference HitchinHit87]中已经展示了$\mathcal{G}_v$在$\mathcal{A}(E_v)\times \Omega^1,0(X,\operatorname{End}(E_v))$上的作用是哈密顿的，其实部和复部动量映射由方程(1-1)给出。这扩展到了群$\mathcal{G}$在$\text{Rep}(Q_0)$上的作用，其实部和复部动量映射分别是$\mu_{\mathbb{R}}^{\mathfrak{H}} =\bigoplus_{v\in Q_0}(\sqrt{-1}\Lambda F_{A_v}+\phi_v,\phi_v^*)$和$\mu_{\mathbb{C}}^{\mathfrak{H}} = \bigoplus_{v\in Q_0}\overline{\partial}_{E_v}\phi_v$。考虑群$\mathcal{G}$在边表示空间$\text{Rep}(\overline{Q}_1)$上的作用。对于每个$a\in Q_1$，让$y_a^{\mathrm{harm}}$是类$y_a$的唯一调和表示。表示$y_a^{\mathrm{harm}}$可以被视为一个扭曲的态射$E_{h(a)}\to E_{t(a)}\otimes \Omega^1,1(X)$。使用在$E_{h(a)}$和$E_{t(a)}$上的度量$h_{h(a)}$和$h_{t(a)}$，存在伴随态射${x^{*h_a}:E_{h(a)}\to E_{t(a)}}$和$(y_a^{\mathrm{harm}})^{*h_a}:E_{t(a)}\to E_{h(a)}\otimes \Omega^1,1(X)$。以下命题的证明是标准的。命题2. 群$\mathcal{G}$的作用是哈密顿的，其实部和复部动量映射为$\mu_{\mathbb{R}},\mu_{\mathbb{C}}$，在顶点v处的分量由(2-1)和(2-2)给出：$$\begin{align} \mu_{\mathbb{R},v}^{\mathfrak{E}}(x,y) = \sum_{a\in Q_1:h(a)=v} (x_a\circ x_a^{*h_a} - \Lambda ((y_{a}^{\mathrm{harm}})^{*h_a}\circ y_{a}^{\mathrm{harm}}) \nonumber \\ & \quad + \sum_{a\in Q_1:t(a)=v} (x_a^{*h_a} \circ x_a - \Lambda (y_{a}^{\mathrm{harm}}\circ (y_{a}^{\mathrm{harm}})^{*h_a}) \end{align}$$和$$\begin{align} \mu_{\mathbb{C},v}^{\mathfrak{E}}(x,y) = \Lambda\bigg(\sum_{a\in Q_1:h(a)=v} (x_a \otimes \operatorname{id}_{K}) y_a^{\mathrm{harm}} -\sum_{a\in Q_1:t(a)=v} y_a^{\mathrm{harm}} (x_a \otimes \operatorname{id}_K)\bigg)\end{align}$$。定义3. 让$\mathcal{Z}(\mathfrak{g})$表示群$\mathfrak{g}=\text{Lie}(\mathcal{G})$的中心。对于一个固定的类型$(r,d)$，以及$\tau = (\tau_{\mathbb{R}},\tau_{\mathbb{C}) \in \mathcal{Z}(\mathfrak{g}) \oplus (\mathcal{Z}(\mathfrak{g})\otimes \mathbb{C})$，在水平$\tau$处的Nakajima丛多样性$\mathcal{M}_{\overline{Q}}^{r,d}(\tau)$是Nakajima箭图表示的模空间，这些表示是方程(2-3)和(2-4)的解：$$\begin{align} \mu_{\mathbb{R}}(A,\phi,x,y)_v := \mu_{\mathbb{R},v}^{\mathfrak{H}}(A,\phi) +\mu_{\mathbb{R},v}^{\mathfrak{E}}(x,y) = \tau_{\mathbb{R}},\end{align}$$和$$\begin{align} \mu_{\mathbb{C}}(A,\phi,x,y)_v := \mu_{\mathbb{C},v}^{\mathfrak{H}}(A,\phi) +\mu_{\mathbb{C},v}^{\mathfrak{E}}(x,y) = \tau_{\mathbb{C}}。\end{align}$$也就是说，它是商空间。我们以一些关于上述定义的评论结束这一节。评论4. (1) 对于非零参数$\tau_{\mathbb{C}}$的值，'希格斯场' $\phi_v$通常不再满足全纯性。尽管目前的工作主要处理$\tau_{\mathbb{C}}=0$的情况，但了解一般情况下的情况会很有意义。(2) 当限制在点$p\in X$时，Nakajima丛表示限制为箭图的线性表示，其顶点集由Q的顶点集给出，边集由$\overline{Q}$的边集给出，并在每个顶点处添加一个环。这些箭图被称为三重箭图，并出现在[Reference McGerty and NevinsMN18]中，以及在Donaldson–Thomas理论的背景下[Reference MozgovoyMoz11]中。(3) 与Nakajima箭图多样性类似，包含映射$\mu^{-1}_{\mathbb{R}}(\tau) \cap \mu^{-1}_{\mathbb{C}}(0) \rightarrow \mu^{-1}_{\mathbb{C}}(0)$，然后是商映射$\mu^{-1}_{\mathbb{C}}(0)\rightarrow \mu^{-1}_{\mathbb{C}}(0)//G$，给出了映射$\mathcal{M}_{\overline{Q}}(\tau) \rightarrow \mathcal{M}_{\overline{Q}}(0)}$。第3节的主要目的是为双箭图$\overline{Q}$定义一个替代的箭图丛概念，我们称之为$\overline{Q}$-丛，使得稳定的$\overline{Q}$-丛提供方程(2-3)和(2-4)的解。目前的工作与之前的对应工作（例如[Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03]）的主要区别在于，与反向边相关的数据由度数为$1$的上同调类给出，而不是真正的向量丛态射。这与[Reference Bradlow and García-PradaBGP95]中对p-上同调三重态的研究类似，以及[Reference BottacinBot00]中对高维多样性上的希格斯丛的研究。定义5. 给定一个带有标签$(r,d)$的双箭图$\overline{Q}$，一个$\overline{Q}$-丛$(E,\phi,x,y)$是在X上的一个由$\overline{Q}$的顶点和边索引的集合$(E_v,\phi_v,x_a,y_a)$，其中$E_v$是X上的一个秩为$r_v$、度数为$d_v$的全纯向量丛，$\phi_v\in H^0(X,\operatorname{End}(E_v)\otimes K)$，$x_a\in H^0(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{t(a)},E_{h(a)})$，以及$y_a\in H^0(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{t(a)},E_{h(a)})^*$。当上下文清楚时，$\overline{Q}$-丛$(E,\phi,x,y)$将用$\mathcal{E}$表示。$\overline{Q}$-丛的态射$f:(E,\phi,x,y)\rightarrow (E',\phi',x',y')$是一组$f_v:E_v \rightarrow E'_v$的丛态射，使得诱导的上同调态射满足$f_{t(a)*}(y') = (f_{h(a)}\otimes 1_K)^*(y)$，并且对于所有的v和a，所需的平方交换。定义6. 如果$(E,\phi,x,y)$是一个$\overline{Q}$-丛，一个$\overline{Q}$-子丛由数据$(E',\phi',x',y')$组成，其中$E'_v\subseteq E_v$对于所有的v都是子丛，并且当限制在$E'_v$上时，截面$\phi_v,x_v,y_v$与$\phi'_v,x'^v,y'_v$一致。为了将$\overline{Q}$-丛与方程(2-1)和(2-2)的解相识别，需要限制在某些稳定的$\overline{Q}$-丛的子集上。定义7. 设$\mathcal{E}$是X上的一个$\overline{Q}$-丛。对于一组实数$\tau = (\tau_v)_{v\in Q_0}$，定义$\mathcal{E}$的度和$\tau$-秩，$\mathcal{E}$的$\tau$-斜率定义为$$\begin{align*} \mu_\tau(\mathcal{E}) = \frac{\operatorname{deg}(\mathcal{E})+ \operatorname{rk}_\tau(\mathcal{E})}{\operatorname{rk}_1(\mathcal{E})}。\end{align*}$$如果对于所有的子丛$\mathcal{E}'$，斜率满足${\mu_\tau (\mathcal{E}') \leq \mu_\tau (\mathcal{E})$，则$\mathcal{E}$是半稳定的。如果不等式严格成立，则称其为稳定的；如果$\mathcal{E}$是稳定$\overline{Q}$-丛的直和，并且所有这些丛都有相同的斜率，则称其为多稳定的。评论8. (1) 给定一个常数$c\in \mathbb{R}$，将稳定性参数$\tau$转换为$\tau_v'=\tau_v +c$的效果是将斜率转换为$\mu_{\tau'} = \mu_\tau -c$。这不会改变稳定性条件，因此总是可以设置$\mu_\tau (\mathcal{E})=0$，并且证明稳定性相当于证明对于所有的子丛$\mathcal{E}'$，有$\mu_\tau (\mathcal{E}')<0$。(2) 这里使用的稳定性条件不如[Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03]中发现的那样通用，后者依赖于两个稳定性参数$(\sigma,\tau)$。然而，预计当前的框架可以毫不费力地推广。稳定的$\overline{Q}$-丛的行为类似于稳定的向量丛。特别是，[Reference KobayashiKob87, Corollary 5.7.12]中的标准证明显示了以下命题。命题9. 如果$\mathcal{E}$是稳定的，那么它是简单的。第4节讨论了Nakajima箭图丛与$\overline{Q}$-丛之间的对应关系背后的思想并不新鲜，已经被用来证明许多相关的对应关系（例如，参见[Reference Uhlenbeck and YauUY86, Reference HitchinHit87, Reference SimpsonSim92, Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03]）。然而，为了考虑当前设置中出现的高阶上同调类，需要更加小心。为此，我们使用类$y_a$的唯一调和表示$y_a^{\mathrm{harm}}$。这将问题简化为箭图丛的对应关系。最终结果是以下将稳定的$\overline{Q}$-丛与动量映射方程的解相关联的对应关系。命题10. 给定一组实数$\tau =(\tau_v)_{v\in Q_0}$，一个$\overline{Q}$-丛$\mathcal{E}=(E,\phi,x,y)$是$\tau$-多稳定的当且仅当它允许一个厄米度量h，使得Nakajima丛表示$\mathcal{R}=(A_h,\phi,x,y^{\mathrm{harm})$满足动量映射方程(2-3)和(2-4)对于$(\tau,0)$。对应关系的一个方向是[Reference NakajimaNak94, Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03]中论点的直接推广。引理11. 如果$(A,\phi,x,y)$是动量映射方程的解，那么相应的$\overline{Q}$-丛$(E,\phi,x,y)$是多稳定的。本节的其余部分致力于证明命题10的后半部分。引理12. 如果$\mathcal{E}$是一个在紧致黎曼曲面X上的$\tau_{\mathbb{R}}$-多稳定$\overline{Q}$丛，并且$\mu^{\mathfrak{E}}_{\mathbb{C}}=0$，那么$\mathcal{E}$允许一个满足方程(2-3)的厄米联络。4.1预备知识 固定一个紧致黎曼曲面X和一个$\overline{Q}$-丛$\mathcal{E}$，使得$\mu^{\mathfrak{E}}_{\mathbb{C}}=0$。对于每个$v\in Q_0$，让$\mathrm{Met}_v$表示丛$E_v$上的厄米度量空间。固定一个$k_v\in \mathrm{Met}_v$，使得由$k_v$诱导的$\mathrm{det}(E_v)$上的度量满足$\sqrt{-1}F_{\text{det}(k_v)}=d_v$。给定一个度量$h_v\in \mathrm{Met}_v$，用$S(h_v)$表示$E_v$上的平滑$h_v$-自伴 Endomorphisms空间。任何$h_v\in \mathrm{Met}_v$都通过与$s_v\in S(k_v)$的截面$h_v=k_v e^{s_v}$与$k_v$相关对于每个 $h\in \mathrm {Met}$，存在一个度量 $h_a$ 在 $\operatorname {\mathrm {Hom}}(E_{ta},E_{ha})$ 上，对于每个 $a\in \overline {Q}_1$，它由 $(\zeta _a,\zeta _a')_{h_a} = \mathrm {tr}(\zeta _a \circ \zeta _a^{*h_a})$ 给出。这给出了一个在 $\bigoplus _a \operatorname {\mathrm {Hom}}(E_{ta},E_{ha})$ 上的度量 $h$，通过 ${(\zeta ,\zeta ') = \sum _a (\zeta _a,\zeta _a')_{h_a}}$，相应的 $L^p$-内积和范数类似定义。固定一个整数 $p>2$。设 $W^{p,2}S(k_v)$ 表示 $k_v$-自伴截面的Sobolev空间，其直到二阶的导数具有有限的 $L^p$-范数，且 $\mathrm {Met}(W^{p,2}S(k_v)) = \{ k_v e^{s_v} : s_v \in W^{p,2}S(k_v)\}$。给定 $h =k e^s\in \mathrm {Met}(W^{p,2}S(k))$，通过 $\xi ^{*_h}= e^{-s}\xi ^* e^s$ 定义一个截面的h-伴随。最后，通过以下方式定义连接 $A_{h_v}$：$$ \begin{align*} d_{h_v} = d_{k_v} + e^{-s_v} \partial_{k_v}(e^{s_v}) \end{align*} $$，其曲率为 $F_{h_v} = F_{k_v} + \overline {\partial }_{E_v}(e^{-s_v}\partial _{k_v}(e^{s_v}))$。对于每个顶点 $v\in Q_0$，设 $s_v\in S(k_v)$。我们考虑光谱分解 $s_v= \sum _i \lambda _{v,i}P_{v,i}$，其中自伴投影为 $P_{v,i}$。设 $\psi :\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ 和 $\Psi :\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}$ 是 $C^1$-有界函数。我们按照纤维方式独立于基定义：$$ \begin{align*} \psi(s_v) := \sum_i \psi(\lambda_{v,i})\, P_{v,i}, \quad \Psi(s_v)[T] := \sum_{i,j}\Psi(\lambda_{v,i},\lambda_{v,j})\, P_{v,i}\,T\, P_{v,j} \end{align*} $$ 对于任何 $T\in \operatorname {End}(E_v)$。这些定义即使在特征值重数存在的情况下也有效。我们让 $\Psi (s)$ 作为丛映射作用于数据：$$ \begin{align*} (\Psi(s)\,\phi)_v &:= \Psi(s_v)[\phi_v] \in \Omega^{1,0}(X,\operatorname{End} E_v),\\ (\Psi(s)\,x)_a &:= \sum_{i,j}\Psi(\lambda_{h(a),i},\lambda_{t(a),j})\,P_{h(a),i}\,x_a\,P_{t(a),j} \in \Omega^0(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{t(a)},E_{h(a)})),\\ (\Phi(s)\,y^{\mathrm{harm}})_a &:= \sum_{i,j}\Phi(\lambda_{t(a),j},\lambda_{h(a),i})\,P_{t(a),j}\,y^{\mathrm{harm}}_a\,P_{h(a),i}\in \Omega^{0,1}\!(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{h(a)},E_{t(a)})\!\otimes\!K). \end{align*} $$ 如果 $\Psi (p,q)=\psi _1(p)\psi _2(q)$ 对于函数 $\psi _1,\psi _2:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$，那么 $$ \begin{align*} (\Psi(s)x)_a = \psi_1(s_{h(a)})\,x_a\,\psi_2(s_{t(a)}), \quad (\Psi(s)_y^{\mathrm{harm}})_a = \psi_1(s_{t(a)})\, y^{\mathrm{harm}}_a\,\psi_2(s_{h(a)}. \end{align*} $$ 对于任何实数 b，设 $W^{p,2}_bS(k) \subset W^{p,2}S(k)$ 是截面的闭子集，其在 X 中几乎处处有 $\lvert s\rvert \leq b$。引理 13（表面情况）假设 $\psi \in C^1_b(\mathbb {R})$ 和 $\Psi \in C^1_b(\mathbb {R}^2)$ 如上所述。如果 ${s\in W^{1,2}_bS(k)}$ 是自伴的，那么对于任何 $q<\infty $，以下断言成立：(1) $\psi (s)\in W^{1,2}S(k)$ 且 $\|\psi (s)\|_{W^{1,2}}\le C\,(1+\|s\|_{W^{1,2}})$。(2) 对于每个顶点 $v\in Q_0$，$\Psi (s_v)$ 在 $\Omega ^0(\operatorname {End} E_v)$ 和 $\Omega ^{1,0}(\operatorname {End} E_v)$ 上定义了一个有界算子；同样地，在 $\Omega ^0(\operatorname {\mathrm {Hom}}(E_{t(a)},E_{h(a)}))$ 和 $\Omega ^{0,1}(\operatorname {\mathrm {Hom}}(E_{h(a)},E_{t(a)})\!\otimes \!K)$ 上也定义了有界算子。(3) 对于每个 $q\leq 2$，(2) 中的定义可以连续扩展到 $\Psi (s):L^2\to L^q$，有 $$ \begin{align*} \|\Psi(s)[T]\|_{L^q} \leq C_{X,q} \|\psi_1\|_{C^1}\, \|\psi_2(s)\|_{C^1}( 1 + \|s\|_{W^{1,2}})^2 \|T\|_{L^2}. \end{align*} $$ (4) (2) 中的定义可以连续扩展到 $\Psi (s):L^2\to L^2$，有 $$ \begin{align*} \|\Psi(s)[T]\|_{L^2} \leq \|\psi_1(s)\|_{L^\infty}\|\psi_2(s)\|_{L^\infty}\|T\|_{L^2}. \end{align*} $$ 证明。由于 $\psi \in C^1_b$，有 $\|\psi (\lambda _i)\|_{W^{1,2}} \leq C_i +C_i' \|\nabla \lambda _i\|^2_{L^2}$。那么 $$ \begin{align*} \|\psi(s)\|^2_{w^{1,2}} &\leq \sum_i ( C_i + C_i'\|\lambda_i\|^2_{W^{1,2}}) \\ & \leq C\sum_i(1+ \|\lambda_i\|^2_{W^{1,2}}) \\ & \leq C_{X,q}(1 + \|s\|^2_{W^{1,2}). \end{align*} $$ 由于 $\Psi \in C^1_b(\mathbb {R}^2)$，(2) 是显然的。为了看到 (3)，当 $1/q=1/2 +2/p$ 时，有 $$ \begin{align*} \|\Psi(s)[T]\|_{L^q} &= \| \psi_1(s)\,T\,\psi_2(s)\|_{L^q}\\ &\leq \|\psi_1(s)\|_{L^p}\, \|T\|_{L^2} \, \|\psi_2(s)\|_{L^p}. \end{align*} $$ 由于 $W^{1,2}$ 可以嵌入到 $L^p$ 对于任何 $p<\infty $，结果从 (1) 而来。使用假设 $s\in W^{1,2}_b$，$\psi _1(s),\psi _2(s)\in W^{1,2}_b$ 也是如此。然后 (4) 从H?lder不等式得出。在这一点上，将元组 $(E,\phi ,x,y^{\mathrm {harm}})$ 视为Q的三重箭图的箭图丛，大部分证明与 [Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03] 的第3.3–3.7节相同。有兴趣的读者可以参考那里的完整细节。首先，在度量空间 $\mathrm {Met}(W^{p,2}S(k))$ 上构造一个泛函 $M_\tau$，使得最小化该泛函的度量提供矩映射方程的解。然后证明最小化度量的存在性归结为 $M_\tau$ 上的一个特定不等式。最后，使用 [Reference Uhlenbeck and YauUY86] 的正则性结果来证明，如果不满足这个不等式，则存在箭图丛的一个过滤，这与稳定性相矛盾。为了得出结论，需要将 [Reference álvarez-Cónsul and García-PradaAaCGP03] 中构造的破坏稳定性的箭图子丛与 $\bar {Q}$-丛的子丛联系起来。这通过以下引理完成，其证明是显而易见的。引理 14。假设 $(E,\phi ,x,y)$ 是一个 $\overline {Q}$-丛。如果 $(E',\phi ',x',y^{'\mathrm {harm}})$ 是 $(E,\phi ,x,y^{\mathrm {harm}})$ 的一个箭图子丛，那么 $(E',\phi ',x',y')$ 是 $(E,\phi ,x,y)$ 的一个 $\overline {Q}$-子丛。5. 无穷小变形 设 $\mathcal {R}=(A_v,\phi _v,x_a,y_a)$ 是 $\overline {Q}$ 的一个表示。为了研究 $\mathcal {R}$ 的变形，构造了一个复形 $C^\bullet (\mathcal {R})$，使得 $\mathbb {H}^1(C^\bullet (\mathcal {R}))$ 对应于 $\mathcal {R}$ 的无穷小变形。这一节的处理遵循 [Reference BottacinBot00] 在研究n维流形上的Higgs丛时的方法。关于普通箭图丛的变形理论，请参见 [Reference Gothen and KingGK05]。由于这一节中的指标数量较多，为了提高可读性，对于这一节的剩余部分，表示顶点和边的下标被上标替代。设 $\mathcal {U}=\{U_i\}_{i\in I}$ 是X的一个?ech覆盖。定义表示 $\mathcal {R}$ 的上同调类 $(\phi ^v,x^a,y^a)$ 可以用?ech上链（$\{\phi ^v_{i}\},\{x^a_i\},\{y^a_{ij}\}$）来描述。对于上链 $\{\alpha _{j_0,\ldots , j_p}^v\}_{v\in Q_0}\in \bigoplus _{v\in Q_0} C^p(\operatorname {End}(E^v))$，定义 $\{[\alpha ,x]_{j_0,\ldots , j_p}^a\}_{a\in Q_1} \in \bigoplus _{a\in Q_1} C^p(\operatorname {\mathrm {Hom}}(E^{t(a)},E^{h(a)}))$ 通过 $$ \begin{align*} [\alpha,x]^a_{j_0\cdots j_p} = \alpha^{h(a)}_{j_0,\cdots j_p}\circ x^a_{j_p} - x^a_{j_p} \circ \alpha^{t(a)}_{j_0\cdots j_p} \end{align*} $$ 类似地对于 $[\alpha ,y]^a$ 和 $[\alpha ,\phi ]^v$。这些定义了?ech复形之间的映射 $$ \begin{align*} [\cdot,\phi] &: \bigoplus_{v\in Q_0} C^p(\operatorname{End}(E_v)) \longrightarrow \bigoplus_{v\in Q_0} C^p(\operatorname{End}(E^v)\otimes K), \\ [\cdot,x] &:\bigoplus_{v\in Q_0} C^p(\operatorname{End}(E^v)) \longrightarrow \bigoplus_{a\in Q_1} C^p(\operatorname{\mathrm{Hom}}(E^{t(a)},E^{h(a)})), \\ [\cdot,y] &:\bigoplus_{v\in Q_0} C^p(\operatorname{End}(E^v)) \longrightarrow \bigoplus_{a\in Q_1} C^{p+1}(\operatorname{\mathrm{Hom}}(E^{h(a)},E^{t(a)})\otimes K). \end{align*} $$ 将这些放在一起，我们通过 $\Psi (f) = ([f,\phi ],[f,x],[f,y])$ 定义了一个映射。此外，存在一个从 $\Psi $ 的值域到 $\bigoplus _{v\in Q_0} C^{p+1}(\operatorname {End}(E^v)\otimes K)$ 的映射 $\Phi $，由 $$ \begin{align*} \Phi(\beta,\alpha,\mu) = \delta \beta +[\alpha,y]+[\mu,x]. \end{align*} $$ 给出。所需的层复形 $C^\bullet (\mathcal {R})$ 可以如下定义。设 $C^0(\mathcal {R}) = \bigoplus _{v\in Q_0} C^0(\operatorname {End}(E^v))$，对于 $p=1,2$，有 $$ \begin{align*} C^p(\mathcal{R}) = &\bigoplus_{v\in Q_0} ( C^p(\operatorname{End}(E^v))\oplus C^{p-1}(\operatorname{End}(E^v)\otimes K)) \\ \oplus &\bigoplus_{a\in Q_1} (C^{p-1}(\operatorname{\mathrm{Hom}}(E^{t(a)},E^{h(a)})) \oplus C^{p}(\operatorname{\mathrm{Hom}}(E^{h(a)},E^{t(a)})\otimes K)), \end{align*} $$ 其微分 $d^0:C^0(\mathcal {R})\longrightarrow C^1(\mathcal {R})$ 由 $d^0(f) = \big [\!\begin {smallmatrix}\delta \\ \Psi \end {smallmatrix}\!\big ]$ 给出，$d^1:C^1(\mathcal {R})\longrightarrow C^2(\mathcal {R})$ 由 $$ \begin{align*} d^1 = \begin{bmatrix} \delta & 0 \\ \Psi & -\delta \\ 0 & \Phi \end{bmatrix}. \end{align*}$ 给出。上面，$-\delta $ 被理解为接受一个上链三元组并对每个应用适当的?ech微分。引理 15。第一上同调群 $\mathbb {H}^1(C^\bullet (\mathcal {R}))$ 不依赖于 $y^a$ 的表示选择。证明。不失一般性，我们可以假设Q由一对通过单一边连接的顶点组成。设 $(E^1,E^2,\phi ^1,\phi ^2,x,y)$ 是一个 $\overline {Q}$-丛，$y',y"$ 是表示y的两个上链。记 $y" = y' +\delta \nu $ 对于 $\nu \in C^0(\operatorname {\mathrm {Hom}}(E^1,E^2)\otimes K)$。用 $C^\bullet (\overline {Q},y')$ 和 $C^\bullet (\overline {Q},y")$ 表示相应的复形。很容易检查映射 $$ \begin{align*} \mathbb{H}^1(C^\bullet(\overline{Q},y"))\longrightarrow \mathbb{H}^1(C^\bullet(\overline{Q},y')) \end{align*} $$ 通过将 $(\eta ^1,\eta ^2,\beta ^1,\beta ^2,\alpha ,\mu )$ 发送到 $(\eta ^1,\eta ^2,\beta ^1,\beta ^2,\alpha ,\mu +[\eta ,\nu ])$ 是一个同构。现在不难将 [Reference BottacinBot00, BR94] 的证明扩展到主要结果。定理 16。第一上同调 $\mathbb {H}^1(C^\bullet (\mathcal {R}))$ 对应于表示 $\mathcal {R}$ 的无穷小变形集。证明。给定一个向量丛 $E^v$，一个上同调类 $\{\eta ^v_{ij}\}\in H^1(\operatorname {End}(E^v))$ 唯一确定了一个在 $\mathcal {R}$ 上的向量丛 $E^v[\epsilon ]$。仿射集形成了 $X_\epsilon $ 的一个?ech覆盖。考虑一个变形 $x^a[\epsilon ]:E^{t(a)}[\epsilon ] \longrightarrow E^{h(a)}[\epsilon ]$。这可以通过映射 $x^a[\epsilon ]如[Reference SernesiSer06]所示，Grassmannian中某一点F处的切空间可以与$\operatorname {\mathrm {Hom}}_{\mathbb {P}^1}(F,\mathcal {O}^n/F)$等同起来，因此映射$yx$位于由x定义的点的余切空间中。这描述了一个从$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$到$T^*\text {Gr}^{d}(1,\mathcal {O}^n)$的映射。相反，假设$(F,\Omega )$是$T^*\text {Gr}^{d}(1,\mathcal {O}^n)$中的一个点。那么$q: \mathcal {O}^n \twoheadrightarrow F$是$\mathcal {O}^n$的一个商丛，其次数为d，而$\Omega \in H^1(\mathbb {P}^1,\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,\text {ker}(q))\otimes K)$位于$[q:\mathcal {O}^n \twoheadrightarrow F]$处的余切空间中。考虑这个精确序列，我们可以应用函子$\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,-)\otimes K$来获得一个新的短精确序列，以及与之相关的长精确序列在上同调中。由于我们在$\mathbb {P}^1$上工作，$H^0(\mathbb {P}^1,\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,F)\otimes K)$为零，因此映射$H^1(\mathbb {P}^1,\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,\text {ker}(q))\otimes K) \longrightarrow H^1(\mathbb {P}^1,\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,\mathcal {O}^n)\otimes K)$是单射。因此，我们可以将$\Omega $向前推得到一个元素$y\in H^1(\mathbb {P}^1,\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,\mathcal {O}^n)\otimes K)$。复矩映射条件结合上述序列表明y位于映射$H^1(\mathbb {P}^1,\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,\text {ker}(q))\otimes K) \longrightarrow H^1(\mathbb {P}^1,\operatorname {\mathrm {Hom}}(F,\mathcal {O}^n)\otimes K)$的像中。这定义了一个从$T^*\text {Gr}^d(1,\mathcal {O}^n)$到$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$的映射。这描述了$T^*\mathrm {Gr}^d(1,\mathcal {O}^n)$和$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$之间的同构。当X的亏格为$g\geq 1$时，$H^0(X,\operatorname {End}(L)\otimes K)$存在非零截面，因此一个表示包括一个扭曲的自同态$\phi $。现在从稳定性角度考虑，$\overline {Q}$-丛$(L,\phi ,x,y)$是稳定的当且仅当$(L,\phi )$是一个秩为$1$的稳定Higgs丛，并且x是满射。$\mathbb {C}^\times $-作用 在一个适当的环面$\mathbb {T}$对（可能是奇异的）多样性X的作用下，Bia?ynicki-Birula的理论[Reference Bia?ynicki-Birula.ByB73]指出，X的有理（上）同调由固定点集$X^{\mathbb {T}}$的连通分量的有理（上）同调决定。在本节中，我们定义了一个$\mathbb {C}^\times $-作用在Nakajima丛多样性上，以试图更好地理解固定点，从而理解$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$的拓扑结构。一般来说，即使是在向量空间表示的情况下，完全描述固定点也是困难的。因此，我们专注于特定的$A_1$箭图情况。回想一下在Higgs丛的模空间和Nakajima箭图多样性上的$\mathbb {C}^\times $-作用，这些作用会缩放余切方向。同样地，$\mathbb {C}^\times $也有一个作用在$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$上，它保持矩映射条件$\mu _{\mathbb {R}}=\tau _{\mathbb {R}},\; \mu _{\mathbb {C}} = 0$。如果$(E,\phi ,x,y)$是一个$\overline {Q}$-丛，那么$\lambda \in \mathbb {C}^\times $的作用定义为$\lambda \cdot (E,\phi ,x,y) =(E,\lambda \phi ,x,\lambda y)$。在本节的其余部分，假设X的亏格不是$1$。如果$(E,\phi ,x,y)$是一个固定点，存在一个参数化的规范变换族$g_\lambda $，使得$$ \begin{align*} g_\lambda(E,\phi,x,y)g_\lambda^{-1} = (E, \lambda\phi, x, \lambda y). \end{align*} $$对于每个$E_v\in Q_0$，令$E_v=\oplus _i E_v^{w_i}$是$E_v$的权重分解，其中$\mathbb {C}^\times $以权重$w_i$作用在$E_v^{w_i}$上。作为该作用的固定点意味着$$ \begin{align*} \phi_v &:E_v^{w_i} \longrightarrow E_v^{w_i-1}\otimes K, \\ x_a &: E_{t(a)}^{w_i} \longrightarrow E_{h(a)}^{w_i}, \\ y_a & \in H^1(X,\operatorname{\mathrm{Hom}}(E_{h(a)}^{w_i},E_{t(a)}^{w_i-1} \otimes K)). \end{align*} $$我们以$\mathbb {C}^\times $-作用在$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$上的具体例子为例，其中Q是框架化的$A_1$箭图。从固定点方程来看，如果存在一个参数化子群$g_\lambda $，使得对所有$\lambda $都有$$ \begin{align*} \lambda\phi = g_\lambda \phi g^{-1}_\lambda , \quad x = g_\lambda x, \quad \lambda y = y g^{-1}_\lambda. \end{align*} $$那么点$(\phi ,x,y)$就是固定的。由于稳定性，x是满射，因此唯一的固定点是形式为$(0,x,0)$的点，固定点集与$\mathrm {Gr}^d(1,\mathcal {O}^n)$相同。用一个未框架化的顶点替换框架化顶点。我们感兴趣的作用是$$ \begin{align*} (E_1,E_2,\phi_1,\phi_2,x,y)\mapsto (E_1,E_2,\lambda \phi_1,\lambda\phi_2,x,\lambda y). \end{align*} $$使用$E_1,E_2$的权重空间分解，可以很容易地验证固定点可以由$\phi _i:E_i^{w_i}\to E_i^{w_i-1}\otimes K$描述的对全纯链组成，这些链通过$x^k$和$y^k$数据交织在一起。图1展示了一个这样的固定点。更精细的描述，例如涉及的链的长度，将取决于稳定性和$E_1,E_2$束的拓扑类型。图1 显示了$\mathbb {C}^\times $-作用在未框架化的$A_1$箭图上的一个固定点。如果$\lvert Q_0\rvert =n$，上述作用可以推广为$(\mathbb {C}^\times )^n$在$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$上的作用。对于$\lambda = (\lambda _1,\ldots , \lambda _n)\in (\mathbb {C}^\times )^n$，该作用通过$\lambda _v$缩放$\phi $，并通过$\lambda _{t(a)}$缩放y。现在，如果存在一个同态$g:(\mathbb {C}^\times )^n\rightarrow \mathcal {G}$，使得$$ \begin{align*} \lambda_v\phi_v = g(\lambda)\phi_v g(\lambda)^{-1}, \quad x_a =g(\lambda)_{h(a)}x_a g(\lambda)_{t(a)}^{-1}, \quad \lambda_{t(a)}y_a = g(\lambda)_{t(a)}y_a g(\lambda)_{h(a)}^{-1}. \end{align* }$，那么表示$(A,\phi ,x,y)$就是一个固定点。从这里开始，与Higgs束相同的论证表明，为了使$\mathcal {E}= (E,\phi ,x,y)$成为一个固定点，$\phi _v$对于所有的v都必须是幂零的。然而，与普通Higgs束不同，$\phi _v$是幂零的并不足以保证$\mathcal {E}$是固定的。例如，设${\mathcal {E}=(E_1,E_2,\phi _1,\phi _2,x,y)}$是在未框架化的$A_1$箭图上的一个$\overline {Q}$-丛。假设${E_1\cong E_2\cong \mathcal {O}_X\oplus \mathcal {O}_X}$并且$$ \begin{align*} \phi_1 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}, \quad \phi_2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ \beta & 0 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 0 & x_{12} \\ x_{21} & 0 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ y_{21} & 0 \end{bmatrix}. \end{align* }$$在$\mathcal {M}_{\overline {Q}}(\tau )$内定义幂零锥为所有Higgs场$\phi _v$都是幂零的Nakajima表示，那么环面作用的所有固定点都受限于幂零锥内。随着底层箭图变得更加复杂，以及涉及的秩和次数增加，固定点的分析显著变得更加困难。在没有系统方法的情况下，理解该作用的固定点依赖于逐个案例的方法。然而，一旦これが完成，Bia?ynicki-Birula对$\mathcal {M}_{\overline {Q}}^{r,d}(\tau )$的基于固定点集的分解应该有助于更全面地理解Nakajima丛多样性的拓扑结构。更投机地说，$\mathbb {C}^\times $-作用在Higgs丛的模空间上的固定点在理解Hitchin系统和Nakajima箭图多样性方面起着重要作用。Hitchin系统导致了一个适当的态射${\mathcal {H}:\mathcal {M}^{\text {Higgs}}(X)\rightarrow \mathcal {B}}$到仿射空间$\mathcal {B}$，将Higgs场映射到其特征多项式的系数上。$\mathbb {C}^\times $-作用的固定点都位于Higgs束$(E,\phi )$的幂零锥$\mathcal {H}^{-1}(0)$内，其中$\phi $是幂零的。鉴于Nakajima箭图多样性上存在可积系统[Reference Fisher and RayanFR16, Reference Rayan and SchaposnikRS21]，以及Nakajima丛多样性和Higgs模之间的相似性，固定点可能会有助于更深入地理解这些系统之间的关系。致谢第二作者感谢Simons几何与物理中心的支持，在2024年7月的第二次Simons数学夏令营（‘Moduli’）期间取得了重要进展。第二作者部分得到了安大略研究生奖学金和其他合作者的NSERC Discovery Grants的支持。第二和第三作者感谢Mahmud Azam、Kuntal Banerjee、Eric Boulter、Robert Cornea和Evan Sundbo的有益讨论，所有三位作者还感谢Eckhard Meinrenken和Nick Rozenblyum在工作的早期阶段提供的有益意见和问题，以及匿名审稿人对早期版本的工作提出的宝贵反馈。注释通过Graeme Wilkin传达。