在粘弹性颗粒水凝胶中的相互运动现象

《Journal of Fluid Mechanics》：Reciprocal swimming in viscoelastic granular hydrogels

　　摘要：我们通过实验研究了一种类似扇贝的游泳器，它拥有在近似无摩擦、具凝聚性的颗粒介质（由水凝胶球体构成）中往复摆动的翅膀。当游泳器的摆动频率与材料的松弛时间的倒数相匹配时，观察到了显著的移动现象。值得注意的是，这种游泳器的移动方向与其在无凝聚性的硬塑料球颗粒介质中的运动方向相反。在频率过高或过低的情况下，除了短暂的初始过渡阶段外，我们没有观察到游泳器的任何运动。X射线成像显示，翅膀的运动产生了低密度区域，这又导致了阻力和推进力的滞后现象。这种时间依赖性效应，结合游泳器的惯性，解释了在中等频率下的移动行为。

1. 引言：在复杂介质（如胶体、聚合物溶液和颗粒材料）中的运动特征是游泳器与非线性流变性质和非连续效应的相互作用（Arratia, 2022年）。在聚合物液体中，像细胞、细菌和微型机器人这样的游泳器可以利用液体的性质，包括剪切率依赖的粘度（Fu, Wolgemuth & Powers, 2009年；Qiu等人, 2014年；Riley & Lauga, 2017年；Han等人, 2020年）以及涉及环向应力和正应力差异的弹性（Normand & Lauga, 2008年；Keim, Garcia & Arratia, 2012年；Pak等人, 2012年；Binagia & Shaqfeh, 2021年；Rogowski等人, 2021年；Datta等人, 2022年；Kroo等人, 2022年）。在剪切流中拉伸聚合物的推进方式，从而降低局部粘度或诱导介质的弹性，可以在这种条件下提高游泳效率（Fu, Shenoy & Powers, 2010年；Wróbel等人, 2016年）。这些效应还使得某些推进策略成为可能，例如往复式游泳（Keim et al., 2012年；Qiu等人, 2014年；Han等人, 2020年），这在牛顿液体中是不可能的（Purcell, 1977年；Lauga, 2011年）。对于具有异质微观结构的介质（Balin等人, 2017年；Zhang, Li & Ardekani, 2018年），当游泳器的特征长度尺度与介质的组成组分相当时，会出现显著的非连续效应。例如，在密集的聚合物溶液中，纳米级的鞭毛可以局部拉伸聚合物线圈，形成聚合物贫乏的通道（Martinez等人, 2014年）。这种结构改变使鞭毛在重新进入尾流时产生显著降低的推进力。虽然这种非连续效应在纳米尺度上不明显，但在由较大组分颗粒组成的复杂介质中移动时可能会变得更加显著。颗粒介质中的运动是一个特别丰富的问题，例如沙鱼蜥蜴在沙子中波动（Maladen等人, 2009年；Goldman, 2014年），以及通过蠕动在土壤中钻行的蠕虫（Dorgan, 2018年），以及通过液化基底改变埋沙阻力的南方沙 octopus（Montana, Finn & Norman, 2015年）。这些系统难以理解，因为颗粒物质根据条件的不同，可以表现为流动的液体（Forterre & Pouliquen, 2008年；Xiao等人, 2017年, 2018年）或承重的固体（Majmudar等人, 2007年；Bi等人, 2011年）。类似固体的行为可能由堵塞转变引起，这种转变可以通过各向同性压力或剪切诱导（Liu & Nagel, 1998年；Bi等人, 2011年；Behringer & Chakraborty, 2018年），这对运动有重要影响。例如，在静止床层中，入侵者前方的颗粒通常会堵塞，有效地扩大了穿透物体的尺寸（Buchholtz & P?schel, 1998年；Brzinski III等人, 2013年；Müller等人, 2014年；Kang等人, 2018年；Harrington, Xiao & Durian, 2020年）。在较高应力下，集体颗粒重排会耗散弹性能量，导致弹塑行为（Schall & van Hecke, 2010年；Xiao等人, 2020年；Xiao等人, 2023年）。因此，大多数关于运动的研究将颗粒材料建模为弹塑性或完全塑性的连续介质，适用于简化方法，如阻力理论（Askari & Kamrin, 2016年；Agarwal等人, 2021年, 2023年）。含有高变形性、凝聚力强或几乎无摩擦颗粒的颗粒材料（如食品、粉末、化妆品和原油）可以表现出明显的粘弹性。它们的流动行为与刚性模型材料（如干玻璃或塑料珠子和罂粟籽）显著不同，后者通常用于实验室研究。颗粒水凝胶提供了一个特别有趣的凝聚模型系统，因为它们结合了非常低的摩擦系数（约0.01）和高弹性变形能力（弹性模量1...100 kPa）（Ashour等人, 2017年；Shakya等人, 2024年）。由于它们含有较高水分，液体毛细桥可以在水凝胶颗粒之间形成，产生凝聚力。这些效应导致剪切流（Dijksman & Mullin, 2022年；Wang等人, 2022年；Farmani等人, 2025年）和筒仓排放（Stannarius等人, 2019年；Harth等人, 2020年；Wang等人, 2023年）中的独特时间依赖性行为。因为颗粒水凝胶结合了类似聚合物液体的粘弹性和可重新配置的异质堆积，所以在这种介质中的游泳特别有趣。除了基础物理之外，它也可能与医疗应用相关，例如微型机器人在血细胞间导航。本研究展示了一种受扇贝启发的游泳器实验，它由两个反向旋转的叶片驱动进行往复摆动。这种游泳器在水凝胶球体床中移动，并且如我们所展示的，仅在特定的摆动频率范围内产生推进力。这种行为与在摩擦性聚苯乙烯球床中的游泳器不同（Xiao等人, 2025年）。

2. 实验方法与材料：图中展示了基于我们先前研究（Xiao等人, 2025年）的颗粒介质中受扇贝启发的游泳器的实验装置。游泳器由一对反向旋转的方形翅膀组成（尺寸15毫米×15毫米，厚度1毫米），这些翅膀用树脂3D打印而成。每个翅膀安装在一个直径为2毫米的碳纤维杆上，杆之间相距10毫米，并由滚珠轴承支撑。一个伺服电机直接驱动一个杆，而另一个杆通过一对相同的齿轮连接，确保翅膀的对称反向旋转。定义了一个笛卡尔坐标系，x方向为横向，y方向为游泳方向（图1插图），z方向为向上指的垂直轴。翅膀在θ1=80°（打开）和θ2=20°（关闭）之间摆动。图1显示了颗粒介质中的实验装置。该装置由一对尺寸为15毫米×15毫米×1毫米的翅膀组成，在一个充满颗粒的容器（尺寸70毫米×70毫米×85毫米）中工作。插图显示了水凝胶颗粒的照片。为了制备水凝胶颗粒，我们从筛分出狭窄粒径分布[0.20, 0.23毫米]的干粉开始。在蒸馏水中膨胀后，颗粒的直径变为[1,2]毫米。用水凝胶颗粒去除水浴，并放在纸巾上排干多余的表面水分。残留的水在颗粒之间形成了液体桥，使得材料略微具有凝聚力。液体桥引起的凝聚力和整体堆积的变形行为在Harth等人（2020年）、Wang等人（2022年）和Farmani等人（2025年）的研究中有描述。图1的插图显示了床面。作为对比，我们还使用了平均直径为1毫米、密度与水凝胶颗粒相似的干聚苯乙烯颗粒，这在Xiao等人（2025年）的研究中有更详细的探讨。颗粒被放置在一个尺寸为70毫米×70毫米的立方箱中，填充高度为85毫米。因此，游泳器的xy平面位于40毫米的深度。箱子放置在两个线性导轨上，每个导轨由两个空气轴承支撑。总移动质量为1.54千克，包括容器和导轨。这远低于空气轴承的承载能力（4×4.5千克），允许在y方向上无摩擦运动。容器的位移通过线性位置霍尔编码器记录，并转换为游泳器的相对位移ys。 load cell测量了作用在游泳器y方向上的力fy。load cell和电机都没有与移动的颗粒床机械连接。在水凝胶和聚苯乙烯介质中测试了不同的循环周期T，总是从关闭角度θ2开始。

3. 在水凝胶和聚苯乙烯颗粒颗粒介质中的运动：图2显示了游泳器的位移ys作为缩放时间t/T的函数（虚线曲线），平均值为两次重复实验的结果，正方向（向前）在图1中定义。在聚苯乙烯颗粒中，游泳器在+y方向上表现出持续的移动，与我们之前的结果一致（Xiao等人, 2025年）。相比之下，在水凝胶颗粒中，运动发生在-y方向，并且强烈依赖于摆动速率：在1/T=0.5Hz时，净位移消失，游泳器在每个循环后返回到ys=0；在1/T=1.0Hz时，游泳器在-y方向上发展出持续的移动，与聚苯乙烯颗粒中的观察结果相反；而在1/T=2.5Hz时，净位移再次消失。对于每种情况，两次单独运行的测量结果用较浅的颜色显示。除了1/T=1.0Hz的情况外，重复运行的结果一致，这里两次运行之间存在轻微的定量差异。这表明推进力可能略微依赖于初始堆积条件，对于具有凝聚性的水凝胶颗粒来说，这种依赖性可能比聚苯乙烯更强。图2显示了几个摆动周期内游泳器的位移ys作为时间的函数（虚线曲线）：T=2.0秒（蓝色），T=1.0秒（紫色），T=0.4秒（红色）。作为对比，黑色曲线显示了T=2.0秒时聚苯乙烯颗粒的数据。对于每种情况，符号通过实线连接，表示每次循环结束时的位移，平均值在两次重复实验中显示为较浅颜色的实线曲线。图3显示了每个循环游泳器的净位移Δys作为摆动频率的函数。这些值是每次循环结束时ys(t/T)斜率的平均值（图2中的符号），通过在初始松弛后至少五个连续数据点上进行线性拟合来量化（t/T≥5）。我们在t/T=1.0Hz时得到了一个明显的峰值，而在1/T?1.0Hz和1/T?1.0Hz时，运动停止。作为对比，图3的插图显示了在聚苯乙烯颗粒中移动的游泳器的相同数据。尽管由于装置的限制，我们无法扫描与水凝胶颗粒相同的频率范围，但我们看到每个循环的净位移始终为正，并且随着频率1/T的增加而略微减小。这种行为类似于在可塑性变形颗粒介质中其他运动问题报告的速率独立性（Maladen等人，参考文献Maladen, Ding, Li和Goldman 2009；Hatton等人，参考文献Hatton, Ding, Choset和Goldman 2013）。在刚性的、摩擦性的和非粘性的颗粒介质中，持续的前向运动与游泳者附近的粒子堵塞有关（Xiao等人，参考文献Xiao, Torres, Sack和P?schel 2025），而在水凝胶颗粒中观察到的向后推进则源于不同的机制，如下所述。图3显示了水凝胶颗粒中每个周期的净游泳者位移与拍打频率的关系。误差条表示两次实验重复之间的差异。插图显示了在聚苯乙烯颗粒中移动的游泳者的数据；在这里，误差条非常小。虽然图3展示了游泳者每个周期的平均净位移，但图4显示了子周期相位分辨的速度$\dot {y}_s(t)$，以及相应的驱动力$f_y(t)$，在时间区间$0 \leqslant t \leqslant T$内，对于拍打频率$1/T=1\,\text{Hz}$，这对应于平均运动速度的峰值。在每次划水开始时，$t/T=\{0,0.5\}$，游泳者最初会继续沿着前一次划水的方向移动，尽管翅膀的运动方向发生了反转。在这段时间内，驱动力所做的功是负的（$\dot {y}_sf_y\lt 0$），这使得游泳者在$\Delta t/T\approx 0.1$的时间内减速，直到$|\dot {y}_s|=0$。这种行为表明不能忽视游泳者的惯性。如果惯性可以忽略不计，游泳者会立即跟随翅膀的运动方向，并且其速度会在$t/T = \{0, 0.5\}$时改变符号。图4显示了在水凝胶颗粒中，拍打频率为$1/T=1\,\text{Hz}$时游泳者的相位分辨速度（黑色虚线，右轴）和驱动力（红色实线，左轴）。垂直虚线分隔了开合的半个周期，如图插图所示。我们实验中观察到的游泳运动发生在空间固定的游泳者相对于装有水凝胶颗粒的无摩擦容器移动的情况下。因此，与这种运动相关的有效质量是容器和水凝胶颗粒的质量，而不是游泳者本身的质量。因此，我们的实验设置对应于一个自由游泳者（忽略旋转），其密度比环境流体的密度高出几个数量级。高密度应该只影响游泳者的惯性，而不影响其浮力。因此，对应于我们固定游泳者设置的自由游泳者实验应该在无重力的情况下进行。Gonzalez-Rodriguez和Lauga（参考文献Gonzalez-Rodriguez和Lauga 2009）以及Hubert等人（参考文献Hubert, Trosman, Collard, Sukhov, Harting, Vandewalle和Smith 2021）研究了一个密切相关的系统，他们发现在斯托克斯范围内，如果游泳者的密度远大于流体的密度$\rho _{{s}}\gg \rho _{{f}}$，则可以在牛顿流体中实现反向游泳。在这种情况下，基于游泳者的雷诺数${Re}_{{s}}=\rho _{{s}}L^2/(T\eta )$是有限的，而流体的雷诺数${Re}_{{f}}=\rho _{{f}}L^2/(T\eta )$可以忽略不计。这里，$L$表示游泳者的特征长度，$\eta$表示流体的粘度。Gonzalez-Rodriguez和Lauga（参考文献Gonzalez-Rodriguez和Lauga 2009）的解析结果预测，在$-y$方向上的周期平均净速度随着拍打频率$1/T$的增加而增加。尽管我们承认Gonzalez-Rodriguez和Lauga（参考文献Gonzalez-Rodriguez和Lauga 2009）研究的系统与我们自己的系统之间存在显著差异，但至少在低频率$1/T\approx 1\,\text{Hz}$时，运动方向（沿$-y$）和频率依赖性是相似的，参见图3。然而，在更高的频率下，水凝胶的粘弹性特性变得显著，由于翅膀的快速运动，颗粒内部会产生局部密度变化。这些效应将在以下章节中详细讨论。

4. 水凝胶中游泳的动力学
4.1. 惯性
系统的动力学由加速质量、拍打周期$T$和颗粒的粘弹性特性决定，这些特性将游泳者与充满颗粒的容器联系起来。在我们的实验中，游泳者在空间上是固定的，因此相关质量是可移动的、充满颗粒的容器的质量。对于非常低的频率$1/T=0.05\,\text{Hz}$，容器大致跟随拍打的翅膀运动，在一个周期内没有明显的净位移，这可以通过开合半个周期的对称位移轮廓来证明，见图5。通过平均所有周期来获得相位分辨的位移，忽略了初始的瞬态。注意，图2中显示的每个周期的净传输量远小于典型的峰值位移。由于容器的加速质量和来自颗粒的恢复力，因此可以将容器视为一个受驱动的非线性振荡器，围绕游泳者的位置振荡，并叠加有缓慢的漂移。对于慢速拍打，$1/T=0.05\,\text{Hz}$，作用在容器上的力很小，容器跟随驱动的拍打运动，而颗粒没有明显的变形。因此，轨迹$y_s (t/T)$在两个半个周期之间是对称的。对于快速拍打（$1/T=2.5\,\text{Hz}$），由于惯性，容器无法跟随驱动运动。翅膀强烈变形颗粒，但它们的低弹性模量阻止了足够的力传递来显著加速容器，因此$\Delta y\to 0$。图5显示了水凝胶颗粒中不同拍打频率下游泳者的平均相对位移与相位$t/T$的关系。对于每种情况，平均值是在初始瞬态之后的至少五个单独周期内取得的。垂直虚线分隔了开合的半个周期。该图还定义了（正的）峰值位置$\tau$和峰峰值幅度$\Delta y$，这些取决于拍打频率，见图6。上述基于惯性的机制引入了翅膀驱动和游泳者与容器相对位移之间的相位延迟$\tau$。虽然相位延迟$\tau$随着拍打频率的增加而增加，但诱导振荡的幅度$\Delta y$（见图5）的变化是非单调的。在极限$1/T \to 0$时，容器跟随驱动运动，$\Delta y$趋近于一个常数值$\Delta y^{(0)}$。在相反的极限$T \to 0$时，由于介质的低弹性模量，$\Delta y \to 0$。在中间频率$1/T$时，我们观察到幅度$\Delta y(T) \gt \Delta y^{(0)}$，类似于共振振荡。这一分析得到了图6的支持，图6显示了相位延迟$2\pi \tau$和峰峰值幅度$\Delta y$作为拍打频率$1/T$的函数。虚线显示$\Delta y$达到最大值的频率与最快运动频率一致，而相位延迟从$2\pi \tau \approx \pi /4$迅速增加到$2\pi \tau \approx \pi /2$。这些$\Delta y$和$\tau$的趋势类似于周期性驱动的阻尼振荡器，在$1\,\text{Hz}$附近发生共振，这是图3中绘制的最大运动速度的频率。

图6. 水凝胶颗粒中拍打频率$1/T=1\,\text{Hz}$时相位延迟$\tau$和峰峰值幅度$\Delta y$（插图）。垂直虚线标记了最大运动频率（见图2）。误差条表示两次实验重复之间的差异，对于$\Delta y$来说非常小。周期平均的$2\pi \tau$和$\Delta y$的标准误差（未显示）也可以忽略不计。线条用于帮助理解这种一致性。为了澄清这一点，我们检查了水凝胶介质对游泳者施加的力的性质。

4.2. 水凝胶中的粘弹性松弛
根据变形速率，水凝胶表现出粘性和弹性行为。水凝胶的响应决定了相互作用力，从而决定了游泳者的动力学。我们在松弛实验中检查了粘弹性响应。在情况（a）中，为了防止储液器位移，空气轴承被堵塞，游泳者的翅膀在$t=0$时从$\theta =20^\circ$迅速打开到$\theta =80^\circ$，并记录了随后对游泳者的力的（幅度）$F_y$的松弛。情况（b）类似，除了翅膀在$t=0$时从$\theta =80^\circ$迅速关闭到$\theta =20^\circ$。图7显示了测量的力，在最初的几秒钟内迅速衰减，然后缓慢松弛到长期残余值，反映了介质的粘性和弹性响应的结合。图7显示了水凝胶颗粒中快速划水后游泳力的松弛。对于打开（a），数据符合（4.1）（虚线曲线）中的模型，参数为$\alpha =0.085\,\text{N}$，$\tau _1=0.31\,\text{s}$，$\tau _2=5.02\,\text{s}$和$F_\infty =0.281\,\text{N}$。对于关闭（b），我们得到$\alpha =0.039\,\text{N}$，$\tau _1=0.26\,\text{s}$，$\tau _2=4.72\,\text{s}$和$F_\infty =0.154\,\text{N}$。我们将函数（4.1）\begin{equation} F_y = \alpha \left (e^{-t/\tau _1}+e^{-t/\tau _2}\right ) + F_\infty, \end{equation}拟合到$t\in [0, 20]\,\text{s}$内的测量力，以获得松弛时间：$\tau _1$可能与单个粒子级别的响应有关，包括水凝胶材料内的耗散和粒子间的毛细桥（Farmani等人，参考文献Farmani, Wang, Stannarius和Dijksman 2025），以及$\tau _2$，与粒子重新排列有关，有$\tau _1 \lt \tau _2$。平均开合划水次数后得到$\tau _1\approx 0.3\,\text{s}$和$\tau _2\approx 4.9\,\text{s}$。值得注意的是，在$1\,\text{Hz}$时（见图2）的向后运动峰值位于$1/\tau _1 \approx 3.3\,\text{Hz}$和$1/\tau _2 \approx 0.2\,\text{Hz}$之间。相应的Deborah数${De}_{\{1,2\}}=\tau _{\{1,2\}}/T$的数量级为单位，表明弹性和粘性效应都对游泳者的推进力有显著贡献。进一步提高游泳频率可能导致弹性效应增强。游泳者的净位移的相应减少可能与Keim等人（参考文献Keim, Garcia和Arratia 2012）观察到的情况类似，在那里，振荡哑铃在粘弹性流体中的推进速度在${De}\approx 4$时达到峰值。注意，残余力$F_\infty$也对初始力有贡献。在实验时间尺度$T\lt 20\,\text{s}$上，它实际上是弹性的。

4.3. 水凝胶介质中的密度变化
水凝胶颗粒的重新排列由松弛时间$\tau _2$决定，其时间尺度比翅膀运动慢，导致移动翅膀前的介质密度增加，而在其后面的介质密度减少。虽然密度的增加受到水凝胶颗粒材料密度的限制，但由于颗粒间可能形成空气填充的空隙，因此密度增加并不受此限制。因此，在翅膀扫过的体积内，水凝胶颗粒介质的平均密度小于远离翅膀的区域。颗粒的重新排序抵消了这种效应。因此，对于更快的拍打，密度差异更为明显，如图8所示，它显示了游泳者和水凝胶颗粒在$y{}z$平面上的X射线照片（见图1）。这些X射线照片（$110\,\text{kV}$，$400\,\unicode{x03BC} \text{A}$）是以$10\, \text{fps}$的频率记录的，并在至少五个拍打周期内对所有帧进行了平均。图8显示了水凝胶颗粒中以$1/T=0.05\,\text{Hz}$（a）和$1/T=1\,\text{Hz}$（b）频率游泳的周期平均X射线照片。在每种情况下，平均值是在至少五个周期内的整个游泳周期内取得的。黄色框标记了翅膀扫过的区域，红色框表示安装杆的位置。更高的强度$\varGamma$对应于水凝胶介质中的较低密度。比较图（a）和（b）中的X射线图像可以看出，在翅膀扫过的区域（黄色框）内，快速拍打（$1/T=1\,\text{Hz}$）下的颗粒密度低于慢速拍打（$1/T=0.05\,\text{Hz}$）时的密度。（由于X射线成像的速度限制，无法获得更快速翅膀旋转的X射线照片。）因此，由于水凝胶颗粒的粘弹性，翅膀附近会形成空隙。对于$T \sim \tau _2$，每次划水时空隙至少可以部分通过颗粒重新排列来填充，导致游泳周期中的迟滞现象，尽管翅膀是相互运动的。对于 $T \ll \tau _2$ 的情况，粒子的重排无法跟上翅膀的运动速度，因此在翅膀的开合过程中空洞会持续存在，对称性得以保持不变。这让人联想到细菌在密集聚合物溶液中移动时观察到的推进力损失现象，其中纳米级的鞭毛被认为会消耗周围的聚合物螺旋结构（参考文献Martinez等人，2014年）。在我们的研究中，使用空气作为间隙液体，与颗粒形成了高对比度，使得这种非连续效应能够通过X射线直接观察到。4.4 对运动的影响 通过分析4.1、4.2和4.3节中的惯性和粘弹性效应，我们可以得出游泳者在水凝胶颗粒介质中运动的统一规律，如图2所示。为了支持后续的讨论，我们引入了一个简化的动力学方程来描述游泳者的运动。虽然每个项的精确数学形式无法保证，但该方程至少应该能够捕捉到运动的基本特征（4.2）\begin{equation} m\frac {d^2y_s}{{\rm d}t^2}+\gamma (\theta )\frac {{\rm d}y_s}{{\rm d}t}+\kappa (\theta )(y_s-y_0(t))=f_{{w\textit{ing}}}(\theta ). \end{equation} 这里，$m$ 是可移动容器的质量，$\gamma$ 是阻力系数，$\kappa$ 是弹性常数，$f_{{w\textit{ing}}}$ 是由翅膀运动产生的驱动力。所有项都依赖于瞬时翅膀角度 $\theta$。此外，系数 $\gamma$ 和 $\kappa$ 以及驱动力 $f_{{w\textit{ing}}$ 与颗粒介质的密度之间的关系非常复杂，在此处不予详细讨论。在静止状态下，平均位置 $y_0$ 以 $\Delta y_s/T$ 的速率漂移，如图3所示。我们现在讨论三种特征性的拍动状态：（i）对于 $1/T\gg 1\,\text{Hz}$ 的情况，当 $T\ll \tau _1 \lt \tau _2$ 时，粘性效应可以忽略不计。此时 $\gamma \approx 0$，因此游泳者实际上是在弹性介质中拍动，并同时产生持久的空洞。由于没有松弛过程，$y_0(t) \approx 0$，因此（4.2）描述的是无运动的谐振振荡。（ii）对于 $1/T\ll 1\,\text{Hz}$ 的情况，惯性对游泳没有影响，如图6中几乎不存在的相位移动所证明的。在这个状态下，惯性项 $m\,d^2y_s/{\rm d}t^2$ 可以忽略，（4.2）仅依赖于翅膀角度 $\theta$。在非常低的频率下，水凝胶颗粒中的粒子重排速度足够快，可以在每次拍动过程中填满空洞，使得（4.2）实际上与密度无关。这种情况类似于最初的扇贝定理，即使存在强烈的弹性效应，游泳者也无法移动，如图7所示。（iii）对于 $1/T\approx 1\,\text{Hz}$ 的情况，粘性和弹性效应同时存在，惯性变得显著。在这个状态下，（4.2）中的所有项都有贡献，其微观起源与颗粒密度在时间尺度 $\tau _2 \sim T$ 内的局部填充过程中的滞后现象有关。虽然惯性与粘性效应之间的相互作用决定了每次周期的净位移，但弹性与惯性效应之间的相互作用可能通过类似共振的行为放大了净位移的大小，如图6所示。这使得游泳者与介质之间的能量传递更加容易，因为相位移动（图4和图6）使得 $\gamma {\rm d}y_s/{\rm d}t$ 和 $f_{{w\textit{ing}}$ 在翅膀旋转方向改变后能够朝同一方向作用。最终，在 $1/T\approx 1\,$ Hz 的频率下，游泳者的净位移达到最大值。5. 总结 总之，一种具有往复拍动翅膀的扇贝状游泳者在水凝胶球颗粒床中可以在一定的拍动频率范围内实现向后运动。这种行为是由柔软的水凝胶颗粒介质的惯性和粘弹性共同作用的结果。其运动机制与之前在理想化的刚性颗粒介质（如塑料珠子）中的观察结果有根本不同（参考文献Xiao等人，2025年）。致谢 R.S. 和 J.W. 感谢DLR在项目50WK2348中的资助。作者感谢A. Nazemi的富有成果的讨论。利益声明 作者没有利益冲突。作者贡献 H.X. 和 J.W. 对这项工作做出了平等的贡献。脚注 ?两位作者对这项工作做出了平等的贡献。