用于脂质双层的流体动力学液晶模型

《Journal of Fluid Mechanics》：Hydrodynamic liquid crystal models for lipid bilayers

　　**摘要**
对于脂质双层的粗粒度连续描述通常基于最小化Helfrich能量。这些模型仅隐式地考虑了这些结构的流体特性，并已被证明能够很好地再现平衡特性。此外，还有一种模型扩展考虑了这些结构的动态特性，即表面（Navier–）Stokes–Helfrich模型。这些模型明确考虑了膜的粘滞性。然而，这些模型通常也将脂质双层视为均匀连续体，忽略了脂质的分子自由度。在这里，我们推导出了更精细的模型，这些模型还考虑了一个标量序参量，代表脂质沿表面法线的排列。从流体动力学表面液晶模型出发，我们得到了一个用于非对称脂质双层的流体动力学表面Landau–Helfrich模型和一个用于对称脂质双层的表面Beris–Edwards模型。这两种模型的完全有序情况分别对应于已知的表面（Navier–）Stokes–Helfrich模型。因此，除了提供更详细的脂质双层连续模型外，我们还提供了表面（Navier–）Stokes–Helfrich模型的另一种推导方法。通过数值模拟展示了这种推导方法对动态特性的影响。

**1. 引言**
脂质双层是生物膜的基本结构组成部分。它们将细胞与外部环境以及细胞器与细胞质分隔开来。为了支持生命活动，它们必须平衡流动性与机械坚固性及通透性之间的竞争需求。真核生物通过脂质有序化来解决这一问题。虽然在微观建模方法中考虑了脂质双层，但连续描述通常缺乏这类信息。经典的Helfrich模型（Helfrich 1973年参考文献）通过引入由平均曲率和高斯曲率模量以及自发曲率表征的曲率弹性弯曲能量，以及封闭体积和/或全局面积或局部不可伸长性的约束，为理解流体膜的连续介质力学奠定了基础。尽管该模型成功捕捉了脂质双层的平衡特性（Seifert 1997年参考文献），但通常用于演化至平衡状态的能量梯度流动，至少在定量上，无法描述生物膜的时间依赖的流体动力学演化。在过去的几十年里，提出了各种扩展方法，将Helfrich能量与表面流体动力学结合起来，通常是在不可伸长粘性表面的框架内。这些用于流体可变形表面的模型考虑了膜的粘滞性（Dimova等人2006年参考文献；Faizi, Dimova和Vlahovska 2021年参考文献），并考虑了表面Navier–Stokes方程（Reuther, Nitschke和Voigt 2020年参考文献；Krause和Voigt 2023年参考文献；Olshanskii 2023年参考文献；Sischka, Nitschke和Voigt 2025年参考文献）或其Stokes极限（Arroyo和DeSimone 2009年参考文献；Torres-Sánchez等人2019年参考文献；Zhu, Saintillan和Chern 2025年参考文献），并与弯曲特性相结合。通过这种固-流体的二象性，任何形变都会引起切向流动，反之亦然，曲面上的任何切向流动都会导致形状变形。然而，这些模型通常将生物膜视为均匀连续体，忽略了可能影响局部曲率和流动阻力的分子自由度，因此忽略了流动性与坚固性之间的平衡。另一种视角来自于液晶流体动力学，特别是Beris–Edwards框架（Beris和Edwards 1994年参考文献），它通过描述与流体动力学运动耦合的Q-张量场的演化来描述向列相的动态特性。最近已经开发了这些模型的表面表述，用于研究曲面上的活性和被动向列层（Nitschke和Voigt 2025a年参考文献，Nitschke和Voigtb年参考文献）。虽然这些方法对取向有序及其弛豫提供了严格的处理，但它们主要适用于具有固有上-下对称性的系统，例如向列壳层，或者当平均分子方向被限制为垂直于表面时的对称脂质双层（参见图1），因此无法捕捉生物膜的不对称特性，其中不对称性源于不同的分子组成、不同的分子密度或由于支架蛋白的存在（参见图2）。有关生物膜中不对称性的更详细讨论及其起源，请参见McMahon和Gallop（McMahon和Gallop 2005年参考文献）。

**图1. 对称脂质双层。**
(a) 脂质分子处于完全有序状态（β = (2/3)），即它们完美地垂直于表面S排列。
(b) 从左到右，取向有序度β降低，而平均分子排列仍然垂直于表面。双层由表面S（绿线）表示，分子取向由Q-张量场Q表示，满足假设（4.1），即Q描绘了一个非极性法向场（灰色棒状物），其序参量为β（灰度图）。对于β ≠ 0，脂质分子不是各向同性的，通过最小化Helfrich能量并使自发曲率为零来获得几何最小配置，从而导致平坦的表面。

**图2. 非对称脂质双层。**
不对称性可能通过各种机制产生。我们提供了一些例子：
(a) 不同的分子组成。
(b,d) 不同的分子密度。
(c) 支架蛋白。分子取向由Q-张量场Q表示，满足假设（4.1），即Q描绘了一个非极性法向场（灰色棒状物），其序参量为β（灰度图）。
(a,b,c) 在有序状态（β = (2/3)下，所有脂质分子都垂直于表面S（绿曲线）排列时，当平均曲率取其自发曲率值H0时，达到几何最小配置。
(d) 较少有序的非均匀状态（β < (2/3)）可能会抵消这种效应，因为可以额外施加与各向同性状态（β = 0）相关的另一种自发曲率（?0）。对于曲面，几何最小配置取决于β、H0和?0。

在这项工作中，我们引入了一个流体动力学Landau–Helfrich（LH）模型，将这两种视角结合起来。在定义在移动表面的极化Landau–de Gennes能量的基础上，我们推导出一个自洽模型，将不可伸长粘性表面的流体动力学与表示沿表面法线排列的分子序参量结合起来。该模型是通过移动表面的Lagrange–d’Alembert原理获得的（Nitschke和Voigt 2025b年参考文献），确保了能量变化、粘性耗散和不可伸长性约束之间的一致性。Landau–de Gennes能量的极化引入了曲率-序耦合项，打破了对称性，从而恢复了非对称脂质层的特征特性，如依赖于曲率的自发弯曲。所得系统由广义的表面Navier–Stokes方程与序参量的Landau型松弛方程组成。它有几个重要的极限情况：对于极化消失的情况，方程导致表面Beris–Edwards模型的一个特例（Nitschke和Voigt 2025b年参考文献），这允许模拟对称脂质双层；对于序参量恒定的情况，方程简化为流体可变形表面的表面（Navier–）Stokes-Helfrich模型（Arroyo和DeSimone 2009年参考文献；Torres-Sánchez等人2019年参考文献；Reuther等人2020年参考文献）。在这些派生模型中，模型的弯曲特性没有明确指定，而是由潜在的液晶相互作用产生的，在表面（Navier–）Stokes–Helfrich模型的特殊情况下，因此与之前的推导不同。模型公式完全用观察者和坐标不变的张量计算表达，适用于标准（任意拉格朗日-欧拉）表面有限元框架内的数值离散化和分析（Nestler, Nitschke和Voigt 2019年参考文献；Sauer 2025年参考文献）。我们注意到，由于依赖于标量序参量，我们无法忽略高斯曲率的影响，尽管其本质上是纯粹的内在的。通过通过热力学一致的变分框架将几何表面流体动力学与分子有序性联系起来，LH模型提供了一个统一的连续描述，自然地结合了曲率-序相互作用、自发不对称性和耗散弛豫。因此，这项工作将经典的Helfrich理论扩展到了完全流体动力学范畴，为系统研究动态双层过程（如囊泡重塑、蛋白质诱导的曲率生成以及分子有序性与膜流动的耦合）铺平了道路。虽然我们主要关注液态有序状态，但Baumgart, Hess和Webb（Baumgart, Hess和Webb 2003年参考文献）中提到的液态有序状态与液态无序状态之间的相共存也可以用所提出的流体动力学LH模型来处理。本文的结构如下：第2节我们总结了与本工作相关的数学符号。第3节列出了各种模型，包括用于对称脂质双层的表面Beris–Edwards模型（3.1节）、用于非对称脂质双层的流体动力学表面LH模型（3.2节）以及作为完全有序脂质双层特例的表面Navier–Stokes–Helfrich模型（3.3节）。这些模型的推导主要在第4节进行。我们提出了一个Q-张量假设（4.1节），用于平均取向垂直于表面的脂质分子。将这个假设代入符合表面的Beris–Edwards模型（4.2节），得到了一个用于对称脂质双层的模型。相比之下，我们还为非对称双层制定了一个极化的表面Landau–de Gennes能量（4.3节），其变化最终导致了流体动力学表面LH模型。第5节通过数值结果展示了与表面Navier–Stokes-Helfrich模型相比的动态差异。此外，还提供了总结，得出了结论，并讨论了可能的模型扩展。附录E提供了额外的信息。

**2. 符号和预备知识**
我们简要总结了与本文相关的最重要符号。我们假设时间依赖的移动表面S?R3足够光滑，并且可以参数化到三维欧几里得空间中。张量场Tn R3|_S仅在表面上考虑。坐标不变性以及由此产生的框架选择自由度，允许将其解释为张量场的笛卡尔框架。例如，我们可以写作W = WaAeA（爱因斯坦求和），其中A∈{x,y,z}表示一个向量，或者W∈TR3|_S := T1 R3|_S表示一个一阶张量场。一个特殊的向量场是垂直于表面并归一化的法向场ν∈TR3|_S。它张成一个一维子向量场空间，其正交补空间由切向向量场Ts?S?T3|_S组成。相关的投影由表面单位张量场IdS给出，即Ts = IdS{T3|_S}成立。这个概念很容易扩展到n阶张量场Tn R3|_S和n阶切向张量场Tn S?T3|_S。表面单位张量场IdS∈T2S就是这样一种切向张量场，可以表示为IdS = IdS ? ν?ν，或者任意局部切向框架的度量张量，其中Id∈T2R3|_S是通常的欧几里得单位张量场，例如相对于笛卡尔框架给出为δABeA?eb。我们经常使用相应的正交分解。力场F = f + f⊥ν∈T3|_S可以分解为切向力场f=IdSf∈TsS和标量值的法向力场f⊥=νF∈T0S；或者，应力场（2.1）⊕=σ + ν?η∈T3|_S?Ts?T3|_S通常为右切向张量，并分解为切向应力场σ=IdSσ∈T2S和向量值的法向（-切向）应力场η=νη∈TsS。此外，我们的框架还涉及到Q-张量场∈Q2R3|_S := {Q∈T2R3|_S | Q = QT且TrQ=0}和切向Q-张量场∈Q2S := {q∈T2S | q = qT且Trq=0}≤Q2R3|_S，也称为平坦退化的Q-张量场。Q2R3|_S的完整正交分解在（4.2）中给出。局部内积用尖括号表示，即 $ \left \langle \boldsymbol{\cdot },\boldsymbol{\cdot }\right \rangle _{ \mathcal{V}}: \mathcal{V}\times \mathcal{V} \rightarrow {{T}^0 \mathcal{S}}$，其中 $ \mathcal{V} \le {T}^n {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$。由于坐标不变性和子向量空间的性质，不需要指定具体的坐标系，因此结果始终是一致的。例如，对于所有 $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in {{T}\! {\mathcal{S}}$，有 $ \left \langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w} \right \rangle _{ {{T}\! {\mathcal{S}}}} = \left \langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{w} \right \rangle _{ {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}}} = \boldsymbol{v}\boldsymbol{w} = g_{ij}v^iw^j = v^i w_i = \delta _{AB}v^Aw^B$。全局内积是根据相应的局部内积定义的：$ \left \langle {\boldsymbol{\cdot },\boldsymbol{\cdot }} \right \rangle := \int _{\mathcal{S}}\left \langle \boldsymbol{\cdot },\boldsymbol{\cdot }\right \rangle _{ \mathcal{V}}{\text {d}\mathcal{S}} : \mathcal{V}\times \mathcal{V} \rightarrow {\mathbb{R}}$。所有范数都是根据内积定义的：$ \left \| \boldsymbol{\cdot }\right \|_{\bullet }^2:= \left \langle \boldsymbol{\cdot },\boldsymbol{\cdot }\right \rangle _{ \bullet }$。我们使用分量导数 $ \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}: T^n {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}} \rightarrow T^n{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}}\otimes {{T}\! {\mathcal{S}}} \lt {T}^{n+1}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}}$ 作为张量场导数的起点，因为它能够捕捉到相对于周围欧几里得空间的所有一阶导数信息。原则上，它就是普通的 $ {\mathbb{R}}^3$ 导数，再加上法向导数，即 $ \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}} = ({\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\boldsymbol{\nabla} _{{\mathbb{R}}^3})\vert _{\mathcal{S}}$，如果需要考虑法向方向的扩展的话。如果我们使用任意的切向坐标系 $ \{\partial _i\boldsymbol{X}\mid i=1,2\}$，可以为所有 $ {\boldsymbol{R}}\in {T}^n {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$ 定义 $ \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}{\boldsymbol{R}} := g^{ik}(\partial _k{\boldsymbol{R}})\otimes \partial _i\boldsymbol{X}$，其中 $ g^{ik}$ 是相对于所选坐标系的度量张量的逆变形式。等价地，对于笛卡尔坐标系中的 $ {\boldsymbol{R}}= R^{A_1 \ldots A_n} \boldsymbol{e}_{A_1}\otimes \ldots \otimes \boldsymbol{e}_{A_n}$，有 $ [\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}{\boldsymbol{R}}]^{A_1 \ldots A_n B} \boldsymbol{e}_{\!B} = \boldsymbol{\nabla }R^{A_1 \ldots A_n}$，以及对标量场的协变导数 $ \boldsymbol{\nabla}$。形状算子 $ \boldsymbol{I\!I}\in {{T}^2 \mathcal{S}}$，也称为第二基本形式，可以直接从上述公式得出，即 $ \boldsymbol{I\!I} = -\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{\nu }$。其他从形状算子导出的曲率相关量包括平均曲率 $ \mathcal{H}={\operatorname {Tr}}\boldsymbol{I\!I} = {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\operatorname{:}\boldsymbol{I\!I}$ 和高斯曲率 $ \mathcal{K} = ({1}/{2}) ( \mathcal{H}^2 - \left \| \boldsymbol{I\!I} \right \|_{{{T}^2 \mathcal{S}}}^2 )$，这两个都是形状算子的标量不变量。相对于局部切向坐标系，还有 $ \mathcal{K} = \det \{I\!I^i_j\}$ 或 $ \mathcal{K} = ({1}/{4})\boldsymbol{E}\operatorname{:}\boldsymbol{\mathcal{R}}\operatorname{:}\boldsymbol{E}$，其中 $ \boldsymbol{E}\in {{T}^2 \mathcal{S}}$ 是列维-奇维塔矩阵，$ \boldsymbol{\mathcal{R}}\in {{T}^4 \mathcal{S}}$ 是黎曼曲率张量场。对于标量场，分量导数和协变导数是相同的，即 $ \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}=\boldsymbol{\nabla }:{{T}^0 \mathcal{S}}\rightarrow {{T}\! {\mathcal{S}}$。然而，这并不总是成立的，即使是对于切向张量场也不一定成立。对于向量场 $ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{v}+v_{\bot }\boldsymbol{\nu }\in {T} {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，例如有 $ \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V} = \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} - v_{\bot }\boldsymbol{I\!I} + \boldsymbol{\nu }\otimes ( \boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{v} )$。作为散度算子，我们使用分量迹散度 $ {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}} := {\operatorname {Tr}}\circ \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}$，其中迹运算作用于最后两列维度，包括作用在最后一个索引上的导数。需要注意的是，只有对于右切向张量场，迹散度才等于 $ {L}^{\!2}$ 伴随算子 $ -\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}^{*}$，因为对于所有 $ {\boldsymbol{R}}\in {T}^n {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，正确的关系是 $ {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}{\boldsymbol{R}} = - ( \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}^{*}{\boldsymbol{R}} + \mathcal{H}{\boldsymbol{R}}\boldsymbol{\nu } $。幸运的是，对于本文中的流体应力场（2.1），这成立，例如对于所有 $ \boldsymbol{W}\in {T} {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，有 $ \left \langle {{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{\varSigma }, \boldsymbol{W}}\right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})} = -\left \langle {\boldsymbol{\varSigma }, \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{W}}\right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})}$。然而，至少对于压力梯度，我们需要迹散度的 $ {L}^{\!2}$ 伴随算子。这就导致了伴随梯度 $ {\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}:=-{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}^{*}$，从而得出关系 $ {\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}{\boldsymbol{R}}= \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}{\boldsymbol{R}} + \mathcal{H}{\boldsymbol{R}}\otimes \boldsymbol{\nu }$ 对于所有 $ {\boldsymbol{R}}\in {T}^n {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$。与本文相关的协变微分演算中的关键表示包括：对于右切向场（2.1），有 $ {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{\varSigma } = {\operatorname {div}}\boldsymbol{\sigma } - \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\eta } + ( {\operatorname {div}}\boldsymbol{\eta } + \boldsymbol{I\!I}\operatorname{:}\boldsymbol{\sigma } )\boldsymbol{\nu }$；对于向量场 $ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{v}+v_{\bot }\boldsymbol{\nu }\in {T} {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，有 $ {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{V} = {\operatorname {div}}\boldsymbol{v} - \mathcal{H}v_{\bot }$；对于标量场 $ p\in {{T}^0 \mathcal{S}}$，有 $ {\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}} p = {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}(p {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}) = \boldsymbol{\nabla }\!p + p \mathcal{H} \boldsymbol{\nu }$。即使我们不关注所提出模型的数值解，我们也考虑使用 $ {\mathbb{R}}^3$ 的表示和分量导数运算符，因为它们最适合标准的数值实现，例如通过表面有限元方法。首先，运算符直接作用于材料的笛卡尔代理（例如 $ {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{V} = ( \delta ^B_{\!A}-\nu _{\!A} \nu ^B )\partial _{\!B} V^A$ 对于 $ A,B\in \{x,y,z\}$）。其次，由于 $ {L}^{\!2}$ 伴随关系（2.2），微分运算符可以直接采用弱形式表示：\begin{align} \left \langle {{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{\varSigma }, \boldsymbol{W}} \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})} &= -\left \langle { \boldsymbol{\varSigma }, \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{W}}\right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})}, \nonumber \\ \left \langle {{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{W}, \psi } \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^0{\mathcal{S}})} &= - \left \langle {\boldsymbol{W}, {\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}\psi } \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}), \end{align} 对于所有 $ \boldsymbol{\varSigma } \in {T} {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}}\otimes {{T}\! {\mathcal{S}}}$，$ \boldsymbol{W}\in {T} {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$ 和 $ \psi \in {{T}^0 \mathcal{S}}$。关于移动表面上的张量微积分的更全面概述，请参见 Nitschke（参考文献 Nitschke2025）的引言章节，或者关于时间导数的详细数学介绍（Nitschke & Voigt（参考文献 Nitschke and Voigt2023）），关于能量变化的介绍（Nitschke, Sadik & \Voigt（参考文献 Nitschke, Sadik and Voigt2023），以及关于拉格朗日-达朗贝尔原理的介绍（Nitschke & \Voigt（参考文献 Nitschke and Voigt2025b））。在公式(3.1a)右侧的切向和法向流体力导致的结果为公式(3.2)：
$$
\begin{align}
& {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\left ({\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}\tilde {p} + {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{\varSigma }\right ) \\
&= \boldsymbol{\nabla }\!\hat {p} +\upsilon \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )^2 \left (\Delta \boldsymbol{v} + \mathcal{K}\boldsymbol{v} - 2\left ( \boldsymbol{I\!I} - \frac {\mathcal{H}}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )\boldsymbol{\nabla }v_{\bot } - v_{\bot }\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H}\\
&+\upsilon \xi \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )\left ( \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} ^T\boldsymbol{v} - 2v_{\bot }\boldsymbol{I\!I} \right )\boldsymbol{\nabla }\!\beta -\frac {3L}{2} \left ( \Delta \beta - 3\beta \big ( \mathcal{H}^2 - 2\mathcal{K} \big ) \right ) \boldsymbol{\nabla }\!\beta \\
&+\frac {9 M}{2} \delta _{\mathfrak{m}}^{\varPhi } \beta ^2\left ( \mathcal{K}\boldsymbol{v} - \boldsymbol{I\!I}\left ( \boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + \mathcal{H}\boldsymbol{v} \right ) \\
&\boldsymbol{\nu }\left ({\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}\tilde {p} + {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{\varSigma }\right ) \\
&= \mathcal{H}\hat {p} +2\upsilon \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )^2 \left ( \boldsymbol{I\!I}\operatorname{:}\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} - v_{\bot }\left ( \mathcal{H}^2 - \mathcal{K} \right ) \right ) -\frac {3L}{4}\left ( 14\boldsymbol{\nabla }\!\beta \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\!\beta - \mathcal{H}\left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|^2\\
&-\frac {9L}{4}\beta \left ( 4\boldsymbol{I\!I}\operatorname{:}\boldsymbol{\nabla} ^2\beta + 8\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H}\boldsymbol{\nabla }\!\beta +\beta \left ( 2\Delta \mathcal{H} + \mathcal{H}\big(\mathcal{H}^2 - 4\mathcal{K}\big) \right )\\
&+\frac {9 M}{2} \delta _{\mathfrak{m}}^{\varPhi } \beta \left ( \left ( \Delta v_{\bot } + \boldsymbol{I\!I}\operatorname{:}\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} _{\boldsymbol{v}}\mathcal{H} \right )\beta + 2\left ( \boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + \boldsymbol{v}\boldsymbol{I\!I} \right )\boldsymbol{\nabla }\!\beta ,
\end{align}
$$
其中
$$
\boldsymbol{V} = \boldsymbol{v} + v_{\bot }\boldsymbol{\nu }
$$
；参见§ 4.2。纯粹出于美观考虑，我们将弹性压力贡献与压力$\tilde {p}$再次分离，即$\tilde {p} = \hat {p} + ({3L}/{4}) ( \left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|^2+ 3\mathcal{H}^2 \beta ^2 )$。

在公式(3.1a)左侧的切向和法向材料加速度力为公式(3.3)：
$$
\begin{aligned}
\rho {\boldsymbol{a}} &= \rho {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\left ( \partial _t\boldsymbol{V} + (\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V})\left ( \boldsymbol{V} - \boldsymbol{V}_{\!\mathfrak{o}} \right ) \\
&= \rho \left ((\partial _t v^i)\partial _i\boldsymbol{X}_{\!\mathfrak{o}} + \boldsymbol{\nabla} _{\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_{\!\mathfrak{o}}}\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} _{\boldsymbol{v}}\boldsymbol{v}_{\!\mathfrak{o}} - v_{\bot }\left ( \boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + 2\boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{v} \right )\\
\rho a_{\bot } &= \rho \boldsymbol{\nu }\left ( \partial _t\boldsymbol{V} + (\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V})\left ( \boldsymbol{V} - \boldsymbol{V}_{\!\mathfrak{o}} \right ) \\
&= \rho \left (\partial _tv_{\bot } + \boldsymbol{\nabla} _{2\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}_{\!\mathfrak{o}}}v_{\bot } + \boldsymbol{I\!I}(\boldsymbol{v},\boldsymbol{v})
\end{aligned}
$$
其中
$$
\boldsymbol{V}_{\!\mathfrak{o}} = \boldsymbol{v}_{\!\mathfrak{o}} + v_{\bot }\boldsymbol{\nu }
$$
且$\{\partial _i\boldsymbol{X}_{\!\mathfrak{o}}\}$是观察者坐标系；参见表5。不可伸长性约束(3.4c)变为${\operatorname {div}}\boldsymbol{v} = v_{\bot }\mathcal{H}$。当$\beta =({2}/{3})$时，得到一个表面Navier–Stokes–Helfrich模型，详见§ 3.3。

3.2. 非对称脂质双层的流体动力学表面LH模型
非对称脂质双层的流体动力学表面LH模型是根据拉格朗日-达朗贝尔原理在附录B中推导出来的，并在§ 4.3和Nitschke & Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）中进行了能量考量。该模型可以表示如下：
寻找材料速度场$\boldsymbol{V}\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$、标量场$\beta \in {{T}^0 \mathcal{S}}$和广义压力场$\tilde {p}\in {{T}^0 \mathcal{S}}$，使得以下条件成立：
$$
(3.4a)
\begin{align}
\rho \operatorname {D}^{\mathfrak{m}}_t\boldsymbol{V} &= {\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}\tilde {p} +{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\left ( \tilde {\boldsymbol{\sigma }}_{\textit{NV}} + \tilde {\boldsymbol{\sigma }}_1 + \tilde {\boldsymbol{\sigma }}_0 + \boldsymbol{\nu }\otimes \left ( \delta _{\mathfrak{m}}^{\varPhi }\boldsymbol{\eta }_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}} + \boldsymbol{\eta }_0 + \boldsymbol{\eta }_{\bar {\kappa }}\right )
\end{align}
(3.4b)
\begin{align}
\left ( M + \frac {\upsilon \xi ^2}{2} \right ) \dot {\beta } &= \omega _1 + \omega _0 + \omega _{\bar {\kappa }} + \omega _{\text{d}w,
\end{align}
(3.4c)
\begin{align}
{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{V} &= 0
\end{align}
$$
在给定$\dot {\rho } = 0$以及$\boldsymbol{V}$、$\beta$和质量密度$\rho \in {{T}^0 \mathcal{S}}$的初始条件下成立。表1列出了流体方程(3.4a)中出现的量。这里$\boldsymbol{V}_{\!\mathfrak{o}}\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$是所谓的观察者速度，它是任意的，不一定是无散度的，例如可以在离散化问题中用作网格速度。应力张量$\tilde {\boldsymbol{\sigma }}$是模去${\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}$后表示的，相应的压力梯度也是这样表示的，因为模型(3.4)是不可伸长的。在${{\T}^0 \mathcal{S}}$上使用$\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}$而不是$\boldsymbol{\nabla}$仅仅是形式上的；在标量场上两者是等价的。注意$\boldsymbol{\eta }_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}}$仅适用于材料模型内部。流体方程(3.4a)中的量列在表1中，分子方程(3.4b)中的量列在表2中。材料参数可以在表3中找到。同样，应力张量是模去${\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}$后给出的；相应的压力梯度则合并到广义压力$\tilde {p}$中。类似于表面Beris–Edwards模型(3.1)，如果像Nitschke & Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025a）中考虑的那样 additionally 考虑活性，那么活性没有影响，也就是说，流体动力学表面LH模型的解也表现出纯耗散的能量演化，这可以在附录C中看到。在§ 3.1中提到的许多评论在这里同样适用，因此不再赘述，因为对于(3.5)来说(3.1)和(3.4)是一致的：
$$
\begin{aligned}
a &= \frac {2\hat {a}}{27}, \quad b = -\frac {2\hat {a}}{3} - 27\varpi ,\quad c = \frac {2\hat {a}}{9} + \frac {27\varpi }{2}, \\
\mathcal{H}_{0} &= \hat {\mathcal{H}}_0 = 0 ,\quad \kappa =\bar {\kappa } = 2L.
\end{aligned}
$$
表2列出了分子方程(3.4b)中出现的量。这里$\boldsymbol{V}_{\!\mathfrak{o}}\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$是所谓的观察者速度，它是任意的，不一定是无散度的，例如可以在离散化问题中用作网格速度。在${{\T}^0 \mathcal{S}}$上使用分量运算符$\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}, \Delta _{\textsf{C}}$而不是协变运算符$\boldsymbol{\nabla }, \Delta$仅仅是形式上的；在标量场上两者是等价的。表3列出了LH模型(3.4)的材料参数。给出的域只是解决问题的必要条件，但不是充分条件。例如，Nitschke & Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）建议$-3 \lt 2\xi \lt 3$以保持正定的脂质度量。我们同样在切向微分学框架内构建模型，包括使用协变导数。为此，我们将流体方程(3.4a)分解为其切向和法向部分，即：
$$
\begin{align}
\rho {\boldsymbol{a}} &= \boldsymbol{\nabla }\!\bar {p} + \boldsymbol{f}_{\textit{NV}} + \delta _{\mathfrak{m}}^\varPhi \boldsymbol{f}_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}} + \boldsymbol{f}_1 + \boldsymbol{f}_0 + \boldsymbol{f}_{\bar {\kappa ?, \\
\rho a_{\bot } &= \bar {p}\mathcal{H} + f^{\bot }_{\textit{NV}} + \delta _{\mathfrak{m}}^\varPhi f_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m},\bot } +f^{\bot }_{1} + f^{\bot }_{0} + f^{\bot }_{\bar {\kappa },
\end{align}
$$
其中切向和法向流体力$\boldsymbol{f}_{\textit{NV}}$、$f^{\bot }_{\textit{NV}}$（B17）、$ \boldsymbol{f}_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}}$、$ f_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m},\bot }$（B21）、$ \boldsymbol{f}_1$、$ f^{\bot }_{1}$（B4）、$ \boldsymbol{f}_0$、$ f^{\bot }_{0}$（B5）、$ \boldsymbol{f}_{\bar {\kappa }}$、$ f^{\bot }_{\bar {\kappa }}$（B10）在附录B中给出。应当注意，对于常数$\beta$，有(3.7)成立：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{f}_1 + \boldsymbol{f}_0 + \boldsymbol{f}_{\bar {\kappa }} &= -\frac {3}{2}\left ( \omega _1 + \omega _0 + \omega _{\bar {\kappa }} \right )\boldsymbol{\nabla }\!\beta
\end{align}
$$
即切向表面LH流体力消失，因为在这种情况下力完全是几何性的，相关的法向力$f^{\bot }_{1} + f^{\bot }_{0} + f^{\bot }_{\bar {\kappa }}$简化为曲率驱动的Helfrich力。表5的顶部分别给出了依赖于任意观察者框架的切向${\boldsymbol{a}} = {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\operatorname {D}^{\mathfrak{m}}_t\boldsymbol{V}$和法向加速度$a_{\bot } = \boldsymbol{\nu }\operatorname {D}^{\mathfrak{m}}_t\boldsymbol{V}$的显式表示。尽管这不影响解，但广义压力$\bar {p}$在这里与(3.4a)中的不同。我们在$\bar {p}$中只包含了来自双井势(B11)和活性的力(B23)，这两者都简化为纯压力梯度。分子方程(3.4b)基本上可以不经修改直接使用。在表2中，下标$\textsf{C}$可以省略，因为对于标量场，相应的微分运算符与协变运算符是一致的。在标量速率$\dot {\beta }$中，关系$\boldsymbol{V} - \boldsymbol{V}_{\!\mathfrak{o}} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{v}_{\!\mathfrak{o}}$已经成立，因为对于同一个移动表面，所有观察者的法向速度都是相同的。不可伸长性约束(3.4c)变为${\operatorname {div}}\boldsymbol{v} = v_{\bot }\mathcal{H}$。当$\beta = ({2}/{3}$时，得到一个表面Navier–Stokes–Helfrich模型，详见§ 3.3。

3.3. 表面Navier–Stokes–Helfrich模型
在有序平衡附近，我们可以假设$\beta = ({2}/{3}$。将这个假设纳入模型(3.4)，例如通过拉格朗日乘数法，消除了分子方程(3.4b)，从而得到表面Navier–Stokes–Helfrich模型：
寻找材料速度场$\boldsymbol{V}\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$和广义压力场$\tilde {p}\in {{T}^0 \mathcal{S}}$，使得以下条件成立：
$$
(3.8a)
\begin{align}
\rho \operatorname {D}^{\mathfrak{m}}_t\boldsymbol{V} &= {\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}\tilde {p} +{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\Big ( \tilde {\upsilon }\left ( {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V} + ({\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V})^T \right ) - \kappa \left ( \mathcal{H} - \mathcal{H}_0 \right )\boldsymbol{I\!I} \\
&\quad \hspace {0em}+\, \boldsymbol{\nu }\otimes \left ( 2M\delta _{\mathfrak{m}}^{\varPhi } \boldsymbol{\nu }\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V} - \kappa \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\mathcal{H} \right ),
\end{align}
(3.8b)
\begin{align}
{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{V} &= 0
\end{align}
$$
在给定$\dot {\rho } = 0$以及$\boldsymbol{V}$和质量密度$\rho \in {{T}^0 \mathcal{S}}$的初始条件下成立。对于$\mathcal{H}_0 = 0$，通过假设(3.1)中的$\beta =Brandner、Reusken和Schwering（参考文献Brandner, Reusken and Schwering2022）总结了表面纳维-斯托克斯方程的不同推导方法。他们在Arroyo和DeSimone（参考文献Arroyo and DeSimone2009）、Torres-Sánchez等人（参考文献Torres-Sánchez, Millán and Arroyo2019）以及Reuther等人（参考文献Reuther, Nitschke and Voigt2020）的工作中对（3.8）或（3.9）的扩展 toujours考虑了一个特设的额外Helfrich能量。而第4节中的推导方法不需要这种做法，Helfrich项自然地源于底层的表面液晶模型，这与Helfrich最初的推导方法类似（参考文献Helfrich1971）。

4. 推导
4.1. Q张量假设
本质上，我们采用了与Helfrich（参考文献Helfrich1973）类似的方法。然而，我们没有使用垂直于表面${\mathcal{S}}$的极性场来描述脂质双层，而是使用一个由单轴Q张量场$\boldsymbol{Q}\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$表示的非极性场，其法向特征向量为（4.1）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{Q} &= S\left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \frac {1}{3}{\boldsymbol{I\!d}} \right ) = \beta \left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \frac {1}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )\!
\end{align}
$$
其中${\boldsymbol{I\!d}} = {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu }$是有效的，而$S= ({3}/{2})\beta \in {{T}^0 \mathcal{S}}$是标量有序场，$ \beta = ({2}/{3}) S\in {{T}^0 \mathcal{S}}$是对应于特征向量场$\boldsymbol{\nu }$的特征值场，即满足$\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\nu }=\beta \boldsymbol{\nu }$。在这种假设下，脂质分子平均而言与表面切平面垂直，有序程度由标量有序量$S$表示，作为分子取向（偏离$\boldsymbol{\nu }$的）的加权平均值（Mottram和Newton参考文献Mottram and Newton2014）。为了方便起见，本文中我们使用$\beta$代替$S$。注意，（4.1）中的$\boldsymbol{Q}$是符合表面形状的，没有任何平坦简并部分；详见Nitschke和Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）。将脂质层建模为Q张量场的优势在于能够描述分子平均而言垂直于表面的排列情况，同时还为统计有序性提供了额外的自由度。这种方法使我们能够基于现有的表面Beris-Edwards模型来发展脂质双层的流体动力学描述，如第4.2节所讨论的。然而，（4.1）的一个局限性是它是一个非极性假设，即由于分子的头尾对称性，我们只能先验地表示对称的脂质双层。要获得不对称的脂质双层，必须在其他过程中打破这种对称性，这将在第4.3节中讨论。

4.2. 对称脂质层的表面Beris-Edwards模型
在本节中，我们使用Nitschke和Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）中的符合表面形状的Beris-Edwards模型作为起点，并融入适当的约束以提供假设（4.1）。由于假设（4.1）以及符合表面形状的模型都包含上下对称性，即表面的外部和内部在任何方面都无法区分，我们只能描述对称的脂质双层，见图1，而无需引入任何额外的对称性破坏机制。为了方便读者，Nitschke和Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）中的表面Beris-Edwards模型以及Nitschke和Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025a）中引入的活性项的总结在附录D中给出。$ \boldsymbol{Q}\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$的一个合理的正交分解由（4.2）提供：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{q} + \boldsymbol{\eta }\otimes \boldsymbol{\nu } + \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\eta } + \beta \left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \frac {1}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )\!
\end{align}
$$
其中$\boldsymbol{q}\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}$代表平坦简并部分，$\boldsymbol{\eta }\in {{T}\! {\mathcal{S}}$代表不符合表面形状的部分，$\beta \in {{T}^0 \mathcal{S}}$代表单轴法向部分。符合表面形状的约束$\boldsymbol{\eta }=\boldsymbol{0}$已经包含在符合表面形状的Beris-Edwards模型（D1）中。因此，为了我们的目的，我们只需要考虑“无平坦简并”（$\boldsymbol{q} = \boldsymbol{0}$）的约束。我们在附录E中考虑了可能的约束力，并得出结论，省略平坦简并的分子方程（D1c）并在剩余的模型中简单地将$\boldsymbol{q}=\boldsymbol{0}$进行替换。我们首先处理来自弹性能量泛函（4.3）的弹性贡献：
$$
\begin{align>
\mathfrak{U}_{\textit{EL}} &= \frac {L}{2}\left \| \boldsymbol{\nabla} _{\textsf{C}}\boldsymbol{Q}\right \|_{\textrm{L}^2({T}^3 \mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})}^2 \!
\end{align}
$$
表5中的相关项得到（4.4）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{\sigma }_{\textit{EL}} &= -\frac {3}{2}L\!\left ( \boldsymbol{\nabla }\!\beta \otimes \boldsymbol{\nabla }\!\beta - \frac {\left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|}{2}^2 {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + 3\mathcal{H}\beta ^2\left ( \boldsymbol{I\!I} - \frac {\mathcal{H}}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\right ) \right )\!,\nonumber \\
\boldsymbol{\zeta }_{\textit{EL}} &= -\frac {3}{2}L\!\left ( 2\boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\!\beta + \beta \boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} \right )\!\text{,}\nonumber \\
\omega _{\textit{EL}} &= L\!\left ( \Delta \beta - 3\beta \big ( \mathcal{H}^2 - 2\mathcal{K} \big ) \right )\!
\end{align}
$$
注意，切向弹性流体力${\operatorname {div}}\boldsymbol{\sigma }_{\textit{EL}}$与切向符合表面形状的约束力的弹性部分$ -3\beta \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\zeta }_{\textit{EL}}$结合，得到（4.5）：
$$
\begin{align}
{\operatorname {div}}\boldsymbol{\sigma }_{\textit{EL}} - 3\beta \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\zeta }_{\textit{EL}} \hspace {-7em}\nonumber \\
&= -\frac {3}{2}L \Bigg ( \Delta \beta \boldsymbol{\nabla }\!\beta + \boldsymbol{\nabla} ^2\beta \boldsymbol{\nabla }\!\beta - \boldsymbol{\nabla} ^2\beta \boldsymbol{\nabla }\!\beta + 3\beta ^2\left ( \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} - \frac {\mathcal{H}}{2}\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} \right ) \nonumber \\
&;\hspace {1em} + 6\mathcal{H}\beta \left ( \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\!\beta - \frac {\mathcal{H}}{2}\boldsymbol{\nabla }\!\beta \right ) + \frac {3}{2}\mathcal{H}\beta ^2\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} -3\beta \left ( 2\mathcal{H}\boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\!\beta - 2\mathcal{K}\boldsymbol{\nabla }\!\beta + \beta \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} \right )\Bigg )\nonumber \\
&= -\frac {3}{2}L \left ( \Delta \beta - 3\beta \big ( \mathcal{H}^2 - 2\mathcal{K} \big ) \right ) \boldsymbol{\nabla }\!\beta = -\frac {3}{2} \omega _{\textit{EL}} \boldsymbol{\nabla }\!\beta,
\end{align}
$$
因为$\boldsymbol{I\!I}=\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H}$且$\boldsymbol{I\!I}^2=\mathcal{H}\boldsymbol{I\!I} - \mathcal{K}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}$是有效的。法向弹性流体力$\boldsymbol{I\!I}\operatorname {:}\boldsymbol{\sigma }_{\textit{EL}}$与法向符合表面形状的约束力的弹性部分$ 3{\operatorname {div}}(\beta \boldsymbol{\zeta }_{\textit{EL}})$结合，得到（4.6）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{I\!I}\operatorname {:}\boldsymbol{\sigma }_{\textit{EL}} + 3{\operatorname {div}}(\beta \boldsymbol{\zeta }_{\textit{EL}}) &= -\frac {3}{4}L\Big ( 14\boldsymbol{\nabla }\!\beta \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\!\beta - \mathcal{H}\left \| { \boldsymbol{\nabla }\!\beta }\right \|^2\nonumber \\
&;\hspace {0em} +3\beta \left ( 4\boldsymbol{I\!I}\operatorname {:}\boldsymbol{\nabla} ^2\beta + 8\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H}\boldsymbol{\nabla }\!\beta +\beta \left ( 2\Delta \mathcal{H} + \mathcal{H}(\mathcal{H}^2 - 4\mathcal{K}) \right )\Big ) .
\end{align}
$$
这意味着对称脂质层的弹性已经包含了具有上下对称性的表面的弯曲力$f^{\bot }_{{BE}}\boldsymbol{\nu }$，平均曲率弹性模量为$\kappa = ({9}/{2})L\beta ^2$。由于脂质分子已经定义了表面几何形状，我们省略了与脂质无关的弯曲力$f^{\bot }_{{BE}}$，只保留了由标量有序参数表示的弹性引起的弯曲力。分子热致性力得到（4.7）：
$$
\begin{align}
\omega _{{TH}} = -\big (2a + b\beta + 3c\beta ^2\big )\beta .
\end{align}
$$
其他热致性贡献对模型没有影响。不动性项得到（4.8）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{\sigma }_{\textit{IM}}^{\varPhi }= \boldsymbol{0},\qquad &\boldsymbol{\zeta }_{\textit{IM}}^{\varPhi }= \begin{cases} \boldsymbol{0} &\text{for } \varPhi = \mathcal{J} \text{,}\\[3pt] \frac {3}{2}M \beta \left (\boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{v}\right ) &\text{for } \varPhi = \mathfrak{m} \text{;} \end{cases}
\end{align}
$$
相应的流体力见（B21）。向列粘性项得到（4.9）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^0 + \xi \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^1 + \xi ^2\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^2 &= \tilde {\boldsymbol{\sigma }}_{\textit{NV}} + \frac {\upsilon \xi }{2}\dot {\beta }\left ( 1 + \frac {\xi \beta }{2} \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}, &\widetilde {\omega }^{2}_{\textit{NV}} &= 0 .
\end{align}
$$
由于不可伸长性，我们只需考虑（4.10）：
$$
\begin{align}
\tilde {\boldsymbol{\sigma }}_{\textit{NV}} &= \upsilon \left ( 1 - \frac {\xi \beta }{2} \right )^2 \big ( \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} ^T\boldsymbol{v} - 2v_{\bot }\boldsymbol{I\!I} \big ) \text{;}
\end{align}
$$
相应的流体力见（B17）。向列活性在不可伸长介质中不起作用，即（4.11）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{\sigma }_{\!{{NA}}} &= \boldsymbol{0} .
\end{align}
$$
尽管它不影响不可伸长模型，我们注意到存在一个活性压力$p_{{{AC}}} = \alpha _{\textit{IA}} - ({\alpha _{{{NA}}}}/{2})\beta$，它包含一个由参数$\alpha _{{{NA}}}\in {\mathbb{R}}$控制的向列部分和一个由参数$\alpha _{\textit{IA}}\in {\mathbb{R}}$控制的几何部分；详见Nitschke和Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025a）。因此，相应的压力力为（4.12）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{F}_{\!{{AC}}} &= {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\left ( \left ( \alpha _{\textit{IA}} - \frac {\alpha _{{{NA}}}}{2}\beta \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right ) = \alpha _{\textit{IA}}{\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}} 1 - \frac {\alpha _{{{NA}}}}{2} {\operatorname {Grad}}_{\textsf{C}}\beta \nonumber \\
&= - \frac {\alpha _{{{NA}}}}{2}\boldsymbol{\nabla }\!\beta + \left ( \alpha _{\textit{IA}} - \frac {\alpha _{{{NA}}}}{2}\beta \right )\mathcal{H}\boldsymbol{\nu } .
\end{align}
$$
最终，表面Beris-Edwards模型（D1）、“无平坦简并”约束以及将所有相关项重写在${\mathbb{R}}^3$微积分中，得到了对称脂质层的模型（3.1）。

4.3. 不对称脂质层的流体动力学表面LH模型
在本节中，我们将表面LH能量推导为极化表面Landau-De Gennes能量的一个特例，该能量包括一个向列弹性贡献、一个类似于Nitschke等人（参考文献Nitschke, Nestler, Praetorius, L?wen and Voigt2018, 参考文献Nitschke, Reuther and Voigt2020）的热致性贡献以及一个上下对称性破坏机制。使用假设（4.1）将此能量降维到脂质分子层面。为此，我们确定了不对称脂质层的所有不变量，直到某个阶数，类似于Helfrich（参考文献Helfrich1973）和Alexe-Ionescu（参考文献Alexe-Ionescu1993）中的过程。然后，我们将这些不变量重新表述为类似于Helfrich能量的形式，从而对其进行推广。由此公式化和移动表面的拉格朗日-达朗贝尔原理（Nitschke和Voigt参考文献Nitschke and Voigt2025b）推导出的控制方程在附录B中提供。（4.1）的分量表面导数得到（4.13）：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{Q} &= \left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \frac {1}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right ) \otimes \boldsymbol{\nabla }\!\beta -\frac {3}{2}\beta \left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{I\!I} + (\boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{I\!I})^{T_{(1\, 2)}}\right )\!
\end{align}
$$
其中$[(\boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{I\!I})^{T_{(1\,脂质双层中，平均分子的方向垂直于表面，同样可能表现出一种“展宽”现象，因为平行排列在曲面上无法维持（参见图2），但不会产生弯曲不对称性，这种不对称性要求分子平均具有切向分量。这种展宽不对称性可能由多种机制引起（Zimmerberg和Kozlov，参考文献Zimmerberg和Kozlov2005）：例如，如果内层与外层的分子组成不同（London，参考文献London2019；Lorent等人，参考文献Lorent, Levental, Ganesan, Rivera-Longsworth, Sezgin, Doktorova, Lyman和Levental2020；Bogdanov等人，参考文献Bogdanov, Pyrshev, Yesylevskyy, Ryabichko, Boiko, Ivanchenko, Kiyamova, Guan, Ramseyer和Dowhan2020；Enoki和Heberle，参考文献Enoki和Heberle2023）；如果两侧的分子密度不同（Ró?ycki和Lipowsky，参考文献Ró?ycki和Lipowsky2015；Sreekumari和Lipowsky，参考文献Sreekumari和Lipowsky2018；Ghosh等人，参考文献Ghosh, Satarifard, Grafmüller和Lipowsky2019；Sreekumari和Lipowsky，参考文献Sreekumari和Lipowsky2022；Lipowsky等人，参考文献Lipowsky, Ghosh, Satarifard, Sreekumari, Ró?ycki, Miettinen和Grafmüller2023）；或者如果考虑了蛋白质（如覆盖层或支架蛋白）的结合（Hu, Zhang和Weinan，参考文献Hu, Zhang和Weinan2007；Kirchhausen，参考文献Kirchhausen2012；Saleem等人，参考文献Saleem, Morlot, Hohendahl, Manzi, Lenz和Roux2015；Kahraman, Langen和Haselwandter，参考文献Kahraman, Langen和Haselwandter2018；Mironov等人，参考文献Mironov, Mironov, Derganc和Beznoussenko2020）。这并不违反平均脂质方向在法线方向上的非极性特性，而是与双层本身可能具有的物理条件有关。在Govers和Vertogen（参考文献Govers和Vertogen1984）、Barbero等人（参考文献Barbero, Dozov, Palierne和Durand1986）、Alexe-Ionescu（参考文献Alexe-Ionescu1993）、Mottram和Newton（参考文献Mottram和Newton2014）的研究中，已经讨论了Q张量形式的压电极化现象。将法线方向$\boldsymbol{\nu}$视为极化方向，可以得到（4.17）：
\begin{align}
\boldsymbol{\nu }{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{Q} &= -\frac {3}{2}\mathcal{H}\beta , &\boldsymbol{\nu }(\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{Q})\operatorname{:}\boldsymbol{Q} &= \frac {3}{4}\mathcal{H}\beta ^2 , &\boldsymbol{\nu }\boldsymbol{Q}{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{Q} &= -\frac {3}{2}\mathcal{H}\beta ^2 ,
\end{align}
对于Alexe-Ionescu（参考文献Alexe-Ionescu1993）中非零的$E_1,E_5,E_6$项。如下面所见，热致势是$\beta$和$\mathcal{H}$的四阶多项式，尽管对于平均曲率，这些系数为零。因此，我们将极化的展开扩展到三阶，此外还包括非零项（4.18）：
\begin{align}
\boldsymbol{\nu }\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{Q})\operatorname{:}\boldsymbol{Q} &= \frac {3}{4}\mathcal{H}\beta ^3, &\ ({\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^2)\boldsymbol{\nu }{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{Q} &= -\frac {9}{4}\mathcal{H}\beta ^3, \nonumber \\
\boldsymbol{\nu }(\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{Q})\operatorname{:}\boldsymbol{Q}^2 &= -\frac {3}{8}\mathcal{H}\beta ^3, &\boldsymbol{\nu }\boldsymbol{Q}^2{\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{Q} &= -\frac {3}{2}\mathcal{H}\beta ^3.
\end{align}
因此，极化弹性能量在$\beta$的四阶多项式形式下为（4.19）：
\begin{align}
\int _{\mathcal{S}} \left (k_1 + \frac {k_2}{2}\beta + \frac {k_3}{3}\beta ^2\right )\mathcal{H}\beta {\,{\textrm d}\mathcal{S}},
\end{align}
其中$k_1,k_2,k_3\in {\mathbb{R}}$是极化参数。因此，没有包括$\boldsymbol{\nabla }\!\beta$方向的极化。最终，我们通过（4.20）得到极化弹性能量：
\begin{align}
\mathfrak{U}_{{el}} &= \frac {l_1}{2} \left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|_{\textrm{L}^2({T} \mathcal{S})}^2{}{ } + \int _{\mathcal{S}} \frac {l_0}{2} \mathcal{H}^2\beta ^2 - \bar {l}_0 \mathcal{K} \beta ^2 + \frac {k_3}{3}\mathcal{H}\beta ^3 + \frac {k_2}{2} \mathcal{H}\beta ^2 + k_1\mathcal{H}\beta {\text {d}\mathcal{S}} .
\end{align}
使用（4.1），热致能量变为（4.21）：
\begin{align}
\mathfrak{U}_{{TH}} &= \int _{\mathcal{S}} a {\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^2 + \frac {2b}{3}{\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^3 + c{\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^4 {\text {d}\mathcal{S}}\nonumber \\
&= \int _{\mathcal{S}} \frac {3a}{2} \beta ^2 + \frac {b}{2}\beta ^3 +\frac {9c}{8}\beta ^4{\text {d}\mathcal{S}} = \int _{\mathcal{S}} \frac {A}{2} \beta ^2 + \frac {B}{3}\beta ^3 + \frac {C}{4}\beta ^4{\text {d}\mathcal{S}},
\end{align}
即$A=3a$，$B = {3b}/{2}$和$C= {9c}/{2}$是热致系数。由于零阶导数项的存在，弹性能量和热致能量不应分开考虑。极化表面Landau–de Gennes能量现在表示为（4.22）：
\begin{align}
\mathfrak{U}_{{LdG}} &= \mathfrak{U}_{{el}} + \mathfrak{U}_{{TH}}\nonumber \\
&= \frac {l_1}{2} \left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|_{\textrm{L}^2 ({T} \mathcal{S})}^2\nonumber \\
&\quad + \int _{\mathcal{S}} k_1\mathcal{H}\beta + \frac {A + k_2 \mathcal{H} + l_0 \mathcal{H}^2 - 2\bar {l}_0\mathcal{K}}{2} \beta ^2 + \frac {B+k_3\mathcal{H}}{3}\beta ^3 + \frac {C}{4}\beta ^4 {\text {d}\mathcal{S}}.
\end{align}
注意，当$l_1 \ge 0$，$l_0 \ge \bar {l}_0 \ge 0$，$C\gt 0$且$k_3 \in ( -({3}/{2})\sqrt {C (2l_0 - \bar {l}_0 )}, ({3}/{2})\sqrt {C (2l_0 - \bar {l}_0 )} )$（见附录A）时，该势能有一个最小值。图4中的能量密度图（4.24）展示了双势能的情况。（a）图中我们设定$\hat {a}=0$并选择一些$\varpi$的值。它们的加性和逆数等于完全有序状态下的最小值$\beta = ({2}/{3})$。（b）图中我们使用$\varpi =1$并指定一些$\hat {a}$的值。只有当$\hat {a}=0$时，在各向同性状态$\beta =0$处才会出现拐点，而不是在$\hat {a} \gt 0$时出现最小值。因此，极化表面Landau–de Gennes能量变为（4.25）：
\begin{align}
\mathfrak{U}_{{LH}} &= \frac {3}{4} L \left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|_{\textrm{L}^2({T} \mathcal{S})}^2\\
&\quad + \int _{\mathcal{S}} \frac {9}{4}\beta ^2\left ( \frac {\kappa }{2} \left ( \mathcal{H} - \left (\hat {\mathcal{H}}_{0} + \frac {3}{2}\big ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} \big )\beta \right ) \right )^2 - \bar {\kappa }\mathcal{K} \right ) + f_{\varpi ,\hat {a}}(\beta )\ {\text {d}\mathcal{S},
\end{align}
我们将其称为表面LH能量。除了这种基于标量顺序的线性插值方法外，还可以考虑其他方法（参见Bartels等人，参考文献Bartels, Dolzmann, Nochetto和Raisch2012）。注意，表面LH能量（4.25）只涉及七个材料参数（列在表3中），而不是极化表面Landau–de Gennes能量（4.22）中的九个参数。这些材料参数可以通过以下方式唯一确定（4.26）：
\begin{aligned}
A &= \frac {9\kappa }{4}\hat {\mathcal{H}}_{0}^2 + \frac {2}{9}\hat {a}, & k_1 &= 0 , & l_0 &= \frac {9\kappa }{4}, \\
B &= \frac {81\kappa }{8} \big ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} \big )\hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac {2\hat {a} + 81\varpi }{2}, & k_2 &= -\frac {9\kappa }{2} \hat {\mathcal{H}}_{0}, & \bar {l}_0 &= \frac {9\bar {\kappa }}{4}, \\
C &= \frac {81\kappa }{8} \big ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} \big )^2 + \frac { 4\hat {a} + 243\varpi }{4}, & k_3 &= -\frac {81\kappa }{8} \big ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} \big ) , & l_1 &= \frac {3 L }{2}.
\end{aligned}
对$k_3$的限制现在产生了双势参数$\hat {a}$和$\varpi$的限制（见附录A）。应该注意的是，这里包括了$C=0$的情况，尽管附录A中没有讨论。尽管如此，这仍然得到$\mathcal{H}_{0} = \hat {\mathcal{H}}_{0}$和$\hat {a} = \varpi = 0$，因此（4.27）：
\begin{align}
& \mathfrak{U}_{{LH}}\vert _{\mathcal{H}_{0} = \hat {\mathcal{H}}_{0}, \hat {a} = 0} \\
&= \frac {3}{4} L \left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|_{\textrm{L}^2({T} \mathcal{S})}^2 + \int _{\mathcal{S}} \frac {9}{4}\beta ^2\left ( \frac {\kappa }{2} \left ( \mathcal{H} - \mathcal{H}_{0} \right )^2 - \bar {\kappa }\mathcal{K} - \frac {3\varpi }{2}\beta \left ( 4-\frac {9}{2}\beta \right ) \right ) {\text {d}\mathcal{S},
\end{align}
即使对于$\varpi = 0$，该值也是有界的。特殊情况（4.27）本质上表明，自发曲率$\mathcal{H}_{0} = \hat {\mathcal{H}}_{0}$不依赖于尺度顺序$\beta$，并且各向同性状态（$\beta \equiv 0$）是可能的，但由于$\hat {a} = 0$而不稳定。相比之下，另一种特殊情况是各向同性状态下没有自发曲率$\hat {\mathcal{H}}_{0} = 0$（见图4）。图4显示了能量密度图（4.28）（$\hat {\mathcal{H}}_0=\hat {a}=0$）的情况，其中我们规定$\kappa =5$和$\mathcal{H}_{0}=\varpi =1$。在(a)面板中，我们将平均曲率$\mathcal{H}$固定为围绕$\mathcal{H}_{0}=1$的一些值。另外，我们增加了$\kappa =0$的情况，这种情况不依赖于$\mathcal{H}$，并且会导致$\beta$达到完全有序状态$\beta = ({2}/{3}$。面板(b)显示了相对于$\mathcal{H}$的依赖性，对于一些固定的$\beta$值。由于参数数量的减少，材料参数关系（4.26）的逆关系并不唯一确定。在表4中，我们概述了上述两种特殊情况的可能关系。然而，为了讨论相共存并解释液有序和液无序相的不同性质，如Baumgart等人（参考文献Baumgart, Hess和Webb2003）所做的那样，需要完整的参数集，允许$\mathcal{H}_0 \neq \hat {\mathcal{H}}_0$。表4列出了特殊情况（4.27）（左列）和（4.28）（右列）的材料参数关系的逆关系。由于参数数量从9减少到5，因此参数受到了四个约束。这些关系不是唯一的。还应该注意的是，完全有序状态（$\beta = ({2}/{3}$）产生了常见的Helfrich能量（4.29）：
\begin{align}
\mathfrak{U}_{{LH}}\vert _{\beta \equiv \frac {2}{3}} &= \int _{\mathcal{S}} \frac {\kappa }{2} \left ( \mathcal{H} - \mathcal{H}_0 \right )^2 - \bar {\kappa }\mathcal{K} - \varpi {\text {d}\mathcal{S}},
\end{align}
该能量有一个常数偏移（$-\varpi$），这对不可伸展材料的变化没有影响。从LH能量（4.25）和额外的动态贡献（如线性动量和粘性力）推导出控制方程的过程是通过附录B中的拉格朗日-达朗贝尔原理直接进行的。图5展示了表面Beris–Edwards模型（蓝色）、Navier–Stokes–Helfrich模型（$\mathcal{H}_0 = 0$，杏色）、流体动力学表面LH模型（绿色）和Navier–Stokes–Helfrich模型（$\mathcal{H}_0 = -1.77$，红色）的时间演化。使用的参数在附录F中给出。图中显示了Helfrich能量$\mathfrak{U}_H = \int _{\mathcal{S}} ({\kappa }/{2}) \mathcal{H}^2\,d\mathcal{S}$的对数时间演化图，其中$\ {\kappa }/{2} = L = 0.1$，以及不同$\mathfrak{U}_H$水平的快照。这里$\mathfrak{U}_H=19.96$对应于初始条件，$\mathfrak{U}_H=5.03$对应于平衡配置。此外，我们还展示了每个模型中$\mathfrak{U}_H=17, 11.5$和$10$的中间状态。图像的框架遵循与图表相同的颜色编码。在表面上，我们用颜色表示取向场$\beta$的值，范围从$\beta =0.35$的浅黄色到$\beta =0.67$的深橙色。虽然这些形状对应于相同的Helfrich能量，因此 only 有轻微的差异，但在时间上的表现却因模型而异，对于远离平衡状态的变量$\beta$，形状演变速度较慢。5. 讨论 我们推导出了多种用于脂质双层的流体动力学液晶模型。它们包括一个用于非对称脂质双层的流体动力学表面LH模型和一个用于对称脂质双层的表面Beris–Edwards模型。后者直接源于Nitschke和Voigt（参考文献Nitschke和Voigt2025b）中提出的表面符合模型，并考虑了一个额外的“无平坦简并”约束。当极化消失时，它也是(LH)模型的一个特例。(LH)模型基于一个特殊的表面极化Landau–de Gennes能量，并使用拉格朗日-达朗贝尔原理推导而来。这两个模型都考虑了一个标量序参数，用于量化分子沿表面法线的排列程度。这个序参数决定了弯曲特性，它影响表面流体动力学，并且在流体动力学表面LH模型的情况下，它引入了破坏平面对称性的曲率-序耦合。对于完全有序的状态，这些方程简化为用于可变形流体表面的表面(Navier–)Stokes–Helfrich模型（参考文献Arroyo和DeSimone2009；Torres-Sánchez等人2019；Reuther等人2020），在其过阻尼极限情况下简化为带有局部不可伸长性约束的经典Helfrich模型。因此，这些结果也为表面(Navier–)Stokes–Helfrich模型甚至经典Helfrich模型提供了另一种推导方法。然而，主要的贡献是在(3.1)和(3.4)中推导出的用于对称和非对称情况的脂质双层的流体动力学液晶模型。为了展示分子序对这些高度耦合系统动力学的潜在影响，我们进行了数值模拟。数值方法的细节在附录F中提供。在图5中，我们探索了一个受扰动球体的松弛过程，在一个最小化设置中。即使在这个设置中，也可以观察到具有恒定$\beta = ({2}/{3})$和变量的$\beta$的对称模型之间的差异。然而，所提出模型的全部潜力需要详细的参数研究，并应与分子动力学和实验研究进行比较。一个需要探索的方向是液态有序状态和液态无序状态的共存。这可以通过修改热致能量$\mathfrak{U}_{{TH}}$中的理想化参数来实现。这将把用于非对称脂质双层的流体动力学表面LH模型与Jülicher–Lipowski类型的两相系统模型联系起来（参考文献Jülicher和Lipowsky1996；Baumgart等人2003；Lowengrub, R?tz和Voigt2009；Elliott和Stinner2010；Barrett, Garcke和Nürnberg2017；Bachini等人2023a；Sischka和Voigt2025）。液态有序和液态无序相之间的相共存仍然属于脂质双层类别，其中平均脂质链轴大致与膜法线对齐，取向波动主要由标量序参数捕获（Seifert1997；Marsh2013）。这显著简化了Q张量假设，因为唯一剩余的取向自由度是标量序参数$\beta$。涉及明显分子倾斜、疏水不匹配、多面体凝胶状囊泡或强蛋白质诱导的导向剂重定向的情况超出了这种简化公式的范围。处理这些情况需要使用在§4.3中考虑的具有极化的通用表面Beris–Edwards模型，或者至少保留(4.2)中的表面非符合向量$\boldsymbol{\eta }\in {{T}\! {\mathcal{S}}$作为自由度，并将平坦简并分量$\boldsymbol{q}\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}$描述为$\boldsymbol{\eta }$和$\beta$的函数。解决单轴性条件$ ({\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^2)^3 - 6({\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^3)^2 = 0$或$ \boldsymbol{Q}^4- ({5}/{6})({\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^2)\boldsymbol{Q}^2+ ({1}/{9})({\operatorname {Tr}}\boldsymbol{Q}^2)^2{\boldsymbol{I\!d}} = \boldsymbol{0}$（参考文献Nitschke和Voigt2025b）导致了(5.1)：\begin{align} \boldsymbol{q}(\boldsymbol{\eta },\beta ) &= \frac {1}{2}\left ( \sqrt {9\beta ^2 + 8\|\boldsymbol{\eta }\|^2} - 3\beta \right )\left ( \frac {\boldsymbol{\eta }\otimes \boldsymbol{\eta }}{\|\boldsymbol{\eta }\|^2} - \frac {1}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )，\end{align}，其中$\boldsymbol{q}(\boldsymbol{\eta },\beta ) \rightarrow \boldsymbol{0}$成立当$\boldsymbol{\eta }\rightarrow \boldsymbol{0}$时，这是特殊情况(4.1)。这样的扩展将显著增加建模复杂性和数值近似的所需的努力。因此，在本文中我们不采用这种方法。同样，对于进一步的模型改进，例如考虑不同的叶片或翻转机制，也不予以探讨。资助 A.V.得到了德国研究基金会(DFG)通过FOR3013项目“向量值和张量值表面偏微分方程”的支持。利益声明 作者没有利益冲突。作者贡献 该项目由I.N.、J.M.S.和A.V.共同构思；I.N.推导了理论，I.N.和A.V.分析了结果，J.M.S.进行了模拟，主要文本由I.N.和A.V.撰写。附录A. 材料参数范围 偏振表面Landau–de Gennes能量的导数部分(4.22)仅受$l_1 = {3L}/{2} \ge 0$的下限限制。相比之下，非导数部分中材料参数的处理就不那么直接了。为此，我们定义(A1) \begin{align} \int _{\mathcal{S}} f {\text {d}\mathcal{S}} &:= \mathfrak{U}_{{LdG}} - \frac {l_1}{2}\left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|_{\textrm{L}^2({T} \mathcal{S})}^2。 \end{align} 由于表面积是有限的，我们接下来只考虑能量密度$f$。由于平均曲率$\mathcal{H}$和高斯曲率$\mathcal{K}$之间的依赖性，我们使用相互独立的主曲率$\kappa _1$和$\kappa _2$，即我们替换$\mathcal{H} = \kappa _1 + \kappa _2$和$\mathcal{K} = \kappa _1\kappa _2$。因此，$f$是$\kappa _1$、$\kappa _2$和$\beta$的四阶多项式：(A2) \begin{align} f &= f_4 + f_3 + f_2，\nonumber \\ f_4(\kappa _1,\kappa _2,\beta ) &= \frac {l_0}{2} \big ( \kappa _1^2 + \kappa _2^2 \big )\beta ^2 +\left ( l_0 - \bar {l}_0 \right )\kappa _1\kappa _2\beta ^2 +\frac {k_3}{3}\left ( \kappa _1 + \kappa _2 \right )\beta ^3 + \frac {C}{4}\beta ^4，\nonumber \\ f_3(\kappa _1,\kappa _2,\beta ) &= \frac {k_2}{2} \left ( \kappa _1 + \kappa _2 \right )\beta ^2 + \frac {B}{3}\beta ^3，\nonumber \\ f_2(\kappa _1,\kappa _2,\beta ) &= k_1 \left ( \kappa _1 + \kappa _2 \right )\beta + \frac {A}{2}\beta ^2。 \end{align} 渐近行为由主导多项式$f_4$给出。由于没有理由进一步限制材料参数$0 \le \bar {l}_0 \le l_0$和$ 0 \lt C$，我们喜欢在下面约束三阶极化参数$k_3$。为了检查渐近行为，主导多项式在球形空间中评估：(A3) \begin{align} & f_4(\kappa _1,\kappa _2,\beta ) = f_4(r\cos \theta \sin \varphi , r\sin \theta \sin \varphi , r\cos \varphi ) = r^4 \frac {\cos ^2\varphi }{12} s(\varphi ,\theta )，\nonumber \\ & s(\varphi ,\theta ) = 6(l_0 + 2(l_0 - \bar {l}_0)\sin \theta \cos \theta)\sin ^2\varphi + 4 k_3 (\cos \theta + \sin \theta )\sin \varphi \cos \varphi + 3 C \cos ^2\varphi \nonumber \\ &= 6(l_0 + (l_0 - \bar {l}_0)\sin 2\theta)\sin ^2\varphi + 2\sqrt {2} k_3 \sin \left (\theta + \frac {\pi }{4}\right )\sin 2\varphi + 3 C \cos ^2\varphi 。 \end{align} 这里$\varphi \in [0,\pi ]$和$\theta \in [0,2\pi )$，即我们的论证是(A4) \begin{align} \forall \varphi ,\theta :\!\quad\! s(\varphi ,\theta ) &\gt 0\!\quad\! \text{(待证明)} &;&\Rightarrow &\! \lim _{r\rightarrow \infty } f_4 &\in \{0, +\infty \} &;&\! \Rightarrow &\! f &\text{是有下界的。} \end{align} 注意，只有当$\cos \varphi = 0$成立，即$\beta =0$，因此$f=0$时，才有$\lim _{r\rightarrow \infty } f_4 = 0$。函数$s$在$\varphi$有一个唯一的最小值，可以通过标准方法计算得出。（例如，找到$\varphi ^*\in [0,\pi ]$使得$\partial _\varphi s(\varphi ^*,\theta ) = 0$且$\partial ^2_\varphi s(\varphi ^*,\theta ) \gt 0$成立。）因此，我们可以通过(A5)从下面限制$s$：\begin{align} s(\varphi ,\theta ) &\ge \min _{\varphi } s(\varphi ,\theta ) = \frac {1}{2}\left ( a_s(\theta ) + b_s - \sqrt {(a_s(\theta ) - b_s)^2 + c_s(\theta )^2} \right )，\end{align} 其中(A6) \begin{align} a_s(\theta ) &= 6\left (l_0 + \left (l_0 - \bar {l}_0\right )\sin 2\theta \right )，&b_s &= 3 C ，&c_s(\theta ) &= 4\sqrt {2} k_3 \sin \left (\theta + \frac {\pi }{4}\right )。 \end{align} 由于$a_s(\theta ) \ge 0$且$C \gt 0$，我们可以对$a_s(\theta ) + b_s$进行平方，得到不等式$s(\varphi ,\theta ) \gt 0$，从而得到更简单的问题$ 4 a_s(\theta ) b_s - c_s(\theta )^2 \gt 0$。由于$\sin ^2 (\theta + ({\pi }/{4}) ) = ({1}/{2}) ( 1 + \sin 2\theta )$，这可以写成(A7) \begin{align} \left ( 9 C \left (l_0 - \bar {l}_0\right ) - 2 k_3^2 \right ) \sin 2\theta + 9 C l_0 - 2 k_3^2 &\gt 0， \end{align} 这必须成立。对于$k_3^2 \le ({9}/{2}) C (l_0 - \bar {l}_0 )$，这个不等式总是成立的，因为左边$\theta$的最小值产生$ 9 C \bar {l}_0$，由于$C\gt 0$且$\bar {l}_0 \ge 0$，这是正的。对于$k_3^2 \gt ({9}/{2}) C (l_0 - \bar {l}_0 )$，左边最小值产生$ 9 C (2l_0 - \bar {l}_0 ) - 4 k_3^2$。这导致了上界$k_3^2 \lt ({9}/{4}) C (2l_0 - \bar {l}_0 )$，这已经比之前的$k_3^2 \le ({9}/{2}) C (l_0 - \bar {l}_0 )$更宽松。最终，我们得出(A8) \begin{align} k_3 &\in \left ( -\frac {3}{2}\sqrt {C \left (2l_0 - \bar {l}_0\right )}, \frac {3}{2}\sqrt {C \left (2l_0 - \bar {l}_0\right )} \right ) \end{align)足以使$f$有下界。注意，参数区间(A8)对于$f$有下界甚至是必要的，即使在极端情况$k_3 = \pm ({3}/{2})\sqrt {C (2l_0 - \bar {l}_0 )$下，这也意味着我们需要检查更低阶的多项式$f_3$，甚至可能是$f_2$。在下面，我们将(A8)与表面LH能量(4.25)中出现的材料参数对齐。参数关系(4.26)产生了(A9) \begin{align} 0 &\lt \frac {9}{2} C \left (l_0 - \bar {l}_0\right ) - k_3^2 = \frac {81}{128}\left ( \left ( 8\hat {a} + 486\varpi \right )\left ( 2\kappa - \bar {\kappa } \right ) - 81\kappa \bar {\kappa }\big ( \mathcal{H}_{0}- \hat {\mathcal{H}}_0 \big )^2 \right )。 \end{align} 由于主导项严格为正，这个不等式对于所有第二项消失的特殊情况都是满足的，例如忽略高斯曲率（$\bar {\kappa }=0$）或$\beta$-独立的自发曲率（$\mathcal{H}_{0} = \hat {\mathcal{H}}_0$）。在一般情况下，更自然的做法是进一步限制双峰参数$\hat {a},\varpi \gt 0$，而不是曲率参数$\kappa \geqslant \bar {\kappa } \geqslant 0$和$\mathcal{H}_{0}, \hat {\mathcal{H}}_0\in {\mathbb{R}}$。这导致了（A10）
\begin{align} 6\varpi + \frac {8}{81}\hat {a} > \frac {\kappa \bar {\kappa }}{2\kappa - \bar {\kappa }}\big ( \mathcal{H}_{0}- \hat {\mathcal{H}}_0 \big )^2 \gt 0. \end{align}
应当注意的是，这并不是一个实质性的限制，因为双势阱参数可以同时重新缩放，这仅仅会通过一个全局因子改变双势阱势能（4.24），即 $ f_{\gamma \varpi ,\gamma \hat {a}} = \gamma f_{\varpi ,\hat {a}}$ 对所有大于1的缩放因子都成立。附录B. 变化
B.1. 引言
分子力场 $ \omega _{\bullet } \in {{T}^0 \mathcal{S}}$、流体力场 $ \boldsymbol{F}_{\bullet } \in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}}$ 和流体应力场 $ \boldsymbol{\varSigma }_{\bullet }\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}}\otimes {{T}\! {\mathcal{S}}} \lt T^2 {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$ 主要通过以下方式定义：
\begin{align} \left \langle {\omega _{\bullet }, \psi }\right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^0{\mathcal{S}})} &:= -\frac {2}{3}\left \langle {\frac {\delta \mathfrak{U}_{\bullet }}{\delta \beta }, \psi } \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^0{\mathcal{S}}), & \!\!\!\left \langle {\boldsymbol{F}_{\bullet }, \boldsymbol{W}}\right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})} &:= -\left \langle {\frac {\delta \mathfrak{U}_{\bullet }}{\delta \boldsymbol{X}}, \boldsymbol{W}} \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})\text{,} \\
\left \langle {\omega _{\bullet }, \psi } \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^0{\mathcal{S}})} &:= -\frac {2}{3}\left \langle {\frac {\delta \mathfrak{R}_{\bullet }}{\delta \dot {\beta }}, \psi } \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^0{\mathcal{S}}), & \!\!\!\left \langle {\boldsymbol{F}_{\bullet }, \boldsymbol{W}} \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})} &:= -\left \langle {\frac {\delta \mathfrak{R}_{\bullet }}{\delta \boldsymbol{V}}, \boldsymbol{W}}\right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}), \\
&& \left \langle {\boldsymbol{\varSigma }_{\bullet }, \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{W}} \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})} &:= \left \langle {\boldsymbol{F}_{\bullet }, \boldsymbol{W}} \right \rangle _{\textrm{L}^2({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}),
\end{align}
对于所有虚拟位移 $ \psi \in {{T}^0 \mathcal{S}}$ 和 $ \boldsymbol{W}\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，参见Nitschke & Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）。即满足（B2）
\begin{align} \boldsymbol{F}_{\bullet } = \boldsymbol{f}_{\bullet } + f^{\bot }_{\bullet }\boldsymbol{\nu } = {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}} \boldsymbol{\varSigma }_{\bullet } = {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}} \big (\boldsymbol{\sigma }_{\bullet } + \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\eta }_{\bullet } \big ) = {\operatorname {div}}\boldsymbol{\sigma }_{\bullet } - \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\eta }_{\bullet } + \big ( {\operatorname {div}}\boldsymbol{\eta }_{\bullet } + \boldsymbol{I\!I}\operatorname {:}\boldsymbol{\sigma }_{\bullet } \big )\boldsymbol{\nu },
\end{align}
其中 $ \boldsymbol{\sigma }_{\bullet }\in {{T}^2 \mathcal{S}}$ 是切向应力场，$ \boldsymbol{\eta }_{\bullet }\in {{T}\! {\mathcal{S}}$ 是（切向-）法向应力场，$ \boldsymbol{f}_{\bullet }\in {{T}\! {\mathcal{S}}$ 是切向力场，$ f_{\bullet }^{\bot }\in {{T}^0 \mathcal{S}}$ 是法向力场，$ \bullet$ 是相应的名称索引的占位符，由势能 $ \mathfrak{U}_{\bullet }$ 或通量势 $ \mathfrak{R}_{\bullet }$ 隐式给出。在标量阶力 $ \omega _{\bullet }$ 的定义中使用的因子 $ ({2}/{3})$ 是为了与Nitschke & Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025a，参考文献Nitschke and Voigtb）保持一致，并且不影响标量阶方程 $ 0 = \sum _{\bullet } \omega _{\bullet }$。本质上，我们只是相对于用于（4.1）的脂质基（$ (\boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - ({1}/{2}){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} $）协变地计算这个方程。根据拉格朗日-达朗贝尔原理（Nitschke & Voigt 参考文献Nitschke and Voigt2025b），流体方程由以下公式给出：
\begin{align} \rho {\boldsymbol{A}} = \sum _{\bullet }\boldsymbol{F}_{\bullet } \\
\rho {\boldsymbol{a}} = \sum _{\bullet }\boldsymbol{f}_{\bullet } \\
\end{align}
在切向方向，以及
\begin{align} \rho a_{\bot } = \sum _{\bullet }f^{\bot }_{\bullet } \\
\end{align}
在法向方向，其中 $ {\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{a}} + a_{\bot }\boldsymbol{\nu } = \operatorname {D}^{\mathfrak{m}}_t\boldsymbol{V}$ 是物质加速度；参见（3.3）或表5。通过引入拉格朗日乘数，质量守恒以通常的方式（Arroyo & DeSimone 参考文献Arroyo and DeSimone2009；Nitschke & Voigt 参考文献Nitschke and Voigt2025b）简化为不可伸长性（$ {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{V} = 0$），拉格朗日乘数起着压力的作用。为简单起见，我们忽略了所有表面独立性的度量（Nitschke et al. 参考文献Nitschke, Sadik and Voigt2023）（不失一般性），即对于所有表面变形方向 $ \boldsymbol{W}\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，有 $ \eth _{\boldsymbol{W}}\beta = 0$。从拉格朗日-达朗贝尔原理导出的控制方程在任何关于序参数 $ \beta$ 和表面 $ {\mathcal{S}}$ 的一致独立性选择下都是不变的；参见Nitschke & Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）。表5. 对于一致选择 $ \varPhi \in \{\mathcal{J},\mathfrak{m}\}$ 的符合表面的Beris–Edwards模型（D1）所需的项。这些表示包括材料速度 $ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{v}+v_{\bot }\boldsymbol{\nu }$ 的切向变形梯度 $ \boldsymbol{G}[\boldsymbol{V}] = \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} - v_{\bot }\boldsymbol{I\!I}$。这里 $ \boldsymbol{S}[\boldsymbol{V}]$ 和 $ {\boldsymbol{A}}[\boldsymbol{V}]$ 是它的对称部分和斜对称部分。时间导数是相对于观察者速度 $ \boldsymbol{V}_{\!\mathfrak{o}}= \boldsymbol{v}_{\mathfrak{o}} + v_{\bot }\boldsymbol{\nu }$ 来确定的。更多细节，请参见Nitschke & Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025a，参考文献Nitschke and Voigtb）。B.2. 表面LH能量
在本节中，我们对方程（4.25）中的表面LH能量进行变分
\begin{align} \mathfrak{U}_{{LH}} &= \int _{\mathcal{S}} u_1 + \frac {u_{\kappa }}{2}\left ( \mathcal{H} - u_{0} \right )^2 -u_{\bar {\kappa }}\mathcal{K} + u_{\text{d}w} { {\textrm d}\mathcal{S}}, \\
\text{其中 }\quad u_0 &= f_{\mathcal{H}_{0},\hat {\mathcal{H}}_{0}}(\beta ) = \hat {\mathcal{H}}_{0} + \frac {3}{2} \big( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} \big)\beta , &\!\!\! u_1 &= \frac {3}{4} L \left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|_{{{T}\! {\mathcal{S}}}}^2, \\
u_{\kappa } &= f_{\kappa }(\beta ) = \frac {9}{4}\kappa \beta ^2 , &\!\!\! u_{\bar {\kappa }} &= f_{\bar {\kappa }}(\beta ) = \frac {9}{4}\bar {\kappa }\beta ^2 , \\
u_{\text{d}w} &=f_{\varpi ,\hat {a}}(\beta ) = \frac {9}{4}\beta ^2\left ( \frac {\hat {a}}{9}\left ( \frac {2}{3}-\beta \right )^2 - \frac {3\varpi }{2}\beta \left ( 4-\frac {9}{2}\beta \right ) \right ).
\end{align}
除了 $ u_{\bar {\kappa }}$ 项外，我们可以完全使用Bachini等人的工作（参考文献Bachini, Krause, Nitschke and Voigt2023a）。区别仅仅是语义上的：我们有一个标量序参数，而不是密度函数。对于 $\mathfrak{U}_1 := \int _{\mathcal{S}} u_1 {\text {d}\mathcal{S}}$，Bachini等人（参考文献Bachini, Krause, Nitschke and Voigt2023a）展示了我们得到（B4）
\begin{aligned} \omega _1 &= L \Delta \beta \,, &\boldsymbol{\sigma }_1 &= -\frac {3}{2} L \left ( \boldsymbol{\nabla }\!\beta \otimes \boldsymbol{\nabla }\!\beta - \frac {\left \| \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|_{{T}\! {\mathcal{S}}}^2}{2} {\boldsymbol{I\!d}_{\mathcal{S}}}\right )\!, &\boldsymbol{\eta }_1 &= \boldsymbol{0}, \\
\boldsymbol{f}_1 &= -\frac {3}{2}\omega _1 \boldsymbol{\nabla }\!\beta , &f^{\bot }_{1} &= -\frac {3}{2} L \left ( \boldsymbol{\nabla }\!\beta \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{\nabla }\!\beta - \frac {\mathcal{H}}{2}{\left \|\boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \|}^2\right )\!.
\end{aligned}
对于 $\mathfrak{U}_0 := \int _{\mathcal{S}} ({u_{\kappa }}/{2}) ( \mathcal{H} - u_{0} )^2 {\text {d}\mathcal{S}}$，Bachini等人（参考文献Bachini, Krause, Nitschke and Voigt2023a）展示了我们得到（B5）
\begin{aligned} \frac {3}{2}\omega _0 &= - \frac {\partial _\beta u_{\kappa }}{2} ( \mathcal{H} - u_{0} )^2 + u_{\kappa } (\partial _\beta u_{0}) ( \mathcal{H} - u_{0} ), &\boldsymbol{\sigma }_0 &= - u_{\kappa } ( \mathcal{H} - u_{0} )\Big ( \boldsymbol{I\!I} - \frac {\mathcal{H} - u_{0}}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \Big ), \\
\boldsymbol{f}_0 &= -\frac {3}{2}\omega _0 \boldsymbol{\nabla }\!\beta , &\boldsymbol{\eta }_0 &= -\boldsymbol{\nabla } ( u_{\kappa } ( \mathcal{H} - u_{0}) ), \\
f^{\bot }_{0} &= -\Delta ( u_{\kappa } ( \mathcal{H} - u_{0} )) -\frac {u_{\kappa }}{2} ( \mathcal{H} - u_{0}) ( \mathcal{H} ( \mathcal{H} + u_{0}) - 4\mathcal{K}.
\end{aligned}
展开函数 $ u_{\kappa }$ 和 $ u_{0}$，并计算所有导数，得到（B6）
\begin{aligned} \omega _0 &= -\frac {3}{2}\kappa \beta \left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac {3}{2} ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} )\beta \right ) \left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - 3 ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} )\beta \right )\!, \\
\sigma _0 &= -\frac {9}{8}\kappa \beta ^2 \left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac {3}{2} ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} )\beta \right ) \left ( 2\boldsymbol{I\!I} - \left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac {3}{2} ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} }\beta \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )\!, \\
\boldsymbol{\eta }_0 &= -\frac {9}{4}\kappa \beta \left ( \beta \boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} +2\left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac {9}{4} ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} )\beta \right )\boldsymbol{\nabla }\!\beta \right )\!, \\
f^{\bot }_{0} &= -\frac {9}{4}\kappa \Bigg ( \beta ^2\Delta \mathcal{H} + 2\beta \left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac {9}{4} ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} )\beta \right )\Delta \beta \\
&;\hspace {0em} + 2\left \langle 2\beta \boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} + \left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac {9}{2} ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} )\beta \right )\boldsymbol{\nabla }\!\beta , \boldsymbol{\nabla }\!\beta \right \rangle _{ {{T}\! {\mathcal{S}}}} \\
&;\hspace {0em} + \frac {\beta ^2}{2} \left ( \left ( \mathcal{H}^2 - \left ( \hat {\mathcal{H}}_{0} + \frac {3}{2} ( \mathcal{H}_{0} - \hat {\mathcal{H}}_{0} )\beta \right )^2\right )\mathcal{H} -4\left ( \mathcal{H} - \hat {\mathcal{H}}_{0} - \frac然而，明确写出由假设（4.1）得出的通量势对于更好的理解是有用的，并且可以使用相应的变分作为额外的验证手段，因为在没有约束力的情况下，“变分 ° 限制”是可交换的。尽管如此，我们还是将保持以下计算的简洁性。根据脂质假设（4.1），各向异性流体度量产生（B12）：
$$
{\boldsymbol{I}}_{\xi }[\beta ] := {\boldsymbol{I}}_{\xi }[\boldsymbol{Q}] = {\boldsymbol{I\!d}} - \xi \boldsymbol{Q} = \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + \left ( 1-\xi \beta \right )\boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu },
$$
其中 $ \xi \in {\mathbb{R}}$ 是各向异性系数。其时间畸变由下卷积率给出（Nitschke 和 Voigt 参考文献 Nitschke and Voigt2023）（B13）：
$$
\operatorname {D}^{\flat }_t{\boldsymbol{I}}_{\xi }[\beta ] = \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\left ( \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V} + \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}^T\boldsymbol{V} \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} -\xi \dot {\beta } \left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \frac {1}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )
$$
并确定材料变形释放的热量（忽略刚体运动）。相关的粘性通量势为
$$
\mathfrak{R}_{\textit{NV}} = ({\upsilon }/{4}) \| \operatorname {D}^{\flat }_t{\boldsymbol{I}}_{\xi }[\beta ] \|_{\textrm{L}^2({T}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})^2
$$
其表达式为（B14）：
$$
\mathfrak{R}_{\textit{NV}} = \frac {\upsilon }{8} \Bigg ( 2 \left \| \left (1+\frac {\xi }{2} \beta \right ) \boldsymbol{I\!d}_{\mathcal{S}}\left ( \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V} + \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}^T\boldsymbol{V} \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\right \|^2_{\textrm{L}^2({T}^2\mathcal{S})\\ &\quad + 3 \xi ^2 \left \| \dot {\beta }\right \|^2_{\textrm{L}^2({T}^2\mathcal{S})} + 4 \xi \left \langle {\left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )\dot {\beta }, {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{V}}\right \rangle \Bigg )^2_{\textrm{L}^2({T}^2\mathcal{S}),
$$
其中 $ \upsilon \ge 0$ 是各向同性粘度。关于过程变量 $ \dot {\beta }$ 和 $ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{v} + v_{\bot }\boldsymbol{\nu }$ 的变分产生（B15）：
$$
\begin{aligned}
\omega _{\text {NV}} &= - \xi \upsilon \left ( \frac {\xi }{2} \dot {\beta } + \frac {1}{3}\left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )\left ( {\operatorname {div}}\boldsymbol{v} - \mathcal{H}v_{\bot } \right ) \right )\!,\\ \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}} &= \upsilon \left ( \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )^2\left ( \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} ^T\boldsymbol{v} - 2v_{\bot }\boldsymbol{I\!I} \right ) + \frac {\xi }{2}\dot {\beta }\left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right ){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\right )\!, &\boldsymbol{\eta }_{\textit{NV}} &= \boldsymbol{0},
\end{aligned}
$$
这些在附录 D 中的表面符合模型中等于粘度贡献，参见 Nitschke 和 Voigt（参考文献 Nitschke and Voigt2025b），对于 $ \boldsymbol{q}=\boldsymbol{0}$。应该注意的是，在不可伸展材料中，后面的项可以忽略，因为它们要么消失，要么导致压力梯度。值得注意的是，为了与表 5 进行比较，有
$$
\omega _{\textit{NV}} = \xi ^2(\tilde {\omega }^2_{\textit{NV}} - {\upsilon }\dot {\beta }/{2}) \quad \text{和} \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}} = \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^0 + \xi \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^1 + \xi ^2\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^2
$$
尽管我们不建议这样做，但为了完整性，各向同性粘性流体的切向和法向力为（B16）：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{f}_{\textit{iso}} :=\upsilon {\operatorname {div}}\left ( \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} ^T\boldsymbol{v} - 2v_{\bot }\boldsymbol{I\!I} \right ) \nonumber\\ & = \upsilon \left (\Delta \boldsymbol{v} + \mathcal{K}\boldsymbol{v} - 2\left ( \boldsymbol{I\!I} - \frac {\mathcal{H}}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )\boldsymbol{\nabla }v_{\bot } - v_{\bot }\boldsymbol{\nabla }\mathcal{H} + \boldsymbol{\nabla }\left ( {\operatorname {div}}\boldsymbol{v} - v_{\bot }\mathcal{H} \right )\!,\nonumber \\
f^{\bot }_{\textit{iso}} := \upsilon \boldsymbol{I\!I}\operatorname {:}\left ( \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} ^T\boldsymbol{v} - 2v_{\bot }\boldsymbol{I\!I} \right ) = 2\upsilon \left ( \boldsymbol{I\!I}\operatorname{:}\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} - v_{\bot }\left ( \mathcal{H}^2 - \mathcal{K} \right ) \right ),
\end{aligned}
$$
参见 Arroyo 和 DeSimone（参考文献 Arroyo and DeSimone2009），Reuther 等人（参考文献 Reuther, Nitschke and Voigt2020），并产生更一般的力（B17）：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{f}_{\textit{NV}} &= \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )^2 \boldsymbol{f}_{\textit{iso}} \\ &+\upsilon \left (\xi \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )\left ( \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} ^T\boldsymbol{v} - 2v_{\bot }\boldsymbol{I\!I} \right )\boldsymbol{\nabla }\!\beta +\frac {\xi ^2}{4}\dot {\beta }\boldsymbol{\nabla }\!\beta + \frac {\xi }{2}\left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )\boldsymbol{\nabla }\dot {\beta } \right )\!, \\ f^{\bot }_{\textit{NV}} &= \left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )^2f^{\bot }_{\textit{iso}} +\frac {\xi \upsilon }{2}\dot {\beta }\left (1+\frac {\xi }{2}\beta \right )\mathcal{H}.
\end{aligned}
$$
接下来，我们讨论不可移动性通量势
$$
\mathfrak{R}_{{IM}}^{\varPhi }=\frac {M}{2} \left \| \mathrm{D}^{\varPhi }_t \boldsymbol{Q} \right \|^2_{{\textrm{L}}^2({T}^2\mathbb{R}\vert _{\textrm{S}})}
$$
其中 $ \varPhi \in \{\mathfrak{m},\mathcal{J}\}$，根据 Nitschke 和 Voigt（参考文献 Nitschke and Voigt2023）以及脂质假设（4.1），有（B18）：
$$
\operatorname {D}^{\mathfrak{m}}_t\boldsymbol{Q} = \dot {\beta }\left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \frac {1}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right ) -\frac {3}{2}\beta \left ( \boldsymbol{\nu }\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V} \otimes \boldsymbol{\nu } + \boldsymbol{\nu } \otimes \boldsymbol{\nu }\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V} \right )\!, \nonumber \\ \operatorname {D}^{\mathcal{J}}_t\boldsymbol{Q} = \dot {\beta }\left ( \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \frac {1}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \right )
$$
这导致（B19）：
$$
\mathfrak{R}_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}} = \frac {3 M}{4}\left ( \left \| \dot {\beta } \right \|_{{L}^2 ({T}^0\mathcal{S})}^2+ 3 \left \| \beta {\nu } \boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{V}\right \|_{\textrm{L}^2 ({T} \mathcal{S})}^2\right )\!, &\mathfrak{R}_{\textit{IM}}^{\mathcal{J}} = \frac {3 M}{4} \left \| \dot {\beta } \right \|_{\textrm{L}^2 ({T}^0 \mathcal{S})}^2.
$$
关于过程变量 $ \dot {\beta }$ 和 $ \boldsymbol{V}=\boldsymbol{v} + v_{\bot }\boldsymbol{\nu }$ 的变分产生（B20）：
$$
\begin{aligned}
\omega _{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}} &= \omega _{\textit{IM}}^{\mathcal{J}} = -M \dot {\beta }, \\ \boldsymbol{\sigma }_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}} &= \boldsymbol{\sigma }_{\textit{IM}}^{\mathcal{J}} = \boldsymbol{0}, &\boldsymbol{\eta }_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}} &= \frac {9 M}{2} \beta ^2\left ( \boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + \boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{v} \right )\!, &\boldsymbol{\eta }_{\textit{IM}}^{\mathcal{J}} &= \boldsymbol{0}.
\end{aligned}
$$
这也与附录 D 中的表面符合模型一致，参见 Nitschke 和 Voigt（参考文献 Nitschke and Voigt2025b），对于 $ \boldsymbol{q}=\boldsymbol{0}$。应该注意的是，表面符合模型并不直接施加任何法向不可移动性应力 $ \boldsymbol{\eta }_{\textit{IM}}^{\varPhi }$。相反，它包括约束力以确保表面符合性，例如以 $ \boldsymbol{\zeta }_{\textit{IM}}^{\varPhi }{{T}\! {\mathcal{S}}}$ 的形式。然而，脂质假设（4.1）已经预先规定了表面符合性。这两种方法最终是等价的，对于 $ \boldsymbol{q} = \boldsymbol{0}$，有 $ \boldsymbol{\eta }_{\textit{IM}}^{\varPhi } = 3\beta \boldsymbol{\zeta }_{\textit{IM}}^{\varPhi }$，因此在流体方程中产生相同的不可移动性力。为了完整性，切向和法向的流体力分别为（B21）：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{f}_{\textit{IM}}^{\mathfrak{m}} &= \frac {9 M}{2} \beta ^2\left ( \mathcal{K}\boldsymbol{v} - \boldsymbol{I\!I}\left ( \boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + \mathcal{H}\boldsymbol{v} \right ) \right )\!, &\boldsymbol{f}_{\textit{IM}}^{\mathcal{J}} &= \boldsymbol{0}, \\ f^{\bot }_{\textit{IM}} &= \frac {9 M}{2} \beta \left ( \left ( \Delta v_{\bot } + \boldsymbol{I\!I}\operatorname{:}\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{v} + \boldsymbol{\nabla} _{\boldsymbol{v}}\mathcal{H} \right )\beta + 2\left ( \boldsymbol{\nabla }v_{\bot } + \boldsymbol{v}\boldsymbol{I\!I} \right )\boldsymbol{\nabla }\!\beta \right ) , &f^{\mathcal{J},\bot }_{\textit{IM}} &= 0.
\end{aligned}
$$
活性通量势
$$
\mathfrak{R}_{{{AC}}} = ({\alpha }/{2})\int _{\mathcal{S}}({\operatorname {Tr}}\circ \operatorname {D}^{\flat }_t{\boldsymbol{I}}_{\xi }[\boldsymbol{Q}]){\text {d}\mathcal{S}}
$$
它表示时间各向异性度量畸变的第一个矩，对于不可伸展介质上的脂质来说是不相关的。这可以从（B13）看出，它产生（B22）：
$$
\mathfrak{R}_{{{AC}}} = \alpha \int _{\mathcal{S}} \left ( 1 + \frac {\xi }{2}\beta \right ) {\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{V} {\text {d}\mathcal{S}}.
$$
变分产生（B23）：
$$
\begin{aligned}
\omega _{{{AC}}} &= 0 , &\boldsymbol{\sigma }_{\!{{AC}}} &= \alpha \left ( 1 + \frac {\xi }{2}\beta \right ) {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}, & \boldsymbol{\eta }_{{{AC}}} &= \boldsymbol{0} ,\\ &\ &\boldsymbol{f}_{\!{{AC}}} &= \alpha \boldsymbol{\nabla }\left ( 1 + \frac {\xi }{2}\beta \right ) = \frac {\alpha \xi }{2}\boldsymbol{\nabla }\!\beta , &f^{\bot }_{{AC}} &= \alpha \left ( 1 + \frac {\xi }{2}\beta \right )\mathcal{H}.
\end{aligned}
$$
这意味着我们只得到一个活性压力项，这对于不可伸展流体来说没有任何影响，因此可以忽略。尽管这对本文不相关，但应该注意的是，$ \boldsymbol{\sigma }_{\!{{AC}}}$ 会产生几何活性（Nitschke 和 Voigt 参考文献 Nitschke and Voigt2025a）或活性张力（Mietke 等人参考文献 Mietke, Jemseena, Kumar, Sbalzarini 和 Jülicher2019; Wittwer 和 Aland 参考文献 Wittwer and Aland2023），它们分别贡献于膜张力（Al-Izzi 和 Alexander 参考文献 Al-Izzi and Alexander2023），这取决于可伸展介质中的标量阶。附录 C。能量率
在本节中，我们讨论总能量（C1）的能量率 $({{\textrm d}}/{{\textrm d}t}){\mathfrak{E}}_{\textit{TOT}}$：
$$
\mathfrak{E}_{\textit{TOT}} := \int _{\mathcal{S}} \frac {\rho }{2} \left \| \boldsymbol{V} \right \|_{{T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}} }^2{{\textrm d}\mathcal{S}} + \mathfrak{U}_{{LH}},
$$
由动能和势能组成，后者仅由 LH 能量（4.25）给出。从概念上讲，人们可以参考 Nitschke 和 Voigt（参考文献 Nitschke and Voigt2025b）在假设（4.1）下的中间结果来获得能量率，或者可以按照我们在 Nitschke 和 Voigt（参考文献 Nitschke and Voigt2025b）中的相同程序重新推导它。无论哪种方式，拉格朗日-达朗贝尔原理都产生了物理功率平衡（C2）：
$$
\frac {\text {d} }{\text {d找出切向和法向的材料速度场 $\boldsymbol{v}\in {{T}\! {\mathcal{S}}$ 以及 $v_{\bot }\in {{T}^0 \mathcal{S}}$，切向Q张量场 $\boldsymbol{q}\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}$，法向特征值场 $\beta \in {{T}^0 \mathcal{S}}$，压力场 $p\in {{T}^0 \mathcal{S}}$，以及拉格朗日参数场 $\boldsymbol{\lambda }_{\gamma }\in \mathcal{V}_{\gamma }\le {T}^n {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，对于所有的 $\gamma \in \mathcal{C}_{{{SC}}}$，满足以下条件：
(D1a)
$$
\begin{align}
\rho {\boldsymbol{a}} &= \boldsymbol{\nabla }\tilde {p} + {\operatorname {div}}\left ( \boldsymbol{\sigma }_{\textit{EL}} + \boldsymbol{\sigma }_{\textit{IM}}^{\varPhi }+ \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^0 + \xi \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^1 + \xi ^2\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^2 +\boldsymbol{\sigma }_{\!{{NA}}}\right ) \\
&\quad + \left (2\boldsymbol{I\!I}\boldsymbol{q}-3\beta \boldsymbol{I\!I}\right )\left ( \boldsymbol{\zeta }_{\textit{EL}} + \boldsymbol{\zeta }_{\textit{IM}}^{\varPhi }\right ) + \sum _{\gamma \in \mathcal{C}_{{{SC}}}}\boldsymbol{f}_{\gamma },
\end{align}
$$
(D1b)
$$
\begin{align}
\rho a_{\bot } &= \tilde {p}\mathcal{H} + f^{\bot }_{{BE}} + \boldsymbol{I\!I}\operatorname {:}\left ( \boldsymbol{\sigma }_{\textit{EL}} + \boldsymbol{\sigma }_{\textit{IM}}^{\varPhi } +\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^0 + \xi \boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^1 + \xi ^2\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^2 + \boldsymbol{\sigma }_{\!{{NA}}} \right ) \\
&\quad - {\operatorname {div}}\left ( \left (2\boldsymbol{q}-3\beta {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\right ) \left ( \boldsymbol{\zeta }_{\textit{EL}} + \boldsymbol{\zeta }_{\textit{IM}}^{\varPhi }\right ) \\
&\quad + \sum _{\gamma \in \mathcal{C}_{{{SC}}}} f^{\bot }_{\gamma },
\end{align}
$$
(D1c)
$$
\begin{align}
\left ( M + \frac {\upsilon \xi ^2}{2} \right )\operatorname {d}_{t}^{\varPhi }\boldsymbol{q} &= {\boldsymbol{h}}_{\textit{EL}} + {\boldsymbol{h}}_{{TH}} + \xi {\boldsymbol{h}}_{\textit{NV}}^1 + \xi ^2\widetilde {{\boldsymbol{h}}}^{2,\varPhi }_{\textit{NV}} + \sum _{\gamma \in \mathcal{C}_{{{SC}}}} {\boldsymbol{h}}_{\gamma },
\end{align}
$$
(D1d)
$$
\begin{align}
\left ( M + \frac {\upsilon \xi ^2}{2} \right ) \dot {\beta } &= \omega _{\text {EL}} + \omega _{\text {TH}} + \xi ^2\widetilde {\omega }^{2}_{\textit{NV}} + \sum _{\gamma \in \mathcal{C}_{{{SC}}}} \omega _{\gamma },
\end{align}
$$
(D1e)
$$
\begin{align}
{\operatorname {div}}\boldsymbol{v} = v_{\bot }\mathcal{H},
\end{align}
$$
(D1f)
$$
\begin{align}
\forall \gamma \in \mathcal{C}_{{{SC}}}:\quad \boldsymbol{0} = {\boldsymbol{C}}_{\gamma }
\end{align}
$$
这些条件成立，同时给定初始条件$\boldsymbol{v}$、$v_{\bot }$、$\boldsymbol{q}$、$\beta$以及质量密度$\rho \in {{T}^0 \mathcal{S}}$。相关量在表5中列出。对于$\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^1$和$\boldsymbol{\sigma }_{\textit{NV}}^2$，$\varPhi$的选择是可选的。上述两种表示方法都描述了相同的张量场。这里$\mathcal{C}_{{{SC}}}$是一组适用于表面贴合Q张量场的约束条件，可能会产生额外的约束力。在本文中，我们仅考虑“无平坦简并”（$\text {ND}$）约束，即$\mathcal{C}_{{{SC}}} = \{\text {ND}\}$成立，并且$\boldsymbol{f}_{\textit{ND}}, f^{\bot }_{\textit{ND}}, {\boldsymbol{h}}_{\textit{ND}}, \omega _{\text {ND}}, {\boldsymbol{C}}_{\textit{ND}}$是在附录E中推导出的相关广义约束力。由于这是一个不可扩展的模型，为了简化，我们将明显的压力项总结为广义压力$\tilde {p}\in {{T}^0 \mathcal{S}}$。

附录E：“无平坦简并”约束
“无平坦简并”约束可以通过以下公式给出：
$$
\begin{align}
\boldsymbol{0} &= \boldsymbol{q} = (\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\circ {\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}}})\boldsymbol{Q} = {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\boldsymbol{Q}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}-\frac {\boldsymbol{Q}\operatorname{:}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} = {\boldsymbol{C}}_{\textit{ND}},
\end{align}
$$
其中$\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}):{{T}^2 {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}} \rightarrow {{T}^2 \mathcal{S}}$是对偶张量场的正交切向投影，对于所有$\boldsymbol{R}}\in T^2 {{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$，而$\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}: {{T}^2 \mathcal{S}} \rightarrow {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}$是对偶切向张量场的正交平坦简并投影，满足$\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}} {\boldsymbol{r}} = ({1}/{2}) ( {\boldsymbol{r}} + {\boldsymbol{r}}^T - ({\operatorname {Tr}}{\boldsymbol{r}}){\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} )$。为了将这个约束应用到表面贴合模型(D1)中，我们引入了拉格朗日泛函(E2)：
$$
\mathfrak{U}_{\textit{ND}} := -\left \langle \boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}},(\operatorname {\varPi }_{\operatorname {\mathcal{Q}}^2\mathcal{S}} \circ \operatorname {\varPi }_{{T}^2\mathcal{S}})\boldsymbol{Q}\right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathcal{S}) = -\left \langle \boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}},\boldsymbol{Q} \right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}),
$$
作为势能，拉格朗日参数$\boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}}\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}$提供了额外的自由度。变分(E3)：
$$
\left \langle {{\boldsymbol{C}}_{\textit{ND}}, \boldsymbol{\theta }} \right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathcal{S}) &:=-\left \langle {\frac {\delta \mathfrak{U}_{\textit{ND}}}{\delta \boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}}}, \boldsymbol{\theta }} \right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2 {\mathcal{S}}) = 0
$$
对于所有虚拟位移$\boldsymbol{\theta }\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}$，这导致了约束方程(E1)。

分子约束力${\boldsymbol{H}}_{\textit{ND}}\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$由变分(E4)给出：
$$
\left \langle {{\boldsymbol{H}}_{\textit{ND}}, \boldsymbol{\varPsi }} \right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}) &:= -\left \langle {\frac {\delta \mathfrak{U}_{\textit{ND}}}{\delta \boldsymbol{Q}}, \boldsymbol{\varPsi }}\right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}) = \left \langle {\boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}}, \boldsymbol{\varPsi }} \right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}),
$$
对于所有虚拟位移$\boldsymbol{\varPsi }\in {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$。因此，约束力是平坦简并的，我们必须在平坦简并的分子方程(D1c)的右侧添加(E5)：
$$
{\boldsymbol{h}}_{\textit{ND}} := (\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\circ {\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}}}){\boldsymbol{H}}_{\textit{ND}} = {\boldsymbol{H}}_{\textit{ND}} = \boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}} \in {{\mathcal{Q}}}^2\mathcal{S},
$$
由于$\boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}}$完全由该方程确定，原则上我们可以忽略它。然而，正如Nitschke和Voigt（参考文献Nitschke and Voigt2025b）中的表面贴合约束一样，可能需要在流体方程(D1a)和(D1b)中考虑额外的约束力$\boldsymbol{F}_{\textit{ND}} = \boldsymbol{f}_{\textit{ND}} + f^{\bot }_{\textit{ND}}\boldsymbol{\nu }$。空间状态变分(E6)产生：
$$
\begin{align}
& \left \langle {\boldsymbol{F}_{\textit{ND}}, \boldsymbol{W}} \right \rangle _{\textrm{L}^2 ({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}})} := -\left \langle {\frac {\delta \mathfrak{U}_{\textit{ND}}}{\delta \boldsymbol{X}}, \boldsymbol{W}} \right \rangle _{\textrm{L}^2 ({T}\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}) \\
&= \int _{\mathcal{S}} \eth _{\boldsymbol{W}}\left \langle \boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}},\boldsymbol{q} \right \rangle _{ {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}} + \left \langle \boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}},\boldsymbol{q} \right \rangle _{ {\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}({\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{W}) {\text {d}\mathcal{S}} \\
&= \left \langle {\eth _{\boldsymbol{W}}\boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}} + ({\operatorname {Div}}_{\textsf{C}}\boldsymbol{W})\boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}}, \boldsymbol{q}}\right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}) + \left \langle {\boldsymbol{\lambda }_{\textit{ND}}, (\eth _{\boldsymbol{W}}\circ \operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\circ {\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}}})\boldsymbol{Q}}\right \rangle _{\textrm{L}^2 (\mathcal{Q}^2\mathbb{R}^3\vert _{\mathcal{S}}),
\end{align}
$$
对于所有虚拟位移$\boldsymbol{W}\in {T}{{\mathbb{R}}^3\vert _{\mathcal{S}}$和$\boldsymbol{q}=(\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\circ {\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}}})\boldsymbol{Q}$。第一个求和项由于约束(E1)而消失。对于第二个求和项，我们使用恒等式(Nitschke等人，参考文献Nitschke, Sadik and Voigt2023) (E7)：
$$
\eth _{\boldsymbol{W}}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} &= \eth _{\boldsymbol{W}}\left ( {\boldsymbol{I\!d}} - \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } \right ) = -\eth _{\boldsymbol{W}}\boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu } - \boldsymbol{\nu }\otimes \eth _{\boldsymbol{W}}\boldsymbol{\nu } = \boldsymbol{\nu }(\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{W})\otimes \boldsymbol{\nu } + \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu }\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{W},
$$
并通过(E1)得到(E8)：
$$
\begin{align}
& \left (\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\circ {\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}}}\circ \eth _{\boldsymbol{W}}\circ \operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\right )\boldsymbol{Q}\hspace {-8em} \\
&\quad = \left (\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\circ {\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}}}\right ) \Big ({\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\eth _{\boldsymbol{W}}\boldsymbol{Q}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + \eth _{\boldsymbol{W}}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\boldsymbol{Q}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\boldsymbol{Q}\eth _{\boldsymbol{W}}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \\
&\quad \hspace {1em} - \frac {\eth _{\boldsymbol{W}}\boldsymbol{Q}\operatorname {:}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + \boldsymbol{Q}\operatorname{:}\eth _{\boldsymbol{W}}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}}{2}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} - \frac {\boldsymbol{Q}\operatorname{:}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}}{2}\eth _{\boldsymbol{W}}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} \Big ) \\
&\quad = \left (\operatorname {\varPi }_{{\operatorname {\mathcal{Q}}}{^2}\mathcal{S}}\circ {\operatorname {\varPi }_{{{T}^2 \mathcal{S}}}}\right ) \Big ({\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\eth _{\boldsymbol{W}}\boldsymbol{Q}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + \boldsymbol{\nu }\otimes \boldsymbol{\nu }(\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{W})\boldsymbol{Q}{\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}} + {\boldsymbol{I\!d}}_{\mathcal{S}}\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{\nu }(\boldsymbol{\nabla} _{\!\textsf{C}}\boldsymbol{W}))\otimes \boldsymbol{\nu } \\
&\quad \hspace {1em} -作为物理参数，我们选择 $\xi = 0$、$\upsilon = M = \rho = 1$ 和 $L = 0.1$。在 Beris–Edwards 表面模型（3.1）的情况下，我们进一步考虑 $a=0$、$b=-27$ 和 $c= ({27}/{2})$；在 hydrodynamic surface LH 模型（3.4）的情况下，我们选择 $\hat {a} = 0$、$\varpi = 1$ 和 $\kappa =\bar {\kappa }=0.2$，从而得到可比较的条件（参见（3.5））。在 hydrodynamic surface LH 模型中，我们进一步选择 $\mathcal{H}_0 = -1.77$，这对应于两种系统预期的平衡形状 ${\mathcal{S}}$ 的平均曲率，该形状为一个半径为 $r=1.129$ 的球体。我们还考虑了 $\hat {\mathcal{H}}_0 = 0$。数值参数（如网格大小 $h$ 和时间步长 $\tau$）的选择旨在解析最高的曲率值并满足稳定性约束，这参考了 Krause & Voigt（参考文献 Krause and Voigt2023）、Bachini 等人（参考文献 Bachini, Krause, Nitschke and Voigt2023a）以及 Sischka & Voigt（参考文献 Sischka, Nitschke and Voigt2025）。为了研究取向场 $\beta$ 对系统的影响，我们还求解了表面 Navier–Stokes–Helfrich 模型（3.8），其中对于对称情况选择 $H_0 = 0$，对于不对称情况选择 $H_0 = -1.77$，其他参数均按照上述选择。