高能离子对等离子体旋转模式的扰动效应

《Journal of Plasma Physics》：Effect of eigenmode destabilisation by energetic ions on plasma rotation

　　摘要：本文考虑了由空间通道效应引起的动量传输——即高能离子通过其自身激发的本征模式进行能量空间传输的现象。计算并比较了被捕获的高能离子与本征模式发生共振相互作用时所产生的力矩。同时评估了当本征模式将环向角动量从激发区传输到阻尼区时产生的环向流的剪切率，并探讨了这种流动对抑制湍流的可能贡献。

1. 引言：不稳定的阿尔文本征模式（AEs）可以通过空间通道效应（SC）传输破坏平衡的快离子的能量和动量（Kolesnichenko等人，参考文献Kolesnichenko, Yakovenko和Lutsenko2010a；Kolesnichenko, Yakovenko, Lutsenko, White和Wellerb；另见Kolesnichenko, Tykhyy和White的概述）。当模式的驱动区和阻尼区分离或模式形状和幅度随时间变化时，就会发生这种情况。空间通道效应不仅可由AEs引起，也可由快速磁声模式引起（Belova等人，参考文献Belova, Gorelenkov, Fredrickson, Tritz和Crocker2015）。它可能导致NSTX中的约束性能下降（Stutman等人，参考文献Stutman, Delgado-Aparicio, Gorelenkov, Finkenthal, Fredrickson, Kaye, Mazzucato和Tritz2009）。Kolesnichenko等人（参考文献Kolesnichenko, Lutsenko, Tyshchenko, Weisen和Yakovenko2018）还提出，空间通道效应可能是JET DTE1实验中观察到的氘-氚等离子体约束性能改善和异常离子加热现象的解释。另一个表明空间通道效应发生的现象是AEs的扭曲——即模式相位的径向变化（Tobias等人，参考文献Tobias, Classen, Domier, Heidbrink, Luhmann, Nazikian, Park, Spong和Van Zeeland2011）。扭曲现象可能与径向能量传输有关（Ma, Zonca和Chen，参考文献Ma, Zonca和Chen2015；Kramer等人，参考文献Kramer, Tobias, Turnbull和Bass2019；Meng等人，参考文献Meng, Lauber, Wang和Lu2022；Kolesnichenko等人，参考文献Kolesnichenko, Lutsenko, Tykhyy, Yakovenko和Heidbrink2024）。关于这个主题的出版物综述可以在Heidbrink等人（参考文献Heidbrink, Hansen, Austin, Kramer和Zeeland2022）中找到，他们建议利用这一现象来诊断AEs的驱动和阻尼过程。已知快离子会影响等离子体湍流（Di Siena等人，参考文献Di Siena, G?rler, Doerk, Poli和Bilato2018，详见Citrin和Mantica的综述）。目前已经提出了几种解释这种效应的机制，包括由快离子激发的本征模式（TAEs、RSAEs或BAEs）产生的纬向流（ZFs）。在数值实验中观察到AEs和EPMs（高能粒子模式）生成纬向流（Todo, Berk和Breizman参考文献Todo, Berk和Breizman2010；Zhang和Lin参考文献Zhang和Lin2013；Spong等人参考文献Spong, Van Zeeland, Heidbrink, Du, Varela, Garcia和Ghai2021；Ishizawa, Poli和Taik Soo Hahm参考文献Ishizawa, Poli, Di Siena和Hahm2025）。在许多涉及实验观测和数值模拟的研究中，展示了AEs通过剪切流形成来抑制湍流的效果（Mazzi等人参考文献Mazzi2022；Varela等人参考文献Varela2024；Du等人参考文献Du2025）。特别是在最近的DIII-D实验中（Du等人参考文献Du2025）发现，多个振幅增强的TAEs的出现会导致剪切流的形成，从而减轻和抑制湍流，而在TAE活动恢复到初始状态后湍流又会重新出现。已经发展出了描述AEs生成ZFs的解析理论（Chen和Zonca参考文献Chen和Zonca2012；Qiu, Chen和Zonca参考文献Qiu, Chen和Zonca2017；Barberis等人参考文献Barberis, Duarte, Hartigan-O’Connor和Gorelenkov2025；Yan和Diamond参考文献Yan和Diamond2025）；这些理论从AE与ZF之间的非线性波-波相互作用角度来解释这一现象。由于任何波都具有非零动量，因此能量的空间通道效应必然伴随着动量的空间通道效应（Kolesnichenko等人参考文献Kolesnichenko, Yakovenko, Lutsenko, White和Weller2010b）。AEs的动量传输可能因为其对湍流和约束性能的影响而具有研究价值。Kolesnichenko等人（参考文献Kolesnichenko, Kim, Lutsenko, Tykhyy, White和Yakovenko2022）考虑了动量空间通道效应对旋转的影响，并在该工作中发现了所谓的MIR——即模式诱导的动量重新分布现象。在Kolesnichenko等人（参考文献Kolesnichenko, Kim, Lutsenko, Tykhyy, White和Yakovenko2022）的研究中，他们基于圆柱坐标系推导了粒子与本征模式共振相互作用时的运动方程，这些方程仅适用于顺利通过的模式。本文的目标之一是将Kolesnichenko等人的一些结果推广到模式被捕获的高能离子破坏的情况。另一个目标是评估AEs的动量通道效应对剪切流形成的可能贡献。本文的结构如下：第2节推导了被捕获和通过波的粒子在共振相互作用下的运动方程；第3节建立了高能粒子的位移与等离子体加速度之间的关系；第4节比较了动量空间通道效应对被捕获和通过的高能离子产生的影响；第5节研究了剪切流由动量空间通道效应引起的激发过程；最后第6节得出结论。

2. 共振粒子的运动：我们从作用-角坐标系下的粒子哈密顿量出发（Kaufman参考文献Kaufman1972）：
$$
H(J_\xi , J_\phi , J_\theta , \xi , \phi , \theta , t) = H_0 (J_\xi , J_\phi , J_\theta ) + \tilde {H}(J_\xi , J_\phi , J_\theta , \xi , \phi , \theta , t),
$$
其中 $\xi$、$\phi$ 和 $\theta$ 分别是规范旋转角、环向角和多极角；$J_\xi$、$J_\phi$ 和 $J_\theta$ 分别是相应的作用量；$H_0={\mathcal{E}}$ 表示未受扰动的粒子运动，$\tilde {H}$ 表示受波影响的粒子运动。环向作用量（即规范角动量）由下式给出：
$$
J_\phi = -\frac {e}{c}\psi _p + M v_\parallel R,
$$
其中 $e$ 和 $M$ 分别是粒子的电荷和质量，$c$ 是光速，$\boldsymbol{v}$ 是粒子速度，下标「$\parallel$」表示纵向分量，$R$ 是到对称轴的距离，$\psi _p$ 是多极磁通量。对于径向轨道宽度远小于研究兴趣的径向尺度的通过粒子，我们可以使用下式：
$$
J_\theta \approx \frac {e}{c}\psi _T,
$$
其中 $\psi _T$ 是环向磁通量（当托卡马克的纵横比很大时，速度对多极作用量的贡献很小）。假设模式频率为 $\omega$，粒子运动频率为：
$$
\omega = s \omega _\theta - n \omega _\phi + l \omega _\xi,
$$
其中 $\omega _\phi$ 和 $\omega _\theta$ 分别是环向和多极粒子运动的频率；$\omega _\xi$ 是回旋平均频率；$n$ 是环向模式数；$s$ 和 $l$ 是整数。已知低频波（$\omega \ll \omega _{\xi}$）与通过的高能离子的最强共振发生在 $s=m\pm 1$ 的情况下，其中 $m$ 是某种模式谐波的多极模式数。共振粒子的运动满足：
$$
\frac {\dot {{\mathcal{E}}}}{\omega } = \frac {\dot {J}_\theta }{s} =\frac {\dot {J}_\phi }{-n}= \frac {\dot {J}_\xi }{l},
$$
这里的「 dots」表示 $\text{d}/\text{d}t$（如果忽略非共振谐波并假设 $\tilde {H}\propto \exp (-i\omega t + is\theta -in\phi +il\xi )$）。对于通过粒子，结合（2.2）、（2.3）和（2.5）得到：
$$
\dot {\psi _p}=\frac {cs}{eq\omega }\dot {\mathcal{E}},
$$
$$
\dot {v}_\parallel =\frac {s/q -n}{MR_0q\omega }\dot {\mathcal{E}},
$$
其中 $q$ 是磁绕数（安全系数）。在撰写这些方程时，我们假设 $R$ 和 $v_\parallel$ 的变化很小，即 $R\approx R_0$。使用（2.6），我们找到了共振离子的径向电流与由于单次共振从快离子传递到波的功率密度之间的关系：
$$
\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha,sl}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p\right \rangle =\frac {e}{c} \frac {{\mathrm{d}}\psi _p}{{\mathrm{d}} r}\left \langle \int {\mathrm{d}}^3 \boldsymbol{v}\,f_{\alpha}(r,\vartheta ,\boldsymbol{v})\dot {\psi }_p\right \rangle =-\frac {s}{q\omega }P_{sl}.
$$
这里 $f_{\alpha}$ 是快粒子的分布函数，$\boldsymbol{j}_{\alpha,sl}$ 是由这种共振引起的粒子电流密度。$P_{sl}=-\left \langle \int {\mathrm{d}}^3 \boldsymbol{v}f_{\alpha}(r,\vartheta ,\boldsymbol{v})\dot {{\mathcal{E}}}\right \rangle$ 是这种共振对功率密度的贡献；积分是在与共振相关的速度空间部分上进行的，尖括号表示由（2.10）给出的通量面平均：
$$
\langle (\ldots )\rangle = \left .\oint \frac {\text{d}\vartheta }{\boldsymbol{B}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\vartheta } (\ldots ) \middle / \oint \frac {\text{d}\vartheta }{\boldsymbol{B}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\vartheta } \right .
$$
其中 $\boldsymbol{B}$ 是磁场，$\vartheta$ 是磁坐标 $(\psi _p,\vartheta ,\varphi )$ 的多极角，$\varphi$ 是几何环向角。对于被捕获的粒子，当径向轨道宽度与模式宽度相比较小时，可以忽略（2.2)中的速度项，即 $J_\phi \approx -(e/c)\psi _p$。因此我们得到：
$$
\dot {\psi }_p=\frac {cn}{ e\omega }\dot {\mathcal{E}.
$$
由于该方程不依赖于 $s$ 和 $l$，我们可以写出：
$$
\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p\right \rangle =-\frac {n}{\omega } P,
$$
其中 $P=\sum _{s,l}P_{sl}$，$\boldsymbol{j}_{\alpha}=\sum _{s,l}\boldsymbol{j}_{\alpha,sl}$。

3. 高能离子通量对等离子体旋转的影响：我们通过推导从高能离子传递到模式的功率与等离子体角加速度之间的关系来进行研究。我们的方法与Kolesnichenko等人（参考文献Kolesnichenko, Kim, Lutsenko, Tykhyy, White和Yakovenko2022）的不同之处在于，我们没有用流体动力学方法处理高能离子群体。同时，其他粒子种类则按照流体动力学方法处理。遵循Hirshman（参考文献Hirshman1978）、Rosenbluth和Hinton（参考文献Rosenbluth和Hinton1996）以及Helander和Sigmar（参考文献Helander和Sigmar2005）的观点，我们假设每种热等离子体种类的角加速度的特征时间远长于粒子传输时间，但远短于模式周期。因此，每种热粒子的流速可以认为是通量表面内的无散度的，这使得我们可以将其表示为：
$$
\boldsymbol{u}_a = \omega _{a}(\psi _p) R\boldsymbol{\hat {\varphi }} + \zeta _{a}(\psi _p)\boldsymbol{B},
$$
其中 $a$ 是粒子种类的索引，$\boldsymbol{\hat \varphi }=R\boldsymbol{\nabla }\varphi$ 是环向方向的单位向量，$\zeta _{a}(\psi _p)$ 表征多极旋转。$\omega _a= -c\left ( \frac {\partial \varPhi }{\partial \psi _p} + \frac {1}{e_a n_a} \frac {\partial p_{a}}{\partial \psi _p}\right )$，
其中 $n_a$ 和 $e_a$ 分别是粒子的密度和电荷。注意，在（3.1）和（3.2）中，$p=p(\psi _p)$、$\varPhi =\varPhi (\psi _p)$ 和 $\boldsymbol{u}$ 并不直接与波相关。考虑到时间尺度远大于模式周期的过程，我们取这些量的平衡值，即在模式周期内的平均值。我们从以下方程出发（参考文献Helander和Sigmar2005），这些方程描述了忽略粘性项时，纵向和环向流速的演变：(3.3)
$$\rho _{a}\frac {\partial \left \langle B u_{a\parallel } \right \rangle }{\partial t} = \left \langle B F_{a\parallel } \right \rangle\!,$$
(3.4)
$$\rho _{a}\frac {\partial \left \langle R u_{a\varphi } \right \rangle }{\partial t} = \frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{a}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi_p \right \rangle + \left \langle R F_{a\varphi } \right \rangle\!,$$
其中
$\boldsymbol{F}_a$ 是作用在物种 $a$ 上的局部力密度，
$\rho _a=M_an_a$ 是粒子质量，
$\boldsymbol{j}_{a}$ 是电流密度，
任意向量 $\boldsymbol{X}$ 的投影 $X_\parallel$ 和 $X_\varphi$ 定义为
$X_\varphi =\boldsymbol{X}\boldsymbol{\cdot }\hat {\boldsymbol{\varphi }}$
和
$X_{\parallel }=\boldsymbol{X}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{B}/B$。
利用(3.1)、(3.3)和(3.4)，可以推导出描述物种角加速度的以下方程（详情参见Kolesnichenko等人的研究（参考文献Kolesnichenko, Kim, Lutsenko, Tykhyy, White and Yakovenko2022）：
(3.5)
$$M_a n_a\frac {\partial \omega _a}{\partial t} = \frac {\langle {B^2}\rangle }{\langle {B_p^2}\rangle {\mathcal{K}}\langle {R^2}\rangle } \left ( \frac {1}{c}\langle {\boldsymbol{j}_{a}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p}\rangle + \langle {RF_{{a}\omega }}\rangle \right )\!,$$
(3.6)
$$M_{a}n_{a}\frac {\partial \zeta _{a}}{\partial t} = \frac {1}{\langle {B^2}\rangle {\mathcal{K}}} \left ( -\frac {I}{c\langle {R^2}\rangle } \langle {\boldsymbol{j}_{a}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p}\rangle + \langle {BF_{{a}u}}\rangle \right )\!.$$
这里还有(3.7)
$$F_{{a}\omega } = F_{{a}\varphi } - \frac {IB}{R\langle {B^2}\rangle } F_{{a}\parallel },$$
(3.8)
$$F_{au} = F_{a\parallel } - \frac {IR}{B\langle {R^2}\rangle } F_{{a}\varphi },$$
其中
$I=I(\psi _p)=B_\varphi R$，
${\mathcal{K}}=1+2\hat {q}^2$，以及(3.9)
$$\hat {q}^2 = \frac {I^2}{2\langle {B_p^2}\rangle } \left \langle \frac {1}{R^2} - \frac {1}{\langle {R^2}\rangle } \right \rangle\!,$$
在圆形高纵横比托卡马克中，$\hat {q}^2\approx q^2$。
在推导过程中，假设粘性效应在感兴趣的时间尺度上可以忽略不计。为了找到等离子体的加速度，我们对(3.2)关于时间求导：
(3.10)
$$\frac {\partial \omega _{a}}{\partial t} = - c \frac {\partial ^2\varPhi }{\partial t\partial \psi _p} - \frac {c}{e_a}\frac {\partial }{\partial t} \left ( \frac {1}{n_a} \frac {\partial p_{a}}{\partial \psi _p}\right )\!.$$
我们忽略压力和密度的变化，因为假设加速的特征时间比粒子传输时间短。正如后来的研究所示，由电流 $\boldsymbol{j}_{a}$ 本身激发的径向粒子传输对压力变化的贡献也很小。因此，我们忽略压力项。然后，所有物种的 $\omega _{a}$ 的演变是一致的，与径向电场的变化相关。利用高斯定律，我们用径向电流来表示它：
(3.11)
$$\frac {\partial \omega _{a}}{\partial t} = -\frac {4\pi c}{\langle |\boldsymbol{\nabla }\psi _p|^2\rangle } \left (\left \langle \boldsymbol{j}_{\varSigma }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle + \left \langle \boldsymbol{j}_\alpha\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle \right ),$$
其中 $\boldsymbol{j}_\varSigma =\sum _{a}\boldsymbol{j}_a$，求和是对所有热物种进行的，$\boldsymbol{j}_\alpha$ 是由于共振能量粒子的位移而产生的电流。现在我们的目标是从得到的方程中排除热物种电流。将不同物种的方程(3.5)相加，我们得到：
(3.12)
$$\frac {1}{\langle v_{A}^2 \rangle }\frac {\partial \omega _a}{\partial t} = \frac {4\pi }{D} \left ( \frac {1}{c}\langle {\boldsymbol{j}_\varSigma \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p}\rangle + \langle {RF_{\varSigma \omega }}\rangle \right )\!,$$
其中 $v_A$ 是阿尔文速度，$F_{\varSigma \omega }=\sum _{a}F_{a\omega }$，求和是对所有热物种进行的，$D={\mathcal{K}}\langle {B_p^2}\rangle \langle {R^2}\rangle$。结合(3.12)和(3.11)，我们得到：
(3.13)
$$\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\text{tot}}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi_p \right \rangle =\frac {\lambda }{1+\lambda }\left ( \frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi_p \right \rangle - \left \langle R F_{\varSigma \omega } \right \rangle \right )\!,$$
(3.14)
$$\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\varSigma }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi_p \right \rangle =\frac {1}{1+\lambda }\left ( -\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi_p \right \rangle - \lambda \left \langle R F_{\varSigma \omega } \right \rangle \right )\!,$$
其中 $\boldsymbol{j}_{\text{tot}} = \boldsymbol{j}_{\varSigma } + \boldsymbol{j}_\alpha$，以及(3.15)
$$\lambda = \frac {\langle v_{A}^2\rangle }{c^2} \frac {\langle |\boldsymbol{\nabla }\psi _p|^2\rangle }{D}.$$
下面，我们假设 $\lambda \sim v_A^2/(c^2{\mathcal{K}})\ll 1$，这对于典型的托卡马克等离子体参数是合理的。因此，我们得出结论：热物种（主要是离子）的极化电流几乎可以抵消快离子的径向电流（参考文献Kolesnichenko, Yakovenko, Lutsenko, White and Weller2010b）。从(3.12)中排除 $\boldsymbol{j}_\varSigma$ 后，我们得到：
(3.16)
$$\rho \frac {\partial \omega _a}{d t} = \frac {\langle B^2 \rangle }{D} \left (-\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle + \left \langle R F_{\varSigma \omega } \right \rangle \right )\!,$$
其中 $\rho =\sum _{a}\rho _a$ 是等离子体质量密度。接下来我们考虑多极旋转的演变。比较(3.5)和(3.16)，我们找到每种等离子体的径向极化电流：
(3.17)
$$\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{a}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle = -\frac {\rho _{a}}{\rho }\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle +\frac {1}{\rho } \Big \langle R \Big ( \rho _{a}F_{\varSigma \omega }-\rho F_{a\omega }\Big )\Big \rangle.$$
将这个公式代入(3.6)，我们得到：
(3.18)
$$\rho _{a}\frac {\partial \zeta _{a}}{\partial t} =\frac {I}{D}\frac {\rho _{a}}{\rho } \left ( \frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle - \left \langle R F_{\varSigma \omega } \right \rangle \right ) + \frac {\langle R^2\rangle \langle B^2\rangle -I^2}{D\langle B^2\rangle }\left \langle B F_{a\parallel } \right \rangle.$$
现在我们可以证明可以忽略(3.10)中的 $\partial p_a/\partial t$ 项，表明由于极化电流引起的等离子体粒子的径向位移对(3.2)中的压力项的贡献可以忽略不计。根据(3.17)，极化电流的主要贡献来自离子物种。为了简化，我们假设只有一种具有电荷 $e$ 的离子。那么由于极化电流引起的压力变化可以如下评估：
(3.19)
$$\frac {\partial ^2p}{\partial t\partial \psi _p} = \frac {\partial }{\partial \psi _p} \left ( \frac {T_i}{e} \boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{j}_i\right )\!,$$
其中 $T_i$ 和 $\boldsymbol{j}_i$ 分别是离子温度和电流密度。由于(3.13)，我们取 $\left \langle \boldsymbol{j}_i\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle \sim \lambda ^{-1} \left \langle \boldsymbol{j}_{\varSigma }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle$，然后用 $\partial \varPhi /\partial t$ 来表示 $\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{j}_i$。然后我们发现(3.10)中的压力项是静电项的 $\rho _L^2/\varDelta _{\text{mode}}^2$ 倍，其中 $\rho _L$ 是离子拉莫半径，$\varDelta _{\text{mode}}$ 是径向模式宽度。最后，我们推导出 $u_{a\varphi }$ 的演变方程。利用(3.1)、(3.16)和(3.18)，我们得到：
(3.20)
$$\frac {\partial }{\partial t} \left \langle R u_{a\varphi } \right \rangle = \frac {1}{\rho }\left ( -\frac {1}{c}\langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle + \left \langle R F_{\varSigma \omega } \right \rangle ) +\frac {I}{\rho _{a}\left \langle B^2 \right \rangle }\left \langle B F_{a\parallel } \right \rangle.$$
我们观察到，除非有非零的 $F_{\parallel}$，否则所有物种的多极（$\dot {\zeta _a}$）和环向（$\dot {u}_{a\varphi }$）加速度是相同的。4. 空间通道对等离子体旋转的影响
我们接着评估SC对被困和通过的高能离子的环向等离子体旋转的影响。(3.20)右侧的第一项描述了由于高能离子与波的共振相互作用而产生的径向位移所导致的环向扭矩密度。使用(2.12)，我们可以为被困离子写出以下形式：
(4.1)
$$T_\varphi ^{\text{trap}} = -\frac {1}{c}\left \langle \boldsymbol{j}_{\alpha}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla }\psi _p \right \rangle = \left \langle \int d^3\boldsymbol{v}\; \dot {J}_\varphi f_\alpha(r,\vartheta ,\boldsymbol{v}) \right \rangle = \frac {n}{\omega }P = -T_\varphi ^{\text{mode}},$$
其中 $T_\varphi ^{\text{mode}}$ 是动量传递到模式的速率。(4.1)的物理意义是显而易见的：作用在热等离子体上的扭矩等于动量传递到高能离子的速率，这与 $T_\varphi ^{\text{mode}}$ 相反。使用(2.8)，我们得到通过离子的类似关系：
(4.2)
$$T_\varphi ^{\text{pass}} = \sum _{s,l} \frac {s}{q\omega }P_{sl}.$$
因此，在这种情况下，作用在热等离子体上的扭矩和动量传递到模式的速率是不同的。这种差异被共振的高能离子所吸收。实际上，根据(2.7)，作用在高能离子上的扭矩是：
(4.3)
$$T_\varphi ^{\alpha} = -\sum _{s,l} \frac {s/q-n}{\omega } P_{sl} = -T_\varphi ^{\text{pass}}-T_\varphi ^{\text{mode}}.$$
对于低频AEs（即TAEs、BAEs和RSAEs），高能离子接收的环向动量分数很小，因为 $n\gg 1$：
(4.4)
$$\left |\frac {T_\varphi ^{\alpha}}{T_\varphi ^{\text{mode}}}\right | = \left |\sum _{s,l}\frac {s/q-n}{n}\right | \leqslant \frac {2}{nq},$$
因为对于每个具有多极模式数 $m$ 的模式谐波，当 $|m/q-n|\lt 1/q$ 时，其幅度是显著的，而这个谐波与通过离子的共振是 $s=m\pm 1$。在这种情况下，被困和通过的高能离子对等离子体旋转产生的效果大致相等。在其他情况下（高频AEs或 $n\sim 1$ 的AEs），高能离子可以对动量平衡有显著贡献。注意，还有另一个影响通过高能离子动量的现象——MIR（动量传输与高能离子通量一起）。纵向动量的演变由以下方程描述（参考文献Kolesnichenko, Kim, Lutsenko, Tykhyy, White and Yakovenko2022）：
(4.5)
$$\frac {\partial }{\partial t}\langle \rho _\alpha u_{\alpha \parallel } R\rangle = \big\langle F_\parallel ^{(1)}R + F_\parallel ^{(2)}R\big\rangle ,$$
其中 $F_\parallel ^{(1)}$ 和 $F_\parallel ^{(2)}$ 分别是来自通道和MIR的纵向力密度贡献。可以看出(4.6)：
(4.6)
$$F_\parallel ^{(1)} = T_\varphi ^{\alpha}/R_0,$$
其中 $R_0$ 是等离子体的主轴半径。MIR的贡献（$F_\parallel ^{(2)}$）取决于快离子分布的空间非均匀性，可能大于 $F_\parallel ^{(1)}$（参考文献Kolesnichenko, Kim, Lutsenko, Tykhyy, White and Yakovenko2022），但MIR不在本工作的范围内。5. 通过动量通道产生剪切流
AE驱动和阻尼率的径向剖面可能不一致。例如，已知连续阻尼主要集中在模式边缘（否则，模式很难失稳），因此不在模式失稳的区域。因此，如果没有径向能量通量 $\varGamma _{{\mathcal{E}}}\neq 0$，AE中的能量平衡就不可能成立。在实验中经常观察到模式的扭曲（模式相位对径向坐标的依赖性）；这表明确实存在非零的径向能量通量（参见Heidbrink等人的研究（参考文献Heidbrink, Hansen, Austin, Kramer and Zeeland2022）)。模式中的能量通量伴随着环向动量通量 $\varGamma _{J_\phi }=(n/\omega )\varGamma _{{\mathcal{E}}$。因此，模式从一个位置从高能离子中提取能量和动量，并在另一个位置释放到热等离子体中。这种现象被称为高能离子的能量和动量的SC。如第3节和第4节所示，当AE失稳时，作用在高能离子上的扭矩被传递到热等离子体（对于通过的离子部分传递，对于被困的离子几乎是完全传递的）。因此，动量的SC产生了一对相反的扭矩，这些扭矩作用于驱动和阻尼占主导地位的区域。这对方扭矩倾向于产生剪切流。让我们估计这个剪切流的幅度。为了简化，我们假设驱动和阻尼完全在不同的空间区域分离，这些区域之间的距离以及它们的特征大小大约是模式宽度。为了估计稳态旋转，我们写出以下方程（5.1）：
$$
\frac{\rho \omega_\varphi R_0^2}{\tau} = T_\varphi,
$$
其中 $\omega_\varphi \approx u_\varphi /R_0$ 是等离子体的环向旋转频率（对于所有等离子体种类来说大致相同）。

（5.2）方程表示
$$
\tau = (\varDelta_{\text{mode}}/a)^2 \tau_E
$$
是动量传输的特征时间，$a$ 和 $R_0$ 分别是等离子体的小半径和大半径，$\varDelta_{\text{mode}}$ 是模式的特征宽度（驱动区域和阻尼区域之间的距离），$\tau_E$ 是能量约束时间。在做出这个估计时，我们假设动量传输是由于湍流造成的。

我们估计模式从高能离子中获取的功率为（5.3）：
$$
P = \gamma_{\text{drive}} \frac{\tilde{B}^2}{8\pi}
$$
其中 $\gamma_{\text{drive}}$ 是驱动率，$\tilde{B}$ 是磁场扰动的幅度。

结合（4.1）、（5.1）和（5.3），我们得到了由模式不稳定引起的稳态等离子体旋转的以下估计值（5.4）：
$$
\omega_\varphi \sim n \frac{\gamma_{\text{drive}}{\omega} \frac{\tilde{B}^2}{B^2} \frac{\varDelta_{\text{mode}}^2}{a^2} v_A^2 \frac{\tau_E}{R_0^2}.
$$

作为一个例子，我们取与DIII-D相关的以下参数：
$$
B=2.1\,\text{T}, \quad R_0=170\,\text{cm}, \quad a=60\,\text{cm}, \quad n_i=5\times 10^{13}\,\text{cm}^{-3}, \quad \tau_E=0.5\,\text{s}.
$$
根据（5.4），我们发现当 $n=10$，$\gamma_{\text{drive}}/\omega =5\times 10^{-2}$，$\tilde{B}/B=5\times 10^{-4}$ 以及 $\varDelta_{\text{mode}}/a=1/3$ 时，一个模式产生的动量通量可以导致一个旋转速度为 $\omega_\varphi \sim 5\times 10^4\,\text{s}^{-1}$ 和 $u_\varphi \sim 85\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$ 的流动。这个速度并不比在超H模式DIII-D实验中观察到的旋转速度低很多（Ding等人，参考文献Ding, Garofalo, Knolker, Marinoni, McClenaghan 和 Grierson2020）。众所周知，当流动剪切率（$\omega_{\boldsymbol{E}\times \boldsymbol{B}}$）超过产生湍流的不稳定性的线性生长率（$\gamma_{\text{lin}}$）时，剪切流可以稳定湍流（Hahm 和 Burrell，参考文献Hahm and Burrell1995）。根据Connor等人的综述论文（参考文献Connor, Fukuda, Garbet, Gormezano, Mukhovatov 和 Wakatani2004），我们写出（5.5）和（5.6）：
$$
\omega_{\boldsymbol{E}\times \boldsymbol{B}} = \frac{RB_\vartheta}{B} \frac{\partial \omega_\varphi}{\partial r} \sim \frac{r}{q\varDelta_{\text{mode}}} \omega_\varphi,
$$
$$
\gamma_{\text{lin}} = k_\vartheta \rho_s\frac{c_s}{a} \left(\frac{a}{R_0}\right)^{1/2} f(\hat{s}) \left(\frac{a}{L_n} + \frac{a}{L_T}\right) \left(\frac{T_i}{T_e}\right)^{1/2},
$$
其中 $k_\vartheta$ 是湍流的多极波数，$\rho_s=c_s/\omega_{Bi}$，$c_s=\sqrt{T_e/M_i}$，$T_e$ 和 $T_i$ 分别是电子和离子的温度，$f(\hat{s})$ 是一个取决于磁剪切 $\hat{s}$ 的形状因子，$L_n$ 和 $L_T$ 是与密度和温度剖面相关的特征长度。

让我们对上述示例中的这些量进行评估。根据Connor等人的研究（参考文献Connor, Fukuda, Garbet, Gormezano, Mukhovatov 和 Wakatani2004），我们取 $k_\vartheta \rho_s=0.1$ 和 $\hat{s}=1$。我们考虑在 $r/a=0.5$ 处的磁通面附近，并取 $q(r)=3$ 和 $T_i(r)=5\,\text{keV}$。在计算 $L_n$ 和 $L_T$ 时，我们采用以下密度和温度剖面：
$$
n_e\propto (1-r^2/a^2)^{1/2}, \quad T_i\propto T_e\propto (1-r^2/a^2).
$$
然后我们发现 $\omega_{\boldsymbol{E}\times \boldsymbol{B}}=2.5\times 10^4\,\text{s}^{-1}$ 和 $\gamma_{\text{lin}}=5.2\times 10^4\,\text{s}^{-1}$。因此，对于这些特定参数，剪切率略低于完全稳定湍流所需的剪切率。需要强调的是，这个例子纯粹是说明性的，并不旨在解释我们提到的实验。这个例子的唯一目的是引起人们对剪切流生成可能的机制——SC的关注。显然，我们的考虑过于简化了。一方面，（5.4）和（5.6）包含了一些我们不知道的参数（$\gamma_{\text{drive}}/\omega$，$\tilde{B}/B$，$\varDelta_{\text{mode}}/a=1/3$，$\tau_E$）。实际上它们的数值可能更小。此外，我们不知道在这些实验中驱动区域和阻尼区域的空间位置是否分离得非常明显。另一方面，在上述估计中，我们假设动量传输是由未稳定的湍流决定的。当由本征模式产生的剪切流抑制湍流时，（5.2）可能会低估动量传输的特征时间，实际的剪切率可能更高。

**6. 总结与讨论**
在这项工作中，研究了SC期间发生的等离子体动量传输。当一个具有非零环向模式数 $n$ 的本征模式将能量从一个磁通面传输到另一个磁通面时，它总是传输环向角动量。这意味着当模式不稳定的空间区域和被阻尼的空间区域在空间上分离时，模式会对这两个区域施加相反的扭矩。在这里，我们推导了破坏波的离子的径向通量、模式吸收的功率以及施加在等离子体上的扭矩之间的关系。在模式引导的固定功率下，产生的扭矩与 $n$ 成正比；值得注意的是，在ITER中，预计 $n\sim 10^{-15}$ 的TAEs将是主导的（Todo等人，参考文献Todo, Idouakass, Wang, Seki, Wang, Wei, Li 和 Sato2025）。当AE由捕获的粒子激发时，主要是热等离子体接收来自波辐射的扭矩。在由高能离子破坏稳定的情况下，它们可以吸收这部分扭矩并经历纵向加速。对于频率较低的AE模式（TAEs、BAEs和RSAEs），其中 $n\gg 1$，共振数 $s$ 和 $n$ 满足驱动区域中的条件 $|s/q-n|/|n|$。然而，对于频率较低的 $n\sim 1$ 的模式以及通过回旋共振激发的模式，这个不等式可能不成立。值得注意的是，由于高能离子破坏的本征模式引起的动量传输也可以通过所谓的MIR发生，其中动量由共振高能离子的通量重新分配（Kolesnichenko等人，参考文献Kolesnichenko, Kim, Lutsenko, Tykhyy, White 和 Yakovenko2022）。正如第1节所提到的，AE/EPMs形成剪切流（ZF）的现象已在多个数值和实验研究中报道。在我们所知的理论论文中，ZF的形成是通过ZF与不稳定AE之间的非线性波-波耦合来解释的。发现了两种非线性ZF激发的机制：Chen和Zonca（参考文献Chen and Zonca2012）预测的自发生成，以及Todo等人（参考文献Todo, Berk and Breizman2010）在数值实验中观察到并经过Qiu, Chen和Zonca（参考文献Qiu, Chen and Zonca2016）理论分析的强制生成。AE的动量传输（MC）似乎是一种额外的机制，也有助于ZF的形成。这些机制有不同的限制和与模式幅度的不同比例关系。自发ZF生成需要AE幅度超过某个阈值，并导致ZF增长率与模式幅度成正比。强制ZF生成的幅度没有阈值；由于强制生成，ZF的增长率是AE的两倍。MC需要驱动区域和阻尼区域在空间上分离才能生成ZF，而非线性ZF激发机制则不受此限制。‘增长率’这一术语不适用于MC，因为ZF幅度的时间导数（即速度）与这个幅度不成正比。由于MC引起的环向加速度与模式幅度的平方成正比。当AE幅度较大且驱动和阻尼在空间上分离明显时，MC似乎更有机会促进ZF的形成。需要进一步的工作，可能包括数值模拟，来比较不同机制的作用。只有这样我们才能确定MC是否能够显著促进ZF的形成，以及何时可能发生这种情况。我们估计了由动量SC产生的旋转剪切。我们发现，一个模式产生的剪切率，其中 $n=10$，$\gamma_{\text{drive}}/\omega =5\times 10^{-2}$，$\tilde{B}/B=5\times 10^{-4}$，可以达到抑制湍流所需的量级。应该注意的是，我们的估计没有考虑模式对湍流抑制的影响；实际上，流动剪切率可能更高。需要强调的是，我们的工作并不旨在解释这里引用的任何实验结果。我们分析的目的是指出MC作为剪切流生成的一种可能的机制。最后，值得讨论的是我们分析中使用的假设。我们假设托卡马克的长宽比很大。高能离子的径向偏离和热离子的洛摩半径与模式的径向宽度相比很小。假设等离子体加速的特征时间远小于粘性和扩散过程的特征时间；我们忽略了粘性对旋转的影响以及传输对等离子体压力的影响。同时，我们假设这个时间远大于模式周期和热离子的传输时间。假设等离子体密度足够高，使得 $v_A/c\ll 1$，其中 $v_A$ 是阿尔文速度。我们的主要假设是模式驱动的径向分布和模式阻尼的径向分布不同，因此存在驱动占优势或阻尼占优势的空间区域。上述所有假设对于我们结论的有效性都很重要（除了第一个假设，它似乎在我们的计算中起技术性作用）。当粘性和传输的速度比所考虑的过程快时，不太可能出现剪切流。当不等式 $v_A/c\ll 1$ 不成立时，热等离子体无法接受波辐射产生的全部动量；动量将由径向电场接收。

**致谢**
作者感谢Y.I. Kolesnichenko提出了这项工作的主题，以及两位匿名审稿人的评论，这些评论有助于改善本文。其中一位作者（Y.Y.）感谢在第18届磁性约束系统中高能粒子技术会议期间与M. Fitzgerald的激励性讨论。编辑Per Helander感谢审稿人对本文的评价建议。

**资助**
这项工作部分得到了美国能源部（Department of Energy）的资助，项目编号为DE-FG02-06ER54867，通过加州大学欧文分校（UCI）、乌克兰科学技术中心和核研究所之间的合作伙伴项目协议P786/UCI Subaward编号2022-1701。该工作还得到了乌克兰国家科学院项目编号0121U110703的支持。

**利益声明**
作者声明没有利益冲突。