揭示不可压缩和可压缩有壁湍流中内外相互作用模型的参数变化

《Journal of Fluid Mechanics》：Uncovering the parameter variations of the inner–outer interaction model across incompressible and compressible wall-bounded turbulence

　　摘要
内-外相互作用模型（IOIM）最初由Marusic等人（Science, 2010, vol. 329, pp. 193–196）提出，已被证明是一种有效的湍流模型，适用于典型和非典型的壁面边界流动。该模型中，来自对数区域的参考速度信号被用作预测近壁速度波动的输入。Baars等人（Phys. Rev. Fluids, 2016, vol. 1, p. 054406）对模型进行了最新改进，提出了一种与用户无关的尺度分离点，从而进一步优化了模型参数。在本研究中，我们比较了长期以来普遍采用的IOIM参数，包括线性传递核、振幅调制系数以及适用于多种雷诺数和马赫数的通用信号，并提出了这些参数之间的数学关系。我们观察到，尽管通用信号在近壁区域表现出高度相似性，但振幅调制系数和线性传递核会受到雷诺数和马赫数的影响，改变参考位置也会导致它们发生显著变化。我们找到了转换方法，以便将不可压缩流动和不同参考位置的振幅调制系数统一起来，从而提高了IOIM在各种流动参数下的建模效果。尽管如此，目前仍无法适当地考虑可压缩性效应，这仍是IOIM框架未来的挑战。

1. 引言
壁面边界湍流一直是研究最为基础和广泛的湍流形式之一，已有众多模型被提出以捕捉其多样的动态特性和复杂性，以满足特定的工程需求。例如，大涡模拟（LES）和基于壁面模型的LES（WMLES）避免了直接求解较小尺度的运动，能够在广泛的工程应用中忠实再现湍流，例如飞机上的流动（Gao等人；Lozano-Durán等人）、城市环境（Giometto等人）、大气边界层（Porté-Agel等人）或超临界环境（Mahesh等人），且无需承担直接数值模拟（DNS）所面临的计算成本。混合雷诺平均纳维-斯托克斯/LES方法和WMLES方法被认为在未来高雷诺数下的外部空气动力学研究中具有最大潜力（Slotnick等人）。尽管这些方法本身非常有用，但由于其对小尺度的严重截断（在WMLES中还包括对内层动态的截断），在模拟缺失的组分方面仍有改进空间（Larsson等人；Bae等人；Fu等人）。特别是，由于小尺度是通过建模而非直接求解得到的，它们与湍流中较大尺度之间的关系引起了研究者的特别关注，因为这可能会以可承受的成本进一步推动基于LES的方法和其他湍流建模技术的边界（Li等人）。此外，在实验中，由于物理限制，测量点及其空间配置通常仅限于远离壁面的区域，导致大面积流动无法被捕捉，因此需要量化不同尺度之间的动态关系。随着高保真数据的生成和实验技术的进步，越来越多有效的尝试被用于基于有限流动信息预测近壁湍流或重建湍流特征。从预测或重建湍流的角度出发，我们可以将其大致分为两类方法。第一类将湍流视为一个随机过程，即使明确使用了控制纳维-斯托克斯方程（NSE），这些方程也被视为改变随机噪声输入及其效应的滤波器（Landau & Lifshitz）。这类模型受到Townsend提出的附着涡假说（AEH）的启发（Townsend 1951, 1961, 1976），其中将壁面边界湍流视为以壁面为根系的随机分布涡旋场。Townsend（1976）预测了湍流的统计特性，未预设流动结构，仅依赖于附着涡旋的自相似性和一个恒定的特征速度尺度（Marusic & Monty 2019）。Perry & Chong（1982）基于发夹涡旋的结构进一步形式化了AEH模型，尽管在完全发展的湍流中这类涡旋的存在仍存在争议（Eitel-Amor等人），但有大量证据支持AEH模型（Wu & Moin 2009；Jodai & Elsinga 2016；Marusic & Monty 2019）。本文关注的另一种方法是将湍流视为一个确定性的高维动力系统，其中包含相互作用的有序结构（Jiménez 2018）。这种方法忽略了任何随机性，有效地将预定系统视为在有限的时间或空间域内的确定性系统。特别是，这种方法旨在提取和捕捉足够简单的有序结构以用于理论模型中的预测，湍流统计信息可以作为模型的输入。一种流行的方法是基于线性化的NSE，建立非线性输入驱动力与速度、压力和温度波动输出响应之间的线性关系（McKeon & Sharma 2010；Hwang & Cossu 2010）。通过傅里叶变换在时间和空间方向上捕捉这种线性关系（McKeon & Sharma 2010）。基于这种输入-输出形式主义，人们利用有限的数据设计了多种可靠的预测模型，以预测完整的流动统计特性（Towe, Lozano-Durán & Yang 2020；Martini等人；Ying等人）或瞬时速度波动（Amaral等人；Arun, Bae & McKeon 2023）。此外，其他数据驱动方法也受到了关注，包括但不限于适当的正交分解（Lumley 1967）、其谱对应物谱适当正交分解（Lumley 1970）和动态模态分解（Schmid 2010）。这些分解模式本身具有空间和时间上的连贯性，将连贯结构与许多数据驱动技术相结合，无需依赖NSE或预设结构。Towe, Schmidt & Colonius（2018）进一步建立了基于模态分解的方法与基于NSE的解析分析之间的联系，从而加深了对NSE的理解。Perry & Chong提出的发夹涡旋结构也可以被视为有序结构，这也有助于进一步理解AEH和壁面边界湍流，为流动提供物理洞察。这些有序结构及其他湍流中的物理机制在理论湍流模型的发展中将继续发挥重要作用，例如在缓冲区域发现条纹（Kline等人）或大尺度运动（LSMs）、非常大尺度运动（VLSMs）以及在对数区和外层区域发现的自相似运动（Lozano-Durán等人）。激发所讨论湍流模型的机制是湍流边界层中小尺度结构的的大尺度叠加和振幅调制。近壁结构通常被描述为自主或自维持的，无需外部影响即可传播和维持（Jiménez & Pinelli 1999；Panton 2001；Schoppa & Hussain 2002）。然而，由于这些研究进行时的数据限制，对数区域中的湍流结构及其对近壁结构的影响了解不足。随着实验和计算能力的发展，许多研究发现大尺度、对数区域事件对近壁小尺度运动产生了外部影响。Abe, Kawamura & Choi（2004）和Hutchins & Marusic（2007a）发现，这些称为LSMs、VLSMs或超结构的对数区域结构会影响近壁区域的顺流速度波动，从而在近壁速度波动上留下印记（或均值偏移）。类似的印记现象也在Rayleigh–Bénard湍流中发现（Berghout, Baars & Krug 2021），许多其他研究发现了不同尺度之间的相互作用，例如近壁条纹（Zhou, Xu & Jiménez 2022）、可压缩近壁结构（Zhou等人）、摩擦阻力（Hwang & Sung 2017）等。Mathis, Hutchins & Marusic（2009）还发现它们在实验研究中以不同的强度调节近壁信号的幅度。Chung & McKeon（2010）在长通道流动的LES中也验证了这种大尺度振幅调制机制。利用希尔伯特变换对顺流速度信号进行尺度分解，将速度波动分离为大尺度和小尺度信号，Mathis等人（2009）表明大尺度信号调制了黏性和缓冲层中的小尺度信号。振幅调制机制进一步扩展到频率调制（Ganapathisubramani等人），并通过相位分析得到验证（Jacobi & McKeon 2013）。这一机制也在其他类型的流动中得到发现，例如空气射流（Fiscaletti, Ganapathisubramani & Elsinga 2015）、可渗透壁湍流（Kim等人）、其他速度分量和瞬时雷诺剪应力（Talluru等人）、大气边界层（Salesky & Anderson 2018；Liu, He & Zheng 2023）、超临界条件下的湍流（Li, Zhang & Ihme 2024）等。Jacobi等人（2021）还形式化了壁面边界湍流中尺度之间的相互作用，发现从NSE导出的传递函数与振幅调制机制类似。可压缩流动中的振幅调制也得到了研究（参见Helm & Martin 2013, 2014；Yu & Xu 2022；Yu等人）。叠加和振幅调制的结合激发了Marusic, Mathis & Hutchins（2010）和Baars, Hutchins & Marusic（2016）提出的壁面边界湍流预测模型。与任何模型一样，模型组分在不同流动参数下的关系尤为重要。在下文中，我们将详细介绍IOIM框架，并提出关于模型参数变化的问题。

2. IOIM
IOIM（Baars等人）及其之前的MMH（Marusic–Mathis–Hutchins）模型（Marusic等人，2010）基于高雷诺数壁面边界湍流中的大尺度连贯性和前述的振幅调制及叠加效应，利用来自对数区域的已知输入来预测内部区域的顺流速度波动。IOIM框架仅需要来自对数区域外部位置（通常是其几何中心点）的大尺度速度信号，该位置经经验确定为 $y_O^+ = 3.9 \textit{Re}_\tau ^{({1}/{2})$（Marusic等人）。参考文献Marusic, Mathis和Hutchins 2010年；Marusic, Monty, Hultmark和Smits 2013年的研究。在此，$y$表示壁法向位置，$u$是原始的流向速度波动，它从原始速度信号及其平均分布中分解而来，记为$U$。摩擦速度为$u_\tau$，流体的运动粘度为$\nu$，上标$^+$表示内缩放，即$y^+ \equiv y u_\tau / \nu$和$u^+ \equiv u / u_\tau$；$\textit{Re}_\tau = u_\tau h / \nu$是摩擦雷诺数，其中$h$是通道高度或边界层厚度。预测信号可以通过以下公式计算：(2.1)
\begin{align}
\underbrace {u_P^+(y^+, t^+)}_{\mathrm{ Prediction}} = \underbrace {u^*(y^+, t^+)\{1 + \varGamma (y^+) u_S^+(y^+, t^+ - \tau _a^+)\}}_{\text{Amplitude modulate}} + \hspace {0.15em} \underbrace {u_S^+(y^+, t^+)}_{\mathrm{Superposition}}, \quad 0 \lt y^+ \lt y^+_O,
\end{align}
其中$u_P^+$对应于期望或预测信号，$u^*$是通用信号，它从原始外部信号$u_O^+$中提取得出。振幅调制系数$\varGamma$是IOIM的参数，需要校准，表示振幅调制机制的强度。通用信号$u^*$旨在表示去除了任何叠加或振幅调制效应的小尺度信号。所有速度波动时间序列都通过内缩放时间$t^+ = tu_\tau ^2 / \nu$进行同步。我们注意到，在振幅调制分量中的输入$u_S^+$包含一个时间偏移$\tau _a^+$，用于解释近壁小尺度信号与其调制器（叠加分量）之间的相对位移。这种偏移取决于壁法向高度，并且与雷诺数无关，即$\tau ^+_a = \tau ^+_a(y^+)$（参考Baars等人2015年的研究）。使用线性传递核$\widetilde {H}_L$，我们可以从已知的外部层信号$u_O^+(y_O^+)$得到叠加分量$u_S^+(y^+, t^+)$，如下所示：(2.2)
\begin{equation}
u_S^+(y^+) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat {u}_S(y^+;f^+)\} = \mathcal{F}^{-1}\left \{\widetilde {H}_L(y^+;f^+)\mathcal{F}\left [u_O^+(y_O^+)\right ]\right,
\end{equation}
其中$\hat {u}(f^+) = \mathcal{F}[u^+(t^+)]$表示$u^+$的傅里叶变换，$f^+ \equiv U^+_m / \lambda _x^+$是由局部平均速度$U^+_m \equiv U^+(y_O^+)$确定的频率。我们通过谱线性随机估计（SLSE）框架计算$\widetilde {H}_L$，如下所示：(2.3)
\begin{equation}
\widetilde {H}_L(f^+) = |H_L|_{\textit{filt}} e^{j \phi (f^+)} = \left (\frac {|\langle \hat {u}(f^+) \breve {\hat {u}}_O(f^+) \rangle |}{\langle |\hat {u}_O(f^+) |^2\rangle }\right )_{\textit{filt}}\hspace {-0.5em}e^{j \phi (f^+)},
\end{equation}
下标$_{{filt}}$表示一个$\pm 25\,\%$的带宽移动滤波器（BMF），$| \boldsymbol{\cdot }|$表示模，$\langle \boldsymbol{\cdot }\rangle$表示集合平均，$\breve {(\boldsymbol{\cdot })}$表示复共轭，$j$是虚数单位$\sqrt {-1}$，$\phi (f^+)$是核的相位。该模型将其尺度分离嵌入到尺度依赖的增益$|\widetilde {H}_L(f^+)|$中，无需用户预先选择尺度分离。IOIM框架能够基于(2.1)准确重建速度信号，并已在从2800到$1.4 \times 10^6$的高摩擦雷诺数范围内对实验性湍流边界层进行了验证。有关模型参数校准的更多详细信息，建议读者参考原始论文（参见Mathis, Hutchins和Marusic 2011年；Baars等人2016年的研究）。

2.1. IOIM的应用和进一步发展
IOIM模型已广泛应用于各种领域。值得注意的是，IOIM框架或其振幅调制机制已在其他类型的湍流中得到验证，而不仅仅是典型的壁面边界流。例如，自由流湍流（参见Dogan等人2016年；Hearst和Ganapathisubramani 2017年）、不同壁面条件的湍流（参见Pathikonda和Christensen 2017年；Efstathiou和Luhar 2018年；Blackman, Perret和Mathis 2019年）、非稳态湍流（Lu等人2024年）以及不同驱动压力的湍流（参见Harun等人2013年；Mathis等人2015年；Dró?d?等人2023年）。通过这一框架，在非典型流动中也发现了增强的振幅调制现象，例如粗糙壁面上的边界层（Monty等人2009年；Squire等人2016年；Wu, Christensen和Pantano 2019年）或可渗透表面（Kim等人2020年；Khorasani, Luhar和Bagheri 2024年），或者包含修改的外部结构的流动，例如上游动态粗糙度（Duvvuri和McKeon 2015年）以及来自等离子体执行器的合成大尺度信号（Lozier, Thomas和Gordeyev 2022年）。Li等人（2023年）进一步量化了IOIM框架下这些非典型流动中振幅调制系数的影响。IOIM框架还与其他数学技术和模型结合使用。Yin等人（2017年，2018年）展示了最小流动单元中的湍流波动与从IOIM框架中提取的通用信号是一致的。M?teling和Schr?der（2022年）还通过多变量经验模态分解分析了通道流中的内-外相互作用。IOIM框架已进一步扩展到超声速和高中速湍流边界层，在这些情况下，除了预测流向速度波动外，还利用强大的雷诺类比发展了温度和密度波动的模型（Helm和Martin 2013年，2014年），同样基于IOIM框架内的叠加、振幅调制和相位移动机制。Yu和Xu（2022年）进一步研究了可压缩条件下的IOIM，结合了密度变化，并开发了计算振幅调制系数和通用信号的替代方法。Yu等人（2023年）还利用最小流动单元展示了IOIM在可压缩流中的能力，通过使用其通用信号研究了马赫数效应以及流向速度、壁法向速度和横向速度分量的重建，以及温度波动。此外，IOIM与AEM的结果高度一致。基于完全不同的机制，IOIM框架还被用于研究可压缩流中附壁涡旋的倾斜角度（Bai, Cheng和Fu 2024年）和流向壁面剪切应力波动（Cheng和Fu 2022年），其中Cheng和Fu（2022年）展示了两种模型在不可压缩流中的定量一致性。

2.2. IOIM的物理视角
虽然LSMs和VLSMs对近壁信号的振幅调制机制是IOIM框架的动机（Marusic等人2010年），但从另一个角度看待这一框架可能更具物理洞察力。鉴于AEM不仅在预测方面取得了长期成功，还使得人们对物理湍流结构（包括附壁和分离涡旋）有了更好的理解，如果可能的话，将这些模型与广泛的湍流机制联系起来是相关的。图1展示了根据AEH的壁面边界湍流中的物理结构，并标记了IOIM中的参考位置$y_O^+$。我们可以看到，参考位置$u_O^+$的速度信号受到多种因素的影响：自相似的附壁涡旋、LSMs/VLSMs以及对数层中的局部分离涡旋。通过线性传递核，提取出较大尺度的涡旋——LSMs、VLSMs和附壁涡旋，有效地排除了较小尺度的分离涡旋，从而得到连贯信号（或叠加信号）$u_S^+(y^+)$。从$u_O^+$中提取的这种连贯信号的幅度，或者说是$u_O^+$的大尺度效应，在接近壁面时减小，因为$u_O^+$和$u_P^+$之间的差异更大。$u_P^+$中的信号包含了$u_O^+$所缺乏的信息，例如AEH假设的较小、自相似的附壁涡旋以及越来越受粘性主导的分离涡旋，导致已知信号与期望信号之间的连贯性降低。图1基于AEH的壁面边界湍流中的湍流结构示意图；不是按物理比例绘制的。红色虚线表示IOIM框架中的参考层，其中已知速度信号$u_O^+(y_O^+$位于此层。为了说明目的，LSMs/VLSMs被显示为从壁面分离，但它们可能延伸到对数层、近壁区域，甚至可能附着在壁面上，对流动产生影响。然后使用已知的速度信号基于$\varGamma$和$u^*$来预测$0 \lt y_P^+ \lt y_O^+$时的$u_P^+(y_P^+)$。为了准确预测$u_P^+$，必须考虑这种大尺度连贯信号的减少，这就引出了(2.1)中的振幅调制分量$\varGamma u_S^+$，其中$\varGamma$的增加是为了补偿$u_S^+$的减少。当我们向壁面移动时，接触到越来越多较小尺度的自相似附壁涡旋，来自它们的能量比例增加。同时，在对数区域内，LSMs和VLSMs的影响减弱。自相似的、较小的壁面附着涡旋的增加以及LSMs和VLSMs影响的减弱与之前观察到的振幅调制系数曲线相符，其中$\varGamma$在对数区域附近达到一个平稳点（Baars等人2016年），这是由于它们的综合效应。因此，振幅调制系数可以描述为LSMs、VLSMs和附壁涡旋的总效应，它作为对$u_O^+$中无法捕获的物理结构强度变化的补偿。从这一视角来看，IOIM框架使我们能够量化不同湍流结构的影响，自然地不仅提供了连贯性和不连贯性的分解，还展示了现有结构的效果。近壁粘性效应通过$u^*$捕获，其效果抵消了$u_O^+$中涡旋累积带来的振幅调制效应。随着我们向壁面移动，(2.1)表示了大尺度连贯结构减少、通用近壁分离涡旋$u^*$以及补偿因子$\varGamma u_S^+$的增加，对于$u^+_O(y^+_O)$中缺失的物理结构（例如$y^+_O$以下的较小自相似附壁涡旋）。需要注意的是，这里和之后的关于LSMs和VLSMs的讨论有些简化。虽然IOIM框架仅从大尺度到小尺度感知能量级联，但最近的研究发现存在大量的反向尺度间能量传递，其中小尺度运动将能量传递给流向和横向速度分量（Cho, Hwang和Choi 2018年）。这对外部-内部相互作用的影响尚不清楚，因为这表明了一个自我维持的能量级联循环。无论如何，从IOIM框架的视角来看，无论是从大尺度还是小尺度，我们都认为强调逆向机制及其对湍流输送的重要性是恰当的。由于IOIM似乎适用于各种流动类型，自然而然地会出现这样的问题：其参数在这些不同类型的流动中的稳健性如何？IOIM的参数是否具有“普遍性”，尤其是在不可压缩流和可压缩流之间？我们能否定量捕捉到参数的差异（如果有的话），从而通过调整关键参数来提供一个通用的IOIM模型？IOIM参数的定量差异能告诉我们关于整体湍流结构的哪些信息，特别是之前通过AEH定义的结构？虽然许多论文已经独立地部分回答了其中一些问题，但以下尝试将在典型的不可压缩流和可压缩流边界湍流的范围内全面回答这些问题。

2.3. 纲要
本文的其余部分安排如下。在第3节中，将描述所使用的DNS数据，随后是对IOIM参数的阐释和分析，包括线性传递核$\widetilde {H}_L$、通用信号$u^*$和振幅调制系数$\varGamma$。在第4节中，我们将尝试在IOIM框架内捕捉特定的变化趋势，特别是不可压缩流和可压缩流之间的差异，并将这些定量差异与我们第2.2节中提供的物理视角联系起来。第5节将对IOIM模型及其参数的普遍性进行总结性讨论。

3. 数据
3.1. 不可压缩流
一组时间分辨的不可压缩 channel 湍流DNS数据在$\textit{Re}_\tau = 186, 547, 934$和$2003$下通过一套全面验证的方法生成（Kim, Moin & Moser 参考文献 Kim, Moin and Moser1987; Del á lamo & Jiménez 参考文献 Del á lamo and Jiménez2003; Hoyas & Jiménez 参考文献 Hoyas and Jiménez2006, 参考文献 Hoyas and Jiménez2008; Lozano-Durán & Jiménez 参考文献 Lozano-Durán and Jiménez2014），其计算参数如表1所示。表1. 不可压缩 channel DNS 参数。这里，$L_x, L_y$和$L_z$分别表示流向、壁法向和展向的计算域。DNS的内标时间步长为$\delta _t^+ = \delta _t u_\tau ^2 / \nu$，$(u_\tau T)/h$是涡旋翻转时间，以确保统计收敛。用于校准相应情况下IOIM模型的外部参考位置由$y_O^+$表示，$\eta$表示Kolmogorov长度尺度，因此量$\max _y (h/\eta)$表示最大尺度与最小尺度之间的最大比率。

3.2. 可压缩流
进行了一系列超音速 channel 流的DNS模拟，其在表2中列出的体积马赫数${\textit {Ma}}_b = U_b / c_w = 0.8, 1.5$和$3$范围内，其中$U_b$是体积速度，$c_w$是壁温下的声速，体积雷诺数为$\textit{Re}_b = \rho _b U_b h / \mu _w$，$\rho _b$是体积密度，$\mu _w$是壁面动态粘度。所有案例的计算域均为$(L_x, L_y, L_z) = (4\pi h, 2h, 2\pi h)$。先前的研究已经验证了该计算域能够解析对数区和非对数区的含能量运动（Agostini & Leschziner 参考文献 Agostini and Leschziner2014; Cheng & Fu 参考文献 Cheng and Fu2024）。模拟使用有限差分代码进行，该代码解决了三维可压缩N-S方程以及一个被动标量传输方程。有关计算方法的更多详细信息，请参见Cheng & Fu（参考文献 Cheng and Fu2024）。表2. 可压缩 channel DNS 参数。上标$^*$表示半局部缩放的壁法向位置$y^*$和摩擦雷诺数$\textit{Re}_\tau ^*$。流向、壁法向和展向的计算网格点分别用$N_x, N_y$和$N_z$表示。这里$\Delta _x^+$和$\Delta _z^+$表示粘性单位下的流向和展向网格分辨率，$\Delta y^+_{\textit{min}}$和$\Delta y^+_{\textit{max}}$分别表示壁法向中最细和最粗的分辨率。

4. 结果
对于可压缩流情况，IOIM是使用密度加权速度波动$\sqrt {\rho }u''$计算的，其中$u''$表示Favre平均后的波动，以及半局部缩放的壁法向坐标和摩擦雷诺数（Trettel & Larsson 参考文献 Trettel and Larsson2016; Griffin, Fu & Moin 参考文献 Griffin, Fu and Moin2021），分别表示为$y^*$和$Re^*_\tau$，以便适当地比较可压缩流和不可压缩流。使用密度加权速度波动的做法遵循了许多先前研究的惯例（包括但不限于Patel等人（参考文献 Patel, Peeters, Boersma and Pecnik2015）、Siacovelli, Cinnela & Gloerfelt（参考文献 Sciacovelli, Cinnela and Gloerfelt2017）、Hirai, Pecknik & Kawai（参考文献 Hirai, Pecknik and Kawai2021）、Huang, Duan & Choudhanri（参考文献 Huang, Duan and Choudhanri2022）、Yu & Xu（参考文献 Yu and Xu2022）、Cheng & Fu（参考文献 Cheng and Fu2023）和Bai等人（参考文献 Bai, Cheng and Fu2024）），其背后的动机是可压缩边界层中$\overline {\rho u'' u''} / \tau _w$的统计特性与不可压缩壁湍流中的$\overline {u'^2}^+$相似（Huang等人参考文献 Huang, Duan and Choudhanri2022; Cheng & Fu参考文献 Cheng and Fu2023），其中上划线$\overline {(\boldsymbol{\cdot })}$表示雷诺平均。我们还注意到，使用Favre平均或雷诺平均的波动没有明显的差异。利用这个机会，我们也可以评估这种缩放方法对于考虑整体可压缩性的适用性。

4.1. 线性传递核 – $\widetilde {H}_L$
传递核是分离流向速度波动中尺度的关键，也是构建IOIM的第一步。图2显示了表1中不可压缩流情况的线性传递核剖面，随着雷诺数的增加，从图2(a)到图2(d)展示。图2. 不可压缩流情况的最终线性传递核$\widetilde {H}_L$的比较，其中面板标记了表1中的案例：(a) Re186, (b) Re547, (c) Re934 和 (d) Re2003。线性传递核可以解释为沿壁法向的信号与外部参考高度处的信号之间的相干性，它从外部参考层提取出相干的大尺度信号，这些信号叠加在每个近壁位置。虽然在更高的雷诺数流动（$\textit{Re}_\tau \approx 7450, 13\,300$）中，Baars等人（参考文献 Baars, Hutchins and Marusic2016）提出在所考虑的壁法向范围内线性传递核在视觉上无法区分，这被用于从$2800 \leqslant \textit{Re}_\tau \leqslant 19\,000$的流动的简要预测，但仔细观察后，我们发现$186 \leqslant \textit{Re}_\tau \leqslant 2003$范围内线性传递核存在显著差异。图2和图3(a)显示了不可压缩流随雷诺数增加的线性传递核的几个差异，在最大波长处线性传递核最初有一个平坦区域，然后在一个次级平坦区域达到绝对峰值1。在最低雷诺数案例Re186中，这个平坦区域在达到峰值绝对值$|\widetilde {H}_L| = 1$之后才出现。我们还观察到，随着雷诺数的增加，每个$y^+$处的线性传递核增益会减小。此外，图3(b)在最小的壁法向高度处显示了一个明显的二次趋势，传递核增益达到最大值。然而，这个在${\textrm {argmin}}_{y^+}|\widetilde {H}_L({y^+, \lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$处的二次趋势可能是由于选择了参考外层位置$y^+ = 3.9 \textit{Re}_\tau ^{({1}/{2})$。图3. 不可压缩流情况的线性传递核：(a) 在最大内标波长${\lambda _x^+}_{\textit{max}}$处的幅度，以及(b) 用于比较${\textrm {argmin}}_{y^+} |\widetilde {H}_L({y^+, \lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$，即最小的$y^+$，其中$|\widetilde {H}_L(y^+, {\lambda _x^+}| = 1$。虚线-点线表示一个二次最佳拟合线，$R^2$表示其决定系数。图4. 以表面形式显示了不可压缩流情况的线性传递核绝对值。图4进一步展示了这一趋势，在$y^+ \gt 1$时，线性传递核的绝对值在任何共享波长上随着雷诺数的降低而增大，因此在相同波长下，有更多的外部信号能量叠加在近壁信号上。因此，由于较低雷诺数情况在任何共同波长上占主导地位，并且对于$y^+ \gt 1$，我们有（4.1）\begin{equation} |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re186}} \gt |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re547}} \gt |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re934}} \gt |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re2003}}, \end{equation}。此外，结合图3，我们可以看到在最大波长范围内的趋势贯穿了整个波长和壁法向高度范围，表明通过图3和4中显示的线性传递核剖面的不同大尺度影响程度，显示出线性传递核的变化和非普遍性。

图5. 可压缩流情况的最终线性传递核$\widetilde {H}_L$的比较，其中面板标记了表2中的案例：(a) Ma08Re171, (b) Ma08Re384, (c) Ma08Re783, (d) Ma15Re144, (e) Ma15Re394, (f) Ma15Re773, (g) Ma30Re140, 和 (h) Ma30Re396。虽然不可压缩流可以在不同的雷诺数下显示出线性传递核的共同趋势，但接下来将在可压缩流情况下探讨不同可压缩性对线性传递核的影响。图5显示了表2中可压缩流情况的线性传递核剖面。我们比较了具有相似$\textit{Re}_\tau ^*$的不同马赫数的案例，即图5(a,d,g), 5(b,e,h) 和 5(c,f)。同样，这些剖面在不同雷诺数下的趋势与不可压缩流情况相似。在图6(a)中，我们可以观察到最大波长处的线性传递核剖面，具有相似摩擦雷诺数的案例在形状上更为相似。同样，在更高雷诺数下，只有在最大波长处才能观察到两个平坦区域，而Ma08Re171、Ma15Re144和Ma30Re140案例在最大波长处只显示一个平坦区域。在图6(b)中，可以观察到最小的壁法向高度处的二次趋势，其中传递核幅度在最大波长处达到最大值。然而，这种在${\textrm {argmin}}_{y^+}|\widetilde {H}_L({y^+, \lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$处的二次趋势可能是由于选择了参考外层位置$y^+ = 3.9 \textit{Re}_\tau ^{({1}/{2})$。图3. 不可压缩流情况的线性传递核：(a) 在最大内标波长${\lambda _x^+}_{\textit{max}}$处的幅度，以及(b) 用于比较${\textrm {argmin}}_{y^+} |\widetilde {H}_L({y^+, \lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$，即最小的$y^+$，其中$|\widetilde {H}_L(y^+, {\lambda _x^+}| = 1$，对于它们各自的$y^+_O$。虚线-点线表示一个二次最佳拟合线，其中$R^2$表示其决定系数。图4. 不可压缩流情况的线性传递核剖面的绝对值以表面形式显示。图4进一步展示了这一趋势，在$y^+ \gt 1$时，随雷诺数降低，任何共享波长上的线性传递核的绝对值都增大，因此在相同波长下，有更多的外部信号能量叠加在较低雷诺数的近壁信号上。因此，由于较低雷诺数情况在任何共同波长上占主导地位，并且对于$y^+ \gt 1$，我们有（4.1）\begin{equation} |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re186}} \gt |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re547}} \gt |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re934}} \gt |\widetilde {H}_L(y^+, \lambda _x^+)|_{\mathrm{Re2003}}, \end{equation}。此外，结合图3，我们可以看到这个趋势在整个波长和壁法向高度范围内都存在，表明通过图3和4中显示的线性传递核剖面的显著差异，表明线性传递核在所研究的雷诺数范围内的变化和非普遍性。

图5. 可压缩流情况的最终线性传递核$\widetilde {H}_L$的比较，其中面板标记了表2中的案例：(a) Ma08Re171, (b) Ma08Re384, (c) Ma08Re783, (d) Ma15Re144, (e) Ma15Re394, (f) Ma15Re773, (g) Ma30Re140, 和 (h) Ma30Re396。虽然不可压缩流可以在不同雷诺数下显示出线性传递核的共同趋势，但接下来将在可压缩流情况下探讨不同可压缩性对类似雷诺数下线性传递核的影响。图5显示了表2中可压缩流情况的线性传递核剖面。我们比较了具有相似$\textit{Re}_\tau ^*$的不同马赫数的案例，即图5(a,d,g), 5(b,e,h) 和 5(c,f)。同样，这些剖面在不同雷诺数下的趋势与不可压缩流情况相似。在图6(a)中，我们可以观察到最大波长处的线性传递核剖面，其中具有相似摩擦雷诺数的案例在形状上更为相似。同样，在更高雷诺数下，只有在最大波长处才能观察到两个平坦区域，而Ma08Re171、Ma15Re144和Ma30Re140案例在最大波长处只显示一个平坦区域。在图6(b)中，对于最小的壁法向高度，可以观察到更明显的二次趋势，其在最大波长处的线性传递核幅度达到单位值。然而，这种跨雷诺数的“相似性”可能归因于外部参考层位置的选择，由$y^*_O = 3.9 {\textit{Re}_\tau ^*}^{({1}/{2})$确定，再次，可能存在一个明显的二次趋势。这种位置对IOIM的影响将在§ 4.4中进一步探讨。我们还可以从图6(a)中注意到一些马赫数效应。我们可以观察到，对于相同雷诺数的案例，更大的马赫数导致在相同壁法向高度处的最大波长处的线性传递核幅度减小。鉴于传递核的幅度随着$\lambda _x^+$的减小而减小，这表明可以从实际速度信号中分离出的大尺度信号的印记随着马赫数的增加而减小，因此可压缩性的增加导致在类似摩擦雷诺数的情况下，大尺度信号在特定壁法向高度留下的足迹减小。

图6. 与图3类似，但适用于可压缩流情况。壁法向坐标进行了半局部缩放，以便与不可压缩流情况等效地无量纲化。图7. 在最大波长下比较不可压缩流和可压缩流情况的线性传递核。与图3(a)和6(a)类似，但有相似的雷诺数范围区分了这些案例：(a) $140 \leqslant Re^*_\tau \leqslant 186$，(b) $384 \leqslant Re^*_\tau \leqslant 547$ 和 (c) $773 \leqslant Re^*_\tau \leqslant 934$。图(d)与图3(b)和图6(b)类似，它绘制了${\textrm {argmin}}_{y^+} |\widetilde {H}_L({y^*, \lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$，即满足$|\widetilde {H}_L(y^*, {\lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$的最小$y^*$值，对应于各自的$y^*_O$。虚线-点线表示二次最佳拟合线，其决定系数为图(d)中标志的$R^2$。图8与图4类似，但适用于不可压缩和可压缩流动情况，分别对应于表1和表2。生成的表面被划分为一系列雷诺数范围，类似于图7，其中$\textit{Re}_\tau ^*$的值在(a)和(b)中为$140 \leqslant Re^*_\tau \leqslant 186$，在(c)和(d)中为$384 \leqslant Re^*_\tau \leqslant 547$，在(e)和(f)中为$773 \leqslant Re^*_\tau \leqslant 934$。图板的排列方式使得每一行包含相似的摩擦雷诺数范围。图(a)、(c)和(e)比较了不可压缩情况和${\textit {Ma}}_b = 0.8$的可压缩情况。图(b)、(d)和(f)比较了不同可压缩线性传递核剖面。为了更直接地比较可压缩性对线性传递核的影响，图7在相似的摩擦雷诺数范围内比较了不可压缩和可压缩流动情况下的线性传递核。很明显，在相似的雷诺数范围内，可压缩性的增加导致最大波长处线性传递核的绝对值减小。此外，在图7(d)中，虽然我们仍然可以观察到墙法向高度之间线性传递核绝对值首次达到单位值时的二次趋势，但与图3(b)和图6(b)中独立拟合不可压缩和可压缩流动情况相比，这种二次趋势不那么明显，因为决定系数较小。这种较弱的相关性，尽管很微小，出现在同时拟合不可压缩流动情况和可压缩流动情况时，表明线性传递核所衍生的本质动力学和尺度间能量传递存在细微差异。这进一步表明，在相似的雷诺数下，可压缩性的增加导致外层超级结构对近壁信号的叠加效应减弱，其中可压缩壁面流动中外层超级结构与近壁区域之间的能量传递小于不可压缩对应情况。图8进一步突出了所有情况下线性传递核之间的幅度差异，它显示了在其共享波长范围内由线性传递核生成的表面。我们观察到，在较低的可压缩性下，线性传递核的绝对值较大，特别是在靠近壁面的地方。然而，在从不可压缩到可压缩的过渡区域，这一点并不明显，因为在亚音速范围内相对较低的雷诺数和较低的可压缩性导致墙法向范围内的能量传递主导方式不同，如图8(a,c,e)所示。在这个较低的可压缩性范围内，随着可压缩性的增加，叠加外层信号留下的痕迹大大减弱，但仅靠近壁面的地方如此，表明引入可压缩性及其效应阻碍了从外部区域到内部区域的能量传递。图8(b,d,f)进一步显示，随着可压缩性增加到超声速范围内，层間能量传递的阻力增加，其中外部区域的线性传递核绝对值受到较低的${\textit {Ma}}_b$情况的影响。虽然这种由可压缩性引起的阻尼现象很明显，但由于可压缩性和不可压缩流动情况一起拟合，墙法向层間能量传递的阻尼或减少程度仍有待进一步研究。IOIM框架无法直接全面量化能量传递的极限，但线性传递核可能为外部层超级结构与近壁层之间的能量传递深度提供一些见解。随着我们远离外部参考层，线性传递核的绝对值减小，直到在相对较高的雷诺数范围内达到一个明显的平坦区域，大约在$10 \lt y^* \lt 50$，在线性传递核剖面中观察到这一现象，此时它们在这个初始平坦区域范围内的能量传递程度相似。超出这个范围，近壁效应可能会抑制更深入的能量传递，特别是在$y^* \approx 10$之后，因为线性传递核的幅度显著减小。观察到的近壁效应抑制了进一步的能量传递，加上对数区域内超级结构的叠加信号，可能是这种能量积累的主要原因之一，如图中所示，在$y^* = 15$处达到峰值。回到图1，提取的大尺度表明，随着可压缩性的增加，LSMs、VLSMs和附着的涡流的影响减弱。这一发现表明，可压缩性抑制了层间的能量传递，与其他独立于IOIM框架的研究结果一致（例如，参见Smits等人（参考文献Smits, Spina, Alving, Smith, Fernando和Donovan1989）），进一步证实了基于SLSE的线性传递核的准确性，它适当地显示了可压缩性的阻尼效应及其对能量传递向壁面的增加的厌恶，尤其是在超声速范围内。然而，从建模的角度来看，线性传递核剖面中观察到的这些强烈变化，特别是随着可压缩性的变化，是这个IOIM框架的一个缺点，因为我们无法在不同流动参数和情况之间自由交换线性传递核。

4.2. 普适信号 – $u^*$ 普适信号是速度信号中包含的小尺度或无相干信号，不包含任何大尺度效应。图9显示了不可压缩流动情况下的适宜化能量谱的普遍信号，其中普遍信号在不同雷诺数下显示出很强的普遍性。然而，Re186情况下缺乏足够强的大尺度信号，难以在IOIM框架内提取出精细的普遍信号，特别是在靠近壁面的地方。重新审视线性传递核剖面，Re186情况的形状与其更高雷诺数的情况明显不同，这可能表明线性传递核的形状，特别是缺乏初始平坦区域，是存在大尺度信号和振幅调制现象的指标，如果使用标准参考位置$y_O^+ \equiv 3.9 \textit{Re}_\tau ^{({1}/{2})$。图9. 在不可压缩流动情况下比较了“去趋势”后的普遍信号$u^*$，图板的标记与图2中的情况相同。普遍信号的适宜化能量谱$k_x \phi _{u^* u^*}$的等高线表示为实线，颜色根据表1。虚线表示流向速度波动的适宜化能量谱$k_x \phi _{uu}$的等高线，而垂直的虚线-点线表示参考层位置$y_O^+$。图10进一步显示了在不同$\textit{Re}_\tau$下的相似性，其中显示了$y^+$范围内总流向波动能量的比例。虽然图10(a)由于参考层的不同而显示出明显的变化，但通过用$y_O^+$进行标准化后，我们可以观察到普遍信号中包含的总流向能量的比例是相似的。随着雷诺数的增加（$\textit{Re}_\tau \leqslant 2003$）并接近Re2003情况，大尺度效应变得显著，普遍信号的比例可以用（4.2）来建模 \begin{equation} \frac {\sum _{k_x} k_x \phi _{u^* u^*}}{\sum _{k_x} k_x \phi _{u u}} \approx A \left \{1 - \exp {\left [B\left (\frac {y^+}{y^+_O} - 1\right ) \right ]}\right \}, \end{equation}，其中$A = 0.99$，$B = 7.5$。这显示了尽管在线性传递核中嵌入了不同的尺度分离点，不同雷诺数下仍有显著的相似性，每个流动中包含的小尺度比例相似。正是越来越大的尺度驱动了流动之间的主要差异，例如内部光谱峰处的低频能量增加和外部光谱峰的出现（Hutchins & Marusic参考Hutchins和Marusic2007b）。需要进一步观察高雷诺数下普遍信号的极限行为以及它是否仍然遵循（4.2），因为这项研究仅限于$\textit{Re}_\tau = 2003$。然而，我们相信（4.2）可以作为普遍信号比例的基础，可以对方程参数$A$和$B$进行适当的调整，以适应更高雷诺数下的任何差异。图10. 不可压缩流动情况下的一维适宜化能量谱，按壁法向高度$y^+$进行缩放（a）。图(b)显示了相同的情况，但按参考位置$y^+ / y_O^+$进行了缩放的壁法向坐标。虚线模拟了这个缩放的壁法向高度内普遍信号中包含的能量比例的变化，方程的参数分别为$A = 0.99$和$B = 7.5$。图11与图9类似，显示了可压缩流动情况下的“去趋势”后的普遍信号$u^*$的比较。图板的标记与图5中的情况相同。普遍信号的适宜化能量谱$k_x \phi _{u^* u^*}$的等高线表示为实线，颜色根据表2。虚线表示流向速度波动的适宜化能量谱$k_x \phi _{uu}$的等高线，而垂直的虚线-点线表示半局部缩放的参考层位置$y_O^*$。虽然普遍信号在不同雷诺数下显示出一些相似性，但这项研究的逻辑进展是找出其可压缩性变化（如果有）。图11展示了在实际流向波动能量谱的背景下，普遍能量的适宜化能量谱，这在相似雷诺数下的马赫数中显示出强烈的相似性，如图11(a,d,g), 11(b,e,h)和11(c,h)所示，遵循了可压缩流动范围内的光谱自然变化。与不可压缩情况类似，较低雷诺数的情况导致了相当不精细的普遍信号，这可能是由于线性传递核在流向尺度上的幅度相对较小。图12进一步展示了普遍信号在不同可压缩性下的相似性，它显示了普遍信号的一维适宜化能量谱作为总流向速度能量的比例。通过转换壁法向坐标以考虑参考位置的变化，这种小尺度去趋势信号的比例可以用（4.2）来近似，与不可压缩情况相同，其中在较低雷诺数下缺乏足够影响的大尺度信号导致了与（4.2）的偏离。另一方面，可压缩性似乎对普遍信号影响不大。图12. 与图10类似，适用于半局部坐标的可压缩流动情况。图(b)中的虚线与图10(b)相同，参数再次为$A = 0.99$和$B = 7.5$。为了进一步确定普遍信号$u^*$的普遍性，我们比较了它们的概率密度函数（PDFs），$f(u^*;y^+)$，在壁法向高度上，以便计算普遍信号值落在两个未确定值$a$和$b$之间的概率，其中$a \leqslant b$：(4.3) \begin{equation} \mathbb{P}[a \leqslant u^*(y^+)\leqslant b] = \int ^b_a f(u^*;y^+) \hspace {0.2em} {\textrm d}u^*。图13. 不可压缩流动情况下的普遍信号$u^*$的概率密度函数$f(u^*;y^+$，在壁法向高度上的等高线。图板的标签与图2中的相同。表示每个壁法向高度上PDF峰值的彩色线条，即$\displaystyle max _{u^*} f(u^*;y^+$。图13展示了不可压缩流动情况下的概率密度函数（PDFs）的等高线，我们可以观察到PDFs通过两条不同的等高线被划分为两个区域：一个区域位于$0 \lt y^+ \lt 10$，对应于第2.2节中描述的以粘性为主的下层；另一个区域位于$10 \lt y^+ \lt y^+_O$。从物理角度来看，我们已经描述了近壁湍流的普适性，并且有大量证据支持这一点，例如粘性下层的存在以及$0 \lt y^+ \lt 10$区域内信号的一致性，这并不令人惊讶。此外，在这个近壁区域内观察到$u^*$的负偏度，这在之前关于小尺度近壁信号负偏度的研究中也有提及（Agostini & Leschziner，参考文献Agostini and Leschziner2014；Agostini, Leschziner & Gaitonde，参考文献Agostini, Leschziner and Gaitonde2016）。这些一致性为粘性下层涡旋的普适信号提供了证据，因为它们在物理上是相似的，并且不是流动分解后的非物理结果。我们注意到这两个区域之间存在重叠，特别是在Re186情况下，这表明此时的尺度分离不足，因此IOIM框架无法在如此低的雷诺数下完全实现。其他情况下，两个区域之间的差距随着$\Delta y^+$的增加而变大，这表明随着雷诺数的增加，尺度分离有所改善。我们进一步观察到，靠近参考位置$y_O^+$的外部区域在某种程度上依赖于参考位置本身。虽然近壁区域在所有雷诺数下都大约在$y^+ = 10$处结束，但是$\Delta y^+$的增加表明外部区域的PDF随着参考位置的变化而变化。与图10类似，普适信号在近壁区域内基本上是普遍存在的，$u^*$随$y_O^+$的变化而有所变化。其总体形状在各种情况下仍然相似，这表明它可能对应于图1中所示的对数层内的脱落涡旋，这些涡旋在形状上具有统计相似性，但在不同雷诺数下的大小有所不同（Hu, Yang & Zheng，参考文献Hu, Yang and Zheng2020）。然而，这一观点仍然是推测性的，因为脱落涡旋的性质和统计趋势在不同的雷诺数范围内尚未得到充分理解。不过，这种区域间的明显分离解释了第4.3小节中看到的线性传递核谱和振幅调制谱。提取出的普适信号的PDFs表明存在两种机制，它们的影响随雷诺数的不同而变化。$\Delta y^+$中的差距表明这两个区域的影响在相互抵消，即在$|\widetilde {H}_L|$和$\varGamma$谱中形成了一个平坦区域。观察到的差异表明，尽管IOIM框架能够在$y_O^+$以下的任何位置进行预测，但其相对优势在于预测近壁信号；然而在对数区域的预测会受到参考位置选择的影响。

图14展示了可压缩流动情况下的普适信号$u^*$的PDF等高线，图面板上的标签与图5的相同。彩色线条对应于表2中指定的颜色，表示每个壁法线高度上的PDF峰值，即$\displaystyle max _{u^*} f(u^*;y^*)$。在可压缩流动情况下也可以观察到类似的模式，如图14所示。PDFs再次被划分为两个不同的区域：一个近壁区域和一个接近$y^*_O$的区域。可压缩性效应使得近壁区域进一步向下移动，低于$y^*_O = 10$，这一点从图14从上到下的面板观察中可以看出，其中${\textit {Ma}}_b$在增加。尽管如此，这个近壁区域与其不可压缩对应物仍有显著的相似性，其分布也显示出相同的负偏度，这表明至少在某种程度上，近壁小尺度具有普适性。当我们穿过缓冲区域时，符号的变化表明可压缩流动中的小尺度也出现了类似的喷射效应。与不可压缩流动情况一样，当流动中的尺度分离不足时，普适信号区域有显著的重叠，如图14(a,c)中的Ma08Re171和Ma15Re144流动情况所示，表明普适信号的提取效果较差，这与图11一致。另一个表明IOIM尺度分离不足的迹象是图14(g,h)中马赫数3情况下缺乏负偏度。这也表明随着可压缩性的增加，喷射效应减弱，因为在图14(b,e,h)中，相似雷诺数范围内${\textit {Ma}}_b$的增加导致近壁区域的负偏度减小。此外，可压缩性的增加还导致近壁等高线向壁面移动。对于不可压缩流动情况，这些近壁等高线大约在$y^+ = 10$处受限，但随着可压缩性的引入，这一区域在${\textit {Ma}}_b = 0.8, 1.5$和$3.0$时分别大约在$y^* \approx 8, 7$和$6$处，表明近壁涡旋的密度减少或强度减弱，使得较小尺度的涡旋被推向壁面。在更高的马赫数下，外部区域也向$y^*_O$缩拢，进一步表明由于层间能量传递的减弱，其在壁法线方向上的影响受到限制。总体而言，普适信号在近壁区域确实是普遍存在的，但随着离开粘性下层和缓冲层，其表现会随着流动参数的变化而变化。在对数区域内的普适信号行为在很大程度上依赖于参考位置，因为它是IOIM的人造边界条件，其影响贯穿整个对数层。由于不可压缩和可压缩流动中普适信号的近壁相似性，我们测试了IOIM框架和普适信号的实际鲁棒性，我们使用从一种流动情况校准的一组普适信号来预测另一种流动情况，同时保持其他参数不变。具体细节可以在表3中找到。Baars等人（参考文献Baars, Hutchins and Marusic2016）已经在不可压缩流动中证明了IOIM框架的实际鲁棒性，并且Helm & Martin（参考文献Helm and Martin2013）在相似雷诺数下也证实了这一点。在这种情况下，我们进一步研究了IOIM框架在不同雷诺数下的可行性，以及从可压缩流动到不可压缩流动的转换。表3使用了从另一种流动情况校准的普适信号来预测流动情况。案例标签的解释如下：P表示预测案例，连字符后的部分表示所需的预测信号案例。下标表示用于预测的普适信号，这些信号是从相应的流动情况校准的。

图15展示了从表3中选取的P-Ma08Re384（$_{Ma08Re783}$）和P-Ma15Re394（$_{Ma15Re773}$）预测案例的预乘能量谱。图16展示了从表3中选取的P-Re2003（$_{Ma08Re783}$）和P-Re2003（$_{Ma15Re773}$）预测案例的预乘能量谱。图15显示了使用P-Ma08Re384（$_{Ma08Re783}$）和P-Ma15Re394（$_{Ma15Re773}$）的预测结果与DNS的预乘能量谱的比较，这两个案例使用了表3中相同的${\textit {Ma}}_b$普适信号，结果表明使用来自另一个案例的普适信号可以取得很好的结果。使用相同${\textit {Ma}}_b$的普适信号进行预测通常会得到较好的结果，如图15所示。然而，在${\textit {Ma}}_b = 1.5$时的预测效果较差。这可能是由于在可压缩性增加时尺度分离变差，可能需要更高的雷诺数范围才能获得普适参数。此外，可压缩性、雷诺数效应和尺度分离不足的综合作用可能导致P-Ma15Re394（$_{Ma15Re773}$）的预测效果较差。图16展示了使用从两种可压缩性情况校准的普适信号对Re2003（$_{Ma08Re783}$）和P-Re2003（$_{Ma15Re773}$）预测结果的预乘能量谱与DNS的比较，这些普适信号用于预测不可压缩的Re2003案例。P-Re2003（$_{Ma08Re783}$）的成功展示了IOIM框架的某些鲁棒性以及亚音速可压缩流动和不可压缩流动中小尺度的普适性。尽管如此，我们必须注意到普适信号的这种可转移性并不一致，如图P-Re2003（$_{Ma15Re773}$）所示。随着可压缩性效应的增加，尽管在PDFs中观察到它们之间的相对相似性，但细微的差异导致了略微较差的结果。尽管如此，使用在${\textit {Ma}}_b = 0.8$下校准的普适信号仍然获得了良好的预测结果，特别是在小尺度上，因为可压缩性效应相对较低。不可压缩和可压缩流动中近壁普适信号的类似统计特征表明，大尺度信号是流动之间的关键区别之一。当然，这导致了湍流研究和建模中的一个关键且持久的理论假设（Kolmogorov，参考文献Kolmogorov1941；Sreenivasan & Antonia，参考文献Sreenivasan and Antonia1997），例如基于LES的框架以及其他关于湍流小尺度拓扑的物理研究（Elsinga & Marusic，参考文献Elsinga and Marusic2010；Schumacher等人，参考文献Schumacher, Scheel, Krasnov, Donzis, Yakhot and Sreenivasan2014），这些研究假设小尺度在不同流动参数下是普适的，即使引入了可压缩性也是如此，因此普适信号得名于此。从IOIM的角度来看，虽然我们观察到了小尺度之间的某些相似性，但可压缩性的引入确实对IOIM的普适信号产生了一些影响。在IOIM框架的线性传递核中采用自然的SLSE基尺度分解，接近壁面的普适信号实现了“普适性”，表明小尺度在统计上的相似性，而不需要使用Kolmogorov长度尺度或其他数学理论。因此，我们也可以得出可压缩和不可压缩流动中粘性主导的近壁涡旋的相对相似性，如图1所示，但我们也注意到当远离壁面时，可压缩和不可压缩小尺度之间存在一些明显的差异。

4.3. 振幅调制 – $\varGamma$ 由于普适信号在不可压缩和可压缩流动条件下都是普遍存在的，振幅调制（$\varGamma$）和IOIM框架内的大尺度效应解释了参数空间内流动特性和特征的其余差异。Baars等人（参考文献Baars, Hutchins and Marusic2016）报告称，在从$\textit{Re}_\tau \approx 2800$到$\textit{Re}_\tau \approx 19\,000$的高雷诺数范围内，振幅调制系数的大小表现出极好的一致性，即使是使用之前校准的振幅调制系数，对极高雷诺数流动的预测也被验证。虽然在考虑的雷诺数范围$\textit{Re}_\tau \approx 186$到$\textit{Re}_\tau \approx 2003$内成功重建和提取了普适信号，这表明这些流动中存在大尺度特征，尽管相对较小，但其振幅调制系数的普适性尚不清楚。图17。(a) 不可压缩流动情况的振幅调制系数$\varGamma (y^+)$以及Baars等人（参考文献Baars, Hutchins and Marusic2016）在$\textit{Re}_\tau \approx 13\,300$时的实验案例，此后称为Re13300，数据来自Baars（参考文献Baars2020）。虚线表示$\varGamma (y^+)$行为的显著变化，这些变化对应于$|\widetilde {H}_L(y^+, {\lambda ^+_x}_{\textit{max}}|$，实线表示这一点。(b) Re2003和Re13300案例之间的$\varGamma (y^+)$剖面的匹配。Re2003的$\varGamma (y^+)$剖面通过分段线性插值来扩展其坐标，以匹配Re13300案例的壁法线坐标，分段由罗马数字(I)、(II)和(III)表示。图17(a)显示了表1中不可压缩流动情况的振幅调制系数剖面。这些剖面差异显著，其中Re186案例的剖面与较大雷诺数下的流动幅度调制剖面不同。随着雷诺数的增加，幅度调制系数剖面逐渐接近Mathis等人（参考文献Mathis, Hutchins和Marusic2011）以及Baars等人（参考文献Baars, Hutchins和Marusic2016）研究中观察到的β和Γ剖面。只有Re2003案例在幅度和剖面形状上能与Re13300案例相匹配，两者都具有明显的局部最小值和最大值点；而较低雷诺数的案例要么没有稳定点（如Re186案例），要么具有延长的平坦区域和拐点（如Re547和Re934案例）。我们还注意到，随着雷诺数的减小，幅度调制系数的幅度也在减小，这表明幅度调制效应仅在雷诺数超过Reτ≈2000时才变得显著（Mathis等人参考文献Mathis, Hutchins和Marusic2009；Hutchins和Marusic参考文献Hutchins和Marusic2007a）。这种普适性表明，尽管在不同雷诺数下大尺度的变化不同，但幅度调制效应相对相似。这些幅度调制剖面的变化也特别值得关注，因为它们暗示了幅度调制机制以及更广泛的湍流层间相互作用的变化。正如第2.2节所描述的，幅度调制剖面模拟了LSMs、VLSMs和附着涡旋的物理结构强度和调制效应。虽然从Γ的幅度可以看出，在较低雷诺数下这些大尺度结构明显较弱，但剖面也揭示了这些结构的相对强度。在较低的Reτ下，由于LSMs和VLSMs的缺失以及它们在对数区域的减少，Γ的增加更为直接。随着Reτ的增加，LSMs和VLSMs的强度增强，而它们影响力的减少的同时，自相似的、较小的附着涡旋的增加导致幅度调制剖面出现平坦区域，达到了LSMs/VLSMs与自相似附着涡旋影响之间的平衡。随着Reτ的进一步增加，LSMs和VLSMs的强度增加，它们对壁面的影响减弱并不像在较低雷诺数情况下那么早和显著，最终在Re2003的Γ剖面中形成一个局部最大值。当我们更接近壁面时，粘性主导的脱落涡旋占主导地位，导致Γ的增加，以进一步补偿无法从外部参考信号中提取的相干结构。基于这种行为划分，在图17(a)中，我们尝试将Γ(y+)剖面细分以分离出不同的幅度调制趋势区域。第一条灰色虚线表示y+ = 15，这也对应于线性传递核的初始平坦区域和近壁频谱峰的开始。这似乎是普遍存在的，因为它们对应于近壁脱落涡旋，或者在IOIM背景下称为u*，我们已经证明这些在接近壁面时是普遍存在的。彩色虚线则取决于具体案例，它们表示线性传递核平坦区域的结束，如图表1中的案例颜色所示。注意Re186案例的虚线不存在，因为该案例只有一个明显的行为变化点和一个独特的线性传递核平坦区域。这种划分的目的是为了更好地提供一个通用的幅度调制系数，或者至少是一种方法来缩减由于不同雷诺数下外部参考位置不同而导致的自然变化，如图17(b)所示。尽管Re2003和Re13300的剖面在形状上相似，但y+_O的差异（根据定义，必须有Γ(y+_O) = 0）导致了剖面之间的差异。从图17(a)中对Re2003案例的分割部分，我们独立地对第(II)和第(III)部分的壁法线坐标进行线性插值，同时保持第(I)部分的坐标不变，以实现从Re2003到Re13300案例的Γ(y+)的聚合。这首先表明这三个部分的行为明显不同。第(I)部分，其中y+ ≤ 15，在幅度调制方面表现出普遍性，表明近壁效应在幅度调制行为中占主导地位，并且不受雷诺数变化的影响。第(II)部分对应于线性传递核的初始平坦区域，这部分可以从y+ = 15延伸到Γ(y+)的局部最大值，而第(III)部分是直到外部参考位置y_O+的剩余壁法线高度。通过利用这些不同部分之间的行为划分，并根据所需案例线性插值坐标，我们能够更好地匹配幅度调制剖面，即使是在更高的雷诺数情况下也是如此。我们想强调的是，我们并不否定Baars等人（参考文献Baars, Hutchins和Marusic2016）关于幅度调制普遍性的说法，因为在Reτ≥2000的剖面之间以及在其他雷诺数下重建的光谱准确性上都有明显的相似性。这种普遍性可能是由于外部参考位置相对接近，导致在较高雷诺数下幅度调制系数剖面看起来相似，因为y_O+ = 3.9Reτ^((1/2))的凸性质。这些细分还表明，与附着涡旋相比，LSMs/VLSMs的幅度调制效应的相对强度是相同的。考虑到y_O+，第(III)部分表明附着涡旋的能量增加较大，而LSMs/VLSMs的影响减少，而第(II)部分的相对平台期显示出LSMs/VLSMs影响减少的速率与附着涡旋影响增加的速率相似。在第(I)部分，随着LSMs/VLSMs的影响减弱，粘性主导的涡旋占主导地位，同时附着涡旋的数量持续增加，导致幅度调制剖面的平坦区域进一步扩大，达到了LSMs/VLSMs与自相似附着涡旋影响之间的平衡。随着Reτ的增加，LSMs和VLSMs的强度增强，它们对壁面的影响减弱并不像在较低雷诺数情况下那么早和显著，最终在Re2003的Γ剖面中形成了一个局部最大值。当我们更接近壁面时，粘性主导的脱落涡旋占主导地位，导致Γ的增加，以进一步补偿无法从外部参考信号中提取的相干结构。基于这种行为划分，在图17(a)中，我们尝试将Γ(y+)剖面细分以分离出不同的幅度调制趋势区域。第一条灰色虚线表示y+ = 15，这也对应于线性传递核的初始平坦区域和近壁频谱峰的开始。这似乎是普遍存在的，因为它们对应于近壁脱落涡旋，或者在IOIM背景下称为u*，我们已经证明这些在接近壁面时是普遍存在的。彩色虚线则取决于具体案例，它们表示线性传递核平坦区域的结束，如图表1中的案例颜色所示。注意Re186案例的虚线不存在，因为它只有一个明显的行为变化点和一个独特的线性传递核平坦区域。这种划分的动机是为了更好地提供一个通用的幅度调制系数，或者至少是一种方法来缩减由于不同雷诺数下外部参考位置不同而导致的自然变化，如图17(b)所示。尽管Re2003和Re13300的剖面在形状上相似，但在y+_O上的差异导致Γ(y+_O) = 0的定义，从而导致了剖面之间的差异。从图17(a)中对Re2003案例的分割部分，我们独立地对第(II)和第(III)部分的壁法线坐标进行线性插值，同时保持第(I)部分的坐标不变，以实现从Re2003到Re13300案例的Γ(y+)的聚合。这首先表明这三个部分的行为明显不同。第(I)部分，其中y+ ≤ 15，在幅度调制方面表现出普遍性，表明近壁效应在幅度调制行为中占主导地位，并且不受雷诺数变化的影响。第(II)部分对应于线性传递核的初始平坦区域，这部分可以从y+ = 15延伸到Γ(y+)的局部最大值，而第(III)部分是直到外部参考位置y_O+的剩余壁法线高度。通过利用这些不同部分之间的行为细分，并根据所需案例线性插值坐标，我们能够更好地匹配幅度调制剖面，甚至是在更高的雷诺数情况下。我们想强调的是，我们并不否定Baars等人（参考文献Baars, Hutchins和Marusic2016）关于幅度调制普遍性的说法，因为在其Reτ≥2000的剖面之间以及在其他雷诺数下重建的光谱的准确性上都有明显的相似性。这些说法可能是由于外部参考位置相对接近，导致在较高雷诺数下幅度调制系数剖面看起来相似，因为y_O+ = 3.9Reτ^((1/2))的凸性质。这些细分还表明，与附着涡旋相比，LSMs/VLSMs的幅度调制效应的相对强度是相同的。考虑到y_O+，第(III)部分表明附着涡旋的能量增加较大，而LSMs/VLSMs的影响减少，而第(II)部分的相对平台期表明LSMs/VLSMs影响减少的速率与附着涡旋影响增加的速率相似。在第(I)部分，随着LSMs/VLSMs的影响减弱，粘性主导的涡旋占主导地位，同时附着涡旋的数量持续增加，导致Γ的增加更大。此外，这进一步强化了Γu_S^+作为补偿减少的大尺度相干信号u_S^+ = √(F^(-1)[H_LF(u_+O)]的观点，正如第2.2节中所描述的，因为Γ的变化与H_L的变化相匹配。由于第(II)部分到第(III)部分之间的点被认为是雷诺数依赖的，我们尝试找到这个幅度调制行为转变点之间的关系，如图18所示，表示为y_II。通过经验幂律拟合得到关系式为y_II = 9.3 Reτ^0.225。由于计算限制，本文缺乏2003到13300之间的摩擦雷诺数以及更高的Reτ的y_II数据。这种初步的拟合需要在缺失和极端雷诺数下进一步验证，以全面验证这一关系。图18显示了幅度调制系数经历第二次行为变化的壁法线高度，由图17中的y_II表示，对应于雷诺数。图19显示了在y* > 5时可压缩和不可压缩情况下的幅度调制系数剖面，雷诺数范围如下：(a) 140 ≤ Reτ* ≤ 186，(b) 384 ≤ Reτ* ≤ 547和(c) 774 ≤ Reτ* ≤ 934。随着DNS和实验结果在Reτ≈2000以上显示出明显的普遍性，我们现在观察到了可压缩性对幅度调制效应的影响。图19显示了表2中可压缩流动情况的幅度调制系数剖面。这些剖面与其不可压缩对应物明显不同，它们没有拐点或相对平坦的区域，如图17(a)所示。相反，它们在形状上与Re186的幅度调制系数剖面相似，并且随着雷诺数的增加而没有大的变化，与不可压缩情况相反。这可能表明由于可压缩性效应，LSMs/VLSMs的效应减弱，而大尺度到小尺度的幅度调制和能量传递主要由附着涡旋主导，这与之前关于可压缩性增加时LSMs和VLSMs强度减弱的实验和数值研究结果一致（参见Bross, Scharnowski和K?hler参考文献Bross, Scharnowski和K?hler2021；Huang等人参考文献Huang, Duan和Choudhanri2022；Cogo等人参考文献Cogo, Salvadore, Picano和Bernardini2022；Yu等人参考文献Yu, Dong, Guo, Tang, Yuan和Xu2024）。如前所述，可压缩性抑制了能量传递，从而降低了LSMs/VLSMs的影响，但与我们比较不可压缩和可压缩流动在相似Reτ下的幅度调制剖面时，这种降低并不明显。随着Ma的增加，Γ的大小减小，这也表明可压缩性效应减弱了涡旋及其能量级联。直接比较相似雷诺数范围内的不可压缩和可压缩情况下的幅度调制系数剖面进一步突出了由于可压缩性引入的差异。马赫数的增加，因此，可压缩性导致幅度调制效应减弱，这可以归因于流动的可压缩性导致的能量传递的阻尼效应。这可能表明存在不同的幅度调制机制，这些机制可能是由于内在的可压缩性效应或者是可压缩流中发生的不同程度幅度调制。值得注意的是，随着Reτ*的增加，可压缩和不可压缩情况似乎在幅度调制幅度上达到了相似的水平，尽管剖面不同，这表明在大尺度效应的幅度上存在一些相似性，特别是在接近壁面的地方。然而，可压缩和不可压缩剖面之间的显著差异表明，应该进一步研究可压缩流动中沿壁法线高度的幅度调制机制。Γ的大小确实表明，随着可压缩性的引入，幅度调制机制在较低雷诺数时具有更大的效应。从物理结构的角度来看，考虑到马赫数效应，Ma_b的增加降低了幅度调制的效果，表明它影响了涡旋结构，从而减弱了其效应。4.4. 不同的参考位置由于IOIM中唯一的手动输入参数是参考位置y_O+，因此研究这个参考位置如何影响模型参数也很有趣——通常选择对数区域的几何中心，这也与高雷诺数下的外部频谱峰重合（Mathis等人参考文献Mathis, Hutchins和Marusic2009），由y_O+ = 3.9 Reτ^((1/2))确定。为了研究外部参考位置如何影响模型参数，我们将输入位置从其典型的对数中心变化±20%和±40%，如表4中的可压缩流动案例Ma08Re384所示。表4显示了可压缩通道DNS案例Ma08Re384的输入位置变化。偏差表示与案例Ma08Re384中指定的典型参考位置y_O* = 3.9 Reτ^((1/2))的百分比变化。图20比较了表4中不同y_O*的可压缩流动案例的最终线性传递核H_L，面板分别标记为Ma08Re384M40、(b) Ma08Re384M20、(c) Ma08Re384、(d) Ma08Re384P20和(e) Ma08Re384P40。4.4.1. 线性传递核——H_L表4中不同参考位置的可压缩流动案例的线性传递核H_L如图20所示。虽然图2和图5可能表明线性传递核剖面的变化可能是由于雷诺数的变化，但图20通过显示参考位置增加时的一系列线性传递核剖面来反驳这一点。虽然剖面与雷诺数之间存在相关性，但剖面的变化应归因于参考位置的变化。如图20所示，随着参考位置的增加，剖面发生变化：在最大波长处最初出现一个平坦区域，然后在达到线性传递核值的绝对峰值1之前出现一个次级平台。在Ma08Re384M40案例中，这个初始平坦区域不可见，仅在Ma08Re384M20案例中略微存在。我们可以推断，传递核形状的先前变化可以归因于参考位置的增加，而不是雷诺数的增加或马赫数的任何变化。图21(a)显示了表4中案例在最大波长处的传递核剖面。随着外部参考位置$y_O^*$在每个壁法线高度的增加，线性传递核的增益在最大波长处减小。我们还可以观察到壁法线位置的一个二次趋势，即传递核的绝对值首次达到1的位置。线性传递核代表了外层参考位置信号与下方信号之间的相关性，图表自然表明，流向速度信号越接近，相关性越强。进一步的证据表明，参考位置的变化是线性传递核差异的原因，如图21(b)所示，图3(b)、6(b)和7(d)中观察到的二次趋势可以通过改变参考位置来复制。这表明，之前观察到的趋势可能是由于外部参考位置的选择，因为其公式人为地产生了这些趋势。图21显示了表4中不同参考位置流动情况下的线性传递核。面板(a)表示最大内缩放波长${\lambda _x^+}_{\textit{max}}$处的幅度，而(b)比较了${\textrm {argmin}}_{y^*} |\widetilde {H}_L({y^*, \lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$，即最小的$y^*$，在该位置$|\widetilde {H}_L(y^*, {\lambda _x^+}_{\textit{max}})| = 1$，对于它们各自的$y^*_O$。虚线-点线表示最佳拟合线，其决定系数由$R^2$表示。与之前类似，为了更直接地比较图21中整个波长范围内的线性传递核剖面和趋势，我们从不同参考位置的线性传递核生成了绝对值表面，如图22所示，我们可以推断出(4.5) \begin{equation} \begin{aligned} |\widetilde {H}_L(y^*, \lambda _x^+)&|_{\text{Ma08Re384M40}} \gt |\widetilde {H}_L(y^*, \lambda _x^+)|_{\text{Ma08Re384M20}} \gt |\widetilde {H}_L(y^*, \lambda _x^+)|_{\text{Ma08Re384}} \\ &\gt |\widetilde {H}_L(y^*, \lambda _x^+)|_{\text{Ma08Re384P20}} \gt |\widetilde {H}_L(y^*, \lambda _x^+)|_{\text{Ma08Re384P40}}, \end{aligned} 对于任何$(y^*, \lambda _x^+)$对。这与图21的结果一致，总体趋势仍然表明，随着我们远离墙面移动到$y_O^*$以下的壁法线位置，来自参考位置信号的一般叠加效应会减弱，这与我们的直觉预期相符，即彼此距离较远的信号对彼此的影响较小。图22与图4类似，展示了表4中不同参考位置情况下的线性传递核生成的表面。图4.4.2. 普适信号——$u^*$ 如我们所见，无论是在可压缩流动还是不可压缩流动中，普遍信号都表现出相对的普适性。对于相同的流动情况，我们的直觉也告诉我们，即使参考位置不同，普遍信号也应该是一样的。图23. 表4中案例之间普遍信号的比较。展示了预乘能量谱$k_x \phi _{u^* u^*}$的等高线表示，面板的标注与图20相同。虚线代表流向速度$k_x \phi _{uu}$的预乘能量谱的等高线，虚线-点线表示参考位置$y_O^*$。每个面板中的虚线红色线条表示$\lambda _x^+ = 50(y^*_O - y^*)$。图23展示了不同参考位置情况下普遍信号的等高线表示。这些普遍信号谱的等高线在靠近墙面的地方是相同的，只有随着$y_O^*$的增加而有所不同。然而，必须强调的是，如图23(d)所示，由于在较大的$y_O^*$下线性传递核的值较小，导致了数值不稳定性，因此靠近墙面的($y^* \lt 3$)的普遍信号没有显示出来（参见§4.4.1）。尽管如此，普遍信号在流向波数意义上的分布似乎是普遍的，它们在流向尺度和平行于墙面的长度上都显示出明显的相似性，表明即使参考位置不同，尺度分离也是相同的。Baars等人（参考文献Baars, Hutchins和Marusic2016）基于${\lambda _x^+}_T \equiv {\lambda _x^+} |_{\gamma _{\textit{filt}}^2 = 0.05}$定义了普遍信号的尺度分离，以替代用户定义的分离尺度${\lambda _x^+}_F = 7000$，但尽管有相似之处，这种尺度分离仍会随着参考位置的不同而有所变化。如图23所示，我们可以通过实验方法捕捉到参考位置变化对分离尺度的影响，其范围可以由(4.6) \begin{equation} \lambda _x^+ \lt 50(y^*_O - y^*) \approx {\lambda _x^+} |_{\gamma _{\textit{filt}}^2 = 0.05}, \end{equation} 来界定，这也为线性相干谱等于0.05的流向波长提供了一个近似值。这种由参考位置距离定义的尺度分离的经验形式（即$y^* - y^*_O$）表明，尺度分离点的变化与参考位置的距离有关，尽管这种关系并不十分显著。因此，大尺度影响的程度取决于距离参考位置的距离，但正如人们所预期的，较小尺度在平行于墙面的方向上仍然是相似的。图24进一步突出了普遍信号之间的细微差异，我们可以看到普遍信号的能量在平行于墙面的高度上相对于彼此的变化，其中较大的$y_O^*$在每个$y^*$处具有更高的能量比例。最终，这种差异并不十分显著，我们可以普遍认为，对于不同的参考位置，特别是靠近墙面的较小尺度，普遍信号的“普适性”是成立的，这些尺度在考虑$u^*$时更为重要和具有代表性。图24. 不同参考位置情况下的一维预乘能量谱，作为平行于墙面高度$y^*$的函数。图25. (a) 表4中案例的振幅调制系数剖面，相对于平行于墙面的高度$(y^* \gt 1)$。(b) 与(a)相同的数据，但采用对数尺度，以突出$\varGamma$在对数区域随着$y_O^*$增加而产生的差异。图4.4.3. 振幅调制——$\varGamma$ 图25显示了振幅调制系数，其中外层参考位置的变化导致了振幅调制系数的变化。从图25(a)可以看出，每个壁法线高度的振幅调制系数都明显大于参考位置较低的案例。使用对数尺度可以更好地显示$y^* \gt 10$的振幅调制系数之间的差异，如图25(b)所示。较大的$\varGamma$意味着普遍信号被叠加信号$u_S^+$的更大比例所乘，这表明振幅调制的强度在平行于墙面的方向上更高，对下方的信号有更大的影响。这与我们在§2.2中描述的物理视角相符，因为随着$y_O^*$的增加，参考速度信号与附着的涡旋的接触减少；因此，随着我们沿墙面向下移动，$\varGamma$在每个$y^*$处需要更大，以补偿附着涡旋能量之间的相对差异。对于特定的$y^*$，$y_O^*$越大，根据AEH，两个位置之间的附着涡旋能量差异越大，$\varGamma$也越大，以解释这种差异。值得注意的是，$\varGamma$剖面的变化表明，振幅调制机制在整个平行于墙面的方向上是连续发生的，其中靠近墙面的信号被上方所有信号积极调制和影响，即大尺度结构作为下方信号的调制信号。虽然在IOIM背景下，外层大尺度与靠近墙面的小尺度之间的这些相互作用可以描述为一个大尺度信号作为所有下方信号的调制信号，但更好的描述是外层大尺度信号与靠近墙面的小尺度之间的连续调制相互作用。图26. 表4中案例的振幅调制系数剖面，但是相对于$(y_O^* - y^*) / y_O^*$，即参考位置的无量纲距离，以对数尺度显示振幅调制系数。由于剖面的形状相似，这引出了一个明显的问题：在改变参考位置$y_O^*$时，是否存在一组统一的振幅调制系数，因为它们都来自同一组数据？图26展示了具有缩放的壁法线坐标的振幅调制系数。采用与外部壁法线缩放相同的概念，我们使用从外部参考位置开始的分数距离$(y^*_O - y^*) / y^*_O$，从而很好地合并了振幅调制系数剖面。这种成功的缩放与AEH很好地吻合，在那里距离参考位置的距离影响了$\varGamma$，附着的涡旋数量也与距离相关。这增加了IOIM框架的鲁棒性，当我们改变具有相同流动参数的湍流输入位置时，我们不再需要校准另一组振幅调制系数，这通常是由于寻找$\varGamma$的迭代性质而计算成本最高的过程。我们必须注意，当$(y^*_O - y^*) / y^*_O$较小时，即接近已知信号时，振幅调制系数的差异并不显著。对数尺度轴夸大了差异，这些差异的数量级为$10^{-3}$，在实践中对预测影响不大。尽管如此，图26进一步展示了IOIM框架的强度，即使对于相同的流动，我们知道不同的参考位置，我们也可以在没有找到另一组振幅调制系数的情况下做出可信的预测，这得益于已知线性传递核的存在。总体而言，鉴于普遍信号的相对普适性和振幅调制系数的合并，IOIM在不同参考位置下显示出高度的鲁棒性。虽然线性传递核剖面随着$y^*_O$的变化而变化，但在其他参数上的相对相似性说明了即使在输入变化时，IOIM框架的强度。图4.5. 固定参考位置 在前一节§4.4中，我们改变了一个流动案例的参考位置$y^*_O$，这导致了线性传递核剖面和振幅调制系数的显著变化。特别是，线性传递核的变化类似于之前观察到的由于雷诺数效应引起的变化。这自然引出了一个问题：观察到的趋势是由于外部参考位置的变化$y_O^+ = 3.9 \textit{Re}_\tau ^{({1}/{2})}$造成的，而不是雷诺数的变化。为了进一步研究参考位置对IOIM及其参数的影响，接下来我们将参考位置固定为大约$y_O^* \approx 117.6$，如表5所示。表5. 外部参考位置设置为$y_O^*_{O, \textit{const.}} \approx 117.6$的案例，根据DNS网格大小进行了调整。案例用下标$_{\textit{const.}}$标记，以指示差异，其中偏差表示与原始外部参考位置$y_O^* = 3.9 {\textit{Re}_\tau ^*}^{({1}/{2})$的百分比变化。图4.5.1.线性传递核 – $\widetilde {H}_L$：图中显示了在最大内尺度波长下，具有恒定参考位置的情况下线性传递核的幅度，这些情况下它们之间的相似性增加，不可压缩的情况彼此趋同。此外，高雷诺数的可压缩流动案例（Ma08Re783 $_{\textit{const.}}$ 和 Ma15Re773 $_{\textit{const.}}$）也与不可压缩的轮廓非常接近，可压缩性略微改变了它们的轮廓。低雷诺数的可压缩流动案例中，与标准参考位置的偏差最大（约50%），产生的轮廓幅度较小。它们的相对较低雷诺数可能是由于缺乏足够的尺度分离，无法进行真正的比较。图27展示了在最大内尺度波长 ${\lambda _x^+}_{\textit{max}}$ 下，具有恒定参考位置的情况下的线性传递核幅度。通过使用具有恒定参考位置的线性传递核，可以很容易地消除线性传递核中观察到的任何雷诺数趋势，特别是对于不可压缩流动案例。另一方面，可压缩性效应仍然很难具体量化和消除，以便将轮廓恢复到不可压缩对应的情况。4.5.2. 通用信号 – $u^*$：然后图28展示了表5中案例的通用信号。与传统参考位置的去趋势信号（见图9和11）相比，通用信号在预乘能量谱方面显示出显著的相似性，并且充分提取了小尺度信息。我们注意到，一些与标准参考位置偏差较大的案例（例如Ma15Re394 $_{\textit{const.}}$ 在 $y^* = 3$ 附近和 Ma30Re396 $_{\textit{const.}}$ 在 $y^* = 9$ 附近）在数值稳定性上略有不足，它们的通用信号不够精细。这可能是由于缺乏足够的尺度分离，加上与通常的外光谱峰值参考位置的偏差较大。因此，在选择外参考位置时，不应偏离 IOIM 框架典型的 $y^*_O = 3.9 {Re^*_\tau }^{({1}/{2})}$，以使其发挥最大能力。图29展示了一维预乘能量谱，与图10和12类似，我们继续发现不可压缩流动和可压缩流动的小尺度之间存在相似性。即使没有如图29(a)所示的外参考位置缩放，通用信号所占能量的比例也非常相似。在图29(b)中，我们看到在壁法线坐标缩放后，之前观察到的趋势仍然相似。一般来说，参考位置对 IOIM 参数的影响最小，进一步表明从 IOIM 框架中提取的不可压缩流动和可压缩流动的小尺度之间存在相对相似性。图28显示了表5中具有恒定参考位置的案例的通用信号预乘能量谱 $k_x\phi _{u^*u^*}$：(a) Re547 $_{\textit{const.}}$，(b) Re934 $_{\textit{const.}}$，(c) Re2003 $_{\textit{const.}}$，(d) Ma08Re384 $_{\textit{const.}}$，(e) Ma08Re783 $_{\textit{const.}}$，(f) Ma15Re394 $_{\textit{const.}}$，(g) Ma15Re773 $_{\textit{const.}}$ 和 (h) Ma30Re396 $_{\textit{const.}}$。图29展示了一维预乘能量谱，对于具有恒定参考位置的案例：(a) 作为壁法线高度 $y^*$ 的函数，按总能量缩放；(b) 作为缩放后的壁法线高度 $y^* / y^*_O$ 的函数，同样按总能量缩放。虚线为 (4.2)，其中参数再次为 $A = 0.99$ 和 $B = 7.5$，与图10(b) 和 12(b) 类似。4.5.3. 幅度调制 – $\varGamma$：最后，图30展示了幅度调制系数。我们观察到，尽管雷诺数不同，但可压缩流动在 ${\textit {Ma}}_b = 0.8$ 和 $1.5$ 时达到了相当相似的 $\varGamma$ 轮廓，这表明可压缩流动案例的幅度调制系数对雷诺数的依赖性可以很容易地消除。然而，对于不可压缩流动案例来说，这是无法实现的，这对可压缩案例轮廓的趋同提出了疑问。此外，不可压缩流动案例的雷诺数远大于可压缩流动案例的雷诺数。在更高雷诺数下，可压缩流动的 $\varGamma$ 表现出更大的大尺度影响，目前观察到的轮廓趋同可能并不具有普遍性。Re547 $_{\textit{const.}}$ 和 Re934 $_{\textit{const.}}$ 的幅度调制轮廓，其雷诺数与可压缩案例更为接近，因此相当相似。最终，通常建议将外参考位置保持为 $y^*_O = 3.9Re^{({1}/{2})$，以避免在尺度分离过程中出现任何数值不稳定，正如本节和前几节中所见的，其对 IOIM 参数的影响无法轻易量化。图30显示了表5中具有恒定参考位置的案例的幅度调制轮廓。4.6. 可压缩性和密度变化考虑：除了 IOIM 的参数外，阻碍 IOIM 普适性的一个方面是在§4开头描述的可压缩速度波动的缩放。在整个研究中，我们使用了密度加权速度波动 $\sqrt {\rho }u''$，以试图解释可压缩流动案例中的密度变化。即使在亚音速范围内，我们也可以观察到显著的可压缩性效应，$\varGamma$ 和 $\widetilde {H}_L$ 的行为与其不可压缩对应物有显著不同。随着可压缩性的增加，相应的密度变化也增加，不可压缩 IOIM 参数与可压缩 IOIM 参数之间的差异也随之增加。虽然小尺度运动在两种流动状态下的相似性很高，如 $u^*$ 的强烈类似性所示，但直接涉及 LSMs 及其效应的参数也表现出更大的差异。此外，我们对所有可压缩流动案例都采用了半局部缩放，因为长期以来它被认为是最有效的壁法线缩放方式（参考文献 Trettel 和 Larsson2016）。为了进行彻底调查，我们还独立研究了内部和外部缩放对可压缩性效应的影响，以全面评估不同的缩放方式，但我们验证了当前结论不受不同缩放的影响，观察到了相同的 ${\textit {Ma}}_b$ 效果。半局部缩放仍然是最合适的，尤其是在与不可压缩流动范围内的案例相比时。最终，非普适性的一个可能原因可以追溯到速度波动的 $\sqrt {\rho }u''$ 缩放，在 IOIM 框架中，它无法完全解释密度变化。虽然这个主题远远超出了 IOIM 的范围，但可压缩速度波动的缩放仍然是一项重要的工作，并且有很大的改进空间。随着 ${\textit {Ma}}_b$ 的增加，这种缩放似乎会发生变化（参考文献 Huang, Duan 和 Choudhanri2022），这导致了在§4.2中使用更高 ${\textit {Ma}}_b$ 的通用信号时对不可压缩波动预测的偏差。适当的缩放可能有助于统一不可压缩和可压缩流动中的 IOIM 参数，当然，这将对更大的普适性论点产生重要影响。在本研究中，我们看到随着可压缩性的增加，参数通常会被削弱。未来的缩放需要“提升”这些参数值，这可能有助于恢复不可压缩 IOIM 参数的趋势。5. 结论性评论：我们将 IOIM 框架应用于不可压缩和可压缩范围内的各种典型壁面边界湍流流动。我们仔细研究了具有不同马赫数（$0.8 \leqslant {\textit {Ma}}_b \leqslant 3$）和雷诺数（$140 \leqslant \textit{Re}_\tau ^* \leqslant 2003$）的案例参数，以观察是否存在趋势，并通过经验方法进行了量化。虽然先前的研究表明 IOIM 的参数是普遍的，但我们发现其大多数参数随流动参数的变化而大幅变化。IOIM 框架最初设计用于通过幅度调制机制捕捉大尺度效应及其与小尺度之间的关系，这需要足够的雷诺数（$\textit{Re}_\tau \approx 2000$）。然而，该框架在较低的 $\textit{Re}_\tau$ 下仍然能够在数值上捕捉涉及的机制，尽管引入了可压缩性。我们还提供了 AEH 与 IOIM 框架参数之间的联系。从这个角度来看，可以将幅度调制系数视为 VLSMs、LSMs 和附着涡旋的相对强度，当我们接近壁面时，粘性主导的近壁涡旋也会发挥作用，影响幅度调制系数。$\varGamma$ 轮廓似乎基于经验均值，可以通过上述物理结构来解释，这些结构补偿了不同涡旋存在的变化以及大尺度相干信号 $u_S^+$ 的减少。随着可压缩性的引入，这种轮廓进一步变化，随着 ${\textit {Ma}}_b$ 的增加，幅度调制机制减弱。然而，尚未发现不可压缩和可压缩 $\varGamma$ 轮廓之间的明显联系，因此应该对幅度调制机制或从我们的另一种角度来看两种流动状态之间的不同湍流结构进行进一步研究。不可压缩和可压缩流动案例之间幅度调制机制的差异也对 Morkorvin 在1962年的断言构成了挑战，即“这些超音速剪切流动的本质动力学将遵循不可压缩模式”（参考文献 Bross, Scharnowski 和 K?hler2021）。幅度调制机制是壁面边界湍流中的一个普遍机制，但它仍然表现出明显的不同 $\varGamma$ 轮廓，其中我们可以断言强烈的内在可压缩性效应区分了不可压缩和可压缩流动。对已知参考位置 $y_O^+$ 的变化的研究进一步加强了我们在§2.2中提供的物理视角，其中 $\varGamma$ 随着 $y_O^+$ 的增加而增加，以补偿我们接近壁面时涡旋的增加。基于从 $y_O^+$ 的距离标准化，$\varGamma$ 轮廓的 collapse 也强化了这一物理观点。线性传递核也显示出可压缩性的影响，它减少了壁法线方向的能量传递，这与其他关于可压缩性效应及其对能量传递的抑制的独立研究结果一致。在任何共享的内尺度流向上，也发现低雷诺数流动具有更大的叠加信号比例。虽然先前的研究表明 $\widetilde {H}_L$ 基于视觉评估是普遍的，但这项研究强调了随着流动参数的变化，轮廓之间的定量差异，其中可以观察到可压缩性效应。从通用信号来看，我们发现可压缩和不可压缩流动状态下的近壁动力学具有高度相似性。通过调整和规范流动的总能量，我们发现通用信号在不可压缩和可压缩流动中占总能量的比例相似，如(4.2)所示。即使我们从亚音速范围过渡到超音速范围，通用信号仍然遵循这一经验关系。它们的 PDF 也具有相对相似性，特别是在近壁区域，进一步强化了 IOIM 的通用信号与粘性主导的近壁脱落涡旋之间的联系。这种小尺度的普遍性概念早已确立，基于 SLSE 的大尺度和小尺度的分解在某种程度上是有效和稳健的，如使用从可压缩流动案例校准的通用信号预测不可压缩流动案例所示。在本研究中，尽管由于计算资源的限制，我们仅捕获了经验趋势，但未来的缩放需要“提升”这些参数值，这可能有助于恢复不可压缩 IOIM 参数的趋势。此处使用的低至中等雷诺数数据无法在整个流动范围内得出完全全面的、具有普遍适用性的结论，但仍然为IOIM框架的优势和劣势提供了依据。为了进一步验证所发现的关系，必须将IOIM框架应用于更高雷诺数和马赫数的数据，这将有助于研究IOIM框架及其参数的 robustness（鲁棒性）。此外，本研究尚未从实验上捕捉到马赫数对波动幅度调制系数的影响，这也是进一步提升IOIM框架普遍适用性的关键工作。尽管如此，当前状态的IOIM框架在其参数上在不可压缩流动和可压缩流动之间存在显著差异，需要进一步修改以避免这两种流动状态之间的矛盾。

致谢
作者感谢Baars（参考文献Baars2020）提供的数据支持。

资助
本工作得到了国家自然科学基金（项目编号12422210）的支持。J.E.K.I.S. 感谢香港特别行政区（HKSAR）政府研究资助委员会（RGC）提供的香港博士奖学金计划（项目编号PF22-79233）的资助。L.F. 还感谢RGC提供的资金支持，包括RGC/ECS项目（项目编号26200222）、RGC/GRF项目（项目编号16201023）、RGC/STG项目（项目编号STG2/E-605/23-N）、RGC/TRS项目（项目编号T22-607/24N），以及广东省基础与应用基础研究基金（项目编号2024A1515011798）的资助。

利益声明
作者声明没有利益冲突。

数据公开声明
本文中的数据可应要求提供。

图31：表格1中列出的不可压缩流动情况下的未过滤线性传递核曲线，即在BMF（边界模态函数）操作之前的情况，即在较短波长处将传递增益降至零，并在最长波长处将传递增益缩放为1。

图32：表格2中列出的可压缩流动情况下的未过滤线性传递核曲线，即在BMF操作之前的情况，即在较短波长处将传递增益降至零，并在最长波长处将传递增益缩放为1。

附录A：域大小对线性传递核$\widetilde {H}_L$的影响
读者可能会注意到，在较大的壁面法向坐标和较短的波长处，线性传递核存在一些凸起和拐点，这在可压缩流动情况中更为明显（见图5）。与不可压缩流动情况下的线性传递核相比，这些凸起和拐点不太显著，有人可能会质疑这是否是引入可压缩性的额外结果，我们希望澄清这一点，以免误导读者。这些观察到的凸起和拐点主要是由于$\pm 25\,\%$ 的BMF数值平均操作导致的，该操作在足够小的波长处将传递增益强制降为零，并且在较短的波长处增益因子不一致，同时在最长波长处将增益缩放为1。一些不连贯的波动会传递到条件输出中，正如Baars等人（参考文献Baars, Hutchins 和 Marusic2016）所描述的那样，在较短的波长处逐渐显现，这可以从未过滤的线性传递核曲线中看到。图31和图32分别显示了不可压缩流动和可压缩流动情况下的未过滤（或原始）线性传递核曲线。由于可压缩流动情况下流向域的限制，有时不会完全将传递增益降至零，从而导致这些不自然的拐点或凸起。虽然这些现象不影响IOIM框架的整体结构，但我们认为扩大流向域可以解决这个问题，并且这些点没有物理含义。大多数不可压缩流动情况的流向域都比可压缩流动情况更大；因此，在可压缩情况下这些现象更为明显。在Re2003不可压缩流动案例中，我们确实观察到了一个小的凸起，但由于其流向域$4\pi h$小于其他不可压缩案例，而这个凸起与可压缩流动案例中的凸起相同，这表明域大小是造成这一现象的原因。建议未来使用IOIM框架的用户，如果可能的话，应采用更大的域大小来避免这些数值问题。