帕克螺旋对反射驱动湍流的影响

《Journal of Plasma Physics》：The influence of Parker spiral on the reflection-driven turbulence

　　摘要：观测发现，太阳风在穿过日球层时会经历显著的加热过程，其测量得到的温度分布超出了由绝热冷却所预期的范围。这种加热的一个合理来源是反射驱动的湍流（Reflection-Driven Turbulence，简称RDT），在这种湍流中，背景阿尔文速度的梯度部分反射了向外的阿尔文波，从而引发了相互作用的逆向波动，这些波动通过湍流过程被耗散。以往的RDT模型假设存在一个径向的背景磁场，但已知在较大的半径范围内，行星际磁场会扭曲成帕克螺旋结构（Parker Spiral，简称PS）。在本文中，我们将RDT现象学推广到包括PS的情况，使用三维扩展盒磁流体动力学（magnetohydrodynamic，简称MHD）模拟来验证这些理论，并将结果与径向背景磁场的情况进行比较。我们认为，在PS几何结构中，RDT的动态过程总体上是相似的，但控制尺度发生了变化：随着方位角磁场的增强，它会“切割”那些垂直拉伸的、类似煎饼状的涡旋，从而产生与磁场垂直的更小尺度的外层涡旋。因此，在PS几何结构中，外层尺度的非线性转换时间随着日心距离的增加而减缓，减弱了径向背景模型中观察到的级联过程“冻结”成准静态、由磁场主导的结构的趋势。这使得系统能够将更多的波动能量以热的形式耗散掉，同时也意味着湍流在更大的日心距离范围内仍然保持高度不平衡状态（即具有较高的归一化交叉螺旋度）。我们通过详细描述湍流的特性（例如谱线、波动反转和压缩分数）来补充我们的加热结果，为一套具体的预测提供依据，以便与航天器观测数据进行比较。

1. 引言：太阳日冕和太阳风的温度及速度分布无法完全用帕克（Parker）简单的等温流体动力学模型来解释（参考文献Parker1958）。关于提供所需能量的机制仍存在争议（参见De Moortel & Browning 2015；Cranmer, Gibson & Riley 2017；Chandran 2021）。一个突出的观点是，光球层中的运动会向开放磁通管中发射阿尔文波。这些波向外传播并在过程中耗散，从而加热等离子体（参见De Pontieu 2007；Cranmer 2009），既提高了等离子体温度，也增加了磁压力或波压力，从而促进了风速的加速（参见Tu 1987；Cranmer et al. 2007）。早期航天器的观测数据（Belcher & Davis 1971；Tu & Marsch 1995）以及对这些数据的后续综述（Bruno & Carbone 2013）证实了阿尔文波动在快速太阳风流中普遍存在。最近的原位数据表明，大振幅的阿尔文波能够为日冕加热和风速加速提供大量能量（参见Halekas et al. 2023；Rivera et al. 2024）。然而，一个根本的理论限制是，在均匀介质中，单向传播的阿尔文波不会发生非线性相互作用，因此它们自身无法维持一个能够耗散能量的湍流级联过程（参见Kraichnan 1965；Barnes & Hollweg 1974）。在太阳风中，由于背景阿尔文速度梯度导致的外向波的部分反射，可以产生逆向波动，这一过程被称为“反射驱动的湍流”（RDT）（参见Velli, Grappin & Mangeney 1989；Velli 1993；Matthaeus et al. 1999；Verdini & Velli 2007）。数值和分析模型表明，这种机制可以提供维持快速太阳风流所需的大部分热量（参见Chandran & Hollweg 2009；Verdini, Velli & Buchlin 2009；Chandran & Perez 2019；Chandran 2021）。我们注意到，当考虑可压缩性时，参数衰减不稳定性也可以从有限振幅的阿尔文波中产生逆向和可压缩的波动，尽管这一机制在太阳风湍流演化中的相对重要性仍有争议（参见Malara, Primavera & Veltri 2000）。大多数太阳风湍流模型，特别是RDT模型，为了简化问题而假设存在一个纯径向的背景磁场。在阿尔文点之外，太阳风速度等于阿尔文速度的地方，太阳的自转将磁场扭曲成众所周知的帕克螺旋结构（PS）（参见Parker 1958；Weber & Davis 1967）。靠近太阳时，螺旋角度非常小，但在大约0.3到1个天文单位之外的范围内，方位角分量变得显著，它可能改变波的传播和非线性耦合（参见Verdini, Velli & Buchlin 2008；Owens & Forsyth 2013；Verdini et al. 2018）。本文的目的是量化PS几何结构如何改变RDT及其在超阿尔文太阳风中引起的加热过程。我们认为，由于PS的存在，标准Dmitruk等人（1992）提出的RDT现象学的特征尺度在垂直和平行方向上的演化受到了平均场方向的影响。然后我们使用扩展盒模型（Expansion-Box Model，简称EBM，参见Grappin, Velli & Mangeney 1993）来研究这一现象，追踪一个向外输送的小等离子体团块，进行了一组三维可压缩磁流体动力学（MHD）模拟，这些模拟初始化时包含了以向外为主导的$\boldsymbol{z}^+$波动。我们发现，在PS几何结构中，RDT的规律仍然大体上是有效的——相同的反射驱动动力学在起作用，但控制尺度发生了变化。垂直方向的扩张将涡旋拉伸成类似煎饼的结构，而增长的方位角磁场相对于这些煎饼结构发生旋转，因此“切割”了它们；这种几何变化产生了比径向情况下更小的有效垂直尺度。结果，两个横向相关长度的演化方式不同，PS背景下的有效垂直外层尺度趋于饱和，而不是无限增长。这导致扩展到非线性的比率（称为$\chi_{\textrm {exp}}$）增长速度减慢，系统保持在一个持续的、不平衡的非线性状态。相比之下，在径向几何结构中，垂直尺度随扩张而增长，$\chi_{\textrm {exp}}$减小，级联过程可能停止，留下一个主要由磁场主导的状态，伴随的加热很少。本文的结构如下：第2节我们发展了湍流演化的理论框架，并介绍了本研究使用的可压缩扩展盒MHD模型。我们扩展了Dmitruk等人（1992）提出的简单反射驱动现象学，展示了PS几何结构如何改变反射、投影的垂直尺度以及由此产生的非线性时间尺度。第3节我们总结了数值方法，列出了关键参数和分辨率选择，并指定了模拟中使用初始条件。第4节我们通过检查向外/向内的能量演化、归一化交叉螺旋度和竞争的非线性及扩张时间尺度来测试第2节中的理论预期，这些诊断指标与现象学结果大体一致。第5节探讨了其他各种诊断指标，以与观测数据进行比较，报告了交叉螺旋度和剩余能量的参数演化、波动反转统计、磁压缩性以及与航天器测量的合成飞掠轨迹的比较结果。最后，第6节总结了主要结果，并讨论了它们对现有理论和原位观测的影响。

2. 理论框架：在本节中，我们构建了一个理论模型来描述太阳风扩张和大规模磁场几何结构如何塑造阿尔文湍流。我们引入了扩展盒形式主义来捕捉横向扩张对场及其尺度的影响（参见Grappin, Velli & Mangeney 1993），并用Els?sser变量来明确表示反射驱动的耦合关系。在此基础上，我们概述了RDT并推导了Dmitruk等人（1992）提出的衰减现象学，将其扩展到包括PS的情况。这一框架不仅为后续开发的模拟和诊断提供了依据，也为我们的模拟提供了可检验的预测。

2.1 反射驱动湍流的控制方程：太阳风的湍流演化受到反射和非线性相互作用之间的相互作用的影响。为了模拟阿尔文临界点之外的区域（在那里流动变得超阿尔文），我们采用了扩展盒模型（EBM，参见Grappin et al. 1993），该模型近似了太阳风在与恒定径向流速$U$共同移动的笛卡尔坐标系中的球形扩张。将$x$轴与径向对齐，EBM引入了一个扩张因子$a(t) = R(t)/R_0$，其中$R(t) = R_0 + Ut$是某个初始值$R_0$的日心距离，并将空间梯度修改为$\tilde {\boldsymbol{\nabla}} = (\partial_x, a^{-1}\partial_y, a^{-1}\partial_z)$，即$x$（径向）保持不变，而$y$和$z$（方位角/法向）被拉伸。这里，$\dot{a} = U/R_0$是由于$U$产生的恒定扩张率。在这个框架中的控制MHD方程如下：
$$\begin{align}
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \tilde {\boldsymbol{\nabla}} \boldsymbol{\cdot}(\rho \boldsymbol{u}) &= -2\frac{\dot{a}}{a}\rho, \\
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u} \boldsymbol{\cdot}\tilde {\boldsymbol{\nabla}}) \boldsymbol{u} &= -\frac{\tilde {\boldsymbol{\nabla}} p}{\rho} + \frac{(\boldsymbol{B} \boldsymbol{\cdot}\tilde {\boldsymbol{\nabla}})\boldsymbol{B}}{4\pi \rho} - \frac{\dot{a}}{a} \mathbb{T} \boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{u} + \mathcal{D}_{u}, \\
\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} + (\boldsymbol{u} \boldsymbol{\cdot}\tilde {\boldsymbol{\nabla}}) \boldsymbol{B} &= (\boldsymbol{B} \boldsymbol{\cdot}\tilde {\boldsymbol{\nabla}}) \boldsymbol{u} - \frac{\dot{a}}{a} \mathbb{L} \boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{B} + \mathcal{D}_{B},
\end{align}
$$
其中$\mathbb{T} = \text{diag}(0,1,1)$和$\mathbb{L} = \text{diag}(2,1,1)$分别表示角动量守恒和磁通量冻结的各向异性阻尼（这里的diag表示具有指定值的对角矩阵），而$\mathcal{D}_{u}$和$\mathcal{D}_{B}$是在小尺度上起作用的耗散（粘性和电阻）项。在真实的太阳风中，它们对应于动力学阻尼过程，在模拟中它们主要代表网格尺度附近的显式和数值耗散。我们假设一个局部等温的状态方程$p = c_s^2 \rho$，其中$p$是热压，$c_s$是声速，$\rho$是等离子体密度。所谓“局部等温”，是指在模拟的任何给定时间点，计算域内的温度在空间上是均匀的。然而，这并不意味着温度随日心距离保持恒定。相反，我们允许温度（以及$c_s$）随$a$的变化而变化，以再现扩张气体的冷却过程。特别是，声速随扩张而变化，表现为$c_s \propto a^{-2/3}$，这代表了太阳风在扩张过程中的冷却。因此，局部等温近似在简化热力学的同时，捕捉了背景热演化，并在每个时间步长上强制温度空间均匀性。图1展示了太阳风中一个扩张等离子体团的示意图。（顶部）扩展盒的几何结构，其轴与径向（$x$）、方位角（$y$）和法向（$z$）方向对齐。太阳风最初径向向外流动，而盒子横向扩张。平均磁场$\bar {\boldsymbol{B}$（绿色）在太阳附近是径向的，但随着$a(t)$的增加，它旋转成一个角度为$\varPhi$的PS，使得$B_y/B_x \sim a(t)$。波矢$\boldsymbol{k}$以角度$\vartheta$相对于$\bar {\boldsymbol{B}$显示，其中方位角（$k^{(Y)}$）和法向（$k^{(Z)}$）分量被标出。（底部）比较了（a）纯径向扩张和（b）PS扩张下的涡旋演化。在径向情况下，垂直尺度$\ell_\perp$随扩张均匀增长。在PS情况下，平均场的旋转改变了$\ell_\perp$，产生了涡旋的三维各向异性。我们将$y$轴与黄道的方向对齐，因此在PS存在的情况下，平均磁场同时具有径向（$x$）和方位角（$y$）分量，即${\bar {\boldsymbol{B}} = {B_x} \hat {\boldsymbol{x}} + B_y\hat {\boldsymbol{y}}$。我们用$\langle \boldsymbol{\cdot }\rangle$表示共动扩张域上的空间平均值，用$\delta (\boldsymbol{\cdot })\equiv (\boldsymbol{\cdot })-\langle (\boldsymbol{\cdot })\rangle$表示相对于平均值的波动。特别是，平均磁场为 $\bar {\boldsymbol B}=\langle \boldsymbol{B}\rangle$，我们定义相应的单位向量 $\hat {\boldsymbol b}=\bar {\boldsymbol B}/\lvert {B}\rvert$。从 $\hat {\boldsymbol b}$ 出发，我们通过以下公式形成一组正交标准基 $(\hat e_\parallel ,\hat e_T,\hat e_N)$（见图1）：$\begin{align} \hat e_\parallel &= \hat {\boldsymbol b}, \quad \hat e_T = \frac {\hat {\boldsymbol z}\times \hat {\boldsymbol b}}{\lvert \hat {\boldsymbol z}\times \hat {\boldsymbol b}\rvert }, \quad \hat e_N = \hat e_\parallel \times \hat e_T=\hat {\boldsymbol z}. \end{align}$。这个基组中的磁场分量为 $\begin{equation} B_\parallel =\boldsymbol{B}\boldsymbol{\cdot }\hat e_\parallel ,\qquad B_T=\boldsymbol{B}\boldsymbol{\cdot }\hat e_T,\qquad B_N=\boldsymbol{B}\boldsymbol{\cdot }\hat e_N. \end{equation}$。由于膨胀效应，等离子体的平均量会随时间变化。磁场分量遵循以下规律：$B_x = B_{x0}/a^2$、$B_y = B_{y0}/a$ 和 $B_z = B_{z0}/a$，而密度变化为 $\rho = \rho _0/a^2$，其中下标 0 表示 $t = 0 (a = 1)$ 时的值。阿尔芬速度（Alfvén velocity）的计算公式为 $\begin{equation} \boldsymbol{v}_{\textrm {A}} \equiv \frac {{\bar {\boldsymbol B}}}{\sqrt {4\pi \rho }} = \frac {v_{\textrm {A0},\textit {x}}}{a} \hat {\boldsymbol x} + {v}_{\textrm {A0},\textit {y}} \hat {\boldsymbol y}, \quad {v}_{\textrm {A0},\textit {x}} = \frac {B_{x0}}{\sqrt {4\pi \rho _0}}, \quad {v}_{\textrm {A0},\textit {y}} = \frac {B_{y0}}{\sqrt {4\pi \rho _0}}, \end{equation}$，这意味着径向分量 ${v}_{\textrm {A},\textit {x}}$ 会随膨胀而减小，而 ${v}_{\textrm {A},\textit {y}}$ 保持不变。基于这些缩放关系，帕克角（Parker angle）$\varPhi$ 可以表示为 $\begin{equation} \tan \varPhi = \frac {\langle {B}_y\rangle }{\langle {B}_x\rangle } \; =\; a \frac {{B}_{y0}}{{B}_{x0}}\propto a, \end{equation}$，这表明如果初始背景磁场具有非零的横向分量，随着系统的膨胀，它将逐渐偏离径向。这是局部区域中PS场（PS field）的体现。为了发展我们的现象学模型，我们假设密度 $\rho$ 在局部是恒定的，并且流动是不可压缩的（$\tilde {\boldsymbol{\nabla }} \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{u} = 0$）。这使我们能够简化方程，并专注于主要是阿尔芬波（Alfvén waves）的波动。为了研究这些阿尔芬波的演化——特别是由平均阿尔芬速度梯度引起的反射现象——通常会用埃尔萨瑟变量（Els?sser variables）来重新表述MHD方程：$\boldsymbol{z}^\pm = \boldsymbol{u} \mp \boldsymbol{B}/\sqrt {4\pi \rho } = \boldsymbol{u} \mp \boldsymbol{b} \mp \boldsymbol{v_{\mathrm{A}}$（其中 $\boldsymbol{b} = \delta \boldsymbol{B}/\sqrt {4\pi \rho }$）。埃尔萨瑟形式主义（Els?sser formalism）很有用，因为它通过 $\boldsymbol z^+$ 和 $\boldsymbol z^-$ 的符号区分了沿着和垂直于背景场传播的波动，从而明确了相互抵消的阿尔芬波动之间的相互作用。结合动量方程（2.2）和感应方程（2.3），我们得到 $\begin{align} \frac {\partial \boldsymbol{z}^\pm }{\partial t} \pm \big( \boldsymbol{v}_A \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{\nabla }} \big) \boldsymbol{z}^\pm + \big( \boldsymbol{z}^\mp \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{\nabla }} \big) \boldsymbol{z}^\pm + \tilde {\boldsymbol{\nabla }} {p \prime }^\pm = -\frac {\dot {a}}{2a} \mathbb{T} \boldsymbol{\cdot }\left ( \boldsymbol{z}^+ + \boldsymbol{z}^- \right ) \nonumber \\ - \frac {\dot {a}}{2a} \left ( z_x^\pm - z_x^\mp \right ) \hat {\boldsymbol x} + \mathcal{D}^\pm , \end{align}$，其中 $\mathcal{D}^\pm$ 表示由粘性/电阻率引起的耗散效应，$\tilde{\boldsymbol{\nabla}}p'^\pm$ 确保 $\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{z}^\pm = 0$。我们设定平均磁场 $\bar {\boldsymbol B}$ 指向正的径向方向，因此在没有反射的情况下，$\boldsymbol z^+$ 波动会向外传播。

在像太阳风这样的膨胀介质中，阿尔芬波的振幅会因几何Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）效应以及真正的耗散作用（参见Heinemann & Olbert, 1980）而自然衰减。为了消除这种在（2.8）中通过右手边 $\boldsymbol z^\pm$ 项体现的简单演化，我们将埃尔萨瑟变量重新缩放（参见Chandran & Hollweg, 2009; Meyrand et al., 2025）：$\begin{equation} \tilde {\boldsymbol z}^\pm \;=\;a^{1/2}\,\boldsymbol z^\pm \;\propto \;\frac {\boldsymbol z^\pm }{\sqrt {\omega _{\textrm {A}}}, \end{equation}$，其中 $\omega _{\textrm {A}} = \boldsymbol{k} \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{v}_{\textrm {A}} = k_{x,0} (v_{\textrm {A0},\textit {x}}/a) + (k_{y,0}/a) v_{\textrm {A0},\textit {y}} \propto 1/a$ 是波数 $\boldsymbol k$ 的局部阿尔芬频率。这种变换隔离了真正重新分配和耗散波能量的物理过程——非线性级联和反射。在这个框架中几乎守恒的量是WKB波作用密度 $|\boldsymbol z^\pm |^2/\omega _{\textrm {A}}$，它在没有反射或非线性耦合的情况下保持不变。用 $\tilde {\boldsymbol z}^\pm$ 重写（2.8）可以消除所有由膨胀引起的衰减，得到（2.10）：$\dot {a}\frac {\partial \tilde {\boldsymbol{z}}^\pm }{\partial a} \pm \big( \boldsymbol{v}_A \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{\nabla }} \big) \tilde {\boldsymbol{z}}^\pm + {a^{-1/2}} \big( \tilde {\boldsymbol{z}}^\mp \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{\nabla }} \big) \tilde {\boldsymbol{z}}^\pm + \tilde {\boldsymbol{\nabla }} \tilde {p}' = -\frac {\dot {a}}{2a} \tilde {\mathbb{T}}\boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^\mp + \mathcal{\tilde {D}}^\pm$，其中 $\tilde {\mathbb{T}}= \textrm {diag} (-1,1,1)$。方程（2.10）明确显示了反射是如何从 $\boldsymbol z^+$ 波动中产生 $\boldsymbol z^-$ 波动的，而非线性相互作用由于 $a^{-1/2}$ 因子的作用会随时间减弱，但可以维持级联。方程（2.10）右手边的最后一项 $-(\dot {a}/2a)\tilde {\mathbb{T}}\boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^\mp$ 代表了与膨胀相关的各向异性反射效应。在径向场中，如果波动是垂直的，$\tilde z^\pm _x$ 可以忽略不计，主要的反射通过 $\tilde z_{y,z}^- \propto -\tilde z_{y,z}^+$ 发生，从而导致 $\langle \tilde {\boldsymbol{z}}^+ \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^- \rangle \lt 0$；其中 $\langle \tilde {\boldsymbol{z}}^+ \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^- \rangle /2 = (\langle \boldsymbol u^2\rangle -\langle \boldsymbol b^2\rangle )/2$ 是波作用残余能量 $\tilde E_{r}$。然而，如果存在大振幅的球形极化波动或倾斜的背景场，$\boldsymbol z_x^\pm$ 分量将会显著，因此还有 $\tilde z_x^- \propto \tilde z_x^+$ 的贡献。这种各向异性耦合可能会调节交叉相关 $\langle \tilde {\boldsymbol{z}}^+ \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^- \rangle$ 的增长，使得在PS配置中 $\lvert \langle \tilde {\boldsymbol{z}}^+ \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^- \rangle$ 的值系统性地较小。从物理上讲，这意味着在径向情况下，相互抵消的埃尔萨瑟场之间预期会有强烈的负相关性，而在PS几何结构中，各向异性反射项会减小 $\langle \tilde {\boldsymbol{z}}^+ \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^- \rangle$ 的幅度。

在MHD湍流中，能量在动能波动和磁场波动之间分配，非线性相互作用在不同尺度之间传递能量。波作用埃尔萨瑟能量密度由 $\tilde {E}^\pm \equiv \langle |\tilde {\boldsymbol{z}}^\pm |^2 \rangle / 4$ 定义。与均匀MHD不同，这些能量在太阳风膨胀过程中并不理想地守恒，因为反射根据相反方向波动之间的相关性充当能量源或汇。将演化方程（2.10）乘以 $\tilde {\boldsymbol{z}}^\pm$ 然后平均，得到（2.11）：$\dot {a} \frac {\partial }{\partial a} {\tilde {E}^\pm } = -\frac {\dot {a}}{4a} { \langle \tilde {\boldsymbol{z}}^+ \boldsymbol{\cdot }\mathbb{T} \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{z}}^- \rangle } + \frac {\dot {a}}{4a} \langle \tilde {z}_x^+ \tilde {z}_x^- \rangle + \mathcal{\tilde {D}}^\pm$，因为我们预期主要是阿尔芬波动，这些波动垂直于 $\bar {\boldsymbol B}$。在纯径向场的情况下，$\langle \tilde {z}_x^+ \tilde {z}_x^- \rangle$ 项可以忽略不计，因此能量演化简化为 $\dot {a} \, \partial \tilde {E}/\partial a = -(\dot {a}/2a) \tilde E_{r}$（参见Meyrand et al., 2025）。因此，反射根据残余能量 $\tilde E_{r}$ 的符号充当波作用能量的源或汇（注意波动能量的任何变化都由背景流动能量预算平衡；参见Chandran, Schekochihin & Mallet, 2015）。在没有耗散和外部驱动的情况下，$\tilde {E}^+ - \tilde {E}^-$ 通过波反射和对流的共同作用而守恒，因为相应的源项在 $+$ 和 $-$ 方程中是相同的，在相减后相互抵消；这使得这种差异成为真正的波作用不变量（参见Heinemann & Olbert, 1980）。在PS配置中，即使 $\boldsymbol z^\pm$ 主要垂直于 $\boldsymbol B$，$\ + \langle \tilde {z}_x^+ \tilde {z}_x^- \rangle$ 项也可能变得显著，我们从（2.10）中可以看出，它自然地受到成为 $\tilde {E}^\pm$ 能量源所需的相关性的驱动。

RDT现象学涉及考虑不同关键术语之间的平衡。将（2.10）简化为（2.12）是有帮助的：$\begin{equation} \dot {a}\frac {\partial \tilde {\boldsymbol{z}}^\pm }{\partial a} + \mathcal{L}^\pm \tilde {\boldsymbol{z}}^\pm + \mathcal{N}^\pm \tilde {\boldsymbol{z}}^\pm = - \mathcal{R}^\pm \tilde {\boldsymbol{z}}^\mp, \end{equation}$，其中 $\mathcal{L}^\pm = \boldsymbol{v}_A \boldsymbol{\cdot }\tilde{\boldsymbol{\nabla}}$ 表示阿尔芬波的传播，$\mathcal{N}^\pm = {\boldsymbol{z}}^\mp \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{\nabla }} = a^{-1/2} \tilde {\boldsymbol z}^\mp \boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol{\nabla }} \sim {z}^\mp /\ell _\perp$ 表示将衰减 ${z}^\pm$ 的非线性项（这里 $\ell _\perp$ 表示波动的垂直相关长度尺度，${z}^+$ 表示在尺度 $\ell _\perp$ 上向外传播的波动的特征幅度），反射表示为 $\mathcal{R}^\pm = -\dot {a} / 2 a \mathbb{\tilde T}$。与（2.12）中的术语相关的特征时间尺度可能有不同的缩放。沿着平均场的阿尔芬传播时间为 $\tau _{\textrm {A}} = \ell _\parallel /v_{\textrm {A}}$（$\ell _\parallel$ 是平行相关长度），而穿过场的非线性相互作用时间为 $\tau _{\textrm {nl}} = \ell _\perp /{z}^\mp$。$\tau _{\textrm {A}}$ 和 $\tau _{\textrm {nl}}$ 随着尺度变小而减小，因为它们直接依赖于沿平均磁场和穿过平均磁场的湍流结构的特征大小。相比之下，膨胀时间为 $\tau _{\textrm {exp}}= a/\dot {a}$，与尺度无关。遵循Meyrand等人（参见Meyrand, Squire, Mallet and Chandran, 2025）的定义，我们定义无量纲比率（2.13）：$\begin{equation} \chi _{\textrm {exp}} = \frac {\mathcal{N} }{\mathcal{R}} = \frac {\tau _{\textrm {exp}}}{\tau _{\textrm {nl}}}, \quad \chi _{\textrm {A}} = \frac {\mathcal{N} }{\mathcal{L}} = \frac {\tau _{\textrm {A}}}{\tau _{\textrm {nl}}，\end{equation}$，这些比率用于量化膨胀和阿尔芬传播与非线性相互作用之间的相对重要性（参见Goldreich & Sridhar, 1995）。这些比率将在控制膨胀太阳风中湍流级联的动态中起关键作用。标准现象学（参见Dmitruk et al., Matthaeus, Milano, Oughton, Zank and Mullan, 2002; Verdini & Velli, 2007; Chandran & Hollweg, 2009）通过平衡这些术语来建模湍流和加热，做了两个关键的假设。首先，对于 $\tilde {z}^-$（后向波）的传播和时间变化被假设为可以忽略，反射源（$\mathcal{R}^- \tilde {z}^+$）平衡了非线性汇（$\mathcal{N}^- \tilde {z}^-$）（2.14）：$\begin{equation} \mathcal{N}^- \tilde {z}^- \sim \mathcal{R}^- \tilde {z}^+\implies \tilde {z}^- \sim \frac {\mathcal{R}^- \tilde {z}^+}{\mathcal{N}^-} \sim \frac {\dot {a}}{2a}\frac {\tilde {z}^+}{({ z}^+/\ell _\perp )} = a^{1/2}\left (\frac {\dot {a}}{2a}\right ) \ell _\perp ，\end{equation}$，使用 $(\dot a/a)/(z^+ /\ell _\perp )=\chi _{\textrm {exp}}^{-1}$ 得到（2.15）：$\begin{equation} \tilde {z}^- \simeq \frac {\tilde {z}^+}{\chi _{\textrm {exp}}}\; \Rightarrow \; \frac {{z}^-}{{z}^+} \simeq \chi _{\textrm {exp}}^{-1} 。\end{equation}$ 这意味着当反射弱或非线性强时（$\chi _{\textrm {exp}} \gg 1$），$\tilde {z}^-$ 的幅度很小——即湍流高度不平衡。第二个假设涉及 $\tilde {\boldsymbol z}^+$ 的衰减。在 $\tilde z^+$ 方程中我们忽略了反射，因为 $\tilde z^-\ll \tilde z^+$。线性传播加热率 $\mathcal{Q}$ 表示向外传播模式 $\tilde {z}^+$ 中的能量被耗散的速率，可以通过使用 (2.11) 公式并乘以 $\rho V$ 来计算实际能量（参见 Perez 等人的参考文献 Perez, Chandran, Klein 和 Martinovi? 2021），其中 $V \propto a^2$ 表示域的体积。这得到了公式 (2.17)：
\begin{equation}
\mathcal{Q}= \frac {\dot {a}}{a} \frac {\partial }{\partial a} {(\rho \tilde {E}^+ a^2)} = \rho _0\frac {\dot {a}}{a} \frac {\partial }{\partial a} \frac {\langle |\tilde {\boldsymbol z}^+|\rangle ^2}{4} \approx \rho _0 \frac {\dot {a} \tilde {z}^+}{2a} \frac {\partial \tilde {z}^+}{\partial a} \approx \rho _0\frac {\dot {a}}{4 a^2} (\tilde {z}^+)^2,
\end{equation}
在这里我们忽略了残余能量，并使用 $\langle |\tilde {\boldsymbol z}^+|\rangle ^2 \approx (\tilde {z}^+)^2$（均方振幅）。第 2.3 节中的现象学预测 $\tilde {E}\propto a^{-1}$，这意味着单位体积的加热率 $\mathcal{Q}\propto a^{-3}$。转换为物理单位（物理体积 $\propto a^2$）后，单位物理体积的加热率为 $\mathcal{\tilde {Q}}\propto a^{-5}$。加热率 $\mathcal{Q}$ 代表了湍流能量通过粘性和阻力过程实际转化为热能的速率，而不是向外和向内传播模式之间能量的可逆重新分配。反射将 $\boldsymbol z^+$ 转换为 $\boldsymbol z^-$，反之亦然，非线性湍流级联将能量从大尺度传递到小尺度，但只有当级联达到耗散尺度时，能量才会不可逆地被移除并计入 $\mathcal{Q}$。在我们的模拟中，没有包含显式的粘性和阻力；相反，Athena++ 中的网格尺度上的数值耗散作为有效的耗散机制来捕捉级联过程。因此，率 $\mathcal{Q}$ 衡量了向外能量 $\tilde {E}^+$ 通过这种耗散过程被耗散的速度，这与由反射驱动的 $\boldsymbol z^+$ 和 $\boldsymbol z^-$ 之间的可逆能量交换有本质的不同。我们注意到，虽然在实际的太阳风等离子体中动力学效应可能占主导地位，但我们的 MHD 框架通过在网格尺度上的数值耗散来捕捉小尺度上能量移除的基本现象学。有趣的是，这个加热率不依赖于湍流的非线性率或尺度，因为较小的横向尺度 $z^+$ 会更快地耗散 $z^-$，较小的 $\ell _\perp$ 意味着对于相同的反射率 $\mathcal{R}$，$z^-$ 的振幅更小。这种较低的振幅随后抵消了来自 $z^-$ 较小尺度的增加的非线性率，从而导致耗散 $z^+$ 的总体效率相同。

RDT 框架基于以下假设，这些假设需要仔细审查：
首先，湍流提供的非线性耗散率是 ${z}^\mp /\ell _\perp$，这要求湍流较强（$\chi _{\textrm {A}} \sim 1$）才能有效（但也可以参见 Chandran 和 Perez（参考文献 Chandran 和 Perez 2019）中的弱湍流版本），这也导致了相同的缩放关系。
其次，现象学假设单一的主导尺度 $\ell _\perp$ 同时支配 $\tilde {z}^+$ 和 $\tilde {z}^-$；这个 $\ell _\perp$ 在加热率 $\mathcal{Q}$ 中被抵消了，但原则上 $\tilde {z}^+$ 和 $\tilde {z}^-$ 可以有不同的 $\ell _\perp$（实际上，Meyrand 等人（参考文献 Meyrand, Squire, Mallet 和 Chandran 2025）已经观察到了这一点）。
第三，需要异常的相干性，即 $\tilde {z}^-$ 由 $\tilde {z}^+$ 带动，以保持 $\tilde {z}^-$ 的平衡，并证明在我们的第一个假设中可以忽略 $(v_{\textrm {A}} \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{\nabla}$ 项。
第四，$\tilde {z}^-$ 必须比背景变化更快地调整到反射-非线性平衡状态；这个要求简化为 $\chi _{\textrm {exp}} \gtrsim 1$。
第五，$\tilde {z}^+$ 方程中的反射必须可以忽略（$\mathcal{R}^+ \tilde {z}^- \ll \mathcal{N}^+ \tilde {z}^+$），这也简化为相同的 $\chi _{\textrm {exp}} \gtrsim 1$ 条件。因此，这种现象学只有在足够大的振幅 $\tilde z^+$ 下才自洽，即 $\chi _{\textrm {exp}}\gg 1$，这意味着 $\tilde z^-\ll \tilde z^+$。因此，我们预期系统会在向外 Els?sser 能量衰减到 $\chi _{\textrm {exp}}\sim 1$ 时过渡到平衡状态。相反，当 $\chi _{\textrm {exp}} \lt 1$ 时，秩序会崩溃，反射变得占主导地位，(2.17) 中的动力学可能会恢复到反射主导（基本上是线性的）行为。在这种有径向 $\bar {\boldsymbol B}$ 的状态下，系统将演变为一个由磁场主导的平衡状态，其中 $\tilde {\boldsymbol z}^+ \simeq -\tilde {\boldsymbol z}^-$，并且 $\tilde {E}$ 随时间增长（参见 (2.11)）。非线性耗散被强烈抑制，因此湍流加热实际上会关闭（Meyrand 等人，参考文献 Meyrand, Squire, Mallet 和 Chandran 2025）。

这项工作的关键新贡献是将 RDT 现象学扩展到 PS 几何结构。我们认为，其背后的动力学与径向场中的动力学类似，但螺旋几何结构引入了一个关键的几何修改，影响了涡旋形状的演变。在纯径向场中，随着太阳风的膨胀，涡旋被沿着磁场方向垂直的方向拉伸，变得越来越像煎饼状：$\ell _\perp$ 增加而 $k_\perp$ 减小。这种拉伸迅速降低了非线性转换率，加速了 $\chi _{\textrm {exp}}= 1$ 的到来。然而，由于 PS 使平均磁场偏离纯径向，它有效地改变了涡旋结构相对于膨胀的拉伸方式。这种旋转导致磁场“切割”涡旋的不同部分，因此涡旋不再保持与局部平均场的完美平行状态，而是发展出三维的、各向异性的外尺度形状。图 1 展示了这种物理现象的示意图。为了捕捉这种各向异性变形，我们使用局部正交基 $(\hat {e}_\parallel , \hat {e}_T, \hat {e}_T)$ 来定义两个横向外尺度 $\ell _{\perp ,\textrm {T}}$ 和 $\ell _{\perp ,\textrm {N}}$，它们分别表征了沿 $\hat {e}_T$ 和 $\hat {e}_N$ 的湍流涡旋尺度。然后，非线性相互作用时间预计将由这两个横向尺度中的较小者决定（2.18）：
\begin{equation}
\tau ^\pm _{\textrm {nl}} \sim \frac {\min (\ell _{\perp ,\textrm {T}},\; \ell _{\perp ,\textrm {N}})}{{z}^\mp }.
\end{equation}
随着 $\ell _\perp (a)$ 随 $a$ 的增加而开始变平甚至减小，这降低了外尺度的非线性时间尺度 $\tau _{\textrm {nl}}$。因此，这有助于保持 $\chi _{\textrm {exp}}$ 足够大，以延长不平衡级联的时间。通过这种方式，旋转和膨胀之间的竞争意味着 PS 几何结构防止了涡旋无限期地变得扁平成煎饼状，从而在太阳风更远的地方维持湍流和加热。为了量化这种直觉，我们将在一个简化的假设下计算——即外尺度随背景流动线性演化——波动倾斜度、投影波矢角度、垂直波数 $k_\perp$、非线性时间 $\tau _{\textrm {nl}}$ 以及因此的 $\chi _{\textrm {exp}}$ 随膨胀如何演变。对于 $z^+$ 的演变，我们采用了上述相同的观点，即 $\tilde {z}^+\propto a^{-1/2}$。这是由于反射虽然在 $x$ 方向上符号不同，但在所有方向上的幅度相同。Squire 等人（参考文献 Squire, Johnston, Mallet 和 Meyrand 2022）之前在回波背景下探讨了相关效应。定义以下角度是有帮助的：波动倾斜度参数 $\vartheta \approx \arccos {(\hat {\boldsymbol{k}} \boldsymbol{\cdot }\bar {\boldsymbol B})$ 衡量波矢方向 $\hat {\boldsymbol{k}}$ 与平均磁场 $\bar {\boldsymbol B}$ 之间的角度，这决定了 $\ell _\perp$；$\theta _{p0}$ 测量波矢与径向方向之间的初始角度；$\varphi$ 表示波矢投影到切线-法线（$y$ – $z$）平面上的角度，其中 $\varphi = 0$ 对应于波矢与切线方向对齐，$\varphi = \pi /2$ 对应于波矢与法线方向对齐（图 1）。图 2 展示了在太阳风膨胀下波的关键参数随膨胀因子 $a$ 的演变。黑色粗线：径向场（$\varPhi _0=0^\circ$）。彩色：PS 情况（$\varPhi _0=2^\circ{-}20^\circ$，颜色越深表示 $\varPhi _0$ 越小）。(a) 波幅 $z^+/v_{\textrm {A}}$ 在纯径向情况下大致保持不变，在 PS 情况下最初保持不变，但随后在方位分量变得显著且 $v_{\textrm {A}}\propto a^0$ 时按 $\propto a^{-1}$ 减小。(b) 倾斜度 $\sin \vartheta (a)$：$\boldsymbol k$ 与 $\bar {\boldsymbol B}$ 之间的角度最初减小，然后随着平均场的方位旋转而再次增加，从而在 PS 下产生一个明显的拐点。(c) 扩展级联参数 $\chi _{\textrm {exp}} = (k_\perp \,z^+_\perp )/(\dot a/a)$ 对于平面外的情况（$\varphi = \pi /2$）：当 $\chi _{\textrm {exp}} \gtrsim 1$ 时湍流得以维持；$\chi _{\textrm {exp}}$ 最初按 $\propto a^{-1}$ 减小，但对于 PS 情况，它开始增加并最终在方位分量变得占主导时趋于平缓。(d) 平面内波矢的 $\chi _{\textrm {exp}}$：对于 $\varphi =\pi$（实线）和 $\varphi =0$（虚线）；在这两种情况下，波矢都位于 $x$ – $y$ 平面上。对于 $\varphi =0$，波通过纯平行传播。如图 2 所示，在纯径向磁场情况下（$\varPhi _0=0$），系统膨胀使得涡旋尺度增长（$\ell _\perp \propto a$），波动幅度减小（$z^+ \propto a^{-1}$）且 $v_{\textrm {A}}\propto a^{-1}$；因此比率 $z^+/v_{\textrm {A}}$ 随膨胀保持不变。在 PS 情况下，增长的方位分量使得 $v_{\textrm {A}}$ 减小得更慢（最终几乎变为常数 $v_{\textrm {A}} \propto a^{0}$），所以 $z^+/v_{\textrm {A}}$ 首先保持不变，然后在螺旋角度变大时大约按 $a^{-1}$ 减小。非线性时间尺度增加是因为 $k_\perp \propto a^{-1}$，导致 $k_\perp z^+ \propto a^{-2}$（$\tau _{\textrm {nl}} \propto a^2$）。这意味着 $\chi _{\textrm {exp}}$ 也按 $\chi _{\textrm {exp}} \propto a^{-1}$ 减小，迅速接近 $\chi _{\textrm {exp}}\leqslant 1$，此时现象学不再成立。在 PS 情况下，$\sin \vartheta$ 最初像在径向情况下一样减小，但当 $a$ 接近 $a_{\min } = \sqrt {\cot \theta _{p0} \,\cot \varPhi _0}$ 时，其演变发生偏差：$\sin \vartheta$ 达到最小值然后再次增加，因为 $\overline {\boldsymbol B}$ 朝向垂直方向旋转（见图 2(b) 和 Squire 等人，参考文献 Squire, Johnston, Mallet 和 Meyrand 2022）。尽管详细动力学复杂且非线性，我们假设整体的 RDT 框架仍然适用，即 $z^+\propto a^{-1}$，但演变的几何结构改变了 $k_\perp$ 的缩放。最初 $k_\perp$ 随膨胀减小，就像在径向情况下一样，但随着平均场相对于涡旋旋转，使得波矢倾斜并驱动 $k_\perp$ 再上升，从而增加了非线性转换率。因此，$\chi _{\textrm {exp}}$ 不是持续减小，而是趋于稳定，大致保持 constant（$\propto a^0$），甚至在中间时间增长，无限期地延迟了在 $\chi _{\textrm {exp}} \lt 1$ 时发生的湍流关闭，并保持了高不平衡状态（见图 2）。这种复苏是由于波在 $\hat {e}_T$ – $\hat {e}_N$ 平面上的方向造成的。当波矢垂直于螺旋平面 $(\varphi = \pi /2, \; p^{(Z)})$ 时，$\chi _{\textrm {exp}}$ 表现出稳健的反弹。然而，对于平面内的方向 $(p^{(Y)})$，波可以通过纯平行传播阶段（$\vartheta \to 0$），这表明在部分恢复之前非线性相互作用会暂时崩溃。然而，这可能并不显著：这只是当波矢完全位于 PS 平面内（$\varphi =0$）时才会发生，这是一个非常特殊的情况。如上所述，PS 几何结构将涡旋压缩成三维的各向异性结构，最短的垂直尺度很可能决定了非线性转换时间。因此，即使 $\ell _\perp$ 在一个方向上变大，级联也可能继续。请注意，关于假设$\ell _y=\ell _z \propto a$的一个重要警告是，这个假设可能并不严格成立，因为MHD非线性相互作用倾向于沿着局部场方向$\hat {e}_\parallel$优先拉伸结构，这可能会改变上述线性演化中的垂直生长方式。我们现在通过一系列受控的数值实验来测试这些想法。使用可压缩的扩展箱MHD模拟，我们最初向外演化$z^+$场，并测量上述引入的属性，以验证现象学并量化其参数依赖性。以下章节将展示这些数值结果，将它们与理论预期进行直接比较，并强调模拟在哪些方面确认、改进或挑战了我们的简单模型。

3. 数值方法和模拟设置
3.1. 扩展箱模型数值模拟
为了解决EBM（2.1）–（2.3）方程，我们使用了有限体积的天体物理代码Athena++（参考文献Stone, Tomida, White和Felker2020）。我们采用了Harten–Lax–van Leer不连续性Riemann求解器（参考文献Mignone2007），并对其进行修改以包括膨胀效应。为了简化膨胀项并提高数值稳定性，我们按以下方式变换变量（参考文献Johnston, Squire, Mallet和Meyrand2022）：
\begin{equation}
\rho = \lambda ^{-1} \rho ', \quad \boldsymbol{u} = \varLambda \boldsymbol{u}', \quad \boldsymbol{B} = \lambda ^{-1} \varLambda \boldsymbol{B}', \quad \boldsymbol{\nabla }' = \varLambda \tilde {\boldsymbol{\nabla }},
\end{equation}
其中$\varLambda =\mathrm{diag}(1,a,a)$，且$\lambda =a^2$。进行这种变量变换并将EBM MHD方程表达为保守形式后，我们得到
\begin{equation}
\frac {\partial \rho '}{\partial {t}} + {\boldsymbol{\nabla }}' \boldsymbol{\cdot }(\rho ' \boldsymbol{u}') = 0,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac {\partial \left (\rho '\boldsymbol{u}'\right )}{\partial t} + {\boldsymbol{\nabla }}' \boldsymbol{\cdot }\left (\rho ' \boldsymbol{u}' \boldsymbol{u}' + \left (p+\frac {B^2}{2}\right ) \varLambda ^{-2} - \frac {\boldsymbol{B}' \boldsymbol{B}'}{\lambda }\right ) = -\left ( \frac {d \ln {\lambda }}{dt}\right ) \mathbb{T}'\boldsymbol{\cdot }\rho '\boldsymbol{u'],
\end{equation}
\begin{equation}
\frac {\partial \boldsymbol{B}'}{\partial {t}}-\boldsymbol{\nabla }'\times \left (\boldsymbol{u}'\times \boldsymbol{B}'\right )= 0.
\end{equation}
方程（3.2）–（3.4）与理想MHD方程非常相似，因为连续性和感应方程没有膨胀或源项。相反，动量方程和在（3.1）中定义的变量现在包含了所有的膨胀效应。

3.2. 模拟设置和初始条件
所有模拟的数值细节都在表1中给出。所有模拟都采用了$x,y,z$方向的周期性边界条件，这是局部EBM研究的标准做法。这是合理的，因为计算区域相对于日心距离来说很小，允许将局部球形膨胀映射到笛卡尔周期性域上。周期性降低了计算成本，因此可以实现更高的数值分辨率，以捕捉广泛尺度范围内的湍流级联。我们强调其局限性：周期性域忽略了开放边界效应（全局流入/流出），并且可能会限制最长平行模式（影响$\ell _\parallel$和接近二维的结构）。为了减轻这些影响，我们使用了一个最初是各向异性的（拉长的）域，因此横向拉伸自然表示为$L_y,L_z\propto a$。在这些限制内，该模型能够有效捕捉RDT在阿尔文（Alfvén）临界点之外的局部、由膨胀驱动的动力学。

表1. 扩展箱运行的模拟参数。高分辨率（HR）运行使用$1200^3$个网格点；中等分辨率（MR）运行使用$720^3$个网格点。探索的参数包括：$\varPhi _0$初始PS角度，$L_{x0}/L_{\perp 0}$初始盒子长宽比（其中$L_{\perp 0}$表示$L_{y0}$和$L_{z0}$），$\dot a$膨胀率，$A_0$初始波动幅度，以及$\beta _0$等离子体贝塔值。另外，${k}_{\textrm {peak}}$设置了$k$空间的高斯峰中心，$\chi _{\textrm {exp,0}}$初始膨胀到非线性比率，以及$k_{\textrm {w}}$设置了高斯峰的宽度。我们将初始盒子尺寸设置为$L_{x0}=1$和$L_{y0}=L_{z0}=0.2$。我们使用膨胀因子$a$来参数化系统的演化，其中$a$通过$a=R/R_0$与日心距离直接相关，$R_0$是模拟初始化时的径向距离（$a=1$）。$R_0$的选择是任意的，因为它设置了参考尺度，并且只是重新缩放其他量（例如$v_{\textrm {A}$）而不改变无量纲物理。为了便于解释和与观测结果对应，我们可以使用演化的PS角度$\varPhi (a)$将$a$映射到实际的太阳距离。我们假设在1天文单位（AU）处PS角度为$45^\circ$（参考文献Borovsky2010）。在我们的模拟中，初始PS角度为$\varPhi _0=2^\circ$时，$a\, \approx \,28.64$对应于1 AU；而对于$\varPhi _0=5^\circ$，在1 AU时我们有$a\approx 11.5$。重要的是，日心距离和PS之间的映射并不是唯一的：它取决于PS校准（例如在1 AU处的参考角度）、纬度以及如何选择模拟的内边界。在高纬度地区，PS效应较弱，因此偏黄道区域即使在几AU范围内也几乎是径向的。请注意，在固定初始条件的情况下扫描$\varPhi _0$最好理解为从不同的日心距离出发，从相同的初始$\chi _{\textrm {exp,0}}$开始（下面会讨论）。随着系统的膨胀，盒子在横向方向上拉长；当$a=50$时，域变得非常扁平，类似于煎饼状结构。在$a=1$时，我们在$x-y$平面上初始化背景磁场$\bar {\boldsymbol B}$，其$|{\bar {\boldsymbol B}}|=1$且$B_{y,0} \lt 0$，定义了初始PS角度$\varPhi _0$。在太阳风中观察到具有几乎恒定磁场强度和强阿尔文相关性的波$(\delta \boldsymbol B_\perp \propto \delta \boldsymbol u_\perp )$。这些波被称为球形极化的，因为在波动中保持了恒定的$|\boldsymbol B|$。这个属性可以通过（3.5）来量化：
\begin{equation}
C_{B^2} \equiv \frac {\delta \left (| B|^2\right )}{\left (\delta \boldsymbol{B}\right )^2}={\frac { \big({{ \big\langle \big(B^2 - \langle B^2\rangle \big)^2\big\rangle }}\big)^{1/2}}{\left \langle |\boldsymbol{B} - \langle \boldsymbol{B}\rangle |^2\right \rangle },
\end{equation}
该公式衡量了$\boldsymbol B$的分量如何相关以保持$|\boldsymbol B|$恒定；$C_B^2=0$表示完全球形极化的波动。初始条件被选择为模拟从接近阿尔文点的区域向外传播的、主要受$z^+$支配的、几乎球形极化的阿尔文风：$\boldsymbol z^+(t=0)$携带波动能量，而$\boldsymbol z^-(t=0)=0$。径向膨胀和大尺度不均匀性在波动向外传播时产生部分反射（产生$\boldsymbol z^-$），从而引发RDT。我们将波动初始化为线性极化的阿尔文波（$\delta \boldsymbol{u}=\delta \boldsymbol{B}/\sqrt {4 \pi \rho }$），对应于$\boldsymbol{z}^-=0$），其中$\delta \boldsymbol u$和$\delta \boldsymbol B$位于$(\boldsymbol k\times {{\bar {\boldsymbol B}}})$方向（参考文献Squire, Chandran和Meyrand2020；Johnston等人2022）。初始的阿尔文波是由一组随机相位波生成的，其振幅由高斯能量谱（3.6）决定：
\begin{equation}
E(k_\parallel ,k_\perp ) \propto \exp \!\Biggl [-\frac {(k_\parallel - k_{\parallel ,0})^2 + (k_\perp - k_{\perp ,0})^2}{k_w^2}\Biggr ].
\end{equation}
这里，$k_{\parallel ,0}=\kappa _\parallel ({2\pi }/{L_x}),\; k_{\perp ,0}=\kappa _\perp ({2\pi }/{L_\perp })\; \text{和}\; k_w=({12}/{L_\perp })$，分别设置了高斯峰的中心尺度和峰的宽度；$k_{\parallel ,0}$和$k_{\perp ,0}$分别平行于和垂直于$\bar {\boldsymbol B}$，即使在初始倾斜的螺旋场中也保持了各向异性。随着扩展箱模拟的开始，模式在大约0.5阿尔文时间内迅速调整，失去了由它们初始线性极化引起的$|\boldsymbol B|$的变化。这种自然的松弛降低了磁压缩性$C_B^2$，使得波动变得球形极化。为了选择模拟参数和量化不同的状态，我们使用了第2节中讨论的时间尺度及其比率。膨胀时间是$\tau _{\textrm {exp}}^{-1} = \dot a / a$，线性时间尺度是$\tau _{\textrm {A}}^{-1} = k_\parallel v_{\textrm {A}}$，外部尺度非线性时间是$\tau _{\textrm {nl}}^{-1} = k_{\perp } z^+$。根据这些比率，我们形成了无量纲控制参数：(i) $\chi _{\textrm {exp,0}} = (k_{\perp ,0} \; z^+_{\textrm {rms0}}) / (\dot a/a)$；(ii) $\chi _{\textrm {A}} \doteq (k_\perp z^+)/(k_\parallel v_{\textrm {A}})$，它比较了非线性相互作用的强度与线性阿尔文传播的强度，从而量化了非线性对$z^-$波动的阿尔文去相关性的影响（参考文献Goldreich和Sridhar1995）；以及(iii) 盒子尺度阿尔文时间与膨胀时间的比率$\varDelta _0 \doteq \chi _{\textrm {exp0}}/\chi _{\textrm {A0}} = v_{\textrm {A,0}}/\dot {a} L_x$，这个比率是常数。在本文中使用的参数集，我们固定$\varDelta _0 = 2$（通过$\dot {a}=0.5$，$L_\parallel =1$和$v_{\textrm {A}}=1$），并将$\chi _{\textrm {exp,0}}$的大致范围设置为$\approx 11\!-\!30$。我们探索了两种初始波动幅度，由$A\equiv { z^+_{\textrm {rms0}}}/{v_{\textrm {A,0}}}=1.0 \;\text{和}\; 0.5$定义，其中$z^+_{\textrm {rms0}}$是初始的均方根波动幅度（具体值见表1）。振幅较小的中等分辨率模拟（$A_0 = 0.5$）被标记为A05，以区别于标准的中等分辨率运行（$A_0 = 1.0$）。改变$A$会改变初始的非线性时间（因此$\chi _{\textrm {exp,0}}$和$\chi _{\textrm {A,0}}$），所以我们固定$\chi _{\textrm {exp,0}}$以隔离纯幅度效应。从物理上讲，较大的$A$会产生较大的波动，具有较大的$\delta B_\parallel$以保持其球形极化，而较小的$A$（初始条件）更接近于减少的MHD极限，这是基于假设$z^+/v_{\textrm {A}}\ll 1$得出的。

3.3. 在大$a$值下的数值问题
我们注意到，一旦局部螺旋角度变得非常大（${\gtrsim} 70^\circ$），在我们的PS运行中会出现数值不稳定性，这发生在足够大的$a$值时。不稳定性表现为横向场中的小尺度、斑点状噪声和Els?sser能量的突然峰值。根本原因尚不确定，但一个合理的解释是平均场的倾斜度增加以及EBM域的极端各向异性变形（最初拉长的盒子变成了非常扁平的煎饼形状），这导致横向模式分辨率不足并放大了数值误差。不幸的是，这阻止了我们进入PS运行中的任何可能的最终平衡阶段。因此，我们将受影响的区间排除在我们的分析之外。这个问题在附录B中有更详细的讨论。

4. 结果
4.1. 湍流演化与帕克螺旋的形成
湍流的形态对背景磁几何形状非常敏感。图3(a)的顶部面板展示了径向A05- $\varPhi _{0}=0^\circ$运行的二维快照（$y$ – $z$中间平面切片）的垂直归一化Els?sser场$|\boldsymbol z_\perp ^\pm |$（这里$\boldsymbol z_\perp ^\pm = (\boldsymbol I - \hat {\boldsymbol b}\hat {\boldsymbol b})\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^\pm$，大致是阿尔文部分）。在径向情况下，湍流分为两个不同的阶段演化。在早期不平衡阶段，当$\chi _{\textrm {exp}}\gt 1$时，向外的$z^+$波动强烈，并发展出细小的垂直结构，而反射的$z^-$波动则表现为更加间歇性的、与场对齐的丝状物。随着膨胀的进行和$\chi _{\textrm {exp}}$趋近于1，反射的归一化波动作能量增加，$\tilde E^-/\tilde E^+$趋近于1，两个场逐渐获得相似的圆形涡旋结构。在这个平衡阶段，非线性传输率相对于膨胀减小，级联停止，留下连贯的涡旋主导动力学并关闭加热。在这两个阶段中，膨胀将涡旋拉伸穿过平均场，在模拟结束时产生大宽比的准二维涡旋。这种行为在定性上与Meyrand等人（参考文献Meyrand, Squire, Mallet和Chandran2025）的减少MHD结果相匹配，他们报告了在$\chi _{\textrm {exp}} \sim 1$的磁性主导阶段的二维‘阿尔文涡旋’，与我们看到的相似。图3. 在$y$ – $z$平面上垂直于磁场的Els?sser场$|\boldsymbol z_\perp ^\pm |$的快照。上面的两行（a）显示了A05- $\varPhi _0=0^\circ$情况下的不同膨胀阶段，对应的径向$\bar{\boldsymbol B}$模拟分别为$a \approx 6$（左），$a \approx 22.35$（中）和$a \approx 50.35$（右）。这些快照展示了从最初不平衡状态到磁性主导和平衡状态的湍流演化。下面的两行（b）显示了A05- $\varPhi _0=1.5^\circ$情况下的PS情况下的Els?sser场快照。埃尔萨斯场（Els?sser fields）的垂直分量 $|\boldsymbol z_\perp ^\pm |$ 在三个不同的扩张阶段被展示出来：$a \approx 11$（左图）、$a \approx 19.7$（中图）和 $a \approx 67.7$（右图），对应的螺旋角度分别为 $\varPhi \approx 16.1^\circ$、$27.3^\circ$ 和 $60.57^\circ$。该系统保持湍流状态，由于平均磁场沿着 $y$ 轴的分量，因此具有明显的各向异性结构特征。注意，在每个图中，波动都通过其均方根值进行了归一化处理。PS（Particle Simulations）模拟的结果有所不同。在 A05 模型中（$\varPhi _{0}=1.5^\circ$，图 3 的下两个面板），湍流并未像在径向情况下那样趋于准二维状态。相反，由于 $\chi _{\textrm {exp}}$ 仍然较大，非线性活动持续到更大的扩张因子。在这些模拟中，形成了具有更陡峭横向梯度的持久性带状结构，且 $\ell _\perp$ 的值比径向情况更小（这将在第 4.3 节中进行量化）。从物理上讲，这是因为在扩张过程中平均场的连续旋转维持了垂直方向与扩张方向之间的持续不对齐；如图 1 所示，并在第 2.4.1 节中有详细讨论，这种不对齐阻止了涡旋保持圆柱对称性，从而抑制了准二维涡旋的形成。因此，在 PS 模拟中我们观察到了持续存在的三维各向异性和持续的湍流加热现象。图 4 通过高分辨率（HR- $\varPhi _0=0^\circ$ 和 HR- $\varPhi _0=4^\circ$）模拟展示了类似的埃尔萨斯场特征。这些体积视图支持了图 3 的结论，并且也显示了径向结构的演变。在 HR- $\varPhi _0=0^\circ$ 模型中，湍流凝结成了缓慢发展的阿尔芬涡旋（Alfvén vortices），尽管由于模拟启动时间较早，这些涡旋在这里不太明显。在 HR- $\varPhi _0=4^\circ$ 模型中，结构尺度更小，可能更加间歇性，并发展出了三维的外部尺度各向异性。由于 $\ell _\perp$ 较小，湍流的级联效应被抑制了。我们的结果也与先前将 PS 几何结构与三维各向异性联系起来的研究结果一致（参考文献 Verdini, Grappin, Alexandrova, Franci, Landi, Matteini 和 Papini2019）。

图 4. 埃尔萨斯场垂直分量 $|\boldsymbol z_\perp ^\pm |$ 的三维可视化，展示了在不同扩张因子 $a \approx 3.5, 11.5, 21$ 下的磁场情况，分别对应 HR- $\varPhi _0=0^\circ$ 和 HR- $\varPhi _0=4^\circ$ 模型。白色箭头指示了 PS 模拟中平均磁场的方向。

图 5. 标准化的埃尔萨斯波作用能量 $\tilde E^\pm (a)/\tilde E^+_0$ 随扩张因子 $a$ 的演变。实线曲线表示向外的波作用能量（$\tilde {E}^+$），虚线曲线表示向内的波作用能量（$\tilde {E}^-$）；线条颜色对应不同的初始 PS 角度。图 (a) 展示了高分辨率模拟（HR- $\varPhi _0=0^\circ$ 和 HR- $\varPhi _0=4^\circ$）。在径向情况下（$\varPhi _0=0^\circ$），向外能量大约以 $a^{-0.6}$ 的速率衰减，直到 $a\sim 15$，之后 $\tilde E^+$ 平缓并略有上升，表明湍流加热效应基本停止。在 PS 模拟中，向外能量继续衰减到更大的 $a$ 值，维持了一个不平衡的级联过程并持续较长时间。插图显示了这些模拟的标准化交叉螺旋度 $\sigma _c$。图 (b) 展示了 A05 模型中初始 $\chi _{\textrm {exp,0}}$ 类似的模拟结果，但振幅减小了 $\texm {A}=0.5$。低振幅的近简化磁流体动力学（RMHD）情况的衰减速度略慢于高振幅情况，大约遵循 $\tilde E^+\propto a^{-0.5}$ 的规律，可能是因为高振幅的球形极化波动有助于增强反射效率。图 (c) 中的模拟具有较高的初始 $\chi _{\textrm {exp,0}}$ 值，导致衰减更为陡峭，大约遵循 $\tilde E^+\propto a^{-0.8}$ 的规律。由于数值不稳定性（详见第 3.3 节），螺旋角较大的模拟（例如 $\varPhi _0=5^\circ$）在较短时间内就终止了。为了改善可视化效果，省略了最初的一个快照 $(a=1)$，因为在那个阶段向内传播的模式 $\tilde z^-$ 可以忽略不计。

图 5 还展示了标准化波作用能量 $\tilde E^\pm /\tilde E^+_0$ 作为扩张因子 $a$ 的函数。这里，$\tilde {E}^+_0 = \tilde {E}^+(a=1)$ 表示初始的向外波作用能量，其减少量反映了每单位的湍流加热量（见 2.17 节）。图中绘制了 HR- $\varPhi _0=0^\circ$、A05- $\varPhi _0=0^\circ, 2^\circ, 5^\circ$ 和 MR- $\varPhi _0=0^\circ, 2^\circ, 5^\circ$ 模型的结果，这些模型的初始 $\chi _{\textrm {exp,0}}$ 范围在 $[\approx 15,\; 45]$ 内。对于初始 $\chi _{\textrm {exp,0}}$ 较小的模型，我们发现初始的衰减近似遵循幂律 $\tilde E^+\propto a^{-0.6}$ 或 $a^{-0.5}$；而对于初始 $\chi _{\textrm {exp,0}}$ 较大的模型，衰减速度更快，大约为 $\sim a^{-0.8}$。这与第 2.4 节中 RDT 现象学预测的 $a^{-1}$ 渐近值有所不同，因为 $a^{-1}$ 的衰减仅在 $\chi _{\textrm {exp,0}}$ 足够大时才会出现。Meyrand 等人（参考文献 Meyrand, Squire, Mallet 和 Chandran2025）的研究也得出了类似的结论，他们发现需要非常大的 $\chi _{\textrm {exp}}$ 才能恢复预期的 $a^{-1}$ 衰减。聚焦于 HR 模型，径向情况下在 $a\sim 15$ 附近观察到衰减放缓的现象。我们将在下文解释，这与 $\chi _{\texm {exp}}$ 接近于 1 的情况一致（见第 2 节的讨论）。与此同时，$\tilde E^-$ 随着扩张而增加，趋势类似，并且随着系统向准平衡状态过渡，$\tilde E^+$ 也在增加。在这个从强烈不平衡的湍流状态向准平衡状态的过渡过程中，非线性耦合减弱，因为 $\boldsymbol z^+$ 和 $\boldsymbol z^-$ 变得成正比（见图 3 和 4），湍流加热率下降。最终，正如 Meyrand 等人（参考文献 Meyrand, Squire, Mallet 和 Chandran2025）所指出的，随着系统开始发展出非常大的负残余能量，我们预计 $\tilde E^+$ 会上升。

在 PS 模拟中，向外能量在 $a\sim 15$ 之后继续衰减，且衰减速度没有明显放缓。这种幂律衰减使得湍流加热作用能够持续到比径向情况更远的日心距离。下面我们将解释这是由于几何结构驱动的垂直尺度变化：PS 模型中 $\ell _\perp$ 的增长（或饱和）较慢，相对于扩张而言，$\tau _{\texsm{nl}}$ 减小，且 $\chi _{\texm {exp}} \gt 1$，而不是坍缩到 1。结果，湍流耗散保持活跃，级联效应在更远的日心距离上持续存在。同样，正如 RDT 预测的 $\tilde z^-/\tilde z^+ \sim \chi _{\texm {exp}}^{-1}$（见 2.4 节）所预计的，$\tilde E^-$ 保持小于径向情况，标准化交叉螺旋度（见图 5a）也更高。模拟还允许我们粗略地考察波动幅度对能量演变的影响。图 5 对比了高振幅情况（$\texm {A}=1.0$）和低振幅情况（$\texm {A}=0.5$）以及相似的 $\chi _{\texm {exp,0}}$ 结果。在低振幅情况下，波动几乎保持线性极化（类似简化磁流体动力学），能量衰减较慢，遵循 $\tilde E^+ \propto a^{-0.5}$；而在高振幅情况下，由于需要更大的 $\delta B_\parallel$ 来维持球形极化，因此衰减更为陡峭。一种可能的解释是，当波动变大时，各向异性反射项（见 2.10 节）改变了反射的特性。对于小振幅的、近乎横向的阿尔芬波动，反射算子 $\tilde {\mathbb{T}}=\mathrm{diag}(-1,1,1)$ 导致 $\tilde z^-_{y,z}\propto -\tilde z^+_{y,z}$，而 $\tilde z^\pm _x$ 可以忽略不计。然而，在大振幅情况下，有限的 $\delta B_\parallel$（非零的 $\tilde z_x^\pm$）和倾斜的平均场混合了不同分量：$\tilde {\mathbb{T}}$ 中的 $-1$ 产生了额外的贡献，使得 $\tilde z_x^- \propto \tilde z_x^+$。换句话说，高振幅波动破坏了简单的 $\tilde {\boldsymbol z}^-\propto -\tilde {\boldsymbol z}^+$ 关系，减少了 $\langle \tilde {\boldsymbol z}^+\!\boldsymbol{\cdot }\tilde {\boldsymbol z}^-\rangle$ 的幅度，从而允许在 PS 几何结构中更强的非线性效应持续存在。近太阳处的实地测量通常显示较大的标准化波动幅度（参考文献 Bale2019），因此高振幅模拟可能更代表真实的太阳风情况。

图 4. 长度尺度 $\ell$ 和 $\chi _{exp}$ 的演变。扩张与非线性时间尺度的比值 $\chi _{\texm {exp}}$ 决定了非线性相互作用是否足够强以维持级联效应。由于 $\tau _{\texsm{nl}}\sim \ell _\perp /z^\mp$，$\chi _{\texm {exp}}$ 的演变直接与垂直相关长度的增长和振幅 $z^+$ 的衰减相关。为了计算方向相关长度，我们按照以下步骤进行：首先，在计算域中沿着 $\hat {\ell }\in {\{\hat {e}_\parallel ,\hat {e}_T,\hat {e}_N}\}$ 方向绘制一系列直线，并沿每条线评估插值后的磁场波动 $\delta \boldsymbol{B}(s)$。为了分离阿尔芬贡献，我们形成投影（见公式 4.3）：$\delta \boldsymbol B_{\texmat{A}}(s)=(\hat {b}\times \hat {\ell })\boldsymbol{\cdot }\delta \boldsymbol{B}(s)$。每条保留的线 $f_n=\delta B_{\texmat{A}}(s_n)$ 进行归一化处理并计算自相关 $C_f[k]$，然后用 $C_f(0)$ 进行归一化以得到每条线的平均相关系数；这些平均相关系数随后被聚合以产生最终的相关函数 $\mathcal{C}(s)$。然后使用积分估计器 $\ell _{\texsm{int}}=\int _0^{s_{\texsm{cut}}}\mathcal{C}(s) ds$ 从 $\mathcal{C}(s)$ 中提取特征相关长度 $\ell$，其中 $s_{\texsm{cut}}$ 取为第一个零交叉点。这些 $\ell$ 值是针对阿尔芬投影 $\delta B_{\texmat{A}}$ 的结果。

图 6. 随扩张因子 $a$ 变化的相关长度 $\ell$ 的演变，对于磁场（$\boldsymbol{B_\perp }$）的波动，分别对应 MR- $\varPhi _0=0^\circ$ 和 MR- $\varPhi _0=2^\circ$ 模型。每条曲线代表沿场（$\parallel$，蓝色）、垂直（$\perp$，棕色）、$\hat {e}_T$ 方向（$\perp ,T$，绿色）和 $\hat {e}_N$ 方向（$\perp ,N$，橙色）的投影。虚线黑色线条表示参考的 $a^{1}$ 幂律缩放。在径向情况下（左图），$\ell _{\perp }$ 随 $a$ 几乎线性增长，这与早期扩张驱动的涡旋扩大一致，随后在晚期过渡到更快的增长（见 Meyrand 等人，参考文献 Meyrand, Squire, Mallet 和 Chandran2025）。相比之下，PS 几何结构改变了这种增长：$\ell _{\perp ,T}$ 达到饱和并保持几乎恒定，而 $\ell _{\perp ,N}$ 的增长慢于线性增长。图 6 展示了径向和 PS 模型中磁场波动的相关长度。在径向情况下，垂直相关长度 $\ell _{\perp }$（即 $\hat {e}_T$ 和 $\hat {e}_N$ 的平均值）最初大致与 $a$ 成正比增长，这与均匀扩张的情况一致。然而，随着流动变得受磁场主导并趋于准二维，共移动的 $\ell _{\perp }$ 的增长速度甚至超过了这种线性增长（见图 6a）。这种加速的扩展产生了扁平的、类似煎饼状的涡旋，稳定地减少了 $k_\perp$ 并增加了非线性时间 $\tau _{\texsm{nl}}$。从视觉上看，这个阶段对应于相干阿尔芬涡旋的主导，它们的共移动横向尺寸随着 $z^+$ 幅度的减小而增长。这种行为与 Meyrand 等人（参考文献 Meyrand, Squire, Mallet 和 Chandran2025）提出的现象学一致，他们认为波作用各向异性的保守——波作用变量中的平方磁矢量势——驱动了能量向更大垂直尺度的转移。在我们的可压缩模拟中，也出现了类似的定性行为，与阿尔芬涡旋在中间时间尺度上保持各向异性并在衰减过程中比背景几何扩张更快地扩张一致。相比之下，PS几何结构在较大的$a$值下改变了这种缩放比例，这与理论§2.4.1和图2.4的预期一致。切向相关长度达到饱和，而法向长度的增长速度慢于线性增长，表明在共动框架中涡旋尺度减小。这种各向异性防止了无限的横向拉伸，限制了$\tau _{\textrm {nl}}$的增加，从而维持了湍流活动。图7展示了时间尺度比率$\chi _{\textrm {exp}}$作为膨胀因子$a$的函数。我们使用了Alfvénic垂直相关长度来计算磁场波动的这一比率，分别对于HR- $\varPhi _0 = 0^\circ ,4^\circ$（左）和MR- $\varPhi _0= 0^\circ , 2^\circ ,5^\circ$模拟（右）。实线表示从$\ell _{\perp ,T}$计算出的$\chi _{\textrm {exp}}$，虚线表示从$\ell _{\perp ,N}$计算出的$\chi _{\textrm {exp}}$。在径向情况下，我们平均了两者来计算$\ell _{\perp }$，并且$\chi _{\textrm {exp}}$随$a^{-1}$衰减。相比之下，PS几何结构打破了这种对称性：$\ell _{\perp ,T}$和$\ell _{\perp ,N}$都比径向情况下的小，导致$\chi _{\textrm {exp}}$系统性地更大。这在较大的$a$值下维持了湍流，因为$\chi _{\textrm {exp}}$在更长的范围内保持大于单位值。图7展示了HR- $\varPhi _0=0^\circ ,4^\circ$（左）和MR- $\varPhi _0=0^\circ ,2^\circ ,5^\circ$模拟（右）的$\chi _{\textrm {exp}}$变化。所有运行都显示随着振幅下降和尺度扩展，$\chi _{\textrm {exp}}$最初会衰减。在径向情况下，$\chi _{\textrm {exp}}$几乎以$a^{-1}$的速度衰减，这与理论（见§2.4）的预期一致。MR中的$\chi _{\textrm {exp}}$在$a\simeq 20$时略大，这与$\tilde {E}^+$的衰减延迟变平是一致的，尽管在未来工作中探索更广泛的$\chi _{\textrm {exp}}$范围以进行更详细的研究将非常有价值。在较大的$a$值下，PS情况偏离了这一趋势。因为切向尺度停止增长，$\tau _{\textrm {nl}}$不会无限增大，而$\chi _{\textrm {exp}}$开始减速甚至增长，当它仍然大于单位值时。这种几何变化延缓了达到平衡的过程，并在更宽的径向范围内保持了湍流，相对于径向情况有更持久的等离子体加热。切向和法向尺度之间的后期分离是PS诱导各向异性的另一个有趣特征。然而，我们注意到由于数值限制，我们的PS模拟无法扩展到更晚的时间，这阻止了我们完全捕捉到湍流的渐近演化。

图8显示了测量得到的$\chi _{\textrm {A}}$与$a$的关系。请注意，在这个图中我们取了横向和法向垂直相关长度的平均值$\ell _\perp = (\ell _{\perp ,T} + \ell _{\perp ,N})$。我们还使用$\chi _{\textrm {A}} \simeq (k_\perp z^+)/(k_\parallel v_{\textrm {A}}) = (\ell _\parallel z^+)/(\ell _\perp v_{\textrm {A}})$来测量湍流级联的临界平衡参数。RDT现象学的一个假设（在§2.4中讨论）——即衍生的反射源$\mathcal{R}^- \tilde z^+$与非线性汇$\mathcal{N}^- \tilde {z}^-$在（2.12）中达到平衡——可能要求$\chi _{\textrm {A}}\gtrsim 1$。只有当$\chi _{\textrm {A}}$接近或大于单位值时，我们才期望非线性相互作用占主导地位，从而允许强烈的湍流级联发展并抑制波动。在$\chi _{\textrm {A}}\gtrsim 1$的相反极限情况下，预计波动在$k_\parallel$中会迅速去相关，并降至$\chi _{\textrm {A}}\sim 1$（参考Schekochihin2022）。因此，在图8中，我们预期平行尺度会调整，使湍流处于$\chi _{\textrm {A}}\sim 1$。虽然在径向运行中只有初步的证据表明这一点——我们最初看到$\chi _{\textrm {A}}\approx 1.5\rightarrow 2$的下降，但需要更大的$\chi _{\textrm {exp0}}$来允许更长的衰减阶段，以便进行详细研究——但在PS运行中，晚期$\chi _{\textrm {A}} \sim 1$，与持续的、临界平衡的湍流一致。径向运行趋向于在晚期达到真正的二维状态，其中$k_\parallel =0$（$\ell _\parallel \rightarrow \infty$），但测量的$\ell _\parallel$受到盒形限制（二维模式无法通过该方法很好地捕捉），因此绘制的$\chi _{\textrm {A}}$不一定是一个有用的度量。图9显示了所有模拟（HR- $\varPhi _0=0^\circ ,4^\circ$和MR- $\varPhi _0=0^\circ ,2^\circ ,5^\circ$，A05- $\varPhi _0=0^\circ ,2^\circ ,5^\circ$）的波能比$\tilde E^+/ \tilde E^-$与$\chi _{\textrm {exp}}$的关系。粗线表示每种情况的垂直平均值，而淡色的实线和虚线分别对应于$\hat {\boldsymbol{e}}_T$和$\hat {\boldsymbol{e}}_N$分量。黑色虚线表示与RDT理论预测（§2.4）相符的理论缩放。RDT模型的一个关键预测是，逆向传播的Els?sser场之间的能量比$\tilde {E}^+/\tilde {E}^{-}$应该按照$\chi _{\textrm {exp}}^2$缩放（见（2.4））。这一诊断工具应该通过将$\ell _\perp (a)$的变化折叠到$\chi _{\textrm {exp}}(a)$中来消除PS和径向情况之间的任何差异；因此，它更普遍地直接检验了RDT现象学。图9显示了所有模拟的这一比率与$\chi _{\textrm {exp}}$的关系。在初始阶段，系统经历了一个短暂的调整期。之后，MR和A05运行遵循预期的$\chi _{\textrm {exp}}^2$缩放趋势。HR运行表现出系统性的不平衡（较小的$(\tilde {z}^+)^2/(\tilde {z}^-)^2$），所有运行（包括MR和A05）在后期都显示出平坦的趋势。这种较低不平衡的起源（以及晚期的平坦化）可能与注入的光谱参数的差异（例如$k_{\texm {width}}$或$k_{\texm {peak}}$）或HR运行中的分辨率依赖效应有关。需要更详细的调查来分离这种行为的物理机制。未来的工作应包括系统的分辨率和域尺寸扫描，以及控制光谱参数$k_w$或$k_{\texm {peak}$的变化，尽管这些参数并不总是可以独立于$\chi _{\textrm {exp}}$和$A$来分离。

图10显示了HR- $\varPhi _0=0^\circ$和HR- $\varPhi _0=4^\circ$运行的向外和向内的Els?sser波动的垂直功率谱。展示了$a=5$和$a\simeq 20$时的单个径向和PS快照。在惯性范围内，向外/向内的级联$\tilde {\mathcal{E}}^\pm$遵循接近$k_\perp ^{-3/2}$的斜率。PS快照显示了几乎相同的惯性范围形状。对垂直谱和交叉螺旋度的观测和数值研究（例如Podesta2009）同样发现，在一系列太阳风条件下都有类似的持久斜率。在后期，两种模拟都朝着磁主导谱演变，正如上述讨论所预期的，径向运行的主导性更强。我们还注意到，在耗散范围内，谱线变陡并在网格尺度上最终呈指数衰减，在两种几何结构中都是一样的。这是预期的，因为Athena++中的数值耗散机制无论平均场配置如何都是相同的。PS的几何效应主要影响湍流外尺度的发展和持久性，而不是修改最小分辨率尺度上的耗散物理。总体而言，一维垂直谱似乎对平均场倾角基本上不敏感。这强调了几何结构主要控制湍流的范围和持久性，而不是其局部级联法则。

图10显示了HR- $\varPhi _0=0^\circ$和HR- $\varPhi _0=4^\circ$模拟中的垂直能量谱。所有谱都是相对于无量纲垂直波数$k_\perp L_\perp$（$L_\perp$是共动垂直盒长度）绘制的。(a) 在指示的膨胀时间内，向外和向内的能量Els?sser谱${\mathcal{E}}^\pm$的径向场演化，显示了随尺度的不平衡发展。(b) 在$a=20.5$时，径向运行的磁能（$\mathcal{E}_M$，紫色）和动能（$\mathcal{E}_K$，绿色）谱；在惯性范围内磁能占主导。(c) 在$a=5.5$时，HR- $\varPhi _0=4^\circ$的Els?sser谱，显示出更大的不平衡。(d) 在$a=20.1$时，$\varPhi _0=4^\circ$的磁能和动能谱，显示出相似的惯性范围斜率。这些结果还强调了一维谱诊断的局限性。$k_\perp$谱的表观相似性掩盖了图6中更复杂的、依赖于尺度的各向异性，这种各向异性是由螺旋几何形状决定的。正如Verdini等人（参考Verdini, Grappin, Alexandrova和Lion2018）所观察到的，即使在局部、场对齐的结构函数显示出强烈的尺度依赖性各向异性，全局谱仍保持大约$-5/3$的斜率。更详细的分析——超越一维平均谱——可以揭示PS是否在外尺度下方留下了独特的各向异性或相位结构。目前，谱只是确认了两种运行都经历了接近Kolmogorov式的惯性范围的强Alfvénic湍流（Goldreich & Sridhar2095）。

5. 其他湍流特性 上述内容我们已经从数值上支持了§2.4中概述的理论。在这里，我们探讨了一些更直接可观察的诊断指标，如回波统计和磁压缩性，这些可以通过现场航天器观测来测试我们的结果，以及更一般的RDT理论。

5.1. 交叉螺旋度和残余能量的联合演化 为了量化湍流不平衡和磁/动能的分配，我们跟踪了归一化的残余能量（4.1）和交叉螺旋度（4.2）。我们还定义了对齐参数$\sigma _\theta$（5.1）$\begin{equation} \sigma _\theta = \frac {\langle \boldsymbol{z}^+ \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{z}^- \rangle } {\sqrt {\langle |\boldsymbol{z}^+|^2 \rangle \, \langle |\boldsymbol{z}^-|^2 \rangle }} = \frac {\sigma _r}{\sqrt {1-\sigma _c^2}}\, \end{equation}$，使得完全对齐的波动，其$\sigma _\theta =1$位于圆$\sigma ^2_r + \sigma ^2_c = 1$上。观测显示，波动聚集在单位圆的右下象限，从靠近太阳时的$\sigma _c\sim 1,\ \sigma _r\sim 0$转移到较大半径时的$\sigma _c\sim 0,\ \sigma _r\sim -1$（Bruno等人2007；Bruno和Carbone2013；Wicks等人2013）。图11展示了随着太阳风的膨胀（由膨胀因子$a$参数化），$(\sigma _c,\sigma _r)$的轨迹，对于纯径向场情况和PS情况都是如此。图11显示了交叉螺旋度$\sigma _{c}$和残余能量$\sigma _{r}$作为膨胀因子$a$的参数演化。面板（a）显示了HR- $\varPhi _0=0^\circ ,4^\circ$模拟的结果：圆圈对应于纯径向运行，方块对应于PS运行。面板（b）显示了A05- $\varPhi _0=0^\circ ,10^\circ$模拟，对于径向和较高的初始Parker角度情况（$\varPhi _0=10^\circ$）。彩色点代表$a = 1$（深蓝）、$a \sim 10$（橙色）和$a \sim 30$（黄色）。黑色圆圈表示条件$\sigma _c^2 + \sigma _r^2 = 1$。图（a）的插图显示了HR– $\varPhi _0=0^\circ$（蓝色）和HR– $\varPhi _0=4^\circ$（橙色）模拟的对齐参数$\sigma _\theta$与$a$的关系。径向运行表现出随着$a$的增加而逐渐增强的反不对齐（更负的$\sigma _\theta$），而PS情况则趋于平坦，表明对齐达到饱和。在（b）的PS情况中，$a\gt 20$的点被标记为受到数值不稳定性的影响：这些点是为了完整性而绘制的，它们所占的区域被突出显示（详见附录B）。在两种情况下，系统都开始时高度不平衡（$\sigma _c\approx 1$，即几乎纯的$z^+$），$\sigma _r\approx 0$。随着$a$的增加，曲线保持接近单位圆的边缘，意味着$\sigma _r$变得越来越负。从物理上讲，向外的$\boldsymbol z^+$波动被不均匀的风反射成向内的$\boldsymbol z^-$，这些波动几乎是反对齐的（$\boldsymbol{z}^-\approx -\boldsymbol{z}^+$），因此自然会产生$\langle \boldsymbol z^-\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^+\rangle \lt 0$（因此$\sigma _r\lt 0$，（4.1））。这最终产生了以磁场为主导的阿尔文涡旋（见图3），因为$\chi _{\textrm {exp}}$减小，$\sigma _c$开始趋近于零（达到平衡湍流状态），而$\sigma _r$接近其最大负值。这些结果与Meyrand等人（参考文献Meyrand, Squire, Mallet和Chandran2025）的RMHD模拟以及实地风观测结果一致，这些观测显示湍流从不平衡状态转变为接近平衡状态，且在1天文单位之外磁场占主导地位（参考文献Bruno, D’Amicis, Bavassano, Carbone和Sorriso-Valvo2007）。PS运行（用方块表示）在小$a$值时最初遵循径向趋势（那里的平均场几乎是径向的），但在更大的膨胀范围内则偏离圆边缘。即使是轻微的倾斜也会改变反射和反射分量的极化：假设阿尔文$\boldsymbol z^+$主要垂直于$\bar {\boldsymbol B}$，反射回来的向内场$\boldsymbol z^-$不再完全是$-\boldsymbol z^+$，而由于$x$方向上反射符号的不同，它变成了一个旋转的组合（见（2.10））。这种极化不匹配减少了相关性$\langle \boldsymbol z^+\!\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^-\rangle$，因此在给定的$\sigma _c$下$\sigma _r$保持较小的负值（如图5(a)插图所示，对于PS情况，$\sigma _c$随$a$的衰减也更慢）。图11(a)的插图显示了HR- $\varPhi _{0}=0^\circ$和HR- $\varPhi _{0}=4^\circ$运行中$\sigma _\theta$与$a$的关系，量化了与圆边缘的距离：HR- $\varPhi _{0}=0^\circ$随着$a$的增加而表现出更强的反排列趋势，而HR- $\varPhi _{0}=4^\circ$在较小的$|\sigma _\theta |$处达到饱和，这支持了我们的观点，即$yz$方向和$x$方向之间的几何驱动极化不匹配减少了排列。这些结果提示了一个观测测试：可以检查$\sigma _c$和$\sigma _r$的联合演变作为局部PS角度的函数。螺旋角由（2.1）定义，它在固定半径的情况下随黄道以上距离（日心纬度）变化。因此，一个预测是高纬度湍流应该比黄道上的湍流更紧密地贴合圆边缘。5.2. 磁场反转（SBs）是日球层磁场方向的突然、短暂的反转，磁场强度变化很小。最初由Helios探测到，后来PSP也大量观测到，现在它们被认为是太阳风的一个普遍特征（参考文献Bale2019；Kasper2019；Raouafi2023）。磁场反转通常具有很强的阿尔文特性，它们的磁场和速度场保持强相关性，并且$|\boldsymbol B|$在整个反转过程中几乎保持恒定（参考文献Bale2019）。图12展示了不同演化阶段的径向和PS运行的代表性飞越图。在这两种几何结构中，$|\boldsymbol B|$几乎保持恒定，而场分量在$B_\parallel$方向上发生急剧的方向变化，伴随着$B_T$和$B_N$的相关偏转。这些特征与过去使用类似设置的研究中描述的大幅度、球极化的阿尔文波动一致（参考文献Squire, Chandran和Meyrand2020；Shoda, Chandran & Cranmer2021；Johnston, Squire, Mallet和Meyrand2022）。几乎恒定的$|\boldsymbol B|$波动的出现反映了非线性演化的趋势，即倾向于保持磁场强度的球极化阿尔文状态（参考文献Barnes和Hollweg1974）。这可能是因为任何改变$|\boldsymbol B|$的扰动都会激发压缩性（快速或慢速的磁声波）模式，伴随着密度和压力的变化；这些压缩性成分会迅速衰减成冲击波，而保持恒定磁场强度的不可压缩阿尔文部分则衰减得更慢。当$\delta B_\parallel$的幅度与背景相当时，局部的磁场方向可以翻转；$|\boldsymbol B|$的近似恒定性将这些径向反转与横向偏转耦合起来，因此每次反转都表现为协调的多分量摆动。随着膨胀，这些旋转变得更加明显——比较图12(a)和12(c)之间的摆动幅度差异——这是波动幅度增大的自然结果。此外，如Squire等人（参考文献Squire, Johnston, Mallet和Meyrand2022）所预测的，PS运行中的旋转通常比径向运行中的旋转更为明显。在后期，径向情况下，协调的、恒定的$|\boldsymbol{B}|$旋转丧失，磁场强度的变化变得更加不规则。这些变化随距离增加而增强，表明随着级联的减弱，磁场变得不那么阿尔文化，结构变得更加复杂。这种晚期的变化与最近关于随着日心距离增加磁场强度变化增加的观测报告大体一致（参考文献Raouafi2023）。相比之下，PS配置在相似的膨胀因子下保持了更高的阿尔文性，通过大的方向旋转保持了接近恒定的$|\boldsymbol{B}|$，并更好地保持了其球极化的特性。图12. 高分辨率径向（HR– $\varPhi _0=0^\circ$ a, c, d）和PS（HR– $\varPhi _0=4^\circ$ b, d, f）模拟在三个膨胀因子（1, 0.707, 0.392）方向上的磁场飞越图。顶部行：(a)径向和(b) PS在$a=3.5$（$\varPhi \sim -13.75^\circ$）；中间行：(c)径向和(d) PS在$a=11.5$且$\varPhi \sim 38.8^\circ$；底部行：(e)径向和(f) PS在$a=20$且$\varPhi \sim -54.5^\circ$。每个面板中，总磁场强度$|\boldsymbol{B}|$用黑色显示；$B_\parallel$、$B_T$和$B_N$分别用蓝色、紫色和橙色显示。每个分量都标准化为$\bar {B}$（垂直轴$B_i/\bar B$）与标准化距离$l/(aL_\perp )$，强调分量行为和$|\boldsymbol{B}|$随膨胀的变化。我们检查了模拟中的磁场反转（SB）比例，我们将磁场$\boldsymbol B$偏离局部平均场$\bar {\boldsymbol B}$超过指定阈值角度的区域定义为SB。这种偏差通过归一化偏转参数（5.2）来量化\begin{equation} z = \frac {1}{2}(1-\cos {\vartheta _z}), \end{equation}，其中偏转角$\vartheta _z$由（5.3）给出\begin{equation} \cos {\vartheta _z} = \frac {\boldsymbol B \boldsymbol{\cdot }{\bar {\boldsymbol B}}}{\lvert \boldsymbol B\rvert \lvert {\bar {\boldsymbol B}}\rvert }。\end{equation}这里，$z = 0$对应于与背景完全对齐的磁场，$z = 1$对应于反平行配置。我们分析了对应于偏转阈值$z_{\textrm {th}} = 0.125,\;0.25,\;0.375,\;0.5,\;0.625,\;0.75$的区域。我们发现PS运行产生的强烈方向反转（$z\gtrsim 0.5$）的比例较大，但弱偏转的比例较小，与Johnston等人（参考文献Johnston, Squire, Mallet和Meyrand2022）的三维模拟以及Squire等人的分析解释一致（参考文献Squire, Johnston, Mallet和Meyrand2022）。在PS情况下，SB比例增长，直到接近螺旋角$45^\circ$，然后下降。这种下降与第2节中讨论的两种几何结构中$v_{\textrm {A}}$的演变变化相吻合。图13的右侧面板显示了所有模拟集合中归一化幅度$z^+/v_{\textrm {A}}$的演变，这与径向（$z^+/v_{\textrm {A}} \propto a^{1/2}$）或方位角（$z^+/v_{\textrm {A}} \propto a^{-1/2}$）背景场的WKB预期进行了比较。在径向情况下，幅度随$a$的增加而缓慢上升，而PS运行显示出不同的行为：在小$a$时它们大致保持平坦或在较大$a$时缓慢上升，然后下降。图13. SB比例（$f_{z} \geqslant z_{\textrm {th}}$）在MR- $\varPhi _0= 0^\circ$（实线）和MR- $\varPhi _0=2^\circ$（虚线）中的演变。两种运行都产生SBs，但PS情况下在几乎所有$a$下系统性地表现出更大的SB比例，并且大角度偏转随$a$的增长而增强，直到波动幅度下降；在最大$a$时（$f_{z} \geqslant z_{\textrm {th}}$的下降是由波动幅度的整体减少引起的。右侧面板：表1中列出的所有模拟的幅度$z^+/v_{\textrm {A}}$与$a$的关系。虚线黑色线条表示径向场（$z^+/v_{\textrm {A}} \propto a^{1/2}$）或方位角主导场（$z^+/v_{\textrm {A}} \propto a^{-1/2}$）的WKB预期。5.3. 可压缩性如第5.2节所述，在太阳风中观察到了球极化的阿尔文波动。为了量化演化湍流中的可压缩性程度，我们测量了波动的压缩性比例。我们使用以下诊断指标（5.4）\begin{gather} {C_B = \sqrt {\frac {\langle (\delta |B|)^2\rangle }{\langle |\delta \boldsymbol{B}|^2\rangle }}} ,\quad \frac {\delta \rho _{\mathrm{rms}}{\langle \rho \rangle } = \sqrt {\left \langle \left ( \frac {\rho - \langle \rho \rangle }{\langle \rho \rangle }\right )^2\right \rangle }。\end{gather}对于纯横向波，$C_B$的值为接近零，当存在压缩性波动时，$C_B$会增加（参考文献Chen2021；Shoda等人2021；Shoda, Chandran和Cranmer2021），而$\delta \rho _{\textrm {rms}}/\langle \rho \rangle$衡量了密度变化的相对幅度。综合来说，$C_B$和$\delta \rho _{\textrm {rms}}$衡量了系统中压缩性波动的普遍性。图14显示了$C_B$和$\delta \rho _{\textrm {rms}}/\langle \rho \rangle$作为膨胀因子$a$的函数演变。所有运行开始时$C_B$都较高，因为模拟是用大振幅的线性极化波初始化的。随着膨胀和非线性模式耦合的进行，$|\boldsymbol B|$中的压缩在$\leqslant 1 \tau _{\textrm {A}}$内迅速消散，推动系统向球极化状态发展，并且$|\boldsymbol B|$实际上保持恒定；相应地，$C_B$在早期显著下降。图14. （a）磁性可压缩性$C_B$和（b）密度波动幅度$\delta \rho _{\textrm {rms}}/\langle \rho \rangle$的演变，对于MR $-\varPhi _0=0^\circ ,2^\circ ,5^\circ$的模拟。所有情况由于初始条件是线性极化的波而开始时$C_B$都相对较高。这些诊断指标没有明确证据表明PS几何结构直接导致了更强的压缩活动。相反，PS运行保持了更高的归一化交叉螺旋度（见图5），产生了持续的、接近恒定的$|\boldsymbol B|$旋转（阿尔文SBs；图12）。随着湍流变得不那么阿尔文化——即$\sigma _c$降低（或等效地，$\sigma _r$增加）——压缩功率增加，因为$|\boldsymbol B|$变化的压缩性波动的相对贡献增加（见图12(e)）。因此，随着系统从一个严重不平衡的状态演变为一个更平衡的状态，它失去了球极化，磁可压缩性增加。我们的模拟与这种解释一致，所有情况在早期都相似，然后在$\sigma _c$下降时有所不同，但对于PS情况则保持较高（见图5）。我们注意到一个重要的注意事项：这里呈现的模拟采用了局部等温状态方程，这并没有捕捉到太阳风的完整热力学。为了与航天器密度特征和压缩能量学进行直接定量比较，应该包含一个更现实的状态方程。6. 结论我们使用高分辨率的三维膨胀盒MHD模拟，这些模拟初始化了具有大振幅向外传播的$\boldsymbol z^+$波动，以探索非径向（Ps）平均场如何改变RDT及其对太阳风加热的贡献。通过比较径向和PS几何结构，我们测试了一个简单的RDT现象学，该现象学由膨胀与非线性时间的比率$\chi _{\textrm {exp}}$控制，以解释PS的效应，并确定可以实地测试的诊断指标。径向和PS情况在很大程度上是相似的，RDT在每种情况下都以类似的方式运行——主要区别是垂直尺度$\ell _\perp$的演变，这对非线性时间$\tau _{\textrm {nl}}$以及因此的$\chi _{\textrm {exp}}$有重要影响。因此，我们的模拟提供了一个有用的、直接的RDT现象学测试，我们看到简单现象学与模拟中的主要趋势之间有广泛的一致性。对于纯径向平均场，模拟显示了两个阶段。在较小的日心距离处，流动严重不平衡（$z^+\gg z^-$）且高度阿尔文化，而在较大的半径处，向内分量增长，系统趋向于更平衡的状态（$z^+\sim z^-$）。主导的$z^+$分量同时发生向前（到更小尺度）和逆向（到更大尺度）的传输，净结果是随着$\chi _{\textrm {exp}}$接近1，非线性相互作用减弱。第2.4节中发展的现象学理论实际上是Dmitruk等人（参考文献Dmitruk, Matthaeus, Milano, Oughton, Zank和Mullan2002）的标准理论，该理论预测$z^+/z^-\sim \chi _{\textrm {exp}}$；因此$\chi _{\textrm {exp}}\sim 1$标志着不平衡阶段的结束。在这个晚期阶段，Els?sser场变得高度对齐（$\boldsymbol z^- \propto -\boldsymbol z^+$），流动组织成准二维的、由磁力主导的Alfvén涡旋，体积耗散减少。我们的结果与Meyrand等人（参考文献Meyrand, Squire, Mallet和Chandran2025）的简化的MHD研究大体一致，并将其扩展到了一个可压缩的框架中。这也展示了恒定$|\boldsymbol B|$的球形极化SBs如何演变成具有更大$\lvert \boldsymbol B \rvert$变化的更具压缩性的平衡湍流，这种转变在太阳风中也有观察到（Horbury等人参考文献Raouafi2023）。引入PS背景会产生更持久的湍流状态和更多的加热，但其他性质类似。从几何上讲，方位平均场分量打破了径向情况下的圆柱对称性：随着等离子体的膨胀，涡旋在方位和垂直方向上被拉长，但这与局部场方向不同，产生了具有两个不同垂直相关长度$(\ell _{\perp ,\textrm {T}}$（切向）和$\ell _{\perp ,\textrm {N}}$（法向）的各向异性带状结构。这些横向长度由于场方向和膨胀方向的差异而远小于径向平均场中的$\ell _\perp$，并设定了有效的非线性外尺度。这导致有效的$\ell _\perp$最初随膨胀而增长，就像在径向场中一样，但随后会饱和，意味着非线性时间不再相对于膨胀时间增加。这种行为导致$\chi _{\textrm {exp}}$在后期趋于平坦，延长了非线性级联的不平衡阶段，从而在更大的距离上继续耗散能量，而不是像在径向情况下那样冻结成微弱的涡旋状态（见第2.4.1节和第4节）。我们提供了多种额外的诊断方法，这些方法可能与实地观测结果相关联。在圆图$(\sigma _c,\sigma _r$；图11）上的共同演化——从太阳附近的高$\sigma _c$、小$\sigma _r$，到更大半径处降低的$\sigma _c$和更负的$\sigma _r$——取决于PS角度（Bavassano, Pietropaolo和Bruno参考文献Bavassano, Pietropaolo和Bruno1998；Bruno等人参考文献Bruno, D’Amicis, Bavassano, Carbone和Sorriso-Valvo2007；Wicks等人参考文献Wicks, Roberts, Mallet, Schekochihin, Horbury和Chen2013；Meyrand等人参考文献Meyrand, Squire, Mallet和Chandran2025），PS角度使轨迹偏离圆圈边缘的程度更大。有趣的是，PS几何形状并不系统地增加或减少压缩性活动；可压缩性诊断指标（例如$C_B$、$\delta \rho _{\textrm { rms}}/\langle \rho \rangle$）在PS运行中并没有显示出持续的增强。相反，PS情况与径向情况之间的差异反映了PS间隔保持更多的Alfvén特性，因此保留了接近恒定$|\boldsymbol B|$的旋转到更大的$a$。这使得PS几何形状下的SBs通常更尖锐、更具Alfvén特性。包括PS成分往往会增加SBs随着膨胀而增长和持续的寿命，但一旦$\varPhi \gt 45^\circ$，$v_{\textrm {A}}$的衰减减慢可能会阻止这种增长（见图13）。这些预测可以通过航天器观测直接验证，也许可以通过比较不同日心纬度来进行。我们的结果受到几个受控近似的限制：它们是从具有恒定太阳风速度的可压缩局部等温MHD模拟中获得的。因此，该模型最直接适用于此处探索的参数范围之外的大Alfvén点区域——在Alfvén点内部放大波动的过程（以及加速背景）没有被包括在内，而且在这样的情况下也没有PS。因此，我们的模拟应该被视为已经存在于Alfvén点或超出Alfvén点的大幅度向外$z^+$扰动的非线性演化。为了研究波的早期放大，必须采用能够捕捉加速风的框架（van Ballegooijen等人参考文献van Ballegooijen, Asgari-Targhi, Cranmer和DeLuca2011；Tenerani和Velli参考文献Tenerani和Velli2017；Chandran和Perez参考文献Chandran和Perez2019；Shoda等人参考文献Shoda, Chandran和Cranmer2021）。除了这些注意事项，我们还指出了未来工作的几个重要限制和方向。首先，平行方向的有限盒子大小（$L_{\parallel}$）限制了可以表示的最长平行波长，因此可能会偏置测量的相关长度和衰减率；需要系统性的域大小扫描来量化这些效应。其次，局部等温MHD近似忽略了动力物理学（例如无碰撞阻尼、压力各向异性和其他波-粒子过程），这些过程可以修改反射和耗散，因此需要扩展到动力学或混合模型来评估当前MHD结果的稳健性。第三，我们的一些结论取决于初始条件的假设光谱参数（例如$k_{\textrm {width}}$和$\kappa$）；应该通过受控变化来探索动力学对初始光谱宽度的敏感性。最后，我们尚未完全探索膨胀-非线性比率的空间：需要使用不同的$\chi _{\textrm {exp}}$和更高的初始波动幅度进行进一步的运行，以绘制向更强非线性的过渡，并确定结果如何随初始条件变化。致谢作者衷心感谢R. Meyrand、Z. Johnston和B.D.G. Chandran对这项工作的宝贵讨论和见解。这项研究得到了奥塔哥大学通过奥塔哥大学博士奖学金（K.A.）以及皇家学会Te Apārangi通过Marsden基金MFP-UOO2221（J.S.）的支持。计算资源由新西兰eScience基础设施（NeSI）在项目编号uoo02637下提供。编辑Thierry Passot感谢审稿人在评估本文时提供的建议。利益声明作者报告没有利益冲突。附录A. 线性演化为了 isolate 我们的全非线性模拟所基于的类波动力学，我们检查了在膨胀盒子框架中小Alfvén扰动的线性演化。假设不可压缩性，我们对（2.8）进行线性化，选择$\boldsymbol{\nabla }p$来强制执行$\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^\pm =0$。对于单一傅里叶模式，我们使用平面波假设（A1）\begin{equation} \boldsymbol z_1^{\pm }(\boldsymbol r,t)=\boldsymbol z_1^{\pm }(t)e^{i\boldsymbol k(t)\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol r}, \end{equation}，其展开的波矢分量（A2）\begin{equation} \boldsymbol k(t) = (k_{x0},\;k_{y0}/a,\;k_{z0}/a) \equiv (k_x,\;k_y/a,\;k_z/a). \end{equation}。因此，（A3）\begin{equation} \dot {\boldsymbol k}(t) = -\frac {\dot a}{a}\boldsymbol k_{\perp }(t),\qquad \boldsymbol k_{\perp }=(0,k_y,k_z). \end{equation}。背景Alfvén速度是（A4）\begin{equation} \boldsymbol v_{\textrm {A}}(t)=\big (v_{\textrm { A0}x}/a,\;v_{\textrm {A0}y},\;0\big ), \end{equation}，所以Alfvén频率是（A5）\begin{equation} \omega _{\textrm {A}}(t)\equiv \boldsymbol v_{\textrm {A}}(t)\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol k(t)=\frac {1}{a}(\boldsymbol k_0\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol v_{\textrm {A0}}), \end{equation}，其中$\boldsymbol k_0=(k_{x0},k_{y0},k_{z0})$是在$a=1$时的波矢。将（2.8）线性化并插入平面波假设后得到（除以相位因子后）（A6）\begin{equation} \frac {\text{d}\boldsymbol z^{\pm }}{\text{d}t} \pm i(\boldsymbol v_A\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol k)\boldsymbol z^{\pm } + i\boldsymbol k p' = \boldsymbol S^{\pm }(t), \end{equation}，其中展开项简洁地表示为（A7）\begin{equation} \boldsymbol S^{\pm }(t)= -\frac {\dot a}{2a}\mathbb T\boldsymbol{\cdot }(\boldsymbol z^+ + \boldsymbol z^-)-\frac {\dot a}{2a}(z_x^{\pm }-z_x^{\mp })\hat {\boldsymbol x}, \end{equation}，其中$\mathbb T=\mathrm{diag}(0,1,1)$。通过逐模式强制执行不可压缩性得到（A8）\begin{equation} \boldsymbol k\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^{\pm }(t)=0, \end{equation}，由此得到（A9）\begin{equation} \boldsymbol k\boldsymbol{\cdot }\frac {\text{d}\boldsymbol z^{\pm }}{\text{d}t} = -\dot {\boldsymbol k}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^{\pm }. \end{equation}。将（A6）与$\boldsymbol k$进行点积并代入（A9）得到强制执行不可压缩性所需的压力标量表达式（A10）\begin{equation} p' = \frac {1}{i|\boldsymbol k|^2}\big (\boldsymbol k\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol S^{\pm } + \dot {\boldsymbol k}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^{\pm }\big ). \end{equation}。将（A10）代回（A6）并重新排列后得到封闭的向量常微分方程（A11）\begin{equation} \frac {\text{d}\boldsymbol z^{\pm }}{\text{d}t} \pm i\omega _{\textrm {A}}\boldsymbol z^{\pm } = \varPi \boldsymbol S^{\pm } - \boldsymbol k\frac {\dot {\boldsymbol k}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^{\pm }}{|\boldsymbol k|^2}, \end{equation}，其中$\varPi =\mathbb I - \boldsymbol k\boldsymbol k/|\boldsymbol k|^2$是投影到$\boldsymbol k$垂直平面的算子。右侧的最后一项与$\boldsymbol k$平行，因此在投影到横向基础时消失；尽管如此，它仍然通过（A10）对标量压力$p'$有所贡献。图15. 对于径向磁场（$\varPhi _0 = 0^\circ$；左）和PS（$\varPhi _0 = 5^\circ$；右）的线性膨胀不可压缩MHD方程的解。初始条件是由归一化极化$\tilde {\boldsymbol{z}}^+(a=1)=\boldsymbol k_0\times \bar {\boldsymbol B}$和$\boldsymbol z^-(a=1)=0$设定的纯向外扰动。使用的其他参数是（$|\boldsymbol k_0|=2\pi$、$\theta _{p0}=70^\circ$、$\varphi =90^\circ$），但这些选择对结果影响不大。实线显示向外分量$|\boldsymbol z^+|$，虚线显示向内分量$|\boldsymbol z^-|$；颜色标记不同的$\varDelta \in \{8.6,4.3,1.3,0.4,0.1\}$（图例）。灰色的垂直虚线标记$\varPhi =45^\circ$作为参考。使用$s=\ln a$作为独立变量是方便的。由于$d/dt=(\dot a/a)\partial _{\ln a}$，将（A11）乘以$a/\dot a$并简化后得到$x,y,z$基础上的分量演化。用初始波矢$\boldsymbol k_0$表示向量并使用（A3）得到（A12）\begin{align} \partial _{\ln a}\begin{pmatrix} z_x^{\pm }\\[2pt] z_y^{\pm }\\[2pt] z_z^{\pm } \end{pmatrix} &= \mp \frac {i}{\dot a}(\boldsymbol k_0\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol v_{A0})\begin{pmatrix} z_x^{\pm }\\[2pt] z_y^{\pm }\\[2pt] z_z^{\pm } \end{pmatrix} - \tfrac 12\begin{pmatrix} z_x^{\pm } - z_x^{\mp }\\[2pt] z_y^{\pm } + z_y^{\mp }\\[2pt] z_z^{\pm } + z_z^{\mp } \end{pmatrix}\nonumber \\ &\quad + \frac {\boldsymbol k(t)}{2|\boldsymbol k(t)|^2}\big [ 2\,\boldsymbol k_{\perp }(t)\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^{\pm } + k_{x0}(z_x^{\pm } - z_x^{\mp }) + \boldsymbol k_{\perp }(t)\boldsymbol{\cdot }(\boldsymbol z^+ + \boldsymbol z^- )\big ]. \end{align}。$+2\,\boldsymbol k_{\perp }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^{\pm }$项来自于将压力分子中的$\dot {\boldsymbol k}\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol z^{\pm }$项与$a/\dot a$相结合；其余项直接来自$\varPi \boldsymbol S^{\pm }$。如正文中所讨论的，控制线性波动性质的关键参数是比率（A13）\begin{equation} \varDelta \equiv \frac {\boldsymbol{k}(a) \boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{v}_A(a)}{\dot {a}/a} = \frac {k_{x0} v_{A0x} + k_{y0} v_{A0y}}{\dot {a}}. \end{equation》。由于PS组分的混合缩放，这与$a$无关。我们允许波矢$\boldsymbol k$在所有三个方向上都有分量，以便采样完整的几何方向范围。因此我们参数化（A14）\begin{equation} \boldsymbol{k}(a)=k_0\bigl (\cos \theta _{p0},\; a^{-1}\sin \theta _{p0}\cos \varphi ,\; a^{-1}\sin \theta _{p0}\sin \varphi \bigr ). \end{equation》。根据这个约定，$(\varphi =\pm \pi /2)$将$\boldsymbol{k}$放置在垂直于PS平均场的平面上，而$(\varphi =0)$或$(\varphi =\pi )$将$\boldsymbol{k}$放置在与PS相同的平面上（见第2.4节）。图15展示了（A12）在$\varPhi _0=0$和$\varPhi _0=5^\circ$时的解。初始条件是纯向外波，其中$\boldsymbol z^+(a=1)=(\boldsymbol k_0 \times \bar {\boldsymbol B})$归一化为单位振幅，$\boldsymbol z^-(a=1)=0$。在PS解中，唯一的模型变化是平均场倾角$\varPhi _0$，它引入了一个非零的横向Alfvén分量$v_{\textrm {A}0\textit {y}}=v_0\sin {\varPhi _0}$。这修改了压力/投影项，以及$x$方向上修改后的反射项的相关性，因为对于径向场，$z^+_x=0$。对于$|\varDelta |\gt 0.5$的模式，Alfvén传播项占主导地位，向外波动$\tilde z^+$以振荡相位传播且幅度几乎恒定，而反射分量$\tilde z^-$保持较小且振荡：$|\tilde z^-|$的符号交替变化且不会长期增长，因为恢复的Alfvén力抵消了膨胀项。相比之下，对于长波长（膨胀主导）的模式，其中$|\varDelta |\lt 0.5$，膨胀项压倒了Alfvén恢复力，模式变为非振荡的（过阻尼的），向外能量稳定地转化为向内波动，$z^-$达到有限的或缓慢增长的幅度，与$z^+$相当（Meyrand等人参考文献Meyrand, Squire, Mallet和Chandran2025）。有趣的是，对于PS配置获得的结果与纯径向情况几乎相同。因此，PS中的线性动力学并没有引入质的新特征，这些特征在径向场情况下已经存在。这部分可以解释为什么在两种情况下RDT的行为相似，除了$\ell _\perp$的演变之外。附录B中提到了数值伪影：在PS（PS run）运行中，当平均场螺旋角超过约70°时，通常会出现数值不稳定性。这种不稳定性的开始表现为横向Els?sser场中出现网格尺度的斑点状噪声，以及向内Els?sser能量$\tilde {E}^-$的突然、看似非物理性的峰值。图16和图17分别展示了一个代表性的快照和相应的时间序列。图16显示了在$a=39$、$\varPhi _0=5^\circ$的运行中，$y$-$z$平面上$|\boldsymbol{z}^\pm _\perp |/|\boldsymbol{z}^\pm _\perp |_{\textrm {rms}}$的快照，该快照显示了在大螺旋角时网格尺度斑点状噪声的出现。图17显示了MR- $\varPhi _0=0^\circ, 2^\circ, 5^\circ$运行中向外能量的时间序列。红色曲线是额外的运行结果，其参数为$k_{\textrm {peak}} = (3.0, 3.0)$和$\varPhi _0 =10^\circ$，用于说明在更大扩展角度$a$（$\varPhi \gtrsim 70^\circ$）下的行为。红色阴影区域标记了$\varPhi _0=10^\circ$运行中向内能量突然增加的时机。有几点证据表明这种行为是数值上的而非物理上的：（i）能量跳跃是突然的，并且与网格尺度噪声的视觉表现一致；（ii）在多次运行和不同分辨率下，这种现象都能重现，同时在线性情况下没有类似的转变（见附录A）。在相同的运行时间和参数设置下，对于纯径向配置，显然不存在这种不稳定性，这反驳了仅由简单膨胀引起的解释。这些结果可能与高度各向异性的计算域无法解析小的垂直结构有关。特别是，在大螺旋角下，PS几何结构使流动强烈各向异性，导致有效的垂直梯度变陡，从而降低了横向结构的有效分辨率，可能引起了数值问题。鉴于大尺度统计数据的持续失真超出了经验阈值（大约70°），我们将平均场螺旋角超过该阈值的数据从正文中呈现的定量分析中排除了出去。排除边界是通过检查快照、能量增长和谱来确定的。我们强调这个阈值是经验性的，而在更大角度下可能发生的有趣物理现象将是未来研究的重要课题。