关于非负多项式的奇数次幂（这些多项式不是平方和的形式）

《Forum of Mathematics, Sigma》：On odd powers of nonnegative polynomials that are not sums of squares

　　摘要 我们开始系统研究非负多项式P，使得对于任何奇数k≥1，P^k都不表示为平方和，我们将这样的P称为“顽固多项式”。我们为平面上的非负多项式的实数孤立零点开发了一个新的不变量，我们称之为SOS不变量，并将其与平面曲线奇点的经典delta不变量进行了关联。利用SOS不变量，我们证明了任何能够张成非负三元形式凸锥极值射线的多项式都是顽固的。我们还展示了如何使用SOS不变量来证明更高阶三元形式的顽固性。此外，我们还证明了在给定的度和变量数量下，非顽固多项式构成一个凸锥，其内部包含所有严格正的多项式。

1 引言 非负多项式与平方和之间的关系是实代数几何中的一个基本问题。目前已经有很多关于非负多项式（不是多项式的平方和）的构造和存在性的研究成果[参考文献Choi和Lam14、Reznick35、Reznick39、Blekherman3、Blekherman、Iliman和Kubitzke6、Brugallé、Degtyarev、Itenberg和Mangolte7]。将P^k分解为平方和（其中k为奇数整数）也可以证明P的非负性，因此合理的问题是这是否适用于所有非负多项式P。我们开始系统研究非负多项式P，使得对于任何奇数正整数k，P^k都不表示为平方和。我们将这样的多项式称为顽固多项式。目前对于顽固多项式了解得还不多，除了少数孤立例子。我们的主要结果之一是，非负三元六次式（在3个变量上的齐次多项式，度数为6）的凸锥的所有极值射线都是顽固的。更一般地，对于一个非负三元形式P，我们开发了一个新的不变量δ^sos，我们称之为平方和不变量或SOS不变量；如果P的所有实数奇点的δ^sos之和足够大，那么P就是顽固的。这意味着对于三元六次式也成立，并且使我们能够构造更高阶的顽固形式。我们将SOS不变量与平面曲线奇点的经典delta不变量进行了比较，并展示了它们在重数为2的奇点情况下是一致的，但通常情况下它们是不相等的。我们证明了，只要非负形式不等于平方和，那么在固定的度和变量数量下就存在顽固形式。我们还证明了非顽固非负多项式构成一个凸锥，其内部包含所有严格正的多项式。

2 历史回顾 对于正整数n, d，让F_n,d表示n个变量上的d次实数形式（齐次多项式）的空间。我们注意到，分析非负性和平方和的问题时，只需考虑齐次多项式，因为齐次化和去齐次化都保持了非负性和平方和的性质。从现在开始，我们将使用“形式”这一术语。如果对于任何X∈R^n，都有P(X)≥0，则称形式P为非负的。如果对于所有X≠0，都有P(X)>0，则称P为严格正的。如果P=H_1^2+…+H_r^2，其中H_1,…, H_r∈F_n/d/2且每个H_r的度数为d/2，则称P为平方和。显然，每个平方和都是非负的，并且非负形式的度数必须是偶数。根据Choi和Lam[参考文献Choi和Lam13]的定义，让P_n,d和Σ_n,d分别表示F_n,d中的非负形式和平方和形式的封闭凸锥。P_n,d的内部∫(P_n,d)恰好由d次的严格正形式组成。让Δ_n,d := P_n,d?Σ_n,d表示这两个锥的差集。Hilbert[参考文献Hilbert23]证明了Δ_n,d≠?当且仅当n≥3且d≥6或n≥4且d≥4（见图3）。三元六次式Motzkin形式M∈F_3,6（1.1）$$\begin{align} M = X_1^4X_2^2 + X_1^2X_2^4 + X_3^6 - 3X_1^2X_2^2X_3^2, \end{align}$$是第一个不是平方和的非负形式的显式例子[参考文献Motzkin27]。另一个早期的例子是在Δ_3,6中的形式（1.2）$$\begin{align}\begin{aligned} R &= X_1^6 + X_2^6 + X_3^6 + 3X_1^2X_2^2X_3^2\\ & - (X_1^4X_2^2 + X_1^2X_2^4+X_1^4X_3^2+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2+ X_2^2X_3^4), \end{aligned}\end{align}$$，由Robinson在[参考文献Robinson40]中发现。Hilbert的第17个问题询问，对于P∈P_n,d，是否存在Q∈F_n,d'，使得Q^2P∈Σ_n,d+2d'。1927年，Artin[参考文献Artin1]在更一般的实闭域设置中解决了这个问题。用等价的说法，任何非负形式都可以写成有理函数的平方和。后来，多位作者研究了Hilbert第17个问题的各种变体[参考文献Pólya31、Habicht20、Delzell17、Reznick37]。特别是，对于一个非负形式Q，人们想知道对于所有P∈P_n,d，形式PQ^k是否对于某些大的k≥1是平方和。这个问题有两个方面：对于固定的P，可以将其视为Hilbert第17个问题的加强版本，因为分母被限制为某个固定多项式Q的幂；另一方面，取P=1并仅允许k为奇数，尝试将Q的某个奇数幂表示为平方和。Reznick[参考文献Reznick36]证明了，任何严格正的形式P乘以足够大的Q^k（对于Q=X_1^2+…+X_n^2）都是平方和（这并不适用于所有非负形式P[参考文献Reznick38]）。更一般地，Scheiderer[参考文献Scheiderer42]证明了，如果Q∈∫(P_n,d')且P∈∫(P_n,d)是两个严格正的形式，那么PQ^k对于所有足够大的k都是平方和。因此，如果P∈∫(P_n,d)是严格正的，那么P^k对于所有足够大的k也是平方和。在当前的工作中，我们研究了非平方和形式P∈P_n,d（位于非负形式锥的边界）的这一性质。作为平方和，P的偶数幂P^{2k}=(P^k)^2∈Σ_n,2kd是平方和。如果P^{2k+1}∈Σ_n,(2k+1)d对于某些k≥0是平方和，我们说P具有奇数幂的平方和性质。否则，形式P∈P_n,d将被称为顽固的。如果一个非负形式P∈P_n,d能够张成锥P_n,d的极值射线，则称其为极端形式。P_n,d中的极端形式集合记为?(P_n,d)。当P∈?(P_n,d)张成暴露的极值射线时，我们说P是暴露的极端形式。Motzkin形式（1.1）是P_3,6中的一个非暴露极端形式的例子（见[参考文献Choi和Lam14，第8页]、[参考文献Reznick34，定理5]以及[参考文献Blekherman, Hauenstein, Ottem, Ranestad和Sturmfels4，定理2]的证明），而Robinson形式（1.2）是一个暴露的极端三元六次式（见[参考文献Choi和Lam13，定理3.8]）。在[参考文献Choi和Lam13, 参考文献Choi和Lam14]中，Choi和Lam还研究了以下三元六次式和四次式：（1.3）$$\begin{aligned} \begin{aligned} S &= X_1^4X_2^2+X_2^4X_3^2+X_3^4X_1^2-3X_1^2X_2^2X_3^2,\\ Q &= X_4^4+X_1^2X_2^2+X_1^2X_3^2+X_2^2X_3^2-4X_1X_2X_3X_4. \end{aligned} \end{align}$$他们证明了S∈Δ_3,6，Q∈Δ_4,4是非平方和的极端非负形式。1979年，Stengle[参考文献Stengle44]证明了三元六次式（1.4）$$\begin{aligned} \begin{aligned} T = X_1^3X_3^3 + (X_2^2X_3 - X_1^3 - X_1X_3^2)^2 \end{aligned} \end{aligned}$$是顽固的。论文[参考文献Stengle44]报告说Reznick用不同的论证证明了S是顽固的。1982年，Choi、Dai、Lam和Reznick[参考文献Choi, Dai, Lam和Reznick12]引用了Stengle的例子（1.4）并声称M也具有相同的性质。当时没有给出M或S的证明。在3.4小节中，我们包括了M是顽固的这一早期证明。这项工作特别受到了Jim McEnerney关于这些声称结果的参考文献的询问的启发。在2023年7月在埃因霍温举行的应用代数几何会议（AG23）上，Reznick提出了一个猜想，即Δ_3,6中的所有极端形式都是顽固的。在当前的工作中，我们解决了这个猜想。

定理1.1：设P∈?(P_3,6)∩Δ_3,6是一个极端非负三元六次式且不是平方和。那么P是顽固的，即P^{2k+1}∈Δ_3,6(2k+1)对于所有k≥0都不是平方和。作为这个结果的直接后果，我们有以下推论。推论1.2：形式M、R和S都是顽固的，即M^{2k+1}, R^{2k+1}, S^{2k+1}∈Δ_3,6(2k+1)对于所有k≥0都不是平方和。注1.3：定理1.1并不蕴含Stengle的上述结果，因为三元六次式T∈Δ_3,6不是极端形式（见3.5小节）。此外，根据我们上面提到的Scheiderer[参考文献Scheiderer42]的结果，所有足够大的P^{2k+1}的幂都是严格正形式P∈∫(P_n,d)的平方和。更一般地，我们为非负三元形式的实数零点开发了一个新的不变量，我们称之为SOS不变量。它可以与平面曲线奇点的经典delta不变量进行比较（见2.3小节）。主要思想是，如果P∈P_3,d的所有实数零点的SOS不变量之和太大（具体来说，大于d^2/4），那么P必须是顽固的，见定理3.10。例如，对于Δ_3,6中的极端三元六次式，这种情况就会发生。对于更高的度数，由于Brugallé等人的研究[参考文献Brugallé, Degtyarev, Itenberg和Mangolte7]，这样的形式是存在的。然而，定理1.1并不允许直接推广，因为除了(n,d) = (3,6)的情况外，目前还没有已知的方法来表征P_n,d中的极端形式与实数零点的数量之间的关系。通过将具有超过d^2/4个实数零点的P∈P_n,d视为n≥4个变量中的形式，我们证明了在任何变量数量下都存在顽固形式，见定理4.2。在第4节中，我们还证明了在(1.3)中定义的四次式Q∈Δ_4,4和Horn形式F∈Δ_5,4（1.5）$$\begin{align} F = \left(\sum_{j=1}^5 X_j^2\right)^2 - 4\ \sum_{j=1}^5 X_j^2X_{j+1}^2, \end{align}$$都是顽固的。注1.4：Horn形式最初被定义为在X_1^2,…, X_5^2中的二次形式。Horn在20世纪60年代初将其告知Hall，作为对Diananda提出的一个猜想的反例，该猜想认为在非负象限上非负的二次形式是仅由非负系数组成的二次形式和的组合（见[参考文献Diananda18，第25页和[参考文献Hall和Newman21，第334-5页]）。在第5节中，我们系统研究了允许奇数幂平方和的非顽固形式集合。对于k≥0，定义（1.6）$$\begin{align} \Sigma_{n,d}(2k+1) = \{\ P ∈ P_n,d \, :\, P^{2k+1} ∈ Σ_{n,d(2k+1) \}. \end{align}$$注意Σ_n,d(1) = Σ_n,d，并且由于P^{2k+3} = P^{2k+1}\cdot P^2，我们有包含关系Σ_n,d(2k+1) ? Σ_n,d(2k+3)，因此定义（1.7）$$\begin{align} \Sigma_{n,d}(\infty) = \bigcup_{k\,\geq\, 0} Σ_{n,d}(2k+1). \end{align}$$是有意义的。让Δ_n,d(∞) = P_n,d?Σ_n,d(∞)表示P_n,d中的顽固形式集合。有了这些符号，我们有M, R, S, T ∈ Δ_3,6(∞)，Q∈Δ_4,4(∞)和F∈Δ_5,4(∞)。由于Σ_n,d和P_n,d都是封闭凸锥，自然会问这对Σ_n,d(2k+1)和Σ_n,d(∞)是否也成立。首先观察到，如果 $(P_i) \subset \Sigma _{n,d}(2k+1)$ 是一系列形式，它们收敛于 $P=\lim _{i\rightarrow \infty } P_i$，那么幂次序列 $(P_i^{2k+1})\subset \Sigma _{n,d(2k+1)}$ 也会收敛于 $P^{2k+1}=\lim _{i\rightarrow \infty } P^{2k+1}_i$。由于平方和锥的闭合性，这意味着 $P\in \Sigma _{n,d}(2k+1)$，因此 $\Sigma _{n,d}(2k+1)$ 是闭合的。当 $k>0$ 时，目前尚不清楚 $\Sigma _{n,d}(2k+1)$ 是否是凸的。也就是说，如果 $P_1^{2k+1}$ 和 $P_2^{2k+1}$ 是平方和，那么 $(P_1+P_2)^{2k+1}$ 也必须是平方和吗？我们在定理 5.1 中证明了，如果 $P_1^{2k+1}$ 是平方和，并且 $P_2$ 也是平方和，那么 $(P_1+P_2)^{2k+1}$ 也是平方和。这是更一般的定理 5.3 的一个特例，该定理特别证明了 $\Sigma _{n,d}(\infty )$ 是凸的。然而，请注意，当 $\Delta _{n,d}(\infty ) \neq \emptyset$ 时，$\Sigma _{n,d}(\infty )$ 是不闭合的，即如果 $\Delta _{n,d}\neq \emptyset$（参见定理 4.2）。实际上，一个形式 $P\in \Delta _{n,d}(\infty )=P_{n,d}\setminus \Sigma _{n,d}(\infty )$ 位于开锥 $\textrm {int}(P_{n,d}) \subset \Sigma _{n,d}(\infty )$ 的闭包中，而每个严格正的形式都有一个平方和的奇数次幂。因此，Motzkin 形式（1.1）可以作为极限 $M=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+} M_\varepsilon $ 获得，其中 $ M_\varepsilon = M + \varepsilon (X_1^2 + X_2^2 + X_3^2)^3$ 对于 $\varepsilon>0$ 是严格正的。根据定理 5.1，我们看到 $\{ \varepsilon \geq 0: M_\varepsilon \in \Sigma _{3,6}(2k+1)\}$ 是形如 $[\beta _{2k+1},\infty )$ 的区间，对于某个 $\beta _{2k+1}>0$。在 $M_\varepsilon $ 中，$X_1^2X_2^2X_3^2$ 的系数是 $-3+6\varepsilon $，所以 $\beta _1 \le \frac 12$。此外，有 $\beta _1\geq \beta _3\geq \beta _5\geq \dots $，并且 $\lim _{k\rightarrow \infty }\beta _{2k+1} = 0$。因此，存在无限多的 $k$ 使得 $\Sigma _{3,6}(2k+1) \subsetneq \Sigma _{3,6}(2k+3)$。我们强烈相信这对于所有 $k\geq 0$ 都是成立的。注 1.5。由于非负性或平方和的性质在多项式的（去）齐次化下是不变的，对于 $P\in P_{n,d}$，如果 $P^{2k+1}$ 是平方和，那么去齐次化后的多项式 $p(x_1,\dots , x_{n-1}):=P(x_1,\dots , x_{n-1},1)$ 的 $p^{2k+1}$ 也是平方和。特别是，如果 $P_{n,d}$ 中存在顽固的形式，那么必定存在$d$次的（$n-1$元）顽固非负多项式。基于定理 1.1 和第 4 节的定理 4.1，我们提出以下猜想。猜想 1.6。设 $\Delta _{n,d}\neq \varnothing$，即 $n\geq 3$，$d\geq 6$ 或者 $n\geq 4$，$d\geq 4$。那么每个极端的非负形式 $P \in \mathcal {E}(P_{n,d})\cap \Delta _{n,d}$ 如果不是平方和，那么它是顽固的，即 $P\in \Delta _{n,d}(\infty )$。

2. 初步知识
在这里，我们收集了在整个文本中使用的定义和辅助结果。
2.1 消失阶数
一个形式 $F\in F_{n,d}$ 在 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^{n-1}$ 处的消失阶数或简单来说，重数至少为 $m\in \mathbb {N}$，如果对所有的 $\alpha \in \mathbb {N}^n$ 有 $\partial _{\mathbf {X}}^{\,\alpha } F(\mathbf {X}^*)=0$，且 $\vert \alpha \vert =\alpha _1+\dots +\alpha _n\leq m-1$。这等价于直到 $m-1$ 阶的方向导数都消失，（2.1）
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm{{d}}^i}{\mathrm{{d}}\varepsilon^i}\bigg|_{\varepsilon=0} F(\mathbf{X}^*+\varepsilon \mathbf{V})\ =\ 0\quad\textrm{对所有} \quad \mathbf{V}\in \mathbb{C}^n\quad \textrm{和}\quad i=0,1,\dots, m-1。
\end{align}
$$
特别地，F 在其零点 $\mathbf {X}^*\in \mathcal {V}(F)\subset \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^{n-1}$ 处的重数至少为 $1$，在超曲面 $\mathcal {V}(F)\subset \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^{n-1}$ 的奇点处的重数至少为 $2$。如果 m 是满足（2.1）的最大整数，我们说 F 在 $\mathbf {X}^*$ 处的重数（恰好）是 m，并写作 $m_{\mathbf {X}^*}(F)=m$。如果 $F\in F_{n,d}$ 在 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^{n-1}$ 处的重数为 $2$，并且 F 在 $\mathbf {X}^*$ 处的 Hessian 矩阵
$$
\begin{align*}\textrm{Hess}_{\mathbf{X}^*} F\ :=\ \left(\partial_{x_i}\partial_{x_j} F(\mathbf{X}^*)\right)_{i,j=1}^n
\end{align*}
$$
的秩（记为 $\textrm {rk}\,( \textrm {Hess}_{\mathbf {X}^*} F) = n-1$，则称 $\mathbf {X}^*$ 是 $\mathcal {V}(F)$ 的一个普通奇点。一个非负形式 $P\in P_{n,d}$ 在 $\mathbb {P}_{\mathbb {R}}^{n-1}$ 的实零点 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}_{\mathbb {R}}^{n-1}$ 是 $\mathcal {V}(P)\subset \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^{n-1}$ 的一个奇点。如果 $\mathbf {X}^*$ 是一个普通奇点，有时称为 P 的一个圆零点 [参考文献 Scheiderer42]。那么，在这样的 $\mathbf {X}^*$ 处，$P\in P_{n,d}$ 的 Hessian 矩阵 $\textrm {Hess}_{\mathbf {X}^*} P$ 必须是半正定的且余秩为一。
注 2.1。一个非负的 $P\in P_{n,d}$ 在 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}_{\mathbb {R}}^{n-1}$ 处的重数 $m=m_{\mathbf {X}^*}(P)$ 是偶数。如果不是这样，P 在 $\mathbf {X}^*$ 处的泰勒展开将意味着限制
$$\begin{align*}P(\mathbf{X}^*+t \mathbf{V})\ =\ \frac{1}{m!} \frac{\mathrm{{d}}^m}{\mathrm{{d}}\varepsilon^m}\bigg|_{\varepsilon =0} P(\mathbf{X}^*+\varepsilon \mathbf{V})\, t^m+O(t^{m+1})
\end{align*}
$$
到通过 $\mathbf {X}^*$ 的某条线上的结果不是非负的。给定一个非负形式 $P\in P_{n,d}$ 在 $\mathbb {P}_{\mathbb {R}}^{n-1}$ 的实零点 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}_{\mathbb {R}}^{n-1}$，Reznick [参考文献 Reznick39] 考虑了一个子空间
$$
\begin{align*} E(P,\mathbf{X}^*)\ =\ \left\{Q\in F_{n,d/2}\,:\, P-\varepsilon Q^2\geq 0\ \textrm{在某个$\mathbf{X}^*\附近的某个邻域内\ \textrm{对于某些}\ \varepsilon>0\right\}
\end{align*}
$$
其半度形式的平方（在常数范围内）在 $\mathbf {X}^*$ 附近被 P 上界限制，这里的拓扑是（由）欧几里得拓扑诱导的。在下文中，我们将 $E(P,\mathbf {X}^*)$ 称为 P 在 $\mathbf {X}^*$ 处的局部 SOS-支撑。我们称这个 $F_{n,d/2}$ 的线性子空间的余维数为 P 在 $X^*$ 处的半度不变量，并用（2.2）表示
$$
\begin{align}
\delta^{\,\textrm{hd}}(P,\mathbf{X}^*)\ =\ {n-1+d/2 \choose d/2} - \dim E(P,\mathbf{X}^*).
\end{align}
$$
换句话说，[参考文献 Reznick39] 中定义的量 $\delta ^{\,\textrm {hd}}(P,\mathbf {X}^*)$ 计算了必须在 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {R}^n$ 附近的某个邻域内对 $d/2$ 阶形式 Q 施加的线性条件数量，以便其平方 $Q^2$（在乘法常数范围内）被 P 上界限制。
例 2.2。如果 $\mathbf {X}^*$ 是 P 的一个实零点，那么为了使 $\varepsilon Q^2$（对于某个 $\varepsilon>0$）在局部被 P 上界限制，我们必须有 $Q(\mathbf {X}^*)=0$。因此，$Q^2$ 在 $\mathbf {X}^*$ 附近的泰勒展开从二阶或更高阶的项开始。如果 $\mathbf {X}^*$ 是一个圆零点，通过选择一个足够小的 $\varepsilon>0$，$\varepsilon Q(\mathbf {X}^*+\mathbf {X})^2$ 的值将被 $P(\mathbf {X}^*+\mathbf {X})=\frac {1}{2}\mathbf {X}^{\mathsf T}\textrm{{Hess}}_{\mathbf {X}^*}(P) \mathbf {X} + O(\Vert \mathbf {X}\Vert ^3)$ 所限制。因此，在圆零点的情况下，Q 不需要进一步的条件，所以 $\delta ^{\,\textrm{{hd}}(P,\mathbf {X}^*)=1$。相反，如果 $\mathbf {X}^{\prime \mathsf T}\textrm{{Hess}}_{\mathbf {X}^*}(P) \mathbf {X}'=0$ 对于某些 $\mathbf {X}'\in \mathbb {R}^n$ 不与 $\mathbf {X}$ 成比例，那么（由于 P 的非负性）单变量多项式 $t\mapsto P(\mathbf {X}^*+t \mathbf {X}')$ 在 $t=0$ 处的重数至少为 $4$。为了使 $\varepsilon Q(\mathbf {X}^*+t\mathbf {X}')^2$ 在 $\mathbb {R}$ 中的小值范围内被 P 上界限制，必须有方向导数
$\frac {\mathrm{{d}}}{\mathrm{{d}} t}\big |_{t=0} Q(\mathbf {X}^*+t\mathbf {X}')=0$ 的消失。这是对 $Q\in E(P,\mathbf {X}^*)$ 施加的线性条件（以及 $Q(\mathbf {X}^*)=0$），因此 $\delta ^{\,\textrm{{hd}}(P,\mathbf {X}^*)\geq 2$。在更一般的情况下，需要对 Q 的（更高阶）方向导数施加条件。以下引理涵盖了一个特殊的兴趣案例。
引理 2.3。设 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}_{\mathbb {R}}^{n-1}$ 是一个非负形式 $P\in P_{n,d}$ 的实零点，设 $k\in \mathbb {N}$ 并且设 $H\in E(P^k,\mathbf {X}^*)$。那么 $m_{\mathbf {X}^*}(P^k)= k\,m_{\mathbf {X}^*}(P)$ 并且 $m_{\mathbf {X}^*}(H)\geq k\,m_{\mathbf {X}^*}(P)/2$。
证明。第一个声明来自重数的定义。特别是，对于任何 $\mathbf {V}\in \mathbb {R}^n$，单变量多项式 $t\mapsto P^k(\mathbf {X}^*+t \mathbf {V})$ 可以被 $t^{k\,m_{\mathbf {X}^*}(P)}$ 整除，这意味着 $P^k$ 在 $\mathbf {X}^*$ 处的所有小于 $k\,m_{\mathbf {X}^*}(P)$ 阶的方向导数都等于零。对于 $H\in E(P^k,\mathbf {X}^*)$，$\mathbf {V} \in \mathbb {R}^n$ 和足够小的 $\mathbf {R}$，$H^2(\mathbf {X}^*+t \mathbf {V})$ 被 $P^k(\mathbf {X}^*+t\mathbf {V} )= O(t^{k\,m_{\mathbf {X}^*}(P)})$（在乘法常数范围内）所限制。因此，H 在 $\mathbf {X}^*$ 处的重数至少为 $k\,m_{\mathbf {X}^*}(P)/2$（这里我们知道根据注 2.1 $m_{\mathbf {X}^*}(P)$ 是偶数）。可以将（2.2）视为曲线 $\mathcal {V}(P)$ 在奇点处的奇异性度量。如例 3.12 所示，它通常不同于我们在小节 2.3 中引入的不变量（其中包括经典的 delta 不变量）。对于具有有限个实零点的非负形式 $P\in P_{n,d}$，所有实零点 $\mathbf {X}^*$ 上的 $\delta ^{\,\textrm {hd}}(P,\mathbf {X}^*)$ 的总和称为 P 的半度不变量，并表示为 $\delta ^{\,\textrm {hd}}(P)$。

2.2 交点重数
我们首先讨论交点重数并陈述相关结果，更多细节见 [参考文献 Shafarevich43, 第 IV 章]。对于两个二元多项式 $f, g\in \mathbb {C}[x_1,x_2]$ 和一个点 $\mathbf {x}^*=(x^*_1,x^*_2)\in \mathbb {A}^2_{\mathbb {C}}$，f 和 g 在 $\mathbf {x}^*$ 处的交点重数定义为局部环 $\mathcal {O}_{\mathbf {x}^*}=\left \{\frac {p}{q}\,:\, p,q\in \mathbb {C}[x_1,x_2],\, q(\mathbf {x}^*)\neq 0\right \}$ 在 $\mathbf {x}^*$ 处的商的维数，由 f 和 g 生成的理想，（2.3）
$$
\begin{align}
I_{\mathbf{x}^*}(f,g)\ =\ \dim_{\mathbb{C}}\left( \mathcal{O}_{\mathbf{x}^*}/\langle f,g\rangle\right).
\end{align}
$$
特别地，我们有 $I_{\mathbf {x}^*}(f,g)$ 是严格正的当且仅当 $f(\mathbf {x}^*)=g(\mathbf {x}^*)=0$。在这种情况下，$I_{\mathbf {x}^*}(f,g)=1$ 当且仅当曲线 $f=0$ 和 $g=0$ 在 $\mathbf {x}^*$ 处交叉，即梯度向量 $(\partial _{x_1} f(\mathbf {x}^*在点 $\mathbf{x}^*=(x_1^*,x_2^*)$ 处对 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ 进行爆炸性扩张（blow-up），会得到一个曲面 $S\subset \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}\times \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$，该曲面由多项式 $(x_1-x_1^*)X^{\prime}_2-(x_2-x_2^*)X^{\prime}_1$ 定义（其中 $[X_1':X_2']$ 是 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ 上的齐次坐标），并通过双有理映射（2.6）关联起来：
$$
\begin{align}
\pi: S\ \rightarrow\ \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}},\quad \left((x_1,x_2), [X_1':X_2']\right)\ \mapsto\ (x_1,x_2).
\end{align}
$$
在 $S$ 中，满足 $[X^{\prime}_1:X^{\prime}_2]=[1:x^{\prime}_2]$（或者 $[X^{\prime}_1:X^{\prime}_2]=[x^{\prime}_1:1]$）的点构成一个 Zariski 开集 $S_1$（或者 $S_2$），它们与 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}$ 同构，其坐标分别为 $(x_1,x^{\prime}_2)$（或者 $(x_2,x^{\prime}_1)$）。在点 $\mathbf{x}^*\in \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ 处，仿射曲线 $f=0$ 的总变换（total transform）是 $f=0$ 在（2.6）下的逆像，即由 $\pi ^*f = f\circ \pi$ 定义的 $S$ 上的曲线。而 $f=0$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处的严格变换（strict transform）是集合 $\{f=0\}\setminus \{\mathbf{x}^*\}$ 的逆像的闭包，除非 $f(\mathbf{x}^*)=0$，否则严格变换与总变换相同。如果 $f(\mathbf{x}^*)=0$，那么 $f=0$ 的总变换就是其严格变换与异常线 $\pi ^{-1}(\mathbf{x}^*)=\{\mathbf{x}^*\}\times \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ 的并集，后者仅仅是射影线的一个副本。

备注 2.6：更一般地，$f=0$ 的总变换可以被视为在 $S$ 上由方程 $\pi ^*f = f\circ \pi$ 给出的（拉回）除子（divisor）。它由 $f=0$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处的严格变换和异常除子 $m\,\pi ^{-1}(\mathbf{x}^*)$ 组成，其中 $m=m_{\mathbf{x}^*}(f)$ 是 $f$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处的重数。在 $S$ 的局部坐标图中（$S_1$ 或 $S_2$），$f=0$ 的严格变换是一条在 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ 中的曲线，我们用 $f'$ 来表示其定义多项式。在 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\simeq \pi ^{-1}(\mathbf{x}^*)$ 上满足 $[X^{\prime}_1:X^{\prime}_2]=[1:x^{\prime}_2]$ 的点，严格变换与异常线的交点称为 $f=0$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处的一阶无穷接近点（first order infinitely near points），它们通过映射 $[X^{\prime}_1:X^{\prime}_2]\mapsto [X^{\prime}_1:X^{\prime}_2:X_3']$ 与 $\mathcal{V}(F)$ 在 $\mathbf{X}^*=[x_1^*:x_2^*:1]$ 处的切线相对应，其中 $X^{\prime}_3=-x_1^*X^{\prime}_1-x_2^*X^{\prime}_2$。给定一个在 $\mathbf{x}^*\in \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ 处的一阶无穷接近点 $\mathbf{x}'\in \mathcal{V}(F)$，我们可以再次对包含 $\mathbf{x}'$ 的仿射坐标图 $S_i$ 进行爆炸性扩张，并考虑 $f'=0$ 在 $\mathbf{x}'$ 处的相关严格变换。通过对 $f=0$ 及其更高阶严格变换的奇点进行有限次连续爆炸性扩张，我们最终会得到一个光滑的曲线。这个奇点消除过程的发生是有保证的，参见[Reference Kollár25, Thm. 1.43]。示例 2.7：多项式 $f=x_1^2+x_2^4-2x_1x_2^2+x_1^3+2x_1^4-2x_1^3x_2^2+x_1^6$ 在点 $(0,0)$ 处是奇异的，其重数为 $m_{(0,0)}(f)=2$。它在坐标 $(x_1', x_2)$（其中 $x_1=x_1'x_2$）下的严格变换由下式给出：
$$
\begin{align*}
f'\ =\ x_1^{\prime2}+x_2^2-2x_1'x_2+x_1^{\prime3}x_2+2x_1^{\prime4}x_2^2-2x_1^{\prime3}x_2^3+x_1^{\prime6}x_2^4
\end{align*}
$$
并且在 $(0,0)$ 处 $f=0$ 的唯一一阶无穷接近点 $(x_1',x_2)=(0,0)$ 的重数为 $m_{(0,0)}(f')=2$。$f'=0$ 在坐标 $(x_1",x_2)$（其中 $x_1'=x_1"x_2$）下的严格变换由下式给出：
$$
\begin{align*}
f"\ =\ (x_1"-1)^2+x_1^{\prime\prime3}x_2^2+2x_1^{\prime\prime4}x_2^4-2x_1^{\prime\prime3}x_2^4+x_1^{\prime\prime6}x_2^8
\end{align*}
$$
而在 $(0,0)$ 处 $f'=0$ 的唯一一阶无穷接近点 $(x_1",x_2)=(1,0)$ 的重数为 $m_{(1,0)}(f")=2$。第三次爆炸性扩张 $x_1"=1+x_1"'x_2$ 后，可以得到：
$$
\begin{align*}
f"'\ =\ x_1^{\prime\prime\prime2}+(1+x_1"'x_2)^3+2(1+x_1"'x_2)^4x_2^2-2(1+x_1"'x_2)^3x_2^2+(1+x_1"'x_2)^6x_2^6
\end{align*}
$$
由于 $f"'=0$ 在异常纤维 $x_2=0$ 上没有奇点，因此第三次扩张后奇点消除过程终止。以下 Noether 公式提供了一种通过连续进行爆炸性扩张来计算局部交点重数（2.3）的方法，它是引理 2.5 的一种改进。定理 2.8 [Reference Casas-Alvero8, Lemma $\mathrm{3.3.4}$]，[Reference Chalmovianská and Chalmoviansky11, Theorem $3.10$]：设 $f, g\in \mathbb{C}[x_1,x_2]$ 是没有正阶公共因子的多项式，$\mathbf{x}^*\in \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}$ 是它们的公共零点。那么：
$$
\begin{align*}
I_{\mathbf{x}^*}(f,g)\ =\ m_{\mathbf{x}^*}(f)\cdot m_{\mathbf{x}^*}(g) + \sum_{\mathbf{x}'} I_{\mathbf{x}'}(f',g').
\end{align*}
$$
这里的求和是对在 $\mathbf{x}^*$ 处 $f=0$ 和 $g=0$ 的所有公共一阶无穷接近点 $\mathbf{x}'$ 的求和。我们通过证明爆炸性扩张保持多项式的非负性来结束这个小节。引理 2.9：设 $f\in \mathbb{R}[x_1,x_2]$ 是一个在 $\mathbb{A}^2_{\,\mathbb{R}}$ 中局部非负的多项式。如果 $f(\mathbf{x}^*)=0$ 且 $[X_1':X_2']\in \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$ 是 $f=0$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处的一个实数一阶无穷接近点，那么 $f=0$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处的严格变换是由在 $(\mathbf{x}^*, [X_1':X_2'])\in S$ 中局部非负的多项式给出的。证明：爆炸性映射（2.6）将 $S\setminus \pi ^{-1}(\mathbf{x}^*)$ 中的实数点双射到 $\mathbb{A}_{\mathbb{R}}^2\setminus \{\mathbf{x}^*\}$ 中的实数点。那么 $f$ 在 $\mathbb{A}_{\mathbb{R}}^2\setminus \{\mathbf{x}^*\}$ 中的符号与 $f'$ 在 $\pi ^{-1}(\mathbf{x})$ 处的符号一致，其中 $f'$ 是在 $\mathbf{x}^*$ 处定义 $f=0$ 的严格变换的多项式（在某个坐标图中）。由于 $f'$ 的连续性，这一结论成立，因为 $S\setminus \pi ^{-1}(\mathbf{x}^*)$ 中的实数点在 $S$ 的实数点中是稠密的。

2.3 Delta 不变量和 SOS 不变量：（局部）Delta 不变量 $\delta_{\mathbf{x}^*}(f)$ 是代数曲线 $f=0$ 在 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ 中的一个孤立奇点 $\mathbf{x}^*$ 的经典不变量，可以定义为积分闭包 $\overline {\mathcal {O}_{f,\mathbf {x}^*}$ 的维数（2.7）：
$$
\begin{align}
\delta_{\mathbf{x}^*}(f)\ =\ \dim_{\mathbb{C}}\left(\, \overline{\mathcal{O}_{f,\mathbf{x}^*}} \,\big/\, \mathcal{O}_{f,\mathbf{x}^*\right)
\end{align}
$$
积分闭包 $\overline {\mathcal {O}_{f,\mathbf {x}^*}$ 是曲线 $f=0$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处的局部环 $\mathcal {O}_{f,\mathbf {x}^*}:=\mathcal {O}_{\mathbf {x}^*}/(f)$。我们设 $\delta _{\mathbf {X}^*}(F):=\delta _{\mathbf {x}^*}(f)$ 对于形式 $F\in \mathbb{C}[X_1,X_2,X_3]$ 和 $\mathbf {X}^*\in \mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$，其中 $f$ 是 $F$ 的去同质化，$\mathbf {X}^*$ 是 $\mathbf {X}^*$ 的仿射表示。备注 2.10：对于简化的平面曲线 $\mathcal{V}(F)$ 在 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ 上的所有奇点 $\mathbf{X}^*$，$\delta _{\mathbf {X}^*}(F)$ 的和称为（总）Delta 不变量。根据亏格-度公式 [Reference Casas-Alvero9, Section 3.11]，$\delta (F)$ 等于 $\mathcal{V}(F)$ 的几何亏格与其算术亏格之间的差值。类似于 Noether 公式，可以在非奇点情况下（即 $m_{\mathbf {x}^*}(f)=1$ 时）递归地定义局部 Delta 不变量为 $\delta _{\mathbf {x}^*}(f)=0$，否则按照（2.8）定义：
$$
\begin{align}
\delta_{\mathbf{x}^*}(f)\ =\ \frac{m_{\mathbf{x}^*}(f)(m_{\mathbf{x}^*}(f)-1)}{2} + \sum_{\mathbf{x}'} \delta_{\mathbf{x}'}(f'),
\end{align}
$$
这里的求和是对 $f=0$ 在其孤立奇点 $\mathbf{X}^*\in \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$ 的所有一阶无穷接近点 $\mathbf{x}'$ 的求和。注意，在普通奇点情况下，公式（2.8）表明 $\delta _{\mathbf {x}^*}(f)=1$。参见 [Reference Cassou-Noguès and P?oski10, Cor. 5.12] 和 [Reference Pham29, p. 389] 中关于（2.7）和（2.8）之间的等价性。示例 2.11：对于示例 2.7 中的多项式 $f=x_1^3+(x_2^2-x_1^3-x_1)^2=x_1^2+x_2^4-2x_1x_2^2+x_1^3+2x_1^4-2x_1^3x_2^2+x_1^6$，公式（2.8）给出：
$$
\begin{align}
\begin{aligned}
\delta_{(0,0)}(f)\ &=\ 1+\delta_{(0,0)}(f')\ =\ 1+1+\delta_{(1,0)}(f")\ =\ 1+1+1\ =\ 3,
\end{aligned}
$$
其中 $f'$ 和 $f"$ 分别定义了 $f=0$ 和 $f'=0$ 在 $(0,0)$ 处的严格变换。对于简化的实数多项式 $f\in \mathbb{R}[x_1,x_2]$ 和 $\mathbf {x}^*\in \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$，我们也在非奇点情况下定义实数 Delta 不变量为 $\delta ^{\,\mathbb {R}}_{\mathbf {x}^*}(f)=0$，否则按照（2.10）定义：
$$
\begin{align}
\delta^{\,\mathbb{R}}_{\mathbf{x}^*}(f)\ =\ \frac{m_{\mathbf{x}^*}(f)(m_{\mathbf {x}^*}(f)-1)}{2} + \sum_{\mathbf{x}'\,-\, \textrm{real} } \delta_{\mathbf{x}'}^{\,\mathbb{R}}(f'),
\end{align}
$$
这里的求和仅对 $f=0$ 在 $\mathbf {x}^*$ 处的所有实数一阶无穷接近点进行。实数 Delta 不变量捕捉了解决实数奇点的复杂性，因此它是理解多项式局部非负性的最重要不变量。最后，在我们的工作中起重要作用的是 SOS 不变量 $\delta ^{\,\textrm {sos}}_{\mathbf {x}^*}(f)$，它用于非负多项式 $f$ 在孤立实数零点 $\mathbf {x}^*$ 处。定义 2.12：非负多项式 $f$ 在孤立实数零点 $\mathbf {x}^*$ 处的 SOS 不变量 $\delta ^{\,\textrm{{sos}}_{\mathbf {x}^*}(f)$ 在普通奇点情况下定义为 $\delta ^{\,\textrm{{sos}}_{\mathbf {x}^*}(f)=1$，在其他情况下定义为（2.11）：
$$
\begin{align}
\delta^{\,\textrm{{sos}}_{\mathbf{x}^*}(f)\ =\ \frac{m_{\mathbf{x}^*}(f)^2}{4} + \sum_{\mathbf{x}'\,-\,\textrm{{real}} } \delta^{\,\textrm{{sos}}}_{\mathbf{x}'}(f')
\end{align}
$$
这里的求和是对 $f=0$ 在 $\mathbf {x}^*$ 处的所有实数一阶无穷接近点的求和。很容易看出，对于具有孤立实数奇点 $\mathbf {x}^*$ 的非负多项式 $f$，有（2.12）：
$$
\begin{align}
\delta^{\,\textrm{sos}}_{\mathbf{x}^*}(f)\ \leq\ \delta^{\,\mathbb{R}}_{\mathbf{x}^*}(f)\ \leq\ \delta_{\mathbf{x}^*}(f).
\end{align}
$$
根据引理 3.5，如果 $\mathbf {x}^*$ 是 $f$ 的一个实数零点且重数为二，则（2.12）成立。然而，这通常不成立，我们在示例 3.12 中进行了讨论。此外，如果 $f\in \mathbb{R}[x_1,x_2]$ 是非负的三元形式 $F\in \mathbb{R}[X_1,X_2,X_3]$ 的去同质化，且 $\mathbf {x}^*\in \mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ 是 $\mathbf {X}^*\in \mathbb实际上，设 $\mathbf {x}^{2\alpha }$ 是 P 中的一个偶数度单项式，其度数为 $m_{\mathbf {0}}(p)$。因为 $P\in \Sigma _{3,d}$ 是平方和的形式，所以必然存在一个形式 H，它可以分解为 P 的平方和（特别地，$P-H^2$ 本身也是一个平方和），并且这个形式包含 $\mathbf {x}^\alpha $。由于 $E(P,\mathbf {X}^*)$ 是 $F_{3,d}$ 的一个线性子空间，并且单项式 $\mathbf {x}^\alpha $ 的度数为 $m_{\mathbf {0}}(p)/2$，它出现在 $H\in E(P,\mathbf {X}^*)$ 中，因此在 $E(P,\mathbf {X}^*)$ 中以一种通用的形式存在。现在假设多项式 $h_1$ 和 $h_2$ 对应于 $E(P,\mathbf {X}^*)$ 中的通用形式。由于 $p-\varepsilon h_i^2$（其中 $i=1,2$）在 $\mathbf {0}$ 附近局部非负，根据引理 2.9，我们有 $p'-\varepsilon h_i^{\prime 2}$ 在 $\mathbf {x}'$ 附近也是非负的。由于现在需要更少的爆破步骤来达到一个圆形零点，我们可以应用归纳步骤并得到 $I_{\mathbf {x}'}(h_1',h_2')\geq \delta _{\mathbf {x}'}^{\,\textrm {sos}}(p')$。现在，任意的 $h_1$ 和 $h_2$（对应于 $H_1,H_2\in E(P,\mathbf {X}^*)$）都可以作为通用形式的极限得到。根据局部交点重数的上半连续性（例如参见 [Reference Hartshorne22, Thm. III.12.8]），以及我们在通用情况下已经得到的不等式，可以看出 $I_{\mathbf {x}'}(h_1',h_2')$ 不可能小于 $\delta _{\mathbf {x}'}^{\,\textrm {sos}}(p')$。SOS-不变量的一个关键性质是它在取幂时表现良好。命题 3.2 设 $P\in P_{3,d}$ 是一个在 $\mathbb {P}_{\mathbb {R}}^2$ 中的 $\mathbf {X}^*$ 处有实零点的非负三元形式。那么对于任何 $k\geq 1$，我们有 $\delta ^{\,\textrm{{sos}}}_{\mathbf {X}^*}(P^k)=k^2\delta ^{\,\textrm{{sos}}}_{\mathbf {X}^*} (P)$。证明：只需证明对于 $\mathbf {X}^*=[0:0:1]$ 的情况即可。通常，用 $p(x_1,x_2)=P(x_1,x_2,1)$ 表示 P 的去齐次化。p 的严格变换 $p'$ 满足 $(p')^k=(p^k)'$。通过对达到实零点所需爆破次数的归纳，我们只需证明后一种情况。但在那种情况下，$\delta ^{\,\textrm{{sos}}}(p^k)=\frac {1}{4}m_{\mathbf {0}}(p^k)^2=\frac {k^2}{4} m_{\mathbf {0}}(p)^2$，因为在取 k 次幂时重数会乘以 k。

确实，设 $\mathbf {x}^{2\alpha}$ 是 P 中的一个偶数度单项式，其度数为 $m_{\mathbf {0}}(p)$。因为 $P\in \Sigma _{3,d}$ 是平方和的形式，所以必存在一个形式 H，它可以分解为 P 的平方和（特别地，$P-H^2$ 本身也是一个平方和），并且这个形式包含 $\mathbf {x}^\alpha$。由于 $E(P,\mathbf {X}^*)$ 是 $F_{3,d}$ 的一个线性子空间，并且单项式 $\mathbf {x}^\alpha$ 的度数为 $m_{\mathbf {0}}(p)/2$ 并存在于 $H\in E(P,\mathbf {X}^*)$ 中，它在 $E(P,\mathbf {X}^*)$ 中以一种通用的形式出现。现在假设多项式 $h_1$ 和 $h_2$ 对应于 $E(P,\mathbf {X}^*)$ 中的通用形式。由于 $p-\varepsilon h_i^2$（其中 $i=1,2$）在 $\mathbf {0}$ 附近局部非负，根据引理 2.9，我们有 $p'-\varepsilon h_i^{\prime 2}$ 在 $\mathbf {x}'$ 附近也局部非负。由于现在需要更少的爆破步骤来达到一个圆形零点，我们可以应用归纳步骤并得到 $I_{\mathbf {x}'}(h_1',h_2')\geq \delta _{\mathbf {x}'}^{\,\textrm {sos}}(p')$。现在，任意的 $h_1$ 和 $h_2$（对应于 $H_1,H_2\in E(P,\mathbf {X}^*)$）都可以作为通用形式的极限得到。根据局部交点重数的上半连续性（例如参见 [Reference Hartshorne22, Thm. III.12.8]）以及我们在通用情况下已经得到的不等式，我们可以看出 $I_{\mathbf {x}'}(h_1',h_2')$ 不可能小于 $\delta _{\mathbf {x}'}^{\,\textrm {sos}}(p')$。SOS-不变量的一个关键性质是它在取幂时表现良好。命题 3.2：设 $P\in P_{3,d}$ 是一个在 $\mathbb {P}_{\mathbb {R}}^2$ 中的 $\mathbf {X}^*$ 处有实零点的非负三元形式。那么对于任何 $k\geq 1$，我们有 $\delta ^{\,\textrm{{sos}}}_{\mathbf {X}^*}(P^k)=k^2\delta ^{\,\textrm{{sos}}}_{\mathbf {X}^*} (P)$。证明：只需证明对于 $\mathbf {X}^*=[0:0:1]$ 的情况即可。通常，用 $p(x_1,x_2)=P(x_1,x_2,1)$ 表示 P 的去齐次化。p 的严格变换 $p'$ 满足 $(p')^k=(p^k)'$。通过对达到实零点所需的爆破次数的归纳，我们只需证明后一种情况。但在那种情况下，$\delta ^{\,\textrm{{sos}}}(p^k)=\frac {1}{4}m_{\mathbf {0}}(p^k)^2=\frac {k^2}{4} m_{\mathbf {0}}(p)^2$，因为在取 k 次幂时重数会乘以 k。

在证明关于三元六次多项式的定理 1.1 之前，我们先讨论它们的一些性质。我们从一个众所周知的结果开始（例如，参见 [Reference Reznick39, Thm. 7.1]）。引理 3.3：如果 $P\in P_{3,6}$ 在 $\mathbb {C}$ 上是可约的，那么它是一个平方和。证明：如果 $P\in P_{3,6}$ 在 $\mathbb {C}$ 上是可约的但在 $\mathbb {R}$ 上不是可约的，那么 $P=(P_1+i P_2)(P_1-i P_2) = P_1^2+P_2^2$ 是两个平方的和（参见 [Reference Choi, Lam and Reznick16, Lemma 3.1]）。否则，设 $Q\in \mathbb {R}[X_1,X_2,X_3]$ 是 P 的一个实不可约因子，其度数为 $d\geq 1$。如果 Q 或 $-Q$（假设是 Q）在 $\mathbf {0}$ 附近局部非负，那么 $d\in \{2,4\}$，并且根据 Hilbert 的结果，$Q\in P_{3,d}=\Sigma _{3,d}$ 以及 $P/Q\in P_{3,6-d}=\Sigma _{3,6-d}$ 都是平方和（参见 [Reference Hilbert23]）。如果 Q 的符号是不确定的，那么 P 必须能被 $Q^2$ 整除，然后我们可以再次应用 Hilbert 的结果到 $P/Q^2$ 上。无论哪种情况，P 都是平方和。通过考虑 $X_1^{2k}M(X_1,X_2,X_3)$，我们可以看出对于度数大于六的情况，这个结果是错误的（参见 [Reference Choi and Lam14]）。以下结果也可以从 [Reference Choi, Lam and Reznick15, Thm. 7.9] 中得出，该结果最初由 Djokovi? [Reference Djokovi?19]、Yakubovich [Reference Yakubovich46]、Popov [Reference Popov32] 和 Rosenblum 和 Rovnyak [Reference Rosenblum and Rovnyak41] 提出。然而，我们给出了另一种证明方法。引理 3.4：设 $P\in P_{3,6}$ 是一个在 $\mathbb {P}_{\mathbb {R}}^2$ 中的 $\mathbf {X}^*\frac{m_{\mathbf {X}^*}(P)\geq 4$ 处有实零点的非负三元六次多项式。那么 P 是一个平方和。

图 1：一个度数为 $6$ 的多项式在 $(0,0)$ 处有一个重数为 $4$ 的零点的（最大）支撑集和牛顿多面体。证明：不失一般性，我们可以假设 P 在 $\mathbf {X}^*=[0:0:1]$ 处有一个零点。由于我们假设它在 $\mathbf {X}^*$ 处的重数至少为 $4$，因此 $p(x_1,x_2)=P(x_1,x_2,1)$ 的牛顿多面体包含在图 1 中的一个梯形 $\Delta :=\textrm {conv}((4,0),(0,4),(6,0),(0,6))$ 内。考虑向量 $\mathbf {z}=(z_{\boldsymbol {\alpha }})_{\boldsymbol {\alpha }\in \Delta /2}$ 和 $m_{\Delta /2}(\mathbf {x})=\left (\mathbf {x}^{\boldsymbol {\alpha }}\right )_{\boldsymbol {\alpha }\in \Delta /2}$，它们分别是变量 $\mathbf {x}=(x_1,x_2)$ 的单项式，索引自 $\Delta /2$ 中的格点。我们还将 $m_{\Delta /2}$ 视为一个单项式映射 $\mathbf {x}\mapsto \left (\mathbf {x}^{\boldsymbol {\alpha }}\right )_{\boldsymbol {\alpha }\in \Delta /2}$，其像的射影闭包是一个托瓦尔多样体 $X:=\overline {\{ m_{\Delta /2}(\mathbf {x})\,:\, \mathbf {x}\in \mathbb {A}^2_{\,\mathbb {C}}\}}\subset \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^{\vert \Delta /2\vert -1}$。多项式 $p\in \mathbb {R}[x_1,x_2]$ 的支撑集包含在 $\Delta $ 内。因此，它可以被视为一个在 X（的一个开稠密子集）上限制的二次型 $\mathbf {z}^{\mathsf T} Q\, \mathbf {z}$（参见 $p(\mathbf {x})=m_{\Delta /2}(\mathbf {x})^{\mathsf T} Q \,m_{\Delta /2}(\mathbf {x})$）。特别是，二次型 $\mathbf {z}^{\mathsf T} Q\,\mathbf {z}$ 在 X 的齐次坐标环 $\mathbb {R}[X]:=\mathbb {R}[\mathbf {z}]\,\big /\,\mathcal {I}(X)$ 中是非负的。根据 [Reference Blekherman, Smith and Velasco5, Example 6.2]，X 是一个最小度的多样体。然后根据 [Reference Blekherman, Smith and Velasco5, Thm. 1.1]，我们有 $\mathbf {z}^{\mathsf T} Q\, \mathbf {z}$ 在 $\mathbb {R}[X]$ 中是一个平方和，即 $\mathbf {z}^{\mathsf T}Q \mathbf {z}=\sum _{i=1}^rH_i(\mathbf {z})^2 \mod \mathcal {I}(X)$，对于某些线性形式 $H_i\in \mathbb {R}[\mathbf {z}]$。因此，$p(\mathbf {x})=m_{\Delta /2}(\mathbf {x})^{\mathsf T} Q\, m_{\Delta /2}(\mathbf {x})=\sum _{i=1}^rH_i(m_{\Delta /2}(\mathbf {x}))^2$ 在 $\mathbb {R}[\mathbf {x}]$ 中也是一个平方和。借助上述引理，我们可以证明对于 $\Delta _{3,6}$ 中的形式，delta 不变量（2.8）与在小节 2.3 中定义的 SOS-不变量是一致的。我们首先证明一个稍微更一般的结果。引理 3.5：设 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}^2_{\mathbb {R}}$ 是 $P\in P_{3,d}$ 的一个孤立实零点，且 $\mathbf {X}^*\frac{m_{\mathbf {X}^*}(P)\geq 4$。那么 P 是一个平方和。

图 1：一个度数为 $6$ 的多项式在 $(0,0)$ 处有一个重数为 $4$ 的零点的（最大）支撑集和牛顿多面体。证明：不失一般性，我们可以假设 P 在 $\mathbf {X}^*=[0:0:1]$ 处有一个零点。由于我们假设它在 $\mathbf {X}^*$ 处的重数至少为 $4$，因此 $p(x_1,x_2)=P(x_1,x_2,1)$ 的牛顿多面体包含在图 1 中的梯形 $\Delta :=\textrm {conv}((4,0),(0,4),(6,0),(0,6))$ 内。让我们考虑向量 $\mathbf {z}=(z_{\boldsymbol {\alpha }})_{\boldsymbol {\alpha }\in \Delta /2}$ 和 $m_{\Delta /2}(\mathbf {x})=\left (\mathbf {x}^{\boldsymbol {\alpha }}\right )_{\boldsymbol {\alpha }\in \Delta /2}$，它们分别是变量 $\mathbf {x}=(x_1,x_2)$ 的单项式，由 $\Delta /2$ 中的格点索引。我们还将 $m_{\Delta /2}$ 视为一个单项式映射 $\mathbf {x}\mapsto \left (\mathbf {x}^{\boldsymbol {\alpha }}\right )_{\boldsymbol {\alpha }\in \Delta /2}$，其像的射影闭包是一个托瓦尔多样体 $X:=\overline {\{ m_{\Delta /2}(\mathbf {x})\,:\, \mathbf {x}\in \mathbb {A}^2_{\,\mathbb {C}}\}}\subset \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^{\vert \Delta /2\vert -1}$。多项式 $p\in \mathbb {R}[x_1,x_2]$ 的支撑集包含在 $\Delta $ 内。因此，它可以被视为一个在 X 上限制的二次型 $\mathbf {z}^{\mathsf T} Q\, \mathbf {z}$（参见 $p(\mathbf {x})=m_{\Delta /2}(\mathbf {x})^{\mathsf T} Q \,m_{\Delta /2}(\mathbf {x})$）。特别是，二次型 $\mathbf {z}^{\mathsf T} Q\,\mathbf {z}$ 在 X 的齐次坐标环 $\mathbb {R}[X]:=\mathbb {R}[\mathbf {z}]\,\big /\,\mathcal {I}(X)$ 中是非负的。根据 [Reference Blekherman, Smith and Velasco5, Example 6.2]，X 是一个最小度的多样体。然后根据 [Reference Blekherman, Smith and Velasco5, Thm. 1.1]，我们有 $\mathbf {z}^{\mathsf T} Q\, \mathbf {z}$ 在 $\mathbb {R}[X]$ 中是一个平方和，即 $\mathbf {z}^{\mathsf T}Q \mathbf {z}=\sum _{i=1}^rH_i(\mathbf {z})^2 \mod \mathcal {I}(X)$，对于某些线性形式 $H_i\in \mathbb {R}[\mathbf {z}]$。因此，$p(\mathbf {x})=m_{\Delta /2}(\mathbf {x})^{\mathsf T} Q\, m_{\Delta /2}(\mathbf {x})=\sum _{i=1}^rH_i(m_{\Delta /2}(\mathbf {x}))^2$ 在 $\mathbb {R}[\mathbf {x}]$ 中也是一个平方和。借助上述引理，我们可以证明对于 $\Delta _{3,6}$ 中的形式，delta 不变量（2.8）与小节 2.3 中定义的 SOS-不变量一致。首先证明一个稍微更一般的结果。引理 3.5：设 $\mathbf {X}^*\in \mathbb {P}^2_{\mathbb {R}}$ 是 $P\in P_{3,d}$ 的一个孤立实零点，且 $\mathbf {X}^*(\mathbf {P})=2$。那么 $\delta _{\mathbf {X}^*}(P)=另一方面，根据引理3.3和[参考文献Choi, Lam和Reznick15, 引理4.5]，度数为3k的形式构成H_1，而H:=a_2H_2+…+a_rH_r（对于某些a_2,…, a_r∈?）是互质的，因此根据定理2.4有I(H_1,H)=(3k)(3k)=9k2。另一方面，对于P的任何实零点X*∈V_?(P)，命题3.1给出I_X*(H_1,H)≥δ_sos_X*(P^k)。综合以上所有内容，我们得到
$$\begin{align*}
9k^2 = I(H_1,H) \geq \sum_{X∈V_?(P)} I_X(H_1,H) \geq \sum_{X∈V_?(P)} δ_sos_X(P^k) = δ_sos(P^k) = 10k^2,
\end{align*}
$$
这是一个明显的矛盾。

3.3 高度为3的三元形式
我们注意到，存在度数为6的顽固三元形式意味着通过以下众所周知的技术，也存在更高程度的顽固三元形式（参见例如[参考文献Choi和Lam14, (1.4)]。命题3.9。假设F∈P_n,d是顽固的，那么对于所有非负整数m≥1，X_1^{2m}F也属于P_n,d+2m。证明：很明显X_1^{2m}F是非负的。假设(X_1^{2m}F)^k是几个平方数的和，即X_1^{2km}F = ∑_i=1^r H_i^2，那么X_1^{km}可以整除所有的H_i，因此F^k也是几个平方数的和。这与F是顽固的假设相矛盾。我们还可以使用定理1.1中的相同论证来证明，具有足够多零点的非负三元形式是顽固的，这导致了更高程度顽固三元形式的更多有趣例子。

定理3.10
设P∈P_3,d是一个度数为d且具有有限多个实零点的非负三元形式，并且δ_sos(P)>d2/4。那么P是顽固的。证明：假设P不是顽固的，即P^k=H_1^2+H_2^2+…，对于某个奇数k≥1。那么根据命题3.2和3.1，我们有I_X*(H_1,H_2)≥δ_sos_X*(P^k)=k2δ_sos_X*(P)对于P的每个实零点X*∈P_?^2。对P的所有实零点求和，我们得到
$$\begin{align*}
\left(\frac{dk}{2}\right)^2 = I(H_1,H) \geq k^2δ_sos(P) > \frac{k^2d^2}{4},
\end{align*}
$$
这是一个矛盾。由于一个实零点至少为SOS-不变量贡献了一个值，我们得到一个推论。

推论3.11
如果P∈P_3,d在P_?^2中具有有限多个但多于d2/4的孤立零点，那么P是顽固的。

下一个例子表明，一般来说，delta不变量、SOS-不变量和半度不变量可以是不同的。例如3.12中的三元八次式：
$$\begin{align}
P = X_1^4X_2^4X_3^6 M(1/X_1, 1/X_2,1/X_3) = X_1^4X_2^4 + X_1^2X_3^6+X_2^2X_3^6-3X_1^2X_2^2X_3^4
\end{align}
$$
属于E(P_3,8)∩Δ_3,8[参考文献Reznick34, 第372页]。它在[0:0:1]，[±1,±1,1]有五个圆形零点，在[1:0:0]和[0:1:0]有两个更简并的零点X*，这些零点具有相同的不变量，因为P在前两个参数中是对称的（参见[参考文献Reznick39, 第25页）。使用(2.2)，(2.11)和(2.8)，可以计算出δ.hd(P,X*)=5，δ_sos_X*(P)=6和δ_X*(P)=8，这给出δ.hd(P)=15=5+2·5，δ_sos(P)=5+2·6=17和δ(P)=5+2·8=21，即总不变量。定理3.10表明P是顽固的（即P∈Δ_3,8(∞)）。这也可以从Motzkin形式的顽固性和(3.3)推出，当M和P的角色互换时这也是成立的。这进一步支持了我们的猜想1.6。

注3.13
在[参考文献Brugallé, Degtyarev, Itenberg和Mangolte7, 定理4.5]中，通过组合拼贴技术，Brugallé等人构造了在P_3,d中具有超过d2/4的孤立实零点的非负形式P。根据推论3.11，所有这样的形式都是顽固的。

3.4 Motzkin形式的早期证明
下面我们给出了Motzkin形式是顽固的基本证明（在[参考文献Stengle44，参考文献Choi, Dai, Lam和Reznick12]中提到），即Motzkin形式是顽固的。回想一下，多项式p=∑_α p_α x^α的Newton多面体是在单变量基下写作的一个凸多面体New(p)=conv{α∈?^n: p_α≠0}。平方和形式的Newton多面体的以下性质是众所周知的。引理3.14[参考文献Reznick34, 定理1]：如果p=∑_i=1^r h_i^2是一个平方和，那么2·New(h_i)?New(p)。对于Motzkin形式，这编码了在平方中可能项的消除。我们有
$$\begin{align*}
New(M) = conv((4,2,0),(2,4,0),(0,0,6)
\end{align*}
$$
如果M=∑_i=1^r H_i^2是一个平方和，那么New(H_i)，i=1,…, r，将包含在一个三角形Δ:=conv((2,1,0),(1,2,0),(0,0,3)中。Δ中的唯一整数点是它的顶点(1,1,1)，因此H_i中唯一可能的项是X_1^2X_2，X_1X_2^2，X_3^3，X_1X_2X_3。另一个有用的事实与将偶数形式表示为平方和有关；这个结果出现在[参考文献Choi, Lam和Reznick16]中。如果一个形式在其展开中所有单项式的指数都是偶数，那么称该形式为偶数。命题3.15[参考文献Choi, Lam和Reznick16, 定理4.1]。假设P∈Σ_n,d是一个偶数平方和形式，那么我们可以写P=∑_i=1^r H_i^2，其中H_i=∑_α H_{iα}x^α，H_{iα}是标量，因此对于H_i中出现的任何指数α，α-α'只有偶数项（特别地，每个H_i^2都是偶数）。Motzkin形式是偶数，并且X_1^2X_2，X_1X_2^2，X_3^3，X_1X_2X_3（分别对应于(2,1,0)，(1,2,0)，(0,0,3)）中的两个单项式不属于模2的同一个同余类。因此，如果M是一个平方和，它必须是形式M=c_1(X_1^2X_2)^2 + c_2(X_1X_2^2)^2 + c_3(X_3^3)^2 + c_4(X_1X_2X_3)^2，其中c_1,c_2,c_3,c_4≥0，这是不成立的。第三个事实是关于线性多项式乘积的平方的一个特例。

引理3.16
假设h_1,…, h_r ∈ ?[t]并且k≥1。如果(3.4)
$$\begin{align}
(t^2-1)^{2k} = \sum_{i=1}^r h_i(t)^2,
\end{align}
$$
那么每个h_i(t)都是(t^2-1)^k的倍数。证明是通过k的归纳法。如果k=1，那么0 = ∑_i=1^r h_i(±1)^2，所以h_i(t) = χ_i(t)(t^2-1)，消去(t^2-1)^2后，我们有1 = ∑_i=1^r χ_i(t)^2，所以每个χ_i必须是一个常数。在归纳步骤中，我们只需从(3.4)的两边提取(t^2-1)^2并重复同样的论证。现在我们证明M的顽固性。

定理3.17
Motzkin形式(1.1)是顽固的，即对于所有奇数k≥1，M^k不是平方和。证明：假设M^k∈Σ_3,6k是一个平方和，并写成(3.5)
$$\begin{align}
M^k = (X_1^4X_2^2 + X_1^2X_2^4 + X_3^6 - 3X_1^2X_2^2X_3^2)^k = \sum_{i=1}^r H_i^2。
\end{align}
$$
我们稍后使用注意到，通过取(X_1,X_2,X_3) = (0,0,1)，(3.6)
$$\begin{align}
1 = M^k(0,0,1) = \sum_{i=1}^r H_i(0,0,1)^2 = \sum_{i=1}^r H_{i,(0,0,3k)^2，
\end{align}
$$
其中H_{i,(0,0,3k):=H_i(0,0,1)是H_i中X_3^{3k}的系数，i=1,…, r。显然，
$$\begin{align*}
New(M^k) = k·New(M) = conv((4k,2k,0),(2k,4k,0),(0,0,6k)
\end{align*}
$$
因此根据引理3.14，每个H_i中的单项式必须来自三角形
$$\begin{align*}
conv((2k,k,0),(k,2k,0),(0,0,3k)。
\end{align*}
$$
当(α_1,α_2,α_3) ∈ ?^3时，α_3 = 3k - α_1 - α_2 ≥ 0，另外两边给出2α_1 ≥ α_2和2α_2 ≥ α_1。注意α_2 ≤ 2k，如果α_2 = 2k，那么我们必须有α_1 = k。特别地，α_1必须是奇数。进一步，如果α_2 = 0，那么α_1=0。如果α_2 = 2，那么1 ≤ α_1 ≤ 4，如果α_2 = 2k-2，那么k-1 ≤ α_1 ≤ k+2。根据命题3.15，我们可以假设每个H_i只包含特定奇数的项X_1^α_1X_2^α_2X_3^α_3。考虑到对X_3^{3k}的兴趣（参见(3.6)），考虑那些α_1和α_2是偶数而α_3是奇数的H_i。根据上述评论，我们必须有α_2≤2k-2，因为α_1是偶数，而且对于α_2=0的情况，α_1也必须为0。因此，我们可以将这样的H_i写成X_2的递增幂次，如(3.7)
$$\begin{align}
H_i = H_i,(0,0,3k) X_3^{3k} + (H_i,(2,2,3k-4) X_1^2X_3^{3k-4} + H_i,(4,2,3k-6) X_1^4X_3^{3k-6) X_2^2
+ …… + (H_i,(k-1,2k-2,3) X_1^{k-1}X_3^3 + H_i,(k+1,2k-2,1) X_1^{k+1}X_3) X_2^{2k-2}.
\end{align}
$$
现在观察到M(1,t,1) = t^2 + t^4 + 1 - 3t^2 = (t^2-1)^2。因此，(3.5)特化为
$$\begin{align}
M^k(1,t,1) = (t^2-1)^{2k} = \sum_{i=1}^r H_i(1,t,1)^2。
\end{align}
$$
根据引理3.16，我们有H_i(1,t,1)= c_i(t^2-1)^k对于某些c_i∈?。另一方面，从(3.7)我们得到
$$\begin{align}
H_i(1,t,1) = H_i,(0,0,3k) + (H_i,(2,2,3k-4) + H_i,(4,2,3k-6))t^2 + …… + (H_i,(k-1,2k-2,3) + H_i,(k+1,2k-2,1)) t^{2k-2}。
\end{align}
$$
因此H_i(1,t,1)的度数为2k-2。所以c_i = 0，并且从常数项，H_i,(0,0,3k)=H_i(0,0,1) = 0对于所有i=1,…, r。这与(3.6)矛盾。在k为偶数的情况下，进入H_i的单项式X_1^α_1X_2^α_2X_3^α_3的指数为偶数，包括X_3^{3k}，X_1^2X_2^2和X_1^2X_3^2，所以H_i(1,t,1)的度数为2k，这并不妨碍H_i(1,t,1)是(t^2-1)^k的倍数。

注3.18
使用类似的论证，可以证明形式S∈E(P_3,6)∩Δ_3,6的顽固性来自(1.3)。

3.5 Stengle的形式
Stengle在[参考文献Stengle44]中展示了三元六次式
$$\begin{align}
T = X_1^3X_3^3 + (X_2^2X_3 - X_1^3 - X_1X_3^2)^2
\end{align}
$$
是顽固的。有趣的是，T不是极端的，我们现在解释为什么。很容易检查T在[0:0:1]和[0:1:0]有两个实零点（参见例如下面命题3.20的证明）。根据(2.9)，我们有δ_[0:0:1](T)=3。在下一个例子中，我们计算了T在[0:1:0]的delta不变量，结果表明δ_[0:1:0](T)=6。

例子3.19
形式(3.8)的严格变换
$$\begin{align}
t = (x_3-x_1^3-x_1x_3^2)^2+x_1^3x_3^3
\end{align}
$$
在两次连续的爆破x_3=x_1x_3'和x_3'=x_1x_3"下给出
$$\begin{align}
t' = (x_3'-x_1^2-x_1^2x_3'^2)+x_1^4x_3'^3,\quad t" = (x_3"-x_1-x_1^3x_3''^2+x_1^5x_3'^3
\end{align}
$$
因此δ_(0,0)(t)=1+δ_(0,0)(t')=1+1+δ_(0,0)(t")。用x_3"=x_1x_3"'进行爆破得到(3.9)
$$\begin{align}
t'" = (x_3"'-1-x_1^4x_3''^2+x_1^6x_3''^3
\end{align}
$$
由于t"=0在(x_1,x_3")=(0,0)附近的一阶无限接近点是(x_1,x_3")=(0,1)，因此方便用坐标x_1=?_1，x_3"'=?_3+1来写作t"'，这样δ_(0,1)(t"')=δ_(0,0)(?_t)。现在，连续的爆破?_3=x_1?_3'和?_3'=x_1?_3"给出
$$\begin{align}
?_t' = (?_3'-?_1^3(?_1?_3'+1)^2+?_1^4(?_1?_3'+1)^3,\quad ?_t" = (?_3"-?_1^2(我们有 $T_c(X_1,X_2,0) = X_1^6 \ge 0$，因此要检查 $T_c$ 是否为非负，只需考虑去同质化后的多项式
$$
\begin{align*}
T_c(X_1,X_2,1) = cX_1^3 + (X_2^2 - X_1^3 - X_1)^2。
\end{align*}
$$
注意当 $X_1 \geq 0$ 时，$T_c(X_1,X_2,1) \geq 0$；如果 $X_1 < 0$，则 $-X_1^3 - X_1 > 0$，所以 $T_c(X_1,X_2,1) \geq T_c(X_1,0,1)$。因此，对于所有的 $(X_1,X_2) \in \mathbb{R}^2$，$T_c(X_1,X_2,1) \geq 0$ 当且仅当
$$
\begin{align*}
T_c(X,0,1) = cX^3 + (-X^3 - X)^2 = X^2(cX + (X^2 + 1)^2) \geq 0,\quad X \in \mathbb{R}。
\end{align*}
$$
简单计算可知，使得 $c > 0$ 时 $T_c(X,0,1) \geq 0$ 的最大 $c$ 是 $\kappa := \sqrt{256/27} \approx 3.079$，并且有
$$
\begin{align}
T_{\kappa}(X,0,1) = X^2(X + \frac{1}{\sqrt{3})^2(X^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}X + 3) \geq 0。
\end{align}
$$
因此，$T_{\kappa}$ 是非负的，并且 $T = T_1$ 是 $T_{\kappa}$ 和 $T_0$ 的凸组合。注3.21：通过与例子2.11和3.19中相同的计算方法，我们可以证明对于任何 $c \neq 0$，有 $\delta_{[0:0:1]}(T_c) = 3$ 和 $\delta_{[0:1:0]}(T_c) = 6$。根据上述证明，$T$ 属于非负三元六次多项式锥 $\Sigma_{n,d}$ 的一个面的相对内部，其中 $\dim \Sigma_{n,d} \geq 2$。现在我们证明这个面 $\Sigma_{n,d}$ 的维数确实是2。命题3.22：包含 $T$ 在其相对内部的 $P_{n,d}$ 的唯一最小面 $\Sigma_{n,d}$ 是二维的。它由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 生成，其中 $\kappa = \sqrt{256/27}$，而 $T_{\kappa}$ 是 $P_{n,d}$ 中的一个极值形式。证明：证明的思想是展示一个形式 $F \in \partial P_{n,d}$ 如果包含在面 $\Sigma_{n,d} \subset P_{n,d}$ 的相对内部中，则必须满足26个线性条件，这些条件定义了由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 张成的平面。如果 $F = \sum_{|\alpha| = 6} F_{\alpha}\mathbf{X}^{\alpha} \in \Sigma_{n,d}$ 是这样的一个非负六次多项式（用单项式基表示），那么我们可以表示为 $T = F + \tilde{F}$，对于某个其他的非负多项式 $\tilde{F} \in \Sigma_{n,d}$。根据[Reference Reznick34, Thm. 1]，我们有 $\mathrm{{New}}(F) \subseteq \mathrm{{New}}(T) = \textrm{conv}((6,0,0),(2,0,4),(0,4,2))$。因此，我们可以写成
$$
\begin{align*}
F &= F_{(2,0,4}X_1^2X_3^4 + F_{(1,2,3}X_1X_2^2X_3^3 + F_{(0,4,2}X_2^4X_3^2 + F_{(3,0,3}X_1^3X_3^3 + F_{(2,1,3}X_1^2X_2X_3^3} \\
&\quad + F_{(4,0,2}X_1^4X_3^2 + F_{(3,1,2)}X_1^3X_2X_3^2 + F_{(2,2,2)}X_1^2X_2^2X_3^2 + F_{(1,3,2)}X_1X_2^3X_3^2 + F_{(5,0,1)}X_1^5X_3)，
\end{align}
$$
因此，$T_{\kappa}$ 是非负的，并且 $T = T_1$ 是 $T_{\kappa}$ 和 $T_0$ 的凸组合。注3.21：通过与例子2.11和3.19中相同的计算方法，我们可以证明对于任何 $c \neq 0$，有 $\delta_{[0:0:1]}(T_c) = 3$ 和 $\delta_{[0:1:0]}(T_c) = 6$。根据上述证明，$T$ 属于非负三元六次多项式锥 $\Sigma_{n,d}$ 的一个面 $\mathcal{F} \subset \partial P_{n,d}$ 的相对内部，其中 $\dim \mathcal{F} \geq 2$。我们现在证明这个面 $\mathcal{F}$ 的维数确实是2。命题3.22：包含 $T$ 在其相对内部的 $P_{n,d}$ 的唯一最小面 $\mathcal{F}$ 是二维的。它由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 生成，其中 $\kappa = \sqrt{256/27}$，而 $T_{\kappa}$ 是 $P_{n,d}$ 中的一个极值形式。证明：证明的思想是展示一个形式 $F \in \partial P_{n,d}$ 如果包含在面 $\Sigma_{n,d} \subset P_{n,d}$ 的相对内部中，则必须满足26个线性条件，这些条件定义了由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 张成的平面。如果 $F = \sum_{|\alpha| = 6} F_{\alpha}\mathbf{X}^{\alpha} \in \Sigma_{n,d}$ 是这样的一个非负六次多项式（用单项式基表示），那么我们可以表示为 $T = F + \tilde{F}$，对于某个其他的非负多项式 $\tilde{F} \in \Sigma_{n,d}$。根据[Reference Reznick34, Thm. 1]，我们有 $\mathrm{{New}}(F) \subseteq \mathrm{{New}}(T) = \textrm{conv}((6,0,0),(2,0,4),(0,4,2))$。因此，我们可以写成
$$
\begin{align*}
F &= F_{(2,0,4}X_1^2(X + \frac{1}{\sqrt{3})^2(X^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}X + 3) \geq 0，
\end{align}
$$
因此，$T_{\kappa}$ 是非负的，并且 $T = T_1$ 是 $T_{\kappa}$ 和 $T_0$ 的凸组合。注3.21：通过与例子2.11和3.19中相同的计算方法，我们可以证明对于任何 $c \neq 0$，有 $\delta_{[0:0:1]}(T_c) = 3$ 和 $\delta_{[0:1:0]}(T_c) = 6$。根据上述证明，$T$ 属于非负三元六次多项式锥 $\Sigma_{n,d}$ 的一个面 $\mathcal{F} \subset \partial P_{n,d}$ 的相对内部，其中 $\dim \mathcal{F} \geq 2$。我们现在证明这个面 $\mathcal{F}$ 的维数确实是2。命题3.22：包含 $T$ 在其相对内部的 $P_{n,d}$ 的唯一最小面 $\mathcal{F}$ 是二维的。它由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 生成，其中 $\kappa = \sqrt{256/27}$，而 $T_{\kappa}$ 是 $P_{n,d}$ 中的一个极值形式。证明：证明的思想是展示一个形式 $F \in \partial P_{n,d}$ 如果包含在面 $\Sigma_{n,d} \subset P_{n,d}$ 的相对内部中，则必须满足26个线性条件，这些条件定义了由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 张成的平面。如果 $F = \sum_{|\alpha| = 6} F_{\alpha}\mathbf{X}^{\alpha} \in \Sigma_{n,d}$ 是这样的一个非负六次多项式（用单项式基表示），那么我们可以表示为 $T = F + \tilde{F}$，对于某个其他的非负多项式 $\tilde{F} \in \Sigma_{n,d}$。根据[Reference Reznick34, Thm. 1]，我们有 $\mathrm{{New}}(F) \subseteq \mathrm{{New}}(T) = \textrm{conv}((6,0,0),(2,0,4),(0,4,2))$。因此，我们可以写成
$$
\begin{align*}
F &= F_{(2,0,4}X_1^2(X + \frac{1}{\sqrt{3})^2(X^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}X + 3) \geq 0，
\end{align}
$$
因此，$T_{\kappa}$ 是非负的，并且 $T = T_1$ 是 $T_{\kappa}$ 和 $T_0$ 的凸组合。注：通过与例子2.11和3.19中相同的计算方法，我们可以证明对于任何 $c \neq 0$，有 $\delta_{[0:0:1]}(T_c) = 3$ 和 $\delta_{[0:1:0]}(T_c) = 6$。根据上述证明，$T$ 属于非负三元六次多项式锥 $\Sigma_{n,d}$ 的一个面 $\mathcal{F} \subset \partial P_{n,d}$ 的相对内部，其中 $\dim \mathcal{F} \geq 2$。我们现在证明这个面 $\mathcal{F}$ 的维数确实是2。命题3.22：包含 $T$ 在其相对内部的 $P_{n,d}$ 的唯一最小面 $\mathcal{F}$ 是二维的。它由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 生成，其中 $\kappa = \sqrt{256/27}$，而 $T_{\kappa}$ 是 $P_{n,d}$ 中的一个极值形式。证明：证明的思想是展示一个形式 $F \in \partial P_{n,d}$ 如果包含在面 $\Sigma_{n,d} \subset P_{n,d}$ 的相对内部中，则必须满足26个线性条件，这些条件定义了由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 张成的平面。如果 $F = \sum_{|\alpha| = 6} F_{\alpha}\mathbf{X}^{\alpha} \in \Sigma_{n,d}$ 是这样的一个非负六次多项式（用单项式基表示），那么我们可以表示为 $T = F + \tilde{F}$，对于某个其他的非负多项式 $\tilde{F} \in \Sigma_{n,d}$。根据[Reference Reznick34, Thm. 1]，我们有 $\mathrm{{New}}(F) \subseteq \mathrm{{New}}(T) = \textrm{conv}((6,0,0),(2,0,4),(0,4,2))$。因此，我们可以写成
$$
\begin{align*}
F &= F_{(2,0,4}X_1^2(X + \frac{1}{\sqrt{3})^2(X^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}X + 3) \geq 0，
\end{align}
$$
因此，$T_{\kappa}$ 是非负的，并且 $T = T_1$ 是 $T_{\kappa}$ 和 $T_0$ 的凸组合。注：通过与例子2.11和3.19中相同的计算方法，我们可以证明对于任何 $c \neq 0$，有 $\delta_{[0:0:1]}(T_c) = 3$ 和 $\delta_{[0:1:0]}(T_c) = 6$。根据上述证明，$T$ 属于非负三元六次多项式锥 $\Sigma_{n,d}$ 的一个面 $\mathcal{F} \subset \partial P_{n,d}$ 的相对内部，其中 $\dim \mathcal{F} \geq 2$。我们现在证明这个面 $\mathcal{F}$ 的维数确实是2。命题3.22：包含 $T$ 在其相对内部的 $P_{n,d}$ 的唯一最小面 $\mathcal{F}$ 是二维的。它由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 生成，其中 $\kappa = \sqrt{256/27}$，而 $T_{\kappa}$ 是 $P_{n,d}$ 中的一个极值形式。证明：证明的思想是展示一个形式 $F \in \partial P_{n,d}$ 如果包含在面 $\Sigma_{n,d} \subset P_{n,d}$ 的相对内部中，则必须满足26个线性条件，这些条件定义了由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 张成的平面。如果 $F = \sum_{|\alpha| = 6} F_{\alpha}\mathbf{X}^{\alpha} \in \Sigma_{n,d}$ 是这样的一个非负六次多项式（用单项式基表示），那么我们可以表示为 $T = F + \tilde{F}$，对于某个其他的非负多项式 $\tilde{F} \in \Sigma_{n,d}$。根据[Reference Reznick34, Thm. 1]，我们有 $\mathrm{{New}}(F) \subseteq \mathrm{{New}}(T) = \textrm{conv}((6,0,0),(2,0,4),(0,4,2))$。因此，我们可以写成
$$
\begin{align*}
F &= F_{(2,0,4}X_1^2(X + \frac{1}{\sqrt{3})^2(X^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}X + 3) \geq 0，
\end{align}
$$
因此，$T_{\kappa}$ 是非负的，并且 $T = T_1$ 是 $T_{\kappa}$ 和 $T_0$ 的凸组合。注：通过与例子2.11和3.19中相同的计算方法，我们可以证明对于任何 $c \neq 0$，有 $\delta_{[0:0:1]}(T_c) = 3$ 和 $\delta_{[0:1:0]}(T_c) = 6$。根据上述证明，$T$ 属于非负三元六次多项式锥 $\Sigma_{n,d}$ 的一个面 $\mathcal{F} \subset \partial P_{n,d}$ 的相对内部，其中 $\dim \mathcal{F} \geq 2$。我们现在证明这个面 $\mathcal{F}$ 的维数确实是2。命题3.22：包含 $T$ 在其相对内部的 $P_{n,d}$ 的唯一最小面 $\mathcal{F}$ 是二维的。它由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 生成，其中 $\kappa = \sqrt{256/27}$，而 $T_{\kappa}$ 是 $P_{n,d}$ 中的一个极值形式。证明：证明的思想是展示一个形式 $F \in \partial P_{n,d}$ 如果包含在面 $\Sigma_{n,d} \subset P_{n,d}$ 的相对内部中，则必须满足26个线性条件，这些条件定义了由 $T_0$ 和 $T_{\kappa}$ 张成的平面。如果 $F = \sum_{|\alpha| = 6} F_{\alpha}\mathbf{X}^{\alpha} \in \Sigma_{n,d}$ 是这样的一个非负六次多项式（用单项式基表示），那么我们可以表示为 $T = F + \tilde{F}$，对于某个其他的非负多项式 $\tilde{F} \in \Sigma_{n,d}$。根据[Reference Reznick34, Thm. 1]，我们有 $\mathrm{{New}}(F) \subseteq \mathrm{{New}}(T) = \textrm{conv}((6,0,0),(2,0,4),(0,4,2))$。因此，我们可以写成
$$
\begin{align*}
F &= F_{(2,0,4}X_1^2(X + \frac{1}{\sqrt{3})^2(X^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}X + 3) \geq 0，
\end{align}
$$
因此，$T_{\kappa}$ 是非负的，并且 $T = T_1$ 是 $T_{\kappa}$ 和 $T_0$ 的凸组合。注：通过与例子2.11和3.19中相同的计算方法，我们可以证明对于任何 $c \neq 0$，有 $\delta_{[以下是后续的证明：

由于
$$
\begin{align*}
(P_1 + P_2)^{k} &= P_1^{k} + P_2 \cdot \frac{(P_1 + P_2)^{k} - P_1^{k}}{(P_1+P_2) - P_1} = P_1^{k} + P_2 \cdot F_{k}(P_1,P_2) \\
&= P_1^{k} + P_2 \cdot \left(G_k^2(P_1,P_2) + H_k^2(P_1,P_2)\right.
\end{align*}
$$
是一个平方和的形式，因为它既是一个平方和的形式，也是平方和的乘积形式。对于更一般的情况，我们需要研究其他截断的二项式求和。对于整数 $n\geq r\geq 0$，定义
$$
f_{n,r}(t) = \sum_{i=0}^r \binom ni\, t^i
$$
表示截断的二项式多项式。大量的数值计算表明，如果 $n > 2r$，则多项式 $f_{n,2r} > 0$ 是正的。第三作者在 MathOverflow 上提出了这个未证明的猜想，Iosif Pinelis 教授很快给出了解决方案，并经其允许将其包含在文中（参考文献 Pinelis30）。定理 5.2 对于所有 $n > 2r$ 和 $t \in {\mathbb R}$，都有 $f_{n,2r} > 0$。证明：我们通过对固定的 $r$ 使用归纳法。如前所述，$f_{2r+1,2r}(t) = (1+t)^{2r+1} - t^{2r+1}$ 是正的，因为 $x^{2r+1}$ 是严格递增的。我们使用两个组合恒等式：
(5.1)
$$
\begin{align}
f_{n,r}'(t) &= \sum_{i=0}^r \binom ni\ i t^{i-1} = n \sum_{i=1}^r \binom {n-1}{i-1}\ t^{i-1} = nf_{n-1,r-1}(t),
\end{align}
$$
(5.2)
$$
\begin{align}
f_{n,r}(t) &= \sum_{i=0}^r \binom {n-1}i\, t^i + \sum_{i=1}^r \binom {n-1}{i-1}\, t^i = f_{n-1,r}(t) + tf_{n-1,r-1}(t).
\end{align}
$$
由于当 $t \to \pm \infty$ 时，$f_{n,2r}(t) \to \infty$，因此只需考虑 $f_{n,2r}$ 在其临界点的值。假设 $f_{n,2r}'(t_0) = 0$。那么根据 (5.1)，有 $f_{n-1,2r-1}(t_0) = 0$，进一步根据 (5.2) 可得
$$
\begin{align*}
f_{n,2r}(t_0) = f_{n-1,2r}(t_0) + t_0f_{n-1,2r-1}(t_0) = f_{n-1,2r}(t_0),
\end{align*}
$$
根据归纳假设，这是正的。注意到根据这个定理，存在多项式 $g_{n,2r}(t)$ 和 $h_{n,2r}(t)$ 使得 $f_{n,2r}(t) = (g_{n,2r}(t))^2 + (h_{n,2r}(t))^2$，并且通过齐次化，存在度数为 $r$ 的二元形式 $G, H$ 使得
$$
\begin{align*}
F_{n,2r}(t_1,t_2) = \sum_{i=0}^r \binom ni\, t_1^it_2^{2r-i} = (G_{n,2r}(t_1,t_2))^2 + (H_{n,2r}(t_1,t_2))^2.
\end{align*}
$$
这在本节的主要结果中是需要的。

定理 5.3：设 $P\in \Sigma _{n,d}(k)$ 和 $\tilde P\in \Sigma _{n,d}(\tilde k)$，其中 $k$ 和 $\tilde k$ 都是奇数。那么 $P+\tilde P\in \Sigma _{n,d}(k+\tilde k-1)$。特别地，$\Sigma _{n,d}(\infty )$ 是一个凸锥。

证明：我们展开 $(P+\tilde P)^{k+\tilde k-1}$，并使用 $i' = i - k$，得到其表示为平方和的形式：
$$
\begin{align*}
(P+\tilde P)^{k+\tilde k-1} &= \sum_{i = 0}^{k+\tilde k-1} \binom{k+\tilde k -1}i P^{i}\tilde P^{\,k+\tilde k-1-i} \\
&= \sum_{i = 0}^{k-1} \binom{k+\tilde k-1}i P^{i}\tilde P^{k+\tilde k-1-i} + \sum_{i = k}^{k+\tilde k-1} \binom{k+\tilde k-1}i P^{i}\tilde P^{k+\tilde k-1-i} \\
&= \tilde P^{\tilde k} \sum_{i = 0}^{k-1} \binom{k+\tilde k-1}i P^{i}\tilde P^{k-1-i} + P^{k} \sum_{i' = 0}^{\tilde k-1} \binom{k+\tilde k-1}{i '+k}P^{i'}\tilde P^{\tilde k-1-i'} \\
&= \tilde P^{\tilde k}F_{k+\tilde k-1,k-1}(P,\tilde P) + P^{k}F_{k+\tilde k-1,\tilde k-1}(\tilde P,P) \\
&= \tilde P^{\tilde k}(G_{k+\tilde k-1,k-1}^2(P,\tilde P) + H_{k+\tilde k-1,k-1}^2( P,\tilde P)) \\
&;\quad+ P^{k}(G^2_{k+\tilde k-1,\tilde k-1}(\tilde P,P) + H_{k+\tilde k-1,\tilde k-1}^2(\tilde P,P)).
\end{align*}
$$
因此第二个结论立即成立。

6 进一步的评论和问题：在本节中，我们对我们的一些结果进行了一些评论，并提出了一些未解决的问题。猜想 1.6 认为 $P_{n,d}$ 中任何不是平方和的极值形式都是“顽固”的。同时，我们也不知道对于固定的奇数 $k$，闭锥 $\Sigma _{n,d}(k)$ 是否是凸的。我们预计答案不应该依赖于参数的值。我们在小节 3.5 中证明了 Stengle 的形式 (1.4) 不是极值形式。实际上，根据命题 3.22，包含 T 的 face 在其相对内部是二维的。可以证明这个 face 的相对内部的所有形式都是“顽固”的。这激发了以下问题：“一个 face $\mathcal {F}\subset P_{n,d}$ 的最大维度是多少，如果它的相对内部由顽固形式组成？”极值的三元 sextics $P\in \mathcal {E}(P_{3,6})\cap \Delta _{3,6}$ 满足 $\delta ^{\,\textrm {sos}}(P)=\delta (P)=10$ 并且根据定理 1.1 是顽固的。我们在小节 3.5 中看到 $\delta ^{\,\textrm {sos}}(T)=\delta (T)=9$ 对于 Stengle 的形式也是顽固的[参考文献 Stengle44]。基于此和命题 3.22，我们提出以下猜想。猜想 6.1：设 $P\in \Delta _{3,6}$ 是一个非平方和的非负形式，并且 $\mathcal {V}(P)$ 只有实数奇点，且 $\delta (P)=9$。那么 P 是顽固的，并且位于 $P_{3,6}$ 的一个二维 face 的相对内部。最近在 [参考文献 Baldi, Blekherman, Kozhasov, Plaumann, Reznick 和 Sinn2, Thm 1.2] 中证明，$P\in \Delta _{3,6}$ 是顽固的当且仅当平面曲线 $\mathcal {V}(P)\subset \mathbb {P}_{\mathbb {C}}^2$ 只有实数奇点，且 $\delta (P)\in \{9,10\}$，从而证明了猜想 6.1。Robinson 形式 (1.2)（以及任何在 $\mathcal {E}(P_{3,6})\cap \Delta _{3,6}$ 中生成暴露极值射线的 $P$）有 10 个圆形零点。Motzkin 形式 (1.1) 有四个圆形零点 $[\pm 1:\pm 1:1]$ 和两个零点 $[1:0:0]$，在每个零点处 SOS-不变量等于 3。这引发了以下问题。问题 6.2：对分割 $(\delta _1,\dots , \delta _s)$ 进行分类，这些分割可以表示为某个 $P\in \mathcal {E}(P_{3,6})\cap \Delta _{3,6}$ 的实数零点的局部 SOS-不变量（等价于 delta 不变量）。对于 $a \le 3$，我们现在定义
$$
\begin{align*}
M_a = X_1^4X_2^2 + X_1^2X_2^4 + X_3^6 - aX_1^2X_2^2X_3^2 = M + (3-a)X_1^2X_2^2X_3^2
\end{align*}
$$
并考虑对于 $k\geq 0$ 的参数集合
$$
\begin{align*}
V_{2k+1} = \{a\,:\, M_a^{2k+1} \in \Sigma_{3,6(2k+1)}\} = \{ a \,:\, M_a \in \Sigma_{3,6}(2k+1)\}
\end{align*}
$$
使得 $M_a$ 的 $(2k+1)$ 次幂是平方和。

定理 6.3：存在一个非递减序列 $(c_k) \subset [0,3)$ 使得
$$
\begin{align*}
V_{2k+1} = (-\infty, c_k],
\quad k\geq 0.
\end{align*}
$$
证明：对于每个 $k\geq 0$，显然有 $(-\infty ,0] \subseteq V_{2k+1}$ 且 $3 \notin V_{2k+1}$（根据推论 1.2）。设 $c_k = \sup (V_{2k+1})$。由于锥体 $\Sigma _{3,6(2k+1)}$ 是封闭的，因此 $c_k \in V_{2k+1}$，所以 $c_k \in [0,3)$。假设 $a = c_k - c$ 是任何小于 $c_k$ 的数（因此 $c > 0$）。那么
$$
\begin{align*}
X_1^4X_2^2 + X_1^2X_2^4 + X_3^6 - aX_1^2X_2^2X_3^2 = \left(X_1^4X_2^2 + X_1^2X_2^4 + X_3^6 - c_kX_1^2X_2^2X_3^2\right)+ c X_1^2X_2^2X_3^2,
\end{align*}
$$
根据定理 5.3 属于 $\Sigma _{3,6}(2k+1)$，其中 $P=X_1^4X_2^2 + X_1^2X_2^4 + X_3^6 - c_kX_1^2X_2^2X_3^2\in \Sigma _{3,6}(2k+1)$ 和 $\tilde P = c X_1^2X_2^2X_3^2\in \Sigma _{3,6}$。从证明 M 不是平方和的[参考文献 Motzkin27] 可以推断出 $V_1 = (-\infty , 0]$，即 $c_0=0$。现在，$M_a$ 的三次幂满足
$$
\begin{align*}
M_a^3 &= \frac{3}{2} \left(X_1^5X_2^4 - a X_1^3X_2^4X_3^2\right)^2 + \frac{3}{2} \left(X_1^4X_2^5 - a X_1^4X_2^3X_3^2\right)^2 +\frac{3}{2} \left(X_1^4X_2^2X_3^3 - a X_1^2X_2^2X_3^5\right)^2 \\
&;\quad + \frac{3}{2} \left(X_1^2X_2^4X_3^3 - a X_1^2X_2^2X_3^5\right)^2 +\frac{3}{2} \left(X_1X_2^2X_3^6 - a X_1^3X_2^4X_3^2\right)^2 + \frac{3}{2}\left(X_1^2X_2^4X_3^3 - a X_1^4X_2^3X_3^2\right)^2 \\
&;\quad + \left(X_1^2X_2^4X_3^3- X_1^4X_2^2X_3^3\right)^2 + \frac{3}{2}\left(X_1^4X_2^5 - X_1^2X_2^3X_3^2\right)^2 + \frac{3}{2}\left(X_1^5X_2^4 - X_1^2X_2^3X_3^6\right)^2 \\
&;\quad + \left(X_3^9 - 2a X_1^2X_2^2X_3^5\right)^2 + a \left(X_1 X_2 X_3^7 - 2a X_1^3X_2^3X_3^3\right)^2 + \left(X_1^3X_2^6 - 2a X_1^3X_2^3X_3^3\right)^2 \\
&;\quad + \left(15 - 13a^3\right)\left(X_1^3X_2^3X_3^3\right)^2
\end{align*}
$$
因此我们有 $\frac {15}{13}^{1/3} \approx 1.04886 \le c_1$。注意我们不能在这里应用 Scheiderer 的定理[参考文献 Scheiderer42]，因为对于 $c > 0$，$M_c$ 不是严格正的（它在 $[1:0:0]$ 和 $[0:1:0]$ 有实数零点）。Pablo Parrilo 通过实验发现[参考文献 Parrilo28] $c_1 \approx 2.56548$ 和 $c_2 \approx 2.88905$。一个有趣的问题是 $\lim _k c_k = 3$ 是否成立。另一个自然的问题是序列 $(c_k)$ 是否严格递增。

致谢：我们感谢 Pablo Parrilo、Adam Parusiński 和 Isabelle Shankar 的有益讨论。此外，我们还要感谢 Iosif Pinelis 对定理 5.2 的证明，以及 Jim McEnerney 的提问，他的问题部分激发了这项工作。我们还要感谢两位匿名审稿人的评论，他们的评论帮助我们大大改进了论文。

利益冲突：作者们没有需要声明的利益冲突。