将清晰模型与模糊模型相结合用于研究白喉的传播动态

《Franklin Open》：Integrating crisp and fuzzy models for diphtheria dynamics

　　索芭·伊斯兰|穆罕默德·沙希杜尔·伊斯兰|穆罕默德·卡姆鲁贾曼
达卡大学数学系，达卡1000，孟加拉国

**摘要**
在复杂环境中，当众多变量和不确定条件影响疾病传播时， crisp-fuzzy建模特别有用。在本文中，我们开发了一个易感者-暴露者-感染者-治疗者-康复者（SEITR）模型，并提供了一种将某些关键参数定义为模糊数的一般方法。最后，我们通过研究孟加拉国罗兴亚难民营中的白喉传播情况来说明这种方法。我们在 crisp 和 fuzzy 模型下对模型进行了分析。在模糊模型中，疾病传播率、治疗率和疾病引起的死亡率被视为取决于细菌负荷的模糊数。我们使用下一代矩阵方法推导出基本再生数，并使用可信度指标获得标准化基本再生数的模糊期望值。我们还对平衡点进行了局部和全局稳定性分析。此外，我们发现当细菌负荷超过某个阈值时，模型会发生超临界分叉。数值模拟用于检查模型参数对 crisp 和 fuzzy 系统动态的影响。通过将两种模型与孟加拉国罗兴亚难民营白喉爆发的真实数据進行比较，并使用三种误差度量标准，我们发现模糊模型比 crisp 模型提供了更准确的预测。最后，我们根据理论和数值研究结果提出了控制策略。

**1. 引言**
白喉是一种由革兰氏阳性细菌白喉棒状杆菌引起的致命传染病[1] [2]。感染通过呼吸道飞沫或与感染者直接接触传播[1] [3]。白喉的初始症状通常包括发热、喉咙痛、呼吸和吞咽困难以及颈部肿胀[1] [2]。在疫苗覆盖率不足的地区，白喉是一个严重的公共卫生问题，对未接种疫苗的人群尤其是5-7岁的儿童构成更高风险[2]。二战后引入的白喉-破伤风-百日咳（DTP）疫苗在很大程度上减少了全球的白喉传播，而在世界卫生组织（WHO）于1974年开始扩大免疫计划后，传播进一步减少[4]。尽管疫苗计划取得了显著进展，但在某些地区白喉再次成为公共卫生问题。过去十年中一些最大的白喉爆发发生在委内瑞拉（2016年）、也门（2017年）、孟加拉国的罗兴亚难民营（2017年）和尼日利亚（2018年）[4]。孟加拉国的巴卢卡拉利罗兴亚难民营是人口最密集的难民营之一，食物、医疗保健和卫生条件的缺乏加剧了白喉等传染病的传播[3] [5]。该难民营在2017年11月经历了大规模的白喉爆发，截至2017年12月26日共报告了2526例病例和27例死亡[1]。

数学模型使研究人员能够研究传染病的传播模式，并识别影响疾病传播的关键因素，从而制定有效的控制策略[6] [7] [8]。数学模型可以分为许多类别。确定性建模方法是流行病学领域最广泛使用的建模技术之一。然而，确定性模型使用精确的参数值，因此无法反映病毒传播的不确定性。模糊分析是一种表示和处理数学系统中不确定性的方法[6]。模糊逻辑的概念由扎德于1965年提出[6]，它使用隶属函数来表示元素属于某个集合的程度，而不是二进制的归属或非归属区分。

研究人员在流行病学领域研究了不同类型的包含模糊性的数学模型。Abdy等人研究了将传播率、愈合率和死亡率视为模糊数的易感者-感染者-康复者（SIR）型COVID-19模型[9]。他们考虑了治疗、疫苗接种和实施健康措施的效果，并观察到疫苗接种和遵守健康干预措施对减轻病毒传播有显著影响。Dayan等人（2023年）讨论了将感染率和康复率视为模糊参数的麻疹疾病易感者-暴露者-感染者-康复者（SEIR）模型[6]。Dayan等人（2022年）开发了一个非标准的有限差分框架，用于分析COVID-19的模糊易感者-暴露者-感染者-隔离者-康复者（SEIQR）模型[10]。Dhandapani等人（2021年）和Subramanian等人（2024年）研究了几种模糊分数流行病模型，并使用拉普拉斯-阿多米安分解方法进行求解[11] [12]。Verma等人（2019年）使用三角模糊数研究了SEIR和易感者-暴露者-感染者-康复者-住院者-死亡者（SEIRHD）流行病模型，以模拟西非的埃博拉病毒传播[13]。Mahato等人和Mahmud等人使用分级平均积分值方法对考虑治疗和疫苗接种信息的易感者-接种者-感染者-康复者模型进行了去模糊处理[14] [15]。Mondal等人（2015年）研究了一个将感染率和治疗率视为模糊数的SIS模型，而Verma等人（2017年）讨论了将感染率、疾病引起的死亡率和愈合率视为模糊集合的SIR模型[16] [17]。Nandi等人（2018年）提出了在 crisp 和 fuzzy 设置下的SIS模型[18]。他们表明该模型会发生backward 分叉，并且模糊框架比 crisp 框架更合适。Bhuju等人（2022年）将感染率、叮咬率和愈合率视为模糊数，研究了登革热爆发的SEIR-SEI模型[19]。Amarti等人（2019年）研究了一个考虑Allee效应的模糊流行病模型[20]。Selvakumar等人（2022年）开发了一个模糊模型，以感染率和康复率为模糊参数来研究寨卡病毒的传播[21]。Ndii等人（2018年）讨论了一个考虑携带能力为模糊参数的狂犬病传播模型[22]。Panja等人（2017年）提出了一个假设所有生物参数均为模糊数的霍乱传播模型，其中宿主群体被分类为易感者、感染者和康复者，而霍乱弧菌代表细菌群体[23]。许多研究人员还开发了不同类型的确定性 compartmental 模型，以了解孟加拉国科克斯巴扎罗兴亚难民营中白喉传播的动态。例如，Akhi等人（2023年）提出了一个易感者-潜伏期-感染者-康复者（SLIR）模型，以预测不同感染率和康复率下的罗兴亚难民营白喉感染规模[3]。Islam等人（2022年）也研究了一个SLIR模型，发现基本再生数R0=5.86，表明感染率很高[1]。

在本文中，我们介绍了在确定性（即 crisp）和模糊框架下关于白喉爆发的数学模型。模糊模型将感染率、疾病引起的死亡率和治疗率视为模糊数，将它们视为细菌负荷的函数。两种模型都与白喉爆发的真实数据进行了对比。结果表明，模糊模型比 crisp 模型更能捕捉不确定性行为。更具体地说，我们提出了一个基于模糊参数的流行病建模框架，其中关键流行病学参数被表示为模糊数。由此产生的模糊动态系统使我们能够在模型参数不确定时研究疾病动态，即当它们取决于各种因素（例如本研究中的细菌负荷）时。我们提出了一种通用框架，说明如何将模糊性整合到典型的建模方法中。我们根据感染病例的频率将时间间隔划分为四个子间隔，每个子间隔中的细菌负荷量不同。作为所提出方法论的一个特殊应用和验证，该模型应用于罗兴亚难民营中白喉的传播动态。为此，由于缺乏适当的数据，一些参数被假设为模糊参数，而其他参数则通过数据拟合进行估算。随着对疾病特定参数（如细菌或病毒负荷）的充分了解，所提出的框架可以扩展到其他传染病。

本文的其余部分如下：附录中讨论了一些关于模糊集的初步知识。第2节制定了白喉传播的 crisp 模型，还解决了模型解的非负性和有界性属性。第3节详细阐述了相应的模糊模型的制定以及模糊参数的隶属函数的构建。第4节分析了模糊模型，包括确定平衡点和基本再生数。我们还检查了平衡点的局部和全局稳定性标准，并进行了分叉分析。第5节讨论了基于理论和数值结果的一些控制策略。最后，第7节提供了结论性意见。

**2. crisp 模型的制定**
为了制定基本上是一个确定性 compartmental 模型的 crisp 模型，我们将整个人口N(t) 分为五个不相交的类别：(i) 易感者（S），包括有可能被细菌感染的个体；(ii) 暴露者（E），包括被细菌感染但无传染性的个体；(iii) 感染者（I），包括既被感染又具有传染性的个体；(iv) 接受治疗者（T），包括正在接受治疗的个体；(v) 康复者（R），包括在感染后直接康复或通过治疗康复的个体。个体以速率 Λ 进入易感者类别。易感者在与 I 类个体发生潜在的疾病传播接触后，以速率 β 进入暴露者类别。从 E 类转移到 I 类的转移率为 γ。感染者以速率 σ 接受治疗。I 类和 T 类的个体分别以速率 α 和 δ 康复。所有类别的自然死亡率为 μ，而 I 类中的疾病引起的死亡率为 μ1。所有这些信息都通过图1中的示意图表示。此外，我们假设：
1. T 类的个体没有传染性；
2. 康复的个体获得永久性免疫。

该模型系统由以下方程表示：
$$
\begin{align}
dSdt &= \Lambda - \mu S - \beta IS, \\
dEdt &= \beta IS - (\mu + \gamma)E, \\
dIdt &= \gamma E - (\mu + \mu_1 + \alpha + \sigma)I, \\
dTdt &= \sigma I - (\mu + \delta)T, \\
dRdt &= \alpha I + \delta T - \mu R,
\end{align}
$$
初始条件为：
$$
S(0) = S_0, \quad E(0) = E_0, \quad I(0) = I_0, \quad T(0) = T_0, \quad R(0) = R_0, \quad N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + T(t) + R(t).
$$
系统（2.1）中涉及的所有参数都是非负的。

**2.1. 辅助结果**
系统（2.1）的右侧是局部利普希茨连续的，这确保了（2.1）的唯一解的存在[24]。
**引理1**
模型（2.1）存在唯一解。
**定理1**
只要初始条件是非负的， crisp 系统（2.1）的解（S(t), E(t), I(t), T(t), R(t)）对所有 t≥0 都是非负的。
**证明**
第一个方程为：
$$
dSdt = \Lambda - \mu S - \beta IS \Rightarrow dSdt + (\mu + \beta I(t))S = \Lambda
$$
解这个微分方程，我们得到：
$$
S(t) = \exp{\mu t + \beta\int_0^t I(s)ds} - S(0) = \int_0^t \Lambda\exp{\mu t + \beta\int_0^t I(s)ds}du \Rightarrow S(t) = \exp{-\mu t - \beta\int_0^t I(s)ds} \times [S(0) + \int_0^t \Lambda\exp{\mu t + \beta\int_0^t I(s)ds}du] \geq 0
$$
类似地，我们得到：
$$
dEdt \geq -(\mu + \gamma)E \Rightarrow E(t) \geq E(0)\exp{-(\mu + \gamma)t} \geq 0, \\
dIdt \geq -(\mu + \mu_1 + \alpha + \sigma)I \Rightarrow I(t) \geq I(0)\exp{-(\mu + \mu_1 + \alpha + \sigma)t} \geq 0,
$$
$$
dTdt \geq -(\mu + \delta)T \Rightarrow T(t) \geq T(0)\exp{-(\mu + \delta)t} \geq 0, \\
dRdt \geq -\mu R \Rightarrow R(t) \geq R(0)\exp{-\mu t} \geq 0.
$$
**定理2**
紧凑区域 Ψ = {(S, E, I, T, R) ∈ \mathbb{R}^+ \cap \{0 < N \leq \Lambda\mu\} 是 crisp 系统（2.1）的正不变集且是全局吸引集。**
**证明**
这里，N = S + E + I + T + R \Rightarrow dNdt = dSdt + dEdt + dIdt + dTdt + dRdt \Rightarrow dNdt = \Lambda - \mu N - \mu_1I \leq \Lambda - \mu N \Rightarrow dNdt + \mu N \leq \Lambda
解上述微分不等式，我们得到：
$$
N(t)e^{\mu t} - N(0) \leq \Lambda\mu(e^{\mu t - 1) \Rightarrow N(t) \leq N(0)e^{-\mu t + \Lambda\mu(1 - e^{-\mu t)}
$$
如果系统一旦进入 Ψ，它将在所有未来时间内保持在该区域内，即集合 Ψ 是正不变的。换句话说，如果系统的初始条件位于 Ψ 内，则系统的解将在所有时间 t≥0 期间保持在 Ψ 内。现在，如果 N(0) ≤ \Lambda\mu，则：
$$
N(t) \leq \Lambda\mu e^{-\mu t} + \Lambda\mu(1 - e^{-\mu t} = \Lambda\mu
$$
这意味着任何在 Ψ 内开始的解始终会保持在 Ψ 内。因此，区域 Ψ 是正不变的。这确保了模型的生物学现实性，因为人口数量不可能变为负数或超过 N。它使我们能够专注于研究 Ψ 区域，简化了对系统长期行为的研究。
另一方面，如果系统的所有解无论初始条件如何最终都会收敛到 Ψ 中，则 Ψ 被称为全局吸引集。换句话说，无论系统从哪里开始，它最终都会进入并保持在 Ψ 内。现在，从（2.3）我们有：
$$
N(t) \leq \Lambda\mu + (N(0) - \Lambda\mu)e^{-\mu t}
$$
因此，lim_{t \to \infty} N(t) ≤ \Lambda\mu。这意味着 N(t) 在长期内受到 Λμ 的上界限制。此外，对于 N(0) > \Lambda\mu，项 (N(0) - \Lambda\mu)e^{-\mu t} 是正的，并且随着 t→∞ 单调递减到 0，这意味着 N(t) 也单调递减到 Λμ。所以，任何从 R+5 中的某个点开始的整体解决方案最终都会进入 Ψ。这告诉我们系统的长期行为被限制在 Ψ 内。□3. 模糊模型的构建在本节中，我们将构建与清晰模型（2.1）相对应的模糊模型。设 ν 表示细菌负荷。细菌负荷定义为个体体内存在的细菌数量或浓度。当一个人感染了导致白喉传播的细菌时，细菌会通过二分裂进行自我复制，这是白喉棒状杆菌 [25] 中观察到的一种细胞分裂方式。因此，个体内的细菌负荷不是恒定的，可以表示为一个语言变量（例如低细菌负荷、中等细菌负荷和高细菌负荷）。这在研究的人群中引入了异质性。细菌负荷是评估感染严重程度的关键要素。较高的细菌负荷表明传播给他人的可能性更高。在这项研究中，疾病传播率 β、治疗率 σ 和疾病引起的死亡率 μ1 被视为模糊参数，即 β、σ 和 μ1 取决于细菌负荷 ν。因此，（2.1）的相应模糊模型由（3.1）给出：
dSdt=Λ?μS?β(ν)
dEdt=β(ν)IS?(μ+γ)E
dIdt=γE?(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))
dTdt=σ(ν)I?(μ+δ)T
dRdt=αI+δT?μR。

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图 2. (a) 模糊疾病传播率 β(ν)，(b) 模糊治疗率 σ(ν)，以及 (c) 模糊疾病引起的死亡率 μ1(ν) 的隶属函数图。

定理 3
只要初始条件是非负的，模糊系统（3.1）的解（S(t),E(t),I(t),T(t),R(t)）对所有 t≥0 都是非负的。证明
证明与定理 1 的证明类似。□

定理 4
紧凑区域 Ψ′={(S,E,I,T,R)∈R+5:0<νmin ν?νmin < ν < νmax 1, 如果 νmin≤ν≤νmax 同样，治疗率 σ 也是 ν 的增函数。如果细菌负荷 ν 非常低（即><νmin），则不需要治疗，因此 σ 等于 0；如果细菌负荷高（即 ν>νmax），那么治疗率达到最大值，但在这种情况下我们假设由于医疗设施不足和医疗服务成本高昂，σ 不能达到其最大值 1，因此 σ 等于 1?α，其中 0≤α<1 表示医疗服务的效果不佳。所以，σ 的隶属函数形式如下 [16]：
(3.3)
σ(ν)=0, 如果 ν<νmin ν?νmin < ν < νmax 1?α, 如果>< /><ν0 疾病引起的死亡率 μ1 也与细菌负荷 ν 成正比。当><νmin 时，μ1 可以忽略不计，因此等于 0。当 ν>νmax 时，μ1 达到最大值，但由于治疗的可用性，μ1 不能达到最大值，因此等于 1?b，其中 0≤b 表示治疗效果。所以，μ1 的隶属函数由 [10] 给出：
(3.4)
μ1(ν)=0, 如果 ν<νmin ν?νmin < ν < νmax 1?b, 如果>< /><ν0 模糊参数的隶属函数图在图 2.4 中展示。 4.1. 平衡点和基本再生数 在流行病模型中主要研究两种类型的平衡点，即无疾病平衡点和地方性平衡点。 4.1.1. 无疾病平衡点 (dfe) 设 e0=(S0,E0,I0,T0,R0) 是无疾病平衡点。在 dfe 下，社区中没有疾病持续存在。因此，我们必须有 e0=I0=0。现在同时解系统 ds0dt=dE0dt=dI0dt=dT0dt=dR0dt=0，我们得到 t0=0,R0=0,S0=Λμ。因此，无疾病平衡点是 e0=(Λμ,0,0,0,0)。 4.1.2. 基本再生数 基本再生数 r0 表示一个感染者在引入一个完全易感人群时产生的新感染的平均数量。我们使用下一代矩阵方法 [27] 确定 r0。考虑仅与感染者相关的微分方程： dedt=β(ν)IS?(μ+γ)E didt=γE?(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))I 按照 [28] 中描述的方法，我们得到感染矩阵 f 和转移矩阵 v 如下： f=β(ν)IS v=(μ+γ)E?γE+(μ+α+μ1(ν)+σ(ν)) 在 dfe e0=(Λμ,0,0,0,0) 处的雅可比矩阵为： f=0 β(ν)λμ 0 0 v=μ+γ 0?γ μ+α+μ1(ν)+σ(ν) 矩阵 v 的逆矩阵为： v?1=1 (μ+γ) 0 γ(μ+γ) (μ+α+μ1(ν)+σ(ν)) 1 (μ+α+μ1(ν)+σ(ν)) 因此，fv?1=Λβ(ν)γμ(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))Λβ(ν)μ(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))0 0 设 λ 是 fv?1 的一个特征值。那么矩阵 fv?1 的特征方程为： λ^2?tr(fv?1)λ+det(fv?1)=0 ? λ^2?λβ(ν)γμ(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))λ+0=0 ? λ(λ?λβ(ν)γμ(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν)))=0 ? λ=0, λ=Λβ(ν)γμ(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν)) r0 是矩阵 fv?1 的谱半径，即所有特征值绝对值的最大值，即 r0(ν)=Λβ(ν)γμ(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))。 显然，r0 是 ν 的函数。由于 r0 取决于细菌负荷 ν，我们考虑以下三种不同情况： • 情况 1：如果><νmin，那么 β(ν)=0, σ(ν)=0, 和 μ1(ν)=0。所以我们有 r0(ν)=0，这意味着疾病最终将从社区中根除。 • 情况 2：如果 νmin≤ν≤νmax，那么 β(ν)=ν?νmin νmax?νmin, σ(ν)=ν?νmin νmax?νmin (1?a), 和 μ1(ν)=ν?νmin νmax?νmin (1?b)。所以我们有： (4.1) r0(ν)=Λγ(ν?νmin)μ(μ+γ){(μ+α)(νmax?νmin)+(ν?νmin)(2?a?b)} • 情况 3：如果>< /><ν0，那么 β(ν)=1, σ(ν)=1?a, 和 μ1(ν)=1?b。所以我们有 r0(ν)=Λγμ(μ+γ)(μ+α+2?a?b)。 情况 2 和情况 3 代表疾病在社区中流行的情景。技术上 r0(ν) 不是一个模糊数，因为其隶属值可以大于 1。对于 νmin≤ν≤νmax，dr0(ν)dν=Λγμ(μ+γ)(μ+α)(νmax?νmin)[μ(μ+γ){(μ+α)(νmax?νmin)+(ν?νmin)(2?a?b)} ≥ 0，即 r0(ν) 是 ν 的增函数，因此在 ν=νmax 时达到其最大值。所以，max νmin≤ν≤νmax r0(ν)=Λγμ(μ+γ)(μ+α+2?a?b)，这与情况 3 中得到的 r0(ν) 值相同（即当>< /><ν0 时）。 因此，对于所有 ν，r0(ν)≤λγμ(μ+γ)(μ+α+2?a?b)， ?ν。所以，r0f(ν)=μ(μ+γ)(μ+α+2?a?b)ΛγR0(ν) 总是小于或等于 1，因此可以被视为一个依赖于细菌负荷 ν 的模糊数 [16]。所以，r0f(ν) 的隶属函数定义为： r0f(ν)=0, 如果><νmin (μ+α+2?a?b) (ν?νmin) (μ+α)(νmax?νmin)+(ν?νmin) (2?a?b), 如果 νmin≤ν≤νmax 1, 如果>< /><ν0 r0f(ν) 的隶属函数图在图 3 中展示，参数值为 μ=0.8,α=0.9,νmin=20,νmax=80,ν0=100,a=0.01, 和 b=0.02。 现在，我们推导出模糊数 r0f(ν) 的期望值的解析表达式。使用定义 (a.2)，r0f(ν) 的可信度度量为： cr{r0f(ν)≥ν}=1, 如果><νmin 1?(μ+α+2?a?b)(ν?νmin) 2(μ+α)(νmax?νmin)+2(2?a?b)(ν?νmin), 如果 νmin≤ν≤νmax 1 2, 如果>< /><ν0 因此，使用 (a.1)，r0f(ν) 的期望值 fev 为： e[r0f(ν)]=∫_0^νmin dν+∫_νmin^νmax{1?k(ν?νmin)^2(μ+α)(νmax?νmin)+2(2?a?b)(ν?νmin)}dν+∫_νmax^ν0^1 2 dν?0=ν0+νmax^2?k(νmax?νmin){(2?a?b)+(μ+α)ln(μ+αk)} 2(2?a?b)^2 其中，k=μ+α+2?a?b。 下载：下载高分辨率图片（126kb） 下载：下载全尺寸图片 图 3. 模糊数 r0f(ν) 的隶属函数图。 一些作者 [6],[10],[29] 还基于细菌负荷的变化定义了模糊再生数为三角模糊数。在这种情况下，r0(ν) 可以表示为以下三角模糊数： r0t(ν)=(0,Λγ(ν?νmin)μ(μ+γ){(μ+α)(νmax?νmin)+(ν?νmin)(2?a?b)},Λγμ(μ+γ)(μ+α+2?a?b)) 因此，使用附录 a.3 中推导出的 tfn 期望值公式，r0t(ν) 的期望值为： e[r0t(ν)]=1/4{2Λγ(ν?νmin)μ(μ+γ){(μ+α)(νmax?νmin)+(ν?νmin)(2?a?b)}+Λγμ(μ+γ)(μ+α+2?a?b)} 4.1.3. 地方性平衡点 (ee) 设 e?=(S?,E?,I?,T?,R?) 是地方性平衡点，表示疾病在社区中持续存在的情景，即 i?≠0。为了得到 ee，我们同时解系统： ds?dt=dE?dt=dI?dt=dT?dt=dR?dt=0，得到： s?=(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))γβ(ν), e?=μ+α+μ1(ν)+σ(ν)γI?, i?=μβ(ν)(R0(ν)?1), t?=σ(ν)μ+δI?, r?=α(μ+δ)+δσ(ν)μ(μ+δ)I?。 从 i? 的表达式可以看出，如果 r0(ν) 大于 1 且 β(ν)≠0，即 ν>νmin，那么 I? 存在。

4.2. 稳定性分析

4.2.1. DFE 和 EE 的局部稳定性
定理 5
如果 R0(ν)<1，系统 (3.1) 的 DFE 在局部是渐近稳定的，否则是不稳定的。
证明
在 DFE E0 处 (3.1) 的雅可比矩阵为：
J(E0)=?μ
0?β(ν)Λμ
0
0
0
γ?A1
β(ν)Λμ
0
0
0
σ(ν)?A2
0
0
0
αδ?μ
其中，A1=μ+γ,
A2=μ+α+μ1(ν)+σ(ν),
A3=μ+δ。
矩阵 J(E0) 的三个特征值为 ?μ<0, ?μ<0, 和 ?A3<0，而其余两个特征值满足二次方程 λ^2+c1λ+c2=0，其中 c1=A1+A2>0 且 c2=A1A2?Λβ(ν)γμ=A1A2(1?R0(ν))。
现在，如果 R0(ν)<1，那么 c1 和 c2 都是正数，因此其余两个特征值也是负数。因此，如果 R0(ν)<1，则 DFE 在局部是渐近稳定的，否则是不稳定的。□

定理 6
如果 R0(ν)>1，系统 (3.1) 的 EE 在局部是渐近稳定的，否则是不稳定的。
证明
在 EE E? 处 (3.1) 的雅可比矩阵为：
J(E?)=?μ?β(ν)I?
0?β(ν)S?
0
0
β(ν)I??A1β(ν)S?
0
0
0
γ?A2
0
0
σ(ν)?A3
0
0
αδ?μ
其中，J(E?) 的两个特征值为 ?μ<0,?A3<0，其余三个特征值满足三次方程 λ^3+D1λ^2+D2λ+D3=0，其中 D1=μ+A1+A2+β(ν)I?
D2=(A1+A2)(μ+β(ν)I?)
D3=γ(β(ν))^2S?I?。
这里，所有量 μ,A1,A2,β(ν),γ,S? 都是正数，且 I?=μβ(ν)(R0(ν)?1)，如果 R0(ν)>1，则 I? 是正数。所以，如果 R0(ν)>1，所有系数 D1,D2,D3 都是正数，根据笛卡尔符号法则，其余三个特征值也是负数。因此，如果 R0(ν)>1，则 EE 在局部是渐近稳定的，否则是不稳定的。□

4.2.2. DFE 和 EE 的全局稳定性
定理 7
如果 R0(ν)<1，系统 (3.1) 的 DFE 在全局是渐近稳定的，否则是不稳定的。
证明
考虑李雅普诺夫函数 L=γE+(μ+γ)I。
取 L 的时间导数，我们得到：
dLdt=γdEdt+(μ+γ)dIdt=γ{β(ν)IS?(μ+γ)E}+(μ+γ){γE?(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))I}≤γ{β(ν)ΛμI?(μ+γ)E}+(μ+γ){γE?(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))I}={Λβ(ν)γμ?(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))}I+{?γ(μ+γ)+γ(μ+γ)}E={Λβ(ν)γμ?(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν))}I=(μ+γ)(μ+α+μ1(ν)+σ(ν从第31天到第45天，每日病例数首先在第37天达到峰值，随后稳步下降。因此，在这个时间段内，细菌负荷的平均值假设为ν=12。从第46天到第50天，每日病例数急剧减少，这段时间的ν被假设为7。其他参数的值在表2中提供。模糊模型预测的每日病例数与实际数据在图6中进行了比较。清晰模型和模糊模型的初始条件都假设为(S0,E0,I0,T0,R0)=(23000,0,1,0,0)。参数是使用MATLAB R2019b软件的fminsearchbnd函数估计的。为了初始化参数，我们测试了多个初始猜测值，以确保优化过程不会对起始值过于敏感，并且结果具有鲁棒性。系统(2.1)、(3.1)的数值解是使用同一软件的ode45函数获得的。图7(a)显示了清晰模型和模糊模型与实际每日病例数的比较，而图7(b)显示了累计病例数的比较。从图7(a)可以看出，从第46天到第50天，清晰模型未能准确预测病例数，而模糊模型在一定程度上成功捕捉到了感染病例数的突然下降。清晰模型和模糊模型的残差分别显示在图8中。

表1. 清晰模型的参数值。
| 参数 | 描述 | 单位 | 参考文献 |
|----------------|--------------------|-------|-------------------|
| Λ | S类的招募率 | day^-1 | [3] |
| β | 疾病传播率 | 0.004 | per contact |
| γ | I类的治疗率 | 0.020 | day^-1 |
| α | 从E类转移到I类的转移率 | 0.005 | day^-1 |
| δ | I类的恢复率 | 0.003 | day^-1 |
| δ | T类的恢复率 | 0.008 | day^-1 |
| μ | 自然死亡率 | 0.061 | day^-1 |
| μ1 | 疾病引起的死亡率 | 0.025 | assumed |

表2. 模糊参数的值。
| 参数 | 描述 | 时间段 | 参考文献 |
| νmin | 最小细菌负荷 | 1 | 1 | assumed |
| ν | 细菌负荷 | 5 | 10 | 12 | 7 |
| νmax | 最大细菌负荷 | 1500 | 11 | 25 | 25 |
| ν0 | 细菌负荷的上限 | 2000 | 2000 | 2000 | 2000 |
| a | 医疗服务无效性 | 0.992 | 5 | 0.996 | 3 |
| b | 治疗效果 | 0.775 | 2 | 0.887 | 5 |
| β(ν) | 模糊感染率 | 0.003 | 0.008 | 0.044 | using (3.2) |
| σ(ν) | 模糊治疗率 | 0.000 | 0.200 | 0.300 | using (3.3) |
| μ1(ν) | 模糊疾病死亡率 | 0.000 | 0.006 | 0.009 | using (3.4) |

图6. 不同细菌负荷量（ν）下的实际数据与模糊模型对比。
图7. (a) 清晰模型与模糊模型在每日感染病例数方面的比较；(b) 清晰模型与模糊模型在累计病例数方面的比较。

图8. (a) 清晰模型的残差；(b) 模糊模型的残差。

5.3. 错误分析
为了比较确定性和模糊模型的预测能力，我们使用了三个广泛接受的误差指标：均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R2）。
均方根误差（RMSE）：RMSE衡量的是实际数据与预测数据之间的平均误差大小。RMSE的公式为RMSE=1/n∑i=1^n(xi?x?i)^2，其中xi是第i次观察的实际值，x?i是第i次观察的预测值，n是观察次数。较低的RMSE值表示模型性能更好。由于使用了平方运算，较大的误差会被大幅度惩罚。
平均绝对误差（MAE）：MAE是预测值与实际值之间的平均绝对差异。与RMSE相比，MAE对异常值的敏感度较低。MAE的公式为MAE=1/n∑i=1^n|xi?x?i|，其中的xi、x?i、n的含义与之前相同。MAE越低，模型性能越好。
决定系数：决定系数R2是一个介于0和1之间的数字，用于评估模型的拟合度。它表示模型预测的因变量变异的比例。换句话说，它量化了模型对观察到的数据变异性的解释程度。因此，较高的R2表示模型对数据的拟合度更好。R2的公式为R2=1?RSS/TSS，其中RSS=∑i=1^n(xi?x?i)^2是残差平方和，TSS=∑i=1^n(xi?x?)^2是总平方和，x?是实际值的平均值。

在表3中计算了确定性和模糊模型的三种类型的误差，并在图9中进行了展示。从表3可以看出，模糊模型的RMSE、MAE值较低，R2值较高，这意味着模糊模型的预测能力优于确定性模型。

表3. 确定性和模糊模型之间的误差比较。
| 模型 | RMSE | MAE | R2 |
|-----------|---------|-------|--------|
| 确定性模型 | 36.82 | 29.6 | 0.495 |
| 模糊模型 | 11.22 | 32.6 | 0.953 |

图9. 确定性模型和模糊模型之间的误差比较。

5.4. 清晰环境下的数值结果
在本小节中，我们讨论了参数μ、γ、β、μ1和σ的小幅波动对感染人口I(t)数量的影响。同时，也展示了模型参数β、γ和σ对基本再生数R0的联合影响。
从图10(a)可以看出，μ（自然死亡率）增加20%会显著减少感染人口数量。同样，从图10(b)可以看出，γ（从E类转移到I类的转移率）减少20%会大幅降低I(t)的人口水平。因此，μ和γ是缓解感染传播的两个关键参数。另一方面，图10(c)显示，μ1（疾病引起的死亡率）增加20%只会略微降低感染水平。即使μ1增加30%，也观察到了微小的变化。此外，从图10(d)可以看出，β（疾病传播率）减少10%会如预期那样降低I类的人口水平，但减少幅度不够显著。然而，β减少20%会导致感染人口数量显著减少。最后，从图10(e)可以看出，增加σ（治疗率）会如预期那样降低感染水平。即使治疗率增加20%，感染人口的峰值也只是略有下降。即使治疗率增加30%，也不会显著降低I类的人口水平。因此，数值结果表明，μ、γ、β在控制疾病方面起着关键作用。

图11展示了参数β（疾病传播率）、γ（从E类转移到I类的转移率）和σ（治疗率）所有可能组合的联合影响。由于R0是控制疾病爆发最关键的量，了解哪些模型参数对R0的影响最大非常重要。描绘模型参数对R0联合影响的等高线图可以为我们提供对疾病控制管理的深刻见解。从图11(a)可以看出，增加σ同时减少β可以显著降低R0。图11(b)表明，为了保持R0小于1，γ和β之间存在反比关系。这意味着，如果β增加，则γ需要减少；如果γ增加，则β必须减少。最后，从图11(c)可以看出，对于0到0.1之间的任何σ值，γ的值需要保持在0.002以下，以保持R0小于1。

图10. 由于参数(a)自然死亡率（μ）、(b)从E类转移到I类的转移率（γ）、(c)疾病引起的死亡率（μ1）、(d)疾病传播率（β）和(e)治疗率（σ）的波动，感染个体I(t)数量的变化。

偏序秩相关系数（PRCC）方法用于识别和量化影响白喉传播动态的最具影响力的参数。PRCC是一种全局敏感性分析技术，用于测量模型输出（响应函数）与模型参数之间的关系，这些参数是通过拉丁超立方抽样方法采样的[34]。PRCC值的范围是从-1到1，其中负值表示模型输出与相应输入参数之间的负相关，而正值表示响应函数与模型参数之间的正相关[34]。图12显示了清晰基本再生数（R0）相对于模型参数的PRCC值。从图12可以看出，参数λ、γ、β与R0呈正相关，而μ、δ、μ1、σ、α与R0呈负相关。此外，μ、β和γ是影响白喉传播的最具影响力的参数，其PRCC指数分别为-0.61、0.34和0.32。这与图10中显示的数值结果一致。

图11. (a) σ和β的联合影响；(b) γ和β的联合影响；(c) γ和σ的联合影响对清晰基本再生数R0的影响。

图12. 清晰基本再生数R0的全局敏感性分析。

5.5. 模糊环境下的数值结果
在本小节中，我们在三种不同场景（R0<1、R0=1、R0>1）下模拟了模糊模型。图13(a–e)显示了在不同细菌负荷量（νmin=11, νmax=10000, a=0.3, b=0.2）下，五个状态变量S(t)、E(t)、I(t)、T(t)和R(t)的轨迹。
从图13(a)可以看出，随着细菌负荷量的减少，S类的人口水平增加。同样，从图13(b, c)可以看出，随着细菌负荷量的减少，暴露和感染个体的数量显著减少。此外，当细菌负荷量低时，T类的人口水平接近于零。最后，当R0(ν)<1时，R类的人口水平显著减少，如图13(e)所示。图14(a)和14(b)分别展示了在a（医疗服务无效，例如医院床位短缺、医疗保健服务成本高等）变化的情况下，I类和T类个体数量的变化，其中νmin=11, νmax=10000, ν=1928, b=30%。可以看出，提高a的水平会通过增加感染人口数量和降低T类的人口水平来加剧情况。

6. 控制策略
在本节中，我们根据理论和数值结果提出了一些控制策略。疾病的传播在很大程度上取决于再生数。从清晰模型来看，我们有R0=2.73，这表明感染会在社区中传播并可能引发疫情。为了控制疾病，需要将R0的值限制在1以下。为此，图15建议：
- 疾病传播率β必须限制在0.15%以下，同时保持其他参数不变。为此，必须确保隔离和检疫感染者，以防止他们与易感人群进行任何潜在的疾病传播接触。此外，必须尽快引入大规模疫苗接种计划，以在社区内建立群体免疫力。
- 治疗率必须至少达到22%，同时保持其他参数不变。为此，需要增加医院床位数量、相关药品和注射的供应，以及整体医疗服务质量。
- 感染者的恢复率必须超过19%，同时保持其他参数不变。这可以通过营养师建议的适当饮食来提高人群的免疫力来实现。

难民营经常面临资源有限、过度拥挤、基础设施差等问题。这些因素可能使得实施增加治疗率或降低传播率等控制措施变得困难。由于医疗基础设施有限，扩大治疗规模可能具有挑战性。然而，通过与非政府组织和国际组织合作来补充资源，可以在很大程度上实现这一目标。例如，可以利用移动诊所和远程医疗服务来扩展医疗服务的可及性。同样，在拥挤的营地环境中，传统的措施如保持社交距离可能难以实施。然而，诸如改善卫生条件、分发卫生工具包以及开展社区教育活动等低成本干预措施，可以有效地帮助降低传播率。最后，优先对高风险人群（例如儿童、老年人孕妇）进行治疗或采取预防措施，可以充分利用有限的资源来最大化影响。从图15(d)可以看出，为了使R0(ν)<1，在其他参数不变的情况下，细菌载量需要低于20。在生活和工作空间保持卫生、正确使用口罩、勤洗手以及与感染者保持安全的物理距离，可以在很大程度上减少细菌载量。此外，按照医疗人员的建议服用抗生素也能降低细菌载量。根据模糊场景下的理论分析，我们基于细菌载量提出了三种可能的情况。

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图15. 清晰基本再生数与（a）疾病传播率（β）、（b）治疗率（σ）、（c）I类恢复率（α）以及（d）R0(ν)与病毒载量的关系图。

1. 情况1（细菌载量低）：如果ν<νmin，则r0(ν)=0<1。在这种情况下，疾病将从社区中消失。 2.>< /><νmax，并且ν?=λγνmin+μ(μ+γ){(νmax?νmin)(μ+α)?νmin(2?a?b)}λγ?μ(μ+γ)(2?a?b)。那么： -><ν?，则r0(ν)<1。因此，疾病最终会从社区中消失。 - 如果ν=ν?，则R0(ν)=1。因此，疾病将在社区中持续存在。这种情况也对应于之前讨论的超越临界点的分叉。 - 如果ν>ν?，则R0(ν)>1。因此，疾病将在社区中传播并可能引发疫情。
3. 情况3（细菌载量高）：如果ν>νmax，则R0(ν)=Λγμ(μ+γ)(μ+α+2?a?b)。在这种情况下，控制措施取决于参数a和b。
- 如果a+b<μ(μ+γ)(μ+α+2)?λγμ(μ+γ)，则r0(ν)<1。因此，疾病将从社区中消失。 - 如果a+b=μ(μ+γ)(μ+α+2)?Λγμ(μ+γ)，则R0(ν)=1。因此，疾病将在社区中持续存在，并且系统将出现超越临界点的分叉。 - 如果a+b>μ(μ+γ)(μ+α+2)?Λγμ(μ+γ)，则R0(ν)>1。因此，疾病将扩散开来并可能引发疫情。

7. 结论
在本文中，我们通过引入一个额外的治疗部分，提出了一个扩展的SEIR模型。通过将细菌载量纳入不同的人群组中，创建了异质性环境。研究发现，DFE局部和全局渐近稳定的条件是R0(ν)<1；而对于EE，当R0(ν)>1时，也是如此。此外，当细菌载量超过其阈值时，模型会表现出一个超越临界点的分叉。我们还进行了数值实验，以检验模型参数对清晰模型和模糊模型行为的影响。研究发现，参数β、γ和μ在控制疾病方面起着重要作用。同时，模糊模型相比清晰模型提供了更准确的预测，因为清晰模型在整个感染期间参数值保持不变，因此无法捕捉到实际数据中的波动。模糊模型通过将关键参数视为细菌载量的函数来克服这一限制。最后，根据理论和数值结果提出了一些控制策略。由于模糊模型能够更好地预测疾病爆发的规模，因此从模型中获得的结果将有助于相关机构确保在需要时能够提供资源。这将促使及早采取行动，例如增加医疗能力或在疫情升级前实施预防措施。此外，由于模糊模型涉及语言变量，即使在数据不完整或不精确的情况下也能提供可操作的洞察。这最终将帮助政策制定者为各种可能的情景做好准备，减少意外疾病爆发的影响。这项研究有助于理解在免疫接种率较低地区的白喉传播情况。通过收集关于细菌载量的适当信息，所提出的模型可以用来预测白喉感染的范围，并确定影响疾病动态的关键参数。这对于公共卫生机构实施不同类型的干预措施尤为重要。然而，通过引入疫苗接种或空间移动的效果，该模型还可以进一步改进。例如，可以通过添加一个额外的疫苗接种部分（V）并修改各部分之间的转移率，将疫苗接种整合到SEITR模型中。关于疫苗接种率、效力和覆盖范围的数据通常可以从公共卫生来源获得，这使得参数化模型成为可能。为了进一步发展该模型，可以纳入随时间变化的疫苗接种率来反映实际的疫苗接种活动。另一方面，空间效应可以解释人口密度、流动性和疾病在不同地区的传播差异。这对于通过人际接触或媒介传播的疾病尤为重要。空间效应可以使用种群模型或偏微分方程（PDEs）来体现。在种群模型中，人口被划分为通过迁移或旅行连接的子群体（例如城市、地区）。PDEs同时模拟了各部分的时间和空间变化，并包含一个表示流动性的扩散系数。

cRediT作者贡献声明：
Shobha Islam：撰写——原始草稿、软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。
Md. Shahidul Islam：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源提供、调查。
Md. Kamrujjaman：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、监督、软件、形式分析、概念化。

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在准备这项工作期间，作者从未使用过任何AI和AI辅助工具/服务。