动态随机冲击下随机加权k-out-of-n系统的可靠性分析

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Reliability analysis of randomly weighted k -out-of-n systems under dynamic random shocks

　　张建东|张一英|赵鹏
西北师范大学数学与统计学院，甘肃省数学与统计基础学科研究中心，兰州730070，中国

**摘要**
随机加权k-out-of-n系统在可靠性工程中有广泛的应用，用于建模许多实际的可靠性系统，如电气总线、礼堂照明系统和电源系统。由于系统组件通常在共同的外部环境中工作，冲击可能随机发生并影响组件的性能，从而影响系统的可靠性。本文对受到动态随机冲击影响的具有异构组件和随机权重的k-out-of-n系统的总容量进行了可靠性分析。一些随机顺序，包括期望顺序、递增凸/凹顺序和通常随机顺序，被用来研究系统容量的随机行为。根据主要化类型顺序建立了充分条件。通过一些数值示例来验证我们的发现。我们还展示了在基于GPU的计算系统上的实际应用，以说明我们的结果。

**引言**
众所周知，系统组件经常面临来自外部应力环境的冲击，这些冲击被认为在随机时间作用于系统。这些冲击对系统的可靠性有不可忽视的影响。因此，一个更灵活的系统可靠性分析模型应该考虑随机冲击对系统寿命的影响。考虑一个由n个组件组成的可靠性系统。设Xi为第i个组件的寿命，Ii为一个伯努利随机变量，满足E[Ii]=pi，表示组件i在固定时间段内是否能够从一系列随机冲击中存活下来，其中Ii=1表示组件i最终存活，否则表示失败。那么，向量(I1X1,…,InXn)表示在给定时间段内受到随机冲击的组件的寿命。
一个有趣的研究方向是研究由于组件寿命的异质性及其在随机冲击下的存活概率对系统性能的影响。目前大多数研究集中在k-out-of-n系统上，特别是串联系统、并联系统和故障安全系统。例如，[1]为组件的寿命及其在随机冲击下的存活概率提供了充分条件，用于使用通常随机顺序、危险率和似然比顺序来比较两个故障安全系统的寿命。由于在分析单个风险模型下产生的最小和最大索赔金额的随机行为时，串联系统和并联系统的寿命比较结果具有相同的精神，因此在精算科学领域有大量相关研究。例如，[2]获得了使用通常随机顺序、危险率、似然比、凸变换和右扩散顺序来比较极端索赔金额的充分条件。有兴趣的读者可以参考[3]、[4]、[5]、[6]、[6]、[7]、[8]、[9]进行更多相关研究。对于其他关注随机冲击下相干系统的可靠性评估（例如，冗余优化、维护策略和任务中止策略）的研究，我们推荐读者参考[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。
作为传统k-out-of-n系统的推广，加权k-out-of-n系统的概念首次出现在[22]中，用于描述组件对系统性能的贡献可能不同的情况，并且系统只有在工作组件的总容量（或权重）不低于阈值k>0时才发挥作用。之后，许多研究人员关注这种新型系统的不同方面（例如，可靠性计算、组件的重要性和冗余分配）的研究；例如，参见[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]。
有许多工程场景可以应用随机加权k-out-of-n系统，例如：
• 照明系统（参见[25]、[27]）：可以将照明系统视为一个加权k-out-of-n系统，要求n个灯泡的瓦数权重达到固定阈值k，并且每个灯泡可能受到过电流冲击，即施加在灯泡上的电流超过其最大额定电流，包括过电流冲击和由于过电压引起的过热损坏。
• 排队系统（参见[33]、[34]）：批量服务排队系统可以建模为一个随机加权k-out-of-n系统，其阈值为c，因为至少需要k个服务器运行，并且任何给定日的顾客总数应超过c。在服务开始时，大量进来的流量会对排队系统造成巨大冲击，如果系统容量不足，系统可能会因为瞬时高流量而瘫痪。
在许多可靠性系统中，如电源系统、礼堂照明系统和电气总线，单元不仅对系统性能有不同的贡献，而且在工作时还具有随机权重。在这方面，[33]引入了带有随机权重的k-out-of-n系统来更恰当地建模这些实际系统。从那时起，关于随机加权k-out-of-n系统的可靠性分析的论文大量涌现，重点各不相同。有兴趣的读者可以参考[35]、[36]、[37]、[38]和[34]以获取详细处理。
最近，[39]研究了多状态加权k-out-of-n人机系统的可靠性。[40]评估了加权k-out-of-n系统寿命的可靠性函数。[29]分析了具有离散分布组件寿命的加权k-out-of-n:G系统。[41]研究了一个由高权重组件和其他低权重组件组成的加权k-out-of-n系统。[42]提出了考虑随机冲击的加权k-out-of-n:G性能共享系统。[31]获得了加权k-out-of-n系统的可靠性函数，作为冲击到达时间的可靠性函数的混合。[43]引入了结构容量和三种不同的随机加权相干系统概念。[44]提出了加权连续k系统的可靠性。[32]推导了具有依赖离散随机寿命的加权k-out-of-n系统的损失容量。[45]评估了冷备用系统加权(k,r)-out-of-n系统的动态可靠性度量。
据作者所知，目前还没有关于随机冲击下组件寿命异质性和组件存活概率对随机加权k-out-of-n系统可靠性分析的研究。本文通过建立一些有效随机顺序，填补了这一空白，用于在指定时间段内随机比较两个受到随机冲击的加权k-out-of-n系统。更具体地说，我们使用主要化类型顺序来表征组件寿命分布参数和随机冲击下存活概率的异质性。然后，我们使用通常随机顺序、递增凸顺序和期望顺序来随机比较具有标准有序随机权重的两个加权k-out-of-n系统的性能。这些结果不仅从数学技术的角度将现有研究扩展到了更广泛的随机加权k-out-of-n系统类别，还揭示了受外部随机冲击影响的随机加权k-out-of-n系统的随机行为。
请注意，现有的关于随机冲击下k-out-of-n系统的研究主要集中在系统寿命或可靠性度量上，通常针对未加权或确定性加权系统，并且经常将注意力限制在特殊配置上，如串联系统[参见46]、并联系统[参见47]和故障安全系统[1]、[48]、[49]，并且比较是在危险率或似然比顺序下进行的[参见34]。因此，本研究考虑了受到动态随机冲击的随机加权k-out-of-n系统，并研究了系统总容量而不仅仅是系统寿命。通过纳入随机权重、异构组件寿命和随机冲击下的异构存活概率，我们的结果在两个重要方向上扩展了现有发现：（i）从确定性或固定权重到随机权重，以及（ii）从极端情况到一般的k-out-of-n结构。此外，我们不仅关注基于危险率的比较，还使用主要化类型顺序以及通常随机顺序、期望顺序和递增凸/凹顺序来表征系统性能。
本文的其余部分安排如下。第2节回顾了后续使用的一些随机顺序和主要化类型顺序的定义。第3节比较了当我们交换两个具有有序寿命的组件的位置或在随机冲击下它们的存活概率时，随机加权k-out-of-n系统的总容量。第4节研究了当组件寿命的分布参数和存活概率根据主要化类型顺序变化时，两个随机加权1-out-of-n系统的总容量的排序属性。第5节比较了两个随机加权(n-1)-out-of-n系统的总容量的期望值，这在一定程度上推广了之前对故障安全系统的研究。第6节展示了我们在大规模GPU加速高性能计算系统上的主要结果的实际应用。第7节总结了本文。所有结果的证明都放在附录中。

**初步知识**
在本文中，所有期望值在出现时都被假设为良定义的。设R=(-∞,+∞)，R+=[0,+∞)，R+?=(0,+∞)，N+={1,2,…,n}，In={x:x1≤x2?≤xn}，Dn={x:x1≥x2?≥xn}。对于1≤i
**首先，让我们回顾一些有用的随机顺序的定义**
**随机加权k-out-of-n系统的总容量比较**
在本节中，我们对受到随机冲击的两个具有独立和异构组件的随机加权k-out-of-n系统的总容量进行了随机比较。我们关注期望顺序、递增凸顺序和凹顺序以及传统的随机顺序。在整个讨论中，我们假设随机加权k-out-of-n系统的每个节点的组件寿命是独立的，并且也独立于随机...

**随机加权1-out-of-n系统的总容量比较**
在本节中，我们研究了组件寿命的异质性和随机冲击下的存活概率对随机加权k-out-of-n系统总容量的影响。由于技术限制，我们只讨论k=1的情况，这意味着至少有一个工作组件以确保系统也能正常工作。我们首先展示了随机加权1-out-of-n系统的总容量的排序结果...

**随机加权(n-1)-out-of-n系统的总容量比较**
标准的故障安全((n-1)-out-of-n)系统意味着它被设计为在发生故障时保持安全，而不是旨在防止故障，而是在故障发生时缓解故障[参见62]。这样的系统在许多实际情况下都很常用。例如，飞行控制计算机通常具有冗余设计，以便其中一个失效时另一个可以启动，交通灯的控制器失效时可能会向所有方向闪烁红灯。

**基于gpu的计算系统的可靠性分析**
为了说明所提结果的适用性，我们考虑了一个来自大规模gpu加速高性能计算系统的实际工程场景。在这种系统中，科学模拟和大规模人工智能工作负载通常通过并行协调大量gpu来执行[参见66]。从系统级的角度来看，操作可靠性不仅取决于可用gpu的数量，还取决于总有效...

**结论**
随机加权k-out-of-n系统模型在实际场景中有广泛的应用。在这些系统中，组件通常受到共享外部环境的压力和冲击的影响。在本研究中，我们使用了传统的随机顺序——包括通常随机顺序、期望顺序和递增凸/凹顺序——来进行随机加权k-out-of-n系统的可靠性分析。我们的分析特别针对具有...

**作者贡献声明**
张建东：撰写——原始草案、验证、软件、方法论、调查、形式分析。
张一英：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草案、监督、方法论、调查、资金获取、概念化。 **首先，让我们回顾一些有用的随机顺序的定义** **随机加权k-out-of-n系统的总容量比较** 在本节中，我们对受到随机冲击的两个具有独立和异构组件的随机加权k-out-of-n系统的总容量进行了随机比较。我们关注期望顺序、递增凸顺序和凹顺序以及传统的随机顺序。在整个讨论中，我们假设随机加权k-out-of-n系统的每个节点的组件寿命是独立的，并且也独立于随机... **随机加权1-out-of-n系统的总容量比较** 在本节中，我们研究了组件寿命的异质性和随机冲击下的存活概率对随机加权k-out-of-n系统总容量的影响。由于技术限制，我们只讨论k=1的情况，这意味着至少有一个工作组件以确保系统也能正常工作。我们首先展示了随机加权1-out-of-n系统的总容量的排序结果... **随机加权(n-1)-out-of-n系统的总容量比较** 标准的故障安全((n-1)-out-of-n)系统意味着它被设计为在发生故障时保持安全，而不是旨在防止故障，而是在故障发生时缓解故障[参见62]。这样的系统在许多实际情况下都很常用。例如，飞行控制计算机通常具有冗余设计，以便其中一个失效时另一个可以启动，交通灯的控制器失效时可能会向所有方向闪烁红灯。 **基于gpu的计算系统的可靠性分析** 为了说明所提结果的适用性，我们考虑了一个来自大规模gpu加速高性能计算系统的实际工程场景。在这种系统中，科学模拟和大规模人工智能工作负载通常通过并行协调大量gpu来执行[参见66]。从系统级的角度来看，操作可靠性不仅取决于可用gpu的数量，还取决于总有效... **结论** 随机加权k-out-of-n系统模型在实际场景中有广泛的应用。在这些系统中，组件通常受到共享外部环境的压力和冲击的影响。在本研究中，我们使用了传统的随机顺序——包括通常随机顺序、期望顺序和递增凸 凹顺序——来进行随机加权k-out-of-n系统的可靠性分析。我们的分析特别针对具有... **作者贡献声明** 张建东：撰写——原始草案、验证、软件、方法论、调查、形式分析。>
**首先，让我们回顾一些有用的随机顺序的定义**
**随机加权k-out-of-n系统的总容量比较**
在本节中，我们对受到随机冲击的两个具有独立和异构组件的随机加权k-out-of-n系统的总容量进行了随机比较。我们关注期望顺序、递增凸顺序和凹顺序以及传统的随机顺序。在整个讨论中，我们假设随机加权k-out-of-n系统的每个节点的组件寿命是独立的，并且也独立于随机...

**随机加权1-out-of-n系统的总容量比较**
在本节中，我们研究了组件寿命的异质性和随机冲击下的存活概率对随机加权k-out-of-n系统总容量的影响。由于技术限制，我们只讨论k=1的情况，这意味着至少有一个工作组件以确保系统也能正常工作。我们首先展示了随机加权1-out-of-n系统的总容量的排序结果...

**随机加权(n-1)-out-of-n系统的总容量比较**
标准的故障安全((n-1)-out-of-n)系统意味着它被设计为在发生故障时保持安全，而不是旨在防止故障，而是在故障发生时缓解故障[参见62]。这样的系统在许多实际情况下都很常用。例如，飞行控制计算机通常具有冗余设计，以便其中一个失效时另一个可以启动，交通灯的控制器失效时可能会向所有方向闪烁红灯。

**基于gpu的计算系统的可靠性分析**
为了说明所提结果的适用性，我们考虑了一个来自大规模gpu加速高性能计算系统的实际工程场景。在这种系统中，科学模拟和大规模人工智能工作负载通常通过并行协调大量gpu来执行[参见66]。从系统级的角度来看，操作可靠性不仅取决于可用gpu的数量，还取决于总有效...

**结论**
随机加权k-out-of-n系统模型在实际场景中有广泛的应用。在这些系统中，组件通常受到共享外部环境的压力和冲击的影响。在本研究中，我们使用了传统的随机顺序——包括通常随机顺序、期望顺序和递增凸/凹顺序——来进行随机加权k-out-of-n系统的可靠性分析。我们的分析特别针对具有...

**作者贡献声明**
张建东：撰写——原始草案、验证、软件、方法论、调查、形式分析。
张一英：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草案、监督、方法论、调查、资金获取、概念化。>彭 Zhao：写作——审稿与编辑；写作——初稿撰写；指导；资源；方法论；形式分析。
致谢
作者衷心感谢一位副编辑和五位匿名审稿人提出的宝贵意见与建议，这些意见极大地提升了本文的质量。张建东感谢国家自然科学基金（项目编号：12526628）、甘肃省教育厅青年博士基金项目（项目编号：2026QB-016）以及兰州市科学技术局青年科技人才专项基金项目（项目编号：……）的支持。