一种针对地震激励下铁轨-桥梁耦合系统的新颖随机分析框架

《Advances in Engineering Software》：A novel stochastic analysis framework for train-track-bridge coupling system under seismic excitation

　　陈百光|刘泽锋|彭轩|陈登高|陈伟|向平|邵占军
中南大学土木工程学院，长沙，410075，湖南，中国

**摘要**
本文提出了一种新颖的随机分析框架，用于在地震激励下研究列车-轨道-桥梁耦合系统（TTBCS），通过将三维无网格模型与新的点估计方法（NPEM）相结合来实现。所提出的三维模型采用径向点插值方法对轨道板和箱梁桥进行离散化，能够准确捕捉传统梁模型无法表示的空间效应和局部特性。通过Karhunen-Loève展开，将板的杨氏模量和泊松比建模为二维随机场，以考虑材料属性的空间变异性。然后利用NPEM高效计算TTBCS在地震载荷下的随机响应的统计矩。与蒙特卡洛方法的比较分析验证了所提随机框架的准确性。数值结果表明，箱梁的底部板对结构随机响应的影响最大，其次是顶部板和腹板，而轨道板的影响可以忽略不计。此外，由杨氏模量的随机场引起的结构响应的标准差明显大于由泊松比引起的标准差，这种差异在地震激励下进一步放大。所提出的框架为地震激励下TTBCS的精细随机分析提供了高效准确的工具，为高速铁路桥梁的工程设计提供了宝贵见解。

**引言**
为了穿越不同的地理环境，桥梁在全球高速铁路（HSR）线路中占据了重要比例。此外，地震作为一种极具破坏性和不可预测性的自然灾害，对列车-轨道-桥梁耦合系统（TTBCS）的安全构成了严重威胁。2010年3月4日台湾发生的嘉咸地震（震级6.4）[1]和2016年4月14日日本发生的熊本地震（震级6.2）[2]造成的脱轨和翻覆事故就是此类灾难性事件的例证。因此，许多学者对地震激励下TTBCS的动态响应和安全评估进行了广泛研究[3]、[4]、[5]、[6]。特别是考虑到系统参数的不确定性，对地震激励下的TTBCS进行随机分析是必要的。例如，曾等人[7]应用了伪激励方法来研究列车在轨道不规则性和行进地震波共同作用下的随机振动。毛等人[8]基于概率密度演化方法（PDEM）对列车-桥梁耦合系统进行了随机动态分析。肖等人[9]进一步利用PDEM对车辆-轨道-桥梁系统进行了随机动态分析，考虑了各种系统不确定性。刘等人[10]采用了一种新的直接概率积分方法（DPIM）来建立重载列车-桥梁系统的随机分析和动态可靠性评估框架。此外，文献中还可以找到许多关于地震激励下TTBCS随机响应的代表性研究[11]、[12]、[13]、[14]。

在TTBCS的数值模拟和随机分析中，选择适当的模型起着关键作用。目前，许多关于TTBCS的随机研究倾向于使用简化的梁模型。例如，向等人[15]将箱梁桥建模为空间欧拉梁模型（EBM），将其杨氏模量表示为一维随机场。同样，杨等人[16]将轨道板简化为Timoshenko梁来研究三维列车-轨道相互作用。尽管这种方法可以提供近似结果，但它无法进行详细分析，如特定桥部件的材料属性的随机分析。实际上，作为典型的复杂空间结构，箱梁桥在其组成板之间在力机制、刚度贡献和动态特性方面存在显著差异。为了建立更精确的空间模型，研究人员通常使用商业有限元软件来模拟TTBCS的动态响应。例如，唐等人[17]利用Simpack和OpenSees构建了TTBCS的精细动态交互模型，评估了高强度地震下的列车运行安全性。江等人[18]基于Abaqus开发了一个详细的三维仿真模型，然后探索了断层地震区TTBCS的瞬态动态响应。然而，使用此类商业软件进行随机分析需要二次开发以重写刚度和质量矩阵代码，导致计算成本高且计算效率低。特别是Abaqus无法准确描述车轮-轨道相互作用，这影响了整个分析的准确性。为了平衡效率和准确性，邵等人[19]、[20]提出了一种基于无网格方法的三维TTBCS模型。该模型采用径向点插值方法（RPIM）[21]、[22]、[23]对箱梁的四个组成板进行离散化，然后基于全局节点坐标进行组装。研究表明，与有限元模型相比，无网格模型将计算自由度减少了至少30%，同时保持超过90%的计算精度[24]。与梁元素模型相比，三维无网格模型（MM）能够通过在任何桥梁位置生成响应来进行精细分析。同时，与软件仿真相比，它显著减少了计算时间和计算成本。此外，大量研究[25]、[26]、[27]证明了无网格方法在随机分析中的适用性。因此，本文介绍了三维MM，以实现TTBCS的精细随机分析。

除了数值模型对TTBCS随机分析的影响外，随机分析方法本身也影响计算效率和结果准确性。蒙特卡洛方法（MCM）[28]是最通用和直接的随机分析方法。然而，对于像TTBCS这样高度复杂和非线性的动态系统，MCM会产生过高的计算成本并且效率较低。为了提高效率，已经开发了基于数学理论的各种随机分析方法[29]、[30]、[31]，包括扰动方法[32]、多项式混沌展开[33]和Neumann展开[34]。例如，向等人[35]、[36]利用改进的扰动方法对板结构和壳结构进行了随机分析，取得了令人满意的结果。Rahman和Xu[34]将无网格方法与Neumann展开结合，预测了结构响应的二阶矩特性，与MCM的结果一致性好。然而，这些侵入式随机方法往往由于截断误差或长期项而在动态控制方程中存在收敛问题。因此，研究人员广泛关注非侵入式方法，如点估计方法（PEM）。然而，传统PEM所需的计算节点数量随着随机变量维度的增加而呈指数级增长，导致了不可避免的维数灾难。特别是，本研究中采用的Karhunen-Loève（K-L）展开[37]用于表示材料随机场，引入了多个独立随机变量，使得传统PEM不适用于当前复杂TTBCS的随机分析。因此，本研究采用了一种新的点估计方法（NPEM）[38]、[39]、[40]来进行TTBCS的随机分析。NPEM通过将多变量随机函数分解为一维和二维分量函数的组合来高效近似这些函数[41]、[42]。特别是，其非侵入式特性使得无需修改原始动态控制方程即可高效进行随机动态计算。刘等人[43]将NPEM与K-L展开方法结合，研究了随机轨道不规则性对列车-桥梁系统的影响。赵等人[44]利用NPEM计算了非均匀地震激励下TTBCS随机动态响应的统计矩（如均值、方差和偏度）。尽管这些研究表明NPEM在TTBCS随机分析中的优势，但现有研究通常仅将其应用于简化的梁模型。这一限制使得难以对空间箱梁桥的局部特性或特定桥部件的材料属性进行随机分析。

基于上述讨论，本文通过结合三维MM和NPEM方法，开发了一种高效的TTBCS在地震激励下的随机分析框架。这种组合的主要优势在于能够通过三维MM捕捉箱梁桥的局部空间特征，同时利用NPEM的效率和非侵入性来解决多维随机动力学问题。需要强调的是，这项工作的核心创新不是一种新发明的方法，而是整合现有技术来填补复杂工程任务中的建模和计算差距。特别是，所开发的计算框架有助于在地震作用下对TTBCS进行精细的随机分析，其效率优于商业软件仿真。具体来说，本研究采用K-L展开方法将轨道板和箱梁面板的杨氏模量和泊松比等材料参数离散为二维随机场，然后使用NPEM高效求解TTBCS的随机动态响应。该研究的主要贡献有两点：（1）将三维MM扩展到地震条件下的TTBCS，并建立了一个既高效又准确的随机分析框架；（2）通过系统数值分析识别出显著影响桥梁和列车随机地震响应的关键材料参数，从而为结构优化设计提供参考。此外，与基于EBM的TTBCS的计算结果进行比较，说明了模型选择对随机响应的影响，为地震激励下TTBCS的随机分析建模策略提供了宝贵见解。

**章节小结**
**基于无网格方法的三维TTBCS模型**
在本节中，基于我们之前的研究工作[19]，简要介绍了基于无网格方法构建的三维TTBCS模型。如图1所示，TTBCS模型包括五个主要子系统：列车、轨道、轨道板、箱梁桥和桥墩，它们通过多体动力学理论耦合在一起。与传统的EBM不同，所提出的三维MM采用无网格方法对轨道板和箱梁桥进行建模。

**地震激励**
当TTBCS受到地震激励时，地震载荷被视为外部激励，地震加速度均匀输入到每个桥墩中。根据相对位移方法，系统在地震激励下的运动方程可以分解为支撑节点块矩阵和其他结构块矩阵，表示为[48]
M?ssM?sbM?bsM?bbX??sX??b+C?ssC?sbC?bsC?bbX??sX??b+K?ssK?sbK?bsK?bbX?sX?b=0fb
其中X?s是强迫位移。

**Karhunen–Loève展开**
一维随机场X(x,θ)是空间坐标x和随机变量θ的函数，其K-L展开形式表示为[37]
X(x,θ)=X?(x)+∑n=1∞λnfn(x)ξn(θ)
其中X?(x)是随机场的平均值；ξn(θ)表示一组不相关的高斯标准随机变量。与许多基于数值实验的研究一样，由于缺乏实验数据，通常基于中心极限定理采用高斯假设。因此，λn和fn...

**数值分析**
本节对使用三维MM和传统EBM评估的TTBCS在地震激励下的随机动态响应进行了比较研究。如图6所示，EBM使用一维梁来模拟轨道板和梁桥。尽管它们的子结构具有相同的空间布局，但MM的特点是使用板元素来表示轨道板和箱梁。为了提供全面的...

**结论**
本研究通过结合TTBCS的三维MM和NPEM，建立了一个用于地震激励下列车-轨道-桥梁耦合系统的随机动态响应分析框架。利用该框架，系统地研究了Kobe地震下TTBCS的随机动态响应。分析重点关注轨道板和箱梁板的杨氏模量和泊松比随机场对列车和桥梁响应的影响。

**作者贡献声明**
陈百光：撰写——原始草案、软件、方法论、数据整理。
刘泽锋：数据整理。
彭轩：数据整理。
陈登高：数据整理。
陈伟：数据整理。
向平：资源管理、项目管理。
邵占军：资源管理、方法论。

**致谢**
本工作得到了国家自然科学基金（项目编号12572236）和湖南省重点研发计划（项目编号2024AQ2018）的资助。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文报告的工作。