随机多项式中根分离的极限定理

《Advances in Mathematics》：Limit law for root separation in random polynomials

　　马库斯·米切伦 | 奥伦·雅基尔
美国西北大学

摘要
设 \( f_n \) 是一个随机多项式，其度数 \( n \geq 2 \)，且系数是独立同分布的随机变量。我们研究了 \( f_n \) 的根之间的分离距离，并证明了这些距离经过 \( \frac{n-5}{4} \) 归一化后，在 \( n \to \infty \) 时服从一个非齐次泊松点过程。作为推论，我们得出 \( f_n \) 的根之间的最小分离距离经过 \( \frac{n-5}{4} \) 归一化后具有一个非平凡的极限分布。在证明过程中，我们得到了一个相关的结果：具有独立同分布系数的泰勒级数几乎可以肯定不会在原点以外有任何双重零点。

引言
考虑随机多项式 \( f_n(z) = \sum_{k=0}^n \xi_k z^k \)，其中 \( \xi_0, \ldots, \xi_n \) 是独立同分布的随机变量。这个模型通常被称为“卡茨多项式”（Kac polynomial），在许多经典著作中都有研究，例如 Bloch-Pólya [2]、Littlewood-Offord [25]、Salem-Zygmund [34]、Erd?s-Offord [8]、Konyagin-Schlag [23]、Tao-Vu [36] 等；这个列表远非详尽。由于 \( f_n \) 的系数是随机的，因此自然会探究当 \( n \) 递增时根的典型空间分布。当系数服从高斯分布时，分析通常最为容易，并且可以对根的相关性得到精确的公式。人们广泛认为（尽管有时需要证明），当 \( n \to \infty \) 时，随机根的许多性质并不依赖于系数的具体选择。这种类型的元猜想通常被称为“普遍性现象”。在一个特殊情况下，当 \( \xi_0 \) 以相等的概率取 \( \{-1, +1\} \) 时，\( f_n \) 被称为随机利特尔伍德多项式（random Littlewood polynomial）。

结论
1.1 定理：设 \( f_n \) 如 (1) 所定义，假设 \( \xi_0 \) 是一个均值为零、次高斯的随机变量，且 \( P[\xi_0 = 0] = 0 \)。那么点过程 \( \{ \frac{n^5}{4}| \alpha_j - \alpha_j^\prime| : 1 \leq j < j^\prime \leq n \} \) 在 \( n \to \infty \) 时，在 \( R \geq 0 \) 上以强度 \( \ Relatives(c^* t^3 \) （其中 \( c^* > 0 \)）服从一个非齐次泊松点过程。

1.2 推论：设 \( f_n \) 如 (1) 所定义，假设 \( \xi_0 \) 是一个均值为零、次高斯的随机变量。那么 \( f_n \) 的根之间的最小分离距离经过 \( \frac{n-5}{4} \) 归一化后具有一个非平凡的极限分布。

在证明过程中，我们还得到了一个相关的结果：具有独立同分布系数的泰勒级数几乎可以肯定不会在原点以外有任何双重零点。我们注意到，由于fn(z)与多项式znfn(z?1)具有相同的性质，因此上述程序中的步骤(B)和(C)会自动处理集合{|z|≥1+K/n}中存在的根。上述程序中的主要步骤是(A)，为了解释这一点，读者可以暂时假设fn实际上是一个高斯多项式。fn的协方差核由E[fn(z)fn(w)′]=∑k=0到n(zw′)k=1?(zw′)^(n+1)/(1?zw′)给出。由于对于z属于AK，有E[|fn(z)|2]?n，这意味着特别是对于z,w属于AK且|z?w|=ω(n?1)，高斯变量fn(z)和fn(w)大致上是独立的。由于我们关注的是“局部统计量”（具体来说是寻找非常接近的根），一个自然的想法是考虑一个足够密集的点网，希望对于点z属于AK的随机向量(fn(z),fn′(z),fn″(z))可以指示附近是否存在接近的根。之所以考虑多项式及其前两个导数（而不仅仅是这些），是因为在典型的情况下，对于三阶导数，多项式在其尺度?n?1的情况下接近于其二阶近似，这在原理上可以预测一对接近根的存在。尽管上述推理在形式上是正确的，但为了得到渐近结果(4)，我们需要利用随机性来表明通常情况下，解决二阶近似问题类似于解决两个线性近似问题。后者更适合于计算小球概率。

更准确地说，我们将考虑一个位于AK中的δ-网，其中δ=n?5/4?β且β>0是一个小的但固定的常数。设ε=n?5/4。为了捕捉ε分隔的根，我们将首先使用(fn(z),fn′(z))来捕捉与给定点网点δ接近的根。通过应用标准线性化，我们预测根应该出现在α=z?fn(z)fn′(z)附近，因此{?α∈D(z,δ):fn(α)=0}≈{fn(z)fn′(z)∈D(0,δ)}，这里的≈只是意味着这两个事件几乎同时发生（或不发生）。一旦我们知道存在一个根α∈D(z,δ)，我们将在该根处进行泰勒展开，从而得到另一个根α′=α?2fn′(α)fn″(α)的预测。在接近根的典型事件下，我们有渐近关系α′≈z+fn(z)fn′(z)?2fn′(z)fn″(z)（见引理5.7），通过忽略乘法常数，我们得出{?α∈D(z,δ),?α′∈D(z,ε)?{α}:fn(α)=fn(α′)=0}≈{|fn(z)fn′(z)|≤δ,|2fn′(z)fn″(z)|≤ε}。对于高斯多项式，可以一阶计算(7)右侧事件的概率（见第10节），得到P[|fn(z)fn′(z)|≤δ,|2fn′(z)fn″(z)|≤ε]≈ε^(4n/6δ^2)=n^(?3/2?2β)。由于网点的数量是n?1δ^?2=n^(3/2+2β)，我们得到ε分隔根的数量是常数阶的。完整的泊松极限来自于矩方法，因此我们需要计算在AK的有限点网上发生的事件(7)的概率。我们还注意到，如果一个点网预测了两个接近的根，那么所有其他距离为o(n?1)的点网点很可能不会预测两个接近的根（见引理5.8）。因此，来自点网的接近根的贡献在渐近上是独立的，这对于泊松极限的成立至关重要。

对于非高斯多项式，渐近关系(8)对于某些具有不良算术性质的z∈AK点不成立。作为一个简单的例子，考虑事件{|fn(z)|≤nγ}对于某个小的γ>0。当系数是高斯的且z∈AK时，fn(z)/n是一个（均匀非退化的）二维高斯分布，因此可以预期P[|fn(z)|≤nγ]?γ^2对于所有z∈AK（远离实轴）且所有γ>0。另一方面，如果系数在{-1,0,1}中均匀分布，可以证明P[fn(eiπ/2)=0]?1/n。也就是说，在点eiπ/2∈AK处，高斯启发式方法(9)对于小的γ是不成立的。如果我们有任何希望证明(8)，该事件比(9)复杂得多，我们需要去除像eiπ/2这样的行为不佳的点。到目前为止，在随机多项式文献中已经很好地理解了eiπ/2导致(9)失败的关键性质，即其参数接近于分母较小的π的有理倍数（当然，π^2确实等于这样的倍数）。

算术结构与小球概率之间的关系是研究随机多项式和随机矩阵时的一个反复出现的主题。对这种关系的研究至少可以追溯到Halász [14]，现在通常被称为逆Littlewood-Offord问题（参见例如[35]、[27]）。我们需要从我们的点网中去除这些具有不良算术性质的点，并证明对于平滑点(见定义3.8)的(8)。这又来自于为这些平滑点（以及分离良好的平滑点的元组）证明一个定量的局部高斯比较（见定理3.12）。这里的分析基于Konyagin和Schlag [23]的一个想法，后来由Cook-Nguyen在[6]中大幅推广。对于我们的应用，我们需要进一步推进这种方法，并证明对于不在单位圆上的点也是如此（[23]、[6]仅适用于单位圆）。证明这种局部高斯比较的内容贯穿了本文的第7、8和9节。

为了证明我们程序中的项目(B)，我们遵循与项目(A)中类似的步骤。关键观察是，在环面{r≤|z|≤r+1?r^2}内，原始多项式fn“表现得”像一个度数为(1?r)^?1的随机Kac多项式。因此，为了证明在环面{r0≤|z|≤1?K/n}内没有接近的根，我们对同心环面进行逐项求和，并证明当r0→1且K→∞时，这些贡献的总和可以任意小。在证明项目(B)的过程中，我们需要证明对于任意点z∈D的多项式的小球概率界限，这需要考虑多项式在点dn(z)=min{n,(1?|z|)^?1}处的有效度数。这些界限在第7节和第8节中进行了发展。由于我们也希望“推广”我们对离散系数的结果，我们还需要再次排除非平滑点，并获得平滑点的所需小球界限（形式为(8)），见引理3.9。

最后，我们需要完成项目(C)，即我们需要处理那些当n→∞时严格位于单位圆内的根。由于在单位圆内没有类似高斯的行为（除非系数ξk是高斯的），我们需要提出不同的策略。这个想法是考虑“完整”的泰勒级数而不是有限多项式（即n=∞），并应用扰动论证来证明这种泰勒级数（形式为(6)）几乎肯定不会有两个零点。这正是我们在第2节中证明的定理1.3。我们还建议读者参考第2节的开头，以获得定理1.3的更详细的证明草图。一旦定理1.3得到证实，我们可以论证随着n→∞，fn在圆内的所有根都将均匀分离，从而完成了项目(C)。

为了便于阅读，我们在下面总结了每个部分的大纲：
- 第2节我们给出了关于随机幂级数双重根的定理1.3的证明。正如我们已经提到的，这一节可以独立于论文的其他部分阅读。
- 第3节我们更精确地陈述了我们的程序，并制定了上述的命题3.1和定理3.2。在这里，我们描述了如何将定理1.1的证明简化为一个对点网求和的泊松极限。在这一节中，我们陈述了将在整篇论文中使用的所有相关的小球概率界限/比较。
- 第4节致力于证明命题3.1，这使我们能够将焦点缩小到对于较大但固定的K的环面AK。这相当于消除与单位圆距离大于1/n的接近根对。
- 第5节是我们上述点网论证的起点。在这里，我们将寻找接近根的问题简化为在环面AK中适当选择的点网上关于(fn,fn′,fn″)的局部事件的问题。
- 第6节我们展示了在对点网求和确实具有泊松缩放极限，假设第3节中的小球概率结果成立。从这一点开始，论文的其余部分致力于证明这些小球界限。
- 第7节我们推导出适用于D中所有样本点的小球界限。因此，这些小球相对较弱，不允许我们计算形式为(7)的一阶事件。
- 第8节我们在样本点z∈D是平滑的情况下（即具有某些有利的算术性质，见定义3.8的精确表述），改进了上一节中的小球界限。这种改进使我们能够准确估计剩余样本点的(8)的概率。
- 第9节我们更进一步，证明了AK中平滑、分离的点元组的小球概率，其缩放方式与高斯系数的情况相同。这种类型的高斯比较在计算点网上指标和的矩时至关重要，并允许我们计算极限泊松点过程的真实强度（特别是确定非齐次效应）。
- 最后，在第10节中，我们明确计算了泊松点过程的极限强度。通过上述程序，这项任务简化为在高斯系数情况下计算事件(8)的一阶渐近概率。

我们通过以下方式结束引言，列出一些将在整篇论文中自由使用的符号：
- C,R 表示复平面和实数线。我们总是将Cd?R^d，m表示Rd上的勒贝格测度（维度应该从上下文中清楚）；
- R≥0 表示非负实数；D表示单位圆；H表示上半平面；
- D(z,r)表示以z为中心、半径为r的圆盘；A(a,b)=D(0,b)?D(0,a)；
- ξ0表示由(1)给出的随机多项式fn的系数分布；φ(t)=E[exp^(itξ0)]表示ξ0的特征函数；
- 对于z∈D，fn在z处的有效度数为dn(z)=min{n,(1?|z|)^?1}；
- τ>β>0 是绝对的、足够小的常数（取τ=10^?4和β=τ/20是可以的）。我们将自由使用Landau符号O(?),o(?),ω(?),Θ(?)来表示非渐近常数范围内的一致性。如果a=O(b)，我们也将写a?b。

我们想感谢Alon Nishry和Mikhail Sodin的有益讨论。M.M.部分得到了NSF CAREER基金DMS-2336788和DMS-2246624的支持。O.Y.部分得到了NSF博士后奖学金DMS-2401136的支持。

**圆盘中的几乎必然结果：定理1.3的证明**
在这一节中，我们关注在(6)定义的随机幂级数F的零点，其独立同分布的系数满足(5)。为了证明定理1.3，只需证明对于每个δ>0，几乎可以肯定F在环面A(δ,1?δ)={δ<|z|<1?δ}内没有双重零点。主要思想是，如果F在某个z0∈A(δ,1?δ)处有一个双重零点，且|F″(z0)|>0，那么我们可以将F(z)分解为∑k=0^m ak zk+∑k>m ak zk=:Pm(z)+Tm(z)，并证明Pm′在z0附近有一个根，在该点上F的值异常小。

**将定理1.1简化为点网论证**
我们随机多项式fn的大部分根位于环面A(1?K/n,1+K/n)内，其中K≥1很大（例如参见[18, 定理1]），意味着当K足够大时，A(1?K/n,1+K/n)中的根的比例约为1?ε。鉴于这一观察，我们的主要结果定理1.1的证明自然分为两个主要步骤（也回想一下第1.4节中的证明大纲）。首先，我们将证明(fn)在环面外的根。

**简化为环面：证明命题3.1**
这一节的主要目标是证明命题3.1，即几乎可以肯定不存在一对距离单位圆ω(1/n)的根，这些根会对定理1.1中描述的极限点过程有所贡献。在接下来的内容中，我们需要在不同的尺度上使用不同的点网论证，因此我们首先给出一个在环面上的点的通用定义。定义 4.1 对于 r10 是任意但固定的）时，小球事件的概率与高斯系数的情况相同。我们的推导在很大程度上受到了 [6] 的启发，[6] 证明了类似的结果（特别参见 [6, 定理 3.2]），该结果适用于正好位于单位圆上的网点（相当于取 K=0，而不是一个大的但固定的常数）。

计算极限强度在本节中，我们假设 fn 的随机系数是独立同分布的标准高斯随机变量，但这并不会在我们整篇证明中重复这个假设。回忆 Z～NC(μ,σ2) 表示 Z 是一个复值随机变量，其密度为 1/πσ2exp?(?|z?μ|2/σ2)dm(z)。引理 6.4 的证明包括一个高斯小球计算，这涉及到在点 z∈ΩK 处评估 fn(z),fn′(z),fn″(z)。我们首先记录一些与此相关的简单计算。