在 p = 2 时更高实数 K-理论的对偶

《Advances in Mathematics》：Duals of higher real K-theories at p?=?2

　　胡安·C·莫雷诺·德尔·安赫尔
美国印第安纳州圣母大学数学系，255赫尔利路，圣母大学，46556

**摘要**
我们研究了在素数2和高度h能被2n?1整除的情况下，C2n-等变的Lubin–Tate谱E的K(h)-局部Spanier–Whitehead对偶性。我们确定了一个C2n-等变等价关系DEh?Σ?VhEh，对于一个明确的C2n表示Vh。然后我们研究了E在某些低高度处的RO(C2n)周期性质。利用这些结果，我们确定了一些高阶实数K理论的自对偶性，直到指定的悬挂位移。特别是，我们展示了DE4hC8?Σ112E4hC8.1。

**引言**
本文的目的是研究某些高阶色数类比的实际拓扑K理论的对偶性。K理论的故事现在已经变得经典，并在许多应用中取得了成果，从亚当斯对球面上向量场问题的解决[1]，到凝聚态物理中自由费米子相的分类[44]。在色数阶梯上爬升一个台阶，会引出像拓扑模形式这样的理论，它可以检测球面稳定同伦群中的复杂模式[10]，[11]，并且可以用二维超对称场理论进行猜想性描述[56]。我们目前研究的实数K理论的高阶版本仍然有些神秘，尽管在理解它们方面正在取得稳步进展。有关最近的一些工作，可以参考[5]，[32]，[12]，[17]，[18]。

我们感兴趣的对偶性是K(h)-局部Spanier-Whitehead对偶性。在素数2和高度1的情况下，Hahn–Mitchell证明了2-完备的KO是对偶的，直到一个去悬挂[31]。他们的证明使用了Adams–Baird–Ravenel纤维序列[2]，[52]，其形式为D(KO2)?LK(1)S?KO2。结论是，球面稳定同伦群中的K(1)-局部部分的每个元素要么被单位映射到KO2，要么被其对偶映射到。在高度2的情况下，这一类似图景最近由于大量的辛勤工作而被澄清。在这种情况下，有一个谱序列在有限页面处收敛，并计算了一个与LK(2)S密切相关的谱的同伦群[26]，[15]，[33]，[8]。E1页面由LK(2)TMF及其对偶的同伦群给出。在这种情况下，对偶是由Behrens在素数3[9]和Bobkova在素数2[14]识别的。总体而言，这些理论表明，高阶实数K理论及其对偶形成了LK(h)S的构建块。

我们现在介绍高阶实数K理论。固定一个特征为p>0的完美域k和一个高度为h的形式群律Γ。对于每一对(k,Γ)，都有一个K(h)-局部交换环谱Lubin–Tate谱E，它配备了（扩展的）Morava稳定子群Gh=Aut(k,Γ)的作用[54]，[25]，[47]。我们用Oh×表示Gh中保持k不变的自动同构子群，也称为（小）稳定子群。对于有限子群G≤Gh，可以形成同伦不动点谱EhhG。这些就是高阶实数K理论。

我们几乎只在素数2和能被2n?1整除的高度进行研究。在这些假设下，存在一个阶为2n的循环群C2n≤Oh×[34]，因此E具有C2n的作用。这个C2n-谱是我们的主要研究对象。在高度1，我们恢复了经典实数K理论，因此根据[31]，有DE1hC2?Σ?1E1hC2。在高度2，E2hC4与具有级别结构的TMF的一个版本TMF0(5)相关。然后根据Bobkova在[14]中的定理1，我们可以推导出DE2hC4?Σ44E2hC4。我们的主要结果之一（推论C）确定了这一模式中下一个更高阶实数K理论E4hC8的对偶，它与Hill–Hopkins–Ravenel的检测谱Ω密切相关[36]。在陈述之前，我们描述了我们的方法。

对于任何有限子群G≤Gh，Beaudry–Goerss–Hopkins–Stojanoska[7]的工作以及Clausen[19]的定理14.3允许我们将E的G-等变对偶识别为一个由G表示的悬挂。具体来说，如果Vh表示通过伴随作用视为G表示的Gh的p-adic李代数，那么存在一个G-等变等价关系DEh?GΣ?VhEh。值得注意的是，表示Vh还将通过限制确定E的H-等变对偶对于任何子群H≤G。

在第2节中，我们回顾了[7]中提出的一些理论，在第2.4节中，我们确定了当h能被2n?1整除且G=C2n时的表示球。这导致了本文的第一个主要结果，该结果为[7]的作者所知，但尚未发表。作者感谢他们允许我们在这里记录它。更多详细信息见定理2.4.6。

**定理A**
**定理2.4.6**
设Gh是在素数2和高度h=2n?1m（m为奇数）时的Morava稳定子群。设Vh是通过C2n≤Oh×≤Gh的伴随作用视为C2n-表示的Gh的p-adic李代数。那么Vh同构于h2/2n?1个C2n/C2?C2n?1的规则表示的直和，通过沿着商映射的C2n-表示来看。

有趣的是，人们通常能够识别E在整数悬挂意义上是等变自对的（见图1）。这是很好的，因为这意味着自对偶性将在取同伦不动点时传递到更高阶的实数K理论。据作者所知，这个陈述没有反例。这引出了等变周期性的概念。对于任何G-谱X，如果存在一个G-等变等价关系ΣVX?GX，我们说X是V周期的，或者V是X的RO(G)周期性。根据定理A，高阶实数K理论的自对偶性等价于存在(Eh)+(Vh+sh)-周期性。

**问题A**
是否存在一个sh∈Z，使得G-谱E是(Vh+sh)-周期的？

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**图1.** 在p=2（左）和奇数p（右）的情况下，Eh满足DEh?GΣshEh的示例。

我们在第4节回顾了一些关于等变环谱周期性的理论，以及一些可以在某些低高度研究问题A的等变计算方法。我们的方法与[7]中的方法不同，在[7]中，作者利用乘法同伦不动点谱序列的E∞-页面上已知的消失线来计算Pic(EhG)中的RO(G)像。相反，我们使用了一些计算技术的进步[36]，[38]，[40]，[5]，以及[6]中计算方便的Lubin–Tate谱模型，通过乘法产生形式为Σ|V|?VE?GE的等价类。通过战略性地选择V，我们避免了计算Picard群中的完整RO(G)像，同时仍然研究问题A。这导致了本文的另一个主要结果。这些结果中的第一个是基于Hill–Hopkins–Ravenel在[36]，[38]中的工作得出的一些已知周期性。关于什么是好的Lubin–Tate谱，请参见第2.1节。

**定理B**
**定理4.4.1**
设E是在素数2和高度h处的良好Lubin–Tate谱。那么对于C4≤Oh×，存在C4-等价关系DEh?C4{Σ12Ehh=2Σ?h2Ehh=4,8。

**推论B**
**推论4.4.2**
如果G≤Gh是一个有限子群，并且G∩Oh×≤C4，那么我们有等价关系DEhhG?{Σ12EhhGh=2Σ?h2EhhGh=4,8。

**注释1.1**
我们注意到当h=2时，等价关系来自于[14]，定理1，并且在[7]中也得到了验证。

**推论C**
**推论4.3.16** 和 **定理4.4.4**
设E4是在素数2和高度h=4处的良好Lubin–Tate谱。那么对于C8≤O4×，E4对于推论4.3.16中给出的虚拟C8-表示V是V周期的。因此，存在一个C8-等价关系DE4?C8Σ112E4。

**推论C**
**推论4.4.5**
设E4是一个良好的Lubin–Tate谱，G≤G4是一个有限子群，并且G∩O4×=C8。那么DE4hG?Σ112E4hG。

我们通过指出‘代数封闭’的Lubin–Tate谱（即，那些与F?p上的形式群律相关联的谱）不适用于上述定理，从而结束了这个引言。因此，对偶性定理不一定适用于它们。我们在附录中非等变地研究了这种情况。在其中，我们计算了代数封闭Lubin–Tate谱的对偶的同伦群，从中可以得出上述定理实际上不适用于代数封闭的E。

**定理D**
**定理B.13**
设E(F?p)表示与Honda形式群律相关联的代数封闭Lubin–Tate谱。那么DE(F?p)的同伦群由??π?DE(F?p)?E(Fph)?+h2??W(Fph)DhcW(F?p)给出，其中Dhc(?)表示连续的W(Fph)-线性对偶。

**符号与约定**
我们将使用ρ2n和σ2n来表示C2n的实数规则表示和一维符号表示，即阶为2n的循环群，当没有歧义时省略下标。我们将λi表示C2n通过2π2n?i旋转得到的二维表示，对于0≤i< />
设g是一个有限群。我们用spg表示通过在正交g-谱的稳定模型结构中取bifibrant对象的同伦连贯神经得到的∞-范畴中的真正g-谱[48]。我们主要关注的是具有g-作用的谱，即∞-范畴spbg中的对象。我们使用宇宙spbg?spg的余自由扩展将这些视为真正的g-谱。这在符号中将是隐含的。对于x∈spg，我们将写xh=f(eg+,x)∈spg表示函数谱。根据我们的约定，如果x是一个具有g-作用的谱，那么xh?gx，因此任何这样的x都是余自由的。

对于x∈spg，我们用pnx表示[59]意义上的第n个切片余连贯覆盖，用pnnx表示第n个切片截面，即映射pnx?pn?1x的纤维。相应的同伦群谱序列的签名是e2s,v=πv?sgp|v||v|x?πv?sgx，对于v∈ro(g)。er页面上的微分形式为dr:e2s,v?e2s+r,v+r?1。这是x的g-切片谱序列，我们将其表示为slicess(x)。

**2. lubin–tate谱的等变对偶**
在本节中，我们回顾了[7]中提出的一些理论。主要结果确定了某些lubin–tate谱的k(h)-局部spanier-whitehead对偶的等变同伦类型，相对于其稳定子群的作用。

**2.1. lubin–tate谱的一些条件**
在深入研究对偶性之前，我们对考虑的lubin–tate谱做了一些限制。在本文中，我们取e为一个与一对(k,γ)相关的lubin–tate谱，其中γ是一个在fp上定义的高度为h的形式群律，k是fp的一个代数扩展。我们将γ隐式地视为通过标量扩展的形式群律。设g=aut(k,γ)表示相应的稳定子群，即对(k,γ)的自同构群。我们建议读者参考[16]的附录或[53]的附录2，以了解形式群律及其内态射代数的回顾。我们将使用这些来源中的结果，而不再进一步提及或证明。

**定义2.1.1**
(a) 我们说lubin–tate谱e具有所有自动同构，如果对(k,γ)这样，形式群律γ在其上具有所有自动同构，即autk(γ)?autf?p(γ)。
(b) 我们说lubin–tate谱e是残余有限的，如果k是fp的一个有限扩展。
(c) 如果e既是残余有限的又具有所有自动同构，那么我们说e是一个良好的lubin–tate谱。

如果e具有所有自动同构，那么由于γ是在fp上定义的，我们可以推断出自动同构群g分解为
(2.1.2) g?o×?gal(k/fp)，其中o×=autk(γ)被称为小morava稳定子群。这里的符号来自这个群在数论中的出现。 设g是一个有限群。我们用spg表示通过在正交g-谱的稳定模型结构中取bifibrant对象的同伦连贯神经得到的∞-范畴中的真正g-谱[48]。我们主要关注的是具有g-作用的谱，即∞-范畴spbg中的对象。我们使用宇宙spbg?spg的余自由扩展将这些视为真正的g-谱。这在符号中将是隐含的。对于x∈spg，我们将写xh=F(EG+,X)∈SpG表示函数谱。根据我们的约定，如果X是一个具有G-作用的谱，那么Xh?GX，因此任何这样的X都是余自由的。 对于x∈spg，我们用pnx表示[59]意义上的第n个切片余连贯覆盖，用pnnx表示第n个切片截面，即映射pnx?pn?1x的纤维。相应的同伦群谱序列的签名是e2s,v=πV?sGP|V||V|X?πV?sGX，对于V∈RO(G)。Er页面上的微分形式为dr:E2s,V?E2s+r,V+r?1。这是X的G-切片谱序列，我们将其表示为SliceSS(X)。 **2. lubin–tate谱的等变对偶** 在本节中，我们回顾了[7]中提出的一些理论。主要结果确定了某些lubin–tate谱的k(h)-局部spanier-whitehead对偶的等变同伦类型，相对于其稳定子群的作用。 **2.1. lubin–tate谱的一些条件** 在深入研究对偶性之前，我们对考虑的lubin–tate谱做了一些限制。在本文中，我们取e为一个与一对(k,γ)相关的lubin–tate谱，其中γ是一个在fp上定义的高度为h的形式群律，k是fp的一个代数扩展。我们将γ隐式地视为通过标量扩展的形式群律。设g=Aut(k,Γ)表示相应的稳定子群，即对(k,Γ)的自同构群。我们建议读者参考[16]的附录或[53]的附录2，以了解形式群律及其内态射代数的回顾。我们将使用这些来源中的结果，而不再进一步提及或证明。 **定义2.1.1** (a) 我们说lubin–tate谱e具有所有自动同构，如果对(k,γ)这样，形式群律γ在其上具有所有自动同构，即autk(γ)?autf?p(γ)。 (b) 我们说lubin–tate谱e是残余有限的，如果k是fp的一个有限扩展。 (c) 如果e既是残余有限的又具有所有自动同构，那么我们说e是一个良好的lubin–tate谱。 如果e具有所有自动同构，那么由于γ是在fp上定义的，我们可以推断出自动同构群g分解为 (2.1.2) g?o×?gal(k fp)，其中o×=>
设g是一个有限群。我们用spg表示通过在正交g-谱的稳定模型结构中取bifibrant对象的同伦连贯神经得到的∞-范畴中的真正g-谱[48]。我们主要关注的是具有g-作用的谱，即∞-范畴spbg中的对象。我们使用宇宙spbg?spg的余自由扩展将这些视为真正的g-谱。这在符号中将是隐含的。对于x∈spg，我们将写xh=f(eg+,x)∈spg表示函数谱。根据我们的约定，如果x是一个具有g-作用的谱，那么xh?gx，因此任何这样的x都是余自由的。

对于x∈spg，我们用pnx表示[59]意义上的第n个切片余连贯覆盖，用pnnx表示第n个切片截面，即映射pnx?pn?1x的纤维。相应的同伦群谱序列的签名是e2s,v=πv?sgp|v||v|x?πv?sgx，对于v∈ro(g)。er页面上的微分形式为dr:e2s,v?e2s+r,v+r?1。这是x的g-切片谱序列，我们将其表示为slicess(x)。

**2. lubin–tate谱的等变对偶**
在本节中，我们回顾了[7]中提出的一些理论。主要结果确定了某些lubin–tate谱的k(h)-局部spanier-whitehead对偶的等变同伦类型，相对于其稳定子群的作用。

**2.1. lubin–tate谱的一些条件**
在深入研究对偶性之前，我们对考虑的lubin–tate谱做了一些限制。在本文中，我们取e为一个与一对(k,γ)相关的lubin–tate谱，其中γ是一个在fp上定义的高度为h的形式群律，k是fp的一个代数扩展。我们将γ隐式地视为通过标量扩展的形式群律。设g=aut(k,γ)表示相应的稳定子群，即对(k,γ)的自同构群。我们建议读者参考[16]的附录或[53]的附录2，以了解形式群律及其内态射代数的回顾。我们将使用这些来源中的结果，而不再进一步提及或证明。

**定义2.1.1**
(a) 我们说lubin–tate谱e具有所有自动同构，如果对(k,γ)这样，形式群律γ在其上具有所有自动同构，即autk(γ)?autf?p(γ)。
(b) 我们说lubin–tate谱e是残余有限的，如果k是fp的一个有限扩展。
(c) 如果e既是残余有限的又具有所有自动同构，那么我们说e是一个良好的lubin–tate谱。

如果e具有所有自动同构，那么由于γ是在fp上定义的，我们可以推断出自动同构群g分解为
(2.1.2) g?o×?gal(k/fp)，其中o×=autk(γ)被称为小morava稳定子群。这里的符号来自这个群在数论中的出现。>请注意，EndF￣p(Γ) 同构于哈塞不变量 1/h 在 Qp 上的中心除代数中的最大序 O。我们选择了这样的同构。由于 Γ 是在 Fp 上定义的，自同态 xp 在这个最大序中定义了一个元素 ξΓ，称为弗罗贝尼乌斯元素。此外，如果 k=Fpr，则 Endk(Γ)?CO(ξΓr) 是 ξΓr 在 O 中的中心化子。以下命题是这一讨论的直接结果，对于确定一个形式群律在其 Fp 的有限扩展上是否具有所有自同构非常有用。

命题 2.1.3：形式群律 Γ 在 Fpr 上具有所有自同构当且仅当 ξΓr 在 O 中是中心的，即 ξΓr=pr/hu∈EndFp(Γ)，对于某些 u∈Zp×。

注 2.1.4：我们注意到由于弗罗贝尼乌斯元素 ξΓ 的赋值为 1/h，而 Zp 的赋值群为 Z，如果对 (Fpr,Γ) 有所有自同构，则 r/h∈Z。

我们的对偶结果将仅直接适用于那些同时具有所有自同构并且是剩余有限的 Lubin–Tate 谱。第一个条件的有用之处在于它允许我们将 E 的共轭操作与 G 上的连续映射联系起来。这些思想和结果可以追溯到 Devinatz-Hopkins 在 [20] 中的工作。我们建议读者参考 [41] 以获得详细的阐述。特别是，[41, 定理 4.11] 的证明可以直接应用。

命题 2.1.5 [20, 定理 2]：设 E 是一个具有所有自同构的 Lubin–Tate 谱，设 G 是其稳定子群。那么对于 H?G 的一个闭子群，我们有??π?LK(h)(E∧EhH)?mapc(G/H,E?)。

注 2.1.6：我们注意到，由于弗罗贝尼乌斯元素 ξΓ 的赋值为 1/h，而 Zp 的赋值群为 Z，如果对 (Fpr,Γ) 有所有自同构，则 r/h∈Z。

我们关于 E 是剩余有限的结论在技术上更为复杂。本质上，如果没有这个假设，[7, 引理 11.9] 的证明可能不成立。因此，剩余有限的条件对这些论证至关重要。实际上，在附录 B 中，我们展示了对于一个特定的非剩余有限示例，第 2.3 节的结果不能成立。另一方面，E 具有所有自同构的条件仅仅是为了让我们通过使用群 O× 而不是某个不明显的子群来进行研究。

2.2. 对偶化一个 pro-Galois 扩展：在本节中，我们记录了一个 K(h)-局部 pro-Galois 谱的对偶的一般公式。这本质上是基于 [7, 引理 11.4] 及其证明 可以推广到这个一般情况的观察。

设 G 是一个有限群，并回忆对于任何 G-谱 X，我们可以将其同伦不动点写为 XhH=F(G/H+,Xh)。定义 2.2.1：设 K≤H≤G。(a) 限制映射 res:XhH?XhK 被定义为 F(p+,Xh)G，其中 p:G/K?G/H 是商映射。(b) 转移映射 tr:XhK?XhH 被定义为 F(D(p)+,Xh)G，其中 D(p):G/H?G/K 是 SpG 中商映射的 Spanier-Whitehead 对偶。现在如果 R 是 G-谱中的一个 E∞-环，则乘法产生一个配对 RhH∧RhGRhH?RhH→trRhG 对于任何 H≤G。设 dHG:RhH?FRhG(RhH,RhG) 表示该配对的伴随映射。

命题 2.2.2：假设 R 是 G-谱中的一个 E∞-环，对于 G 是一个有限群。设 K≤H≤G。那么存在一个交换图表...

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我们注意到，如果 H,K?G 都是正规的，那么 XhK 和 XhH 都有剩余的 G-作用。在这种情况下，上面定义的限制和转移映射是 G-等变的。如果 R 也是 G-谱中的一个 E∞-环，那么伴随映射 dHG 也是 G-等变的。

设 G?limj?Gj 是一个每个 Gj 都是有限的有限群，并且设 A?B 是一个 K(h)-局部 pro-Galois 扩展的交换环谱。那么对于每个 j，我们有一个 Gj-Galois 扩展 A?Bj，并且 B?LK(h)colimjBj 是一个 G-等价。

推论 2.1.7 [20, 定理 3]：单位映射 LK(h)S?E 是一个 K(h)-局部的 pro-Galois 扩展，根据 [55, 定义 8.1.1] 的意义。

我们在 E 是剩余有限的方面的结果更为技术性。本质上，如果没有这个假设，[7, 引理 11.9] 的证明可能不成立。因此，剩余有限的条件对这些论证至关重要。实际上，在附录 B 中，我们展示了对于一个特定的非残留有限示例，第 2.3 节的结果不能成立。另一方面，E 具有所有自同构的条件仅仅是为了让我们通过使用群 O× 而不是某个不明显的子群来在熟悉的环境中工作。

2.3. 对偶化 Lubin–Tate 谱：本节的目标是回顾 [7, 第 11] 中的论证，这些论证建立了一个关于 E 的对偶与其稳定子群 G 作用的等变公式。我们首先定义将对偶谱。

设 Γi=1+piO。这些给出了 G 的一系列嵌套的正规子群?≤Γi+1≤Γi≤?≤Γ1≤Γ0=O×≤G，这些子群的指数必然是有限的。对于 j>1，我们有有限群之间的包含 Γi+1/Γi+j?Γi/Γi+j，从而产生一个 G-等变的转移 Σ+∞B(Γi/Γi+j)?Σ+∞B(Γi+1/Γi+j)。取同伦极限得到一个 G-等变的转移 tr:Σ+∞BΓi?Σ+∞BΓi+1。

定义 2.3.1 [7, 定义 5.4]：设 IG 是由转移在 p-完备的 colimit 给出的 G-谱 IG=(colimtr,iΣ+∞BΓi)p∧。定义 2.3.1 是为以下定理量身定制的，该定理推广了紧致 p-进李群的连续群上同调的经典 Serre 对偶性。

定理 2.3.2 [7, 定理 11.16]：存在一个 G-等变的 K(h)-局部等价 DE?GF(IG,E)?GIG?1∧E，其中 G 通过其在 E 上的作用、在 F(IG,E) 上的共轭以及在 IG?1∧E 上的对角作用来作用在 DE 上。

证明：我们为读者提供了 [7, 第 11] 中证明的概述，以便于理解。从定理 2.2.3 开始，我们有 DE?Glimtr,iEhΓi。接下来的步骤涉及分解 E 并重新排列一些极限和 colimit。我们首先将 E 重写为一个 K(h)-局部 colimit。为此，引入一个类似于 [42, 第 4] 中的广义 Moore 谱的塔 {MI} 是方便的。然后我们有 DE?Glimtr,i?EhΓi?Glimtr,i?(LK(h)colimres,jEhΓj)hΓi?Glimtr,i?limI?(colimres,jEhΓj∧MI)hΓi。现在我们可以使用 Γi-HFPSS 来证明 (colimres,jEhΓj∧MI)hΓi?colimres,j(EhΓj)hΓi∧MI。关键点是 ?π?EhΓj∧MI 是离散的 Γj-模块，而连续上同调与离散模块的过滤 colimit 是交换的。这本质上就是 [7, 引理 11.7] 的内容。

我们现在有 DE?GlimI?limtr,i?colimres,j(EhΓj)hΓi，下一步是将沿转移的极限与沿限制的极限交换。这是技术上最困难的部分，我们简单地引用 [7, 引理 11.9] 的证明。我们强调，E 是剩余有限的这一假设在这里很重要。关键点是如果 E 是剩余有限的，那么 ?π?(EhΓj∧MI) 和 ?π?(E∧MI) 在每个程度上都是有限的，因此 Γi-HFPSS 沿转移的极限会得到一个谱序列，因为任何 lim1-项都会消失。然后证明归结为建立两个谱序列之间的 E2-页面的同构：第一个是 Γi-HFPSS 极限的 colimit，第二个是 Γi-HFPSS 极限的 colimit。

最后一步是观察到对于足够大的 i>j，Γi 对 EhΓj 的作用是平凡的，因此正如我们所期望的，我们有 (EhΓj)hΓi?GF(Σ+∞BΓi,EhΓj)。这在 [7, 引理 11.12] 中得到了证明。

综合所有这些，我们有 (2.3.3)DE?GLK(h)colimres,jlimtr,i?F(Σ+∞BΓi,EhΓj)?GLK(h)colimres,jF(IG,EhΓj)?GF(IG,E)，其中最后一步是基于 IG 的对偶性得出的。

这个定理本身的应用受到限制，因为很难处理 G 在 IG 上的作用。使用 piO 代替 Γi，我们可以类似地形成以下谱，它没有这个缺点。

定义 2.3.4 [7, 方程 5.7]：设 Sg 是由转移在 p-完备的 colimit 给出的 G-谱 Sg=(colimtr,iΣ+∞B(piO))p∧。以下 Clausen 的定理使我们能够应用上述定理。

定理 2.3.5 Clausen [19, 定理 10.14]：存在一个 p-完备 G-谱的等价 IG?GSg。

注 2.3.6：利用 G 几乎是一个 Poincaré 对偶群的事实，可以验证 IG 是一个同调球面，因此根据稳定的 Hurewicz 定理和同调 Whitehead 定理，它确实是一个 p-完备球面。[7] 的作者证明了这种等价可以为 G 的某些有限子群变得等变，使用的方法与 Clausen 的方法不同。详细说明见 [7, 推论 11.18]。然而，我们的一些结果将需要定理 2.3.5 的全部力量。

推论 2.3.7：存在一个 G-等变的 K(h)-局部等价 DE?GF(Sg,E)?GS?g∧E。

有了这个对偶的描述，下一步是为有限子群 G 给出 G 在 Sg 上作用的具体描述。

命题 2.3.8 [7, 定理 9.14]：设 G
2.4. 对偶 c2n-表示：在本节中，我们将工作在素数 p=2，并设 h=2n?1m 对于某些 n≥1 和奇数 m∈n。在这种情况下，哈塞不变量 1/h 的中心除代数 dh 包含一个嵌入的 q2(ζ) 复制，其中 ζ=ζ2n 是一个原始的 2n 次单位根 [16, 定理 c.6]。我们选择了这样的嵌入，并在整个节中隐含这个选择。元素 ζ 生成了一个子群 c2n≤oh× [16, 定理 1.1]。我们建议读者参考 [34] 和 [16] 以获得 morava 稳定子群的详细分类，需要注意的是这两个参考文献中有一些拼写错误：特别是 [34, 定理 5.3] 和 [16, 定理 1.35]。有关 o× 的有限子群的准确总结，请参见 [3, 表 3.14]。

在本节中，我们为高度 h=2n?1m 和素数 p=2 的 lubin–tate 谱识别了一个对偶 c2n-表示 vh，并给出了 vh 的具体描述，使用熟悉的表示。n=1 的情况是特殊的，因为 c2≤o× 是中心的，所以任何对偶 c2-表示总是维度为 h2 的平凡表示。因此，在本节的其余部分，我们假设 n≥2。

以下来自中心简单代数理论的命题为 dh 提供了一个很好的描述，这对于我们的分析至关重要。有许多参考资料，但请参见 [50, 第 iv.3] 的特别好的阐述。

命题 2.4.1：设 l?dh 是哈塞不变量 1/h 在 qp 上的中心除代数的一个最大交换子代数。假设 l/qp 是一个 galois 扩展，其 galois 群为 gal(l/qp)。那么存在 e={e?}?∈gal(l/qp)?dh，使得 e1=1，e 是 dh 作为左 l-向量空间的一个基，dh 上的乘法由以下方式确定：(a) e?x=?(x)e?，对于所有 x∈l；(b) e?1e?2=μ(?1,?2)e?1?2，对于某个 2-上链 μ:gal(l/qp)2?l×。根据 noether–skolem 定理，对于每个 ?∈gal(l/qp)，我们可以选择一个元素 e?∈dh，使得 e?xe??1=?(x)，对于所有 x∈l。显然，我们可以取 e1=1。注意到我们有 e?1e?2x(e?1e?2)?1=?2(?1(x))，所以乘积 e?1e?2 和我们选择的元素 e?1?2 必须相差一个元素 μ(?1,?2)∈l×，即 e?1e?2=μ(?1,?2)e?1?2。上链条件是一个常规检查，我们省略了这个检查。

为了看出 egal(l) 是一个 l-基，只需检查 e? 是否线性独立。假设 e?=∑xχeχ 是一个有限和。那么对于 x∈l，e?x=?(x)e?=?(x)∑xχeχ=∑?(x)xχeχ，且 e?x=∑xχeχx=∑xχχ(x)eχ。所以我们必须有 ?(x)xχ=xχχ(x) 对于求和中的所有 χ。现在对于 xχ≠0，这意味着 ?(x)=χ(x) 对于所有 x∈l，因此 ?=χ。

考虑扩展 q2(ω)/q2，其中 ω 是一个阶为 2m?1 的原始单位根。这是一个度数为 m 的扩展，其 galois 群为 cm。由于 gcd(m,2)=1，复合 l=q2(ζ,ω) 必须是 q2 上的度数为 h=2n?1m 的最大交换扩展，因此在 dh 中。 是一个有限子群，v 是 e 的一个对偶 g-表示。那么 dehg?(σ?ve)hg。 2.4. 对偶 c2n-表示：在本节中，我们将工作在素数 p=2，并设 h=2n?1m 对于某些 n≥1 和奇数 m∈n。在这种情况下，哈塞不变量 1 h 的中心除代数 dh 包含一个嵌入的 q2(ζ) 复制，其中 ζ=ζ2n 是一个原始的 2n 次单位根 [16, 定理 c.6]。我们选择了这样的嵌入，并在整个节中隐含这个选择。元素 ζ 生成了一个子群 c2n≤oh× [16, 定理 1.1]。我们建议读者参考 [34] 和 [16] 以获得 morava 稳定子群的详细分类，需要注意的是这两个参考文献中有一些拼写错误：特别是 [34, 定理 5.3] 和 [16, 定理 1.35]。有关 o× 的有限子群的准确总结，请参见 [3, 表 3.14]。 在本节中，我们为高度 h=2n?1m 和素数 p=2 的 lubin–tate 谱识别了一个对偶 c2n-表示 vh，并给出了 vh 的具体描述，使用熟悉的表示。n=1 的情况是特殊的，因为 c2≤o× 是中心的，所以任何对偶 c2-表示总是维度为 h2 的平凡表示。因此，在本节的其余部分，我们假设 n≥2。 以下来自中心简单代数理论的命题为 dh 提供了一个很好的描述，这对于我们的分析至关重要。有许多参考资料，但请参见 [50, 第 iv.3] 的特别好的阐述。 命题 2.4.1：设 l?dh 是哈塞不变量 1 h 在 qp 上的中心除代数的一个最大交换子代数。假设 l qp 是一个 galois 扩展，其 galois 群为 gal(l qp)。那么存在 e={e?}?∈Gal(L/Qp)?Dh，使得 e1=1，E 是 dh 作为左 l-向量空间的一个基，dh 上的乘法由以下方式确定：(a) e?x=?(x)e?，对于所有 x∈l；(b) e?1e?2=μ(?1,?2)e?1?2，对于某个 2-上链 μ:gal(l qp)2?l×。根据 noether–skolem 定理，对于每个 ?∈gal(l qp)，我们可以选择一个元素 e?∈dh，使得 e?xe??1=?(x)，对于所有 x∈l。显然，我们可以取 e1=1。注意到我们有 e?1e?2x(e?1e?2)?1=?2(?1(x))，所以乘积 e?1e?2 和我们选择的元素 e?1?2 必须相差一个元素 μ(?1,?2)∈l×，即 e?1e?2=μ(?1,?2)e?1?2。上链条件是一个常规检查，我们省略了这个检查。 为了看出 egal(l) 是一个 l-基，只需检查 e? 是否线性独立。假设 e?=∑xχeχ 是一个有限和。那么对于 x∈l，e?x=?(x)e?=?(x)∑xχeχ=∑?(x)xχeχ，且 e?x=∑xχeχx=∑xχχ(x)eχ。所以我们必须有 ?(x)xχ=xχχ(x) 对于求和中的所有 χ。现在对于 xχ≠0，这意味着 ?(x)=χ(x) 对于所有 x∈l，因此 ?=χ。 考虑扩展 q2(ω) q2，其中 ω 是一个阶为 2m?1 的原始单位根。这是一个度数为 m 的扩展，其 galois 群为 cm。由于 gcd(m,2)=1，复合 l=Q2(ζ,ω) 必须是 q2 上的度数为 h=2n?1m 的最大交换扩展，因此在 dh>
2.4. 对偶 c2n-表示：在本节中，我们将工作在素数 p=2，并设 h=2n?1m 对于某些 n≥1 和奇数 m∈n。在这种情况下，哈塞不变量 1/h 的中心除代数 dh 包含一个嵌入的 q2(ζ) 复制，其中 ζ=ζ2n 是一个原始的 2n 次单位根 [16, 定理 c.6]。我们选择了这样的嵌入，并在整个节中隐含这个选择。元素 ζ 生成了一个子群 c2n≤oh× [16, 定理 1.1]。我们建议读者参考 [34] 和 [16] 以获得 morava 稳定子群的详细分类，需要注意的是这两个参考文献中有一些拼写错误：特别是 [34, 定理 5.3] 和 [16, 定理 1.35]。有关 o× 的有限子群的准确总结，请参见 [3, 表 3.14]。

在本节中，我们为高度 h=2n?1m 和素数 p=2 的 lubin–tate 谱识别了一个对偶 c2n-表示 vh，并给出了 vh 的具体描述，使用熟悉的表示。n=1 的情况是特殊的，因为 c2≤o× 是中心的，所以任何对偶 c2-表示总是维度为 h2 的平凡表示。因此，在本节的其余部分，我们假设 n≥2。

以下来自中心简单代数理论的命题为 dh 提供了一个很好的描述，这对于我们的分析至关重要。有许多参考资料，但请参见 [50, 第 iv.3] 的特别好的阐述。

命题 2.4.1：设 l?dh 是哈塞不变量 1/h 在 qp 上的中心除代数的一个最大交换子代数。假设 l/qp 是一个 galois 扩展，其 galois 群为 gal(l/qp)。那么存在 e={e?}?∈gal(l/qp)?dh，使得 e1=1，e 是 dh 作为左 l-向量空间的一个基，dh 上的乘法由以下方式确定：(a) e?x=?(x)e?，对于所有 x∈l；(b) e?1e?2=μ(?1,?2)e?1?2，对于某个 2-上链 μ:gal(l/qp)2?l×。根据 noether–skolem 定理，对于每个 ?∈gal(l/qp)，我们可以选择一个元素 e?∈dh，使得 e?xe??1=?(x)，对于所有 x∈l。显然，我们可以取 e1=1。注意到我们有 e?1e?2x(e?1e?2)?1=?2(?1(x))，所以乘积 e?1e?2 和我们选择的元素 e?1?2 必须相差一个元素 μ(?1,?2)∈l×，即 e?1e?2=μ(?1,?2)e?1?2。上链条件是一个常规检查，我们省略了这个检查。

为了看出 egal(l) 是一个 l-基，只需检查 e? 是否线性独立。假设 e?=∑xχeχ 是一个有限和。那么对于 x∈l，e?x=?(x)e?=?(x)∑xχeχ=∑?(x)xχeχ，且 e?x=∑xχeχx=∑xχχ(x)eχ。所以我们必须有 ?(x)xχ=xχχ(x) 对于求和中的所有 χ。现在对于 xχ≠0，这意味着 ?(x)=χ(x) 对于所有 x∈l，因此 ?=χ。

考虑扩展 q2(ω)/q2，其中 ω 是一个阶为 2m?1 的原始单位根。这是一个度数为 m 的扩展，其 galois 群为 cm。由于 gcd(m,2)=1，复合 l=q2(ζ,ω) 必须是 q2 上的度数为 h=2n?1m 的最大交换扩展，因此在 dh 中。>扩展 L/Q2 是一个伽罗瓦域，其伽罗瓦群为 Galh:=Gal(L/Q2)?C2×C2n?2×Cm,n≥2。设 τ 和 ψ 分别表示如下自同构：τ:{ζ?ζ?1, ω?ω} 和 ψ:{ζ?ζ5, ω?ω}。我们有 τ 生成规范子群 C2≤Galh，对于 n≥3，ψ 生成规范子群 C2n?2≤Galh。选取 Q2(ω)/Q2 的一组基 {ωa}a=1…m，并设 ν 为 Cm≤Galh 的一个生成元。根据命题 2.4.1，我们可以选取 DhEh={e?|?∈Galh}?Dh 的一个良好基，然后考虑格子 Eh=?i=1mZ{ζ?ωae?|?∈Galh}，其中 ζ?ωae? 包括 {ωae?, ζωae?, ζ2ωae?, …, ζh?1ωae?}。利用命题 2.4.1 中的 (a)，我们可以得到描述 ζ 对 Eh 生成元作用的以下等式：(2.4.2) ζ(ζjωaeτiψ?νb)ζ?1=ζ1+j+(?1)i+1/5?ωaeτiψ?νb，对于所有的 i∈{0,1}, ?∈{0,1,…,2n?2?1}, a,b∈{1,...,m}，以及 j∈{0,1,…,2n?1?1}。定义 2.4.3：我们设 Vh=R?Eh 并将其视为一个基于 ζ 作用的 C2n-表示。以下定理证明了这个定义的合理性。定理 2.4.4：设 Sg 是与高度 h=2n?1 的 Morava 稳定子群相关的定义 2.3.4 中的谱。存在一个 C2n-等变等价关系 Sg?C2nSVh。证明：根据命题 2.3.8，我们只需找到一个满足命题中条件 (1) 和 (2) 的格子 O。由于格子 Eh 满足等式 (2.4.2)，因此它满足条件 (1)；根据命题 2.4.1，它满足条件 (2)。然而，Eh 不一定包含在 O 中。为了解决这个问题，选择 r 使得 Eh 中任意基元素的 2-进赋值都 ≥?r。那么 2rEh?Oh。显然，Q2?2rEh=Q2?Eh，因此格子 2rEh 满足条件 (2)。由于 2 是中心元素，格子 2rEh 仍然满足条件 (1)，并且 C2n-表示 R?2kEh 和 R?Eh 是同构的。□接下来我们分析表示 Vh 并用熟悉的表示来明确描述它。我们将使用以下数论练习。引理 2.4.5：假设 n≥3。(a) 我们有 52n?3≡1+2n?1 (mod 2n)。(b) 对于 0≤?≤2n?2?1 和 0≤m≤2n?2，m(1+5?)≡2n?1 (mod 2n) 当且仅当 m=2n?2。(c) 假设 n≥4，并设 v2(?) 表示 2-进赋值。对于 1≤?≤2n?2?1 和 0≤m≤2n?v2(?)?3，m(1?5?)≡2n?1 (mod 2n) 当且仅当 m=2n?v2(?)?3。证明：(a) 部分可以通过对 n 的归纳直接证明，也可以从 (c) 部分推导出来。为了证明 (b)，我们固定 n 并对 ? 进行归纳。在归纳步骤中注意到 2n?2(1+5?+1)=2n?2(1+5?)+2n?2(4)(5?)≡2n?2(1+5?) (mod 2n)，这表明当 m=2n?2 时模等价关系成立。对于反向情况，假设它对某个 m 成立。取 ?=2n?3 并使用 (a) 部分，可以得出 m(2+2n?1)≡2n?1 (mod 2n)。由于 2n?2+1 在模 2n 下是可逆的，我们有 2m≡2n?1(2n?2+1)?1 (mod 2n)。对于 n≥3，2n 整除 22n?3，因此 2m≡2n?1 (mod 2n)，从而完成了 (b) 的证明。最后，我们证明 (c)，这可以通过证明 v2(1?5?)=2+v2(?) 得到。这是两个观察的结果：如果 ? 是奇数，则 v2(1?5?)=v2(1?5)+v2(1+5)+v2(?)?1=2+v2(?)。□定理 2.4.6：对于 h=2n?1m 且 m 为奇数以及 n≥2，存在一个 C2n-表示的同构 R?Eh?Vh=2n?1m2(ρC2n?IndC2C2nσ2)。证明：首先注意到 ζ 与 eνb 和 ωa（对于任何 a,b∈{1,...,m}）交换。因此，只需证明有一个表示的同构 R?Z{ζ?e?|?∈C2×C2n?1}?2n?1(ρC2n?IndC2C2nσ)。我们分别处理 n=2 的情况，在这种情况下我们有 Vh=R{ζ?1,ζ?eτ}。由于 ζ 与自身交换，R{ζ?1} 给出了 h 个平凡表示的副本。在这种情况下 ζ2=?1，因此 ζeτζ?1=ζ2eτ=?eτ，这意味着 R{ζ?eτ} 与 h 个符号表示的副本同构。可以将其与由 π2-旋转生成的二维表示 IndC2C4σ2 等同起来，从而完成了这个情况的证明。现在来看 n≥3 的情况。C2n 的实正则表示 ρ2n 可以写为 R[x]x2n?1?R[x]x2?1⊕R[x]x2+1⊕?⊕R[x]x2n?3+1⊕R[x]x2n?2+1⊕R[x]x2n?1+1，其中 C2n 的生成元通过乘以 x 来作用。可以将最后一个求和项与 IndC2C2nσ2 等同起来，因此我们的任务是在 Vh=R{ζ?1,ζ?eψ,...,ζ?eψ2n?2?1,ζ?eτ,ζ?eτψ,...,ζ?eτψ2n?2?1} 中分别识别出 h 个剩余求和项的副本。首先，根据引理 2.4.5 的 (a) 部分和 ζ2n?1=?1，我们有 ζeψ2n?3ζ?1=ζ1?52n?3eψ2n?3=ζ?2n?1eψ2n?3=?eψ2n?3。因此子空间 R{ζ?1,ζ?eψ2n?3}?Vh 与对应于 h 个第一个直和项 R[x]/(x2?1) 的表示同构。现在，使用引理 2.4.5 的 (b) 部分和公式 ζmeτψ?ζ?m=ζm(1+5?)eτψ?，我们可以推断出由 ζjeτψ? 在上述作用下的一些 j,? 的轨道生成的子空间与 R[x]/(x2n?2+1) 同构。这表明子空间 R{ζ?eτψ?|0≤?≤2n?2?1}?Vh 与 2n?1?2n?2/h 个求和项 R[x]/(x2n?2+1) 同构。注意，这完成了 n=3 的证明，因此对于其余的情况我们假设 n≥4。剩下的任务是找到每个 1≤r≤n?3 的 R[x]/(x2r+1) 的 h 个副本。使用引理 2.4.5 的 (c) 部分和公式 ζmeψ?ζ?m=ζm(1?5?)eψ?，我们可以推断出对于每个 1≤?≤2n?2?1（且 ?≠2n?3），子空间 R{ζ?eψ?} 与 2v2(?)+2 个 R[x]/(x2n?v2(?)?3+1) 的副本同构。接下来需要进行维数计数。对于给定的 0≤v特别是，C2n-定向因子通过局部化作用于N(t￣m)的逆变换。我们现在继续讨论（2）。所谓模在交换G-环谱上的商，是指[39, 第10.10节]中的定义，有兴趣的读者可以参考那里的深入讨论。

定义3.2.3 设R是一个G-等变的交换环谱。对于x∈π?HR，让R[G?x]表示由x生成的扭曲幺半群环。那么对于任何R-模M，M除以(G?x)的商定义为：
M/(G?x):=M∧R[x]R。

定义3.2.4 BP((C2n))除以(C2n?t￣m+1,…)的商定义为
BP((C2n))〈m〉:=colimwBP((C2n))(C2n?t￣m+1)∧MU((C2n))?∧MU((C2n))BP((C2n))(C2n?t￣m+w)。

命题3.2.5 C2n-定向因子可以分解为...

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证明：C2-等变的商?(i2?BP((C2n))/(C2?t￣i)实际上是乘以t￣i的结果的余纤维。由于每个t￣i在?下都映射到零，这意味着可以分解为...

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然后，使用单位映射?BP((C2n))?N22ni2?BP((C2n))的范数，以及EhR上的范数限制伴随的对合，可以为每个i>m形成分解...

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根据定理A.1和范数是交换幺半群的事实，我们知道MU((C2n))?EhR是一个E2-环映射。因此，EhR具有MU((C2n))-线性乘法，我们可以形成
BP((C2n))(C2n?t￣m+1)∧MU((C2n))?∧MU((C2n))BP((C2n))(C2n?t￣m+w)?EhR∧MU((C2n))?∧MU((C2n))EhR?EhR。取余极限得到所需的分解。

注释3.2.6 我们感谢Jeremy Hahn向我们解释了如何使用上述的E2-结构来获得分解。最后，我们将命题3.2.2和命题3.2.5结合起来。

定理3.2.7 C2n-定向因子可以分解为...

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证明：从命题3.2.5的分解开始，[6, 命题6.3]中给出的命题3.2.2的证明可以直接使用商BP((C2n))〈m〉代替BP((C2n))来进行。

符号说明：为了便于阅读，我们将用EC2n(m)表示Dh?1BP((C2n))〈m>>。这个符号是为了让读者将这些视为约翰逊-威尔逊谱的C2n-等变类比。

4. 等变周期性和整数位移

4.1 RO(G)周期性及其来源

本节的目的是回顾[5, 第3节]中阐述的一些理论。在这里，我们假设G是一个有限群。设R∈SpG是一个交换环。然后我们可以考虑R上的模的对称幺半群范畴[13]，以及其相关的可逆模块群PicG(R)，并得到所谓的J-同态：
J: RO(G)?PicG(R)V?ΣVR。

命题4.1.1 [5, 命题3.1] 设RhG?R是一个有限群G的忠实G-伽罗瓦扩展，并将R视为一个（自由的）真正的G-谱。那么Mod(RhG)和ModG(R)是等价的范畴，并且存在同构
PicG(R)?Pic(RhG)M?MhG。

注释4.1.2 因此，在命题的假设下，我们可以将J-同态视为映射
J: RO(G)?Pic(RhG)V?(ΣVR)hG。我们在符号上不会区分这两个映射。

定义4.1.3 如果V∈RO(G)在J-同态的核中，则称R是V-周期的，即ΣVR?GR。我们将J的核中的元素称为R的RO(G)-周期性。本节的目标是确定一个有用的条件，以便我们可以从中推导出一些RO(G)-周期性。我们从以下观察开始。

命题4.1.4 R-模之间的G-等价关系u:Σ|V|R→～GΣVR当且仅当存在一个G-等变映射u?:S|V|?ΣVR，使得复合映射
Σ|V|R→u?∧ηΣVR∧R→1∧μΣVR是R-模之间的G-等价关系。

证明：一个方向是显而易见的，即如果存在这样的u?，那么复合映射就会给出等价关系u。对于另一个方向，考虑下面的图...

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如果我们有一个等价关系u，那么我们通过预复合u与1∧η:S|V|?Σ|V|R来定义u?。映射u?被定义为使左侧的三角形交换。由于u是R-模之间的映射，右侧的梯形也交换。因此，边界矩形也交换，这意味着这个矩形的顶部边是一个等价关系。

定义4.1.5 ([5, 定义3.3]) V的一个R-定向是一个元素，当它在RO(G)-分级环π?GR中被视为π|V|GΣVR的元素时是可逆的，这个等价关系是在同构π|V|GΣVR?π|V|?VGR下建立的。如果存在V的一个R-定向，我们说V是R-可定向的。

注释4.1.6 我们应该注意到，在处理RO(G)-分级同伦群时，例如在定义中使用的同构π|V|GΣVR?π|V|?VGR时，会涉及一些选择。例如，在[23]中已经证明，这样的选择可以一致地做出。尽管如此，作为R-定向的属性在同构的选择下是不变的，对于任何两个选择，它们只会相差一个乘以Burnside环π0GS中的单位元。

命题4.1.7 R是（|V|?V）-周期的当且仅当V是R-可定向的。

证明：假设u?∈π|V|GΣVR是V的一个R-定向。那么|V|-suspending the inverse of Σ?Vu?会得到一个元素u?′∈πVGΣ|V|R，复合映射
ΣVR→u?′∧ηΣ|V|R∧R→1∧μΣ|V|R是与命题4.1.4中的复合映射相等的逆等价关系。

现在假设Σ|V|R?ΣVR是R-模之间的一个G-等价关系。那么将这个等价关系与源的逆结合，会得到一个映射R?ΣV?|V|R，通过预复合与单位元，这个映射对应于π|V|GΣVR中的一个元素。

注释4.1.8 假设R是自由的，并且RhG?R是一个忠实的G-伽罗瓦扩展，那么根据[35]中定理6.4后的段落，ΦGR是可缩的，所以根据[36]中的推论10.6，ΣVR也是自由的。这给出了一个同构
???π?G(ΣVR)?π?GF(EG+,ΣVR)?π?(ΣVR)hG。然后我们可以将R-定向视为π|V|(ΣVR)hG中的一个类。

现在考虑V∈RO(G)是一个经典可定向的表示，即G→VO(dim?(V))→det{±1}是平凡的表示。选择一个识别??t:ie?S|V|?ie?SV来对应底层的拓扑空间。对于任何R，这通过将t与单位映射结合来定义一个元素[t]∈π|V|eΣVR。尽管t本身不是G-等变的，但由于V是经典可定向的，t在同伦意义上是G-等变的：
g?[t]=[gtg?1]=[t]。然后类[t]位于G在homotopy群上的固定点[t]∈(π|V|eΣVR)G中。注意，当[t]被视为π0eR的元素时，它是可逆的。这引导我们考虑以下定义。

定义4.1.9 ([5, 定义3.7]) 对于一个经典可定向的V，V的一个伪-R-定向是（π|V|eΣVR）G中的一个元素，当它在π|V|eΣVR?π0eR的同构下被视为（π0eR）G的元素时是可逆的。我们说V是伪-R-可定向的，如果存在V的一个伪-R-定向。

上述讨论表明，如果V是经典可定向的，那么一个定向选择可以为任何R产生一个伪-R-定向。我们感兴趣的问题是何时一个伪-R-定向可以细化为一个G-等变映射，即一个R-定向。

命题4.1.10 [5, 命题3.10] 设V是一个经典可定向的G-表示，并且RhG?R是一个忠实的G-伽罗瓦扩展。那么V是R-可定向的当且仅当存在一个伪-R-定向
u?V∈H0(G,π|V|eΣVR)，它是HFPSSHs(G,πt(ΣVR))?πt?s(ΣVR)hG中的一个永久循环。

我们感兴趣的Lubin–Tate谱是自由的，并且伽罗瓦条件由推论2.1.7满足。因此，我们可以直接使用命题4.1.10来研究它们。然而，我们仍然缺少一个关键要素。我们希望利用HHR的技术和已知的Real bordism及其商的切片谱序列计算方法。因此，定义切片谱序列层面的某些类，这些类扮演伪-R-定向的角色，将是有帮助的。

让我们继续考虑V是一个经典可定向的G-表示。在这种情况下，限制映射给出了一个同构
reseG:π|V|GΣVHZ_→?π|V|eΣVHZ_?Z，其中定向的选择等同于目标与Z之间的同构。

定义4.1.11 对于一个经典定向的V，我们定义V的定向类uV∈π|V|GΣVHZ_为上述限制同构下的1的原像。事实证明，定向类在自由局部化后变得可逆。

命题4.1.12 uV在自由局部化映射HZ_?HZ_h下的像是单位元。

证明：homotopy群π|V|GΣVHZ_h由Borel同调群HZ|V|(EG+∧GS?V)给出。我们可以将EG+∧GSV与EG×G?V?BG的Thom谱等同起来，uV的像是这个向量丛的Thom类。因此，EG×GV?BG的Thom类是uV的逆。

注释4.1.13 更一般地，上述论证表明，如果我们将一个普通的谱E视为具有平凡作用的自由G-谱，那么G-表示V的E-可定向性等同于相应向量丛在分类空间BG上的常规可定向性。

现在让我们回到我们的交换G-环R。从[36, 推论4.54]我们知道，球面的0-切片是P00S0?HZ_。因此，对于任何经典定向的V，单位映射S0?R会在SliceSS(R)的E2-page的过滤零中产生类uV∈π|V|?VGP00R。我们不会在符号或术语上区分uV类和它们在各种环R中的像。自由局部化映射产生了一个谱序列的态射SliceSS(R)?SliceSS(Rh)=HFPSS(R)。以下是命题4.1.12和命题4.1.10的直接推论：

命题4.1.14 设R是一个自由的G-环谱，RhG?R是一个忠实的G-伽罗瓦扩展。如果HFPSS(R)中的类uV是一个永久循环，那么V是R-可定向的。

注释4.1.15 我们注意到，任何表示V的固定点的包含S0?SV会产生一个类aV∈π?VS0，因此产生任何上述谱序列在过滤s=|V|中的类。这些被称为Euler类。根据定义，这些必须在球面的切片谱序列中是永久循环，因此在任何环谱的切片谱序列中也是如此。有关这些类的更多信息，请参见[38]。

4.2 Lubin–Tate谱的定向类

从前一节的收获来看，我们在BP((C2n))的切片谱序列的过滤零中有了定向类uV，这些定向类通过C2n-定向从命题3.2.1映射到EhR的同伦固定点谱序列中的定向类。BP((C2n))的谱序列中的定向类来自于沿着杀死Quillen幂等元中发送到零的生成元的商映射将那些定向类向前推进到MU((C2n))中的定向类。类似地，我们可以在BP((C2n))的任何商或局部化的切片谱序列中定义定向类。现在我们希望将事情带回E-理论。

命题4.2.1 设V是一个经典可定向的C2n-表示，让Eh是一个高度为h=2n?1m的好Lubin–Tate理论。如果uV是HFPSS(EC2n(m))中的一个永久循环，那么Eh是（|V|?V）-周期的：
Σ|V|?VEh?C2nEh

证明：定理3.2.7提供了一个谱序列的态射
C2n-HFPSS(EC2n(m))?C2n-HFPSS(EhR)。由于永久循环映射到永久循环，uV是目标谱序列中的一个永久循环。

设(k,Γ)是与Eh相关联的对。在基准变换到F￣2之后，Γ将同构于Γh，因此我们可以选择一个等价关系
EhR→～E(F￣2,Γ)，这个等价关系关于C2n在AutF￣2(Γ)≤G(F￣2,Γ)中的适当嵌入是C2n-等变的。然后我们有一个谱序列的同构
C2n-HFPSS(EhR)→?C2n-HFPSS(E(F￣2,Γ))。因此，定向类uV是目标谱序列中的一个永久循环。

现在，我们还有一个态射Eh?E(F￣2,Γ)，它诱导了一个谱序列的态射
(4.1)C2n-HFPSS(Eh)?C2n-HFPSS(E(F￣2,Γ))，保持定向类不变。因此，如果uV在方程(4.1)的源中支持一个微分，那么该微分的目标必须映射到零。根据伽罗瓦下降，方程(4.1)的目标的E2-page由
(4.2)??H?(C2n;π?E(F￣2,Γ))?H?(C2n;π?E(F￣2,Γ))Gal?W(k)W(F￣2)，其中Gal=Gal(F￣2/k)。由于假设Γ在其上所有的自同构都是平凡的，我们可以将C2n扩展为一个子群G=C2n×Gal≤G(F￣2,Γ)。方程(4.2)中的左手张量因子可以识别为谱序列
?H?(G;π?E(F￣2,Γ))?π?E(F￣2,Γ)hC2n×Gal?π?EhhC2n的同态，这与通过识别Eh?E(F￣2,Γ)hGal得到的Eh的同伦固定点谱序列同构。然后可以验证，方程(4.1)上的态射将x?x?1，因此是单射，这意味着uV必须是方程(4.1)源中的一个d2-循环。此外，方程(4.1)目标中的微分是W(F￣2)-线性的微分扩展自源中的微分。现在假设方程(4.1)在Er页面上是单射，并且x在Er+1页面上的映射下映射到零。这意味着x的像必须被dr-differential击中。由于微分的W(F￣2)-线性，x的像可以写成方程(4.1)源中微分的有限W(F￣2)-线性组合。然而，x的像也必须是Gal-不变的，这迫使线性组合是平凡的。因此，x本身必须是dr-differential的目标，这意味着方程(4.1)在Er+1上是单射。因此，对于任何 r≥0，uV 将是 C2n-HFPSS(Eh) 中的一个循环。□ 注释 4.2.2 我们注意到，自从本文的第一个版本编写以来，这个结果的更一般版本已经在 [22, Proposition 3.3] 中得到了证明。因此，我们确定与良质 Lubin–Tate 谱相关的高阶实 K-理论的自我对偶性的策略是，证明某些方向类在 C2n-HFPSS(EC2n(m)) 或某些更初始的谱序列中是循环，从而通过 Proposition 4.2.1 推导出周期性。4.3. Lubin–Tate 谱的周期性存储库 我们从一个在任何 Lubin–Tate 谱中都存在的周期性开始，这个周期性不是来自一个方向类。命题 4.3.1 设 Eh 是一个 Lubin–Tate 谱，G≤Gh 是一个包含 C2 的有限子群。那么 Eh 是 ρG-周期的。证明 在 [30] 中，已经表明 π2Eh 中的一个单位 u 有一个到 πρ2C2Eh 中单位的 C2-等变提升。这个提升的范数在 πρGGEh 中给出一个单位，通过乘法诱导出一个 ρG-周期性。□ 下一个周期性是根据 [36] 第 9 节的论证得出的。我们包括了证明的简短版本以供完整性。命题 4.3.2 类 u2σ2m 是 C2n-slice 谱序列 N(t￣m)?1BP((C2n)) 中的一个永久循环。证明 从 [36] 中的 Corollary 9.13 的 2-典型情况我们可以知道，N(t￣m)u2σ2m 是 C4-SliceSS(BP((C4))) 中的一个永久循环。这个类然后必须通过由 localizationC4-SliceSS(BP((C2n)))?C4-SliceSS(N(t￣m)?1BP((C2n))) 引导的谱序列映射映射到一个永久循环。结果随之而来，因为 N(t￣m) 是目标谱序列中的一个可逆永久循环。□ 推论 4.3.3 设 E 是一个高度为 h=2n?1m 的良质 Lubin–Tate 谱。那么对于 0≤r≤n，以及 C2r 的符号表示 σ2r，限制 ?iC2r?E 具有 (22n?rm+1?22n?rm+1σ2r)-周期性：??Σ22n?rm+1σ2riC2r?Eh?Σ22n?rm+1iC2r?Eh。证明 范数限制的单位的伴随作用给出了一个 C2r-映射?BP((C2r))?iC2r?BP((C2n))。根据 Proposition 3.2.2，复合映射??BP((C2r))?iC2r?BP((C2n))?iC2r?Eh 通过 N(t￣2n?rm)?1BP((C2r)) 进行分解。结果直接从 Proposition 4.3.2 中得出。□ 定义 4.3.4 我们将 Corollary 4.3.3 中的周期性称为 Eh 的 σr-周期性。从这个结果中，我们还可以推导出 Eh 的一个整数周期性。这是由于 Hill–Hopkins–Ravenel 的工作。我们在这里包括了证明以供完整性，但对于这个声明或其证明本身并不声称原创性。此外，我们注意到这个证明与 [40] 中定理 2.15 的证明本质上是相同的，适用于 h=4 和 C4 的情况。大致上，想法是取 σr-周期性，将它们规范化到适当的水平，并与 Proposition 4.3.1 中的 ρ-周期性一起取一个适当的线性组合。定理 4.3.5 Hill–Hopkins–Ravenel 设 h=2n?1m 并且设 ph(C2n)=2h+n+1。谱 EhhC2n 是 ph(C2n)-周期的。此外，设 ph(C2n??)=ph(C2n)2? 对于 0≤?≤n?1，我们有 EhhC2n?? 是 ph(C2n??)-周期的。证明 设 h=2n?1。我们证明一般情况下的 ? 满足 0≤?≤n?1 的情况。作为符号上的提醒，我们将考虑 C2n?? 的各种子群的符号表示，所以我们用 σ2r 表示 C2r 的符号表示。出现的唯一的旋转表示将是 C2n??-表示，所以 λr 表示由旋转 2π2n???r 给出的 2 维表示。根据 Proposition 3.2.2，映射 BP((C2n??))?Eh 的分解如下图所示：下载：下载高分辨率图像（22KB）下载：下载全尺寸图像 考虑 r 使得 ?0 的类别上是同构的，在过滤 s=0 的类别上是满射。此外，具有非负过滤的源的微分之间存在一一对应关系。然后策略是证明所讨论的 uV 是 Tate 谱序列中的一个永久循环。由于这些类别在过滤零中，该定理意味着这些也将是 HFPSS 中的永久循环。使得使用 Tate 谱序列更加容易的是以下事实。命题 4.3.8 Euler 类 aλ 在任何 C4-谱的 C4-Tate 谱序列中是可逆的。证明 由于对于任何非平凡的 H≤C4，不动点集 λH 是平凡的，我们可以将 S(∞λ) 作为 EC4 的模型，因此 S∞λ 是 EC?4 的模型。因此，对于任何 C4-谱 X，Tate 塔 EC?4∧F((EC4)+,P•X)?S∞λ∧F((EC4)+,P•X)?aλ?1F((EC4)+,P•X) 由 aλ 以可逆方式作用的光谱组成。□ 命题 4.3.9 类 u2σu4λ 在 C4-HFPSS(EC4(1)) 中存活下来。证明 从 [40] 中的 Corollary 3.20，我们有元素 κ￣=N(t￣1)6u4λu6σa2λ 是 C4-SliceSS(BP((C4))〈1〉 中的一个永久循环，因此在 C4-HFPSS(BP((C4))〈1〉 中也是。从谱序列的态射组合 HFPSS(BP((C4))〈1〉)?HFPSS(EC4(1))?TateSS(EC4(1))，我们知道 κ￣ 也是中间和最右边的谱序列中的一个永久循环。现在根据 Proposition 4.3.2，我们知道 u4σ 是中间和最右边的谱序列中的一个永久循环。因此 u2σu4λ=κ￣N(t￣1)?6u4σ?1a2λ?1 也是最右边谱序列中的一个永久循环。根据定理 4.3.7，我们知道 u2σu4λ 也是中间谱序列中的一个永久循环。□ 注释 4.3.10 读者可以将这个论证与 [5, Proposition 5.25] 中的论证进行比较，在那里作者直接使用了 Lubin–Tate 谱 E2R 的 C4-同伦不动点谱序列。注释 4.3.11 同样可以验证 [38] 中的论证表明 u2σu4λ 是 SliceSS(BP((C4))〈1〉 中的一个永久循环。因此，命题 4.3.9 的一个更直接证明是验证这一点并使用映射 SliceSS(BP((C4))?HFPSS(EC4(1))。我们选择使用上面的证明，因为我们认为从文献中验证它更容易。注释 4.3.12 对于不习惯我们使用定理 A.1 的读者，可以按照以下方式论证。在 [40] 中已经表明 u2λ 和 u2σu4λ 支持微分 d5u2λ=N(t￣1)uλa2λaσ 和 d13(u2σu4λ)=N(t￣2)u4σuλa6λaσ 在 SliceSS(BP((C4))〈2〉 中。通过显式计算，可以证明在 SliceSS(BP((C4))) 中也出现相同的微分。转移到 N(t￣1)?1BP((C4))，u2λ 上的第一个微分将在 E5 后意味着 uλa2λaσ=0。d13 的目标必须在 E5 页面上被消除，所以 u2σu4λ 是一个 d13-循环。来自 [21] 的消失线完成了证明。推论 4.3.13 设 E2 是高度为 h=2 的良质 Lubin–Tate 谱。那么对于 C4≤O2×，E2 具有 (10?2σ?4λ)-周期性：Σ2σ+4λE2?C4Σ10E2。命题 4.3.14 类 u4σu16λ 在 C4-HFPSS(EC4(2)) 中存活下来。证明 从 Hill-Shi-Wang-Xu [40] 中的微分 d61(u32λu4σaσ)=N(t￣2)5u16λu20σa31λ=:y 在 SliceSS(BP((C4))〈2〉 中，我们知道 y 是这个谱序列中的一个永久循环，因此在 HFPSS(BP((C4))〈2〉 中也是。从组合 HFPSS(BP((C4))?HFPSS(EC4(2))?TateSS(EC4(2)) 中，我们知道 y 也是中间和最右边谱序列中的一个永久循环。根据命题 4.3.2，我们知道 u8σ 也是中间和最右边谱序列中的一个永久循环。因此 u4σu16λ=N(t￣2)?5u16σ?1a31λ?1y 也是最右边谱序列中的一个永久循环。根据定理 4.3.7，我们知道 u4σu16λ 也是中间谱序列中的一个永久循环。□ 注释 4.3.15 如注释 4.3.12 中所述，不安的读者可以检查上述定理中使用的 d61 是否可以提升到 BP((C4)) 中的微分。同样的论证在转移到 N(t￣2)?1BP((C4)) 的同伦不动点和 tate 不动点谱序列后仍然成立。推论 4.3.16 设 E4 是高度为 h=4 的良质 Lubin–Tate 谱。那么对于 C4≤O4×，E4 具有 (36?4σ?16λ)-周期性：Σ4σ+16λE4?C4Σ36E4。命题 4.3.17 设 E4 是高度为 h=4 的良质 Lubin–Tate 谱。类 u12σ8u12λ1u32λ0 在 E4 的 C8-同伦不动点谱序列中是一个永久循环。因此，C8-谱 E4 具有 (100?12σ8?12λ1?32λ0)-周期性。证明 从命题 4.3.14 我们知道 u4σ4u16λ 是 C4-HFPSS(E4) 中的一个永久循环。根据命题 4.3.2，我们知道 u8σ4 也是那里的一个永久循环，因此乘积 u12σ4u16λ 是一个永久循环。因此范数N(u12σ4u16λ)=u12λ1u32λ0u44σ8 是 C8-HFPSS(E) 中的一个永久循环。根据命题 4.3.2，u4σ8 也是一个永久循环。因此乘积 u56σ8N(u12σ4u16λ)=u12σ8u12λ1u32λ0 是一个永久循环。□ 4.4. 整数位移 最后，我们利用前一节中的周期性存储库来证明一些高阶实 K-理论的自我对偶性。定理 4.4.1 设 E 是高度为 h 的良质 Lubin–Tate 谱。那么 DE?C4{Σ12Eh=2Σ?h2Eh=4,8。证明 我们从 h=2 的情况开始。根据命题 4.3.9，J(10?2σ?4λ)=0。我们可以将这个表示重写为 10?2σ?4λ=12+(2+2σ)?4ρ4。命题 4.3.1 表明 J(ρ4)=0。根据推论 2.4.7，D(EhC4)?J(?2?2σ)。因此，在 h=2 的情况下 DE?C4Σ12E。现在对于 h=4。应用推论 4.3.3，n=m=r=2 得到 σ4-周期性 J(8?8σ)=0。根据推论 2.4.7，对偶表示为 J(?8?8σ)=?16。因此，在 h=4 的情况下 DE?C4Σ?16E。h=8 的结果类似地通过应用推论 4.3.3 得到，其中 n=r=2,m=4。□ 推论 4.4.2 设 E 是高度为 h 的良质 Lubin–Tate 谱，Gh 是其扩展的稳定子群。如果 G≤Gh 是一个有限子群并且 G∩Oh×≤C4。那么 DEhG?{Σ12EhGh=2Σ?h2EhGh=4,8。证明 设 Gal? 是 G 在 Gh?Gal(k/F2) 下的像，其中 k=E0/m。那么 G?Gal? 的核是 G0=G∩Oh×。然后根据 [15, Lemma 1.37]，我们有 EhG0?Gal?+∧EhG。如果 DEhC4?ΣsEhC4，那么通过限制 DEhG0?ΣsEhG0。因此 DEhG?(DEhG0)hGal??(ΣsEhG0)hGal??(Gal+∧ΣsEhG)hGal??ΣsEhG。□ 注释 4.4.3 我们注意到，上述结果对于高度 h=4,8 是仅通过了解 σ-周期性获得的。人们可能会想知道这种策略是否可以推广到更高的高度。不幸的是，情况并非如此。在高度 h=2n?1 时，元素 N(tˉ2n?2) 是可逆的，导致 (22n?2+1?22n?2+1σ)-周期性，而在这种情况下对偶化的 C4-表示由 V2n?1(C4)=22n?3+22n?3σ 给出。对于 n=3,4，似乎是一个幸运的巧合，即在 σ-周期性中 σ 的副本数量等于在对偶化表示中 σ 的副本数量，因为对于任何 n>4 这将不成立。应该注意的是，这并不意味着在这种情况下对偶不是整数位移。实际上，可以在高度 h=2 时看到这一点。那里的 σ-周期性是 4?4σ，而对偶化表示是 2+2σ，然而 DE2hC4?Σ12E