具有层内/层间时变耦合的开关式多层网络的全局固定同步

《Knowledge-Based Systems》：Global pinning synchronization of switching multilayered networks with intra/inter-layer time-variant coupling

　　赵婷婷|何永平|刘尚坤|黄静丽|黄杰
福州大学电气工程与自动化学院，福建福州，350108，中国

摘要
为了实现障碍物避让/高精度目标跟踪任务，必须通过设计的控制输入来调节在多层切换网络（MSN）中采用固定控制策略的目标系统的动态演变。本文研究了MSN的全局固定同步问题，其中目标系统在非零控制输入下运行。首先，引入了一个具有层内/层间时变耦合的MSN模型，以更准确地捕捉和描述多网络结构的复杂性和精确性。其次，基于切换系统的稳定性理论，设计了一个非连续耦合律。证明了当异构MSN的层内/层间切换满足平均停留时间的正下限约束时，可以通过层内/层间耦合强度的协同优化来实现这些异构MSN的全局同步控制。此外，为了减轻抖振现象，基于边界层方法构建了一个连续耦合控制律。研究表明，该控制律可以确保MSN的同步误差最终达到均匀有界。最后，通过在耦合的Chua电路系统和多线再进入制造系统上的数值模拟验证了得出的理论结果。

引言
多层网络（MN）不仅广泛应用于各种现实世界系统中，而且也是表征各种工业和工程系统的重要工具。MN由多个实体通过几个不同的层次相互连接组成，每个层次捕捉特定类型的关系和交互（见图1）。例如，在社交网络[1]、[2]中，一个层次可能代表友谊关系，而另一个层次可能表示专业联系。在制造网络[3]中，工厂内的机器可以被建模为节点，层内链接表示物料流动，层间链接对应于监督系统发出的控制命令。在交通网络[4]中，每一层的节点通常代表交通枢纽，层内边描述同一运输模式内的连接，层间边表示不同运输模式之间的转换。因此，与单层网络相比，MN可以提供更全面的系统动态表征。特别是，它们在捕捉多模态交互机制和多时间尺度耦合关系方面表现出色，从而增强了其描述能力和建模适应性。在制造系统中，生产过程可以被建模为一个由设备层和过程层组成的MN。同一层内设备之间的相互依赖性，源于物料转移和任务协调，构成了层内耦合。相比之下，设备层和过程层之间的映射关系，通过操作分配和任务执行建立，代表了层间耦合。由于设备故障、订单切换或调度策略的调整，某些连接可能会随时间变化，导致实际生产场景中的切换网络拓扑发生变化。同时，设备工作负载、处理周期和能源供应等因素表现出动态变化，从而导致层内/层间时变耦合强度。

MN同步技术[5]、[6]揭示了动态行为与多层拓扑结构之间的深刻交互。特别是在表征MN系统中顶点的同步特性方面，这项技术已在生物学[7]、[8]、机器人技术[9]、微电网[10]和通信[11]等领域得到广泛应用。随着对拓扑在集体网络行为中关键作用的深入理解，研究人员系统地探索了在不同拓扑下MN的同步特性和演变。当交互的拓扑结构是时间不变的（即静态图）时，MN的同步问题通常通过将其转换为相应误差系统的稳定性分析来研究。值得注意的是，已经在MN模型中研究了各种同步现象，包括爆炸性同步[12]、层内/层间同步[13]、[14]、外部同步[15]、[16]、簇同步[17]、有限时间同步[18]、固定时间同步[19]和预定时间同步[10]。此外，通过利用不同状态变量之间的耦合[20]和协调层间拓扑[21]，提出了全局同步状态[22]。值得注意的是，这些状态不仅出现在智能电网的互连层中，也出现在各种网络配置方案中。

在所有先前的研究中，同步状态都是在完全时间静态的多层网络或单层上的时间演化网络中研究的。然而，静态的多层拓扑不足以捕捉某些现实世界系统中个体之间的交互。例如，在社交网络[23]中，随着新用户的加入或用户关系的变化（如新友谊的建立或旧友谊的疏远），他们的交互会随时间变化，多层结构也会发生动态调整。换句话说，多层通信拓扑是时间变化的。此外，除了结构变化之外，交互的强度也很少是恒定的。节点之间的影响通常受到环境噪声、信息老化或实际场景中变化信道容量的影响而波动。这需要在切换框架内考虑层内/层间时变耦合强度。时间变化的多层结构已被证明是捕捉通信网络[24]、社交网络[25]、万维网[26]和流行病传播过程[27]中动态交互的强大建模范式。因此，分析具有切换拓扑和层内/层间时变耦合特征的MN中的同步行为已成为网络科学中最重要和最活跃的研究前沿之一。

文等人[28]证明，通过适当选择耦合强度和固定节点，可以在没有外部控制输入的情况下实现目标系统的全局固定同步。对于切换速率较慢的MN，李等人[29]研究了受马尔可夫切换影响的随机MN中稳态分布的存在性。然而，在实际应用场景中，目标系统通常需要非零控制输入（例如，为了避障）以确保所有单个节点都保持在安全区域内。随后，为单层切换网络提出了一种结合非零控制输入的节点同步方法[30]。值得注意的是，尽管最近的研究在MN中推进了各种全局同步机制，包括固定控制[31]、事件触发固定控制[32]、脉冲固定控制[33]、[34]、间歇性固定控制[35]、采样数据固定控制[36]等。然而，现有方法主要假设固定拓扑结构和没有外部控制输入，这限制了它们在动态复杂多层环境中的适用性。受这些限制的启发，本文首次研究了具有层内/层间时变耦合的MSN实现全局固定同步的问题，这些MSN具有切换拓扑并结合了非零控制输入。

受到上述分析的启发，本文研究了具有领导者的MSN的全局固定同步问题，主要贡献如下：
• 建立了一个高分辨率的MSN模型，该模型结合了层内/层间切换耦合。与现有的具有时间不变拓扑的MN模型[10]、[12]、[13]、[15]、[17]、[18]、[19]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]不同，本文首次研究了多层无向切换通信拓扑。
• 尽管在[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]中给出了一些基于固定控制的方法，用于具有时间不变拓扑的MSN，但本文首次研究了具有时间变化拓扑的MSN的基于固定控制的同步。当异构MSN的层内/层间切换满足平均停留时间的正下限约束时，可以通过联合优化层内/层间耦合强度来实现异构MSN的全局同步控制。
• 为了减轻抖振现象，基于边界层方法开发了一个连续耦合控制律。本文讨论了非零控制输入对目标系统的影响，该系统是一个非自治系统，与[10]、[15]、[17]、[32]、[35]、[36]不同。

本文的结构如下。第2节包含初步内容和模型描述。第3节提出了两种全局固定同步协议。第4节提供了数值模拟以验证理论结论的正确性。最后，第5节提出了结论和进一步研究的建议。

符号说明：?n表示n维实数列向量集合，而?n×n表示n×n实矩阵空间。非负实数集合用?+表示。1n表示每个元素为一的n维列向量。??=∑κ=1K?κ。??=∑κ=1K?κ。克罗内克积用?表示，欧几里得范数用‖?‖表示。对角矩阵用diag{?}表示。

**代数图论**
MSN被组织成K?层，第κ层（κ∈K?）有?κ个节点，其中K?={1,…,K}且??κ={1,…,?κ}。节点-层对(iκ,κ)表示MSN中第κ层的第iκ个节点，其中iκ∈??κ，κ∈K?。MSN中第κ层的所有节点-层对集合表示为νκ={(1,κ),…,(?κ,κ)}。MN中所有节点-层对集合表示为νK?={(1,1),…,(?1,1),…,(1,κ),…,(?κ,κ)}。第κ层可以被视为图?κδ(t)=(νκ,?κδ(t))，?κδ(t)?νκ×νκ是无向边的集合。

**非连续耦合律情况**
本小节中构造函数ξ(?)如下：
ξ(wi)=νi‖νi‖，如果‖νi‖≠0
0，如果‖νi‖=0，νi∈?n。
应用(11)后，可以得到??(t)=f?(w(t))?(1???In)f(w?κ+1(t))?Lδ(t)?(t)+βΞ(w(t))?(1???In)h(t)μ(w?κ+1(t))，其中Lδ(t)=[liκjκ]K×K=α?κ=1K(L?κδ(t)??〈κ〉)+γL?δ(t)，f?(w(t))=[(f〈1〉(w1(t),t))T,…,(f〈κ〉(w〈κ〉(t),t))T]T∈RN?。Ξ(w(t))=?κ=1KΞ〈κ〉(w〈κ〉(t))，Ξ〈κ〉(w〈κ〉(t))=ξ(??〈κ〉L(k)δ(t)?(t))，Ξ〈κ〉(w〈κ〉(t))=ξ(?∑jκ?κ+1liκjκδ(t)?〈κ〉?jκ〈κ〉)。ζ?=diag{ζ1?,…,ζκ?}，?=1,2,…,s，ζκ?=diag{ζ1κ?,…,ζ?κ?}?κ×?κ

**数值模拟**
**示例1**
考虑一个具有4层和9个节点的动态MSN。受控网络的动态由w?iκ〈κ〉=fiκ〈κ〉(wiκ〈κ〉(t))，t)+α∑jκ9aiκjκδ(t)?〈κ〉(wjκ〈κ〉?wiκ〈κ〉(t))+γ∑κ?=14∑jκ=19biκjκ?δ(t)U(wiκ?〈κ?〉(t)?wiκ〈κ〉(t))+uiκ〈κ〉(t)，iκ=1,2,…,9，κ=1,2,3,4描述，其中wiκ〈κ〉∈?n，wiκp〈k〉(0)（p=1,2,3）是从区间[?10,10]中随机选择的，α=0.6，β=0.2，γ=0.1，?1=?2=?3=?4=5In，U=800070004。假设MSN在?1和?2之间使用切换拓扑，相应的结构为...

**结论**
本文研究了目标系统受到非零控制输入的MSN的全局固定同步问题。与[12]、[13]、[15]、[17]、[18]、[19]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]相比，建立了一个具有层内/层间切换耦合的高分辨率MSN模型。其次，从FIM的稳定性中推导出了几种MSN的固定同步标准。层内/层间耦合强度与...

**CRediT作者贡献声明**
赵婷婷：撰写——原始草稿，方法论。
何永平：软件，方法论。
刘尚坤：方法论。
黄静丽：概念化。
黄杰：可视化，监督。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：黄杰报告称获得了国家自然科学基金（项目编号92367109）和中国教育部人文社会科学研究项目（项目编号22YJCZH061）的财务支持。刘尚坤报告获得了国家自然科学基金（项目编号62403137）的财务支持。