可变阶分数Arneodo系统的研究：分岔、混沌与动态行为 Mohamed Elbadri Naseam Al-kuleab Rania Saadeh Amel H. Abdalla Mohammad S. Jazmati Mohamed A. Abdoon Mohamed Hafez

《Fractal and Fractional》：Study of the Variable-Order Fractional Arneodo System: Bifurcation, Chaos, and Dynamic Behavior Mohamed Elbadri, Naseam Al-kuleab, Rania Saadeh, Amel H. Abdalla, Mohammad S. Jazmati, Mohamed A. Abdoon and Mohamed Hafez

　　摘要：在本研究中，我们分析了使用变阶Liouville–Caputo分数算子的变阶分数（V-OF）Arneodo系统的解的特性和动态行为。V-OF算子用于描述系统中的时变记忆效应，这使得系统动力学比整数阶系统更加复杂和多样。通过数值模拟观察了阶函数对系统动态行为的影响。此外，还利用相图、时间序列图和三维图表来分析系统的动态行为以及系统中存在的不同类型的振荡。进一步研究了变阶系统的分岔、混沌行为和稳定性，发现与整数阶情况相比，该系统的动力学更为复杂。李雅普诺夫指数表明，所研究的系统对初始条件非常敏感，记忆效应可以根据函数的阶数控制混沌振荡。

1. 引言
近年来，分数微积分的一个重要贡献是将其作为强大的工具，将经典微积分或广义经典微积分扩展到非整数阶。分数微积分使我们能够准确地对高度非线性的动态系统进行建模[1,2,3]。分数阶模型自然适用于那些记忆效应、遗传性或长程相互作用显著的系统，这些在生物、物理和工程系统中很常见。这类过程创新在[4,5,6,7]中有讨论。与整数阶模型不同，分数阶模型本质上考虑了系统的历史值，从而更精确地模拟了复杂系统的实际出现。多项研究证明了分数阶模型在精确模拟系统复杂行为（如混沌振荡）方面的潜力，相比整数阶模型[8,9,10,11,12]。这些方面对于当前的技术/工业场景具有重要意义，因为在这些场景中记忆效应具有重要的价值。
已经认识到，固定阶分数阶系统存在固有的局限性，即系统的记忆属性会随时间变化。在这种情况下，固定阶的分数导数无法精确地模拟系统随时间变化的记忆效应。为此，引入了变阶分数导数，其中微分的阶数、空间坐标或其他系统依赖参数可以是时间依赖的，从而能够更精确地模拟系统的非平稳和异质性质，从而增强了分数微积分在更精确模拟系统复杂性质方面的潜力[13,14,15,16,17]。
最近，关于V-OF混沌系统的研究有所增加，因为它们在表征时变记忆效应和混沌行为方面具有很强的能力。V-OF混沌系统在模拟具有时变动态特性的非线性过程时更为现实。由于解析求解V-OF混沌系统存在困难，因此在其研究中使用了数值分析。此外，由于V-OF模型在实际问题中的应用取得了成功，其中模型的表征非常重要[18,19,20]，因此V-OF模型的应用也在增加。
V-OF模型的应用不仅限于不同的科学领域。V-OF导数已成功应用于非线性流行病模型，用于表征吸烟习惯和疥癣病的传播。在控制理论和工程领域，V-OF模型在表征系统稳定性和系统控制方面也非常重要。解决V-OF模型的高级技术也清楚地表明了V-OF模型的应用[21,22,23,24,25]。
这种方法的一般框架如下：首先进行VFDEs动态的理论分析，然后进行非线性和稳定性分析，最后开发计算技术以高效地数值求解方程。
混沌理论中最常用的分析方法包括分岔映射、李雅普诺夫谱评估和时间演化跟踪。这些方法用于研究复杂的混沌现象、隐藏吸引子和所研究系统的变阶敏感性[26,27,28]。这种方法可以让我们更深入地了解复杂系统[29,30]。
本工作的原创性在于构建和分析V-OF Arneodo模型，其中使用了不同阶的Liouville–Caputo分数算子。模型中的记忆结构是时变的，超出了整数阶和固定阶分数系统的范围。具体来说，变阶模型显示了由变阶效应显著影响的周期性、准周期性和混沌动态之间的记忆诱导分岔。
表1基于关键分析方面对现有研究进行了比较。大多数先前的研究集中在特定方面，如混沌或分岔分析，而忽略了其他方面，包括李雅普诺夫方法、时间序列分析和解的构建。只有少数研究整合了多种技术，且没有一项研究提供全面的框架。相比之下，本研究考虑了所有因素，如V-OF、李雅普诺夫分析、混沌、分岔、时间序列分析和解。这表明了一种更完整和综合的方法。×表示“否”，°表示“是”。

2. 变阶分数的数学表述
以下部分基于Liouville–Caputo定义介绍了VFDs的数学表述。
2.1 定义
定义1 ([38])。设是一个足够光滑的函数，α是一个常数分数阶，使得。则α阶的Liouville–Caputo（LC）分数导数定义为
(1)
定义2 ([39])。现在假设微分阶随时间变化，并由一个满足条件的函数描述。则变阶Liouville–Caputo（LCV）分数导数定义为
(2)
在这种情况下，记忆核通过显式依赖于时间，使得算子能够模拟其遗传特性在系统进展过程中演变的过程。
2.2 变阶分数Arneodo系统
Arneodo系统[40]是一个标准的非线性混沌系统，用于研究振荡和分岔。由于其简单性和众所周知的混沌特性，它是基于使用变阶来扩展所提出方法的有效方式。通过引入变阶，非线性混沌系统可以具有记忆和适应性，如物理和工程系统中所见。这种方法在模拟非平稳遗传过程时提供了灵活性和准确性。所提出的方法可以扩展到其他非线性混沌系统。
分数Arneodo系统表示为
(3)
根据[34]，系统的控制参数定义为
(4)
其中表示系统状态，表示分数阶导数，受初始条件[41]的约束：
Arneodo系统非常适合V-OF框架，因为其非线性立方成分使得系统的动态对记忆极为敏感。允许分数阶随时间变化，从而能够模拟现实世界系统中如机械振荡器、电路和能量转换过程的时变遗传特性。
V-OF Arneodo系统表示为
(5)
其中和表示Liouville–Caputo V-OF导数。

3. 变阶分数Arneodo系统的稳定性分析
平衡点和线性化
系统(5)的雅可比矩阵表示为
(6)
平衡点为
(7)
对于，我们得到
(8)
相应的特征值为：
在：(9)
在：(10)
常数分数阶情况
对于具有恒定阶的分数阶系统，局部渐近稳定性由Matignon条件确定
(11)
因此，对于所有，是不稳定的，而如果在，则局部渐近稳定
(12)
变阶情况：稳定性解释
对于变阶系统，直接使用Matignon条件是不严谨的，因为它是为恒定阶系统推导出来的。该系统可以表示为具有时变核的非线性Volterra积分方程，表明稳定性取决于特征值和由引起的记忆结构。
为了继续研究，采用了准静态（冻结时间）近似。在变化缓慢的假设下，
(13)
系统被近似为阶的恒定阶系统。在这个意义上，条件
(14)
被用作瞬时稳定性的启发式指标。
因此，目前的分析为变阶系统提供了一个一致且广泛采用的近似框架，而不是对恒定阶稳定性的严格扩展。
基于这种解释，对于，在满足缓慢变化假设的情况下保持不稳定，而对于则在区间内稳定。持续稳定性的实际指标是
(16)
由于分数算子的非局部性质，稳定性是路径依赖的，当穿过临界值时可能会表现出延迟转变。

4. 具有变阶分数的Arneodo系统的计算方案
用于近似变阶分数Arneodo系统的数值方案，遵循[42]。
由变阶Liouville–Caputo导数控制的一般系统表示为
(18)
其中表示选定的V-OF导数算子，表示近似。
方程(18)可以等价表示为
(19)
在离散时间评估得到
(20)
为了近似积分函数，我们使用二阶拉格朗日插值：
(21)
代入(20)得到完全离散的形式：
(22)
为了方便定义辅助系数：
(23)
(24)
其中。
然后数值更新公式变为：
(25)
对于Arneodo系统(5)，定义
与每个状态变量相关的数值近似为
(26)
关于变阶效应的备注：
已经提出了变阶的不同函数形式，用于衡量时间记忆属性变化对系统动态的不同类型的影响，并验证数值方案。变阶分数模型表征了记忆效应的强度。其值可以根据物理/环境条件的变化而变化。有三种不同的情况：
情况1：—在这种情况下，相对于t的变化是周期性的。周期性变化模拟具有周期性特性的系统。
情况2：—在这种情况下，根据指数函数单调变化。指数变化模拟不可逆过程，如材料老化或松弛。
情况3：—在这种情况下，根据谐波函数变化。谐波变化模拟振荡环境。

5. 数值解
表2、表3和表4中呈现的数值结果是根据系统(5)计算得出的，其中表示系统状态，表示分数阶导数，初始值分别为，，计算时间和时间步长为。表2显示了情况1的数值结果。表3显示了情况2的数值结果。表4显示了情况3的数值结果。表2表明，随着步长h的增加，系统状态的变化是平滑的。类似地，表3表明，对于情况2，系统状态以比情况1更快的速率演变。最后，表4表明，对于情况3，时变的分数阶导致动态效应增强，使得u和v迅速减少，w也表现出强烈的负向变化。变阶分数Arneodo系统的动力学行为通过吸引子和李雅普诺夫指数来研究，以衡量V-OF Arneodo系统（5）对初始条件的敏感性。时间序列分析显示存在无规律的混沌行为，而分岔图则表明参数的微小变化会导致质的变化。所选参数为。初始条件为，和。计算时间为，时间步长为。图表使用MATLAB软件（R2025b）生成。6.1. 混沌行为为了说明所提出的V-OF系统的复杂动态行为，在下进行了数值模拟。在、和平面中呈现了三种不同情况下的二维相位图。图1展示了Arneodo系统的相位空间投影，展示了奇异吸引子几何结构的复杂性。在、和平面上的不同轨迹表明系统对其初始条件具有高度敏感性。图1. Arneodo系统的原始动态。图2显示了分数阶Arneodo系统的行为，该系统本质上是非线性的和混沌的。有界吸引子的存在表明对初始条件的敏感性和不可预测的长期行为。图2. 分数阶Arneodo系统的混沌相位图。图3展示了案例1的相位图，在该案例中，导数的阶数根据正弦函数周期性变化。可以观察到系统的轨迹具有密集的有界双螺旋混沌吸引子，证明导数阶数的连续周期性变化并不影响混沌，而是维持了混沌吸引子的高度复杂拓扑结构。图3. 案例1：选定状态变量的混沌相位图。进一步研究系统的适应性在图4和图5中展示。对于案例2，如图4所示，应用了一个类似S形的分数阶函数。得到的蓝色相位图保持了基本的混沌拓扑结构，表明即使系统的记忆效应在稳定到恒定值之前经历了快速的初始转变，混沌状态仍然是稳健的。图4. 案例2：选定状态变量的混沌相位图。图5. 案例3：选定状态变量的混沌相位图。最后，如图5所示的案例3，关注系统在暴露于不同周期函数时的响应。如图中不同品红色曲线所示，系统的混沌特性得以保持，但相位空间中的体积增加了。更准确地说，w轴上曲线的幅度增加到了，这比之前图中观察到的空间范围要大得多。上述讨论中呈现的所有不同相位图都证实了变阶导数的功能表示在定义相位空间中不同曲线的尺度和幅度方面的重要性，尽管系统的混沌特性在不同的功能更新中仍然得以保持。6.2. 时间序列动力学为了进一步阐明所提出的变阶系统的动态行为，研究了状态变量u、v和w在三种不同功能更新下的演化行为。相应的时间序列分别显示在图6、图7和图8中。每个图显示了500秒模拟周期内的相应时间序列。图6. 案例1的时间序列。图7. 案例2的时间序列。图8. 案例3的时间序列。图6显示了案例1的相应时间序列，其中系统的阶数由案例1给出。每个状态变量的演化行为显示出连续振荡、高度不规则和非周期性的行为。此外，振荡在整个模拟期间都是严格有界的；这是混沌系统的关键特性。非周期性振荡表明，尽管导数的阶数有周期性波动，系统并没有收敛到平衡点或极限环。在图7中，展示了案例2的时间演化，其中应用了类似S形的分数阶函数，时间演化同样显示了状态变量u、v和w的持续混沌振荡。6.3. 动态系统的李雅普诺夫-分岔分析在这部分，我们研究了李雅普诺夫指数和分岔。为了数值验证变阶系统的混沌动力学，计算了李雅普诺夫指数的谱（LEs）。图9显示了案例1（左）、案例2（中）和案例3（右）的三个李雅普诺夫指数（、和）的时间序列。图9. 案例1（左）、案例2（中）和案例3（右）的李雅普诺夫指数的时间演化。在所有三种不同的功能形式中，系统保持了强烈且稳定的动态模式。经过一个短暂的过渡阶段后，主导的李雅普诺夫指数（）明显趋于一个正常数，从而表明对初始条件的敏感性以及混沌的出现。同时，趋于零，趋于一个强烈的负值。此外，所有三个指数的和（）在所有三种情况下都明确为负。这清楚地表明，尽管分数导数随时间变化，系统仍然是耗散的，其丰富的混沌动力学严格限制在相位空间的有界区域内。图10中的V-OF Arneodo系统（5）的分岔图本质上映射了系统相位空间的拓扑变化。它们指出了控制参数与V-OF导数之间的复杂关系，这些导数控制着系统的记忆。图10. 分岔图与参数a和c的关系，显示了向混沌和周期窗口的转变。状态u与参数a的关系：系统从稳定的周期极限环演变为密集的混沌吸引子，可能通过周期加倍的路径。图中的尖锐垂直间隙代表了通往稳定周期轨道的周期窗口，然后返回到混沌行为。状态w与参数c的关系：这一区域表现出高参数敏感性。在初始混沌状态之后，存在一个宽广的周期窗口。随着c的继续增加，不同的混沌行为带开始合并，这意味着不同的混沌子吸引子正在合并成一个混沌状态。该系统变化的阶数确保了其记忆效应是一个变化而非恒定的特征。混沌区域的密集性证实了轨迹确实是有界的，并且对初始条件高度敏感。在混沌区域中识别精确的稳定周期窗口对于工程目的至关重要。图11：参数a和c的LE图揭示了系统的动态演化。虽然参数a显示出持续的混沌状态（），但参数c在接近零时显示出向周期行为的明显转变。图11. LE谱与参数a和c的关系，显示了从混沌到周期的转变。图12中的分岔图基于参数b和d的变化表示了系统动态行为的演化。在参数b的情况下，有几个周期加倍导致混沌，也有一些时期通过稳定循环的存在而稳定，因此显示出典型的混沌路径。图12. 分岔图与参数b和d的关系，显示了向混沌和周期窗口的转变。在参数d的情况下，行为看起来是平滑的，轨迹扩散，因此显示了从稳定性或准周期性到混沌的行为变化。图13：b和d的LE谱显示了系统的结构稳定性。参数b支持一个稳定的混沌吸引子，而d图中的波动表明混沌区域内存在狭窄的周期窗口。图13. LE谱与参数b和d的关系，显示了从混沌到周期的转变。7. 讨论本研究得出的发现提供了对系统（5）变阶公式动态效应的更深入理解。与由固定阶数微分方程描述的传统模型不同，引入具有记忆依赖性的分数微分算子意味着显著的历史依赖性，这影响了系统动力学。模拟表明，变阶对动态行为的影响不仅意味着复杂性的增加，还涉及动力学的结构变化。稳定性分析表明，阶数参数在控制平衡动态中起着关键作用。例如，非恒定和时变阶数会影响稳定域，并可能导致从稳定平衡到混沌吸引子的分岔。这一发现进一步通过估计的李雅普诺夫指数得到证实，这些指数表明阶数参数的变化导致混沌行为的变化。此外，数值模拟（见表2、表3和表4）表明，阶数的微小变化会导致轨迹的定量方面的显著变化。这意味着分岔图显示出敏感性，因为从周期动态到混沌动态的转变取决于阶数的值。因此，分岔图证明了变阶模型引入了在常数阶和整数阶模型中都不存在的另一个参数。这项研究的意义在于，所提出的方法在建模非线性现象时提供了更多的控制选项。这可以归因于阶数函数可以减弱或促进系统中的混沌。主要发现：变阶公式引入了一个可控的记忆效应，与常数阶模型相比，显著改变了稳定性、分岔结构和混沌行为。比较性见解：结果证实，变阶系统表现出比分数常数阶情况更丰富的动态，这通过相位图、李雅普诺夫指数和分岔分析得到了证明。文献背景：如表1所示，大多数现有研究仅关注孤立方面，如混沌或分岔。相比之下，这项工作整合了多种分析工具，包括V-OF建模、李雅普诺夫分析、分岔、时间序列分析和解的行为，提供了一个更全面的框架。局限性：分析主要是数值的，结果取决于所选的阶数函数和离散化参数。对收敛性的严格理论分析和更广泛的阶数函数类别的探索仍然是未解决的问题。未来方向：未来的工作将集中在混沌的定量表征（例如，熵和分形维数）、通往混沌的详细路径以及变阶系统的分析稳定性条件的开发上。总体而言，当前的研究清楚地表明，变阶分数微积分模型不仅是以前模型的扩展，而且还提供了对复杂系统控制的更深入理解。8. 结论本文探讨了基于Liouville–Caputo分数导数的V-OF Arneodo系统的动力学。研究表明，在系统中实施变阶算子的概念可以通过考虑记忆对其行为的影响来改善其动态特性。已经确定，各种阶数函数对轨迹的行为、稳定性以及向不同动态状态（如周期性、准周期性和混沌状态）的转变有着重要影响。分岔分析和李雅普诺夫指数的计算揭示了系统的复杂行为以及对初始状态的高敏感性。这项工作的一个关键贡献是开发了一个统一的V-OF框架，该框架将李雅普诺夫分析、分岔行为、混沌特征、时间序列分析和解的构建整合在一个模型中。这种综合方法提供了对非线性动力学的更深入理解，与分别处理这些方面的传统研究不同。此外，将V-OF公式应用于Arneodo系统——一个以前未探索的领域——强调了其在建模、分析和控制复杂系统方面的新颖性和实际相关性。未来的工作将集中在解决额外的分数模型上，例如在[43,44,45]中提出的模型，并将结果与其他数值方法[46,47,48]进行比较。