关于欧几里得三维空间中分数阶Smarandache曲线的特征研究 Aykut Toplama, O?uzhan Bahad?r 和 Md Aquib

《Fractal and Fractional》：On the Characterization of Smarandache Curves of Fractional Order in Euclidean 3-Space Aykut Toplama, O?uzhan Bahad?r and Md Aquib

　　摘要：在本研究中，我们探讨了涉及分数阶拉普拉斯算子的随机Ginzburg–Landau方程的弱解的存在性和唯一性。主要关注点在于建立一个适当的数学框架来处理非局部分数阶拉普拉斯算子与随机扰动的共存问题。通过使用Galerkin方法，我们证明了对于任何?0-可测量的??2?(??)-值随机初始值（具有有限的二阶矩），初始边界值问题都存在唯一的全局弱解。我们还利用分数阶拉普拉斯算子和分数阶Sobolev空间的性质来证明存在性和唯一性定理。这些结果将Ginzburg–Landau方程的分析扩展到了包含随机项和分数阶拉普拉斯算子的模型中。

1. 引言
Ginzburg–Landau方程由于其在超导性、流体流动和光学孤子传输等领域的广泛应用而成为研究焦点（参见[1,2]）。引入随机扰动更符合非线性系统的分析需求，这些系统反映了现实世界中的不确定性，例如反应-扩散方程、传染病模型和气候系统模型。它也为解决实际问题提供了关键支持。最近，Qin、Jiang和Chen[3]提出了一种结合时间方向跳跃蛙法与空间有限差分法的数值方案来求解这种空间分数阶Ginzburg–Landau–Schr?dinger方程：他们证明了该方案在保持离散质量和能量守恒的同时是收敛的。Pino、Juneman和Musso[4]研究了平面内标准一阶涡旋解附近的线性化Ginzburg–Landau方程，并利用傅里叶模式的显式表达式得到了适用于没有正交性条件的情况的线性化算子逆的精确估计。Zhang、Lu和Liu[5]研究了时空分数阶Ginzburg–Landau系统的稳定性和最优控制。在本研究中，我们旨在将这些结果扩展到包含随机扰动的分数阶Ginzburg–Landau方程。

设Ω是一个完备的概率空间，Φ是Ω中的一个正规过滤。U是一个可分的希尔伯特空间，Π是一个对称的非负算子。用X表示定义在U上的Q-Wiener过程。设D是一个光滑的有界域。我们考虑以下随机分数阶Ginzburg–Landau方程：
其中f是一个给定的确定性函数，ξ是一个值在L2(D)上的L2(D)-可测随机变量，Y是一个值在L2(D)上的适应过程。对于每个t，h是一个值在L2(D)上的过程。由于希尔伯特空间值Wiener过程的随机It?积分是良定义的（参见[6]），上述初始值问题可以适当地表述为以下It?随机微分方程：
(1)

相关的非线性模型也是Ginzburg–Landau方程研究领域的关注焦点。一些学者已经证明了在适当的函数空间中初始边界值问题的解的存在性和唯一性[7,8]。Juárez-Campos、Kaikina和Ruiz-Paredes[9]证明了具有Neumann白噪声边界条件的随机非线性Ginzburg–Landau方程的解的存在性和唯一性，并分析了其在原点附近的规则性，特别是当边界数据不规则时。对于具有边界噪声和点噪声的半线性方程，学者们使用不动点方法证明了解的存在性和唯一性（参见[10,11]）。同时，对于由乘性噪声驱动的实值随机Ginzburg–Landau方程，学者们得到了精确的三角型和双曲型随机解（参见[12,13]）。对于具有多重噪声项的一维复Ginzburg–Landau方程，他们不仅证明了解的存在性和唯一性，还提出了一种新的数值近似方法并进行了误差估计（参见[14,15]）。关于具有分数阶微分算子的偏微分方程的解的存在性，参见[16,17]。受到上述研究的启发，本研究通过Galerkin方法证明了问题（1）的弱解的存在性和唯一性。

本文的结构如下：第2节介绍了一些符号，第3节在初始值条件下证明了问题（1）的弱解的全局存在性。后续章节详细阐述了本文的研究内容。

2. 一些符号
研究问题（1）的主要难点在于分数阶拉普拉斯算子和随机项的共存。本节致力于为问题（1）建立适当的函数空间。
分数阶拉普拉斯算子是一类由奇异积分定义的非局部微分算子。设z是Schwartz空间中的函数。对于z，其中P.V.表示柯西主值，C是一个依赖于n和z的常数。对于仅在I上定义的函数f，我们通过将其扩展到整个Ω来定义f，即f?∞=f。这一约定在整篇文章中都使用。
用?表示定义在U上的Q-Wiener过程。设D是一个光滑的有界域。我们考虑以下随机分数阶Ginzburg–Landau方程：
其中f是一个给定的确定性函数，ξ是一个值在L2(D)上的L2(D)-可测随机变量，Y是一个值在L2(D)上的适应过程。对于每个t，h是一个值在L2(D)上的过程。由于希尔伯特空间值Wiener过程的随机It?积分是良定义的（参见[6]），上述初始值问题可以适当地表述为以下It?随机微分方程：
(1)

相关的非线性模型也是Ginzburg–Landau方程研究领域的关注焦点。一些学者已经证明了在适当函数空间中初始边界值问题的解的存在性和唯一性[7,8]。Juárez-Campos、Kaikina和Ruiz-Paredes[9]证明了具有Neumann白噪声边界条件的随机非线性Ginzburg–Landau方程的解的存在性和唯一性，并分析了其在原点附近的规则性，特别是当边界数据不规则时。对于具有边界噪声和点噪声的半线性方程，学者们使用不动点方法证明了解的存在性和唯一性（参见[10,11]）。同时，对于由乘性噪声驱动的实值随机Ginzburg–Landau方程，学者们得到了精确的三角型和双曲型随机解（参见[12,13]）。对于具有多重噪声项的一维复Ginzburg–Landau方程，他们不仅证明了解的存在性和唯一性，还提出了一种新的数值近似方法并进行了误差估计（参见[14,15]）。关于具有分数阶微分算子的偏微分方程的解的存在性，参见[16,17]。受到上述研究的启发，本研究通过Galerkin方法证明了问题（1）的弱解的存在性和唯一性。

3. 弱解的存在性和唯一性
在本节中，我们使用Galerkin方法证明了初始边界值问题（1）的弱解的存在性和唯一性。我们做出以下假设：
(A1) 存在一个常数C，使得∫?^T|ξ(t)|2dτ ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。
(A2) 对于每个t，ξ(t)是L2(D)-适应的并且有界；即存在一个常数K，使得∫?^T|ξ(t)2dτ ≤ K∫?^T|f(t)2dτ。
由于(A3)和引理3，我们有∫?^T|ξ(t)|2dτ ≤ ∫?^T|f(t)2dτ。因此，随机积分∫?^T[ξ(t)ξ(s)ds]在L2(D)中是良定义的。
定义1. 如果随机过程X满足：
(1) ?t ∈ [0, T], Σ?[ξ(t)ξ(s)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ，则称X为初始边界值问题（1）的弱解。

证明。我们将证明分为四个步骤。
步骤1. 先验估计。取方程(1)与z的内积，然后通过分部积分，根据(3)，我们得到∫?^T[ξ(t)ξ(s)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。由于W是一个值在U上的Q-Wiener过程，并且根据(A3)，我们知道W是一个平方可积的鞅。特别地，它的期望值为零。根据(A2)和Young不等式，我们有∫?^T[ξ(t)2dτ] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。然后，使用(A1)和(9)，我们得到∫?^T[ξ(t)ξ(s)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。因此，步骤2. Galerkin近似。如(2)所示，{ξ(t)}是Gelfand三元组的一个基，在U中正交并且在L2(D)中正交。设φ是U的一个完备正交基。我们寻找形式为X ≈ Σ?[φ(t)ψ(s)]的近似解，其中ψ(s)是由有限维随机系统(12)定义的系数。由于(12)是有限维的，并且映射φ在L2(D)上是连续且单调的，而扩散系数是平方可积的，上述系统在爆炸时间之前有一个唯一的局部强解。接下来，我们为近似解建立一致的全局先验估计。

步骤3. 通过Galerkin公式证明。如(2)所示，{φ(t)}是Gelfand三元组的一个基，在U中正交并且在L2(D)中正交。设φ?是U的一个完备正交基。我们寻找形式为X ≈ Σ?[φ?(t)ψ(s)]的近似解。系数ψ(s)由有限维随机系统(12)定义。由于(12)是有限维的，并且映射φ在L2(D)上是连续且单调的，而扩散系数是平方可积的，上述系统在爆炸时间之前有一个唯一的局部强解。接下来，我们为近似解建立一致的全局先验估计。如步骤1所述，通过应用It?公式到(12)，我们得到∫?^T[ξ(t)ψ(s)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。由于φ在L2(D)中是正交投影，因此根据引理1、(A1)和Young不等式，我们有∫?^T[ξ(t)ψ(s)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。因此，通过Gronwall不等式，存在一个常数C，使得∫?^T[ξ(t)ψ(s)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。将(11)代入(10)，我们进一步得到∫?^T[ξ(t)ψ(s)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。因此，步骤4. 通过Galerkin公式证明z是问题(1)的弱解。为了证明z是问题(1)的弱解，只需证明z满足定义1的要求。对于每个固定的t和s，选择任意可测随机变量φ作为测试函数，将(12)乘以φ，对时间进行积分分部积分并取期望值，我们得到∫?^T[ξ(t)ψ(s)φ(t)ds] ≤ C∫?^T|f(t)2dτ。注意到对于任何t，φ是一个确定性函数。接下来，我们在方程(21)中令φ(t) = φ(t-s)，并计算相应的极限。从项开始，根据(19)，我们得到∫?^T[ξ(t-s)φ(s-t)ds] ≤ C∫?^T|f(t-s)2dτ。因此，根据(H?lder不等式)，我们得到∫?^T[ξ(t-s)φ(s-t)ds] ≤ C∫?^T|f(t-s)2dτ。由此，根据(17)和支配收敛定理，我们得到∫?^T[ξ(t-s)φ(s-t)ds] ≤ C∫?^T|f(t-s)2dτ。接下来，我们转向。根据(4)和(16)，由于，我们得到∫?^T[ξ(t-s)φ(s-t)ds] ≤ C∫?^T|f(t-s)2dτ。因此，项被限制在某个范围内。最后，我们考虑。根据定义1，我们得出z是问题(1)的弱解。