微振动对精密光学系统成像性能的光机电一体化分析 刘瑞静、 梁振、 张玉英、 李青雅

《Micromachines》：Opto-Mechanical Integrated Analysis of Micro-Vibration Effects on the Imaging Performance of a Precision Optical System Ruijing Liu, Zhen Liang, Yuying Zhang and Qingya Li

　　摘要：为了探讨反应轮扰动对空间光学望远镜图像质量的影响，建立了一个精密光学系统的综合动态模型，并采用光机械集成分析方法来计算在反应轮干扰下光学望远镜的视线（LOS）误差，以及基于整个卫星层次结构确定对LOS误差贡献最大的关键模式。分析了由光学反射镜在反应轮扰动下产生的刚体位移和镜面变形，以阐明反应轮扰动对光学成像系统成像质量的影响。最后，进行了一次卫星微振动实验，模拟结果与实验结果在关键模式下的光学望远镜目标空间轴LOS误差之间的相对误差分别为9.34%和6.52%，从而验证了模拟分析的准确性。分析结果为在轨光学卫星的结构布局和振动隔离设计提供了直接的工程指导。本研究的核心创新主要体现在三个方面：首先，建立了一个全链路光机械集成分析框架，该框架综合考虑了镜面刚体位移和表面变形对成像性能的耦合效应，解决了现有研究中单因素分析的局限性；其次，通过卫星微振动实验验证了该框架的准确性，模拟结果与实验结果之间的相对误差均低于10%，确保了所提出方法的工程可靠性；第三，将微振动分析的范围从宏观空间光学系统扩展到微/纳米级精密光学器件。除了应用于空间望远镜外，该框架还可以直接推广到对微振动敏感的微光学系统，包括增强现实（AR）近眼显示器、微光刻物镜和基于MOEMS的微器件。所提出的框架具有通用性，可以直接应用于基于MOEMS的器件、近眼显示模块和光子晶体光机械系统等微光学系统，为微系统工程中的抗振动设计提供了一种标准化的分析方法。

1. 引言
高分辨率光学系统是包括遥感、天文观测和精密制造在内的多种科学和工业领域的核心设备。这些领域面临的一个普遍挑战是，这类高精度系统对微振动的敏感性日益增加，微振动引起的抖动会显著降低成像性能。无论是空间望远镜还是地面微光刻设备，理解和减轻微振动的影响对于实现最佳的光学系统性能至关重要。尽管微振动引起的位移幅度很小，但它们可能会对系统内的光学组件产生严重的不利影响。无论采用何种成像方式，微振动都可能引发刚体位移和光学组件的变形，从而导致视线（LOS）误差，最终降低光学成像系统的调制传递函数（MTF）[1,2]。反应轮是轨道卫星中微振动的主要来源之一，因为它们的高速旋转用于姿态控制，会产生宽带干扰，这些干扰会直接耦合到光学系统中并降低成像性能。

与传统的分析方法不同，光机械集成分析全面考虑了光学和机械场之间的耦合，能够统一协调处理多学科数据，同时克服了传统方法的固有局限性。它是指导光机械结构设计和评估复杂光学系统性能的关键工具——从大型望远镜到微光学器件[3]。通常通过这种集成方法分析镜面刚体位移和表面变形对MTF的影响[4]。计算机技术的进步推动了光机械集成分析技术的显著发展。许多学者利用MATLAB R2018b（MathWorks，美国马萨诸塞州纳蒂克）开发了用于进行复杂系统集成分析的光机械接口程序。例如，Moon等人[5]研究了在静态和动态载荷下空间望远镜的结构变形，使用LOS误差敏感性方程评估了这种变形对光学系统的影响。在此基础上，中国科学院光学电子研究所[6]和中国科学院长春光学精密机械物理研究所[7]开发了一个用于数据交互的光机械接口程序，该程序采用Zernike多项式拟合算法来评估光学系统性能。此外，吉林大学的Lü Zhuang[8]利用光机械集成分析研究了空间光学望远镜中的微振动；然而，这项工作仅考虑了刚体位移对LOS误差的影响，忽略了表面变形的作用，其研究结果为系统振动隔离设计提供了关键评估标准。

目前，分析微振动引起的光学系统成像质量退化已成为空间光学和微纳光学领域的研究重点[9,10]。现有研究主要集中在单一尺度上：在宏观空间光学系统中，研究主要集中在刚体位移或表面变形的单因素分析[5,8]，缺乏对其耦合效应的定量研究；在微纳级光学器件（如MOEMS、AR近眼显示模块）中，微振动分析通常依赖于简化模型[1]，而考虑机械干扰和光学性能的全链路光机械集成分析框架尚未建立。同时，现有研究中的验证方法大多基于模拟[6,7,9]，很少有研究结合在轨物理实验，导致测量数据不足，无法支持这些方法的工程可靠性。此外，宏观空间光学系统和微纳光学器件之间的微振动分析方法的跨尺度适应性研究仍是该领域的一个空白——这一空白对于推进微纳光学制造中的抗振动设计具有重要意义。

这些研究充分表明，作为预测复杂光学系统在设计阶段性能的强大工具，光机械集成建模的重要性日益增加。这种方法论趋势对于先进微光学器件和系统的发展同样至关重要，在微尺度上，机械干扰与光学性能之间的耦合变得越来越明显[1,10]。光机械分析也适用于微尺度光学系统。Kim和Youk系统地量化了微振动如何扭曲高分辨率电光卫星载荷中的边缘扩散函数并改变MTF值，建立了适用于不同尺度的理论基础[11]。Zhang等人设计了一个基于硅的光子晶体腔光机械系统，其光机械耦合率达到GHz/nm级别，展示了这类微光学系统对机械运动的极端敏感性[12]。Wang等人分析了反应轮微振动对星象传感器成像质量的影响，并开发了一个专门的微振动模拟器，证实了空间微振动会严重降低光学性能[13]。Lin等人进一步研究了微振动对机载相机光学性能的影响，表明微振动会引起图像抖动并降低MTF[14]。总的来说，这些研究强调了需要系统性的光机械集成框架来预测和减轻振动引起的性能退化——从宏观望远镜到微光学器件。

在本文中，我们提出了一个光机械集成分析框架，以研究微振动对光学系统性能的影响，以反应轮驱动的空间望远镜作为案例研究。该框架的核心优势在于它同时考虑了镜面刚体位移和表面变形，实现了从机械激励到光学响应的动态全链路模拟。尽管在宏观系统上得到了验证，但该框架具有通用性，可以直接扩展到各种精密光学系统的振动敏感性分析和优化，包括近眼显示设备、微光刻物镜和其他微光学组件。通过明确阐明微振动扰动对MTF的定量耦合效应，本文解决了现有光机械集成分析研究中忽视镜面刚体位移和表面变形共同影响的空白。与以往关注宏观系统的文献不同，所提出的框架具有跨尺度适用性和实验验证性。它不仅提高了空间光学望远镜的微振动分析准确性，还为微/纳米级精密光学器件的抗振动设计提供了通用的技术路径，为航空航天和微制造领域高精度光学系统设计阶段的性能预测和优化奠定了方法论基础。

2. 理论
2.1. 镜面运动对图像位移的影响
镜面在各个自由度上的振动对光学系统内的图像位移有不同的影响。以球面镜为例，设球面镜的半径为r，平行光束的入射高度为h[6]。
如图1、图2和图3（示意图未按比例绘制）所示。在图1中，当球面镜沿x方向平移（x偏心）时，球面镜的焦点（F）位于曲率中心（O）和球面镜的顶点（A）连接的直线上，且是这两点的中点（即f = R/2，其中f是焦距，R是曲率半径OA），符合球面镜的几何成像原理。图1显示了球面镜在X方向的偏心，其中Δx是球面镜在X方向的平移量，Δy是由球面镜沿X方向平移引起的图像位移量。图2显示了球面镜在Z方向的偏心。图3显示了球面镜绕X轴倾斜。对于一般的空间光学望远镜，光学系统在OX和OY方向上具有对称性。因此，沿Y方向平移引起的图像位移应该与沿X方向平移引起的图像位移相等。分析表明，由于微振动导致的光学镜在X和Y轴上的偏心主要导致图像平面上的相应图像点位移。这一结论基于球面镜的几何光学原理以及下面推导出的定量偏心到图像位移关系（即Δx/Δy与δx/δy之间的线性相关性）。需要注意的是，一般来说，镜面偏心还可能引起更高阶的像差，如像差。然而，本研究关注以下特定条件：（1）傍轴光线（入射高度h满足傍轴近似）；（2）小幅度微振动（镜面的最大刚体位移约为10^-3毫米，见第3.2节）；（3）近乎理想的球面镜表面（RMS形貌误差< 10^-8毫米，见第3.2节）。在这些条件下，由刚体偏心引起的图像平移占主导地位，而偏心引起的像差对图像质量的贡献远小于平移效应，因此不是影响系统MTF的关键因素。因此，在本文中提出的光机械集成分析中，关注由偏心引起的图像位移而忽略像差等高阶像差是一种合理且工程上可接受的简化。

当球面反射镜沿光轴（Z方向）平移时，其球心和焦点都会发生相应的位移。如图2所示，这会导致图像位移，表示为Δy = θ * Δx，其中Δx是球面镜沿Z方向的平移量，θ是入射角。球面镜沿Z方向平移引起的图像位移Δy与位移Δx线性相关。Δy的值受到镜面曲率半径R和入射高度h的影响。沿Z轴的偏移会导致焦点模糊，从而增加图像点处扩散斑点的大小。当球面镜绕X轴旋转（X轴倾斜）角度为α时，如图3所示，反射光的角度为2α。当由微振动引起的反射器旋转角度较小时，近轴光的入射点B1和B2可以近似为同一点。需要注意的是，上述关系是在傍轴近似下推导出来的，即入射光的高度h远小于球面镜的曲率半径R（h ? R），且倾斜角度α很小（α ? 1 rad）。在这种条件下，反射点位置的变化可以忽略不计，从而得到一个简化的线性关系。对于一般情况（h > 0），需要包含h的修正项。然而，鉴于本研究中微振动的幅度极小（见第3.2节中的刚体位移幅度），以及光学系统满足傍轴条件，傍轴近似在工程上是可接受的。

根据反射定律和上述几何关系，球面镜绕X轴的倾斜角度α导致反射光的角度偏转2α。利用傍轴近似和球面镜的焦距关系f = R/2，可以建立镜面倾斜角度与焦平面上图像位移δ之间的线性关系：δ ≈ 2αf。将f = R/2代入上述表达式得到δ ≈ αR。在此基础上，根据本研究采用的小角度和傍轴条件推导出了公式（4）和（5）。

光学元件绕X轴和Y轴倾斜，从而改变了实际图像平面和理想焦平面。探测器捕捉到的图像代表了理想图像点的投影。光学元件引起的图像位移与球面镜的曲率半径及其旋转倾斜角度直接相关。对于球面镜，由于它们关于Z轴具有旋转对称性，因此绕Z轴倾斜对光学系统的影响很小。

2.2. 视线误差分析
空间望远镜结构的微振动是由卫星上的反作用轮产生的振动引起的，这直接导致光学组件的刚体位移和弹性变形。这种现象导致视线振动，表现为图像平面上光学图像点的横向移动，如图4所示。因此，这种退化影响了光学成像系统的调制传递函数（MTF），使得视线误差成为评估光学系统成像质量的重要指标[7]。图4展示了视线误差的示意图。焦平面上的黑色实心圆代表图像点；垂直和水平箭头分别表示图像平面上的LI-TY（Y方向）和LI-RX（X方向）。图4还展示了视线（LOS）误差的敏感性计算示意图。光学反射器受到微振动的影响，产生一定的传递角度δ。因此，图像空间中的偏心LOS误差表示为LI-TX/LI-TY，对应于探测器平面内图像点的横向位移。此外，角视线误差表示为LI-RX/LI-RY，表示图像点在探测器平面上的角度变化。在物体空间中，LOS误差可以量化为LO-RX/LI-RY；这反映了物体在无穷远处的角度变化。LOS误差的敏感性可以使用方程（6）-（11）来计算。这些敏感性可以整合起来，开发出用于预测视线误差的线性光学模型。

SigFit 2012b是一个专业的光电机械集成软件包。计算LOS敏感性矩阵的基本步骤如下：首先，将有限元分析得到的每个光学表面的节点位移导入Sig Fit。然后，通过Zernike多项式拟合，将节点位移分解为刚体运动（六个自由度：平移和旋转）和表面变形。最后，使用光线追踪算法，计算单位刚体位移引起的横向图像位移（LI-TX/LI-TY）和角度变化（LI-RX/LI-RY，LO-RX/LO-RY），从而构建敏感性矩阵。

3. 光学成像系统在反作用轮干扰下的光学调制函数分析
反作用轮在轨道上运行时产生的微振动通过机械结构传递，会导致物体与焦平面传感器之间的图像横向移动（即在光学轴垂直方向上的振动，即X/Y方向），使探测器平面上的图像亮度模糊，并在一定程度上损失光学分辨率。对于线性光学系统，如图5所示，一个亮度根据空间频率f按照正弦律变化的物体，在经过光学系统成像后，图像亮度仍然保持正弦形式，但对比度通常会降低。对比度（调制）定义为归一化图像的最大亮度差[9]。

通过对视线（LOS）误差的PSD响应应用加权函数wd，我们可以将LOS误差分解为两个分量：抖动项和漂移项。由于抖动项对调制传递函数（MTF）的影响远大于漂移项，我们的分析主要关注抖动分量。相应的抖动权重函数在方程（14）中给出[10]。抖动项的RMS值是抖动PSD响应曲线下面积的平方根，如方程（15）所示[15]。

为了评估机械干扰对光学系统图像质量的影响，必须确保机械模型和光学系统模型在单位、几何形状和坐标系统上的一致性。在同轴光学系统中，光学镜的顶点与其几何中心重合。然而，对于非轴对称系统，顶点位置是偏心的。为了保持两个模型之间的坐标一致性，可以采用以下方法：（1）在光学模型中定义一个虚拟表面和坐标断点，使其与机械模型对齐，并位于矩阵的物理中心；（2）将刚性连接集成到有限元模型中，以关联光学表面的平均刚体运动与顶点位置；（3）根据光学系统的镜顶点坐标在机械模型中建立局部坐标系。本文选择了方法（3）来建立光学表面与机械模型中镜顶点之间的连接，如图6所示。基于有限元理论，使用Hypermesh 2017（Altair Engineering, Inc., Troy, MI, USA）软件构建了整个星形有限元模型，如图7所示。

由于微振动包含广泛的频率范围（从0到10 kHz），并且考虑到卫星在轨道运行期间处于自由状态，其振动衰减周期较长，因此反作用轮产生的扰动通常表示为望远镜扰动的功率谱密度（PSD）输入[10]。这颗光学卫星在运行阶段的姿态控制策略包括大多数时间以600 rpm的速度运行Y方向反作用轮，以1200 rpm的速度运行Z方向反作用轮。对Y方向和Z方向的反作用轮进行了扰动实验以收集扰动数据。这些数据随后使用MATLAB进行处理，并作为扰动PSD的输入，如图8和图9所示。模拟结果表明，在这个高分辨率光学卫星系统中，导致视线（LOS）误差的主要模式是8阶和9阶模式。贡献百分比定义为给定模式对总LOS响应的贡献率。以物体空间角位移（LO-RV）为例，观察到8阶和9阶模式对LO-RV的贡献百分比分别为53.737%和36.788%。由于其他阶次的贡献相对较小，这里没有包括它们；相反，表1中仅展示了4阶到10阶模式，以便比较观测前后的趋势。注意，4阶到6阶模式的频率标记为0.00 Hz，这代表了卫星光学系统的刚体模式（零频率刚体运动），反映了系统在没有弹性变形情况下的低频刚体平移/倾斜特性。

3.1. 视线误差分析
由于微振动具有广泛的频谱，振动频率范围从0到10 kHz，并且考虑到卫星在轨道运行期间处于自由状态，其振动衰减周期较长，因此反作用轮产生的扰动通常表示为望远镜扰动的功率谱密度（PSD）输入[10]。这颗光学卫星在运行阶段的姿态控制策略包括大部分时间以600 rpm的速度运行Y方向反作用轮，以1200 rpm的速度运行Z方向反作用轮。对Y方向和Z方向的反作用轮进行了扰动实验以收集扰动数据。这些数据随后使用MATLAB进行处理，并作为扰动PSD的输入，如图8和图9所示。模拟结果表明，在这个高分辨率光学卫星系统中，导致视线（LOS）误差的主要模式是8阶和9阶模式。表1列出了每个模式对视线误差的贡献百分比。表1中的4阶到6阶模式频率标记为0.00 Hz，代表系统的刚体模式（零频率刚体运动）。图像空间中的LOS误差表示为图像平面上图像点的横向移动LI-TX/LI-TY，而在物体空间中表示为物体在无穷远处的位置角变化LO-RX/LO-RY。表2列出了每种模式下相应的LOS误差。这些结果进一步证实了8阶和9阶模式主导了LOS响应，其中8阶模式的贡献最大，角位移为1.1690 × 10^-3弧秒。表2中的LOS误差以弧秒（″）为单位，这是一种几何投影角度量，表示物体在光学系统成像后的无限远处的角位移。光学集成软件Sig Fit被用于拟合分析，最终使我们能够计算出每个光学元件在反应轮振动作用下的刚体位移。表3展示了在反应轮引起的扰动下，每个光学元件表面上观察到的刚体位移。在该表中，RB-TX/RB-TY/RB-TZ分别表示X/Y方向的偏心和Z方向的位移；RB-RX/RB-RY/RB-RZ分别代表绕X/Y/Z轴的倾斜；SID1-SID5表示各个光学镜面。表3中光学元件的倾斜角度以弧度（rad）为单位表示，这是描述镜面实际旋转倾斜的基本机械运动单位。弧度的数值顺序（10^-5 rad级别）与表2中的角秒（10^-3~10^-4″级别）一致，因为1 rad ≈ 2.06265 × 10^5 角秒，镜面的小倾斜角度（10^-5 rad）通过光学系统的放大和投影效应转换为物空间视线（LOS）误差（10^-4″级别），从而使得这两种物理量在不同单位下具有相同的数值顺序。表3显示了每个反射面的平均刚体位移和表面形状精度误差（单位：RB-TX/RB-TY/RB-TZ：mm；RB-RX/RB-RY/RB-RZ：rad；RMS：mm）。Sig Fit生成的.zpl文件可以无缝导入ZEMAX宏文件中，有助于清晰直观地展示当反射镜因反应轮扰动而发生刚体位移和变形时，光学成像系统中调制传递函数（MTF）的退化情况。MTF衰减的内在机制与光学反射器的刚体运动（平移/倾斜）以及由反应轮微振动引起的微尺度表面形状变形密切相关：一方面，镜面的微位移（10^-3 mm级别）和微倾斜（10^-5 rad级别）改变了光学系统的理想成像位置，导致图像点在探测器平面上的横向抖动以及光学系统空间分辨率的降低；另一方面，镜面的微尺度表面形状误差（10^-9 mm级别RMS）导致入射光的波前畸变，从而减弱了光学系统对不同空间频率的对比度传递能力。此外，对LOS误差贡献最大的第8阶和第9阶主导模式（34.98 Hz/38.42 Hz）进一步放大了上述光学像差，导致高空间频率带（57 lp/mm）和离轴大视场（例如（0.7900, 0.6000）°）处的MTF衰减最为显著。光学模拟的结果总结在表4中。如图10和图11所示（横轴标记为空间频率（lp/mm），纵轴标记为MTF），可以看出，在扰动前后，每个视场的MTF都降低到0.270596——接近设计值，特别是在子午面内的（0.0000, 0.6000）°视场。反应轮扰动对图像质量的影响很小；因此，光学系统在这些扰动过程中保持了令人满意的图像质量。表4显示了扰动前后每个视场在奈奎斯特频率下的MTF比较。图10显示了奈奎斯特频率（57 lp/mm）下不同视场的初始设计MTF曲线。图11显示了反应轮扰动下不同视场的光学系统MTF曲线。扰动前后的光斑图分别展示在图12和图13中。图12显示了初始设计状态，而图13显示了反应轮扰动下的光斑图。图中的黑色圆圈代表系统的艾里斑点大小。以最大漫射光斑的均方根直径为例，尽管最大漫射光斑的均方根直径从7.069 μm略微增加到9.619 μm，但图像点仍有一定的扩散，但仍接近于图像元件的大小（8.75 μm），满足望远镜的成像要求。图12显示了不同视场的初始设计光斑图。图中的黑色圆圈代表光学系统的艾里斑点（衍射极限）。图13显示了反应轮扰动下的光学系统光斑图。图中的黑色圆圈代表光学系统的艾里斑点（衍射极限）。

4. 卫星微振动测试
卫星微振动测试在专门的微振动测试实验室进行。卫星被垂直悬挂以模拟其轨道状态，陀螺仪安装在卫星的空间望远镜上。该设置旨在测量反应轮在正常运行时的颤振，并评估光学望远镜视场内物体产生的角位移。此次测试的采样频率设定为1000 Hz。首先进行了背景噪声测量。根据反应轮的实际在轨控制设计策略，在不同卫星状态下，分别以1200 rpm、1550 rpm和2078 rpm的速度记录了Z轴反应轮的测量数据。同时记录了来自光纤陀螺仪的相应数据。随后，在停止Z轴反应轮的操作后，对Y轴反应轮进行了加速测试，最高达到600 rpm；数据收集一直持续到其停止工作。最后，两个轮子再次被加速——具体来说，将Z轴反应轮加速到1200 rpm，同时保持Y轴速度在600 rpm。微振动测试的详细过程如图14所示。图14展示了卫星微振动测试现场。卫星的第8阶和第9阶模式对视线（LOS）误差有显著影响；因此，我们重点关注这些特定模式下光学望远镜在物体空间中引起的表观轴误差。如图15所示，当卫星处于悬挂状态时，Z轴上的反应轮速度设定为1200 rpm，而Y轴上的速度保持在600 rpm。这种配置对应于第8阶模式的角位移为0.001545角秒，第9阶模式的角位移为0.0007893角秒。这些位移相关的相对误差分别约为9.34%和6.52%。表5展示了扰动前后每个视场的MTF比较。初步结论是，微振动不会显著降低在轨获取的遥感图像的质量，且仿真分析具有一定的准确性。图15显示了卫星悬挂状态下物体的空间角位移。表5显示了整个卫星的LOS角位移测试和仿真结果。

5. 结论
在微振动分析中，反射器通常被视为刚体，而镜面变形对光学系统的影响往往被忽视。本文提出的光机集成分析方法能够全面评估镜体刚体位移和变形如何在反应轮扰动引起的微振动下影响光学系统的成像质量。这种方法允许在设计阶段评估光学系统的性能，确保卫星微振动分析的结果更准确地反映实际工程条件，并为微/纳米级精密光学系统的设计和优化提供了高精度的微扰分析框架。定量结果显示，第8阶模式占总LOS误差的53.7%，最大角位移为1.1690 × 10^-3角秒。在奈奎斯特频率（57 lp/mm）下，所有视场的MTF退化都在0.03以内，两种主导模式的仿真与实验之间的相对误差分别为9.34%和6.52%。这些发现可以直接作为空间光学卫星结构布局优化和振动隔离设计的定量参考。更重要的是，所提出的光机集成分析框架具有高精度量化微位移（约为10^-3 mm）和微角位移（约为10^-5 rad）的能力，非常适合对微振动敏感的微/纳米级精密光学系统（例如微光机电系统（MOEMS）、微光刻物镜、微光学传感器）的性能分析。它填补了微振动效应的光机耦合分析方法论空白，对微/纳米光学系统、近眼显示设备及相关领域（如先进制造、电子系统工程等）的发展具有重要的工程指导价值。