关于（110）硅各向异性刻蚀中基底轮廓抑制现象的研究 王志深、 谢国亮、 徐高伟、 李根子、 周卫虎、 傅东志、 孔凌德、 陈志文、 刘胜

《Micromachines》：An Investigation into the Footing Profile Suppression in (110) Si Anisotropic Etching Zhishen Wang, Guoliang Xie, Gaowei Xu, Genzi Li, Weihu Zhou, Dongzhi Fu, Lingde Kong, Zhiwen Chen and Sheng Liu

　　摘要
检测材料介电常数的变化在电子信息、材料科学、生物医学等多个领域具有重要的应用价值。然而，现有的检测方法受到样品厚度和共振强度等因素的限制，难以在所需的频率范围内实现高灵敏度的介电常数检测。本文提出了一种基于伪表面等离子体极化子（SSPPs）在双路传输结构中的破坏性干涉效应来检测样品介电常数变化的方法，该方法在SSPPs的截止频率处形成特征吸收峰。具体而言，通过利用SSPPs的相位依赖于周期性单元的特性，利用两条路径之间的周期性单元数差异在截止频率处产生恒定的π相位差，从而形成截止频率吸收峰。当样品涂覆在SSPPs的双路结构上时，边界条件发生变化，导致截止频率发生移动，从而能够在指定频率下实现介电常数的检测。仿真结果表明，通过适当的结构设计，归一化的特征频率移动可以达到10.8%/，并且进一步证明了该方法对初始相位差、样品厚度和样品损耗的鲁棒性。总之，本文提供了一种新颖的高精度和高鲁棒性的方法，用于在指定频率下检测样品的介电常数变化。

1. 引言
介电常数是材料的核心电磁性质之一。对其变化的高度敏感检测对于许多领域（包括电子信息、材料科学和生物医学）的关键技术发展至关重要，例如微波和射频器件设计[1,2]、功能材料评估[3,4,5]以及生物医学检测[3,4,5]。因此，开发高灵敏度的介电常数测量技术具有重要的科学意义和应用价值。
随着微电子技术的发展，基于芯片的传感器由于其小型化、集成化、低成本和便于大规模生产的优势，在介电常数变化测量领域展现出了巨大潜力[6,7]。它们的测量原理主要基于两种机制。第一种是共振原理。例如，基于微环谐振器和介电谐振器的传感器通过监测共振频率的变化来检测周围介质的介电常数变化[8,9,10,11,12,13]。例如，Wei等人将微流控通道与基板集成波导（SIW）reentrant腔结合，利用增强的局部电场来测量液体的复介电常数[10]；Navaei等人利用微带线与分裂环谐振器（SRR）结合，通过共振频率变化来表征微量液体的介电常数[12]。第二种是反射/传输原理。例如，基于微带线和共面波导（CPWs）的传感器通过分析电磁波在传输过程中的幅度和相位变化来提取介电信息[2,14,15,16,17]。例如，Bergmann等人利用片上共面CPW传输线和mTRL校准相结合，实现了高达325 GHz范围内熔融二氧化硅的介电常数测量[2]；Narayanan提出了一种基于微带传输线散射参数的宽带介电常数测量方法，可以减少由连接重复性引起的误差[16]。
尽管基于芯片的传感器在介电常数测量方面具有显著优势，但现有技术仍面临诸多挑战。对于基于共振原理的传感器，其测量灵敏度高度依赖于谐振器的品质因数（Q因子）。材料的固有介电损耗、制造过程中的表面粗糙度以及封装引入的损耗会显著降低Q因子，从而限制了测量精度[6,7]。此外，共振频率容易受到温度漂移和环境干扰的影响，需要复杂的温度补偿和稳定方案[6,18]。对于基于反射/传输原理的传感器，测量结果对样品的厚度、平整度和表面属性极为敏感。而且，材料的固有色散特性导致测量结果具有频率依赖性，通常需要复杂的数值算法（如Nicolson–Ross–Weir算法）进行反演和校正[3,4,5]，从而增加了系统的复杂性。因此，迫切需要探索一种对样品尺寸、材料色散和制造误差具有鲁棒性的高灵敏度介电常数传感方法。

伪表面等离子体极化子（SSPPs）作为一种由人工设计的周期性金属结构支持的新电磁模式，凭借其独特的优势为上述挑战提供了新的解决方案[19,20,21,22,23,24,25,26,27]。首先，SSPPs能够将电磁场强烈限制在金属结构表面的亚波长尺度上[28,29,30,31]，从而控制场-材料相互作用区域[19,20,21]并提高共振Q因子[22,23,24]。其次，SSPPs的色散特性主要由结构的几何参数决定[28,29,32]，而样品的介电性质仅作为扰动来修改其色散曲线[33,34]，这使得传感器对样品的固有材料色散具有一定的鲁棒性。最重要的是，SSPPs的截止频率波矢由其周期性结构设计决定[29,32]，与样品的介电常数无关，这为实现介电常数变化的鲁棒测量提供了物理基础。
基于以上分析，本文提出了一种利用双路SSPPs干涉效应的介电常数传感方法。通过利用SSPPs在截止频率处的独特波矢特性，建立了对样品介电常数变化敏感的特征吸收峰，实现了高灵敏度和高鲁棒性的介电常数测量。具体来说，在截止频率以下，由于相位差引起的两条SSPP路径之间的干涉产生随频率增加而增加的吸收；在截止频率以上，由于SSPPs的传输阻带特性，吸收急剧下降。通过监测这个特征吸收峰的频率变化，可以直接获得样品介电常数的变化范围和趋势。根据这一原理，我们设计并仿真了一种在D波段（110–170 GHz）工作的片上介电常数传感器。仿真结果表明，通过适当的结构设计，该传感器的归一化特征频率移动高达10.8%/，表现出超高的灵敏度；同时，对初始相位差、样品厚度和样品损耗的容忍度分析也证明了该结构的强大测试鲁棒性。

本文的其余部分组织如下。首先详细阐述了SSPP干涉的基本原理以及在截止频率处形成的特征吸收峰的物理机制。其次，通过仿真系统研究了截止频率处特征吸收峰的形成过程，并定量分析了样品介电常数变化对吸收峰频率和强度的影响。最后，深入分析了干涉过程中的主要误差源，以验证所提出方法的鲁棒性。

2. 基于SSPP截止频率的介电常数变化检测原理
结构如图1所示，该结构采用双路干涉原理来测量样品介电常数的微小变化。具体而言，输入信号分别通过3 dB功率分压器输入到两条具有固定周期性单元数差异的SSPP传输线中，然后通过合成器合并后输出。待测样品放置在芯片表面上，同时覆盖两条光路。这一过程可以简单表示为
(1)
其中\(A_1\)和\(A_2\)是两条SSPP波的振幅，\(l_1\)和\(l_2\)是信号的光路，\(\vec{k_1}\)和\(\vec{k_2}\)是相应的波矢。此时，\(\tan\theta = \frac{A_1}{A_2}\)。从公式(1)可以看出，当两条路径之间的相位差\(\phi = \phi_0\)时
(2)
干涉合成场强度为零，形成一个吸收峰。

图1. 结构示意图：该结构包括两个在石英基板上的相同周期性SSPP传输线（周期D），具有不同的周期性单元数，待测样品放置在芯片表面上。对于固定的路径差异，合成S21的零频率由波矢\(\vec{k}\)和频率之间的关系决定，这就是色散关系。当样品涂覆在电路表面上时，样品介电常数的微小变化会导致两条传输线的色散发生变化，从而在\(\phi = \pi n\)相位差处引起频率变化。因此，可以通过干涉合成波S21的零点频率变化来表征样品介电常数的变化。
图2a显示了芯片结构中SSPP传输线的色散关系，周期D为200 μm，槽深为200 μm，占空比为0.5，线宽为50 μm，基板厚度为50 μm。SSPP传输线的微带输入和输出采用槽深梯度耦合结构。该结构通过有限差分时域（FDTD）仿真方法进行研究。由于SSPPs来源于周期性排列的微结构提供的Floquet边界条件，其色散曲线具有典型的周期性特征。如图2a所示，随着波矢的增加，相应的频率开始增加；然而，随着波矢的进一步增加，SSPPs表现出由结构特性和边界条件决定的截止频率。在截止频率处，波矢仅由结构的周期决定，与截止频率的具体值无关。根据Floquet定理，截止频率的波矢由结构决定：
(3)

图2. SSPP传输线中恒定相位差原理：(a) 不同样品介电常数的SSPP色散曲线；(b–d) 显示不同样品介电常数和周期单元数之间的相位和频率关系，相位差对应于右侧垂直轴，相位对应于左侧垂直轴；(e) 截止频率（120 GHz）以下SSPP传输线中的场分布；(f) 截止频率（161 GHz）处SSPP传输线中的场分布。同时，截止频率的值仅由周期性结构单元的设计和周围介质的本构关系决定。随着样品介电常数的增加，SSPP的截止频率减小，而相应的波矢保持不变，如图2a中不同介质的色散曲线所示。

根据公式(2)中合成波零点的波矢条件和公式(3)中的截止频率波矢，可以进一步得出，两条SSPP波的破坏性干涉所需的路径差异必须满足
(4)
其中n是一个整数。具体来说，当两条SSPP波之间的路径差异为奇数个周期时，相位差为\(2n + 1)\pi\)，这满足合成波的零点条件。

图2b–d展示了不同边界介电常数下的频率-相位关系。可以看出，在低频范围内，相位差随频率线性增加，这归因于SSPP模式表现出类似TEM的传输特性，具有弱色散，其中由固定路径积累引起的相位差仅与频率相关。随着频率的增加，SSPPs的色散变得更加明显，导致相位差与结构之间存在一定的相关性。在截止频率处，相位差由周期性单元数\(n\)的差异dN直接决定，即\(dN \times \pi\)。
同时，不同的边界介电常数表现出相似的性质：所有在低频范围内都表现出类似TEM的相位差关系，并在其对应的截止频率下呈现出π的整数倍。这是因为SSPPs的色散特性主要由其周期性结构决定，在强色散区域，SSPP模式的传输主要由结构单元之间的耦合控制，导致相位差与周期性单元的数量相关。这一现象可以通过图2e和图2f中的场分布图进一步证实。如图2e所示，在截止频率以下，SSPP模式的场分布跨越多个周期性单元，不同结构单元之间的相位差表现出准连续分布特性。因此，相位积累主要来源于光路径的累积，与周期数没有直接关系。当频率增加到截止频率时，如图2f所示，SSPP模式的场分布与结构特性紧密相关，其传输过程起源于周期性单元之间的耦合。此时，相位积累来自于耦合次数的增加，因此与周期数而非传输距离密切相关。在这一点上，两个相邻周期之间的场方向是反相的，导致严格的180°相位差。此外，由于这种相位差来源于结构的周期性特征，不同的边界介电常数只会改变截止频率，因此在不同样品覆盖下，具有奇数个单元结构差异的SSPP波都会表现出π的整数倍相位差。因此，对于固定的周期性结构，样品介电常数的变化只会导致色散关系的相应变化，这进一步体现在截止频率的移动上。结合恒定的相位差，可以直性格试样品引入的介电常数变化。

图3显示了样品厚度为500 μm时，单路径和双路径干涉合成的SSPPs的S参数曲线和吸收峰。如图3a所示，在截止频率之前，单路径SSPP的传输特性S21接近1，表明电磁波沿SSPP结构传播；然而，当频率超过截止频率时，传输系数S21急剧下降，相应的反射系数S11急剧增加（如图3b所示）。这是因为当输入频率超过截止频率时，它进入了禁带，SSPP模式无法被激发，入射能量几乎完全反射。这种特性来源于SSPP传输线的色散特性，这些特性不会随着构成SSPP传输线的结构单元数量的变化而改变，并且在截止频率处传输特性发生变化。然而，这种拐点特征频率通常难以通过测量直接确定。如图3c所示，由于传输和反射之间的切换，单路径SSPPs的明显特征吸收峰也难以形成。

为了提取截止频率，可以通过合成两个结构单元数量相差为1的SSPP传输线来利用吸收峰。图3d-f显示了合成的传输和吸收特性。可以看出，在截止频率之前，由于两个传输的SSPP之间的相位差，它们的合成场逐渐在整个结构中形成行波-驻波。随着频率逐渐接近SSPP的特征频率，相位差开始迅速接近180°，导致传输曲线开始下降。在SSPP的截止频率时，两个SSPP波之间的相位差为π，形成纯驻波。随着频率进一步进入SSPP的截止区域，入射能量被完全反射。这一过程使合成波在SSPP的截止频率处表现出明显的吸收峰。在截止频率之前，吸收增长率来自相位差的变化，导致吸收谱的形状随频率呈三角函数型变化；在截止频率之后，入射波被直接反射，使得峰值后的谱线急剧下降。这种吸收峰特性完全依赖于结构SSPP传输线的色散特性。改变结构边界的介电常数特性会导致截止频率的变化，从而通过结构特性改变相应频带内的介电常数变化。样品介电常数与吸收峰频率之间的整体关系由图4中的虚线点表示：随着介电常数的增加，吸收峰频率降低，而样品介电常数的降低则导致吸收峰频率增加。得益于SSPPs的色散特性变化，当样品的介电常数从2变为4时，设计结构的吸收特性频率从162.4 GHz变为145.7 GHz。由于样品介电常数的单位变化引起的特征频率移动达到了8.35 GHz，相对于中心频率的归一化单位频率移动为10.8%。如图4中的数据比较所示，吸收特性频率高于预期的截止频率，模拟结果显示在偏离设计检测中心介电常数值3的两侧有一定波动。这是由于输入和输出端口的阻抗匹配度降低引入的额外共振造成的，可以通过优化输入和输出耦合结构的设计来避免。尽管如此，这一趋势与SSPPs的色散特性一致，显示出整体的线性变化。不同介电常数的吸收谱可以在图A2中找到。

图5显示了在不同样品介电常数下，吸收峰位置对于初始相位差的依赖性。可以发现，初始相位的不同会导致吸收峰位置的变化，这是因为初始相位差影响干涉点的波矢，从而导致频率移动。然而，得益于SSPPs在截止频率附近的强色散特性，波矢的剧烈变化只会导致轻微的频率移动。这使得初始相位差对吸收峰频率的影响不明显。如图5a-d所示，在±π/4的初始相位差范围内，只导致1.5 GHz以内的吸收频率差异，移动率小于中心频率的1%，表明其对初始相位差的鲁棒性良好。此外，对于不同的样品介电常数，吸收频率显示出相同的移动方向和与介电常数测试范围内相当的峰值移动量，这使得可以通过算法校正由初始相位差引起的频率移动。

图6a显示了特征吸收频率对于样品厚度的鲁棒性。由于SSPPs是典型的表面波，它们的场主要局限于金属周期性结构附近，并在两侧的介质中呈指数衰减。因此，当样品厚度超过SSPPs的穿透深度时，SSPPs的色散趋于稳定，本工作中干涉吸收峰的频率也趋于稳定。如图6a所示，当样品厚度从500 μm变化到800 μm时，特征吸收峰保持在159.4 GHz附近，厚度变化引起的频率移动在0.2%以内。

图6b展示了材料损耗对特征吸收峰的影响。可以观察到，样品损耗对特征吸收峰的频率影响很小。当样品的损耗损耗正切从0.001变化到0.019时，相应的吸收峰频率范围从159.1 GHz变化到159.3 GHz，频率移动在0.1%以内。这是因为特征吸收峰的频率主要由两条光路径之间的相位差决定。然而，材料损耗在两条光路径中引起的色散校正相同，因此两条路径之间的相位差几乎不随损耗变化，使得吸收频率对损耗不敏感。损耗的主要影响体现在峰值强度上，如图6b所示。较高的损耗在SSPP传播过程中导致入射波的衰减更大，从而产生更强的特征吸收峰。

总结来说，本文提出了一种基于SSPP截止频率和破坏性干涉的材料介电常数检测方法。样品介电常数的变化会导致SSPPs传输线边界条件的截止频率变化。然后在截止频率处由于SSPP传输线中周期性单元数量的不同而形成恒定的π相位差。最终，通过双路径破坏性干涉，在SSPPs的截止频率处形成具有特定光谱形状的特征吸收峰。得益于SSPP传输模式的相位特性，这个特征吸收峰与SSPPs的截止频率一一对应，从而可以通过相应的边界条件反推样品介电常数的变化。仿真结果显示，通过适当的设计，由于介电常数单位变化引起的特征频率移动率，相对于设计中心频率，在D波段达到了10.8%。同时，由于SSPP传输模式的局域性和色散特性，该方案对初始相位差、样品厚度和样品损耗等测试误差源也表现出出色的鲁棒性。这种机制进一步表明，对样品介电常数的高灵敏度检测源于通过微小变化扰动边界条件，而其鲁棒性来源于由周期性结构决定的内在模式色散特性。因此，这种方法可以通过不同的周期性结构设计扩展到从微波到太赫兹的宽频段。总之，本文提出了一种高灵敏度且对环境具有鲁棒性的方法，用于测量样品介电常数的变化，适用于多个频率带。