基于BO-LSTM的电容式MEMS陀螺仪TDE精确估计模型：利用热诱导物理特性变化进行分析 齐冰（Bing Qi）、 李鹏（Peng Li）、 丁继成（Jicheng Ding）、 贾春（Chun Jia） 田浩（Hao Tian）

《Micromachines》：BO-LSTM-Based TDE Precise Estimation Model of Capacitive MEMS-Gyros Using Thermal-Induced Physical Characteristics Variation Analysis Bing Qi, Peng Li, Jicheng Ding, Chun Jia and Hao Tian

　　摘要：由于传统的电容式微机电系统（CMG）温度漂移误差（TDE）精确估计模型缺乏完整的温度相关量（TCQ），并且参数识别方法不完善，无法有效减少偏差稳定性，本文提出了一种基于长短期记忆网络（LSTM）和贝叶斯优化（BO）的TDE精确估计模型，该模型利用热诱导的物理特性变化进行分析。通过分析热诱导的物理特性变化对CMG和硅基材料刚度的影响，追踪了完整的TCQ，包括环境温度变化ΔT及其平方根ΔT1/2以及更高阶的变化（ΔT2、ΔT3、ΔT4），从而构建了一个改进的TDE精确估计模型。由于TDE和TCQ具有典型的时间序列特性，因此应用LSTM来识别该模型的参数。此外，引入贝叶斯优化（BO）为LSTM的最优超参数选择提供了良好的指导。将改进后的模型与基于径向基函数神经网络（RBFNN）的传统模型进行比较，实验结果表明，改进模型能够更准确地估计CMG的TDE，并将其偏差稳定性提高了20%，显著降低了硅基材料的温度依赖性，提高了CMG在复杂条件下的环境适应性。

1. 引言
电容式微机电系统（CMG）具有体积小、功耗低和成本低等优点，广泛应用于无人机或无人潜水器（UUV）的微惯性导航、姿态检测等领域[1]。然而，由于CMG由具有温度依赖性的硅基材料制成，不同的环境温度会引发TDE，从而降低其偏差稳定性，限制了其应用[2]。由于当前材料技术的限制，通过优化生产过程来消除温度依赖性非常困难。高精度和良好稳定性的温度控制可以稳定环境温度，但其高功耗、大体积和复杂的控制方式不适合CMG的应用[3]。鉴于低成本和易于实现的优点，数学估计方法利用数学模型来精确估计TDE并补偿CMG的计算误差，这更适合CMG[4]。其准确性取决于TDE的可追溯性和TDE估计模型的参数识别精度[5]。精确的TDE可追溯性是TDE估计模型的基础[6]。更精确的TDE可追溯性可以更全面地找出TDE的根本原因。考虑到电容式微机电设备的工作原理具有普遍性，TCQ引起的TDE是一致的。Maj等人通过实验得出结论，环境温度变化1°C会导致电容式微机电加速度计的比例因子变化1%，表明变化的环境温度是TDE的直接原因[7]。Vatanparvar等人指出，MEMS陀螺的偏差稳定性受到温度、角速率和加速度等多物理耦合场的影响[8]。偏差和比例因子用温度依赖的多项式表示，通过回归方法获取其系数[9,10,11,12]。Ma等人研究了一种虚拟温度测量方法，其测量不稳定性为1.2 m°C，该方法对1/f噪声具有抗性，并将其作为基于一阶多项式拟合的TDE估计模型的输入，输出为角速度[13]。通过四位置标记程序的虚拟测量，方位精度在5分钟内从0.47°提高到0.26°和0.35°。Kim等人发现，在三维结构中，硅基材料会随着环境温度的变化而线性变形[14]。建立了一个包含环境温度和TDE的TDE估计模型，使电容式微机电设备的偏差稳定性提高了10%。Bekkeng探讨了TCQ与环境温度及其变化平方之间的关系，并应用卡尔曼滤波器进行TDE估计[15]。MEMS惯性设备的绝对速率误差降低了10倍以上。Shi等人从全局角度指出，热膨胀性质是非线性的，模拟和实验中的偏差为1~2 mg/°C[16]。环境温度及其平方加上环境温度变化及其平方构成了TCQ，利用粒子群优化和遗传算法构建了一种新的TDE估计模型（BPNN+GA），与仅使用BPNN的模型相比，CMG的偏差稳定性提高了16.01%[17,18]。Liu和Wu等人表明，环境温度变化引起的热膨胀会导致CMG的微观结构变化，同时降低硅基材料的刚度，改变其谐振器的谐振频率并减少偏差不稳定性[17,18]。Li等人发现，两种陀螺模式的谐振频率偏差是由环境温度变化引起的刚度恶化造成的[19]。实施频率偏差校准后，模式匹配MEMS陀螺的偏差重复性达到3.14°/h（1σ范围内），比原始性能提高了三个数量级。因此，环境温度对CMG谐振频率变化的影响不可忽视。因此，精确TDE可追溯性的关键因素是CMG和硅基材料刚度变化引起的完整TCQ。准确的参数识别是TDE估计模型的要求[20]。更精确的参数可以确保更准确的TDE估计。Cheng等人引入粒子群优化算法改进支持向量机模型，并使用小批量数据处理方法保证建模的实时性和准确性[21]，将电容式微机电加速度计的偏差稳定性提高了18.96%，但结构复杂的支持向量机模型不适合处理大量实验数据，其实时估计能力有待提高。Li等人建立了基于量化温度的信号提取方法的CMG温度误差模型，并通过卡尔曼滤波器和自适应滑动窗口的统计校准滤波器进行噪声抑制[22]，在-40°C~60°C范围内，偏差不稳定性降低到1.10°/h。Pan等人提出了一种基于小波神经网络的TDE估计模型，补偿后的偏差稳定性降低到原来的10%[23]。Ma等人研究了IPSO算法以获得最佳VMD参数，实现最佳的分解去噪效果[24]。BP-Adaboost重构了过滤后的混合和补偿特征项，将偏差稳定性从0.1806°/h降低到7.17 × 10?4°/h[25]。Xu等人提出了一种基于BPNN的TDE估计模型，将其非线性最大值从3329 ppm降低到603 ppm[26]。BPNN结构简单，包括输入层、多个隐藏层和输出层，具有出色的估计性能，确保更高的精度、更好的实时性和更易于实现[26]。但是，其局部最小值容易出现，导致训练时产生非最优估计结果。为了避免这种情况，Wang等人使用遗传算法训练BPNN[27]。补偿后，MEMS加速度计在-10~80°C范围内的偏差稳定性最大误差为0.017%，比多项式拟合方法好173倍。遗传算法存在降低计算精度和实时性能的概率问题，增加了训练量和参数识别的难度。RBFNN使用函数逼近方法尽可能准确地描述目标非线性，其三层神经网络节省了计算时间，确保了实时估计，即使在高旋转速度下也能实现[28]。Cheng等人提出了一种基于改进的RBFNN的温度补偿模型，用于IFOG，偏差稳定性提高了一个数量级以上[29]。Li等人提出了一种改进的经验模态分解（EMD）方法，并建立了基于EMD的RBFNN+GA+KF融合算法来补偿TDE[30]，偏差稳定性从34.66°/h降低到3.589°/h。由于环境温度的惯性影响较大，其变化越大，稳定所需时间越长。因此，环境温度是一个时间序列，需要时间序列特性的数学模型。Wang等人构建了一种粒子群优化-支持向量机模型，通过中频温度信号获取温度误差[31]。提出了一种改进的变分模态分解-极端学习机方法来分离CMG的输出信号，并使用LSTM进行重构，这是一种时间序列。在-40~60°C范围内，偏差不稳定性从0.0087降低到1.8772 × 10?4；在60~?40°C范围内，从0.0145降低到7.2426 × 10?4。LSTM需要适当的超参数来保证性能，这需要充分的调整。良好的超参数搜索策略对于获得LSTM的最优超参数至关重要。

本文利用热诱导的物理特性变化分析了CMG的TDE可追溯性，通过分析CMG和硅基材料刚度变化引起的微观结构变形，追踪了完整的TCQ（包括ΔT、ΔT1/2、ΔT2、ΔT3、ΔT4），并建立了改进的TDE精确估计模型。由于TDE和TCQ具有典型的时间序列特性，因此使用LSTM进行参数识别，并引入贝叶斯优化（BO）为LSTM的最优超参数选择提供指导；然后通过BO-LSTM实现改进模型。改进模型能够更精确地估计TDE，降低硅基材料的温度依赖性，并提高CMG在复杂条件下的环境适应性。

2. 方法论
2.1. CMG TDE精确估计模型的改进
2.1.1. 传统TDE精确估计模型
CMG是一种微型化设备，包括质量块、驱动电路、传感电路和基板。利用微机电系统（MEMS）技术，这些组件被组装成一个模块。图1展示了其组成和基本原理。
图1. CMG的组成及其基本原理。(a) 组成；(b) 基本原理。其中kD是驱动悬架的刚度，kS是传感悬架的刚度，CD是驱动电路的电容，CS是传感电路的电容。传感和驱动电路具有可移动的梳状结构，相邻的传感梳由相对的传感梳隔开。它们可以抽象为依次串联和并联连接的板-电容对，以差分电容模式工作。科里奥利力（FC）是一种作用在旋转参考框架中移动质量上的惯性力，FC = 2m (v × ω)，其中m是质量，v是相对于旋转框架的速度，ω是框架的角速度。在CMG中，质量块沿驱动方向以恒定幅度振荡。当施加外部角速率ω时，产生的FC会在正交感应方向上引起振动，传感梳会从其初始位置位移。这种感应模式的振幅与输入角速率ω成正比，可以通过电容变化检测到。假设传感梳有2n个，那么就有n个空气间隙。根据板电容公式，电容变化ΔC表示为：
(1)
其中ε是介质的绝对介电常数，S0是传感梳之间的重叠面积，d0是初始垂直距离，Δd是ω时的垂直距离变化，C1是由窄垂直距离形成的总电容，C2是由宽垂直距离形成的总电容。通过测量ΔC，可以利用v解调载流子的角速率ω。此外，传感和驱动电路的刚度决定了CMG内部的微观结构和微运动一致性。环境温度作为影响硅基材料刚度的重要因素，似乎是影响CMG微观结构和微运动的根本原因，并导致传感梳的电容误差（TDE）ΔECMG。传统的TDE精确估计模型采用线性分析方法描述微观结构变形，TDE与环境温度变化ΔT、其平方ΔT2及其平方根ΔT1/2相关。因此，其表达式为[32]。

2.1.2.利用热诱导物理特性变化分析改进的TDE精确估计模型

基于板电容器的公式，可以计算出传感梳的电容与微结构尺寸的关系。然而，由于边缘效应，板电容器的电场线在板边缘处发生弯曲和扩散，导致电场线分布不均，从而使实际电容与计算值不相等。根据Kirchhoff的经典边缘效应理论，CMG微结构下的板电容器电容C′的修正公式可以近似表示为[33,34]：

(3) 其中C0是没有边缘效应时的电容，b是板的长度，c是板的宽度且c ≤ b，d是板的距离，ε0′是真空介电常数，εr是相对介电常数，f(εr)是与相对介电常数相关的修正因子，对于空气介质，f(εr) ≈ 1。

(a) 在环境温度T0和角速度ω0的条件下

如果环境温度保持为T0，CMG的微结构是稳定的，传感梳的电容也保持不变。当载体以ω0旋转时，传感梳会在y轴上发生位移。由于基于Si的材料的温度依赖性，环境温度的变化会导致3D微结构变形，温度升高时膨胀，温度降低时收缩，这些变化会改变传感梳的空气间隙。基于此，使用多物理场仿真软件COMSOL Multiphysics 6.2来模拟这种情况。CMG是在单晶硅（110）晶片上制造的。传感梳的尺寸通常在1~100 μm的微米级别，基于Si的材料的热膨胀系数为2.4 × 10^-6/°C，泊松比为0.28，弹性模量为175 GPa，密度为2330 kg/m3 [32]。仿真中控制CMG的温度范围通常为?40 °C至85 °C，以?40 °C作为参考温度。网格是使用物理控制的网格序列生成的，元素大小设置为2 μm，并在收敛性测试中进行验证。应用静态研究来计算热膨胀和应力分布，使用直接求解器MUMPS，相对容差为1 × 10^-6。图2显示了在T0 = ?40 °C和ω0条件下传感梳的微结构。图2. 在T0 = ?40 °C和ω0条件下传感梳的微结构。(a) 仿真中的俯视图；(b) 带尺寸的俯视图；(c) 仿真中的侧视图；(d) 带尺寸的侧视图。其中a0是T0时传感梳的厚度，c0是T0时的宽度，b0是T0时传感梳之间的重叠区域长度，S0 = b0c0，d0是T0时它们之间的距离，e0是T0时传感梳的质量厚度，ε0是T0时介质的绝对介电常数，ε0 = ε0′εr。外部框架区域I1、I2、I3、I4、I5和I6被设置为固定约束，图2中的其他部分被设置为自由边界。在ω0条件下的距离变化为?d，距离位移d1 = d0 ? ?d和d2 = d0 + ?d。C1′是在T0时形成窄垂直距离的总电容，C2′是在T0时形成宽垂直距离的总电容。根据(1)，?C′表示为：

(4)

(b) 在环境温度T1和角速度ω0的条件下

传感梳具有长梁结构，包括非连接端和连接端。非连接端根据线性热膨胀公式自由变形，而连接端的热应力限制了自由变形，这会导致轻微的局部弯曲非线性，这种非线性相对较弱，可以忽略[32]。图3显示了在T1 = 85 °C和ω0条件下传感梳的微结构。图3. 在T1 = 85 °C和ω0条件下传感梳的微结构。(a) 仿真中的俯视图；(b) 带尺寸的侧视图；(c) 仿真中的俯视图；(d) 带尺寸的侧视图。其中a1是T1时传感梳的厚度，b1是T1时传感梳之间的重叠区域长度，c1是T1时的宽度，S1 = b1c1，d1是它们之间的距离，e1是T1时传感梳的质量厚度。由于热膨胀公式?P = αP0?T，?P是T1时的长度变化，P0是T0时的长度，环境温度变化?T = T1 ? T0，α是基于Si的材料的熱膨胀系数。从图3可以看出，a1、c1和e1在两个方向上变形，而b1在一个方向上变形，因此表示为：

(5)

此外，由于介质的绝对介电常数依赖于温度，因此在T1时的介电常数可以表示为ε1 [35]：

(6) 其中αε是T1时介质绝对介电常数的热膨胀系数。由于?a << d0和?e << d0，?C″可以表示为：

(7) 其中C1″是在T1时形成窄垂直距离的总电容，C2″是在T1时形成宽垂直距离的总电容。根据(4)和(7)，可以推导出TDE ?ECMG：

(8) 从(8)可以看出，?ECMG与?T及其平方?T2和立方?T3有关。然后，传统模型可以修改为：

(9)

2. 热诱导的基于Si的材料的刚度恶化

从图1可以看出，质量在驱动电路的共振频率fd下被驱动：

(10) 其中kd是驱动方向上的弹性系数，即刚度，m是质量。环境温度的变化也会导致驱动电路弹簧的热膨胀或收缩，从而改变弹性系数和刚度。因此，kd与弹簧的弹性模量E和几何尺寸有关，表示为：

(11) 其中w是弹簧的宽度，t是弹簧的厚度，l是弹簧的长度。将(11)代入(12)可以得到：

(12) 由于基于Si的材料依赖于温度，E与?T的关系如下[16]：

(13) 其中αE是弹性模量E的温度系数。根据(12)和(13)，共振频率误差?fd = fd(T1) ? fd(T0)表示为：

(14) 其中w0是T0时驱动电路弹簧的宽度，w1是T1时弹簧的宽度，t0是T0时的厚度，t1是T1时的厚度，l0是T0时的长度，t1是T1时的长度，E0是T0时的弹性模量，E1是T1时的弹性模量。使用泰勒展开，(14)可以推导为：

(15) 其中n是泰勒展开的阶数（n = 1,2,3…），α′ = αE + α。为了展示?Tn对?fd的影响，使用COMSOL对图1中的CMG模型进行了理论模拟。质量尺寸为100 μm × 100 μm × 20 μm（长度 × 宽度 × 高度），长梁尺寸为200 μm × 20 μm × 10 μm。其他参数参见图2。当环境温度从?40 °C升高到85 °C，间隔为0.1 °C时，图4显示了在85 °C下GMG的微结构变形以及?Tn与?fd之间的关系。图4. 在85 °C下的微结构变形以及?Tn与?fd之间的关系。(a) 微结构变形；(b) ?Tn与?fd之间的关系。如图4所示，如果环境温度升高，CMG的质量和长梁会发生变形，其共振频率会降低。由于αE为?50 ppm/°C~?80 ppm/°C，α为2.4 × 10^-6/°C，随着n的增加，(α′?T)n与?fd之间的相关性较弱。这意味着α′?T的更高次幂对减小共振频率差的影响不大。如果对(15)进行超过四次的泰勒展开，α的四次幂与?T的四次幂相比微不足道，更高次的泰勒展开对?fd没有意义。因此，没有必要进行超过四次的泰勒展开，这表明?T4在?fd中起着重要作用。基于(9)，改进模型可以进一步优化为：

(16)

2.2. 使用BO-LSTM进行改进的TDE精确估计模型的参数识别

环境温度是具有时间序列特性的典型物理量，其当前值与过去和未来的值有关。需要擅长预测时间序列的参数识别方法来正确识别改进模型。LSTM是一种时间递归神经网络（RNN），包括输入门、遗忘门、输出门和记忆单元。它可以通过门控机制控制信息流动，以避免在长序列训练中梯度消失或爆炸[36]。根据通用逼近定理，足够复杂的LSTM可以精确逼近任何连续非线性函数[36]。尽管它通过递归和隐藏状态的门控机制来拟合时间序列中的复杂非线性，但仍需关注以下几点：

(1) 需要足够的训练数据。数据越多，对目标非线性的描述就越精确。

(2) 通过正则化和交叉验证，LSTM可以抑制目标信号中的噪声，避免过拟合，并提高实时的拟合精度。

(3) 更好的超参数调整可以更精确地拟合复杂非线性，这对拟合性能至关重要。

因此，可以通过其理论和大量实验来克服(1)和(2)，超参数调整是准确和正确识别LSTM的关键。通常，它依赖于大量训练来获得最优超参数，这需要大量时间和资源，以及多次尝试，然后优化超参数调整是必不可少的。BO适用于计算成本高昂的黑盒函数和难以获得导数的场景[37,38]。它使用高斯过程（GP）和集合函数来确定下一个评估点，通过GP构建目标函数，例如LSTM的层数、隐藏层大小、学习率等，然后通过最小化获取函数来确定下一个评估的超参数。基于此，可以建立BO-LSTM如下：

步骤1. 定义LSTM的超参数空间θ如下：

(17) 其中η是LSTM的学习率，h是其隐藏层大小，q是其层数，p是其丢弃率，s是其序列长度，b是其批量大小，λ是L2正则化。

步骤2. 用GP对目标函数f(θ)进行建模，然后我们得到：

(18) 其中m(θ)是均值函数，k(θ, θ′)是协方差函数。如果获得了t′的估计数据，数据集D1:t′包括从第一次观测到t′次观测的数据，表示为：

(19) 其中Li = m(θ) + εi，εi~N(0, σn2)。

步骤3. 如果有限点θ*的联合分布是GP，则：

(20) 其中kij = k(θi, θj)∈K，k* = [k(θ1, θ), …, k(θt′, θ)]T，I是单位数组。新超参数θ*的预测分布是GP p，表示为：

(21) 其中μt′(θ*) = k*T(K + σn2I)?1Li，σt′2(θ*) = k(θ*,θ*)-k*T(K + σn2I)?1k*。

步骤4. 将αEI(θ)设置为获取函数，表示为：

(22) 其中f+ =mini=1,…,t′f(θt′)，这是当前最优观测损失。我们可以得到其解析解αEI(θ)如下：

(23) 其中z = ?/σt′(θ) = [f+ ? μt′(θ)]/σt′(θ)，并预测改进量? = f+ ? μt′(θ)，σt′(θ)是GP在θ处的后验标准差，?遵循标准正态概率密度函数，Φ遵循其累积分布函数。改进概率αIP(θ)表示为：

(24) 其中P是概率函数。其置信度上界αCUB如下所示：(25) 其中Kt′ = 2log[t′(d′/2+2)π2/3σt′]1/2，d′是θ的维度。步骤5：LSTM被训练为一个黑盒函数，其下一个超参数θk+1如下所示：(26) 其中θ′是θ的梯度，θk+1是LSTM当前的超参数，ζ是学习率。其验证损失f(θ)可以如下计算：(27) 其中N是验证集的数据量，yi′是其中的数据，fθ(xi)是验证集中输入点xi处目标函数fθ的值，ψ是一个类似于EI(x)的获取函数。步骤6：基于以上所有内容，输入向量设置为xt = [ΔT, ΔT1/2, ΔT2, ΔT3, ΔT4]，输出向量设置为ht = ΔE′CMG。训练数据D0包括xt和ht，分为训练集D1（占D0的80%）和验证集D2（占D0的20%）。训练集用于训练BO-LSTM，验证集通过验证损失均方根误差（RMSE）来验证训练结果是否满足精度要求。步骤7：选择公式(17)中的超参数，并使用MATLAB（R2023a）在这些超参数下训练BO-LSTM。训练过程是连续进行的，在每次迭代中，GP会使用现有的观测数据（包括训练集和验证集、超参数及其对应的损失RMSE）进行更新。通过优化获取函数来选择下一个超参数，然后将其添加到现有的观测数据中。当出现最小RMSE时，迭代过程停止，得到最优超参数。基于这些最优超参数，可以优化LSTM的超参数，并使用标准的MATLAB函数将修改后的模型精确地编码为内部脚本，如下所示：(28) 3. 实验与分析 3.1. 精确的TDE测试方法基于(28)，CMG的TDE测试越准确，修改后的模型识别得就越精确。因此，准确测试TDE是一个关键前提；需要一个合适的TDE测试方法，并且需要关注以下几点：(a)良好的热传导处理良好的热传导处理能够将热量完全传递给CMG，从而减少温度梯度，确保实验结果的可靠性，例如导热橡胶、导热油脂、液态金属等。(b)精确的温度测量精确测量CMG的环境温度可以全面描述其环境适应性。在CMG上安装一个具有精确温度测量系统的温度传感器，以减小温度梯度。为了获得完整的实验结果，其精度需要比ΔT高出2倍以上，且频率高于CMG的输出频率。(c)适当的环境温度控制间隔根据CMG的数据表，TDE可以大致计算为ΔE′ = γ?T + β?T。由于忽略了一些非统计误差，ΔE′比TDE略小，γ表示“零速率变化与温度的关系”，β表示“灵敏度变化与温度的关系”。如果环境温度突然变化，TDE可能会大于CMG的灵敏度ΔES。为了准确测试TDE，设置ΔES≈ΔE′，温度控制间隔ΔTI如下所示：(29) (d)合理的温度控制周期使用热室来测试TDE，热室设计为具有封闭隔热层和前门的长方体结构，并在每个表面上设置控制单元。此外，还安装了一个速率表来提供目标角速度。通常，热室设计为尺寸为L × L × L的立方体，每个表面的控制目标设置为Tb。为了避免不完整的热传导过程导致TDE不准确，形成了温度控制周期ts，如下所示：(30) 其中C是封闭条件下热室内空气的比热容，ρ是空气密度，kh是热导率系数，T0是初始环境温度，Tb是最终环境温度。为了均匀加热热室，设置温度控制周期tp ≥ ts。CMG是一种商用设备，型号为L3GD20H，由STMicroelectronics制造。根据数据表，其关键特性包括用户可选的测量范围为±245/±500/±2000 dps，灵敏度为8.75–70.00 mdps/digit，以及数字零速率水平为±25 dps。它封装在尺寸为4.0 mm × 4.0 mm × 1.1 mm（长×宽×高）的塑料LGA封装中。其参数为ΔES = 8.75 mdps/digit，γ = ±0.04 dps/°C，工作温度范围为?40~85 °C。因此，β的计算公式如下：(31) 根据(29)，ΔTI可以如下计算：(32) 为了简化测试步骤，设置ΔTI = 0.5 °C。然后使用热室SET-Z-021来测试L3GD20H，其参数为C = 1.005 kJ/(kg × K)，kh = 0.026 W/m°C，L = 0.6 m，ρ = 1.293 kg/m3。其工作温度范围为?40 °C~85 °C，(30)的计算公式如下：(33) 为了简化测试步骤并为稳定的热传导留出余地，设置ts = 30 s。在温度实验中测试L3GD20H，其温度由测量精度为±0.03 °C、测量频率为10 Hz的温度测量系统测量。温度实验的设计如下：步骤1：将L3GD20H安装在速率表上，其测量方向与速率表平行，参考真值为速率表的角速度。在静态基底条件下，其参考真值ω0 = 0 dps。步骤2：在L3GD20H上方紧密安装温度传感器。无线传输模块以10 Hz的频率发送实验结果，包括TCMG和LCMG的输出DCMG。同时，PC及时接收所有实验结果。步骤3：将L3GD20H冷却至?40 °C，并记录TCMG和DCMG的温度0.5小时，直到温度传感器测量的环境温度稳定。步骤4：以60 °C/h的速度将L3GD20H加热至85 °C，即每30秒升高0.5 °C。停止实验，直到TCMG在85 °C下稳定0.5小时；同时，PC接收所有实验结果。步骤5：重复步骤(2)至(4)五次并记录实验结果。此外，对结果进行归一化，以避免由于数值过大或过小而导致欠拟合或过拟合，以便于训练。图5显示了TDE测试的示意图。图6显示了L3GD20H在五次实验中的实验结果。图5. TDE测试示意图。(a) 前视图和俯视图；(b) 测试现场。图6. L3GD20H在五次实验中的实验结果。(a) 环境温度；(b) L3GD20H的输出。3.2. 传统TCQ与完整TCQ的效果比较从图6可以看出，当环境温度从?40 °C升至85 °C时，CMG的输出趋势相似。开始时环境温度稳定0.5小时，这是参考温度，CMG的参考输出为0 dps。为了证明完整TCQ在TDE精确估计方面比传统TCQ更有效，基于(2)建立了以下模型：(34) 选择图6中的两组实验结果进行训练(34)，图7显示了两组数据及其通过(34)补偿后的结果，以及它们在CMG中的应用。图7. 两组数据及其通过传统TCQ和完整TCQ补偿后的结果。(a) 第一组实验结果；(b) 第二组实验结果；(c) 基于传统TCQ的第一组RBFNN；(d) 基于完整TCQ的第一组RBFNN；(e) 基于传统TCQ的第二组RBFNN；(f) 基于完整TCQ的第二组RBFNN。为了展示估计性能，偏差稳定性（BS）是一个关键指标，用于描述CMG输出在其平均值周围变化的程度。它通过Allan方差计算得出，Allan方差区分了不同类型噪声（如白噪声、闪烁噪声和随机游走）对总误差的贡献，公式如下：(35) 其中τ是聚类时间，M是τ中的簇总数，σav(τ)是Allan方差的标准差，Ωk是第k个簇的平均值。较小的σav(τ)表示更精确的TDE估计。原始数据的偏差稳定性为BS1，通过传统TCQ补偿后的偏差稳定性为BS2，通过完整TCQ补偿后的偏差稳定性为BS3，Q1 = BS2/BS1，Q2 = BS3/BS1。它们显示在表1中。表1. 传统TCQ和完整TCQ的偏差稳定性及改进情况。从表1可以看出，经过补偿后，CMG的输出在ω0 = 0 dps附近波动较小，而通过完整TCQ补偿后的结果更加稳定。因此，完整TCQ在描述CMG的TDE根本原因方面起着更重要的作用，并为TDE的精确估计提供了更好的参考。3.3. RBFNN与BO-LSTM的效果比较作为LSTM最优超参数的关键方法，手动调优很大程度上依赖于经验和直觉。根据(17)，超参数空间通常如表2所示。表2. LSTM的超参数空间。如果将超参数的最小单位设置为它们的最小除数值，则超参数组合Nhc如下所示：(36) 其中?η、?h、?l、?p、?s、?b和?λ是η、h、l、p、s、b和λ的最小除数值。需要1.029 × 10^9次尝试来搜索所有超参数组合，这工作量很大，难以同时满足良好的收敛性、重复性和搜索效率。BO-LSTM避免了不必要的超参数组合，从而提高了RMSE的收敛性、搜索效率和重复性，节省了时间和资源。为了证明BO-LSTM在TDE估计方面比RBFNN表现更好，将它们用于(2)并进行比较：(37) 选择图6中的两组实验结果进行训练(37)，图8显示了两组数据及其通过(37)补偿后的结果，以及它们在CMG中的应用。表3显示了两组数据中BO-LSTM的最优超参数。原始数据的偏差稳定性为BS4，通过RBFNN补偿后的偏差稳定性为BS5，通过BO-LSTM补偿后的偏差稳定性为BS6，Q3 = BS5/BS4，Q4 = BS6/BS4。它们显示在表4中。图8. 两组数据中通过RBFNN和BO-LSTM补偿后的结果。(a) 第一组实验结果；(b) 第二组实验结果；(c) 第一组中的RBFNN；(d) 第一组中的BO-LSTM超参数调整；(e) 第二组中的RBFNN；(f) 第二组中的BO-LSTM超参数调整。表3. BO-LSTM的最优超参数。表4. RBFNN和BO-LSTM的偏差稳定性及改进情况。从表8可以看出，经过补偿后，CMG的输出在ω0 = 0 dps附近稳定，且BO-LSTM使GMG的输出更加稳定。经过超过40k次迭代后，基于传统TCQ的EBFNN和BO-LSTM的训练效率更高。从表4可以看出，BO-LSTM可以将CMG的稳定性均匀提高7.69%，因此可以更精确、更有效地识别TDE的精确估计模型。3.4. 传统模型与改进模型的效果比较为了证明改进模型能更精确地估计TDE，使用(2)和(28)构建了两组实验结果。图9显示了原始数据及其补偿后的结果，以及它们的应用。BO-LSTM的最优超参数显示在表5中。原始数据的偏差稳定性为BS7，通过传统模型补偿后的偏差稳定性为BS8，通过改进模型补偿后的偏差稳定性为BS9，Q5 = BS8/BS7，Q6 = BS9/BS7。它们显示在表6中。(38) 图9. 两组数据中通过传统模型和改进模型补偿后的结果。(a) 第一组实验结果；(b) 第二组实验结果；(c) 第一组中的RBFNN；(d) 第一组中的BO-LSTM超参数调整；(e) 第二组中的RBFNN；(f) 第二组中的BO-LSTM超参数调整。表5. 修改后模型的BO-LSTM最优超参数。表6. 传统模型与改进模型的基站（BS）性能对比。从图9可以看出，经过传统模型和修改模型补偿后，圆锥摆（CMG）运行更加稳定。表6显示，这两种模型都降低了CMG的偏差稳定性，其中修改模型将偏差稳定性平均降低了16%，相较于传统模型有显著改善。因此，修改模型能够更精确地估计CMG的转动惯量分布（TDE），从而显著提高其偏差稳定性。

3.5. 基于BO-LSTM的改进TDE模型验证
为了验证改进模型的TDE估计精度及其通用性，测试了另一个典型的圆锥摆I3G4250D。建立了使用RBFNN的原始模型以及基于BO-LSTM的改进模型（考虑了额外的参数?T1/2、?T2、?T3、?T4）。为了确保实验结果的可信度，参考角速度被设定为：x轴ωrefx = 23 dps，y轴ωrefy = 8 dps，z轴ωrefz = 60 dps。图10展示了两次验证的实验结果。原始数据的基站为BS10，通过传统模型补偿后的基站为BS11，通过修改模型补偿后的基站为BS12，其中Q7 = BS11/BS10，Q8 = BS12/BS10。这些数据在表7中有所体现。图10还展示了三个轴上原始数据以及经过传统模型和修改模型补偿后的数据：(a) 第一次验证的实验结果；(b) 第二次验证的实验结果。表7进一步展示了I3G4250D在两次验证中的基站性能及改进情况。如图10所示，经过传统模型和修改模型补偿后，CMG的运行稳定性优于原始数据。表7显示，传统模型将偏差稳定性降低了原始数据的1.53%；而改进模型则将其降低了1.19%。改进模型在偏差稳定性方面比传统模型提高了20.73%。因此，改进模型能够更精确地估计TDE，并具有更强的通用性，从而显著提高CMG的偏差稳定性。

4. 结论
本文通过分析圆锥摆和基于硅材料的材料在应力作用下微观结构变形，精确地追踪了完整的转动惯量分布（TCQ）（?T, ?T1/2, ?T2, ?T3, ?T4），并构建了一个改进的TDE精确估计模型。由于TDE和TCQ具有时间序列特性，因此应用了长短期记忆网络（LSTM）进行参数识别，并引入了玻尔兹曼机（BO）来为LSTM的最优超参数提供指导。与基于RBFNN和（?T, ?T1/2, ?T2）的传统模型相比，基于BO-LSTM和（?T, ?T1/2, ?T2, ?T3, ?T4）的改进模型能够将CMG的偏差稳定性平均降低20%，这意味着可以精确且及时地估计CMG的TDE，从而有效分离基于硅材料的温度依赖性，并显著提高CMG在复杂条件下的环境适应性。此外，该模型具有通用性和鲁棒性，因此可以广泛应用于实际场景。