利用全局残差界面表示法对受阻力进行稀疏识别

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Sparse identification of blocked forces using a global-residual interface representation

　　赛义德·莫尔特扎·侯赛尼（Seyed Morteza Hoseyni）|埃赫桑·艾哈迈迪（Ehsan Ahmadi）|奥利弗·法雷尔（Oliver Farrell）|约书亚·W.R.梅吉特（Joshua W.R. Meggitt）
英国曼彻斯特大区索尔福德大学（University of Salford）声学研究中心

**摘要**
在选择适当的界面表示方法时，通过逆向方法识别力是一个关键步骤。理想的界面表示方法不仅应易于理解，还应具有良好的条件数，并且能够以较低的误差恢复力值。目前最广泛采用的表示方法是虚拟点（Virtual Point, VP）方法，该方法将测量得到的自由度（Degrees of Freedom, DoFs）局部投影到一组共位的刚性界面模式上。尽管这种方法易于解释，但在低频时，当源动力主要由全局刚体运动支配时，往往会得到条件数较差或误差较大的结果，这是由于界面模型参数过多导致的。在本文中，我们通过分离界面动力的全局部分和残差部分来重新定义VP表示方法：将全局动力从局部界面运动中过滤出来并投影到其自身的全局VP上，然后将剩余的残差界面运动投影到一组局部VP上。这样得到的界面表示方法能够清晰地区分局部和全局源动力。我们在具有刚性和弹性边界条件的重型冲压机上展示了该方法的应用结果。结果表明，所提出的全局残差虚拟点（Global Residual Virtual Point, GR-VP）与标准VP方法表现相当，在低频和高频范围内都有显著改进。我们进一步研究了GR-VP方法与最佳子集自由度选择（best subset DoF selection）结合使用的效果，发现与标准VP相比，GR-VP在比较刚性和弹性安装下的受阻力时能够提供更稳健的界面表示。

**1. 引言**
为了表征振动源（如运行中的机器），通常考虑在其连接界面处的一组等效力，而不是机器内部的复杂生成力。这种选择主要是出于方便考虑，因为内部力无法直接获取，且其位置或方向往往不易明确。然而，这种方法也有其他优势：它允许我们比较不同的振动源，识别出问题较大的力贡献，甚至可以构建假设装配体的振动声学虚拟原型（Vibro-Acoustic Virtual Prototypes, VAVPs）[1]。
表征振动源的最常用方法是逆向方法，即利用系统的运行响应（即机器运行时）来推断一组等效力，这些等效力在施加到界面自由度（DoFs）上时会产生观察到的响应。这种方法构成了逆向力识别（Inverse Force Identification, IFI）的基础[2]，该方法用于经典（接触力）[3]、[4]和受阻力[5]传递路径分析方法中。
应用IFI的第一步，也是通常最关键的一步，是选择界面模型，即确定作用在界面上的等效力（平移、旋转等）的位置和形式。从数学上讲，界面模型的选择相当自由，只要它足够详细，能够控制连接接收器内的响应即可（即包含足够的自由度）。然而，就实用性而言，并非所有表示方法都是一样的。适用于IFI的界面表示方法应满足以下要求：
1. **易于理解**——识别出的力应便于测试工程师理解。
2. **条件数良好**——所得到的逆问题应能够以较低的误差恢复力值。
3. **实用性**——该表示方法应能够从一组测量得到的自由度中得出。
几十年来，提出了多种界面表示方法，包括：等效多点连接[6]、等效单点连接[7]、有限差分近似[8]、界面移动性[9]、虚拟点[10]（及其灵活扩展[11]）和多项式基[12]等。目前，虚拟点（VP）在流行程度上处于领先地位，因为它实现简单、能够强制共位自由度，并且能够包含柔性界面动力学。
在使用标准VP方法时，首先通过一组“测量”自由度实验表征每个界面连接点，然后通过一组刚性运动约束将这些自由度投影到虚拟点上。结果得到的一种界面表示方法是每个连接点由6个自由度描述：x、y和z方向的平移以及绕各轴的旋转（α、β和γ）。在中频范围内，当连接点独立移动同时保持局部刚性时，这种表示方法是有效的。在高频范围内，当局部弯曲变得重要时，VP表示方法可以扩展以包括所谓的柔性界面变形模式（如伸长、倾斜等）。然而，在低频范围内，当源动力主要由全局刚体运动支配时（即整个机器作为一个刚体移动），上述表示方法会导致严重的冗余/参数过多。例如，对于一个四足振动源，24个VP自由度仅用于描述6个主要的刚体运动。这种参数过多会导致逆问题条件数恶化，从而增加不确定性。在本文中，我们关注的是如何在低频至中频范围内更好地表示界面，以减少上述问题。

**2. 理论**
在本节中，我们描述了与本工作相关的主要背景理论，即受阻力的间接确定方法（2.1节）和虚拟点变换方法（2.2节）。在2.3节中，我们提出了基于全局和残差界面动力重新定义的虚拟点表示方法。

**图1. 受阻力的示意图。**
fi和p(x)分别表示源内部的驱动力和分布载荷，f?c是满足刚性约束vc=0所需的阻挡力。

**2.1. 受阻力识别**
受阻力描述了振动源在刚性约束下运行时界面c处的反作用力，如图1所示。等效地，它可以被解释为外部施加到界面上时抵消界面运动、从而将其运动限制为零的力。
数学上，我们可以将受阻力定义为：
$$
f?c = gc \cdot |vc = 0
$$
其中gc表示在界面c处发生的接触力，f?c是当界面受到刚性约束vc=0时的限制力。
显然，通过在边界处提供理想化的刚性约束，受阻力提供了一个独立于任何特定接收器影响的振动源描述。因此，受阻力也是一种独立的源属性。
为了直接表征振动源的受阻力，需要将振动源连接到（近似）刚性的测试台上，例如一个大的阻挡质量，并在振动源接触点和测试台之间放置力传感器。显然，这种刚性要求只能在特定的频率范围内近似满足；即使是最刚性的测试台最终也会进入模态/柔性状态。此外，确定旋转和平面内的受阻力也是一个挑战。总之，直接测量受阻力充满困难且通常不切实际。幸运的是，有一种间接测量方法可用。
上述直接方法侧重于通过安装的力传感器直接测量力。间接方法则涉及测量诱导响应，从而推断未知的受阻力。间接方法基于的关键方程是：
$$
vb = YCbc \cdot f?c
$$
其中vb是结构在接收器内一组“指示”位置b处的运行响应（待测量），YCbc是装配结构在界面和指示自由度之间的传递函数（FRF，也待测量），f?c是未知的受阻力。注意，指示自由度b也可以位于界面c处，在这种情况下，方程（2）变为：
$$
vc = YCcc \cdot f?c
$$
方程（2）（以及（3））提供了振动源的受阻力与其安装的装配体响应之间的关系。
为了确定受阻力，我们必须解决“逆问题”。将方程（2）的两边同时乘以FRF矩阵的（伪）逆矩阵，得到：
$$
f?c = YCbc + vbor
$$
$$
f?c = YCcc^{-1} \cdot vc
$$
根据方程（4），要解决方程（2），测量到的响应数量（M）必须等于或大于要确定的受阻力数量。也就是说，要确定N个受阻力，需要记录M个响应。FRF矩阵YCbc的维度应与受阻力和运行响应向量的维度一致，即M×N。
有关方程（3）、（4）的具体细节（包括其推导、实际实现和不确定性），读者可以参考[1]及其中的参考文献。
重要的是，方程（4）提供了一种无需刚性测试台即可确定受阻力的方法。实际上，对安装振动源的装配体C没有任何限制。因此，方程（4）实现了现场表征受阻力的能力；无需将振动源从其预定安装位置移除。上述间接受阻力方法具有很高的实用性，现已被确立为国际标准（ISO 20270:2019）。

**2.1.1. 界面表示方法**
在描述间接受阻力方法时，我们略过了一个非常重要的细节——界面表示方法。在方程（2）（和（3））中，我们仅用下标c表示界面自由度。我们没有说明这些自由度具体代表什么……实际上，我们在如何定义或表示界面方面有很大的灵活性。例如，具有离散连接点的界面可以通过一组共位的点状自由度（如VP方法）很好地表示，而连续的焊接界面则可能更适合使用一组连续的傅里叶基自由度[9]来表示，而不是点状离散化[14]。实际上，界面表示方法的选择，以及界面自由度的类型，取决于具体问题。
在分析复杂结构系统（特别是在力识别等实验技术中）时，准确理解界面动力学至关重要。由于界面有多种物理形式（从螺栓连接的法兰到较宽的接触表面），从测量数据中开发模型并识别其动态行为并不总是简单的。当接触区域相对于相关结构波长较小时，通常将连接简化为离散点。这导致单点或多点表示方法，其中界面被建模为一组局部化的点状连接。这种模型的目标是完全表征界面的动态行为，通常每个连接需要六个自由度：三个笛卡尔轴方向的平移和三个相应的旋转。然而，直接测量所有六个自由度在实验上具有很大挑战性，因为能够测量这些自由度的传感器在标准实践中很少见。即使在单一点捕获平移频率响应函数（FRFs）也需要精确对齐力和响应测量值，这通常是不切实际的。为了解决这些限制，通常使用间接方法从周围的测量数据中推断界面的自由度（DoFs）。其中一种方法是有限差分（FD）方法，该方法利用对称分布的传感器/冲击产生的仅平移数据来估计平移和旋转行为。尽管概念上简单，但由于该方法依赖于对称性，在无法实现完美共位时可能会导致不准确的结果。一种更灵活且稳健的方法是虚拟点变换（VPT）。该技术基于刚体运动学，通过结合来自多个任意位置传感器/冲击的数据，在虚拟点上重建平移和旋转DoFs。VPT具有几个关键优势：通过使用所有可用的测量数据，方程组变得过度确定，从而可以更准确地估计VP DoFs；此外，平移和旋转响应在相同的物理点上定义，消除了结合来自不同来源的模型或测量数据时的对齐不一致问题。与FD方法不同，VPT不需要对称的传感器布置，因此非常适合复杂的实验设置。虽然点状界面模型是一种理想化，但VPT已被证明是一种实用且强大的方法，可以使用实验测量数据准确表示界面动力学，尽管在低频和高频范围内仍存在一些挑战。

在高中频范围内，结构波长与界面接触区域的尺寸相当。因此，局部弯曲开始在界面动力学中起重要作用，点状假设不再成立。此时，可以通过包括柔性变形模式来扩展VPT，以补充描述刚性界面行为的模式，从而扩展其工作频率范围。然而，由于仪器和实际需求的限制，这种扩展有一定的限度。在某些情况下，可能需要采用更适合高频动力学的替代方法，例如基于波或能量的方法。尽管如此，在撰写本文时，这一研究领域还相对较少探索。

在低频范围内，结构波长与源的尺寸相当，系统的响应可能主要由全局刚体（RB）动力学主导。虽然这些刚体运动由每个界面连接处定义的VP DoFs隐式捕获，但这样做存在相当大的冗余。回想一下方程（4），为了获得受阻力，我们必须计算矩阵的逆。当使用VP表示定义的FRF矩阵YC主要由刚体运动主导时，它会变得秩不足，即其两行或更多行/列线性相关。例如，如果一个源表现出完美的垂直RB运动，则每个VP处的z DoF将是相同的，FRF矩阵的相应行/列也是如此。结果是一个条件较差的矩阵逆，对小的测量误差非常敏感，导致不可靠的力估计。这里的一个常见解决方案是应用一种称为奇异值拒绝[15]的正则化方法。其原理是在低频范围内，源的刚体运动可能由FRF矩阵的前6个（或更多）奇异值（SVs）描述；然后可以丢弃剩余的SVs并计算一个条件良好的矩阵逆。这种方法通常效果不错，但其主要缺点是得到的力缺乏可解释性；截断的SV分解只是一个数学工具，并不考虑问题的潜在物理机制。

在本文中，我们提出了第2.3节中描述的增强型全局残差VP，它似乎在处理上述低频和高频挑战方面具有一定的潜力。

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图2. 一个具有冲击（左）和响应（右）位置的界面，用于虚拟点变换。

2.2 虚拟点变换
虚拟点（VP）变换是一种刚体运动学投影，它将一组任意位置（平移）的响应传感器和激励力与用户定义的VP的平移和旋转动力学相关联。如果我们假设局部界面连接表现为刚性（即点状），则任意三轴传感器vn的平移响应可以用VP的组合平移和旋转运动表示（见图2），（5）其中vvp=vxvyvzvαvβvγT是VP响应向量。局部变换矩阵Rvn表示一对线性变换，用于解释传感器相对于VP的方向和位置。后者的列称为刚性界面变形模式（IDMs），描述了测量响应与VP之间的刚性运动学约束。为了允许界面灵活性，可以在Rvn中加入额外的柔性IDMs。例如，包括伸缩和扭转模式，我们有（6）

对于围绕VP并垂直堆叠的三个（或更多）三轴传感器，可以写成（7）
v=Rvvvp
其中v=v1v2v3
并且Rv=Rv1Rv2Rv3。

我们通过取变换矩阵Rv的伪逆来求解VP响应，即（8）
vvp=Tvv
其中Tv=Rv+=(RvTRv)?1RvT。

变换矩阵Tv将测量响应v的刚性部分投影到VP上；v中的任何非刚性灵活性都会通过这种投影丢失。通过包含额外的界面变形模式，可以保留一些灵活性。

类似的变换也可以应用于界面连接周围的外力。假设局部刚性，任意外力的应用会在VP产生一组平移和旋转力，即（9）
fvp=Rfm,Tfm
其中Rfm,T=1000100010?rZrYrZ0?rX?rYrX0eXmeYmeZm
其中fvp=fxfyfzfαfβfγT是VP力，Rfm,T再次表示一对线性变换，用于解释施加力的位置和方向。如果需要，我们也可以类似地扩展Rfm,T以包括柔性模式。

方程（9）可以写成多个（通常是9个）独立施加力的形式，并水平堆叠，即（10）
fvp=RfTf
其中f=f1f2?f9
并且RfT=Rf1,TRf2,T?Rf9,
取方程（10）的逆，我们得到施加力的VP变换，即（11）
f=TfTfvp
其中TfT=RfT+=Rf(RfTRf)?1
与方程（8）一样，TfT仅投影刚性界面力。

现在我们具备了将测量得到的FRF矩阵Y（它关联了特定连接处的外力f和周围响应v）（12）
v=Yft
转换为VP表示。将方程（12）左乘以Tv并代入f=TfTfvp，我们有（13）
vvp=Tvv=TvYTfTfvp
从中我们可以识别出连接的VP FRF矩阵，即（14）
Yvp=TvYTfT。

注意，如果存在多个界面连接，它们的相应变换矩阵Tv和TfT可以被块对角化，并应用于完整的界面FRF矩阵。

2.2.1 力识别
根据上述VP变换，在估计受阻力时，我们可以有两种选择，这取决于是否对响应向量进行变换。考虑到对力和响应都应用VP变换，我们的受阻力估计变为（15）
vvp=Tvv=TvYCTfTf?vp?f?vp=TvYCTfT+Tvv
其中需要注意的是，位于界面c处的响应向量v的元素已被Tv投影到VP上。注意，变换Tv发生了两次；这相当于从v中过滤掉了柔性动力学，仅从刚性界面响应中推断出f?vp。有人认为这一步是不必要的，实际上会削弱施加的约束（因为只有刚性界面运动会受到约束）。完全省略响应变换，我们有（16）
v=YCTfTf?vp?f?vp=YCTfT+v
其中f?vp现在定义为同时约束了刚性和柔性界面运动。在本文中，我们将考虑后一种方法。

2.3 全局残差虚拟点
在本节中，我们将VP理论发展成所提出的全局残差表示。我们将关注仅对所需力应用界面变换的情况，即指示DoFs保持不变。我们关注方程（17）
v=YCTfTf?vp
其中f?vp是VP受阻力，YC是关联测量DoFs的FRF矩阵，TfT是将测量DoF力投影到VP的变换矩阵。

我们寻找一个变换矩阵Tf，将全局动力学与局部连接动力学分开，使得获得的受阻力具有以下形式（18）
f?vp=f?vpgf?vpΔ
其中f?vpg是描述全局源行为的力分量，f?vpΔ是在去除全局力贡献后留在局部连接处的残余力。

为了分离局部和全局动力学，我们引入了一个位于源内部的全球VP。通过使用一组刚性IDMs将所有测量的界面力投影到这个点上（见方程5），我们有效地去除了各个连接之间发生的任何相对运动或灵活性，即无法用刚性运动学关系描述的动力学。从这个意义上说，我们将投影后的全局动力学描述为刚性相关的。应该注意的是，这些刚性相关动力学的性质会随频率而变化。具体来说，在低频范围内，它们可以与源的刚体动力学相关联。在中高频范围内，它们的物理解释不太清楚。第3节的实验研究对此进行了进一步讨论。

全局和N个局部VP的力变换分别为（19）
fvpg=Rfg,Tf
（20）
fvp=RfTf
其中fvpg∈?6和fvp∈?6N是变换后的全局和局部VP力，f是用于测量界面FRF矩阵的施加力向量。注意RfT是一个刚性IDMs矩阵，它将每个连接点周围的力投影到相应的VP上，而Rfg,T将同一组力投影到单个全局VP上。

为了获得残余VP力fvpΔ的变换，我们需要从局部VP表示中去除全局贡献。首先使用逆变换Rf+g,T将全局力fvpg投影回测量DoFs（21）
fg=Rf+g,TRfg,Tf=Ffgf
其中Ffg是一个仅保留全局（即刚性相关）动力学的过滤矩阵，fg是施加力的全局分量。接下来，我们定义残余力fΔ，使得施加力f可以写成全局和残余分量的和（22）
f=fg+fΔ
或
fΔ=f?fg=f?Ffgf=I?Ffgf。

然后我们使用标准的刚性IDMs将残余力投影到局部VP上（23）
fvpΔ=RfTI?Ffgf。

得到的力fvpΔ是局部VP的残余分量，去除了刚性相关的动力学。从这个意义上说，我们可以将残余动力学称为“刚性不相关”的，因为它们描述了无法通过简单运动学变换关联的界面动力学。

最后，为了确定施加力和全局残余力之间的变换，可以独立反转方程（19）和（23），并将其组合起来（24）
f=Rfg,T+RfTI?Ffg+fvpgfvpΔ=Tfg,TTfΔ,TfvpgfvpΔ。

使用上述变换，受阻力的估计（以全局和残余分量为单位）变为（25）
v=YCTfg,TTfΔ,Tf?vpgf?vpΔ?f?vpgf?vpΔ=YCTfg,TTfΔ,T+v。

应该注意的是，全局残差（GR）变换充当了一个DoF扩展。然而，它没有添加新的信息，它只是将测量的FRF矩阵（以及受阻力）划分为刚性相关和无关的部分。因此，变换后的FRF矩阵的秩肯定是不足的。由于过滤矩阵Ffg不是正交投影器，因此补充I?Ffg不会形成真正的正交子空间。正交投影（P=QQT，其中Q是正交基）将仅去除六个刚性相关方向，而非正交投影则会去除与全局VP部分对齐的额外分量。因此，GR-VP的秩低于标准VP公式。这不是一个问题，可以使用截断的伪逆或子集选择来解决。然而，这是该方法的一个不希望出现的特性。在未来的工作中，我们将探索使用正交投影来分离全局和残余动力学，以避免这个问题。

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图3. 安装在惯性块上的吨位冲压机的实验装置，用于受阻力识别。冲压机由三个离散的脚（脚1-脚3）支撑，这些脚位于一个刚性惯性块上。每个脚都装有3个三轴加速度计，并受到9次冲击的激励。两个单轴加速度计安装在惯性块上，用作远程验证点。3. 实验研究本实验研究旨在评估全局残差虚拟点作为一种接口表示方法，用于在不同边界条件下估计重型工业机器的受阻力。测试对象是一个安装在惯性块上的吨位冲压机，如图3所示。该机器由三个不同的脚支撑，考虑了两种边界条件：（1）每个脚下方使用钢块的刚性接口；（2）使用Farrat Isolevel有限公司制造的Isomat BR70橡胶的弹性接口。为了表征接口处的动态行为，使用了九个三轴加速度计（PCB 356 A）（每个脚三个）。此外，还在惯性块上放置了两个单轴加速度计（PCB 393B05），远离脚部，用作受阻力的远程验证点。使用模态冲击锤（B&K类型8207）在每个脚的多个位置激发系统。对于每个脚，在每个笛卡尔方向（X、Y、Z）上进行三次冲击，每个脚共9次冲击，三个脚总共27次冲击。所有测量数据均使用DEWEsoft SIRUS采集系统获取。实验程序分为两个阶段。在被动阶段，使用模态冲击锤获得加速度频率响应函数（FRFs）。在主动阶段，机器在正常工作条件下运行，以捕获其接口和远程点的动态响应。在运行过程中，机器的内部压缩机持续工作，代表一个持续的背景激励。主要操作事件由两个安全按钮触发，同时按下这些按钮会激活冲压机，使压杆对下方的材料施加高能量冲击。在整个测试过程中，这种压制动作不断重复。在完成主动和被动特性分析步骤后，应用了虚拟点变换来估计受阻力。在本研究中，考虑了三种虚拟点表示方法：单个虚拟点（I-VP）、全局虚拟点（G-VP）和全局残差虚拟点（GR-VP）。对于I-VP情况，在每个脚上定义一个虚拟点，总共18个自由度（DoFs）。对于G-VP，在机器的几何中心定义一个虚拟点，总共只有6个DoFs（注意所有脚的测量数据都投影到G-VP上）。对于GR-VP，在每个脚上还伴随一个残差虚拟点，总共24个DoFs。回想一下，残差虚拟点的定义方式是去除了G-VP的动态（见方程（25））；它们描述了刚性不相关的接口动态。请注意，对于每种表示方法，只有测量到的力被转换；用于计算受阻力的接口FRF矩阵的维度分别为：YCccI-VP∈?2?×1?、YCccG-VP∈?2?×?和YCccGR-VP∈?2?×2?。3.1. 弹性连接首先考虑弹性耦合的情况。图4显示了弹性耦合系统的所有FRF（包括接口和验证DoFs）的平均一致性。鉴于该组件的重量较大，我们在大约10 Hz以下的低频范围内看到较差的一致性。因此，在接下来的讨论中，我们只展示10–1500 Hz范围内的结果。图5显示了每种表示方法的时间平均受阻力图；从左到右分别是I-VP、G-VP和GR-VP。每个子图中的DoFs 1–6对应于在机器中心定义的G-VP，而DoFs 7–24则是在每个脚的中心局部定义的。这些局部DoFs按以下顺序排列：下载：下载高分辨率图像（12KB）下载：下载全尺寸图像其中下标表示脚的位置。观察力图，我们发现I-VP中的各个DoFs之间有显著的变化，特别是在平移和旋转DoFs之间。这是由于它们的单位不同所致。在GR-VP中，这种变化大大减少；据推测，每个I-VP的平移部分主要由G-VP解释，因此残差幅度较小。G-VP显示了预期的结果：在低频范围内（即G-VP适用的范围），垂直力（即机器冲压的方向）的幅度最大。需要注意的是，在GR-VP情况下，使用了奇异值截断；基于I-VP隐含地捕获了G-VP动态的概念，因此分离全局和残差项不会增加额外信息。因此，我们将GR-VP表示中的奇异值数量限制与I-VP相同。为了验证受阻力，我们首先使用标准的机载验证方法，即使用受阻力在连接的接收器中进行响应预测。在机载验证之后，我们考虑了更具挑战性的可转移性验证，即使用从一个安装中获得的受阻力来预测另一个安装的响应。下载：下载高分辨率图像（221KB）下载：下载全尺寸图像图4. 弹性安装源的所有测量的平均一致性。下载：下载高分辨率图像（514KB）下载：下载全尺寸图像图5. 使用单个虚拟点（I-VP左）、全局虚拟点（G-VP中）和全局残差虚拟点（GR-VP右）获得的弹性组装的时间平均受阻力图。图6和图7显示了两个远程传感器的窄带和1/3倍频程带的机载验证预测结果。在所有三种情况下，我们都看到了合理的预测准确性。一个令人惊讶的结果是G-VP表示在中高频范围内的明显成功。这支持了G-VP表示虽然旨在处理低频刚体动态，但实际上能够捕捉整个频率范围内的刚性相关动态的观点。为了更好地评估每种表示方法的性能，在图8中，我们将1/3倍频程带的误差与直接测量的响应进行了比较。我们看到，在大部分频率范围内，所有三种方法的误差都低于5 dB。似乎在响应的最低部分（即大约30 Hz以下），G-VP的表现略优于I-VP。这可能是因为（a）源的行为是刚性的，因此G-VP完全捕获了其动态；（b）G-VP产生的矩阵较小，对矩阵求逆的病态条件和敏感性不敏感。在中频范围内，I-VP的表现优于G-VP，后者开始出现最大的误差。这可能是由于源表现出一些G-VP未捕捉到的灵活性。再次如前所述，我们在频率范围的高端看到G-VP的表现优于I-VP。我们怀疑原因如下：在高频下，各个脚之间是不相关的，因此可以很容易地将其合并为一组等效的“刚性相关”力。这与在高频使用基于功率的方法的想法相符，因为在高频下，模态复杂性的增加实际上会导致更简单的动态关系，例如在统计能量分析中。现在考虑GR-VP的误差，我们看到它与I-VP和G-VP大致相当，并且介于两者之间。回想一下GR-VP的目的——即分离刚性相关动态以提高接口模型的可解释性——考虑将I-VP和GR-VP表示都截断为仅6个奇异值将是有趣的。通过这样做，每种表示方法都只包含最重要的信息（就解释的方差而言）。结果误差显示在图9中。将结果与图8中的先前误差进行比较，我们发现了两个关键结果：（1）I-VP的误差在整个频率范围内显著增加；（2）GR-VP的误差趋向于G-VP的误差。后一个结果表明，GR-VP中最显著的6个奇异值与G-VP的DoFs密切相关，使它们比I-VP更具可解释性和表达力。图8中还以灰色显示了在受阻力估计中不使用奇异值截断时的GR-VP误差；误差的增加是由于GR-VP作为DoF扩展，导致矩阵rank不足/病态，如第2.3节所讨论的。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像图6. 使用每种接口表示的弹性组装的窄带机载验证结果；单个虚拟点（I-VP顶部）、全局虚拟点（G-VP中间）和全局残差虚拟点（GR-VP底部）。下载：下载高分辨率图像（605KB）下载：下载全尺寸图像图7. 使用每种接口表示的弹性组装的1/3倍频程带的机载验证结果；单个虚拟点（I-VP顶部）、全局虚拟点（G-VP中间）和全局残差虚拟点（GR-VP底部）。下载：下载高分辨率图像（470KB）下载：下载全尺寸图像图8. 弹性组装的1/3倍频程带机载验证误差。蓝色表示的GR-VP表示使用了18个奇异值的TSVD。下载：下载高分辨率图像（535KB）下载：下载全尺寸图像图9. 弹性组装的1/3倍频程带机载验证误差。I-VP和GR-VP表示使用了6个奇异值的TSVD。灰色显示的是未使用TSVD时的GR-VP误差图。尽管GR-VP在误差方面似乎没有立即的优势，但在第3.3节中，我们将研究将其与最佳子集选择方法结合使用是否带来任何好处。这种选择的思想是始终保留G-VP的DoFs，并对剩余的残差进行DoF选择。除了通过机载验证来验证受阻力外，我们还进行了可转移性交叉验证，即使用从弹性组装获得的受阻力来预测刚性组装的响应。这些响应预测分别显示在图10和图11中，针对窄带和倍频程带。图12显示了相应的倍频程带误差。结果在很大程度上与机载验证的结果一致；GR-VP与I-VP的一致性水平相似，而在高频范围内，G-VP的表现优于两者。这些结果验证了G-VP和GR-VP表示的独立性和可转移性。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像图10. 使用每种接口表示的弹性受阻力预测刚性组装的窄带转移验证结果；单个虚拟点（I-VP顶部）、全局虚拟点（G-VP中间）和全局残差虚拟点（GR-VP底部）。下载：下载高分辨率图像（612KB）下载：下载全尺寸图像图11. 使用每种接口表示的弹性受阻力预测刚性组装的1/3倍频程带结果；单个虚拟点（I-VP顶部）、全局虚拟点（G-VP中间）和全局残差虚拟点（GR-VP底部）。下载：下载高分辨率图像（469KB）下载：下载全尺寸图像图12. 弹性组装的1/3倍频程带转移验证误差。蓝色表示的GR-VP使用了18个奇异值的TSVD。下载：下载高分辨率图像（962KB）下载：下载全尺寸图像图13. 弹性组装的I-VP、G-VP和GR-VP FRF矩阵的奇异值谱。注意对于GR-VP，我们只绘制到第18个奇异值。下载：下载高分辨率图像（317KB）下载：下载全尺寸图像图14. 弹性组装的I-VP、G-VP和GR-VP FRF矩阵的条件数。注意对于GR-VP，条件数是计算第一个和第18个奇异值的比率（而不是第24个）。最后对于弹性情况，在图13和图14中，我们分别绘制了每种表示的转换后FRF矩阵的奇异值谱和条件数。最直接的观察是GR-VP表示中的奇异值有很大分离，导致条件数非常大。这种分离有两个根本原因。首先，由于非正交投影（见第2.3节），FRF矩阵的秩降低，导致一些奇异值丢失。其次，回想图9中的内容，GR-VP的6个主要奇异值似乎能够捕捉到与6个G-VP自由度（DoFs）相同的动态特性。因此，我们可以将GR-VP奇异值的分离部分解释为全局动态与残差动态之间的分离。由于旋转分量的杠杆臂长度不同，全局动态和残差动态的数量级也会有所不同。当遇到如此广泛的奇异值和较大的条件数时，一个常见的担忧是误差的放大。尽管乍看之下令人担忧，但实际上这并不是一个紧迫的问题。实际上，我们在图6、图7、图8、图9、图10、图11、图12中已经看到，GR-VP阻塞力在弹性和刚性组件中都能保持准确性，并能够重建响应。通过在求解阻塞力时使用截断的奇异值分解（SVD），可以去除接近零的奇异值，从而获得准确的阻塞力。此外，如第3.3节中简要说明的，当与最佳子集选择结合使用时，从自由度选择中得到的缩减矩阵大小自然会导致条件数的降低。

3.2. 刚性连接
现在我们考虑刚性连接组件的结果。图15显示了刚性连接情况下所有频率响应函数（FRFs）（包括接口和验证FRFs）的平均一致性。正如预期的那样，与弹性情况相比，刚性FRFs受到噪声的影响更大，尤其是在低频范围内。我们可以看到，只有在大约50 Hz以上，测量质量才开始变得合理。因此，此后我们只展示50–1500 Hz范围内的结果。图16、图17、图18、图19、图20、图21、图22、图23、图24、图25的结构与弹性情况相同，得出的结论也大致相同；GR-VP和I-VP在机载验证和可转移性验证中提供了相似的准确性水平。与之前一样，我们发现考虑到其简单性，G-VP在低频和高频下产生的误差相对较低。当保留18个奇异值时，GR-VP的误差主要跟随I-VP的误差，但在更高频率下略有恶化。将奇异值数量减少到6个时，GR-VP的误差开始跟随G-VP的误差，这与GR-VP表示的主要奇异值与刚性相关接口动态有关的概念相符。相比之下，当仅保留6个奇异值时，I-VP的误差显著增加。

或许上述结果的主要结论是，G-VP（以及GR-VP的前6个自由度）似乎比传统I-VP表示的6个最主要的奇异值更能准确地反映接口动态。虽然GR-VP本身并不比标准I-VP有明显的优势，但鉴于其简单性，G-VP的相对成功引发了这样一个问题：是否可以通过使用子集选择方案从GR-VP中获得误差更低的解决方案。这种方法的思想是始终保留GR-VP中的自由度（这些自由度已被证明在低频和高频下都优于I-VP），同时使用选择程序来确定哪些额外的残差自由度应该包含在解决方案中。我们将在下一节探讨这种方法，尽管在阻塞力识别的背景下对子集选择进行更深入和一般性的研究超出了本文的范围。

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图15. 刚性安装源的所有测量的平均一致性。可用频率范围：50–1500 Hz。
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图16. 使用单个VP（I-VP左）、全局VP（G-VP中）和全局-残差VP（GR-VP右）获得的时间平均阻塞力的力图。
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图17. 使用每种接口表示方法对两个远程传感器进行的机载验证结果（窄带）；单个VP（I-VP上）、全局VP（G-VP中）和全局-残差VP（GR-VP下）。
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图18. 使用每种接口表示方法对两个远程传感器进行的机载验证结果（1/3倍频程带）；单个VP（I-VP上）、全局VP（G-VP中）和全局-残差VP（GR-VP下）。
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图19. 机载验证的1/3倍频程带误差图。蓝色表示的GR-VP表示使用了18个奇异值的TSVD。
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图20. 机载验证的1/3倍频程带误差图。I-VP和GR-VP表示使用了6个奇异值的TSVD。灰色显示的是未使用TSVD的GR-VP的误差图。
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图21. 转移验证（刚性阻塞力预测到弹性组件）的结果（窄带），对于两种接口表示方法；单个VP（I-VP上）、全局VP（G-VP中）和全局-残差VP（GR-VP下）。
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图22. 转移验证（刚性阻塞力预测到弹性组件）的结果（1/3倍频程带），对于两种接口表示方法；单个VP（I-VP上）、全局VP（G-VP中）和全局-残差VP（GR-VP下）。
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图23. 转移验证（刚性阻塞力预测到弹性组件）的1/3倍频程带误差图。蓝色表示的GR-VP表示使用了18个奇异值的TSVD。
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图24. 刚性组件的I-VP、G-VP和GR-VP FRF矩阵的奇异值谱。注意对于GR-VP，我们只绘制到第18个奇异值。
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图25. 刚性组件的I-VP、G-VP和GR-VP FRF矩阵的条件数。注意对于GR-VP，条件数是计算第1个和第18个奇异值的比值。

3.3. GR-VP子集选择
最佳子集选择（BSS）是一种用于过度参数化线性问题的解决策略。其目的是找到一组简化的参数，这些参数能够根据某些选定的误差指标充分满足基础方程组。尽管在信号处理（例如压缩感知）等领域已经得到广泛应用，但它最近才被提出用于现场阻塞力估计[16]。在这种情况下使用它的理由是，虽然一个接口可能由一组完整的接口自由度表示，但在给定频率下只有其中的一部分自由度是活跃的。包括不贡献的自由度可能导致条件数不佳或过度参数化的接口模型，并且在识别的阻塞力上产生较大误差。子集选择旨在识别一组简化的接口自由度，这些自由度能够提供更好的预测准确性，同时也有助于提高可解释性。存在多种子集选择方法，目前还没有共识哪种方法最适合阻塞力识别。在本文中，我们采用了正交最小二乘法[17]。这种方法也称为顺序前向选择，在[13]中已被应用于阻塞力识别，其中被称为X-DoF。该过程首先定义一个空集Γ0={}，作为f中非零元素的索引集（即f中的所有元素最初都为零）。在过程的第k步中，将一个满足条件（26）imax=arg min‖v?YΓk?1iYΓk?1i+v︷rk‖22的索引imax添加到集合Γk?1中，其中Γk?1i=Γk?1∪i，YΓk?1i定义为包含Y中对应于Γk?1i中非零索引的列的矩阵。实际上，我们添加的是最小化当前响应重建误差（即残差rk）的索引。

与穷举BSS不同，正交最小二乘法将函数评估的总次数从2^n减少到n+(n?1)+?+2+1=n(n+1)/2。在算法的每一步中，都会生成一个包含越来越多自由度的候选解。所有迭代完成后，最后一步是根据适当的误差指标从候选解集合中选择一个解。由于子集选择的目的是识别稀疏解，如果两个候选模型产生相同的误差，通常会选择非零元素较少的那个。为此，通常使用一个考虑解复杂性的误差指标来进行模型选择（例如在[13]中）。在这项研究中，我们考虑了基于标准均方误差（MSE）和信息论指标（特别是贝叶斯信息准则（BIC）[18]的模型选择，对于假设的高斯噪声模型，其形式为（27）BIC=nlogMSE+klogn，其中k是非零阻塞力的数量，n是用于计算MSE的样本数量。注意BIC旨在在模型拟合（通过MSE项）和模型稀疏性（通过k因子）之间进行权衡。

为了验证模型选择，使用在选择过程中未使用的新数据集是一个好习惯。在我们的研究中，我们使用可转移性验证来进行这一目的；每个阻塞力“模型”都是根据接口测量结果确定的，最优模型基于机载验证误差（MSE或BIC）进行选择，然后将该选定的阻塞力模型转移到另一个安装环境中（即从刚性到弹性，反之亦然），并用于预测其远程响应。

关于我们实施前向选择的最后一点说明：与典型的前向选择从空解开始不同，对于GR-VP表示，我们首先包括所有G-VP自由度，以便选择过程仅应用于残差自由度。对于I-VP，我们像通常一样从空解开始，并对所有I-VP自由度进行选择。

3.3.1. 弹性连接
图26显示了使用基于MSE的模型选择通过顺序前向选择从弹性连接源获得的阻塞力，对于I-VP和GR-VP表示都是如此。图29显示了使用基于BIC的模型选择获得的等效力图。我们看到，在所有情况下，都获得了稀疏解，而不是“完整”解，尽管由于接口表示和模型选择指标的不同，得到的稀疏模式有很大差异。首先考虑基于MSE的选择，我们看到I-VP的力在低频范围内略有增加，这可能是由于在这个范围内刚体动力学占主导地位。在中高频范围内，虽然力仍然相对稀疏，但在频率变化时表现得非常不规则，“开启和关闭”迅速，几乎没有可识别的趋势。最后，我们看到在大部分频率范围内，每个VP的z自由度保持活跃。这是预期的，因为源的主要激励机制在这个方向上起作用。

检查基于MSE的GR-VP力，我们看到在低频范围内解决方案同样相对稀疏，大多数残差项被设置为0。这与在低频下刚体力主要由保留的G-VP捕获的观点一致。与I-VP不同，GR-VP在高频范围内也产生了稀疏解。这与高频下残差力变得不相关，因此可以用等效的单点表示充分描述的观点相符。在中频范围内，由于源被怀疑具有低模态密度且可灵活变形，解决方案相当密集，许多残差力处于活跃状态。

基于图26中显示的MSE力图，图27展示了稀疏I-VP和GR-VP解决方案的机载验证误差。对于这两种情况，我们看到与图8相比，所有频率范围内的误差都有显著降低。回想一下，机载验证也用于模型选择，因此减少的误差可能仅仅是过拟合的结果。为了更全面地测试模型选择的有效性，我们进行了交叉验证，使用选定的力来预测刚性装配中的响应。1 结果中的可转移性误差在图28中以实线表示。伴随的虚线代表使用标准、非稀疏、阻塞力得到的误差。虽然与图27相比，所有频率下的误差都有所增加，这是转移验证的典型特征，但I-VP和GR-VP的表现趋于相当。与标准非稀疏解（虚线）相比，我们发现得到的误差并没有显著差异。也就是说，稀疏阻塞力在预测次级装配的响应方面与标准阻塞力一样好。仔细观察后我们发现，稀疏GR-VP的误差仅在少数频率上略高于标准GR-VP的误差。而稀疏I-VP的误差则更频繁且幅度更大。

转向基于BIC的自由度（DoF）选择结果（图29），我们看到所有频率下的稀疏度都有显著增加。这是预期之中的结果，因为BIC相比MSE更倾向于促进稀疏解的产生。对于I-VP，我们看到类似的不规则DoF选择，其中平移z方向的DoF（2和8）最为活跃。对于GR-VP，低频和高频范围的DoF选择与MSE选择非常相似，而中频范围内的活跃DoF数量大幅减少。

在图30和图31中，我们看到基于BIC的模型选择在机载验证和可转移性预测方面，GR-VP的表现都优于I-VP。此外，与标准非稀疏误差（图31中的虚线）相比，稀疏GR-VP的误差频率较少，而稀疏I-VP在低至中频范围内的误差增加较多。

总体而言，MSE和BIC的结果表明，在当前案例研究/边界条件下，GR-VP相比I-VP提供了更稳健的阻塞力表示。

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图26. 使用I-VP（左）和GR-VP（右）以及MSE模型选择，通过顺序正向选择从弹性装配中获得的阻塞力图。
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图27. 使用MSE正向选择，在机载验证中对I-VP和GR-VP的1/3倍频程带误差。
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图28. 在转移验证中（弹性阻塞力预测到刚性装配），使用MSE正向选择对I-VP和GR-VP表示的1/3倍频程带误差。虚线代表图12中使用非稀疏解决方案得到的误差。
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图29. 使用I-VP（左）和GR-VP（右）以及BIC模型选择，通过顺序正向选择从弹性装配中获得的阻塞力图。
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图30. 使用BIC正向选择，在机载验证中对I-VP和GR-VP的1/3倍频程带误差。
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图31. 在转移验证中（弹性阻塞力预测到刚性装配），使用BIC正向选择对I-VP和GR-VP表示的1/3倍频程带误差。虚线代表图12中使用非稀疏解决方案得到的误差。

3.3.2. 刚性连接
图32显示了使用基于MSE的模型选择，通过顺序正向选择从刚性耦合源获得的I-VP和GR-VP表示的阻塞力。图35显示了使用基于BIC的模型选择得到的等效力图。

首先考虑基于MSE的选择，我们看到刚性力图与图26中的弹性情况有一些相似之处，特别是对于GR-VP。对于I-VP，我们在高频范围内看到一些稀疏度的增加，而在低频范围内稀疏度减少。这种低频范围内的稀疏度减少可能是由于在考虑的频率范围之外发生的刚体动力学，即处于噪声底限内。关于GR-VP，我们得出了与之前相同的总体结论；在低频和高频范围内，仅G-VP的DoF就能很好地描述界面，而在中频范围内，剩余的DoF提供了重要的贡献。

检查图33中的机载验证误差，我们看到误差也有类似的减少，且GR-VP通常表现优于I-VP。注意，在图33中，我们绘制了包括10–50 Hz的扩展频率范围内的误差，以突出显示GR-VP在这个范围内的误差减少。这说明了GR-VP表示的一个潜在优势。我们看到，虽然I-VP的误差在50Hz以下显著增加，达到10Hz时的误差为17.5 dB，但GR-VP的误差在10Hz以下保持在3 dB以下。这种误差大幅减少的原因有两个：（1）G-VP的DoF是从所有界面测量中确定的，因此它们被过度确定（降低了对误差的敏感性）；（2）由于正向选择导致的矩阵大小减小（即主要保留了G-VPs），在求逆时减少了误差的放大。

图34显示，使用基于MSE的可转移性误差（即预测到弹性装配）对于GR-VP在低频范围内也有大幅减少，表明在这个范围内获得了可转移的阻塞力。在中频范围内，GR-VP的误差与稀疏I-VP和标准GR-VP（虚线）相比有所增加。

转向基于BIC的DoF选择结果（图35），我们看到稀疏度显著增加，特别是对于I-VP表示。比较弹性安装和刚性安装的基于BIC的DoF选择，我们看到I-VP的力图差异很大。尽管相同的平移z方向DoF仍被保留为“最活跃的”，但刚性力图的整体稀疏度显著增加。这一结果与阻塞力应该是不变源属性的观点相悖，因此应该得到相似的力图。相比之下，两种安装之间的GR-VP DoF选择相当相似。这种相似性部分是由于我们只在剩余组件上进行了DoF选择，在两种情况下都保留了所有G-VP DoF。尽管如此，剩余DoF的选择在两种安装之间也相当相似。

最后，在图36和图37中，我们考虑了基于BIC的模型选择的机载和可转移性验证。我们看到与基于MSE的误差相似的结果；GR-VP在低频范围内表现良好，但在中频范围内被I-VP超越。在高频范围内，两种方法相当。

总结上述子集选择结果，I-VP和GR-VP都具有相似的误差水平，并且GR-VP在低频范围内以及对于弹性安装的源通常表现更好。关于模型选择标准，我们看到信息论的BIC相比标准的基于MSE的选择导致了更高的稀疏度，但代价是误差的增加。对于I-VP，BIC导致的力图具有显著不同的稀疏结构，而GR-VP则保持相当相似，表明在与子集选择结合使用时提供了更稳健的界面表示。值得注意的是，对于I-VP和GR-VP，与标准非稀疏解决方案相比，稀疏解在中频范围内往往会产生更大的误差。在低频和高频范围内，误差趋于减少或至少与标准非稀疏解决方案相当。

从上述结果中尚不清楚的是，中频范围内误差的增加是由于（a）实验/测量不准确，（b）所选的界面表示，还是（c）所选的选择算法。在这方面，对不同子集选择方法进行更详细的比较是值得的，但这超出了本文的范围。

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图32. 使用I-VP（左）和GR-VP（右）以及MSE模型选择，通过顺序正向选择从刚性装配中获得的阻塞力图。
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图33. 使用MSE正向选择，在机载验证中对I-VP和GR-VP表示的1/3倍频程带误差。
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图34. 使用MSE正向选择，在转移验证中（刚性阻塞力预测到弹性装配）对I-VP和GR-VP的1/3倍频程带误差。虚线代表图23中使用非稀疏解决方案得到的误差。
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图35. 使用I-VP（左）和GR-VP（右）以及BIC模型选择，通过顺序正向选择从刚性装配中获得的阻塞力图。
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图36. 使用BIC正向选择，在机载验证中对I-VP和GR-VP表示的1/3倍频程带误差。
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图37. 使用BIC正向选择，在转移验证中（刚性阻塞力预测到弹性装配）对I-VP和GR-VP的1/3倍频程带误差。虚线代表图23中使用非稀疏解决方案得到的误差。

4. 结论
在本文中，我们提出了一种新的界面表示方法，用于基于TPA的力识别问题，例如原位阻塞力方法。我们称之为全局-残差虚拟点（GR-VP），该方法基于将全局（或更准确地说，刚性相关）动力学与局部（刚性不相关）界面动力学分离。为此，所有界面力首先被投影到一个位于源内的全局虚拟点（VP）上。然后这些全局动力学被投影回界面，并从初始力中减去，留下一组残差。这些残差随后被投影到一组局部VP上。全局VP和局部残差VP共同构成了我们提出的GR-VP界面表示。

尽管基于与标准VP相同的测量数据，但重要的是要重申，GR-VP作为一种DoF扩展，会导致秩不足的界面模型。因此，在将其直接应用于力识别问题时应谨慎，以避免不良条件的影响。尽管这是该方法的一个不希望的特性，但它不是主要问题，因为（1）可以使用截断的SVD来求逆得到的FRF矩阵；（2）当与最佳子集选择结合使用时，矩阵大小的减小自然会改善条件。

为了验证GR-VP表示，我们考虑了在弹性 和刚性界面条件下对重型冲压机的阻塞力进行表征。比较了：（1）为每个连接分配一个单独的虚拟点（I-VP）的传统界面表示；（2）使用单个全局虚拟点（G-VP）的表示。机载和可转移性验证表明，GR-VP的表现与I-VP相当；这是预期的结果，因为GR-VP并不包含比I-VP表示更多的信息。GR-VP的主要优势在于信息的解释和浓缩。值得注意的是，我们展示了GR-VP的6个最主导的奇异值捕获了源的刚性相关动力学，产生的误差相对较低，与G-VP相当。对于相同的奇异值截断水平，I-VP产生的误差明显更大，这意味着在相同的“信息”量下，GR-VP能够提供更好的界面表示。尽管GR-VP本身在标准阻塞力识别的准确性方面没有明显优势，但它为探索稀疏界面表示提供了一个有趣的基础。我们研究了GR-VP与最佳子集选择（特别是顺序正向选择）的联合应用，以识别稀疏阻塞力模型。研究结果表明，通过保留所有全局残差虚拟点（G-VP）的自由度（DoFs），并选择性地包含特定的局部残差虚拟点（GR-VP）自由度，可以获得可解释的阻滞力模型，同时有可能降低误差。从这一子集选择中（以及之前的机载验证和可转移性验证结果）可以看出一个有趣的现象：在高频范围内，人们原本认为需要更多的残差自由度，但实际上情况恰恰相反。仅使用G-VP自由度就能够以较低的误差描述力的来源。我们假设这是因为：（a）残差力之间的相关性降低，它们可以很容易地合并为一个等效的虚拟点；（b）较小的矩阵求逆能够得到条件更好的逆矩阵，从而减少误差放大。在非常低频范围内也观察到了类似的好处；传统的内联虚拟点（I-VP）受到噪声的影响，而GR-VP仍然保持了相对较低的误差（<3 dB）。这可能是因为G-VP使用了来自所有接口连接的测量数据，而I-VP仅使用局部接口测量数据，因此G-VP具有更高的确定性。

在我们的子集选择研究中，我们使用了均方误差（MSE）和信息论贝叶斯信息量准则（BIC）来评估模型。正如预期的那样，BIC倾向于选择更稀疏的模型，但代价是增加了机载验证和可转移性误差。值得注意的是，使用BIC进行模型选择时，刚性组件和弹性组件的I-VP力图存在显著差异，这与阻滞力的不变性相矛盾。相比之下，GR-VP在这两种组件中的表现更为一致，表明当与子集选择结合使用时，它可以提供更稳健或更具可转移性的接口表示。总体而言，与标准的非稀疏解相比，无论是I-VP还是GR-VP，稀疏解在两种组件中都没有带来一致的误差降低。稀疏解的好处在很大程度上依赖于频率。

总之，尽管结果尚不具决定性，但全局残差虚拟点在与最佳子集选择结合使用时，似乎在提高接触压力分析（TPA）中的力识别能力方面具有一定的潜力。目前我们的研究仅限于一个重型组件，该组件本身面临一些实验挑战。需要进一步对多种类型的组件进行实验研究，以验证这种方法的有效性，特别是在与最佳子集选择结合使用时。

**作者贡献声明：**
- Seyed Morteza Hoseyni：撰写原始草稿、可视化、验证、软件开发、方法论、研究设计、数据分析、概念化。
- Ehsan Ahmadi：撰写审查与编辑、监督、软件开发、资源管理、项目行政。
- Oliver Farrell：撰写审查与编辑、监督、资源管理、项目行政、资金获取。
- Joshua W.R. Meggitt：撰写原始草稿、可视化、验证、监督、软件开发、资源管理、项目行政、方法论、研究设计、资金获取、数据分析、概念化。