再试排队-库存系统中的利润最大化：一种混合算法 蔡晓丽与秦勇

《Applied System Innovation》：Profit Maximization in a Retrial Queueing-Inventory System: A Hybrid Algorithm Xiao-Li Cai and Yong Qin

　　摘要：本研究探讨了再试排队-库存系统中的利润最大化问题。当系统中没有库存时到达的顾客会进入再试轨道，并被视为再试需求。我们考虑了两种库存补充策略：基本库存策略和(s, S)策略。对于每种策略，我们首先制定了确定速率矩阵和稳态概率所需的基本方程。然后，我们计算了系统的性能指标和利润函数。此外，通过利用粒子群优化（PSO）和遗传算法（GA），我们引入了一种改进的混合优化算法——改进型混合粒子群优化（IHPSO）来解决利润最大化问题。该算法首先使用PSO，然后通过GA的交叉和变异来提高性能。与传统的PSO算法（CPSO）相比，我们的算法表现出更强的全局搜索能力。最后，我们使用IHPSO算法对最优决策变量及其对应的利润进行了数值分析，并得出了几个有趣的发现。

1. 引言
在服务或库存系统中，运营经理经常面临这样的情况：当顾客的需求不能立即得到满足时，他们选择在随机延迟后重新尝试，而不是在系统中等待[1,2]。随着数字化和平台经济的快速发展，包括电子商务平台和全渠道零售系统，顾客现在可以更容易地获取实时产品信息，并且在不同供应商之间切换的成本更低。这些现代零售环境中的结构变化显著提高了顾客的响应速度、不耐烦程度以及再试行为的可能性[3]。在这种情况下，再试行为成为影响系统性能、定价决策和库存控制策略的重要因素。
我们的研究是由以下例子激发的。在数字零售和全渠道运营的时代，许多家具公司，如林氏木业、库卡家居和原始元素家具，通过线下商店和在线平台采用直销策略。在这些基于平台的环境中，顾客可以轻松比较价格、查看实时库存可用性，并以最低成本在竞争者之间切换，这进一步加剧了顾客的不耐烦和再试行为。考虑到相对较长且多变的生产前置时间，例如，实木家具在夏季可能需要长达30天，在冬季可能需要40天。这些公司通常采用按库存生产的策略来确保产品有库存可用。然而，在实践中，由于缺货或等待时间过长，这些数字化市场中的顾客更有可能暂时放弃系统，并在随机一段时间后重新尝试，这是现代数字消费和基于平台竞争所放大的典型行为模式。
运营挑战，如库存控制，在再试排队-库存系统中受到了关注。这一领域的文献通常优化库存水平以最小化成本或找到最优的补充策略[4]，Artalejo等人的工作[5]可以被视为开创性工作。我们的研究与这一领域相关。一些作者研究了不同库存补充策略下的再试排队-库存系统，例如(s, S)策略[6]或基本库存策略[7,8]；有关此主题的综述可见[9]。通常，当存在多个决策变量时，目标函数没有良好的结构（即联合凹性或凸性、单峰性），因此一阶条件的解可能不是最优解。在这一领域，为了获得数值上的全局最优解，一些作者采用了基于推导的算法，如直接搜索方法[6]和牛顿-准方法[10]。对于高度复杂和非线性问题，一些作者则采用启发式算法，如粒子群优化方法[11]或遗传算法[8]。
尽管大多数关于库存系统的文献都集中在运营问题上[12]，但也有一些文献关注运营和市场问题[13,14]。它们通过考虑价格依赖的需求来解决定价和库存控制策略的协调问题。我们的研究也与这一流派相关。Whitin[15]开创了这一流派的研究。假设所有未满足需求的顾客都被积压，Chen和Simchi-Levi[16,17]分别提出了有限和无限时间范围内的周期性审查模型。他们描述了最优的库存和定价决策。Shen等人[13]通过放宽未满足需求的假设，对Chen和Simchi-Levi的模型[16,17]进行了推广。一些文章考虑了连续审查模型。Marand等人[14]研究了到达率依赖于价格的连续审查服务-库存系统中的定价和库存决策。作者提出了一种参数分数规划算法和一种简单的迭代算法来解决利润最大化问题。前者提供了最优解，而后者更高效。在这一流派中，不允许顾客的再试行为。
据我们所知，尚未在再试排队-库存系统的框架内探讨定价决策。我们将定价决策整合到了再试库存模型中。我们的研究假设到达率随价格变化。生产服务器采用两种策略来补充库存：基本库存策略和(s, S)策略。本研究的贡献如下：
我们对两种库存策略下的排队-库存模型进行了系统分析。这些包括提供计算速率矩阵的有用公式、推导稳态概率以及制定系统性能指标。
我们提出了一种名为IHPSO的混合算法，该算法将PSO算法与GA算法结合在一起，从而提高了优化精度，优于CPSO。
我们使用提出的IHPSO算法进行了数值实验。实验结果表明，在两种库存补充策略下，提高生产率和再试率都有助于增加利润，这表明以利润为导向的服务器应关注提高这些方面。此外，降低单位库存成本可以进一步最大化利润。最后但同样重要的是，在选择库存策略时需要仔细考虑，特别是当某些系统参数变化时。
本研究的其余部分结构如下。第2节首先介绍我们的模型。接下来，它考察了基本库存策略和(s, S)策略的稳态概率和系统性能指标。第2节还定义了生产服务器的利润最大化问题。第3节提出了用于解决利润最大化问题的混合粒子群优化算法。第4节使用所提出的算法进行了数值分析。第5节总结了我们的研究。

2. 再试排队-库存系统
2.1. 模型构建
我们考虑一家在随机按库存生产环境中运营的利润最大化公司，面临内生需求。产品的存储容量为S。一件产品的价格为p。
产品的生产时间遵循参数为的指数分布。主要顾客根据率为的泊松过程到达。遵循Marand等人的研究[14]，我们假设需求随价格线性减少，即，其中是市场潜力，是价格敏感性。如果库存可用，顾客的需求可以立即得到满足。然而，如果产品缺货，到达的顾客将进入再试轨道并成为再试需求。我们考虑恒定的再试策略。当轨道中有i个需求时，会根据参数为的指数分布发出一个信号。再试顾客可能会不耐烦并在尝试失败后离开轨道。我们假设这些顾客以概率留在轨道中的概率为，以概率离开轨道。所有变量都被假设为相互独立。
我们考虑两种库存补充策略，即基本库存策略和(s, S)策略。在第一种策略中，当库存水平降至时放置订单。在第二种策略中，一旦库存降至，生产服务器将生产产品，直到达到S。

2.2. 基本库存策略
让和分别表示时间t时再试轨道中的顾客数量和库存水平。在基本库存策略下，定义了这个排队-库存系统的状态，其中状态空间为。考虑系统状态的字典顺序。我们构建了一个生成矩阵，表示为，
矩阵，，，，它们是阶数为的方阵，由给出。

2.2.1. 基本库存策略下的稳态分析
根据Neuts[18]，系统稳定条件是，其中是一个维度为的1的列向量。这里，是的唯一解，并满足，其中是一个零矩阵。然后我们有定理1，关于这个排队-库存系统的稳定条件。
定理1. 当生产服务器采用基本库存策略来补充库存时，这个排队-库存系统的稳定条件是，其中。
定理1的证明。生成矩阵由给出
方程产生以下方程组。由此我们得到，。结合，我们得到。然后，稳定条件可以等价地表示为。
设为稳态概率向量，其中。是状态下的稳态概率，与初始状态无关。然后我们有定理2，关于排队-库存系统的稳态概率向量。
定理2. 当时，稳态概率向量Ψ由给出，其中速率矩阵是二次矩阵方程的正最小解。具有以下形式：
满足以下非线性方程
向量可以通过解决和得到。更明确地说。
定理2的证明。从Neuts[18]可知，满足和。然后。应该注意的是，矩阵可以另一种方式表示为
由于的特殊形式，矩阵由给出，其中。这里，是的谱半径。因此，具有以下形式：
然后，可以简化为，进一步通过这我们可以得到定理2中提出的非线性方程。

值得注意的是，速率矩阵的计算复杂性随着状态空间的大小而增加。具体来说，的维度随着库存水平（
2.2.2. 基本库存策略下的性能指标
在本小节中，我们基于稳态概率推导了几种基本的性能指标。在本节的最后部分，我们使用这些性能指标计算利润函数。在基本库存策略下，设为切换到模式的生产平均速率，为预期库存水平，为再试轨道中的预期顾客数量。定义。这些表达式可以如下获得：
设为有效到达率，定义为

2.3. (s, s) 补充策略
在本小节中，我们考虑(s, s)补充策略。设为生产状态，即
随机过程是一个状态空间为的马尔可夫过程。这个过程的生成矩阵具有以下三对角结构：
每个条目都是阶数为的方阵。更明确地说，它们是

2.3.1. (s, s) 策略下的稳态分析
现在我们考虑(s, s)策略下的系统稳态。类似于定理1，我们考虑生成矩阵
设为矩阵的稳态概率向量。然后我们有以下定理。
定理3. 当生产服务器采用(s, s)库存补充策略时，系统的稳定条件是，其中。
定理3的证明。由于是的状态稳态概率向量，它满足和，其中是一个维度为的列向量。方程产生以下方程组。递归解决上述方程并使用归一化条件，我们得到
和。系统的稳定条件是。
从上述定理可知，上的马尔可夫过程是规则的。因此，极限概率分布存在。是状态下的稳态概率，与初始状态无关。定义为所有稳态概率的向量。然后，应该满足和。然后我们有定理4，关于(s, s)策略下的稳态概率向量。
定理4. 当成立时，稳态概率向量φ由给出，其中速率矩阵是矩阵二次方程的正最小解。 2.2.2. 基本库存策略下的性能指标 在本小节中，我们基于稳态概率推导了几种基本的性能指标。在本节的最后部分，我们使用这些性能指标计算利润函数。在基本库存策略下，设为切换到模式的生产平均速率，为预期库存水平，为再试轨道中的预期顾客数量。定义。这些表达式可以如下获得： 设为有效到达率，定义为 2.3. (s, s) 补充策略 在本小节中，我们考虑(s, s)补充策略。设为生产状态，即 随机过程是一个状态空间为的马尔可夫过程。这个过程的生成矩阵具有以下三对角结构： 每个条目都是阶数为的方阵。更明确地说，它们是 2.3.1. (s, s) 策略下的稳态分析 现在我们考虑(s, s)策略下的系统稳态。类似于定理1，我们考虑生成矩阵 设为矩阵的稳态概率向量。然后我们有以下定理。 定理3. 当生产服务器采用(s, s)库存补充策略时，系统的稳定条件是，其中。 定理3的证明。由于是的状态稳态概率向量，它满足和，其中是一个维度为的列向量。方程产生以下方程组。递归解决上述方程并使用归一化条件，我们得到 和。系统的稳定条件是。 从上述定理可知，上的马尔可夫过程是规则的。因此，极限概率分布存在。是状态下的稳态概率，与初始状态无关。定义为所有稳态概率的向量。然后，应该满足和。然后我们有定理4，关于(s, s)策略下的稳态概率向量。 定理4.>
2.2.2. 基本库存策略下的性能指标
在本小节中，我们基于稳态概率推导了几种基本的性能指标。在本节的最后部分，我们使用这些性能指标计算利润函数。在基本库存策略下，设为切换到模式的生产平均速率，为预期库存水平，为再试轨道中的预期顾客数量。定义。这些表达式可以如下获得：
设为有效到达率，定义为

2.3. (s, s) 补充策略
在本小节中，我们考虑(s, s)补充策略。设为生产状态，即
随机过程是一个状态空间为的马尔可夫过程。这个过程的生成矩阵具有以下三对角结构：
每个条目都是阶数为的方阵。更明确地说，它们是

2.3.1. (s, s) 策略下的稳态分析
现在我们考虑(s, s)策略下的系统稳态。类似于定理1，我们考虑生成矩阵
设为矩阵的稳态概率向量。然后我们有以下定理。
定理3. 当生产服务器采用(s, s)库存补充策略时，系统的稳定条件是，其中。
定理3的证明。由于是的状态稳态概率向量，它满足和，其中是一个维度为的列向量。方程产生以下方程组。递归解决上述方程并使用归一化条件，我们得到
和。系统的稳定条件是。
从上述定理可知，上的马尔可夫过程是规则的。因此，极限概率分布存在。是状态下的稳态概率，与初始状态无关。定义为所有稳态概率的向量。然后，应该满足和。然后我们有定理4，关于(s, s)策略下的稳态概率向量。
定理4. 当成立时，稳态概率向量φ由给出，其中速率矩阵是矩阵二次方程的正最小解。>矩阵具有以下形式，元素可以通过以下非线性方程计算得出。向量可以通过解这些方程获得。具体来说，向量...定理4的证明。由于该证明与定理2的证明思路相同，因此在此省略。值得注意的是，由于(s, S)策略下的状态空间更大，因此计算速率矩阵的过程比计算其他矩阵更为复杂。特别是，随着库存水平S的增加，矩阵的维度也会增加，从而导致需要解决的非线性方程数量相应增加。当S变得相对较大时（例如当...），计算该矩阵需要解相同数量的未知变量的非线性方程。这种问题规模的增加显著提高了计算负担和解决过程的复杂性。根据...的表达式，向量满足以下非线性方程。对于...，对于...，2.3.2. (s, S)策略下的性能指标与2.2.2节类似，我们计算了(s, S)策略下的系统性能指标。设...为生产切换到模式时的平均速率，...为预期库存水平，...为重试轨道中的预期顾客数量。那么我们有...设...为有效到达率，则...2.4. 生产服务器的利润最大化问题在本小节中，我们定义了排队-库存系统的利润最大化问题。正如文献[19]中通常假设的那样，成本部分包括四个组成部分：设置成本、库存持有成本、缺货成本和销售损失惩罚成本。我们列出相应的成本符号如下：= 每单位时间每单位的设置成本；= 每单位时间每单位库存的持有成本；= 每单位时间每位顾客的成本；= 每单位的销售损失惩罚。因此，在基本库存策略下，该系统每单位的预期利润为...同样地，当生产服务器采用(s, S)策略时，每单位的预期利润为...生产服务器的目标是通过控制价格和库存来最大化预期利润。在基本库存策略下，利润最大化问题可以定义为...考虑到2.2.2节中的性能指标，...的表达式为...（1）在基本库存策略下，服务器寻求最优价格和库存控制变量以最大化上述利润。同样，在(s, S)策略下，最大化问题为...（2）在这种情况下，生产服务器寻求最优价格和库存控制变量以最大化方程（2）中的利润。显然，方程（1）和（2）是非线性的且非常复杂。解析地获得最优值似乎是不可行的。在下一节中，我们提出了一种解决利润最大化问题的算法。3. 改进的混合粒子群优化算法有许多基于导数的算法，如拟牛顿法和最速下降法。然而，对于高度复杂和非线性的问题，这些方法有时无法找到最优或接近最优的解。相比之下，元启发式算法可以处理不可微分、非光滑、非凸和组合优化问题，甚至不需要知道目标函数的属性。粒子群优化（PSO）和遗传算法（GA）就是这样的元启发式算法。粒子群优化（PSO）算法由Kennedy和Eberhart [20]提出，是群体智能算法的典型例子之一。该算法通常用于优化非线性问题。我们首先给出基本的PSO算法。考虑一个具有D个决策变量的连续非线性优化问题。粒子的数量为N。用...表示粒子i的位置，其中...是粒子i沿第i个坐标的位置。...是综合改进的方向和步长。更新速度和位置的公式分别为...（3）（4）在上述两个方程中，w是惯性权重。...和...是学习因子。...是[0, 1]范围内的随机变量。...是粒子i沿第d个坐标的最佳位置，...是所有粒子的全局最佳位置。PSO算法在迭代过程中可以快速收敛到最优解附近。然而，PSO容易过早收敛，从而容易陷入局部极值。遗传算法（GA）可以通过交叉和变异操作保持种群的多样性和鲁棒性，避免陷入局部最优解。因此，GA算法具有很强的搜索准确性和鲁棒性。然而，它的搜索速度较慢。PSO算法在快速收敛方面具有优势。结合这两种算法可以提高算法的鲁棒性，同时保持快速收敛。一些研究人员提出了一种混合优化算法来解决不同问题，例如受限优化问题[21]和多旅行商问题[22]。在本研究中，我们首先采用PSO获得解；然后使用GA的交叉和变异来提高优化精度。我们将这种新算法称为IHPSO算法。3.1. PSO参数的改进公式在PSO算法中，w、...和...的值通常会影响优化精度。因此，我们重新设计了这些参数的值。惯性权重w在平衡全局搜索和局部搜索能力方面起着重要作用。起初，如果w保持较大的值，全局搜索能力将在一段时间内得到增强；之后，w的值较小，这可以提高局部搜索能力[23]。因此，我们采用一个非线性递减的惯性权重...（5）在上述方程中，...是迭代次数，...是最大迭代次数。...和...分别是惯性权的最大值和最小值。...和...决定了粒子的运动方向和收敛结果，这些应该异步更改[24]。这里，我们考虑动态调整策略。（6）（7）随着...的增加而减小，而...随着...的增加而增加。我们假设...、...、...和...。随着迭代次数的增加，这种策略可以提高全局搜索能力，并最终收敛到最优解。粒子的更新位置可能会超出边界。它们的位置通常被设置为极值，这会使它们长时间保持在那里，最终降低优化精度。为了提高多样性，这些位置通过以下公式重新调整...（8）3.2. 改进的遗传算法交叉和变异是影响GA性能的关键操作。在后期迭代中，选定的粒子需要根据它们的适应概率进行交叉和变异。这可以防止过早收敛并确保稳定性。由于适应度高的粒子很可能在下一代中被继承，因此在交叉和变异之前，我们选择适应度高的粒子存活下来。这个过程可以提高种群的收敛性。详细操作如下：(i)计算每个粒子的适应度以及所有粒子适应度之和...。然后计算每个粒子的相对概率和每个粒子的累积概率。(ii)如果...，则选择粒子i。(iii)重复步骤(ii)以生成一半的粒子。我们现在分析交叉概率和交叉操作。交叉概率决定了种群的进化速度。这个值通常在0.25到1之间[25]。适应度高的粒子应该有较大的交叉概率，这可以有效防止种群陷入局部最优解。此外，这个概率应该随着迭代次数的增加而减小。因此，我们采用以下自适应交叉概率。（9）...是第i个粒子的交叉概率。为了快速收敛到最优解，选定的粒子应该与它们的位置和全局最优位置进行交叉。我们使用单点交叉，如下所示。（10）其中...是历史最优位置，...是全局最优位置。...是[0, 1]范围内的随机数。通过选择和交叉操作，一些粒子可能仍然会陷入局部极值，且难以跳出。在这种情况下，这些粒子需要发生变异。这种操作也可以保持种群的多样性。变异概率决定了优化精度。Li等人[25]声称，变异概率的值通常在0.001到0.1之间，且个体变异的可能性应该随着迭代次数的增加而增加。为了跳出局部最优解，适应度高的粒子应该有较大的变异概率。因此，我们设计以下自适应变异概率。（11）...是第i个粒子的变异概率。变异公式如下所示。（12）由于PSO和GA组分的互补作用，提出的IHPSO算法将自适应参数控制机制（对于惯性权重和学习因子）与基于GA的进化操作结合在一个统一的框架中。这些特点使IHPSO区别于传统的元启发式算法，并提高了其全局搜索能力和解决方案质量。3.3. 改进的混合粒子群优化算法的流程图IHPSO算法的流程图如图1所示。图1. IHPSO的流程图。IHPSO算法结合了PSO的快速收敛能力和GA的多样性保持机制。具体来说，首先使用PSO快速探索解空间并识别有希望的区域，然后引入GA的交叉和变异操作来增强种群多样性并避免过早收敛。在具有实时需求信息的数字化零售系统中，该算法可以嵌入到决策支持系统中，以便随着系统参数的变化动态更新定价和库存策略。4. 数值示例在本节中，我们使用第3节中介绍的算法来解决第2.4节中的利润最大化问题。Carlisle和Dozier [26]提出了规范的PSO算法（CPSO）。许多作者采用CPSO算法来寻找重试系统的最优解，例如Zhang等人[11]。为了测试IHPSO的有效性和效率，我们将CPSO与IHPSO进行比较。然后，通过IHPSO，我们对一些关键参数进行了最优解和利润的敏感性分析。根据假设，价格的有效范围是...该算法用MATLAB R2023b编码。4.1. IHPSO的性能为了分析IHPSO的优化性能，我们进行了20次独立实验。相应的评估指标是最小最优利润（...）、最大最优利润（...）、平均利润（...）和平均运行时间（...）。参数固定为...、...、...、...、...、...、...、...、...和...。图2展示了两种算法在不同最大存储容量下的优化曲线，表1和表2显示了两种算法的性能。图2. 优化曲线。表1. 基本库存策略下CPSO和IHPSO的性能。表2. (s, S)策略下CPSO和IHPSO的性能。从图2可以看出，IHPSO在避免过早收敛和逃离局部最优解方面比CPSO更有效。虽然两种算法达到的最大利润值相似，但表1和表2中的结果显示IHPSO始终产生更高的最小和平均利润。这表明IHPSO在不同运行中表现出更大的稳定性和鲁棒性。PSO算法能够快速收敛到解空间的区域，而结合GA的交叉和变异操作增强了种群多样性。这种混合机制使算法能够有效逃离局部最优解，并继续探索搜索空间，即使一些粒子陷入次优区域。因此，IHPSO在全局探索和局部利用之间取得了更好的平衡。此外，自适应参数调整策略通过动态调节迭代过程中的探索-利用权衡进一步改善了搜索过程。这一特点使IHPSO区别于标准的基于PSO的方法，并提高了其全局搜索能力。总体而言，IHPSO的混合结构成功增强了全局搜索能力。关于计算效率，结果显示，除了S相对较小的情况外，CPSO通常需要的运行时间略少于IHPSO。在基础库存政策下，间隙的最大值为1.4934秒，在(s, S)政策下为52.8925秒。这种差异主要是由于IHPSO中引入的额外交叉和变异操作所致。

4.2 敏感性分析
本节对最优决策和系统利润相对于几个关键参数的敏感性进行了分析。除非另有说明，系统参数设置如下：...（参数列表在此省略）。IHPSO算法的参数固定为...（参数列表在此省略）。为了确保结果的稳健性，所有报告的结果均基于运行20次所得到的最佳解。

(i) 价格敏感性的影响
首先，我们研究了价格敏感性（）对两种库存政策下的最优价格、库存决策和系统利润的影响。结果如图3所示。总体而言，随着价格的提高，两种模型都通过降低最优价格来刺激需求，这与标准经济直觉一致。同时，需求的减少导致服务器通过减少库存水平或保持不变来调整库存决策。在基础库存政策下观察到了更细致的模式。当价格敏感性足够高时，需求显著下降，促使服务器大幅降低最优基础库存水平。同时，在平衡需求减少和成本节约之间的权衡后，最优价格可能会略有上升。这反映了从需求扩张到成本控制的战略转变。相比之下，当价格敏感性较低时，客户对价格不那么敏感，更有可能进入系统。在这种情况下，服务器有动力维持甚至增加库存水平以捕获更高的需求，即使价格略有上升。就盈利能力而言，随着价格敏感性的增加，两种模型都表现出下降趋势，表明较高的价格敏感性对系统利润有负面影响。此外，两种政策之间的比较显示，在价格敏感性相对较低时，基础库存政策的表现更好，因为它在应对更高需求方面更具灵活性。然而，随着价格敏感性的增加以及需求的不确定性和波动性的增强，(s, S)政策可能因更能控制库存风险而变得更有优势。

(ii) 重试率的影响
接下来，我们研究了重试率（）对最优决策和系统利润的影响，如图4所示。在基础库存政策下，观察到当重试率增加时，服务器倾向于降低价格以吸引更多客户。相比之下，库存策略会因情况不同而变化。起初，当重试率较低时，从候选列表中找到客户的平均时间较长，因此服务器可能会随着重试率的增加而减少库存。随着重试率的增加，服务器会增加库存量，然后在库存达到一定水平时再减少库存。如果重试率进一步增加，服务器更倾向于采用相同的策略。与基础库存政策相比，(s, S)政策下的价格和库存变化较小或有限。原因可能是，在(s, S)政策下，S也是影响库存的关键因素，当S足够大时，它仍然可以满足客户的需求。因此，与价格变化相比，库存量的减少幅度较小。然而，在两种情况下，较高的重试率都是有益的，这与我们的直觉相符。此外，当重试率较低时，(s, S)政策有助于服务器获得更多利润，而在其他情况下基础库存政策表现更好。

(iii) 生产率的影响
图5展示了生产率（）对最优决策的影响。在基础库存政策下，由于生产率直接影响补货速度和库存可用性，服务器采取了动态调整策略。随着生产率的提高，服务器最初会减少库存水平，因为更快的生产可以减少持有大量库存的需求。在定价方面，当生产率相对较低时，最优价格会略有上升，反映了有限的库存可用性对需求满足的限制。随着生产率的提高，服务器会降低价格以吸引更多客户，从而受益于生产能力的提升。当生产率足够高时，服务器会进一步减少库存并大幅提高价格以最大化利润，因为系统可以依赖快速补货而不是持有库存。最后，随着更多客户被激励加入系统，服务器会略微增加库存以保持服务效率。相比之下，在(s, S)政策下，库存决策对生产率的变化不太敏感。具体来说，服务器倾向于在不同的生产率值下设置相同的库存水平，因为系统仍然可以通过上限(S)和补货动态来满足客户需求。同时，随着生产率的增加，服务器会降低价格以刺激需求。从盈利能力的角度来看，较高的生产率在两种政策下都是有益的，因为它提高了服务能力并降低了缺货风险。此外，结果表明，库存政策的选择应取决于生产率，因为不同的生产率值可能适合不同的运营策略。

(iv) 库存成本的影响
图6展示了库存持有成本（）对最优决策和系统利润的影响。正如预期的那样，库存持有成本的增加导致两种政策下的最优利润单调下降。在基础库存政策下，当库存持有成本相对较低时，持有库存的成本不高，服务器倾向于增加基础库存水平并降低价格以刺激需求并利用较低的持有成本。然而，当库存持有成本超过某个水平时，维持库存的成本显著增加。因此，服务器会大幅减少库存持有成本并提高价格以保持盈利能力。这种转变反映了从需求扩张策略向成本控制策略的转变。比较两种政策，我们观察到在价格和库存决策上存在显著差异，特别是在生产率的中间范围内。这些差异源于两种库存政策的结构特征，如案例(ii)中所讨论的。有趣的是，结果表明，当库存持有成本较低或较高时，基础库存政策更可取，而当生产率取中等值时，(s, S)政策可能会带来更高的利润。这突出了根据成本条件选择库存政策的重要性。

(v) 存储容量的影响
我们研究了存储容量S对系统的影响，如图7所示。随着存储容量的增加，服务器可以持有更多的库存。在基础库存政策下，这导致更高的最优库存水平和更低的最优价格。相比之下，在(s, S)政策下，较大的存储容量即使在较低的生产率下也能满足需求。在平衡成本和收益的权衡中，随着存储容量的增加，库存量会先略有增加，然后随着存储容量的进一步增加而减少。从利润的角度来看，当存储容量较小时，(s, S)政策更受欢迎；而当存储容量进一步增加时，基础库存政策成为最优选择。

基于上述敏感性分析，我们得出三个主要结论。首先，在(s, S)政策下，存储容量在直接影响库存决策方面起着关键作用，导致与基础库存政策相比有不同的调整策略；因此，相应的定价决策也有所不同。其次，在这种排队-库存系统中，较高的生产率和重试率都有助于提高利润。因此，旨在最大化利润的服务器应努力提高这些因素，同时降低单位库存持有成本。最后，库存政策的选择应取决于系统条件，因为不同的参数设置下不同的政策可能是最优的。

5. 结论
本研究考虑了一个客户对价格敏感的重试排队-库存系统。在基础库存政策和(s, S)政策下，我们使用矩阵几何方法推导出了稳态概率。基于这些结果，我们为每种情况制定了系统性能指标和利润函数。为了解决由此产生的优化问题，我们开发了一种结合遗传算法的混合粒子群优化算法，称为IHPSO。数值结果表明，与CPSO相比，IHPSO具有更强的全局搜索能力。除了这些技术贡献外，结果还提供了几个管理见解。首先，定价和库存决策密切相关，适当的协调对于提高系统盈利能力至关重要。其次，在两种库存政策下，提高生产率和重试率可以通过减少拥堵和提高服务效率来显著提升系统性能。第三，降低单位库存持有成本可以进一步提高整体盈利能力，突显了成本控制在运营规划中的重要性。此外，基础库存政策和(s, S)政策之间的比较表明，库存控制机制的选择应取决于系统特性。基础库存政策提供了更大的灵活性和响应性，而(s, S)政策在特定的运营约束下可能更合适。因此，管理者应根据需求条件、重试行为和成本结构来选择库存政策，而不是采用统一的策略。

尽管有这些贡献，本研究也存在一些局限性，这也为未来的研究指明了方向。首先，为了获得分析上的可行性，模型假设了泊松到达和指数服务时间。一个自然的扩展是考虑更一般的到达和服务过程，如马尔可夫到达过程（MAPs）或相位类型（PH）分布，并检验IHPSO算法在这些设置下的鲁棒性。此外，纳入额外的行为特征，如客户放弃或服务水平依赖的定价，将进一步提高模型的真实性和实用性。