硅钢片的磁致伸缩效应及其在直流偏置预测中的应用 楼慧、 丁庄庄、 洪凯兴

《Energies》：Magnetostriction of Silicon Steel Sheets and Its Application in Predicting DC Bias Hui Lou, Zhuangzhuang Ding and Kaixing Hong

　　摘要：直流偏置是电力变压器中异常振动和噪声的主要原因。本研究探讨了在交流激励和直流偏置同时作用下，取向硅钢片的磁致伸缩特性。提出了一种新的预测方法，该方法将多尺度互信息特征与频域特征相结合，并利用长短期记忆（LSTM）网络进行直流偏置的识别。实验平台设置了六个电压等级和七个偏置比，以收集在不同工作条件下的应变信号。结果表明，直流偏置通过调节非线性响应改变了磁致伸缩谱。具体来说，100 Hz谐波的幅度随着偏置的增加而单调减小，而高频谐波则显著放大，导致波形不对称性和谐波失真加剧。所提出的预测模型在分层5折交叉验证下的均方根误差（RMSE）为0.0336，决定系数（R2）为0.8810，为直流偏置监测和变压器状态评估提供了理论支持和实验证据。

1. 引言
作为电网中的关键组件，电力变压器的运行状态直接影响整个电力系统的安全性和稳定性。随着高压直流（HVDC）传输的日益采用以及地磁干扰的影响，变压器中性点的电位发生变化，从而在变压器铁芯中产生直流偏置[1,2]。直流偏置改变了铁芯的静态磁工作点，使得磁通在一个半周期内达到饱和状态。因此，振动和噪声水平增加，在严重情况下设备运行将面临风险[3]。现有研究表明，变压器铁芯的振动主要来源于硅钢片的磁致伸缩效应，即铁磁材料在磁化过程中发生的微小尺寸变化[4]。已经证实，磁致伸缩效应可以使大型电机铁芯的振动幅度增加超过17%[5]。因此，深入研究直流偏置条件下硅钢片的磁致伸缩特性对于理解变压器振动和噪声的机制具有重要意义。

磁致伸缩现象已被广泛研究。经典的Jiles–Atherton模型为铁磁材料的滞后特性提供了理论基础[6]。磁致伸缩的程度取决于磁化方法。例如，旋转磁化下的磁致伸缩幅度通常大于交流磁化下的幅度[7]。此外，谐波成分显著影响磁致伸缩的频谱结构[8]，局部结构特征（如T型接头）也会导致应变显著增加[9]。在直流偏置条件下，先前的研究表明直流偏置会破坏磁致伸缩曲线的对称性，并显著改变其幅度和频谱特性[10,11,12]。基于滞后模型，Yan等人分析了直流偏置对磁致伸缩特性的影响，并发现这种偏置会加剧波形失真并增强非线性[13]。此外，从磁声耦合的角度来看，Liu等人研究了变压器的振动和噪声特性，发现运行条件对振动响应有显著影响[14]。

从磁致伸缩波形中精确识别直流偏置水平仍然是一个挑战。Wang等人使用反向传播神经网络（BPNN）来模拟由磁场幅度和相位导出的动态滞后曲线[15]。Guo等人提出了一种小波卷积神经网络架构用于直流偏置预测，利用从振动信号的小波变换中提取的特征[16]。然而，谐波幅度可能受到测量噪声和频谱泄漏的显著影响，从而限制了在非理想条件下的识别可靠性。因此，傅里叶变换和小波变换方法都依赖于准确的幅度估计，可能无法捕捉时间序列内的相互依赖性。在我们之前的研究[17]中，提出了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来计算给定磁场激励下的精确磁致伸缩值。然而，PINN的有效性受到其对准确物理模型依赖性的限制。

为了解决这些限制，本研究提出了一种直流偏置识别框架，该框架将时域统计特征与频域物理特征相结合。在时域中，直接从磁致伸缩序列中提取多尺度互信息特征[18,19,20]。这些特征无需转换为频域或事先了解物理模型即可捕捉由直流偏置引起的非线性统计依赖性。在频域中，还提供了包含少数关键谐波幅度的特征集以提高区分能力。此外，长短期记忆（LSTM）网络在建模序列数据方面表现出强大的性能[21]。先前的研究已经展示了深度学习在解决直流偏置识别方面的潜力[22]。然而，大多数现有的机器学习方法主要是数据驱动的，这限制了对直流偏置背后物理机制的洞察。为了弥合这一差距，本研究探索了物理机制分析与数据驱动方法的结合。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了磁致伸缩理论、特征提取方法以及提出的直流偏置识别模型。第3节描述了实验系统，该系统设计了六个电压等级（2.0–4.0 V）和七个直流偏置比（0–30%），以收集全面的磁致伸缩应变数据集。第4节分析了在直流偏置下的磁致伸缩响应，研究了时域和频域特性。第5节评估了结合多尺度互信息和频域特征的LSTM模型的预测性能。最后，第6节总结了结论。

2. 背景和方法论
2.1. 磁致伸缩机制
对于取向硅钢片等铁磁材料，磁致伸缩现象指的是材料磁化过程中伴随的尺寸变化。磁致伸缩应变λ定义为沿磁化方向的长度变化：
λ = (Δl / l)
其中Δl表示长度变化，l是铁磁材料的静态长度。λ的单位是μm/m。

对于硅钢片，磁致伸缩应变λ与磁化强度M（或磁通密度B）之间存在非线性关系。根据Jiles的铁磁理论[6]，磁致伸缩应变λ对施加的磁场强度H具有非线性依赖性，可以表示为H的偶数阶多项式：
λ = α1H^2 + α2H^3 + …
其中α1、α2是材料依赖的磁致伸缩系数。因此，在50 Hz的正弦磁场下，磁致伸缩响应的基本频率（100 Hz）是激励频率的两倍。

2.2. 直流偏置下的非线性建模
当直流偏置叠加在交流激励上时，作用在硅钢片上的磁场强度可以表示为：
H = Hac + Hdc
其中Hdc是直流偏置场，Hac是交流场的幅度，ω = 2πf，f = 50 Hz。在本研究中，我们关注λ与H之间的关系。为了研究直流分量Hdc对总磁致伸缩的影响，我们将λ(H)展开为围绕直流偏置Hdc的泰勒级数：
λ(H) = A1H^2 + A2H^3 + … + AnH^(n-1)
将h(t) = Hac cos(ωt)代入方程（4）得到：
λ(H) = A1(Hdc)^2 + A2(Hdc)cos(ωt) + … + An(Hdc)^(n-1)cos(ωt)
其中kn是第n阶非线性系数，它随Hdc变化，反映了直流偏置对材料非线性特性的调制。

利用三角恒等式，hn(t)可以展开为谐波的组合。线性项产生50 Hz分量，二次项产生直流分量和100 Hz分量，三次项产生50 Hz和150 Hz分量，四次项产生直流、100 Hz和200 Hz分量，依此类推。忽略较低阶和交叉项，谐波幅度由以下公式给出：
A_n = (A1(Hdc)^n + A2(Hdc)^(n-1) + …) / (n!)
方程（6）–（8）证明，二次谐波（100 Hz）主要由偶数阶非线性系数（k2, k4, …）贡献，三次谐波（150 Hz）主要由奇数阶非线性系数（k3, k5, …）贡献。在以下情况下，谐波变化反映了系数kn随Hdc的变化：
(1) 100 Hz幅度的单调减小：如方程（7）所示，A2 ∝ k2（忽略更高阶项）。实验将显示，随着直流偏置的增加，A2单调减小，表明k2随Hdc的增加而单调减小。从物理上讲，k2表征了λ-H曲线在Hdc处的曲率。在对称的磁致伸缩曲线（如蝴蝶曲线）中，曲率在原点附近最大。
(2) 150 Hz幅度先增加后减小：从方程（8）可知，A3 ∝ k3。实验结果将显示，A3在10–15%的偏置时达到峰值，表明k3先增加然后随Hdc减小，显示出最大值。k3表征了λ-H曲线的不对称程度。
(3) 50 Hz幅度的非单调变化：在方程（6）中，A1受k1和k3的共同影响。k1代表λ-H曲线的斜率，通常随Hdc的增加而增加。然而，k3的峰值通过交互项影响基本分量，导致A1在高电压下表现出先减小后增加的复杂行为。
(4) 更高阶谐波的复杂演变主要由系数k4、k5等决定。这些系数对Hdc敏感，可能表现出非单调行为，导致频谱中的复杂“整形”效应，例如在20%偏置时200–500 Hz范围内的谐波达到峰值。

时域波形失真也可以通过上述机制来解释。波形不对称因子η和峰值因数CF定义如下：
η = (λ+ - λ-) / (λ+ + λ?)
其中λ+表示正峰值的绝对值，λ?表示负峰值的绝对值。较大的η值表示较差的波形对称性。λpeak是峰值，λrms是均方根值。对于标准正弦波，CF ≈ 1.414。偏离这个值越大，波形失真越严重。在直流偏置下，k2的变化导致100 Hz分量的幅度和相位发生变化，从而产生波形不对称。此外，峰峰值反映了磁致伸缩应变的最大动态幅度，由以下公式定义：
CF = (λpeak + λ?) / 2
在频域中，为了量化直流偏置对非线性程度的总体影响，总谐波失真（THD）定义为：
THD = √[1 + (A2^2 + A4^2 + … + A_n^2) / (2^n)]
其中A2是100 Hz分量的幅度，A2n是100n Hz处的幅度。在本研究中，纯交流激励下的磁致伸缩主导频率为100 Hz。因此，使用100 Hz作为“基本频率”。

2.3. 特征提取
鉴于硅钢片磁致伸缩应变的高度非线性特性，本文采用了一种结合多尺度互信息和频域特征的特征融合方法。前者用于表征信号在不同时间尺度上的非线性统计依赖性，后者用于表征关键谐波成分，从而实现时域和频域信息的联合建模，以提高特征的区分能力。

互信息定义为：
I(x, y) = ∑_{n=1}^∞ [P(x^n, y^n) log(P(x^n | y^n))
其中τ表示延迟时间，p(?)是相应的概率密度函数。序列x和y分别表示延迟前后的磁致伸缩应变λ。这一特征全面反映了磁致伸缩应变在不同时间尺度上的统计特性。

多尺度互信息特征提取关注磁致伸缩应变信号的非线性动态特性，并通过滑动窗口分割和直方图统计实现快速计算。在本研究中，一个一秒钟的信号（以10 kHz采样）根据多尺度参数i被划分为50×i个段，并计算第一个段与所有其他段之间的平均互信息：
I(x, y) = ∑_{n=1}^∞ [P(x^n, y^n) log(P(x^n | y^n)] / (n!)
其中T表示一秒钟内的总采样点数。在此过程中，选择第一个段作为参考，以量化它与其时间延迟版本之间的统计依赖性。这种平均所有后续段互信息的过程提高了特征对局部信号波动的鲁棒性。用于计算互信息的概率密度函数p(x)、p(y)和p(x, y)是通过基于二维直方图的方法估计的，该方法使用固定数量的区间（例如，50个）。对于包含10,000个数据点的一秒信号片段，这种方法在计算效率和估计精度之间提供了折中。多尺度参数i被选择为1、2、…、8（从而产生八个特征）。选择上限为8是因为更大的i会导致每个片段的数据点太少，使得互信息对噪声更加敏感。通过改变分割参数i的值，构建了一个包含多尺度信息的特征向量：(15) 这个特征向量量化了由直流偏置引起的统计依赖性的变化，弥补了传统线性特征在表征非线性方面的不足，并为状态识别提供了有效的输入。在频域中，选择了100 Hz、150 Hz和350 Hz作为特征频率，分别对应于偶数阶、奇数阶和更高阶的非线性响应。通过FFT计算频谱幅度，构建了一个频域特征[V100, V150, V350]，用于表征谐波能量分布和频谱重建过程。最后，使用包含互信息和频域特征的组合向量作为LSTM模型的输入。这个组合特征向量整合了统计上和物理上互补的信息，从而更全面地描述了在直流偏置下的磁致伸缩响应的非线性调制。

2.4 基于LSTM的识别模型
长短期记忆（LSTM）网络由于其处理时间序列数据的优势而被广泛用于状态预测和识别。LSTM网络的输入是一系列提取的11维特征向量，输出预测的直流偏移比序列。在这项研究中，通过间隔采样构建了一个包含30个样本的序列。LSTM神经网络架构如图1所示。设计的LSTM网络架构由两个分别具有16个和8个隐藏单元的LSTM层组成，后面跟着一个Dropout层（丢弃率为0.2）以防止过拟合，最后通过一个全连接层输出预测值。具体结构如表1所示。

3. 实验设置
磁致伸缩特性是使用图2中展示的专用平台测量的。系统由三个主要部分组成：激励源、应变测量系统和数据采集系统。使用B30P105定向硅钢片（400 mm × 100 mm × 0.28 mm）、激励线圈（100匝）和感应线圈（150匝）构建了一个闭合磁路。硅钢片在轧制方向（RD）上施加了可调的拉伸应力（0–15 MPa）。电压激励源由Tektronix AFG31000波形发生器和功率放大器组成，向激励线圈提供了一个叠加了直流偏置的交流复合信号。通过Keyence LK-G5001激光位移传感器（配备LK-H008探头，Keyence，大阪，日本）在钢片末端测量得到的磁致伸缩，其分辨率为0.005 μm。此外，在采集之前对应变信号进行了放大。NI USB-6002 DAQ卡（National Instruments，德克萨斯州奥斯汀）通过MATLAB 2024b进行同步和控制，每个通道以10 kHz的采样率采样所有信号。

2.4. 基于LSTM的识别模型
长短期记忆（LSTM）网络由于其处理时间序列数据的优势而被广泛用于状态预测和识别。LSTM网络的输入是一系列提取的11维特征向量，输出预测的直流偏移比序列。在这项研究中，通过间隔采样构建了一个包含30个样本的序列。LSTM神经网络架构如图1所示。设计的LSTM网络架构由两个分别具有16个和8个隐藏单元的LSTM层组成，后面跟着一个Dropout层（丢弃率为0.2）以防止过拟合，最后通过一个全连接层输出预测值。具体结构如表1所示。

3. 实验设置
磁致伸缩特性是使用图2中展示的专用平台测量的。系统由三个主要部分组成：激励源、应变测量系统和数据采集系统。使用B30P105定向硅钢片（400 mm × 100 mm × 0.28 mm）、激励线圈（100匝）和感应线圈（150匝）构建了一个闭合磁路。硅钢片在轧制方向（RD）上施加了可调的拉伸应力（0–15 MPa）。电压激励源由Tektronix AFG31000波形发生器和功率放大器组成，向激励线圈提供了一个叠加了直流偏置的交流复合信号。通过Keyence LK-G5001激光位移传感器（配备LK-H008探头，Keyence，大阪，日本）在钢片末端测量得到的磁致伸缩，其分辨率为0.005 μm。此外，在采集之前对应变信号进行了放大。NI USB-6002 DAQ卡（National Instruments，德克萨斯州奥斯汀）通过MATLAB 2024b进行同步和控制，每个通道以10 kHz的采样率采样所有信号。

为了模拟变压器的直流偏置，使用了复合激励信号。交流频率固定在50 Hz，有六个RMS电压水平（2.0–4.0 V）。对于每个交流水平，应用了七个直流偏置比（0–30%的交流幅度），创建了42个测试条件。每个条件采样15秒并重复六次以确保可靠性。当电流通过激励线圈时，会在其周围产生一个激励磁场，从而在测试样品中产生磁通量。感应磁场的磁场强度可以计算为：(16) 其中N1是激励线圈的匝数，i1是激励线圈中获得的电流，lm表示磁路长度。在钢片的磁化过程中，感应线圈中会产生一个感应电压u2。根据法拉第电磁感应定律，磁通密度的交流分量可以表示为：(17) 其中N2是感应线圈的匝数，Ac是测试样品的横截面积。积分上述表达式得到：(18) 总磁通密度定义为B = Bac + Bdc，其中Bdc是根据点Hdc处的静态B-H曲线评估的。

4. 实验结果
4.1 时域结果
图3比较了在2.0 V不同直流偏置水平下的时域磁致伸缩波形。如图所示，没有直流偏置时，波形的正半周期和负半周期大致对称。随着直流偏置的增加，正峰逐渐减小，而负峰的绝对值先减小然后增大，导致波形明显不对称。图3. 在2.0 V不同直流偏置比下的时域波形：(a) 0%，(b) 15%，(c) 30%。图4展示了在典型工作条件下的磁滞回线（B–H曲线）。如图4a,b所示，在没有直流偏置的情况下，磁滞回线在低激励（2.0 V）和高激励（4.0 V）下都保持良好的中心对称性。高激励电压导致最大磁场强度显著增加，使磁化过程进入饱和状态。当叠加30%的直流偏置时，如图4c,d所示，B–H回线发生严重变形和偏移。直流偏置引入了一个恒定的直流磁场分量（Hdc），迫使磁化的工作点偏离原点。在这种情况下，正向磁化进入平坦的饱和状态，而反向退磁减弱，导致回线严重偏移和不对称变形。从物理上讲，磁化轨迹的不对称偏移对应于方程（4）中工作点Hdc的变化，导致偶数阶（k2）和奇数阶（k3）非线性系数的剧烈变化。这种磁化过程中的不对称传输导致应变波形的正半周期和负半周期幅度有显著差异。图4. 在不同激励电压和直流偏置比下的硅钢片磁滞回线：(a) 2.0 V，0偏置；(b) 4.0 V，0偏置；(c) 2.0 V，30%偏置；(d) 4.0 V，30%偏置。为了量化实验测量的变异性，每个工作条件测量了六次，并计算了所有量的标准偏差。图5展示了随着直流偏置比的变化，不对称因子η的变化，图中还显示了明确的误差带。η在所有电压下单调增加，表明直流偏置通过引入偶数阶非线性项连续增强波形的不对称性。在相同的偏置水平下，更高的电压导致η值降低，表明在高交流激励下，磁化过程主要由交流分量主导，从而减少了偶数阶非线性对波形的调制效应。在低偏置比（<10%）下，所有电压显示出相似的η值，反映了非线性的弱化。在高偏置比（>10%）下，曲线显示出明显的分歧。这种行为归因于工作点的显著偏移和电压–偏置耦合效应的相应增强。

图6展示了在不同交流电压下，磁致伸缩的峰峰值随直流偏置的变化。由于观察到的标准偏差非常小（通常<平均值的3%），因此没有显示误差带。在所有工作条件下，整体趋势遵循先减少后增加的模式。从0%到25%迅速减少，然后从25%到30%略有恢复。最初的减少是由于直流偏置将工作点从对称中心移开。在高偏置下的恢复与强非线性区域中更高阶谐波的增强有关。在相同的偏置水平下，更高的电压导致更大的峰峰值和更渐进的变化，表明高电压增强了磁化驱动并减弱了直流偏置的相对调制效应。高偏置下的波形失真反映了耦合非线性的增强。 图7显示了在不同电压和直流偏置下，峰因数（cf）的分布。cf用于表征谐波失真（对于正弦波，cf ≈ 1.414）。在所有工作条件下，cf随直流偏置单调增加，且在10%之后增加速率加快，表明直流偏置增强了更高阶谐波，导致波形从平滑波形变为严重失真的波形。在相同的偏置水平下，电压越高，cf越低。这表明在高电压下，基波成分占主导地位，从而削弱了更高阶谐波在塑造波形中的作用。 4.2 频域结果 频域分析关注磁致伸缩信号的频谱。通过分析100 hz基波、150 hz三次谐波以及由此产生的总谐波失真（thd），这项工作定量阐明了直流偏置如何调制磁致伸缩的非线性。在非线性术语中，这些谐波是偶数阶、奇数阶和更高阶非线性的表现。它们在施加的直流偏置下的演变直接反映了相应非线性系数的变化。图8展示了在不同电压下，100 hz幅度随直流偏置的变化。总体趋势是下降的，在高偏置（大约>25%）时略有回升。直流偏置将工作点从曲线的对称中心移开，从而有效地减弱了与二次谐波生成相关的偶数阶非线性响应。在极高偏置水平下观察到的轻微回升可能与深饱和区域中更高阶非线性的增强有关。在相同的偏置水平下，更高的电压导致更大的幅度和更慢的衰减，表明高电压增强了磁化同时减弱了偏置的调制效应。图8. 不同交流电压下100 Hz幅度与直流偏置比的关系。表2详细说明了50 Hz分量幅度随偏置比从10%到30%的变化。在所有电压水平下，幅度通常随偏置的增加而增加。直流偏置破坏了磁致伸缩的对称性，引入了产生50 Hz谐波的奇数阶非线性。随着偏置的增加，幅度的增加反映了这些奇数阶非线性效应的增强，如方程（5）中的系数k1所示。值得注意的是，在较高激励电压（3.2–4.0 V）和低偏置10%的情况下，50 Hz幅度显著下降（例如，在3.6 V时为0.996 μm/m）。一旦偏置比超过15%，奇数阶非线性完全激活，导致幅度明显增加。表2. 不同交流电压和直流偏置比下的50 Hz幅度。在相同的偏置水平下，更高的电压导致更大的幅度，表明增强的磁化可以改善动态响应。在10%的偏置下，一些高电压点显示出局部较低的幅度，这可能与非线性响应尚未完全建立有关。一旦偏置超过15%，幅度稳定增加。

图3分析了150 Hz分量幅度作为偏置比（10–30%）的函数。总体而言，它显示出明显的单峰（先上升后下降）行为，特别是在较低电压下，表明适度的偏置通过增强磁致伸缩的不对称性和三次谐波系数（k3）来最大化三次谐波。随着偏置的继续增加，磁化接近饱和，幅度减小。在相同的偏置水平下，电压越低，峰值越明显，表明在较低电压下非线性调制更为敏感。尽管在所有电压下都表现出单峰行为，但在较高电压水平（例如4.0 V）时，这种行为会减弱。这反映了在强交流驱动下三阶及更高阶非线性之间的更复杂相互作用。表3显示了在不同交流电压和直流偏置比下150 Hz的振幅。图9展示了在不同直流偏置条件下的高次谐波（200–500 Hz）。在没有直流偏置的情况下，它们的振幅较低；随着偏置的施加，振幅显著增加，并在大约20%时达到峰值。这表明直流偏置增强了高阶非线性，增加了系数（例如k4、k5），并将频谱从低阶分布转变为多谐波分布。在高偏置下，结果的频谱展宽和更复杂的能量分布表明磁化已进入一个强非线性区域。图9显示了在4.0 V不同直流偏置比下的谐波振幅分布。图10显示了THD随直流偏置的变化。在所有电压水平下，THD先增加然后减少。偏置的增加增强了三阶系数（k3），导致150 Hz处的显著上升，同时激发了高阶项（k4、k5），从而增加了高频谐波并导致THD的快速上升。随着偏置的进一步增加，磁化接近饱和，一些非线性效应减弱，THD下降。此外，在较低电压下THD更高，表明系统在这些条件下对直流偏置更为敏感。图10显示了在不同交流电压下THD与直流偏置比的关系。上述结果表明交流电压和直流偏置之间存在强烈的耦合效应。在低电压条件下，非线性调制更强，表现为更高的谐波失真和波形不对称。相比之下，高电压可以在一定程度上减弱非线性响应。对时间和频率域的全面分析表明，20–25%的偏置比对应于三阶及更高阶非线性最显著的区域。例如，150 Hz的谐波峰值接近10–15%，而THD和高次谐波（200–500 Hz）的峰值接近20–25%。这表明这一范围代表了磁致伸缩非线性演化的关键阶段。

为了进一步验证所提出的特征提取方法和LSTM模型的有效性，评估了该模型在各种操作条件下的预测性能，重点关注其收敛特性、预测准确性和在不同直流偏置比和激励电压条件下的泛化能力。在模型训练过程中，使用了Adam优化器，初始学习率为0.01，并采用逐步衰减策略（每200个周期减少到原始值的0.1倍）。最大训练周期数设置为1000，L2正则化系数为0.001。损失函数是均方误差（MSE）。首先使用宽度为1秒、步长为0.5秒的滑动窗口对42组操作条件数据进行分割，每组条件大约得到30个样本，总共得到1260个样本。为了严格评估模型的泛化能力并避免由于同一记录中相邻窗口之间的时间相关性导致的数据泄露，采用了分层的5折交叉验证方案。具体来说，42个独立条件（由不同的交流电压和直流偏置比组合定义）被随机分为五个互斥的组。在每个组中，来自四个组的样本（大约33–34个条件）构成训练集，而剩余的样本（大约8–9个条件）用于测试。这确保了同一操作条件的数据永远不会同时出现在训练集和测试集中。该过程重复了五次，并对最终性能指标进行了平均。为了防止测试集的信息泄露，归一化参数（缩放到[-1, 1]范围的最小和最大值）仅基于每个交叉验证组的训练数据计算，并使用MATLAB中的mapminmax函数应用于同一组内的相应测试部分。在训练过程中，随着迭代次数的增加，训练集和验证集的损失逐渐减小并稳定。模型在测试集上的RMSE为0.0218，接近训练集上的0.0214，表明模型在拟合准确性和泛化能力之间取得了良好的平衡。

如图11所示，LSTM模型在不同电压条件下的预测结果与中等偏置范围（10–25%）内的设定值吻合良好。然而，在低（5%）和高（30%）偏置比下观察到相对较大的误差。这一观察结果与第二节中提出的理论一致，该理论表明在两个极端条件下磁化过程表现出更强的非线性和复杂性。值得注意的是，经过训练的模型（单个实例）在不同交流电压下表现出稳健的预测性能。通过学习电压不变的特征，模型展示了在不同操作条件下的有效泛化能力。与高电压条件相比，在15–20%偏置范围内的预测误差在低电压（2.0–2.8 V）时略高。这与第4节中的结论一致，即在低电压条件下观察到更强的非线性失真。图11显示了在不同交流电压水平下直流偏置比的LSTM预测结果：(a) 2.0 V，(b) 2.8 V，(c) 3.6 V，(d) 4.0 V。图12中的误差箱形图进一步展示了模型在不同直流偏置比下的误差分布。“+”标记表示识别的异常值。狭窄的箱子和接近零的中位数表明模型的预测具有较低的随机误差。这表明构建的特征和模型能够稳定捕捉直流偏置下的主要非线性特征，展示了稳健的预测稳定性和可靠性。图12显示了在不同交流电压水平下不同直流偏置类别的预测误差箱形图：(a) 2.0 V，(b) 2.8 V，(c) 3.6 V，(d) 4.0 V。为了评估不同特征集的贡献并对比所提出的LSTM模型与其他算法的性能，进行了全面的消融研究。具体比较了三种特征配置：(1) 仅互信息特征（MI-only），由8维多尺度互信息向量[E(1), …, E(8)]表示；(2) 仅频域特征（FD-only），包括三个振幅V100、V150和V350；(3) 所提出的方法，由这两组特征的融合组成，得到一个11维向量。对于每个特征集，实现了四个回归模型并进行评估：所提出的LSTM网络、具有100个隐藏神经元和Sigmoid激活函数的极端学习机（ELM）、具有径向基函数核的支持向量回归（SVR）模型以及具有100棵树的随机森林（RF）。模型性能使用三个标准指标进行评估：平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和决定系数（R2）。它们的定义在[23]中提供。消融研究和分层5折交叉验证下的模型比较结果见表4。融合特征集（11维）表现出最佳性能，在LSTM模型下实现了0.0336的RMSE和0.8810的R2。与仅使用MI特征（8维）相比，RMSE降低了大约41%，与仅使用频域特征（3维）相比进一步降低了5%，这表明时域统计特征和频域物理特征的互补性。此外，LSTM模型在所有模型中具有最低的RMSE（0.0336）和最高的R2（0.8810）。尽管随机森林的MAE（0.0278）相似，但其RMSE略高（0.0378）。表4显示了使用分层5折交叉验证的模型比较。当输入是一个11维静态特征向量时，LSTM的门控机制（输入门、遗忘门和输出门）使其能够对这些特征进行复杂的非线性变换。这种门控架构使LSTM能够捕捉高阶特征相互作用和依赖性。而标准回归模型缺乏建模特征之间依赖性的机制，LSTM在捕捉这些特征耦合方面始终表现出明显优势。

本研究调查了在交流电压和直流偏置耦合下取向硅钢片的磁致伸缩响应的非线性特性。通过结合特征提取和模型识别方法，得出了以下结论：(1) 直流偏置可以改变磁化工作点，显著改变磁致伸缩响应，使应变波形从对称状态转变为不对称状态，并导致频谱结构的显著重塑。泰勒级数展开分析表明，这种重塑源于偶数阶和奇数阶非线性的调制。(2) 在频域中，100 Hz基波振幅随着直流偏置的增加而单调减小。第三谐波（150 Hz）在低至中等偏置范围内（大约10–15%）达到峰值，而总谐波失真（THD）和高次谐波（200–500 Hz）的峰值出现在更高偏置水平（大约20–25%）。这种行为反映了在偏置增加时振动能量从低频向高频的转移。(3) 交流电压对非线性演化过程具有调制作用。结果一致表明，更高电压水平可以减弱由直流偏置引起的非线性效应，从而减缓谐波失真和波形不对称的增长趋势。(4) 基于多尺度互信息和频域特征的组合向量可以有效描述由直流偏置引起的非线性演化模式。与LSTM网络的集成允许高精度地识别偏置比，从而验证了数据驱动方法的有效性。所提出的时域互信息特征作为传统频域谐波分析的补充，后者既不需要精确的谐波振幅提取，也不需要准确的物理模型。未来的工作将旨在在更具代表性的核心实体上验证所提出的框架。