综述：能源弹性估计：生产函数、成本函数和能源需求函数的综合性回顾 姜成进（Sung Jin Kang）、 金允浩（Yun Ho Jin） 曹世军（Shijun Cao）

《Energies》：Estimation of Energy Elasticities: A Comprehensive Review of Production, Cost, and Energy Demand Functions Sung Jin Kang, Yun Ho Jin and Shijun Cao

　　**摘要**
本研究探讨了能源弹性估计的方法论现状和实证趋势，回顾了2017年至2026年间发表的文献。通过分层分类法，根据功能形式（生产、成本和能源需求）、模型规格（静态和动态）以及数据结构（面板数据和时间序列数据）对选定的文章进行了分类。主要发现包括：首先，该综述区分了生产函数、成本函数和能源需求函数方法，并展示了这些方法如何与不同的数据结构和计量经济建模策略相结合；其次，分析强调了广义矩估计（GMM）和自回归分布滞后模型（ARDL）等计量经济技术的广泛应用，这些技术有效解决了近期能源数据中的内生性和非平稳性问题；最后，本研究的贡献在于基于具体数据特征对多种计量经济方法进行了系统的综合。通过提供将估计技术与相应数据结构相匹配的结构化路线图，该综述为研究人员和政策制定者在快速全球能源转型时期确保能源弹性估计的稳健性和可靠性提供了指导。

**1. 引言**
能源在经济分析中扮演着双重角色，既是家庭直接使用的效用来源，也是企业生产过程的关键投入。因此，能源价格和收入弹性的估计传统上从三个主要视角进行：（i）生产函数，（ii）成本函数，（iii）能源需求函数。能源生产和成本函数方法关注能源与其他投入（包括资本和劳动力）之间的技术关系，而能源需求函数则研究消费者和企业如何根据价格和收入的变化调整能源使用。理解这两个视角在能源经济学领域至关重要，因为它为评估经济主体对价格信号、技术变革和政策干预的反应提供了分析基础。

分析基于生产、成本和能源需求函数的弹性在多个关键政策领域具有重要意义。首先，从减缓气候变化的角度来看，能源消费是排放的主要决定因素，因此了解其对价格、收入和经济活动变化的响应性对于有效政策设计至关重要[1,2]。同样，从生产函数和成本函数得出的能源弹性估计为理解工业或国家能源结构提供了实证基础[3,4]。此外，通过估计各种能源来源之间的交叉价格弹性，这些框架为应对气候变化的能源转型策略提供了分析洞察[4,5,6,7,8]。这些估计对于评估碳定价和能源效率政策等措施的有效性至关重要[1,9]。

其次，在最近的地缘政治冲突中，能源安全重新变得重要，这些冲突扰乱了全球能源供应链，增加了经济对外部冲击的脆弱性。俄罗斯-乌克兰战争和中东地区的紧张局势表明，能源供应中断可能转化为更广泛的宏观经济风险[10]。研究能源弹性变得越来越重要，因为它提供了关于家庭和企业如何应对能源可用性和价格变化的关键见解，从而支持有效能源安全政策的制定。第三，能源是经济发展的基石。能源需求反映了生活水平和家庭福利的进步[11,12,13]。生产和成本函数方法强调了能源在促进工业化和生产力增长中的关键作用[9,14,15]。随着经济的发展，收入增长、工业产出和能源使用之间的关系会因经济条件、政府政策和技术进步而变化[10,16]。估计能源弹性对于预测未来能源需求和理解长期发展轨迹至关重要。

尽管对这些分析的兴趣由来已久，但由于全球能源系统的快速结构性变化，实证文献面临着新的挑战。脱碳、电气化和数字化的持续进程正在改变消费模式和生产技术。这些变化促使人们重新审视现有的实证证据[17]。反映这一需求，关于能源转型和能源效率的研究正在经济学和工程学等多个领域进行[18,19]。这一趋势也体现在能源弹性研究中，日益丰富的能源相关数据促进了各种计量经济方法的应用。尽管一些综述研究考察了能源弹性，但它们主要关注特定的经济主体、国家和能源来源，并倾向于呈现能源弹性估计结果[20,21,22,23]。因此，仍存在一个显著的研究空白，即需要一个涵盖多种数据集和方法论的综合性综述。将实证结果与其相关方法论框架联系起来的系统化组织相对有限。

能源弹性估计的研究大致分为生产函数、成本函数和能源需求函数方法，这些方法采用了多种方法。生产和成本函数方法经常使用对数-对数（translog）功能形式[3,4,5,6,7,8,9,14,15,24,25,26,27,28,29]。能源需求估计的静态模型通常采用固定效应（FE）、随机效应（RE）、混合普通最小二乘（POLS）和共同相关效应均值组（CCEMG）等面板数据技术[11,12,13,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42]。此外，静态时间序列分析经常结合时间变参数（TVP）模型[10,16,43,44]。动态能源需求模型通常依赖于GMM、ARDL和FE等面板数据方法[1,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55]，而时间序列分析则采用更广泛的技术，包括ARDL类型模型、自回归模型以及各种基于协整的方法，如动态普通最小二乘（DOLS）、完全修正普通最小二乘（FMOLS）、典型协整回归（CCR）和时间变系数协整（TVC），还有向量误差校正模型（VECM）和非线性规范，如非线性自回归分布滞后（NARDL）[56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69]。这些方法专门设计用于解决复杂的计量经济问题，包括调整动态、异质性和横截面依赖性。通过考虑这些特性，这些模型有助于更准确的估计。因此，这种日益增长的多样性引发了关于模型选择、生产函数、成本函数和能源需求方法结果可比性以及政策解释一致性等重要问题。

本文的目的是提供关于能源弹性估计文献的系统性综合综述。本研究采用分层分类法，根据功能形式、模型规格和数据结构分析现有文献。具体而言，该综述旨在：（i）综合过去十年生产函数、成本函数和能源需求函数的方法论演变；（ii）评估不同计量经济技术如何处理面板数据和时间序列数据的复杂性；（iii）为在快速变化的能源环境中估计能源弹性提供方法论和政策启示。

综述发现，主要使用对数-对数功能形式的生产和成本函数研究通常报告正的输出弹性和负的价格弹性。一些研究强调了化石燃料和可再生能源之间的显著潜力。在能源需求研究中，尽管不同数据集和方法论产生了广泛的估计结果，包括FE、TVC、GMM和ARDL模型，但文献中出现了一致的模式。价格和收入弹性保持了预期的负值和正值。长期弹性比短期弹性更具弹性。

本文的其余部分结构如下：第2节描述了文献选择的方法论框架和分层分类系统；第3节回顾了按功能形式和数据特征分类的核心方法；第4节综合了所审查研究的实证发现，并对不同建模方法和数据结构下的能源弹性估计进行了比较分析；第5节进行了总结，并提出了未来研究的方向。

**2. 文献综述**
**2.1. 信息提取**
为了根据特定的数据类别和分析方法识别和分类现有的能源弹性文献，数据类别涵盖了分析对象（经济主体）、能源来源以及研究的空间和时间范围。经济主体被分为总体（国家或地区）或特定主体，如家庭、行业。能源来源包括总能源消费和特定来源，如电力、天然气、石油、汽油和煤炭。空间范围分为多国研究和单国分析。本研究采用的结构化识别、筛选和分类过程如图1所示。

鉴于能源弹性研究中的类别和方法论多样性，使用Web of Science（WoS）和Google Scholar进行了全面搜索。搜索策略结合了核心关键词：能源、生产函数、成本函数、能源需求函数、价格弹性、收入弹性和输出弹性。为了涵盖广泛的研究领域，还使用了电力、天然气、石油、汽油、煤炭、家庭和行业等附加关键词。搜索范围限制在过去的十年（2017-2026年）发表的文章上。虽然能源弹性一直是经济研究的长期主题，但本研究重点关注近期文献，以反映由快速全球变化（如气候变化缓解政策和提高的能源安全关切）驱动的能源消费模式的变化。根据这些标准，文献搜索于2026年2月完成。由于搜索结果数量庞大，实施了严格的筛选过程以确保相关性。文章主要根据其方法论框架进行选择，特别是它们是否采用了生产函数、成本函数或能源需求函数方法。这一过程最终确定了61篇进行深入审查的文章，排除了数据库中重复的条目或同一研究的多个版本，以及未明确报告能源弹性实证值的论文，以及不完整或未经同行评审的研究材料，如博士论文、硕士论文和会议论文。

选定的研究经过了两阶段的分层分类，以分析能源弹性估计的独特特征。在第一阶段（分类1）中，研究根据其功能形式被分为生产函数（n=15）或能源需求函数（n=46）。由于成本函数和生产函数都属于生产方面的方法，因此将它们归为一个类别。虽然综述考虑了这两种方法，但将其分别分类，并对能源需求文献进行了额外的分类，因为其方法论多样性更大。在第二阶段（分类2）中，46项能源需求研究进一步根据其模型规格分为静态模型（n=20）和动态模型（n=26）。每个类别再根据数据结构进行细分，区分面板数据和时间序列数据。因此，本研究根据功能形式、计量经济规格和数据特征系统地组织了文献，以提供当前研究现状的全面概述。

**2.2. 生产和成本函数方法的文献**
共有15项研究采用生产函数或成本函数框架来估计能源替代性和弹性参数。这些研究的主要目标是提供稳健的实证参数，这对于设计和校准以能源为导向的可计算一般均衡（CGE）模型至关重要，从而提高碳税或可再生能源补贴等政策模拟的准确性。首先，12项研究采用了对数-对数生产函数框架。在这一组研究中，主要使用岭回归来处理由交互项和平方项引起的严重多重共线性[5,6,7,9,14,15,24,25,26,27,28,42]。对数-对数生产函数文献主要研究新兴经济体和发达经济体中的能源替代可能性和输出弹性。这些研究通常将能源视为与资本和劳动力并列的核心投入来建模工业生产结构。为了缓解对数-对数规范中由于参数众多而固有的多重共线性，大多数研究依赖于岭回归而不是普通最小二乘（OLS）来获得稳定可靠的估计。

Bello和Solarin[24]以及Li等人[6]使用岭迹图分别为美国和中国选择最优惩罚参数。Lin和Liu[9]分析中国的重工业，关注能源、资本和劳动力之间的相互作用，以确定节能路径。同样，Hou和Song[25]将中国的能源投入分解为热能、清洁能源和化石燃料，以研究有方向的技术变革在促进能源转型中的作用。值得注意的是，Faizi和Mohammad[3]也在他们的动态面板分析中结合了GMM方法和岭回归来解决内生性问题。他们使用了印度的制造业数据，强调了劳动力和资本之间的替代性，同时识别了能源和非能源投入之间的互补性。在这个框架内，专注于可再生能源转型的研究通常会区分清洁能源和传统能源。Lin和Ankrah[7]以及Wesseh和Lin[15]分别研究了尼日利亚和埃及的替代潜力，通过估算从非可再生能源和化石燃料转向可再生能源的可能性。在突尼斯，Saadaoui和Chtourou[28]评估了可再生能源在推动国家能源转型中的作用，并结合了传统生产因素来量化脱碳的经济影响。Solarin和Bello[14]以巴西为例，引入了一个可持续性指数（调整后的净储蓄）与GDP一起使用，以更全面地评估生物质能与化石燃料之间的替代关系。对于巴基斯坦，Khalid和Jalil[5]分析了煤炭、天然气、石油和水电之间的燃料替代情况，发现水电的产出弹性最高。Raza和Tang[27]通过加入劳动力和资本投入，扩展了这一分析，估计了在不同投资情景下向天然气和电力转型的碳减排潜力。Lin和Atsagli[26]研究了南非的情况，发现煤炭和电力仍然是主要的产出驱动因素，且其技术进步速度相对较快。

其余三项研究采用了Translog成本函数框架[4,8,29]。这些研究在成本最小化背景下对企业的行为进行了建模，重点关注工业燃料的替代问题。与主要依赖投入量的生产理论方法不同，这些研究强调了价格敏感性，并推导出满足新古典规则条件的需求弹性，包括正性、单调性和曲率。尽管这三项研究都采用了Translog成本系统的不同变体，但它们在估计技术和数据结构上存在差异。Javid[4]使用完全信息最大似然（FIML）方法分析了沙特阿拉伯的工业部门，明确考虑了干扰之间的同时相关性，并在估计过程中直接施加了局部凹性的基本规则条件。Mardones和Henríquez[8]利用非线性回归系统（NLSs）研究了智利的工业部门，确保了与成本最小化的理论一致性。Xiao等人[29]应用了通过看似无关的回归（SUR）估计的受限成本函数（RCF），将可再生能源视为准固定投入，以解决基于市场的可再生能源价格相关的局限性。他们分析了中国的低碳转型。通过将可再生能源视为准固定投入，他们解决了缺乏可靠省级风电和太阳能价格数据的问题。他们的模型使用SUR进行估计，考虑了中国27个省份之间的相关性，并采用向量角度方法来捕捉能源转型过程中替代弹性的非线性U形关系。

关于生产和成本函数方法的文献展示了由特定研究目标和数据可用性决定的不同方法偏好。大多数生产函数研究使用岭回归来缓解灵活的Translog规范中的多重共线性问题，从而便于估计产出弹性。相比之下，成本函数框架利用FIML和NLS等技术来推导价格弹性。这些方法选择与特定的研究目标相一致，因为生产函数方法评估能源对国民经济的贡献，而成本函数方法则识别个别能源来源和工业部门的价格敏感性。

2.3. 能源需求函数方法的文献
2.3.1. 静态模型的文献
共有二十项研究采用静态方法来估计能源需求函数。这一组研究根据数据结构进一步分类。首先，十六项研究使用了面板数据。在这些面板数据中，研究人员主要依赖于FE[11,12,13,32,33,34,35,37,38,39,40,41,42]、POLS[31]和CCEMG估计器[30,36]。前十三项研究使用FE模型来考察国家或地区的能源需求弹性。Burke和Kurniawati[33]将印度尼西亚的区域数据应用于FE模型，通过纳入人口、柴油价格和平均温度等控制变量来考虑地区特征。Saha和Bhattacharya[39]将西孟加拉的电力消费者分为农业、商业和工业部门，以捕捉不同的消费行为。对于中国的农村煤炭需求，Teng等人[40]考虑了气候变量（如平均冬季温度）的影响。同样，Su[13]分析了台湾的电力部门，并通过Hausman检验确认了FE模型相对于POLS和RE模型的优越性。该研究纳入了空调拥有量和制冷度日等控制变量，以提高估计的准确性。Yu和Xin[41]研究了中国的电力部门，将电力系统改革的影响作为关键控制变量。他们的发现表明，FE结构适合工业部门，而RE模型更能代表住宅部门。Chindarkar和Goyal[35]以及Boogen等人[32]的研究分别分析了印度和瑞士的居民电力需求，纳入了家庭层面的特征。为了缓解内生性问题，特别是能源价格方面的问题，几项研究在FE框架内采用了工具变量（IV）方法。Caldara等人[34]使用全球石油产量的变化作为OECD国家原油价格的工具变量，而Alberini等人[11]使用基于关税的工具变量来解决乌克兰边际价格和天然气消费之间的内生性问题。Lanot和Vesterberg[38]分析了瑞典的每小时电力需求，用消费超过特定阈值的概率的对数估计值作为价格工具变量。对于中国，Zhai等人[42]通过使用煤炭价格波动和发电规模作为供给侧工具变量来解决电力价格的内生性问题。Kilian和Zhou[37]使用美国各州的汽油价格传递率和国际价格冲击作为汽油价格的工具变量。

为了应对数据限制和复杂的横截面依赖性，还采用了伪面板和CCEMG估计器等替代面板结构。Bela?d等人[12]和Bardazzi和Pazienza[31]分别使用伪面板方法，通过构建重复横截面数据的队列来分析法国和意大利的居民能源需求弹性。Dong等人[36]使用CCEMG估计器分析中国的天然气需求，允许考虑特定省份的系数，同时控制未观察到的共同因素。AlKathiri等人[30]使用CCEMG估计器估计了111个国家的能源收入弹性。

其余四项研究侧重于时间序列分析，主要使用TVP模型来捕捉价格和收入弹性随时间的变化[10,16,43,44]。与假设参数恒定的模型不同，这种方法允许弹性根据经济和环境条件的变化进行调整，从而考虑了能源市场的动态特性。这些研究通常应用卡尔曼滤波器来跟踪参数随时间变化的轨迹，随着新信息的出现递归更新系数。Wang和Mogi[44]利用这种方法分析了日本的工业和居民电力需求，研究了福岛核事故等结构性冲击如何改变消费者反应。Tiwari和Menegaki[43]通过纳入宏观经济控制变量（如外国直接投资和出口占GDP的比例）来分析印度的电力需求，以识别价格和收入弹性的趋势。Lee和Olasehinde-Williams[10]也应用卡尔曼滤波器估计了五个主要能源消费国（中国、印度、美国、俄罗斯和日本）的汽油需求弹性，提供了参数趋势和各国响应性的比较分析。在南非，Masike和Vermeulen[16]使用TVP捕捉了由外部因素（如电力税收政策变化）驱动的电力需求弹性波动。

对静态能源需求模型的回顾显示了由数据特性驱动的明显方法差异。虽然基于面板的研究优先考虑控制未观察到的异质性，但时间序列方法强调弹性的时变性质。通过采用基于卡尔曼滤波器的TVP模型，后者能够捕捉经济主体对结构性断裂和外部冲击的敏感性，反映了在静态功能框架内纳入时间动态的持续努力。虽然静态方法提供了对同时期关系的洞察，但未能捕捉到能源市场随时间的逐渐调整。这一局限性促使人们采用动态模型，以考虑能源市场达到均衡所需的时间滞后和跨期调整过程。

2.3.2. 动态模型的文献
与静态模型不同，动态模型将滞后因变量作为回归量，以捕捉能源消费的持续性和跨期调整过程。在这一类别中确定了二十六项研究；其中十二项研究使用面板数据，十四项研究使用时间序列分析。在十二项面板数据研究中，五项研究应用GMM来缓解动态规范中的内生性问题[1,45,46,50,55]。Cialani和Mortazavi[46]以及Csereklyei[1]应用系统GMM方法估计欧盟成员国的电力需求弹性，后者将环境税收收入作为控制变量，以反映绿色政策的影响。Chang等人[45]对OECD工业部门使用差分GMM和系统GMM，比较了能源密集型和非密集型行业之间的弹性差异。Wakashiro[55]对特定行业进行了更详细的分析，使用差分GMM估计了日本制造业的电力价格弹性，同时考虑了各县的具体效应。Kostakis和Lolos[50]使用伪面板估计了希腊家庭的电力需求弹性。另外五项研究采用ARDL模型来处理长期动态和横截面异质性[47,48,51,52,53]，其余两篇论文依赖于FE估计器[49,54]。Liddle和Huntington[52]以及Liddle和Hasanov[51]分别使用平均组（MG）和动态共同相关效应（DCCE）估计器控制未观察到的共同因素和国家特定差异，分别关注总体能源和电力。Liddle等人[53]在分析26个中等收入国家时也采用了这种方法。在欧洲天然气市场，Erias和Iglesias[47,48]使用ARDL模型研究季节性变化和COVID-19大流行的结构性影响，利用月度数据和国家特定虚拟变量来考察不同季节和国家之间的差异。另外两项研究使用FE模型，通常结合工具变量或偏差校正方法来确保动态设置的一致性[49,54]。Gao等人[49]通过使用滞后值作为工具变量来解决价格和收入的内生性问题，便于对不同收入水平的65个国家进行比较评估。Priesmann和Praktiknjo[54]同样针对德国家庭数据采用了偏差校正方法。

在十四项时间序列研究中，ARDL模型被最广泛使用，占八项[56,57,58,59,61,67,68,69]。Atalla等人[58]和Alarenan等人[56]通过将结构趋势和出口因素纳入ARDL模型来研究沙特阿拉伯的工业需求弹性，分别关注汽油和总能源。Campbell[59]和Ishaque[61]分别研究了牙买加和巴基斯坦的部门电力需求，使用人口控制变量进行估计。Campbell[59]使用城市人口份额作为人口控制变量，而Ishaque[61]使用电力消费者数量。Tatli和Barak[69]将这种方法应用于土耳其的煤炭需求分析，强调了其在样本量有限时的有效性，并纳入了平均温度等气候因素作为关键控制变量。Raghoo和Surroop[67]在毛里求斯应用ARDL方法，考虑了有限的横截面观测数据，同时研究了特定能源来源（包括汽油、柴油和燃料油）。Alzyadat[57]估计了沙特阿拉伯的天然气价格和收入弹性。为了考虑国内能源需求的快速增长，该研究将人口增长作为关键控制变量。Taghvaee等人[68]分析了伊朗的五种能源（天然气、柴油、燃料油和液化石油气）。为了反映伊朗独特的经济特征，使用能源效率、汇率和补贴作为控制变量，其中能源效率以每单位能源消耗的GDP来衡量。此外，还有两项研究采用了自回归（Autometrics）[62,66]。最近，开发了变量选择方法来识别分析所需的必要变量，其中一种方法——自回归正被用来估计能源需求弹性。佩利尼（Pellini）[66]和李等人（Li et al.）[62]应用Autometrics算法来识别与欧盟家庭电力需求相关的指标和虚拟变量。这些研究将冷却度日和加热度日作为控制变量纳入考量。在估计过程中，根据Autometrics方法从全部观测数据中选取了特定年份的虚拟变量。其余研究则采用了多种专门的计量经济模型，包括DOLS [64]、FMOLS [64]、CCR [64]、TVC协整（TVC Cointegration）[65]、VECM [60]和NARDL [63]。米卡伊洛夫（Mikayilov）等人[64]结合使用了DOLS、FMOLS和CCR模型来分析土耳其的汽油需求弹性。米卡伊洛夫等人[65]采用TVC协整方法来估计阿塞拜疆汽油需求的弹性变化。对于巴西的居民电力需求，古铁雷斯（Gutiérrez）和埃尔（Ehrl）[60]运用VECM模型来考虑消费、家电普及率与气候波动之间的长期均衡关系，并通过确定的协整向量来验证模型选择的有效性。廖（Liao）等人[63]采用NARDL模型来展示台湾家庭能源需求的非对称性，即在价格上涨和下跌时期价格弹性存在差异。这种方法通过捕捉价格弹性的非线性特征，提供了对消费者敏感度的更细致描述。

动态能源需求研究通过识别长期均衡关系，有效地弥合了过去消费习惯与未来政策规划之间的差距。虽然基于面板的数据主要通过GMM（Generalized Minimum Maximum）和ARDL（Autoregressive Distributed Lag）方法来处理内生性和横截面依赖性，但时间序列分析则侧重于协整关系的稳健识别。随着对非对称响应的纳入和自动化选择方法的改进，计量经济学方法论正在不断精炼，以提高弹性估计的精确度和复杂性。

总之，能源弹性估计的各种方法是根据研究目标和数据结构来组织的。生产函数和成本函数方法利用灵活的translog（Translog）规格来识别技术替代的可能性以及能源对国民产出的贡献；能源需求函数方法关注不同经济主体、能源来源和国家的经济响应性；而静态面板和时间序列模型则侧重于未观测到的异质性或时间不稳定性；动态方法如GMM和ARDL则涵盖了短期和长期情况。这种层次化的分类表明，计量经济技术的选择是为了使能源消费行为的复杂性与给定数据结构下的识别策略相匹配。

3. 估计模型规格
3.1. 生产函数和成本函数
生产过程由一个总体生产函数描述，其中产出由主要投入决定，即资本（K）、劳动力（L）和能源（E）[70,71]。在技术水平保持不变的假设下，这一基本关系在方程（1）中表示如下：
\[Y_t = f(K_t, L_t, E_t)\]
其中\(Y_t\)表示行业或经济的总产出，\(K_t\)、\(L_t\)和\(E_t\)分别代表时间\(t\)的资本、劳动力和能源投入。

为了便于实证估计，方程（1）中的函数关系被表示为对数线性形式，即方程（2）：
\[Y_t = \alpha_0 + \alpha_1 K_t^{\beta_1} + \alpha_2 L_t^{\beta_2} + \alpha_3 E_t^{\beta_3} + \varepsilon_t\]
其中\(\alpha_0\)是截距项，\(\alpha_1\)、\(\alpha_2\)和\(\alpha_3\)分别是资本、劳动力和能源的产出弹性系数，\(\varepsilon_t\)表示误差项。

方程（2）中的基本对数线性模型未能捕捉生产因素之间的复杂相互依赖性。为了克服这些限制并特别考察资本、劳动力和能源之间的交叉弹性，模型被扩展为超越对数（translog）生产函数，即方程（3）：
\[Y_t = \alpha_0 + \alpha_1 K_t^{\beta_1} + \alpha_2 L_t^{\beta_2} + \alpha_3 E_t^{\beta_3} + (\alpha_4 K_t^2 + \alpha_5 L_t^2 + \alpha_6 E_t^2) + \varepsilon_t\]
其中\(\alpha_4\)、\(\alpha_5\)和\(\alpha_6\)分别是资本、劳动力和能源的平方项系数，\(\alpha_7\)、\(\alpha_8\)和\(\alpha_9\)是这些投入之间交互作用的系数。交叉弹性定义为在技术替代率边际变化时投入因素比例的百分比变化，假设技术和要素价格保持不变。根据方程（3）估计出的系数，可以实证计算能源、资本和劳动力之间的交叉弹性（方程（4）：
\[E_{EK,LC} = \frac{\partial Y_t}{\partial K_t} \cdot \frac{\partial K_t}{\partial E_t} \cdot \frac{\partial E_t}{\partial L_t}\]
这些参数有助于判断能源是作为其他投入的替代品还是互补品。方程（4）的推导遵循了Lin和Liu [9]第2.1节描述的方法论。交叉弹性值的符号表明了投入因素之间的关系：大于零表示替代关系，小于零表示互补关系；当值为零时，表示投入因素之间是独立的。

成本函数基于生产机制，如方程（5）所示：
\[C_t = p K_t^{\alpha_1} + p L_t^{\alpha_2} + p E_t^{\alpha_3} + \varepsilon_t\]
其中\(p\)是要素价格向量，\(x\)是投入量向量，\(y\)是产出水平。总成本由要素价格与其对应投入的乘积得出，在生产函数约束下通过最小化成本来确定最优生产。

为了便于实证估计，成本最小化问题被表示为对数线性形式，即方程（6）：
\[C_t = \ln(p K_t^{\alpha_1} + p L_t^{\alpha_2} + p E_t^{\alpha_3}) + (\alpha_7 K_t^2 + \alpha_8 L_t^2 + \alpha_9 E_t^2) + \varepsilon_t\]
这里的\(\alpha_7\)、\(\alpha_8\)和\(\alpha_9\)是一阶投入价格系数，\(\beta_1\)、\(\beta_2\)和\(\beta_3\)是二阶项系数，\(\gamma_1\)、\(\gamma_2\)和\(\gamma_3\)是投入价格之间交互作用的系数。这种规格能够估计自价格弹性和交叉价格弹性。

3.2. 能源需求函数
分析能源消费的决定因素及其对经济冲击的响应性是能源经济学的基本任务。具体来说，量化价格弹性和收入弹性对于评估能源政策的有效性及预测未来需求趋势至关重要。能源需求函数一直是文献中的主要分析框架。方程（7）代表了广泛用于估计这些弹性的基本函数形式：
\[Q_t = \phi(p_t, I_t, Z_t)\]
其中\(Q_t\)表示特定国家\(i\)在时间\(t\)的最终能源消费量，\(p_t\)是能源价格指数，\(I_t\)是收入，\(Z_t\)是控制变量。根据具体研究目标，控制变量可能包括政策、人口和气候等因素[1,13,57,62,66]。通过将方程（7）的能源需求函数表示为对数线性关系，可以确定能源价格和收入弹性（方程（8）：
\[Q_t = \phi(p_t, I_t) \cdot \exp(\alpha_{EP} + \alpha_{IN} + \varepsilon_t)\]
其中\(\alpha_{EP}\)和\(\alpha_{IN}\)分别是能源价格和收入弹性系数。像方程（8）这样的静态模型基于在特定时间点解释能源消费行为，假设经济主体会立即根据价格、收入和其他外生因素的变化调整能源使用。

相比之下，动态模型考虑到能源消费调整并非瞬时发生，而是存在时间滞后。这反映了由于能源市场的技术和制度特征，最终能源消费无法立即达到均衡状态[45]。因此，动态模型考虑了最终能源消费达到均衡所需的时间。方程（9）被多种研究用来反映能源市场均衡中的时间滞后：
\[Q_t = \phi(p_t, I_t) \cdot (1 + \lambda \cdot (p_{t-1} \cdot p_{t-1} + I_{t-1} + Z_{t-1}))\]
其中\(\lambda\)是滞后系数。方程（9）被重新排列为方程（10）以表示实际能源消费量：
\[Q_t = \phi(p_t, I_t) \cdot \exp(\alpha_{EP} + \alpha_{IN} \cdot (1 + \lambda \cdot (p_{t-1} \cdot p_{t-1} + I_{t-1}))\]
假设所需的能源消费量\(Q^*\)是能源价格\(p_t\)、收入\(I_t\)和其他控制变量的函数（方程（11）。

方程（9）被重新排列为方程（12）以表示实际能源消费量：
\[Q_t = \phi(p_t, I_t) \cdot \exp(\alpha_{EP} \cdot (1 + \lambda \cdot (p_{t-1} \cdot p_{t-1} + I_{t-1}))\]
其中\(E_{EP}\)和\(E_{IN}\)分别是短期价格和收入弹性系数，\(\lambda\)是滞后最终能源消费量的系数，表示冲击对该变量的持久影响程度。当该系数的绝对值小于1时，根据方程（13）和（14）可以得出能源价格和收入的长期弹性。如果滞后变量系数的值大于1，则能源消费的冲击不会随时间趋于零，表明调整动态是非平稳的。

3.2.1. 静态模型
在静态模型中，通常使用三种方法来估计能源弹性：固定效应（FE）、用于面板数据分析的CCEMG（Common Cost-Coefficient Estimation for Panel Data）和用于时间序列数据的TVP（Vector Autoregressive Panel）模型。首先，FE是一种专门为处理方程（8）中未观测到的个体效应与自变量相关的情况而设计的面板数据估计方法。在能源需求中，这些个体效应代表随时间保持不变但数据中未明确体现的地区或类别特定特征。如果这些个体效应与价格或收入相关，标准的POLS（Partial Least Squares）回归会产生有偏且不一致的弹性估计[72]。FE模型通过控制这些持久个体效应来解决这一问题，从而准确估计方程（8）中的系数\(\alpha_1\)和\(\alpha_2\)，即能源需求的价格和收入弹性。为了统计验证这种方法的有效性，研究人员通常使用Hausman检验来确定个体效应是否与回归量相关，从而证明选择FE模型而非随机效应（RE）模型的合理性，以确保估计系数的一致性。

其次，CCEMG是一种稳健的面板估计器，用于处理横截面依赖性和斜率异质性，否则可能导致能源需求分析中的估计结果不一致和误导性结论。该方法通过加入因变量和自变量的横截面平均值来考虑未观测到的共同冲击，包括全球经济变化或技术变革。该模型通过方程（15）实现：
\[Q_t = \beta_0 + \beta_1 (X_t - \bar{X}_t) + \varepsilon_t\]
其中\(X_t\)是观测值，\(\bar{X}_t\)是横截面平均值，\(\beta_0\)、\(\beta_1\)和\(\beta_2\)分别是未观测到的共同因子和个体特定系数，\(\varepsilon_t\)是误差项。这些系数用于过滤掉未观测到的共同因子，确保CCEMG估计器提供一致的长期参数，同时允许不同观测单元之间的结构异质性。

第三，TVP用于估计随时间演变的弹性，突破了静态模型中恒定系数的限制。当分析具有结构性变化（如技术变革或政策改革）的能源市场时，这种方法尤为必要，因为恒定弹性模型往往无法准确捕捉这些变化[43]。TVP允许参数随时间变化，从而有效处理数据中的潜在不稳定性和非线性。该模型通常使用状态空间表示并通过卡尔曼滤波器进行估计。基于方程（16）的函数形式，TVP模型通过观测方程和状态方程来指定：
\[Q_t = \phi(p_t, X_t, Y_t) + \delta_t\]
其中\(Q_t\)是观测值，\(p_t\)、\(X_t\)和\(Y_t\)分别是时间\(t\)的能源消费、价格和收入，\(\delta_t\)是时间变化的价格和收入弹性系数。这两种方法论允许估计短期和长期弹性，并且在动态建模的文献中被频繁采用。首先，GMM是用于估计动态能源需求函数的主要计量经济框架。GMM通过使用内部工具变量来解决动态面板数据中的内生性偏差，这些工具变量是回归量的滞后值，从而提供一致且无偏的估计结果。之所以需要GMM，是因为在方程（10）中包含滞后因变量会引入一个根本性的内生性问题。这个滞后项与时间不变的个体效应相关，这会导致标准的POLS或FE估计量产生偏差。GMM通过使用内部工具变量来解决这些问题，从而产生一致且无偏的估计量。在这个框架内，许多研究采用了差分GMM（Arellano和Bond [74]），它将方程转换为了一阶差分形式以消除个体效应，并使用变量的滞后水平作为工具变量。或者，系统GMM也被经常使用，因为它将不同层次和差分形式的方程结合成一个系统，以提高估计效率并减轻弱工具变量问题[74,75]。通过GMM估计，系数 和 表示短期价格和收入弹性，而滞后变量的系数 用于根据方程（13）和（14）中的关系计算长期弹性。

其次，面板ARDL是一种通过结合因变量和自变量的滞后来估计能源弹性的方法。标准的对数线性ARDL（1, 1, 1）规范表示为方程（17）和（18）。在这个模型中，长期价格和收入弹性（, ）是通过方程（18）计算得出的。ARDL方法非常重要，因为它反映了能源消费对经济冲击的逐渐调整过程，考虑了替代资本或技术所需的时间[51]。此外，无论回归量是平稳的I(0)还是非平稳的I(1)，它都能提供一致的估计结果，比传统的协整方法具有更大的灵活性。

除了基于面板的估计之外，时间序列ARDL也被用于特定国家的能源需求研究。虽然面板模型考虑了横截面异质性，但时间序列ARDL能够更细致地分析特定经济的动态调整过程。这种方法的一个主要优势是在小样本量下的统计可靠性，使其特别适合于长期历史数据集可能有限能源研究[59,67]。

4. 估计结果
4.1. 生产和成本函数方法
使用生产和成本理论框架的研究的实证证据，如表1、表2、表3和表4所示，揭示了关于范围、经济主体和估计弹性的几个不同模式。首先，虽然一些研究关注广泛的经济趋势，但大多数文献集中在个别国家上，涵盖了包括中国、沙特阿拉伯、智利、印度、巴基斯坦、埃及、突尼斯、尼日利亚、巴西和美国在内的多种经济体。其次，在经济主体方面，国家级别的分析最为常见，尽管也有几项研究关注工业和制造业部门。第三，尽管电力和传统化石燃料（煤炭、石油和天然气）仍然是主要的能源来源，但文献也广泛涵盖了清洁能源和可再生能源，包括水力、风能、太阳能和生物质能。

4.2. 能源需求函数方法
4.2.1. 静态模型
（1）面板数据
来自静态面板研究的实证证据揭示了弹性的共同特征。表5中报告的估计价格弹性通常为负且缺乏弹性，其中原油的弹性尤其低。有两个研究打破了这一模式：Dong等人[36]报告了正的价格弹性（0.35至0.52），而Teng等人[40]发现了弹性响应（?1.02至?1.21）。收入弹性通常为正且缺乏弹性。同样，也有两项研究偏离了这一模式，Dong等人[36]发现收入弹性响应为正（1.09至1.38），而Teng等人[40]报告了负的收入弹性（?0.97至?1.40）。

（2）时间序列数据
静态时间序列研究的实证结果表明，尽管数据特征和建模方法可能与静态面板研究不同，但估计弹性的特征仍然一致。表6中估计的价格弹性始终为负且缺乏弹性，范围从?0.02到?0.51。然而，价格弹性的程度因具体国家、经济主体和能源类型而异。Lee和Olasehinde-Williams[10]发现，五个主要经济体的汽油需求价格弹性始终较低。收入弹性通常为正，尽管其大小在不同研究中有所不同。Wang和Mogi[44]发现日本家庭的收入弹性为1.45，而Tiwari和Menegaki[43]报告印度的收入弹性为0.41。

4.2.2. 动态模型
（1）面板数据
利用动态面板数据的研究分析揭示了在范围、主题和估计参数方面的几个区别特征。首先，在空间维度上，许多研究考察了跨国数据集，特别关注欧盟和经合组织成员国等发达经济体。其次，许多研究采用宏观层面的视角，涵盖了总体经济主体和能源来源，而不进行行业区分。在专注于特定能源的研究中，电力是最常分析的能源类型，其次是天然气。GMM和ARDL是捕捉动态调整过程的主要方法论，尽管有些研究使用了修改后的FE模型。表7中估计的长期价格弹性始终为负，尽管其程度因研究范围而异。当分类时，研究总体能源消费的通常报告的长期价格弹性范围从?0.15到?0.29，而专门研究电力的研究则显示出更高的敏感性，估计值在?0.25到?0.98之间。长期收入弹性为正，反映了基于分析的数据集和地理覆盖范围的差异。动态面板分析与静态面板分析之间的区别源于它们的时间焦点和通常使用的数据规模。静态模型具有多样性，可以利用涵盖微观层面家庭调查和宏观层面国家统计数据的广泛数据集。相比之下，动态面板研究主要利用汇总的宏观层面数据来捕捉长期行为调整。通过纳入滞后变量，动态模型能够解释多个国家和地区能源消费的持续性，而静态模型通常在固定时间点估计同时期的关系。这种研究范围的差异决定了计量经济方法的选择。静态面板研究通过固定效应（FE）方法来控制未观察到的个体效应。而动态面板研究则考虑了全球能源市场调整到均衡状态所需的时间，因此需要估计不同的短期和长期弹性。为了实现这一点，研究采用了广义矩估计（GMM）和自回归分位数估计（ARDL）等方法，这些方法结合了滞后因变量来模拟能源消费行为的持续性。

从静态模型和动态模型获得的实证结果总体一致，表明价格弹性为负且缺乏弹性，收入弹性为正且缺乏弹性。然而，对弹性大小的比较分析显示，长期弹性往往更为显著。具体来说，静态面板研究中确定的平均价格弹性为-0.42，收入弹性为0.33；而动态面板研究中的平均长期价格弹性为-0.51，收入弹性为0.49。这些发现与理论预期相符，即随着经济主体逐渐适应市场冲击，能源需求对价格和收入信号的响应性会在更长的时间范围内增强。这一观察结果还得到了动态面板研究的进一步支持，其中短期价格和收入弹性通常比长期估计值更缺乏弹性。

利用动态时间序列数据的实证研究表明了几个特征。如表8所示，虽然一些研究发现了弹性响应甚至负值，但许多研究报告了正向且缺乏弹性的长期收入弹性。与动态面板研究相比，动态时间序列研究的一个显著特点是它更关注特定国家和个体经济主体，这种细致度有助于对不同行业的国内弹性进行比较分析。Campbell [59] 将牙买加的能源需求分解为总需求、工业需求、居民需求和商业需求，以阐明各组的独特消费特征。同样，Ishaque [61] 对巴基斯坦进行了行业细分，分析了整个经济以及工业和农业部门，以更深入地了解能源需求。表8显示，牙买加和巴基斯坦的总经济体的价格弹性分别为-0.40和-0.46，而牙买加的居民需求（-0.82）对价格更为敏感。相反，两国的工业部门显示出更为刚性的需求结构，牙买加的弹性为-0.25，巴基斯坦的弹性为-0.43。这些发现与先前的文献[39,41,44]一致。

尽管不同经济主体之间的价格弹性存在共同趋势，但收入弹性并不总是如此一致。根据国家不同，工业部门可能比居民部门更具收入弹性，或者反之亦然。使用其他数据模型的研究也记录了收入弹性的不同趋势，表明收入驱动的需求变化在很大程度上取决于所研究经济体的发展阶段和结构特征。最后，动态时间序列模型对特定国家的关注使得在弹性估计中能够识别出国家特有的特征。尽管大多数长期收入弹性为正向且缺乏弹性，但Tatli和Barak [69] 以及Raghoo和Surroop [67] 的研究提供了例外。Tatli和Barak [69] 计算出土耳其煤炭的长期收入弹性高达4.94，认为低煤炭价格和快速经济增长是这一高弹性的主要原因。相比之下，Raghoo和Surroop [67] 报告了毛里求斯柴油的负收入弹性为-0.43，这归因于交通部门的结构性转变，即收入水平的提高导致从柴油转向汽油消费。

总体而言，综述的文献表明，实证结果的差异主要是由研究目标、数据结构、计量经济方法和分析的能源类型所驱动的。在采用生产和成本函数方法的研究中，主要使用了对数变换函数（translog函数）。由于各国生产结构、技术条件和能源构成不同，估计的价格和产出弹性大小也有所不同。这些因素影响了投入的替代程度以及产出对能源投入的响应性，从而导致结果存在显著差异。然而，大多数研究的估计符号是一致的，即大多数报告价格弹性为负，产出弹性为正。

能源需求函数文献中弹性估计的差异更多地与数据结构和模型规范的不同有关。基于面板数据的静态模型通过固定效应（FE）和条件系数估计（CCEMG）等估计器来控制个体效应。时间序列研究采用TVC估计器来识别随时间变化的弹性趋势。此外，动态模型始终区分短期和长期弹性，由于能源消费行为的逐渐调整，长期响应通常更具弹性。这些发现表明，研究之间的差异是结构性的而非任意的，反映了方法选择与基础数据特征之间的匹配。

这些实证发现为政策决策和能源战略的制定提供了重要证据。通过生产和成本函数方法估计的弹性提供了关于宏观经济溢出效应和能源来源之间替代可能性的关键见解，这对于设计有效的气候变化缓解和能源转型政策至关重要。同时，能源需求弹性在国内外能源规划中发挥着关键作用，特别是在评估基于价格的工具（如碳税）的有效性方面。然而，综述的文献显示，许多能源来源的短期需求通常对价格缺乏弹性，这意味着仅靠价格政策可能无法产生立竿见影的效果。相反，动态模型揭示了更大的长期弹性，表明政策效果会随着时间的推移逐渐显现。此外，各国和能源类型之间的巨大差异表明，统一的政策方案可能无效。因此，准确理解能源弹性对于制定有针对性和有效的能源政策至关重要。

本研究通过综合过去十年（2017年至2026年）发表的61篇文章来探讨能源弹性。所选文献根据功能形式、模型规范和数据结构进行了分类。在此框架下，研究识别出15项采用生产和成本函数框架的研究和46项专注于能源需求函数的研究，后者进一步分为20个静态模型和26个动态模型。方法的应用在这些分类中保持一致。基于生产和成本函数的研究使用对数变换规范来估计投入因素之间的关系。对于能源需求函数，研究采用了多种计量经济工具，包括固定效应（FE）、TVP、GMM和ARDL。这些技术的选择是为了适应特定的数据特征，如未观察到的异质性、调整动态和非平稳性。实证发现显示，综述文献中的弹性估计存在一致的模式。能源与其他生产因素（如资本和劳动力）之间以及不同能源来源之间存在普遍的替代关系。一些研究经常观察到清洁能源与化石燃料之间的高替代弹性，表明相对价格改革可以促进能源转型。关于直接响应性，能源自身价格弹性在各种建模框架中始终为负且缺乏弹性。收入弹性通常为正向且缺乏弹性。来自动态规范的证据进一步表明，长期弹性往往比短期弹性更为显著。这种模式证实了经济主体在更长的时间范围内对市场信号的敏感性更强，因为他们逐渐调整消费模式和技术以适应不断变化的经济条件。

本文提供的层次分类法为研究人员选择最佳建模方法提供了重要参考，并为政策制定者提供了一个结构化的路线图，以便在快速变化的全球环境中解释各种弹性估计。这种综合分析对于评估措施的有效性至关重要，特别是碳定价和能源效率政策。尽管本研究有所贡献，但仍存在一些局限性。首先，大量研究集中在发达国家，导致缺乏关于发展中国家或更广泛全球范围的实证证据。未来研究需要建立包含发展中国家和多样化全球区域的数据集和研究框架。其次，快速变化的能源环境，包括气候危机和全球能源供应链的中断，可能会影响未来估计方法的准确性。这些变化引入了传统计量经济模型难以准确分析的复杂性。然而，诸如人工智能和机器学习等新兴方法有望通过有效捕捉复杂关系来克服这些限制。通过利用这些方法，可以显著改进能源弹性的估计，为在日益不确定的全球环境中进行政策模拟提供更可靠的证据。