考虑二次衬砌性能退化的流变岩中深埋隧道的时间依赖可靠性分析 魏航航（Hang-Hang Wei） 崔光耀（Guangyao Cui）

《Buildings》：Time-Dependent Reliability Analysis of Deep-Buried Tunnels in Rheological Rock Considering Degradation of Secondary Lining Performance Hang-Hang Wei and Guangyao Cui

　　摘要：在深埋隧道中，由于围岩的流变行为，作用在支护结构上的荷载持续增加，而二次衬砌的性能在环境因素的影响下逐渐退化。这些延迟特性对隧道安全有重要影响，但很少被纳入隧道的可靠性评估中。本研究使用Burgers模型对围岩进行建模，并通过考虑二次衬砌的退化和损伤来开发解析解。通过参数分析确定控制隧道响应的关键因素。随后建立极限状态函数，并进行时变系统可靠性分析。结果表明，隧道响应和可靠性对流变参数非常敏感。在流变参数中，Maxwell元素的弹性剪切模量Ge对变形的影响最为显著，而Kelvin元素的弹性剪切模量Gk则控制着二次衬砌的应力响应。时变失效概率在早期迅速增加，之后逐渐稳定。初步研究表明，初始支护强度不足是系统失效的主要模式。此外，Ge和Gk是影响隧道可靠性的关键参数，提高Gk可使可靠性指数提高1500%以上。同时，系统可靠性的变化主要受初始支护强度不足的失效模式影响。这些发现为流变岩中的深埋隧道设计、施工和长期维护提供了定量指导。

1. 引言
作为道路运输网络的重要组成部分，深埋隧道在其整个使用寿命期间受到环境条件、围岩和衬砌结构共同影响，导致其力学响应发生显著变化[1,2,3,4]。特别是对于流变岩中的深埋隧道，衬砌结构要承受由围岩流变行为产生的长期荷载[5,6]，这可能导致衬砌结构在运营期间受损。此外，作为隧道稳定性的长期保障，二次衬砌还会受到环境恶化、地下水作用和反复交通荷载的影响[7]。这些不利因素可能导致二次衬砌材料退化，累积的结构损伤也可能逐渐发展。因此，在评估深埋隧道的服务安全性时，应考虑这些时间延迟行为。
二次衬砌退化的原因可以分为两大类。首先，混凝土退化[8,9]和衬砌背后的空洞[10]会导致二次衬砌强度降低。这种退化过程表现为混凝土强度的下降。其次，列车振动荷载和空气动力压力可能导致二次衬砌的累积损伤[11,12]，进而导致强度进一步降低。上述研究不仅阐明了二次衬砌退化的机制，还研究了在这种退化作用下隧道的长期安全性。
此外，考虑围岩和隧道衬砌不确定性的可靠性理论已被引入隧道安全评估[13,14,15]。因此，结合隧道运营期间环境效应的时变可靠性方法可以更全面地评估隧道性能随时间的变化[16,17]。在这方面，二次衬砌的腐蚀问题已在时变隧道可靠性评估中得到考虑。有限元方法被用来构建退化模型并评估时变隧道响应的概率分布[18]。然而，基于有限元方法的可靠性评估需要大量的数值模拟，计算成本较高。因此，当有解析解可用时，可以采用解析方法显著降低计算成本。
解析方法已被广泛用于研究流变岩体中隧道的力学响应[19,20,21]。这些方法为深入了解衬砌与围岩之间的相互作用提供了有效途径[22,23]，同时也为隧道工程问题的参数敏感性分析提供了便利工具。此外，解析方法还被用于评估隧道的长期安全性。最初，已经推导出具有顺序安装衬砌的深埋隧道的解析解，并相应地分析了服务期间的时变可靠性[24]。在此基础上，从解析角度获得了考虑初始支护退化的软岩隧道的长期力学响应，并评估了隧道的运营安全性[19]。
总之，尽管研究人员已经认识到围岩流变性和二次衬砌退化对深埋隧道长期安全性的重要性，但这两种时变行为的耦合效应尚未得到系统研究。具体来说，现有研究要么假设衬砌性能恒定来研究围岩的流变行为[19,20,21]，要么在围岩荷载恒定的情况下考虑衬砌退化[8,9]。时变衬砌强度衰减与时变围岩流变之间的相互作用机制及其对深埋隧道时变可靠性的影响仍不清楚。最近关于隧道-结构相互作用的研究强调了考虑耦合效应和时变行为的重要性[25]。可靠预测隧道长期安全性需要同时考虑这两种机制，这对隧道设计和安全评估至关重要。
为了解决这一空白，本文提出了一项关于围岩流变性和二次衬砌退化对深埋隧道长期响应和时变可靠性耦合效应的解析研究。首先，二次衬砌的退化表现为弹性模量的时变衰减，而围岩的流变行为使用粘弹性Burgers模型来描述。基于这些假设（即圆形隧道、各向同性和不可压缩的Burgers岩、各向同性的地应力以及围岩与衬砌之间的兼容变形），建立了一个耦合解析模型。随后通过现有解析解和数值模拟验证了所提出的模型。最后进行了隧道的时变可靠性分析，并进行了参数研究，以确定对隧道响应和时变可靠性有显著影响的参数，为隧道设计和施工提供了有用的指导。

2. 考虑二次衬砌退化的深埋隧道的解析解
2.1. 问题定义
本研究重点评估流变岩中深埋隧道的时变可靠性，特别关注二次衬砌退化和结构损伤的影响。鉴于特殊的地质环境和围岩与衬砌之间的复杂相互作用，分析中引入了几项简化和假设。首先，隧道在各向同性和不可压缩的粘弹性Burgers岩中开挖。其次，假设初始地应力p0是各向同性的。第三，隧道具有圆形截面（如图1所示），并在t = t0时刻瞬间开挖。初始支护在t = t1时刻安装，随后在t = t2时刻安装二次衬砌。初始支护与围岩和二次衬砌牢固结合，使三个组成部分能够协调变形。最后，假设围岩、初始支护和二次衬砌之间有完美的结合，确保它们之间的界面变形兼容。图1为隧道模型。这些假设对于在相对均匀且地应力较高的岩体中开挖的深埋隧道是合理的。在这种条件下，围岩受到高围压，变形主要由时变流变行为控制，而不是体积膨胀。此外，当岩石没有明显的结构各向异性（如发育良好的节理或层理面）时，各向同性假设是适用的。
此外，圆形隧道的开挖半径为R1，初始支护的内半径为R2，二次衬砌的内半径为R3。初始支护与围岩之间的支护压力为p1(t)，二次衬砌与初始支护之间的支护压力为p2(t)，分别定义为：
(1)
(2)
基于上述假设，可以直接得出以下边界条件：
(3)

2.2. 二次衬砌的退化
由于二次衬砌直接暴露在环境中，它会受到各种侵蚀作用的影响，包括硫酸盐和碳酸根离子的侵入[26,27]，以及嵌入钢筋的腐蚀[9]。根据以往的研究，本研究采用指数衰减函数来表示二次衬砌中混凝土的退化[4]。
值得注意的是，二次衬砌的退化包括强度和刚度的降低。然而，这两个方面密切相关，弹性模量的降低可以有效地代表整个退化过程[4]。因此，在本研究中，通过二次衬砌弹性模量的变化来模拟其退化。
此外，二次衬砌在施工后通常存在初始缺陷[28]。这些缺陷在车辆荷载作用下逐渐传播和累积，从而对隧道的使用寿命产生显著影响。目前，通常采用Miner的累积损伤理论来描述二次衬砌的损伤演变[29]。因此，二次衬砌的退化行为可以表示为：
(4)
(5)
其中ES0和ES(t)分别表示二次衬砌的初始弹性模量和时变弹性模量；χ(t)表示退化程度；De是二次衬砌的损伤系数，δ是混凝土的退化系数。

2.3. Burgers模型的描述
岩石的时变行为可以用粘弹性模型来描述[30,31]。在本研究中，围岩的流变行为通过连接一个Maxwell元素和一个Kelvin元素的串联Burgers模型来表征。该模型适用于描述围岩的长期蠕变行为，如图2所示。Burgers模型由四个参数表征，分别为Gk、Ge、ηk和ηe，其中Gk和Ge表示Kelvin元素和Maxwell元素的弹性剪切模量，ηk和ηe表示相应的粘度系数。围岩的蠕变变形由偏应力分量引起，可以表示为：
(6)
(7)
图2. Burgers模型。σm和εm分别表示平均应力和平均应变，K是体积模量。此外，sij和eij分别表示对应于应力σii和应变εii的偏应力和偏应变，G(t)是剪切模量。Burgers模型的函数G(t)可以在拉普拉斯空间中表示为：
(8)
此外，方程(6)中的符号(?)表示卷积运算，具体操作规则如下：
(9)
根据卷积定理[33]，可以得出：
(10)

2.4. 解析解的推导
基于上述Burgers模型的描述，可以通过Burgers模型的特性推导出深埋隧道的解析解。该推导主要依赖于初始支护与围岩之间以及初始支护与二次衬砌之间的兼容变形。后续部分详细推导了围岩、初始支护和二次衬砌的位移。基于这些推导，然后使用相应的兼容性方程确定初始支护的支护压力p1(t)和二次衬砌的支护压力p2(t)。

2.4.1. 围岩的位移
首先，根据方程(3)中指定的边界条件，可以得到围岩中的径向应力σr和环向应力σθ的解析表达式：
(11)
此外，可以得到围岩的径向位移：
(12)
径向位移可以用围岩的剪切模量Gr和体积模量Kr来表示。对于不可压缩条件，假设体积模量趋于无穷大（Kr → ∞），这意味着体积应变可以忽略不计。在这种条件下，围岩的变形主要由剪切行为控制。随后，应用拉普拉斯变换可以得到拉普拉斯空间中围岩的位移（13）。需要注意的是，体积模量和剪切模量主要是在推导过程中引入的，以建立弹性关系。然而，在最终的解析解中，围岩的时变位移主要由Burgers模型的流变参数控制。根据卷积运算规则，围岩的径向位移可以重写为（14）。由于在之前的分析中假设围岩是不可压缩的，参数h1(t)和h2(t)分别由[34]定义（15）（16）。因此，基于方程（14），可以推导出围岩在不同阶段的位移（17）（18）（19）。

2.4.2 初始支护的位移
初始支护的位移计算可以分为两个阶段：即二次衬砌安装之前和二次衬砌安装之后。首先，基于厚壁圆柱理论及边界条件，可以得出二次衬砌安装前（t1 ≤ t ≤ t2）初始支护的径向位移（20），其中EI是初始支护的弹性模量，v1是初始支护的泊松比。其次，在二次衬砌安装后（t ≥ t2），初始支护受到外部压力p1(t)和内部压力p2(t)的作用。基于厚壁圆柱理论，可以得出此阶段初始支护的径向位移（21）。

2.4.3 二次衬砌的位移
通过相同的推导过程，可以很容易地得到二次衬砌安装后（t ≥ t2）的径向应力σS,r和环向应力σS,θ（22）。由于二次衬砌在安装后会经历性能退化，因此每个时间增量Δt的应力增量由[35]给出（23）。在极坐标系中，应变增量与位移增量之间的关系由（24）表示。平面应变条件下的本构方程的增量形式表示为（25），其中v2是二次衬砌的泊松比。将方程（25）和（23）代入方程（24），可以得到二次衬砌径向位移的表达式（26）。

2.4.4 使用变形协调方程求解支护压力
如上所述，每个构件的位移是分阶段确定的。因此，变形协调方程也必须分阶段制定和计算。接下来，将介绍制定变形协调方程的程序，并描述相应的求解过程。首先，在t1 ≤ t ≤ t2阶段，初始支护和围岩在r = R1处表现出相同的增量变形，利用这一条件来制定变形协调方程（27）。将方程（17）、（18）和（20）代入方程（27），可以得到以下表达式（28），其中A1可以从以下表达式确定（29）。此外，确定p11(t)的具体步骤详细列在附录A中。其次，在t ≥ t2阶段，初始支护和围岩在r = R1处表现出相同的增量变形，利用这一条件来制定变形协调方程（30）。将方程（17）、（18）和（21）代入方程（30），可以得到以下表达式（31），其中A2可以从以下表达式确定（32）。在这个阶段，初始支护和二次衬砌在r = R2处表现出相同的增量变形，利用这一条件来制定变形协调方程（33）。将方程（21）和（26）代入方程（33），可以得到以下方程（34），其中A3、A4和A5可以从以下表达式确定（35）（36）（37）。通过结合方程（31）和（34），可以得到参数p12(t)和p22(t)。最后，通过将p1(t)和p2(t)代入方程（17）–（19），可以确定围岩的位移。确定p12(t)和p22(t)的步骤详细列在附录B中。

3. 提出解析解的验证
在本节中，使用现有的解析解和有限元模拟来验证前一节中描述的方法。验证中采用的围岩和衬砌的材料参数列在表1中[19]。此外，其他参数的值为d1 = 0.12 m，d2 = 0.2 m，t1 = 30 d，t2 = 60 d，δ = 0.002 d?1和De = 0.001 d?1。表1. 验证参数设置。

3.1 与现有解析解的比较
Liu [18]展示了在不考虑初始支护退化的情况下隧道位移和支护压力的变化。在相同条件下，即本研究不考虑损伤和退化时，结果如图3所示。预测的隧道位移以及初始支护和二次衬砌上的支护压力与现有研究结果吻合良好。为了进一步量化这种一致性，评估了当前结果与Liu报告的结果之间的相对误差，发现所有比较量中的最大相对误差小于1%。这一结果证明了在忽略二次衬砌的退化和损伤时所提出方法的准确性。图3. 本研究与现有研究[18]的比较。(a) 围岩位移。(b) 初始支护的支护压力。(c) 二次衬砌的支护压力。

3.2 与数值解的比较
本研究开发的解析解与使用FLAC 3D（Ver. 6.0）中嵌入的Burgers模型得到的数值结果进行了比较。在数值模型中，二次衬砌的退化和损伤通过其弹性模量的减小来表示，而初始支护和二次衬砌都被建模为弹性模型。此外，围岩使用FLAC 3D中嵌入的Burgers模型来捕捉其流变行为。如图4所示，建立了一个尺寸为10R1 × 10R1的平面应变模型。沿上边界和侧边界施加静水压力p0，模型的底部固定。在挖掘之前，将初始地应力调整到平衡状态。隧道挖掘模拟为全面挖掘，然后根据前一节定义的时间顺序安装初始支护和二次衬砌。通过编程FLAC 3D内置的FISH来实现二次衬砌的退化，相应的退化率根据前一节确定。蠕变分析使用的时间步长为1 × 10?3 d?1。图4. 数值模拟模型。此外，假设初始支护和二次衬砌与围岩完美粘结，不考虑界面滑动或分离。数值模型中使用的材料参数列在表1中。图5展示了提出的解析解与数值模拟结果之间的比较。检查了三种工作条件，包括仅二次衬砌退化、仅二次衬砌损伤以及退化和损伤同时发生的情况。所有三种工作条件都表明，提出的解析解具有很高的准确性。为了量化结果的准确性，表2总结了不同工作条件下提出的解析解与数值结果之间的最大相对误差。可以看出，最大相对误差为4.98%，表明提出的解析解与数值结果具有很好的一致性。退化系数和损伤系数对围岩位移和衬砌的力学响应都有显著影响。因此，二次衬砌的退化和损伤对隧道有显著影响，在隧道安全评估中应予以充分考虑。图5. 提出的解决方案与数值模拟结果的比较。(a) 围岩位移。(b) 初始支护的支护压力。(c) 二次衬砌的支护压力。

4. 解析解的参数研究
为了阐明关键参数对高地应力软岩隧道时变力学响应的影响机制，阐明这些参数与隧道结构力学行为之间的内在关系，并确定后续时变可靠性分析中的敏感参数，进行了解析解的参数敏感性研究。本研究中考虑的参数包括二次衬砌退化系数和损伤系数、Burgers模型的流变参数以及支护设计参数（如支护厚度和安装时间），这些参数都显著影响隧道的力学响应。所有参数的基准值均采用之前解析解验证部分中使用的值。

4.1 二次衬砌退化系数和损伤系数对隧道响应的影响
首先研究了二次衬砌退化系数对隧道响应的影响。选择了五个代表性的退化系数水平进行分析。图6展示了在不同退化系数下围岩位移以及初始支护和二次衬砌的等效应力的时变演变。图6. 退化系数δ对隧道响应的影响。(a) 围岩位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。围岩位移以及初始支护和二次衬砌的等效应力在服务的前两年都表现出快速增加阶段，随后进入逐渐稳定的阶段。对于围岩位移，较大的退化系数导致更大的位移幅度和更明显的累积增长效应。在服务期结束时，非退化条件下的位移稳定在9.14 mm，而在最大退化系数下增加到9.26 mm，增加了1.59%。这种行为归因于二次衬砌的退化，导致其弹性模量降低，从而减弱了对围岩变形的约束作用。结果，围岩的流变变形随时间继续发展。此外，较大的退化系数加速了刚度的退化，导致对围岩的约束作用更快地减弱。对于初始支护的等效应力，在服务期结束时，非退化条件下的值为39.83 MPa，而在最大退化系数下增加到41.01 MPa，增加了2.98%。这种行为归因于二次衬砌的退化，降低了其承载能力，导致部分原本由二次衬砌承受的荷载转移到了初始支护上。随着时间的推移，二次衬砌的刚度继续退化，导致荷载逐渐转移和初始支护的应力持续增加。对于二次衬砌的等效应力，在服务期结束时，非退化条件下的值为51.20 MPa，而在最大退化系数下减少到48.78 MPa，减少了4.74%。这种行为归因于二次衬砌的退化，导致其弹性模量降低。尽管围岩的变形仍在继续，但刚度的降低限制了二次衬砌有效传递应力的能力，从而降低了其承载能力。因此，等效应力随着退化系数的增加而减小。

4.2 二次衬砌损伤系数对隧道响应的影响
进一步研究了二次衬砌损伤系数对隧道响应的影响。选择了五个代表性的损伤系数水平进行分析。图7展示了在不同损伤系数下围岩位移以及初始支护和二次衬砌的等效应力的时变演变。图7.损伤系数De对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。周围岩石位移以及初始支护和二次衬砌中的等效应力表现出与退化系数引起的类似的整体变化模式。然而，效应的幅度显著较小。对于周围岩石位移，在服务期结束时，无损伤条件下的值为9.21毫米，而在最大损伤系数下增加到9.23毫米，增加了0.22%，这比退化引起的增加要小。这种行为归因于损伤系数反映了在动态载荷下二次衬砌中疲劳损伤的累积。这种损伤主要表现为微裂纹的逐渐扩展，导致刚度相对缓慢地降低。对于初始支护中的等效应力，在服务期结束时的值为40.58兆帕，在最大损伤系数下增加到40.72兆帕，增加了0.33%。对于二次衬砌中的等效应力，从无损伤条件下的49.65兆帕降低到最大损伤系数下的49.37兆帕，减少了0.56%，这明显小于退化引起的4.74%的减少。

4.2. Burgers模型参数对隧道响应的影响
随后研究了Burgers模型参数对隧道响应的影响。Burgers模型包含四个参数。在此分析中，二次衬砌的退化系数和损伤系数分别固定为δ = 0.04 a?1和De = 0.005 a?1。
首先研究了Burgers模型中参数Ge对隧道响应的影响。选择了四个代表性的Ge值进行分析。图8展示了在不同Ge值下周围岩石位移以及初始支护和二次衬砌中等效应力的时间依赖性演变。图8显示了Ge对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。周围岩石位移以及初始支护和二次衬砌中的等效应力表现出一个总体趋势，即随着服务时间的增加而先快速增加，然后逐渐稳定。在早期阶段，隧道响应的快速增长主要是由于挖掘卸载引起的弹性变形的快速释放。对于周围岩石位移，随着时间的推移，弹性变形逐渐耗尽，变形主要由流变行为主导，导致增长率逐渐减小并最终稳定。对应于最小Ge值的位移比最大Ge值的位移大86.75%。这种行为归因于Ge直接控制了周围岩石对弹性变形的抵抗力。较小的Ge值意味着挖掘后弹性变形的释放更完全，从而导致流变变形的初始幅度更大。因此，长期累积的变形变得更加明显。
对于初始支护中的等效应力，Ge值的减小会导致最终应力水平升高。在服务期结束时，最小Ge值对应的应力比最大Ge值对应的应力高11.55%。这种行为归因于较小的Ge值导致周围岩石的变形更为明显，从而对初始支护施加了更强的压缩载荷。
对于二次衬砌中的等效应力，Ge值的减小会导致应力增加，其效果比在初始支护中观察到的更为明显。在服务期结束时，最小Ge值对应的应力比最大Ge值对应的应力高7.82%。原因是较小的Ge值导致周围岩石的变形更大。在这种条件下，仅靠初始支护不足以提供足够的约束，因此需要二次衬砌承担更大的载荷，从而导致其应力增加。

随后研究了Burgers模型中参数Gk对隧道响应的影响。选择了四个代表性的Gk值进行分析。图9展示了在不同Gk值下周围岩石位移以及初始支护和二次衬砌中等效应力的时间依赖性演变。图9显示了Gk对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。Gk对周围岩石位移以及初始支护和二次衬砌中等效应力的影响与Ge的影响一致，表现出一个总体趋势，即随着服务时间的增加而先快速增加，然后逐渐稳定。对于周围岩石位移，Gk的减小会导致最终位移幅度增大。在服务期结束时，最小Gk值对应的位移比最大Gk值对应的位移高6.38%。这种行为归因于Gk表征了周围岩石对粘弹性变形的抵抗力。较小的Gk值有利于长期载荷下粘弹性变形的发展，最终导致更大的累积位移。
对于初始支护中的等效应力，Gk的减小会导致最终等效应力升高。在服务期结束时，最小Gk值对应的应力比最大Gk值对应的应力高9.57%。这是因为较小的Gk值导致周围岩石的流变变形更为明显，从而对初始支护施加了更强的长期压缩效应。
对于二次衬砌中的等效应力，随着Gk的减小，应力增加，其效果比在初始支护中观察到的更为明显。在服务期结束时，最小Gk值对应的应力比最大Gk值对应的应力高27.58%。这种行为归因于较小的Gk值导致周围岩石的长期流变变形更大。在这种条件下，仅靠初始支护不足以有效约束变形，因此需要二次衬砌承担更大的载荷，从而导致其应力增加。

然后，分析了Burgers模型中参数ηe对隧道响应的影响。选择了四个不同的ηe值进行分析。图10显示了在不同ηe值下周围岩石位移、初始支护和二次衬砌的等效应力的时间变化规律。图10显示了ηe对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。周围岩石位移和等效应力的变化趋势与前述参数观察到的趋势一致。具体来说，ηe的减小会导致周围岩石位移增大和支持结构中的应力升高。在服务期结束时，最小ηe值对应的位移比最大ηe值对应的位移高3.96%。这种行为归因于ηe表征了周围岩石对粘性变形的抵抗力。较小的ηe值有利于粘性变形的发展，从而导致更大的长期累积位移。
初始支护中的等效应力随着ηe的减小而增加。在服务期结束时，最小ηe值对应的应力比最大ηe值对应的应力高7.43%。同样，二次衬砌中的等效应力也随着ηe的减小而略有增加。在服务期结束时，增加幅度仅为1.95%。这是因为较小的ηe值导致周围岩石的流变变形更大，使得初始支护无法完全约束变形，需要二次衬砌承担更大的载荷。

最后，研究了Burgers模型中参数ηk对隧道机械响应的影响。选择了四个代表性的ηk值进行分析。图11展示了在不同ηk值下周围岩石位移以及初始支护和二次衬砌中等效应力的时间依赖性演变。图11显示了ηk对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。周围岩石位移和等效应力随ηk的变化趋势与其他Burgers模型参数不同。随着ηk的增加，周围岩石位移总体上呈增加趋势，初始支护中的等效应力逐渐减小，而二次衬砌中的等效应力持续增加。这种行为归因于ηk主要控制了瞬态蠕变阶段。随着ηk的增加，周围岩石的瞬态蠕变变形增大，而长期蠕变率基本不受影响。随着瞬态变形的累积，早期安装的初始支护在增加的变形下提供的约束有限，导致其等效应力减小。相比之下，后期安装的二次衬砌承受了来自周围岩石的逐渐增大的载荷，导致其等效应力持续增加。
在这四个参数中，Ge、Gk和ηe控制着周围岩石的变形抵抗力。这些参数的减小会导致周围岩石位移增大和支持结构中的应力升高，对初始支护的影响更为明显。相反，ηk的增加会导致周围岩石在后期阶段的流变变形更为明显，从而导致更大的位移。它降低了初始支护中的等效应力，同时显著增加了二次衬砌中的等效应力。这种行为改变了支撑系统内的载荷分布，使得ηk成为隧道后期流变阶段需要特别关注的关键参数。

4.3. 支撑结构参数对隧道响应的影响
最后，研究了支撑参数对隧道时间依赖性响应的影响。隧道衬砌的安装时间和厚度是关键的设计参数，它们从结构刚度和施工顺序的角度控制着周围岩石流变变形的发展以及初始支护和二次衬砌之间的载荷分布，从而显著影响隧道的长期稳定性。随后分析了支撑参数对周围岩石位移以及初始支护和二次衬砌中等效应力的影响，以揭示不同支撑条件下的隧道响应特性。
图12和图13表明，初始支护和二次衬砌的厚度对周围岩石位移和衬砌中的等效应力有类似的影响。增加初始支护和二次衬砌的厚度可以有效减少周围岩石位移并促进变形的早期稳定。在服务期结束时，当初始支护的厚度从0.1米增加到0.5米时，周围岩石位移从14.30毫米减少到8.42毫米，减少了41.1%。同样，当二次衬砌的厚度从0.1米增加到0.3米时，位移从10.25毫米减少到8.49毫米，减少了17.2%。这些结果表明，增加支撑结构的刚度可以显著减轻周围岩石蠕变对隧道的影响。图12显示了初始支护厚度d1对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。图13显示了...二次衬砌厚度d2对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。同时，衬砌厚度的增加显著降低了支护结构的等效应力，因为更大的厚度增大了结构的承载截面，实现了更均匀的应力分布。当初始支护的厚度从0.1米增加到0.5米时，初始支护和二次衬砌的等效应力分别减少了42.1%和50.4%。当二次衬砌的厚度从0.1米增加到0.3米时，初始支护和二次衬砌的等效应力分别减少了33.1%和27.1%。这表明，通过提高支护的刚度和增大支护截面，可以减少结构应力，从而显著提高支护的安全性。图14和图15表明，初始支护和二次衬砌的安装时间对隧道响应有明显不同的影响。这种差异是因为安装时间决定了周围岩石变形约束的开始以及支护系统内的载荷分布。延迟初始支护的安装时间可以让周围岩石在早期自由变形而不受限制。当安装时间从1天延长到5天时，周围岩石位移增加了13.3%。同时，由于安装时的初始变形较大，初始支护所承受的载荷减少，其等效应力降低了12.4%。图14. 初始支护安装时间t1对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。图15. 二次衬砌安装时间t2对隧道响应的影响。(a) 周围岩石位移。(b) 初始支护的等效应力。(c) 二次衬砌的等效应力。当二次衬砌的安装时间从10天延迟到30天时，周围岩石位移增加了12.4%。这种行为是由于在延迟安装期间，初始支护在较长的早期阶段单独承受了周围岩石的压力。因此，由于缺乏二次约束，周围岩石的变形继续发展，而初始支护在持续载荷下应力显著增加，其等效应力上升了37.2%。相比之下，当二次衬砌安装完毕时，周围岩石的变形已经基本稳定，剩余的载荷大大减少，二次衬砌的等效应力降低了56.4%。根据上述分析，可以发现降解系数和损伤系数对周围岩石位移、初始支护和二次衬砌的等效应力的影响相对较小，因此它们在时间依赖可靠性分析中被视为确定性参数。此外，在Burgers模型参数中，ηe的变化对初始支护和二次衬砌的等效应力的影响可以忽略不计，仅为1.95%，也被视为确定性参数。相比之下，Ge、Gk和ηk对周围岩石位移、初始支护和二次衬砌的等效应力有显著影响，因此这三个参数在时间依赖可靠性分析中被视为随机变量。此外，在支护参数中，d1和d2对隧道响应有非常显著的影响，因此这两个参数也被视为随机变量。

5. 可靠性分析
在本节中，首先建立系统极限状态函数。随后，进行考虑多种失效模式的时间依赖系统可靠性分析。此外，还进行了参数可靠性分析，以量化关键参数对隧道时间依赖可靠性的影响。这些结果为隧道设计、施工以及长期运营和维护提供了理论基础和实际指导。

5.1. 极限状态函数的确定
在隧道工程中，结构安全性受到多种不确定因素的影响，这些不确定因素的耦合效应往往导致不同类型的失效模式。因此，在进行隧道可靠性研究时，特别是时间依赖可靠性研究时，需要全面考虑整个结构生命周期可能发生的各种失效机制，并从系统层面评估隧道的整体可靠性。本小节将为以下三种失效模式建立极限状态函数，即周围岩石过度收敛、初始支护强度不足和二次衬砌强度不足。

5.1.1. 周围岩石过度收敛
隧道开挖后，周围岩石会发生径向变形。如果这种变形超过某个限度，将会影响隧道的安全运行。假设这个限度为umax，这种失效模式的极限状态函数可以表示为：
(38)
参数umax通常根据工程经验赋予一个恒定值。在本研究中，参考相关研究[36]，采用了0.02R1的值。

5.1.2. 初始支护强度不足
对于衬砌，当等效应力超过结构材料的允许应力时，假设发生失效。因此，对于初始支护，对应于这种失效模式的极限状态函数表示为：
(39)
其中σAlo,I是根据先前研究[24]确定的初始支护的允许应力，取值为45 MPa。

5.1.3. 二次衬砌强度不足
同样，对于二次衬砌，强度不足失效模式的极限状态函数可以表示为：
(40)
其中σAlo,S是根据先前研究[24]确定的二次衬砌的允许应力，取值为50 MPa。

5.1.4. 时间依赖系统极限状态函数
根据不同结构部件之间的关系，结构系统通常可以分为串联系统、并联系统或串并联系统[37]。作为关键基础设施，隧道在实践中可以逻辑上等同于串联系统，因为任何单一模式的失效都可能导致结构坍塌。定义了各个极限状态函数后，串联系统的时间依赖系统极限状态函数Gsys(t)表示为：
(41)
将方程(38)–(40)代入方程(41)，可以得到隧道的系统极限状态函数：
(42)

5.2. 时间依赖可靠性分析方法
通常使用交叉率方法来计算时间依赖可靠性指数[38]。根据交叉率理论，结构在时间区间[0, t]内的失效被解释为在初始时刻发生或在时间区间内至少发生一次交叉事件。因此，累积失效概率可以计算如下：
(43)
其中N+(0, t)表示[0, t]内的交叉次数。通常，Pf,sys(0,t)可以使用以下公式近似计算[39]：
(44)
其中v+(τ)是交叉率。一般来说，直接计算v+(τ)的积分极其困难。Zhang [40]使用高斯勒让德方法来近似v+(τ)的积分，这种方法简单高效。因此，本文也采用这种方法进行计算。因此，累积失效概率可以近似表示为：
(45)
其中τk = t?ξk/2 + t/2是第k个估计时刻；ξk和ωk分别是第k个横坐标和相应的权重，分别为ξ = {0, 0.7756, ?0.7756}和ω = {0.8889, 0.5556, 0.5556}。
获得v+(τk)是计算方程(45)的关键。对于这个难以计算的临界参数v+(τk)，MPHI2方法[39]提供了一种精确高效的方法。在MPHI2方法中，v+(τk)可以计算如下：
(46)
其中Φ2(?)是双变量累积正态分布函数；βM(τk)和βM(τk + Δτ)是在固定时刻τk和τk + Δτ的时间依赖可靠性指数，基于矩方法(MoM) [41]计算得出；ρGM(τk, τk + Δτ)是标准高斯空间中Gsys(τk)和Gsys(τk + Δτ)之间的相关系数，表示为：
(47)
其中FMTC[?;?,?]是相关系数的第四矩正态变换函数[42]；M(τk) = [μG(τk), σG(τk), α3G(τk), α4G(τk)]是Gsys(τk)的前四个中心矩的向量；μG(τk), σG(τk), α3G(τk), α4G(τk)分别表示Gsys(τk)的均值、标准差、偏度和峰度；ρG(τk, τk + Δτ)是Gsys(τk)和Gsys(τk + Δτ)之间的线性相关系数，计算方法如下：
(48)
其中E[?]表示期望运算符。

5.3. 时间依赖可靠性分析
本节对隧道进行时间依赖可靠性分析。在分析中，衬砌的安装时间分别为t1 = 2 d和t2 = 10 d，降解系数和损伤系数分别为δ = 0.04 a?1和De = 0.002 a?1。其他确定性参数的值采用表1中列出的值。
基于前一节的结果，本节重点关注对隧道响应有显著影响的参数。这些参数被视为随机变量，并研究了它们对不同失效模式相关可靠性的影响。此外，地应力p0也会影响隧道可靠性。因此，在本研究中，根据相关研究，地将地应力建模为一个随机过程，其自相关函数表示为：
(49)
其中ρ表示自相关系数；κ是相关长度，在本研究中根据相关研究取为1个月；Δτ根据相关研究设置为0.0059年。此外，随机变量的统计特性如表3[24]所示。
表3. 随机变量的统计信息。

5.3.1. 隧道的时间依赖失效概率
图16比较了隧道使用寿命期间与各个失效模式和系统失效模式相关的累积失效概率。显然，系统失效模式的失效概率高于单个失效模式的失效概率。然而，系统失效模式的失效概率与初始支护强度不足的失效概率非常接近，表明在隧道服务期间这种失效模式占主导地位。此外，尽管二次衬砌强度不足的失效概率相对较低，但随着服务时间的增加而显著增加。
图16. 时间依赖失效概率。此外，所有失效模式在隧道施工后的失效概率都相对较低。然而，在服务初期，失效概率急剧增加。随着服务时间的继续增加，失效概率的增长率逐渐减小。因此，在初始服务期间必须密切监控运行安全性。

5.3.2. 时间依赖可靠性的参数研究
近年来，地下开挖的长期稳定性和安全性受到了越来越多的关注，因为它们受到复杂机械行为和环境因素的显著影响。最近的工程研究集中在弱或不稳定岩体中地下开口的稳定化以及相关危险的评估[44,45]上。这些研究强调了支护结构在确保地下稳定性方面的重要性。在这种情况下，需要进行参数分析，以评估关键因素对隧道响应的影响。
在本节中，对单个失效模式和系统失效的时间依赖可靠性进行了敏感性分析，考虑了不同随机变量的均值和变异系数。从而研究了隧道时间依赖可靠性的演变特性，为隧道设计提供了指导。
在分析中，二次衬砌的降解系数和损伤系数分别设置为δ = 0.04 a?1和De = 0.005 a?1。此外，所有随机变量的均值取为μ = nμ0 (n = 0.5, 1.0, 2.0，其中μ0的值见表3)。根据表3，随机变量变异系数的范围如下：初始支护厚度的变异系数COVd1介于0.02到0.18之间，二次衬砌厚度的变异系数COVd2介于0.01到0.09之间，Burgers模型蠕变参数的变异系数COVGe、COVGk和COVηk分别介于0.03到0.27、0.026到0.234以及0.02到0.18之间。首先分析了随机变量的均值和变异系数对围岩过度收敛可靠性指数的影响，如图17所示。图17显示了这些因素对围岩过度收敛可靠性的影响：(a) 初始支护厚度d1；(b) 二次衬砌厚度d2；(c) Burgers模型参数Ge；(d) Burgers模型参数Gk；(e) Burgers模型参数ηk。随着这五个参数均值的增加，与二次衬砌厚度d2相关的可靠性指数改善幅度最小，仅增加了1.04%。相比之下，与Gk相关的可靠性指数增加最为显著，超过了1500%。这是因为Gk作为表征围岩粘弹性变形抵抗能力的参数，其均值增加时显著增强了岩体的抗蠕变能力，从而显著降低了过度收敛失效的概率。当变异系数从最小值增加到最大值时，与ηk相关的可靠性指数没有显著变化，表明ηk的变异性对围岩收敛失效的概率影响可以忽略不计。而与Gk相关的可靠性指数变化最大，从23.58下降到4.62。这表明Gk的变异性在控制围岩过度收敛的可靠性方面起着主导作用。

接下来，分析了随机变量的均值和变异系数对初始支护强度不足可靠性指数的影响，如图18所示。图18显示了这些因素对初始支护强度不足可靠性的影响：(a) 初始支护厚度d1；(b) 二次衬砌厚度d2；(c) Burgers模型参数Ge；(d) Burgers模型参数Gk；(e) Burgers模型参数ηk。随着这五个参数均值的增加，与二次衬砌厚度d2相关的可靠性指数改善幅度最小，仅增加了3.01%。这是因为二次衬砌仅在初始支护提供的约束不足时才承担额外的荷载，因此对缓解初始支护强度不足引起的失效作用有限。相比之下，与Ge相关的可靠性指数增加最为显著，从0上升到11.29。这是因为Ge的增加可以显著减少围岩的整体变形，从而降低作用在初始支护上的挤压荷载。当变异系数从最小值增加到最大值时，所有五个参数相关的可靠性指数都表现出不同程度的变化，其中与Ge相关的可靠性指数变化最大，下降了40.0%，表明Ge的变异性显著增加了初始支护失效的风险。相比之下，与ηk相关的可靠性指数变化最小，在不同的基准值下没有观察到显著波动。

随后，分析了随机变量的均值和变异系数对二次衬砌强度不足可靠性指数的影响，如图19所示。图19显示了这些因素对二次衬砌强度不足可靠性的影响：(a) 初始支护厚度d1；(b) 二次衬砌厚度d2；(c) Burgers模型参数Ge；(d) Burgers模型参数Gk；(e) Burgers模型参数ηk。随着这五个参数均值的增加，与ηk相关的可靠性指数改善幅度最小，仅增加了7.04%。相比之下，与Gk相关的可靠性指数下降最为显著，从17.18下降到0。这是因为Gk的增加导致二次衬砌承受了更大的附加荷载，从而显著降低了二次衬砌强度不足失效模式的可靠性。当变异系数从最小值增加到最大值时，所有五个参数相关的可靠性指数都表现出不同程度的变化，其中与Ge相关的可靠性指数变化最大，下降了55.6%。相比之下，与二次衬砌厚度d2和ηk相关的可靠性指数变化最小。

最后，分析了随机变量的均值和变异系数对系统失效可靠性指数的影响，如图20所示。图20显示了这些因素对系统失效可靠性的影响：(a) 初始支护厚度d1；(b) 二次衬砌厚度d2；(c) Burgers模型参数Ge；(d) Burgers模型参数Gk；(e) Burgers模型参数ηk。随着变异系数从最小值增加到最大值，所有五个参数相关的可靠性指数都不同程度地下降。其中，与Ge相关的可靠性指数变化最大，下降了40.0%。相比之下，与ηk相关的可靠性指数变化最小，在不同水平下几乎保持不变，表明ηk的变异性对系统失效概率的影响可以忽略不计。总体而言，对于支护参数而言，初始支护厚度d1对每种失效模式的影响都大于二次衬砌厚度d2。对于蠕变参数，Ge对所有失效模式的影响最为显著，而ηk的影响最小。

关于单个随机变量对不同失效模式的影响，所有五个随机变量对二次衬砌强度不足的失效模式影响最大，而对围岩过度收敛的失效模式影响最小。这种现象可以归因于二次衬砌强度不足的失效概率相对较低。当随机变量的统计特性发生变化时，失效概率较小的事件更为敏感。最后可以观察到，无论随机变量的均值或变异系数如何变化，初始支护强度不足始终对系统失效的影响最大。其可靠性的变化直接决定了系统可靠性的波动。这一结论与前一节的发现一致，进一步证实了初始支护强度不足是隧道整个服役寿命中的主要失效模式。

6. 结论

本研究考虑了围岩流变行为以及二次衬砌的退化和损伤的综合影响，并基于Burgers流变模型建立了一个分析性隧道模型。在假设圆形截面、各向同性和不可压缩的粘弹性Burgers岩石、各向同性地应力以及围岩和衬砌之间变形兼容的前提下，推导出了深埋软岩隧道的力学响应的解析解。此外，在时变可靠性理论框架内进行了系统可靠性分析。主要结论如下：

不同参数对隧道响应的影响存在显著差异。在Burgers模型参数中，Ge对围岩位移的影响最大，使其增加了86.75%。相比之下，Gk对二次衬砌应力的影响最为显著，导致二次衬砌的等效应力增加了27.58%。隧道的时间依赖性失效概率在早期阶段增长迅速，随后增长速率减缓。系统失效概率始终高于每种单独的失效模式，并且其值接近于初始支护强度不足的失效模式，后者被确定为主要失效模式。Ge和Gk是影响隧道可靠性的关键参数。对于围岩过度收敛的失效模式，Gk均值的增加使可靠性指数增加了1500%以上。对于初始支护强度不足的失效模式，Ge均值的增加使可靠性指数从0上升到11.29，而其变异系数的增加则使可靠性指数下降了40.0%。对于二次衬砌强度不足的失效模式，Ge变异系数的增加使可靠性指数最大下降了55.6%。系统可靠性的变化主要受初始支护强度不足失效模式的影响。

基于上述发现，可以在实际工程中采取以下措施来提高隧道可靠性：首先，采用分段开挖和分阶段支护来保护岩体完整性并减少延迟蠕变；其次，应用预注浆技术来加固围岩，封闭裂缝，并显著提高岩石的瞬时模量；第三，增强初始支护的强度以抑制围岩的瞬时松弛。本研究得出的解析解能够高效准确地评估隧道力学响应，避免了有限元模拟所需的高计算成本。确定的敏感参数、量化的影响模式以及相应的工程建议为深埋软岩隧道的设计优化、施工控制和维护策略制定提供了重要的理论基础和技术支持。然而，鉴于本研究所做的简化假设，未来的研究应扩展到更现实的条件，包括各向异性岩石和非圆形截面的隧道（例如马蹄形隧道），以更好地反映实际工程情况。