《Mechanics of Materials》：Predicting plastic strain localization in porous solids using graph neural networks
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研究人员开发了基于图的代理模型，用于预测二维弹-理想塑性多孔固体中的应变局部化和极限载荷。塑性变形采用Delaunay图（Delaunay graph）表示，其中节点对应孔隙中心，边代表潜在剪切带（shear band），边值编码局部塑性功率（Plastic
研究人员开发了基于图的代理模型，用于预测二维弹-理想塑性多孔固体中的应变局部化和极限载荷。塑性变形采用Delaunay图（Delaunay graph）表示，其中节点对应孔隙中心，边代表潜在剪切带（shear band），边值编码局部塑性功率（Plastic Work Rate, PWR）积分。研究人员构建了两类边回归图神经网络（Graph Neural Network, GNN）模型。第一类为纯数据驱动模型（Data-Driven Model, DDM），将局部几何特征——边长度和方向——映射至PWR。第二类为混合模型（Hybrid Model, HM），该模型通过极限载荷分析模型（Limit Load Analysis Model, LLAM）的力学先验增强GNN，并学习对其上界偏差的修正。模型在包含1200个代表性体积单元（Representative Volume Element, RVE）的数据集上训练，孔隙率为20%。DDM能够可靠地重构剪切带模式，但在应用于与训练不同的孔隙率时精度下降。HM与LLAM类似，未能完全捕捉空间模式，但消除了LLAM的系统偏差，并在10%至30%的孔隙率范围内实现了总功率的低误差均匀分布。此外，HM比DDM所需训练数据更少，且在不同随机种子下更具鲁棒性。这些结果表明，将GNN与基于物理的先验相结合，可得到快速且数据高效的代理模型，在保持宏观量精度的同时保留有意义的空间信息，从而为预测考虑大量孔隙精确位置的多孔固体失效提供了实用途径。
研究背景与问题提出：准确预测非均匀材料的力学响应对于设计更强、更安全、更可持续的部件和结构至关重要。经典均匀化方法基于尺度分离原理，将问题分解为宏观和微观两个层次，这一假设在特征微观结构长度远小于宏观场变化尺度时成立。然而，对于具有非均匀孔隙分布的多孔延性固体中的应变局部化预测，尺度分离往往不成立，且考虑微观结构变异性会使分析计算成本过高。实验和数值研究表明，多孔延性固体的塑性变形倾向于集中在连接相邻孔隙的狭窄路径上，即应变局部化带或剪切带。剪切带模式受整体几何和加载条件强烈影响，原则上需要对整个微观结构进行建模才能准确捕捉力学响应。实际应用中，孔隙分布可通过扫描电子显微镜或X射线计算机断层扫描等先进表征技术获得，但此类实验数据集可能包含数千个孔隙，导致即使对于相对较小的部件，模型计算量也可能变得不可接受。
现有简化策略：为缓解计算负担，研究者利用变形模式的先验知识简化问题。Pijnenburg和Van Der Giessen（2003）采用完全解析的微观结构模型，同时将应变局部化的发展区域限制在由颗粒中心构成的三角有限元网格边上，插入内聚单元捕捉与剪切带相关的塑性局部化，但仍需解决非线性有限元问题。Hund等人（2025）近期提出了基于微观结构的极限载荷分析，利用剪切带连接相邻孔隙的趋势，简化不连续布局优化（Discontinuity Layout Optimization, DLO）方法，将分析简化为求解单个线性规划问题，但该方法存在系统性高估宏观极限载荷的精度不足问题。
数据驱动代理模型的兴起：数据驱动代理模型成为完全解析有限元模拟的有力替代，特别是在多尺度力学中微观尺度直接建模过于昂贵的场景。现有研究包括循环神经网络、时间卷积网络、卷积神经网络和GNN等。GNN特别适合本问题，因为塑性变形模式可自然表示为图，其中节点对应孔隙中心，边对应剪切带。然而，现有研究主要关注节点级预测，边级回归作为GNN中相对未被充分探索的领域，关注较少。
研究目标与贡献：本研究将GNN方法扩展至边级回归领域，用于预测由连接相邻孔隙构成的图边上的PWR，以识别活跃剪切带并量化其耗散。为降低训练数据需求并提高跨孔隙率的泛化能力，研究人员引入混合代理模型，以基于微观结构的极限载荷分析模型作为物理先验，让GNN学习对该降阶模型的修正。
研究开展与主要结论：研究人员考虑二维多孔固体，由弹-理想塑性基体和半径为R的圆形孔隙组成，基于von Mises（VM）屈服准则和相关联流动法则。采用边长L=60R的正方形代表性单元（RE），固定孔隙率20%（VF20），孔隙随机分布且最小间距为0.5R，施加周期性边界条件（Periodic Boundary Conditions, PBCs），在广义平面应变条件下进行单轴拉伸至极限载荷状态。利用Abaqus有限元软件计算1200个RE的PWR场，通过Delaunay三角化构建图数据集，边级PWR通过对像素值在子三角形区域上离散积分获得。数据集按75%/15%/10%分割为训练、验证和测试集，并额外生成VF10、VF15、VF25、VF30各50个RE用于跨孔隙率泛化测试。
DDM基于GNN架构，输入特征为边长度和相对于全局加载方向的方向角，通过消息传递层（Message Passing Layers, MPLs）更新边嵌入，采用残差连接缓解过度平滑问题，以均方误差（Mean Squared Error, MSE）为损失函数进行训练。该模型在VF20测试集上能准确重构剪切带位置和拓扑结构，但在VF10时预测带位置错误或模糊，且因输入特征不包含孔隙率信息，无法对PWR幅值进行跨孔隙率尺度调整。
HM在DDM架构基础上引入两项关键改进：一是将LLAM预测的PWR作为额外的边属性输入；二是直接预测相对于LLAM先验的残差，即w?
pred = w?
LLAM + Δw?，采用Wasserstein损失函数训练以匹配分布。LLAM将RE域划分为基于孔隙中心Delaunay图的刚性三角形块体，块体速度为主要运动学变量，通过求解线性规划问题最小化总PWR，边级PWR由有效剪切长度和切向速度不连续量计算。HM的基本原理是利用LLAM的广泛泛化能力，将数据容量保留用于捕捉超越LLAM受限运动学的局部修正效应。
研究结果方面，在剪切带模式预测上，DDM在VF20测试集的低损失RE中能准确恢复主剪切带位置和拓扑，高损失RE中出现两种典型错误：一是PWR高度集中于少数边时系统性地低估峰值；二是存在竞争剪切带路径时选择错误分支。HM因训练目标不针对空间对应性，无法预测正确剪切带模式，但其空间误差低于LLAM，表明已学习到部分修正LLAM系统高估的能力。在总内功率率预测上，LLAM因上界特性系统性高估；DDM在VF20表现最佳，偏离训练孔隙率时出现系统性偏差；HM在所有测试孔隙率上均实现低相对误差，有效消除LLAM的正偏差和孔隙率相关漂移。在数据效率上，HM约600个RE达到性能饱和，DDM需更多数据仍在改善，HM具有更高数据效率，且LLAM求解速度比有限元模型快600倍以上。在种子敏感性上，HM在不同随机种子下波动较小，物理先验起到方差缩减的稳定作用。DDM的损失函数分析表明，MSE损失导致模型偏向拟合众多低PWR边而低估稀有的高PWR边，尾部分布集中时误差增大。
研究结论：研究人员开发并评估了两种基于图的代理模型，用于预测二维弹-理想塑性多孔固体在单轴拉伸下的应变局部化模式和宏观承载能力。纯数据驱动模型能准确预测剪切带模式，但在训练孔隙率之外的孔隙率上精度下降。混合模型虽不能重构剪切带模式空间分布，但在所有测试孔隙率上均实现总内功率率的低误差均匀分布，有效消除了底层极限分析先验的上界偏差，且所需训练数据更少、更具数据效率。将GNN与基于物理的先验相结合，可得到快速且数据高效的代理模型，在保持宏观量精度的同时保留有意义的空间信息，为考虑大量孔隙精确位置的多孔固体失效预测提供了实用途径，也为利用先进实验技术生成的大数据集的计算建模向前迈进了一步。此外，该方法可为剪切带形成位置的判定提供指导，用于高保真有限元模拟中的自适应网格细化，提高计算效率。
