混沌忆阻神经元同步的李雅普诺夫稳定性证明与端口-哈密顿物理信息神经网络

《Applied Mathematics and Computation》：A Lyapunov stability proof and a port-Hamiltonian physics-informed neural network for chaotic synchronization in memristive neurons

　　

研究人员研究了一个扩展为5维的 Hindmarsh–Rose 神经元模型，该模型引入了电磁感应和可切换忆阻自突触（memristive autapse）。对于两个通过扩散耦合连接的相同神经元，研究人员推导了横向误差动力系统，并通过围绕同步流形（synchronization manifold）的线性化误差系统分析局部同步。二次型李雅普诺夫函数（Lyapunov function）给出了显式的充分条件：当忆阻切换保持耗散性时，系统满足渐近稳定性；当切换为非耗散性时，系统满足具有显式最终有界界限的实用稳定性（practical stability）。研究进一步从哈密顿视角进行补充：对线性化误差向量场进行 Helmholtz 分解，得到同步哈密顿量（synchronization Hamiltonian）的闭式表达及其速率恒等式。数值模拟验证了同步误差的收敛或最终有界性，并表明在暂态之后，同步哈密顿量及其瞬时变化率整体衰减并趋近于零；同时，在不同参数下，基于李雅普诺夫方法与基于哈密顿方法的诊断结果表现出一致趋势。最后，研究人员提出了首个端口-哈密顿物理信息神经网络（port-Hamiltonian physics-informed neural network, pH-PINN），该网络在保持保守/耗散结构的同时，从数据中学习该同步哈密顿量及其变化率，并与解析表达式取得高度一致。

该论文发表于《Applied Mathematics and Computation》，围绕含电磁感应与可切换忆阻自突触的五维 Hindmarsh–Rose（HR）神经元模型的混沌完全同步问题展开，兼具严格动力系统分析与物理约束机器学习建模双重特征。研究背景在于，神经同步是脑内协调电活动的重要机制，适度同步支撑知觉、记忆与注意等认知功能，而异常增强的同步则与癫痫等病理状态密切相关。已有神经元同步研究虽已覆盖相位同步、广义同步、簇同步等多种形式，但对于复杂非线性、带忆阻与电磁耦合的神经元系统，如何从稳定性证明、能量结构解释和数据驱动可解释建模三个层面进行统一研究，仍然存在不足。尤其是，经典哈密顿神经网络（Hamiltonian neural network, HNN）主要适用于保守系统，难以表达神经动力学中普遍存在的耗散、环境交换与非保守效应；而现有端口-哈密顿神经网络（port-Hamiltonian neural network, pHNN）在刚性或混沌系统上又面临计算代价高、可辨识性不足等问题。因此，开展这项研究的意义在于：一方面为复杂忆阻神经元的混沌同步提供可验证的稳定性条件，另一方面构建兼顾物理结构约束与数据一致性的学习框架，以揭示同步的能量学机制。

研究人员首先建立了一个五维 HR 神经元模型，在经典三维 HR 模型基础上增加忆阻内部状态变量与磁通变量，从而描述忆阻自突触反馈和电磁感应效应。模型中的膜电位、快速恢复变量、慢适应电流、忆阻内部态以及磁通共同构成状态空间，使系统可表现静息、周期振荡、爆发放电和混沌振荡等丰富行为。通过对参数 k、ρ、m 的分岔分析和最大李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent, LE）计算，研究人员展示了该系统在参数空间中的周期—倍周期—混沌转迁结构，并指出较小的 m 会抑制混沌振荡，而 ρ 与 k 的改变可诱导周期态与混沌态之间切换。这一部分说明了研究对象本身具备复杂而典型的非线性神经动力学特征，为同步研究奠定了基础。

在同步分析部分，研究人员考虑两个经膜电位扩散耦合的相同五维 HR 神经元，定义完全同步与实用同步，并构造同步流形。随后，通过两神经元状态方程作差，得到完整非线性误差动力系统；再忽略高阶误差项，得到线性化横向误差系统，用于研究同步流形邻域内的局部横向稳定性。基于二次型李雅普诺夫函数，研究人员建立了对误差导数的估计，并通过 Young 不等式、Rayleigh 界与 Barbalat 引理推导出两类结果：其一，在忆阻切换处于耗散情形时，如果显式对角矩阵 M 正定，则误差原点渐近稳定，误差范数随时间趋于零，从而实现线性化误差系统意义下的完全同步；其二，在忆阻切换处于非耗散情形时，可得形如 V^˙≤?2αV+C 的估计，从而保证误差最终进入并保持在一个显式有界球内，实现实用同步。该结果的重要性在于，它清晰揭示了电耦合强度、忆阻切换机制及系统内禀参数如何共同决定横向扰动的抑制能力。

与李雅普诺夫分析并行，研究人员进一步采用 Helmholtz 分解，将线性化误差向量场拆分为无散保守部分与无旋耗散部分，进而导出同步哈密顿量及其时间变化率的闭式表达。这里的同步哈密顿量并非传统意义上要求正定的储能函数，而是与保守流相关联的标量势函数；其变化率则刻画同步暂态过程中系统的瞬时能量交换。该构造使同步问题不仅能够从稳定性角度分析，也能够从能量学与结构动力学角度进行解释。数值模拟表明，同步误差在短暂过渡后衰减至零，同步哈密顿量整体趋于零，其导数在暂态期间可正可负，反映忆阻与磁通通道引起的间歇性能量交换，而最终趋近于零则对应系统进入同步流形。

在机器学习方法部分，研究人员提出了首个 pH-PINN 框架，将端口-哈密顿分解与物理信息神经网络（physics-informed neural network, PINN）残差训练统一起来。该模型以同步误差状态及上下文变量为输入，分别学习哈密顿量 H_θ、反对称互连矩阵 J_? 和对角耗散矩阵 R_ψ，并通过多项损失函数同时约束动力学残差、保守场匹配、耗散场匹配、保守流上的哈密顿不变性以及哈密顿速率恒等式。研究人员通过规范锚定（gauge anchoring）和局部二次势阱构造，消除哈密顿量加法常数自由度，并确保同步流形附近具有严格局部极小值。与传统 pHNN 相比，该框架利用解析的保守/非保守分解信息提升了可辨识性，避免了退化的哈密顿地形，并减少了对长时间滚动预测窗口的依赖，更适合处理混沌同步系统。

研究所采用的主要技术方法包括：基于五维 HR 忆阻神经元模型开展参数分岔分析与李雅普诺夫指数谱计算；对双神经元扩散耦合系统构建非线性误差系统与线性化横向误差系统，并采用李雅普诺夫函数、Young 不等式、Rayleigh 界和 Barbalat 引理证明渐近稳定与实用稳定；利用 Helmholtz 分解导出同步哈密顿量及其速率恒等式；在数值上使用 JAX 与 Diffrax 的自适应 Tsitouras 5/4 Runge-Kutta 方法进行高精度积分；最后构建 pH-PINN，通过多损失物理约束学习 H_θ、J_?、R_ψ。研究数据并非生物样本队列，而是由模型数值积分产生的 N=200,000 个时间样本。

以下结合论文主体的小节内容概括其核心结果。

2. Mathematical model and dynamics
本节介绍了含忆阻自突触和电磁感应的五维 HR 神经元模型，并明确各变量与参数的生物物理含义。研究人员通过数值积分、分岔图和李雅普诺夫指数图分析系统动力学，发现模型在参数 k、ρ、m 变化下呈现丰富的周期与混沌行为。结果表明，随 k 增大，系统可经历倍周期分岔通向混沌；随 ρ 改变，系统在周期态与混沌态间转迁；当 m 减小时，混沌区域收缩，提示忆阻切换强度对复杂振荡具有明显调控作用。二维动力学图进一步揭示了参数平面中周期吸引子与混沌吸引子的整体分布结构。

3. Synchronization and its Hamiltonian: a dynamical systems approach
本节是论文理论核心。研究人员针对两个扩散耦合的相同神经元构造同步流形与误差系统，在局部横向稳定框架下研究完全同步。在线性化误差系统上，研究人员证明：若参考轨道有界、由参数构成的对角矩阵 M 为正定，且忆阻切换处于耗散区间，则误差原点渐近稳定，说明同步误差最终消失；若忆阻切换处于非耗散区间，则可建立误差最终界限，从而得到实用同步。随后，研究人员基于 Helmholtz 定理将误差向量场分为保守部分与耗散部分，给出同步哈密顿量 H 及其速率 H^˙ 的闭式解析式。该结果把同步稳定性与能量交换过程联系起来，提供了除李雅普诺夫函数之外的另一种结构化诊断工具。

4. Numerical simulations and discussion
本节通过数值实验验证理论结果。研究人员分别考察完整非线性误差系统与线性化误差系统的五个误差分量时间演化，发现它们均在短暂过渡后衰减到零，支持完全同步结论；同时，快变量较慢适应变量更快收敛，反映出模型中的时间尺度分离。同步哈密顿量 H 随时间衰减至零，而 H^˙ 在暂态中呈正负交替振荡，说明忆阻和磁通项导致了能量的间歇性交换。进一步地，研究人员比较参数 m、k、ρ、g_e 下李雅普诺夫函数导数与哈密顿量导数的时间平均值，二者在定性和定量上高度一致。热图结果显示，适中的 m 与较大的电耦合强度 g_e 有利于快速稳定同步，而过强的磁通相关耦合参数则可能注入过多能量、延缓收敛。这些现象共同支持了李雅普诺夫诊断与哈密顿诊断之间的对应关系。

5. A port-Hamiltonian physics-informed neural network (pH-PINN) approach
本节提出并实现 pH-PINN。研究人员先简述 PINN、HNN 与 pHNN 的基本思想，然后将同步误差动力系统的 Helmholtz 分解显式嵌入训练目标中，构造包含动力学一致性、保守结构匹配、耗散结构匹配、保守不变量约束以及哈密顿变化率约束的总损失函数。模型训练使用由方程右端直接计算得到的真实导数，而非数值差分，保证监督信号精确。结果显示，总损失与各物理约束损失在训练和验证集上均平稳下降，训练—验证间差距较小，说明模型具有良好泛化。学习得到的 H_θ 与解析 H 高度吻合，学习得到的哈密顿变化率也与解析 H^˙ 接近一致；同时，平均互连矩阵保持稀疏反对称结构，平均耗散矩阵呈对角形式，与理论结构相符。这表明 pH-PINN 不仅能逼近动力学轨迹，还能恢复背后的哈密顿结构与耗散机制。

6. Summary and conclusions
论文总结指出，本研究建立了一个同时具有严格证明与数据驱动学习能力的混沌同步研究框架。其主要结论包括：第一，针对含电磁感应和可切换忆阻自突触的五维 HR 神经元模型，研究人员在线性化横向误差系统上给出了可检验的同步充分条件；在耗散忆阻切换情形下，得到完全同步的渐近稳定结论，在非耗散情形下得到具有显式最终界的实用同步结论。第二，通过 Helmholtz 分解，研究人员构造了同步哈密顿量及其速率恒等式，从能量学角度解释了耦合、阻尼及忆阻偏移对同步过程的作用。第三，所提出的 pH-PINN 能够在保持端口-哈密顿保守/耗散结构的同时，从数据中准确恢复同步哈密顿量及其导数，实现了动力系统理论与物理信息机器学习之间的桥接。参数扫描还表明，更强的电耦合可加速同步，而过强的磁通耦合可能延迟收敛；李雅普诺夫与哈密顿两类指标在参数平面上展现出一致趋势，支持两种表述的等价性。总体而言，该研究为复杂神经元系统中的非线性同步分析提供了新的理论工具和可解释学习范式，对更广泛复杂系统中的端口-哈密顿感知建模也具有方法学意义。

研究结论部分可译为：
总之，该论文提供了三方面成果：（I）在生物物理机制得到扩展的 Hindmarsh-Rose 模型中，给出了可验证的同步条件；（II）构造了同步哈密顿函数的闭式表达以及其演化的显式速率定律；（III）提出了一种有原则的学习架构，可从数据中恢复等价的基于哈密顿的结构（在尺度与加法常数意义下）。这些结果共同将严格的动力系统分析与面向非线性神经元同步的物理信息机器学习连接起来，并为更广泛复杂系统中的端口-哈密顿感知建模提供了范式。