用于二维双扩散对流的高阶紧致埃尔米特差分方法

《Applied Mathematics and Computation》：A high-order compact Hermite difference method for two-dimensional double-diffusive convection

　　

研究人员提出了一种用于双扩散对流（double-diffusive convection, DDC）模拟的高阶紧致埃尔米特（Hermite）格式。为保证稳定性，将对流通量拆分为正、负两部分，分别采用迎风紧致埃尔米特差分方法进行离散；控制方程的扩散通量则直接通过基于埃尔米特插值的高阶有限差分格式逼近。该方案的一个关键优势在于，解的导数可直接由紧致中心差分格式获得，无需引入辅助导数方程。时间离散采用三阶龙格-库塔（Runge-Kutta）方法。研究人员通过多个数值算例验证了所提算法的数值性能，结果表明数值解与基准解及文献中高精度结果高度吻合。随后，将该算法应用于双扩散对流的稳态与非稳态问题求解，并对不同瑞利数（Rayleigh number, Ra）和展弦比下的双扩散对流进行了初步研究。

论文解读

双扩散对流是指流体密度同时受温度和浓度两种扩散速率不同的标量场影响的流动现象，广泛存在于晶体生长、土壤污染、核反应堆冷却等科学与工程场景中。长期以来，针对二维双扩散对流问题的数值研究多采用非守恒型控制方程，有限体积法、格子玻尔兹曼法等虽被广泛应用，但在处理多物理场耦合产生的间断或陡梯度流场结构时，非守恒格式易引入混叠误差，且难以严格保证全局物理量守恒。尽管紧致差分格式能以窄模板实现高阶精度，但传统基于埃尔米特插值的方案需联立求解原变量方程与辅助导数方程，计算成本较高。在此背景下，研究人员以守恒型二维双扩散对流控制方程为对象，开发了新型高阶紧致埃尔米特差分方法，相关成果发表于《Applied Mathematics and Computation》。

研究中采用的核心技术方法包括：1. 控制方程采用守恒型无量纲形式，包含涡量、温度、浓度输运方程及流函数-涡量耦合关系；2. 对流项通量分裂为正、负部分，分别构造迎风紧致埃尔米特离散格式；3. 扩散项直接基于埃尔米特插值构建高阶有限差分逼近；4. 解的导数通过紧致中心差分直接求解，避免辅助导数方程；5. 时间推进采用三阶龙格-库塔方法；6. 算法验证通过经典对流-扩散方程、非线性Burgers方程及标准双扩散对流算例完成。

研究内容与结果

引言部分详细梳理了双扩散对流的研究现状：现有数值方法多基于非守恒型方程，虽能处理常规流动，但在捕捉多涡结构、陡梯度界面时鲁棒性不足；守恒型方程可严格保证物理量全局守恒，降低速度场的散度约束要求，抑制混叠误差，且在多物理场耦合间断问题中优势显著。研究人员指出，现有紧致差分方案需额外求解导数方程，计算效率受限，因此提出无需辅助导数方程的新型埃尔米特紧致格式。

数值方法部分明确了算法设计逻辑：针对守恒型控制方程，将无粘通量按特征方向分裂为正、负通量，分别采用迎风紧致埃尔米特格式离散，利用格式固有的耗散特性抑制非线性对流项产生的非物理振荡；扩散通量直接通过埃尔米特插值多项式构建高阶中心差分算子，避免传统紧致格式对宽模板的依赖；空间离散中，解的一阶导数通过局部紧致中心差分直接求解，无需推导并求解额外的导数输运方程，显著降低计算复杂度。时间离散采用总变差稳定的三阶Runge-Kutta方法，保证时间方向的精度匹配。

数值实验部分通过三类算例验证算法性能：首先通过对流-扩散方程与Burgers方程的网格收敛性测试，证实该方法在空间上至少达到四阶精度，优化参数后可实现六阶精度；其次与文献报道的标准双扩散对流基准结果对比，温度、浓度场分布及努塞尔数（Nusselt number, Nu）、舍伍德数（Sherwood number, Sh）等传热传质指标均高度吻合；最后针对不同瑞利数（Ra=10⁴~10⁶）和展弦比（aspect ratio=0.5~2）的参数组开展模拟，成功捕捉到单涡、双涡及多涡演化的流动结构，验证了算法对强对流、大梯度问题的适应性。

结论部分总结指出：所提高阶迎风紧致埃尔米特差分方法可在不引入辅助导数方程的前提下，实现对守恒型双扩散对流控制方程的高效、高精度离散；算法空间精度可达四至六阶，数值结果与基准解一致性良好，能有效模拟不同参数下的稳态与非稳态双扩散对流过程。该研究为守恒型多物理场输运问题的数值模拟提供了一种兼具精度与效率的新方案，尤其在需严格保证物理量守恒、处理陡梯度界面的场景中具备应用潜力。

CRediT作者贡献声明：Jianqing Yang负责初稿撰写、软件实现、方法论设计、调研与概念化；Jianxian Qiu负责稿件审阅与编辑、项目指导、方法论完善、调研与概念化。