基于逆向计算方法的制件无损温度测量

《Case Studies in Thermal Engineering》：Non-destructive temperature measurement of manufactured parts by inverse calculation method

　　

对于结构复杂且服役环境多变的制件而言，精度不足仍是限制多波长测温法应用的主要约束，而准确的初始发射率值或发射率模型对于提高其测量精度至关重要。该研究引入了最小二乘协方差法（LSC），其对初始发射率的估计精度优于现有方法。进一步提出了一种结合最小二乘协方差法与序列二次规划（SQP）的混合算法，该算法基于光滑牛顿法（smoothed Newton method），用于实现制件温度的高精度测量。

研究首先利用标准辐亮度数据对所提算法的可靠性进行验证，所用数据包含6类经典模型。仿真结果表明，在1800 K条件下，温度反演的平均相对误差为0.33%。随后，研究人员利用自建实验装置，对304不锈钢管、GH3536矩形板和GH4169喷嘴的温度与发射率进行了测量，实测值与所提算法反演值之间的平均温度相对误差为0.47%，进一步证明了该方法的实用性。上述结果表明，所提方法在包括传热分析以及制件无损原位热表征等工程领域具有良好的应用潜力。

该论文发表于《Case Studies in Thermal Engineering》，聚焦于制件复杂工况下的无损温度测量问题。研究背景在于，发射率是辐射测温与传热计算中的关键参数，其取值直接决定温度测量与热分析结果的准确性。现有研究中，制件发射率常以同材质平面试样的发射率替代，但实际制件在制造和服役过程中通常经历多次热循环与表面改性，可能引起相变、微观组织演化及表面状态改变，进而导致辐射特性变化。在此情形下，直接套用平面试样发射率会给制件辐射测温和传热分析带来偏差。虽然前期研究已建立制件发射率测量装置，并借助热电偶测温实现发射率测量，但热电偶响应速度有限，难以适用于非稳态过程；更重要的是，热电偶测量依赖有效热接触，往往需要钻孔或表面粘附，这会对高价值制件造成不可逆损伤。随着航空航天与精密制造领域中几何形状复杂、价值较高的增材制造制件不断增多，对无损、原位热表征技术的需求愈发迫切，因此开展该研究具有明确工程意义。

围绕上述问题，研究人员针对多波长辐射测温（MRT）的欠定反演本质展开研究。多波长测温具备响应快、测温范围宽和环境适应性强等优点，但其核心困难在于：基于多个波长通道建立的方程组通常存在n+1个未知量而仅有n个方程，属于欠定问题，因此必须借助发射率模型或优化算法完成温度反演。已有方法如梯度投影法、内点罚函数法、广义逆矩阵-外罚函数法以及BFGS、模拟退火、差分进化等算法，虽然可用于温度与发射率反演，但普遍依赖准确的初始发射率或合理的发射率约束范围；若初值不当或约束失真，优化过程容易陷入局部最优，导致反演精度和稳定性下降。为此，研究人员提出以最小二乘协方差法（LSC）求取更接近真实值的初始发射率，再与序列二次规划（SQP）耦合形成LSC-SQP混合算法，并结合由实测光谱辐射信号导出的发射率约束关系以及改进的目标函数，实现制造件高精度温度反演。

方法概括如下：研究以普朗克公式和维恩近似（Wien approximation）为理论基础，将多波长辐射测温转化为带约束的非线性优化问题；以各波长通道温度一致性为条件构建矩阵方程，利用最小二乘协方差法（LSC）估计初始发射率；再采用序列二次规划（SQP）并结合光滑牛顿法求解二次规划子问题，迭代修正发射率与温度；同时依据样品与参考黑体的辐射信号比值推导不同波长间发射率约束，以缩小搜索空间。实验部分采用自建光谱辐射采集系统、参考黑体和高频感应加热装置，对304不锈钢管、GH3536矩形板和增材制造GH4169喷嘴开展验证，并以K型铠装热电偶测温结果作为参照。

2. Theory and methodology
在理论与方法部分，研究首先从优化理论出发，对多波长辐射测温中的温度反演问题进行了数学建模。依据普朗克公式与维恩近似，不同波长通道的输出信号可表示为温度与发射率的函数。理想状态下，各通道求得的温度应保持一致，但由于系统误差与噪声干扰，不同通道温度会出现偏差，因此研究人员将温度反演转化为最小化问题。文中不仅采用“各通道温度与平均温度之差平方和”作为目标函数，还进一步加入“各通道温度与其余n-1个通道平均温度之差平方和”项，以减弱单一通道大偏差对整体结果的影响。该设计增强了目标函数对温度分布一致性的约束能力，从而提高了反演结果的稳健性。

2.2. The SQP algorithm
在SQP算法部分，研究人员指出，温度反演本质上属于典型非线性约束优化问题，因此选择序列二次规划（SQP）作为核心求解器。该算法在每一步迭代中将原问题近似为一个二次规划子问题求解，并通过梯度信息和拟牛顿（quasi-Newton）方式更新Hessian近似矩阵。文中进一步说明，所构建的二次规划子问题借助基于光滑牛顿法的数值方法求解，通过引入平滑最小函数并利用Karush-Kuhn-Tucker（KKT，Karush-Kuhn-Tucker最优性条件）条件，将原约束优化问题重构为光滑方程组，从而满足标准牛顿类算法的可微性要求。该策略在保留原问题数学结构与解一致性的同时，提升了算法在实际应用中的鲁棒性。不过，SQP通常依赖单一初始点启动优化，因此其性能对初始值尤为敏感。

2.3. Optimal initial value determination
针对初始值问题，研究人员依据“各通道温度相等”这一物理一致性条件建立线性方程组，并比较了广义逆矩阵法（GIM）、列主元高斯消元法（CPGE）和最小二乘协方差法（LSC）三种初始发射率求解方法。文中指出，GIM是多波长测温中常用的初值求解方法，但估计结果通常偏离真实发射率较大；CPGE通过列主元选择提高了数值稳定性，但用于初始发射率估计时误差仍较明显。相比之下，LSC避免了直接矩阵求逆带来的内在缺陷，能够抑制误差传播，并对秩亏线性系统具有更强求解能力。其核心思想是将解向量的列分解为线性无关部分和线性相关部分，对前者赋予精确值，对后者对应系数置零，从而消除零空间带来的不确定性。在本文反演框架中，这意味着部分_i = lnε(λ_i,T)的线性相关列被置为0，对应发射率为1，因此保证特定光谱带中的最大发射率不超过1。研究结果表明，LSC得到的初始发射率通常比GIM和CPGE更接近真实值。

2.4. Constraint derivation
在约束推导部分，研究人员利用样品与参考黑体在相邻波长通道上的辐射信号比值关系，建立不同波长间的发射率大小规律。通过对输出信号比值进行整理，可以根据波长大小规律以及参考黑体温度T′与目标温度T之间的关系，推导出不同通道发射率的大小约束。该思路能够直接依据实测辐射数据提取发射率先验关系，避免完全依赖经验假设，从而有效缩小优化搜索范围，降低计算开销，并提升算法收敛到最优解的效率。

2.5. The LSC-SQP algorithm for multi-wavelength pyrometry
在综合算法部分，研究人员正式提出LSC-SQP混合算法。其流程是先用LSC对非线性的辐亮度—发射率映射进行初值估计，得到符合真实温度场分布特征的初始发射率，再以此作为SQP的迭代起点，在其邻域内进行局部精修，逐步逼近温度反演的全局最优解。梯度更新同时利用LSC初始信息与最新迭代点，Hessian矩阵通过拟牛顿方式近似，之后求解二次规划子问题以获得迭代方向和步长，直至满足收敛条件。研究还给出了完整算法流程，包括参数初始化、初值求解、子问题求解、KKT点判定、罚函数修正及变量更新等步骤，形成了适用于制件温度无损测量的完整反演框架。

3. Simulation verification
在仿真验证部分，研究人员首先采用6类具有不同辐射特性的典型材料模型对初始值求解方法进行比较。结果表明，这些模型构成的矩阵方程均为秩亏系统。CPGE求得的初始发射率不仅偏离预期变化趋势，而且误差显著，难以反映不同波段的辐射特征，因此不适合作为初值求解方法。GIM与LSC均能较好捕捉发射率随波长变化的趋势，但LSC在大多数模型中的估计精度更高，尤其在A、B、D、E模型上优势明显，而在C、F模型上与GIM表现接近。由此可见，LSC在初始发射率估计的准确性与稳定性方面更具优势。

3.2. Simulation results of the LSC-SQP algorithm
在LSC-SQP算法仿真结果部分，研究人员以1800 K为真实温度、1600 K为参考黑体温度，在发射率取值限定于0.1–0.9的条件下，对6类模型开展发射率与温度反演，并与GIM-SQP算法进行比较。结果显示，两种算法反演出的发射率分布均与真实值高度相关，且多次重复后均收敛到唯一解，说明在合理初始值约束下，优化问题具有较好稳定性。与GIM-SQP相比，LSC-SQP在多数模型上的发射率反演更精确，尤其在模型D中反演发射率与真实值完全一致。定量结果表明，LSC-SQP的发射率均方根相对误差平均为4.2450%，显著低于GIM-SQP的7.8373%。在温度反演方面，LSC-SQP在A、C、D、F等模型上表现更优，总体平均温度相对误差为0.33%，而GIM-SQP为0.58%。这些结果说明，高质量初始值对提升最终温度反演精度具有关键作用。

4. Experimental verification
实验验证部分基于前期建立的制件发射率测量系统搭建实验平台，主要由高频感应加热器、光谱辐射信号采集系统和参考黑体组成，并采用可拆卸线圈以适配不同类型制件。光谱辐射采集系统包括孔径光阑、光纤准直器和光纤光谱仪，通过调节平移台可分别采集黑体与样品辐射信号。实验样品包括304不锈钢管、GH3536矩形板以及增材制造GH4169喷嘴。为验证所提算法的温度测量精度，研究人员使用高精度K型铠装热电偶进行参照测温，并在每个样品侧面钻取直径1.5 mm的孔延伸至测量区域中心，以保证热电偶测得的温度与辐射采集位置相对应。黑体被加热至973 K并恒温30 min后采集信号，各样品分别加热至1073 K、1173 K和1273 K并在稳态下进行多波段辐射采集，每个温度点重复测量5次取平均值，以降低随机误差。

4.2. Results and discussion
在结果与讨论部分，研究人员基于黑体与样品辐射信号，采用LSC-SQP算法对304不锈钢管、GH3536矩形试样和GH4169喷嘴进行温度与发射率反演，并利用黑体辐射法计算真实发射率进行对照。结果显示，除SS304在1073 K和GH3536在1173 K条件下误差较大外，其余样品的反演发射率均与真实发射率高度接近，其中最大发射率误差分别为0.0439和0.0471。尽管三类样品在不同温度下表现出不同的发射率变化趋势，所提方法仍能够准确捕捉其变化特征，并在1.64–1.83 μm等发射率变化较为细微的波段保持较好分辨能力。文中指出，个别条件下误差较大的原因与高温氧化导致的表面粗糙度变化及热辐射特性改变有关。温度结果方面，反演温度与热电偶测量值整体吻合较好，说明温度反演精度与发射率反演精度密切相关，即发射率偏差越小，温度反演越准确。在100 K温度间隔实验中，最大温度相对误差为0.73%，平均相对误差为0.47%，表明该方法满足工程应用要求。进一步在1123–1163 K、每10 K间隔的连续小温差动态条件下开展测试，所得最大相对误差为0.63%，平均相对误差为0.42%，进一步证明该算法在动态变化环境下仍具备稳定可靠的重构能力。

讨论部分表明，该研究的核心贡献在于通过LSC提高初始发射率估计质量，再借助SQP在受约束空间内进行精细优化，从而系统提升了多波长测温对复杂制件的适应性、反演精度与稳定性。与依赖经验模型或受初值制约明显的传统方法相比，该方法更适合复杂结构、高价值、服役环境多变的制件无损原位测温需求。研究同时指出，该工作仍存在样品种类与工况范围有限的局限，后续仍需扩大实验对象和应用条件，以进一步增强工程推广价值。

研究结论部分可概括并翻译为：基于实际工程需求，本文围绕提高制件多波长测温技术精度开展研究。所引入的最小二乘协方差法（LSC）能够更准确地估计初始发射率，其精度优于现有方法。研究提出了一种基于光滑牛顿法的LSC-SQP混合算法，用于实现制件温度的高精度测量。六种典型模型的仿真结果表明，该算法在发射率估计中的平均相对误差为4.25%，在温度反演中的平均相对误差为0.33%，验证了其有效性。针对304不锈钢管、GH3536矩形板以及增材制造GH4169喷嘴开展的实验中，平均温度测量相对误差为0.47%，进一步证实了该算法在工业场景中的适用性。该研究成果可在不进行物理接触或表面处理的条件下实现制件温度测量，从而有效降低损伤风险，满足工程领域对高精度、无损温度测量的需求。与此同时，研究也指出仍存在一定局限，未来将通过扩展实验样品类型与运行条件，进一步提升研究成果的工程应用价值与推广前景。