基于神经网络试函数法求解时空分数阶扩散捕食–被捕食系统的精确解

《Frontiers in Physics》：Exactly explicit solutions of (2+1)-dimensional conformable fractional diffusive Predator–Prey model via neural networks method

　　

摘要：研究人员提出了一种结合神经网络架构与试函数法及分数阶变换的新解析框架，用于构造时空分数阶偏微分方程（fractional Partial Differential Equations, fPDEs）的精确显式解。该方法首先将Caputo型分数阶导数通过变量变换η=xβ/β, τ=tα/α将fPDEs约化为整数阶偏微分方程，随后以Riccati方程的解作为隐含层激活函数，设计特定拓扑结构的神经网络（Neural Network Architecture, NNA）构造试函数，代入约化方程后令各次幂系数为零得到代数方程组，进而解得原fPDEs的精确解。将该框架应用于时空分数阶扩散捕食–被捕食系统，获得了三类精确行波解：当Riccati方程参数σ>0时为三角函数型周期波解，σ<0时为双曲函数型孤子解，σ=0时为有理函数解。数值模拟展示了相应解的动力学特征。研究表明所提神经网络试函数法可推广至其他高维fPDEs的精确解构造。

论文解读：基于神经网络试函数法求解时空分数阶扩散捕食–被捕食系统精确解

研究背景与意义

分数阶偏微分方程（fractional Partial Differential Equations, fPDEs）因能更精确地刻画具有记忆与遗传特性的反常扩散过程，广泛应用于物理、生物及生态动力学建模。时空分数阶扩散捕食–被捕食系统（spatiotemporal fractional-order diffusive predator-prey system）是典型的两变量反应–扩散fPDEs，传统解析方法如(G'/G)展开法、辅助方程法等虽可求精确解，但依赖预设函数形式且缺乏系统性框架。现有神经网络多被用于fPDEs的数值近似求解，鲜有将其用于构造精确解析解。为弥补这一不足，研究人员开展了一项结合神经网络（Neural Network, NN）架构、Riccati方程试函数与分数阶变量变换的解析求解研究，相关成果发表于《Frontiers in Physics》。

主要关键技术方法

研究人员采用以下关键步骤构建求解框架：(1)对Caputo型时间分数阶导数D_t^α与空间分数阶导数D_x^β（0< />^α/α, X=x^β/β，将原fPDEs化为整数阶PDEs；(2)设计"2-2-2-2"前向神经网络架构（Neural Network Architecture, NNA），输入层为{T,X}，首隐层神经元激活函数取Riccati方程f(ξ)=σ+εf²(ξ)（σ为Riccati参数，ε=±1）的解——即tanh、coth、tan、cot或-1/ξ形式，第二隐层分别采用恒等函数f₃(ξ₃)=ξ₃与倒函数f₄(ξ₄)=1/ξ₄，输出层线性组合得试函数u(X,T)、v(X,T)；(3)将试函数代入整数阶PDEs，按f(ξ)的各幂次及u、v多项式设系数为零导出代数约束方程组；(4)解代数方程组确定网络权值与偏置关系，逆变换回原变量得原fPDEs精确解；(5)选取参数用Python进行三维曲面、二维曲线、梯度场及极坐标等高线数值模拟。

研究结果

2 Neural Network Method for Solving fPDEs（求解fPDEs的神经网络方法）

研究人员定义Riccati方程f'(ξ)=σ+εf²(ξ)，其解依σ>0取tan(√σξ)/cot(√σξ)，σ<0取√(-σ)tanh(√(-σ)ξ)/√(-σ)coth(√(-σ)ξ)，σ=0取-1/ξ。构造含输入{T,X}、隐层激活函数为Riccati解及{恒等,倒数}组合、输出为隐层加权和加偏置的试函数u=w_ln,u·f_li(ξ_li)+b₅, v类似。将试函数代原fPDEs→整数阶PDEs→令同类项系数为零得代数方程组→解之得网络参数→逆变换得精确解。给出四步算法流程及高维推广说明。

3 Exactly Explicit Solutions of Equation 1.1（方程1.1的精确显式解）

对时空分数阶扩散捕食–被捕食系统作T=t^α/α, X=x^β/β变换得整数阶耦合PDEs（式3.1）。采用"2-2-2-2" NNA构造试函数（式3.2–3.4），化简后代回式3.1并匹配系数得网络参数间约束关系（w_2,3=w_2,4=0, w_X,1=±w_1,3w_3,u/√2, w_T,1=w_1,3[(1+s)w_3,u-w_3,v], b₅=b₆=0等）。据此得到三类精确解：

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  σ>0时，得三角函数周期波解u₁(t,x)、u₂(t,x)（式3.5, 3.6）与v₁(t,x)、v₂(t,x)（式3.7, 3.8），含tan/cot组合的行波形式。
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  σ<0时，得双曲函数孤子解u₃(t,x)、u₄(t,x)（式3.9, 3.10）与v₃(t,x)、v₄(t,x)（式3.11, 3.12），含tanh/coth组合的行波形式。
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  σ=0时，得有理函数解u₅(t,x)（式3.13）与v₅(t,x)（式3.14），为-线性项/行波变量-倒函数组合的退化形式。

4 Numerical Simulation（数值模拟）

取σ>0情形参数（w_1,3=w_1,4=w_3,u=1, w_4,u=4, w_X,1=√2/2, w_T,1=4, α=β=1/2, s=4）绘制u₁(t,x)的周期波动三维曲面、二维等高线、极坐标系螺旋带及不同时刻截面曲线（图3）；取σ<0情形参数（w_4,u=-4, s=28其余同上）绘制u₃(t,x)的混合孤子三维曲面及相关投影（图4）。表明周期解可反映环境或生物节律驱动种群周期涨落，孤子解可模拟种群脉冲传播。

5 Conclusion（结论）

研究人员提出并验证了基于神经网络试函数法求解fPDEs精确解的新框架，将其成功应用于时空分数阶扩散捕食–被捕食系统，导出了σ>0时三角周期波解、σ<0时双曲孤子解及σ=0时有理函数解三类精确显式解，并通过数值模拟展示了各解动力学形态。该方法融合了分数阶变换、Riccati方程解作激活函数的NN架构及试函数法，具有系统性和可推广性，可为其他高维fPDEs精确解构造提供新途径。