基于人口增长的可再生资源管理神经网络模型

《Scientific Reports》：A neural network model for managing renewable resources with population growth

　　

本文提出了一种基于ψ-Hilfer导数（ψ-Hilfer derivative）的分数阶（fractional-order）建模框架，用于人口资源动态（population-resource dynamics）并结合神经网络（neural network）验证。该模型捕获了逻辑斯谛人口增长（logistic population growth）与可再生资源生物量（renewable resource biomass）的耦合动力学，同时通过分数阶微积分（fractional calculus）融入记忆效应（memory effects）。新的贡献包括将ψ-Hilfer算子（ψ-Hilfer operator）应用于人口资源系统，通过分数阶ζ（fractional order ζ）和类型参数ω（type parameter ω）表征遗传动力学（hereditary dynamics）。详细的定性分析（qualitative analysis）建立了存在性（existence）、唯一性（uniqueness）和Ulam-Hyers（UH）稳定性（stability），并给出了明确的参数条件。针对ψ-Hilfer问题，开发了一种线性化求积（linearised quadrature）数值格式（numerical scheme），并通过神经网络进行验证，达到R²≈1。模拟显示，分数阶（ζ < 1）比整数阶产生更平滑的瞬态响应（transients），其中ζ控制记忆强度（memory strength），ω调制响应模式（response patterns）。关键地，研究人员确定E=150为可持续收获阈值（sustainable harvesting threshold），超过该阈值整数阶系统将发生资源崩溃（resource collapse），而分数阶记忆（ζ=0.6）提供部分阻尼（partial damping）。这些发现提供了可操作的政策见解（actionable policy insights），包括最优收获限制（optimal harvest limits）和稳定化策略（stabilisation strategies），推动了可持续资源管理的理论理解和实践工具发展。

随着全球人口持续增长，对有限自然资源的需求日益加剧，如何平衡人口增长与可再生资源的可持续利用已成为环境管理、生态建模和应用数学领域的核心挑战。传统的整数阶微分方程模型虽能描述资源-人口系统的即时动态，却无法有效刻画现实生态过程中普遍存在的路径依赖性和历史记忆效应，导致模型预测与实际偏差较大。为此，研究人员亟需开发更灵活、更贴近实际的数学模型，以准确捕捉系统动态并指导可持续资源管理政策制定。

在此背景下，研究人员开展了一项创新性研究，旨在构建一个融合分数阶微积分与神经网络验证的综合性建模框架。该研究聚焦于ψ-Hilfer分数阶导数（ψ-Hilfer fractional derivative）在人口资源系统中的应用，通过引入分数阶ζ和类型参数ω来表征系统的遗传记忆特性。研究进行了全面的定性理论分析，证明了模型解的存在性、唯一性以及Ulam-Hyers（UH）稳定性；设计了一种高效线性化求积数值格式进行模拟；并利用神经网络技术对数值解进行验证与预测。研究得出了一系列重要结论：分数阶模型能够产生比整数阶更平滑、更真实的动态瞬态响应，其中ζ控制记忆强度，ω调制响应模式；关键性地，确定了收获努力E=150作为可持续性阈值，超过此值系统将面临资源崩溃风险，而分数阶记忆效应（ζ=0.6）能提供部分缓冲作用。这些发现为资源管理提供了量化的可持续性边界和优化策略。该研究不仅深化了分数阶人口资源动力学的理论认识，还为政策制定者提供了基于证据的实践工具，论文成果已发表于《Scientific Reports》期刊。

研究人员为开展本研究，主要采用了以下关键技术方法：首先，应用ψ-Hilfer分数阶导数建立人口-资源耦合模型，该导数通过参数ζ和ω统一并推广了经典分数阶算子；其次，基于分段线性近似开发了一种针对ψ-Hilfer问题的线性化求积数值格式，用于求解模型；然后，构建了一个1-15-15-1结构的神经网络（输入层1神经元，两个隐藏层各15个神经元采用tanh激活函数，输出层1神经元），用于模型解的近似、误差分析和预测；最后，进行了参数灵敏度分析和多情景模拟，以评估模型鲁棒性。研究未涉及具体实验样本队列，所有分析基于数值模拟。

**理论分析**
研究人员首先在巴拿赫空间（Banach space）中对模型进行理论分析。通过定义适当的算子并验证利普希茨（Lipschitz）连续性条件（A₁）和增长条件（A₂），利用不动点定理（如Schauder定理）严格证明了在一定参数范围内，ψ-Hilfer人口资源模型存在唯一解。这为后续数值求解和应用奠定了理论基础。

**稳定性分析**
稳定性是动力系统定性研究的关键。研究人员定义了Ulam-Hyers（UH）稳定性，并证明了当满足条件a_Π(ψ(T) - ψ(0)) < Γ(ζ + 1)时，模型具有UH稳定性。其中，a_Π是依赖于生态参数的利普希茨常数。该稳定性条件表明，较大的内禀增长率（r, s）或收获努力（E）可能削弱稳定性，而较大的环境容纳量（K, L）或较高的分数阶ζ则有利于系统稳定。

**数值分析和模拟**
研究人员开发了针对ψ-Hilfer模型的线性化求积数值格式，并通过MATLAB 2024进行了大量模拟。数值模拟对比了不同分数阶ζ和类型参数ω下的系统动态。结果显示，分数阶（ζ < 1）能产生比整数阶更平滑的瞬态响应，并有效延迟种群达到峰值的时间。关键阈值分析发现，当收获努力E = 150时，整数阶系统会发生资源崩溃，而分数阶记忆效应（ζ = 0.6）能提供部分缓冲，防止资源完全枯竭。相图（phase portrait）分析证实，对于所选的ζ和ω值，资源-种群模型渐近稳定，收敛至正平衡点，表明共存状态可行。参数灵敏度和情景分析进一步表明，ζ = 0.6时模型预测最为稳健（变异系数最低），且E = 150明确划分了可持续与不可持续收获边界。

**神经网络方法**
为验证数值格式并预测系统动态，研究人员采用了一个前馈神经网络。该网络以数值解为训练数据，架构为1-15-15-1。训练使用Levenberg-Marquardt算法（trainlm），并采用70%训练集、15%验证集、15%测试集划分。性能评估指标包括均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R²）。结果显示，神经网络对资源生物量?(t)和种群密度??(t)均实现了高精度近似，R²接近1，其中?(t)的MSE更低（3.55×10^-7）。神经网络输出与数值解的高度一致性证实了其内部一致性和近似能力，但需注意这代表与数值格式的一致性，而非独立实验验证。

**结论**
在本研究中，研究人员构建了一个利用先进分数阶微积分分析人口资源动态的综合数学框架。具体而言，研究探讨了ψ-Hilfer模型，该模型捕获了全球人口密度与可再生资源生物量的逻辑斯谛耦合动力学。ψ-Hilfer导数通过分数阶ζ和类型参数ω为建模该非线性问题提供了增强的灵活性。分析涵盖了三个互补部分：系统性质的定性研究、精确模拟的混合数值格式以及神经网络验证。所提出的神经网络方法成功地以卓越精度（R²≈1）预测了系统动态，实现了参数空间的快速评估。通过这一综合方法，研究人员确立了分数阶框架的可靠性和适用性。这项工作推进了分数阶人口资源动力学的理论认识，同时为政策制定提供了具体的实际意义。具体而言，确定E = 150作为关键收获阈值，为监管机构提供了可量化的可持续性边界；而情景10表明，综合政策能够实现稳定的资源生物量（0.60–0.73）与健康的种群水平（153–155）。这些可操作的见解为决策者提供了基于证据的工具，以在多样化的生态和经济背景下平衡人类福祉与资源保护。