通过有限元方法和极端学习网络求解逆向参数化问题

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Solving inverse parametrized problems via finite elements and extreme learning networks

　　

Erik Burman | Mats G. Larson | Karl Larsson | Jonatan Vallin

摘要

我们开发了一个基于插值的建模框架，用于处理控制、逆问题和不确定性量化中出现的参数依赖型偏微分方程。解决方案在物理域中使用有限元方法进行离散化，而对有限维参数的依赖性则单独进行近似处理。我们证明了参数解的存在性、唯一性和规律性，并推导出了严格的误差估计，这些估计明确量化了空间离散化与参数近似之间的相互作用。

在低维参数空间中，经典的插值方案基于参数变量的Sobolev规律性，能够获得代数收敛率。在更高维的参数空间中，我们用极端学习机（ELM）替代了经典插值方法，并在明确的近似和稳定性假设下得到了误差界限。所提出的框架被应用于定量光声断层成像中的逆问题，我们推导出了势场和参数重建的误差估计，并证明了与标准方法相比具有显著的计算效率提升，同时没有牺牲准确性。