一种基于拉格朗日乘数凝聚技术的高效混合有限元方法，用于研究压电效应

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：An efficient mixed FEM for flexoelectricity based on condensation of Lagrange multipliers

　　

庄庄何|向宇李|魏胜张|魏秋陈|春丽张

摘要

弹性分析涉及应变梯度，这些梯度对标准的有限元离散化方法提出了重大挑战，因为$C^1$' role="presentation">$C^1$的连续性要求。虽然混合有限元方法（FEMs）通过引入辅助变量和拉格朗日乘数有效地放宽了这一要求，但它们显著增加了全局自由度（DOFs），并导致奇异鞍点矩阵，从而限制了计算效率和稳定性。为了解决这个问题，我们提出了一种高效的混合FEM方法，通过压缩拉格朗日乘数来实现。通过在独立应变场中引入气泡函数并实施两步顺序静态压缩策略，在全局组装之前消除了局部气泡自由度和不连续的拉格朗日乘数。这种方法将奇异的鞍点刚度矩阵转化为一个高度紧凑且条件良好的代数系统。性能评估表明，与典型的混合FEMs相比，所提出的元素避免了由非对称直接求解器引起的大量填充问题。在相同的网格分辨率下，计算自由度和峰值内存使用量显著减少，计算时间大大缩短。此外，由于压缩后的场没有相关的惯性项，这种静态压缩策略在结构动力学中仍然保持严格精确性。通过一系列数值基准测试，包括强迫振动实验的再现、贴片测试、稳态机电响应以及微板的波传播特性，所提出的元素展示了其在解决复杂的静态、瞬态和频域问题方面的出色准确性、鲁棒性和广泛适用性。有限元模型是使用MATLAB构建的，实现代码可在GitHub上作为开源代码获取。