结合参数化物理信息神经网络（P-PINNs）与贝叶斯推断的非饱和土壤水力特性参数后验分布估计

《Computers and Geotechnics》：Posterior distribution estimation of parameters related to unsaturated soil hydraulic properties by combining parameterized physics-informed neural networks and Bayesian inference

　　

准确估计非饱和土壤水力特性参数，同时考虑固有土壤不确定性，对于评估非饱和土壤中的入渗行为至关重要。贝叶斯推断（Bayesian inference）为参数估计提供了一个概率框架，有效纳入了与土壤性质相关的不确定性。然而，在非饱和渗流模拟中使用贝叶斯推断进行参数识别通常计算成本高昂。为解决这一挑战，本研究提出了一种高效方法，通过将参数化物理信息神经网络（P-PINNs）与贝叶斯推断相结合，估计参数的后验分布（posterior distribution）。研究人员使用来自迷你盘入渗仪（MDI）的一维渗透试验流量数据，通过实验室实验验证了所提方法。首先，评估了P-PINNs模拟非饱和渗流的适用性。结果表明，P-PINNs能够在训练范围内针对任意初始条件和参数值快速模拟流量。接着，通过将构建的P-PINN模型与马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法相结合，利用观测到的流量数据估计参数的后验分布。估计的后验分布与独立的水分保持和渗透试验结果高度一致，同时显著降低了计算成本。这些结果表明，至少在实验室实验中，所提方法是估计非饱和土壤水力特性的一种有效且计算高效的方法。

**基于P-PINNs与贝叶斯推断的非饱和土壤水力特性参数后验分布估计论文解读**

**研究背景与问题**
非饱和土壤入渗行为的定量评估依赖于土壤水力特性参数的准确估计，包括土壤水分特征曲线（SWCC）和非饱和导水率函数。这些参数通常通过实验室试验获取，但土壤因异质性、测量误差、转换误差及模型不准确性等因素固有不确定性。贝叶斯推断通过将材料参数表征为概率分布并基于观测数据系统更新，能够有效纳入这些不确定性。然而，传统贝叶斯更新依赖数值模拟（如有限元法），计算成本极高。近年来，物理信息神经网络（PINNs）将物理定律嵌入损失函数，解决了常规神经网络缺乏物理基础的问题，但其无法固有量化不确定性。贝叶斯PINNs（B-PINNs）虽引入不确定性，但计算量庞大且先验分布选择敏感。参数化物理信息神经网络（P-PINNs）通过将材料参数作为输入，能在训练范围内快速输出解，且无须对网络权重施加先验分布，但P-PINNs在非饱和渗流中的有效性尚未验证，且结合贝叶斯推断估计参数后验分布的应用未见报道。因此，本研究旨在提出一种集成P-PINNs与贝叶斯推断的方法，高效估计非饱和土壤水力特性参数的后验分布，并通过实验室迷你盘入渗仪（MDI）渗透试验验证其有效性。

**研究方法与关键技术创新**
本研究采用的关键技术方法包括：1）P-PINNs模型：将时间、深度、初始压力水头及5个非饱和土壤水力参数（饱和体积含水率θ_s、残余体积含水率θ_r、SWCC形状参数α和n、饱和导水率k_s）作为输入，输出压力水头，并通过损失函数（包含初始条件、边界条件、Richards方程残差及HYDRUS-1D训练数据）确保解满足物理定律；2）马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法：采用Metropolis-Hastings算法，基于P-PINN模拟结果与观测数据的似然及先验分布，迭代采样100,000次以估计后验分布。样本来源为实验室制备的Toyoura砂（ρ_s=2.64 Mg/m3，初始饱和度50.0%，孔隙比0.75）与鹿儿岛Higashimata土壤（ρ_s=2.59 Mg/m3，初始饱和度25.0%，孔隙比1.30）。

**研究结果**

**1. P-PINN模型构建与非饱和渗流模拟**
研究人员基于Richards方程（van Genuchten-Mualem模型）构建了1D P-PINN模型，输入训练范围包括压力水头-5.0至-30.0 cm、参数θ_s 0.4~0.6、θ_r 0.0~0.15、α 0.02~0.2 1/cm、n 1.2~3.5、k_s 1.0×10^-5~5.0×10^-4 m/s。通过6组未参与训练的测试数据验证，P-PINN模型输出的压力头时空图与HYDRUS-1D基准解高度一致，在深度10.0 cm处的水通量对比也证明其精度，表明P-PINN能针对训练范围内任意初始条件和参数瞬时生成符合物理规律的渗流解。

**2. 结合MCMC方法的参数后验分布估计**
利用MDI一维渗透试验中三种压力水头（-1.0、-3.0、-5.0 cm）下的平均流量数据，将P-PINN与MCMC方法结合，对Toyoura砂和Higashimata土壤的初始压力水头及5个水力参数进行贝叶斯更新。MCMC采样轨迹显示快速收敛（burn-in后25,001~100,000次迭代用于后验分布）。后验分布显示，α、n和k_s呈现明显峰值，表明这些参数对流量计算敏感；Toyoura砂初始压力水头分布较宽，因其高导水性使稳态可在较宽初始水头范围内达到。Monte Carlo模拟使用后验分布得到的流量曲线与观测数据吻合良好。

**3. 后验分布验证**
估计的SWCC与独立水分保持试验（Toyoura砂：挂水柱法；Higashimata土壤：压力板法）结果比较，μ±σ区间基本覆盖试验数据点；估计的饱和导水率k_s后验分布也与独立渗透试验（Toyoura砂：常水头法；Higashimata土壤：变水头法）结果接近。此外，后验分布估计的计算耗时为每种土样约2.0分钟，显著低于传统数值模拟方法。

**讨论与结论**
讨论部分指出，本研究的计算成本仅包含MCMC采样时间（约2 min），因现场应用时可复用已构建的P-PINN模型；但若需改变模型尺寸或几何，重构P-PINN需约20小时，此时总计算成本需考量。另外，参数估计仅限于P-PINN训练范围内，未来需扩展训练范围以覆盖更广参数空间。目前方法仅验证于均质土壤，未来需研究非均质条件（参考Bandai和Ghezzehei 2022的异质性PINN工作）。
**研究结论翻译**：
（1）开发了一种P-PINN模型，能够准确复现训练范围内任意初始条件和非饱和土壤水力特性参数组合下的MDI渗透试验结果。通过HYDRUS-1D模拟验证，P-PINN模型对多种测试数据的模拟结果与基准解高度一致，证实了其在训练范围内瞬时模拟流量的能力，并展示了P-PINN在非饱和渗流模拟中的适用性。
（2）通过将构建的P-PINN模型与MCMC方法结合，基于MDI渗透试验流量测量数据，估计了初始条件及非饱和土壤水力特性参数的后验分布。使用后验分布进行的Monte Carlo模拟成功复现了MDI渗透试验测量数据。进一步与其他水分保持和渗透试验结果比较，估计参数与实验室结果吻合良好，表明该方法能准确估计非饱和土壤水力特性参数的后验分布。此外，后验分布估计的计算成本约为2.0分钟，表明所提方法在考虑土壤不确定性的同时，为高效估计参数后验分布提供了有效途径。然而，本研究仅限于实验室验证，现场条件下的参数估计有效性有待未来研究。