《Aerospace Science and Technology》：Model validation under interval uncertainty: A novel metric and computational framework with engineering applications
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模型验证是评估数值模型与其对应物理实体之间一致性的关键过程。尽管基于随机不确定性的模型验证方法已趋于成熟，但普遍存在于工程中且源于有限认知理解或数据不足的情况下的区间不确定性（interval uncertainty），其相关研究仍显不足。为此，本研究首先提出
模型验证是评估数值模型与其对应物理实体之间一致性的关键过程。尽管基于随机不确定性的模型验证方法已趋于成熟，但普遍存在于工程中且源于有限认知理解或数据不足的情况下的区间不确定性（interval uncertainty），其相关研究仍显不足。为此，本研究首先提出了一种新的区间不确定性下的模型验证度量方法，推导了其相应性质，然后基于区间仿射响应面模型（Interval Affine Response Surface Model, IARSM）和贝叶斯推断（Bayesian Inference）建立了该度量的有效计算框架。该新度量基于通过贝叶斯推断更新的先验输出区间（prior output intervals）与后验输出区间（posterior output intervals）之间的六种位置关系构建而成。因此，它能够捕捉数值模型与相应物理实体之间的不同类型差异，同时减轻稀疏实验数据集引起的不准确影响。为了解决在估计所提度量时传统区间不确定性传播固有的区间高估（interval overestimation）问题，新建立的计算框架协同结合了IARSM与子区间分析（subinterval analysis）的思想，从而允许对先验输出边界进行逐步细化。此外，结合简单拒绝采样算法（rejection sampling algorithm）的贝叶斯推断被用于高效计算后验输出区间，而不会带来额外的计算负担。通过数值和实际工程示例证明了所提方法的有效性和鲁棒性，确认其在解决区间不确定性下的模型验证挑战方面具有良好的能力。
随着航空航天、机械和土木工程技术的不断进步，计算密集型数值模型（如有限元仿真）日益普及，并成为具有成本效益的产品设计中不可或缺的工具。然而，由于不确定性因素和不完善的建模假设，数值预测与物理现实之间存在差异，影响了产品的设计和决策。因此，不确定性下的模型验证已成为学术界和工业界的关键研究课题，旨在量化数值模型在其预期运行域内的保真度[1]。作为模型验证的基础和核心，首先需要建立科学合理的模型验证度量，以准确衡量计算响应与实验响应之间的差异。在工程实践中，模型验证过程中涉及的不确定性 broadly 分为随机不确定性（通常由概率模型描述[2,3]）和认知不确定性（由区间模型[4]、模糊集合模型[5]和非概率凸集模型[6]等描述）。关于随机不确定性下的模型验证已有广泛研究，主要可分为四种主要方法[7]：经典假设检验法、贝叶斯因子法、频率学派方法和面积度量法。其中，贝叶斯因子法和面积度量法应用更为广泛。贝叶斯因子通过评估零假设和对立假设的后验分布比率来推断实验数据是否来自由预测模型得出的统计总体之一[8]。Zhao等人[9]使用贝叶斯因子和二阶概率方法研究了具有随机和认知不确定性的热挑战问题。面积度量利用累积分布函数（Cumulative Distribution Functions, CDFs）包含模型预测和实验输出完整不确定性信息的优势，通过CDF之间的面积差异来衡量模型预测与实验输出之间的不一致性[10]。Ferson等人[11]率先使用模型预测的CDF与实验数据的经验CDF（Empirical CDF, ECDF）之间的面积差异提出面积度量，并进一步基于概率积分变换（Probability Integral Transformation, PIT）提出了适用于多元输出的u-pooling度量。基于这一思路，Li等人[12]提出了用于通过多元PIT验证具有相关多重响应的模型的PIT面积度量法和t-pooling度量法。Zhao等人[13]进一步提出了基于马氏距离的面积度量法用于多元模型验证。对于数据有限的场景，Wang等人[14]扩展了传统面积度量并提出了区间面积度量法，而Hu等人[15]提出了基于马氏距离的度量法替代面积度量法，这可以进一步提高模型验证的准确性。Zhang等人[16]提出了一种基于核密度估计和置信水平的改进方法，成功应用于Sandia静态框架验证挑战。此外，几项近期代表性研究进一步丰富了模型验证和不确定性分析方法的发展[[17], [18], [19]]。同时，稳健的不确定性量化和模型校准框架也在近期的航空航天和计算力学研究中不断进展[[20], [21], [22]]。
由于数据稀缺或知识局限，工程中常见的情况是模型的输入变量不能用概率模型描述，而是用具有未知分布和已知边界的区间模型描述。在这种情况下，模型输出也将通过输入区间不确定性的传播而成为区间。然而，传统的区间算术存在区间高估问题，促使了诸如区间截断法[23]、子区间分析法[24]、区间组合法[25]、区间泰勒展开法[26]和区间优化法[27]等创新方法的诞生。对于弱非线性问题，包括泰勒展开、基于矩的展开和摄动类方法的级数展开方法也被广泛用于不确定性传播和与不确定性相关的结构识别[[28], [29], [30]]。然而，这些方法的准确性可能依赖于截断阶数、响应函数的可微性以及不确定性域的大小。此外，一些代理模型技术，如克里金模型（Kriging model）[31]、响应面模型（Response Surface Model, RSM）[32]、径向基函数[33]、人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）[34]，也已适应于区间分析。尽管取得了这些进展，但关于区间不确定性下的模型验证研究仍然很少。Xiao等人[35]将区间变量视为均匀变量，并采用区间数值输出的CDF与区间实验输出的ECDF之间的面积差异作为区间模型验证的度量，尽管其均匀分布假设缺乏验证和论证。Wang等人[36]提出了区间拟合度作为模型验证度量，定义为实验和计算响应区间宽度之比。该度量仅考虑实验区间完全包含在计算区间内的一种情况，无法准确反映数值模型与物理实验之间的不同类型差异。此外，一些学者还进行了区间不确定性下的模型更新研究。例如，Li等人[37]建立了一种新的贝叶斯更新范式，结合区间逃逸率和区间覆盖率用于非概率区间模型。Wei等人[38]构建了基于子区间分析的自适应克里金模型，然后通过基于通用灰色数学导出目标函数的双阶段优化过程更新待校正参数的区间边界和直径。Deng等人[39]构建了区间重叠率（Interval Overlap Ratio, IOR）以表征模型预测与测量数据之间区间属性的一致性，随后将其用作模型更新的目标函数。与此同时，Zhao等人[40]基于区间宽度 formulated 相对位置算子（Relative Position Operator, RPO）以描述两个区间之间的差异，该差异被用作构建用于模型更新的目标函数区间相似度函数。虽然上述研究结合了对模型输出与实验数据之间差异进行量化的度量，但其主要焦点仍然在于模型更新。正如Ferson等人[11]所指出的，模型验证构成一个与模型更新 fundamentally distinct 的过程。模型验证应作为模型预测准确性的独立评估，而实施模型更新的决定应取决于具体应用和用户酌情决定。此外，当前文献中的一个普遍局限在于直接比较预测区间输出与假设的“真实”区间输出以评估模型-物理一致性[36]。这种范式需要大量的实验数据来可靠地表征真实区间边界。在数据稀缺条件下，预测区间与观察区间之间计算出的差异对实验不确定性高度敏感，不可避免地会在验证结果中引入某些偏差。
受这些考虑因素的启发，本研究对区间不确定性下的模型验证进行了系统调查，旨在开发一种更健壮和普遍适用的方法。本研究的创新主要在于提出的区间验证度量和相应的面向验证的计算框架。首先，现有的区间不确定性下的验证度量通常只考虑特定的区间关系，可能无法区分不同类型的模型差异。为解决此问题，我们基于先验和后验区间输出的六种相对位置建立了一个定量验证度量，并推导了其相应性质。该度量提供了数值模型与其物理实体之间各种差异模式的全面表征。其次，当实验数据稀疏时，直接比较预测区间和经验实验区间可能是不可靠的，因为实验区间可能 strongly 受到样本极值的影响。为了减少这种影响，通过结合通过贝叶斯更新先验区间输出与实验数据获得的后验区间输出，所提出的度量不受实验数据数量的约束，并具有更广泛的适用性。第三，为了减少先验区间输出估计中的区间高估，我们开发了基于加权RSM的区间传播框架，结合了仿射算术与子区间分析，并结合基于拒绝采样策略的贝叶斯推断，以有效评估所提出的验证度量。
作者为开展研究用到的主要关键技术方法包括：提出了一种基于先验和后验输出区间之间六种位置关系的新的区间验证度量；建立了基于区间仿射响应面模型（IARSM）和贝叶斯推断的有效计算框架，其中IARSM结合了子区间分析以减轻区间高估；采用简单拒绝采样算法进行贝叶斯推断以高效计算后验输出区间。本研究未提及具体的试剂、培养或质粒构建操作步骤，亦未涉及特定样本队列来源，主要基于数值算例和工程应用实例进行验证。
研究结果部分包括：
**Interval model validation metric and its properties**：研究人员建立了基于先验和后验区间输出的六种相对位置的定量验证度量，并推导了其数学性质。该度量能够全面表征数值模型与物理实体之间的各种差异模式。
**Interval affine response surface model incorporating subinterval analysis**：研究人员提出了结合子区间分析的区间仿射响应面模型（IARSM），用于计算先验区间输出，有效减少了传统区间算术中的区间高估问题。
**Bayesian framework with simple rejection sampling for posterior interval output**：研究人员建立了结合简单拒绝采样的贝叶斯框架，用于确定后验区间输出，在避免额外计算负担的同时实现了高效评估。
通过三个示例（两个数值示例和一个工程应用）验证了所提模型验证度量及其计算方法的有效性和合理性。结果显示，该方法能够准确捕捉模型与物理实体之间的差异，并在数据稀缺条件下保持鲁棒性。
论文发表在《Aerospace Science and Technology》。讨论部分强调了现有区间不确定性下验证度量的局限性，即往往仅考虑特定区间关系而无法区分不同类型的模型差异，且在数据稀疏时直接比较预测区间与实验区间不可靠。本研究通过引入基于贝叶斯更新的后验区间和结合子区间分析的IARSM，有效解决了这些问题。结论部分总结道：本研究提出了一种新的模型验证度量，以定量评估区间不确定性下数值模型与物理系统之间的一致性，并全面推导了其数学性质。为了高效准确地计算该度量，首先提出了结合子区间分析方法的区间仿射响应面模型以计算先验区间输出。利用结合简单拒绝采样的贝叶斯推断，实现了后验区间输出的高效计算。通过数值和工程示例验证了所提方法的有效性和鲁棒性，表明其在解决区间不确定性下的模型验证挑战方面具有良好的能力。
