惯性 Cohen–Grossberg 神经网络在无界分布时滞下的指数型与自适应滞后同步

《Journal of Computational Science》：Exponential and adaptive lag synchronization of inertial Cohen–Grossberg neural networks with unbounded distributed delays

　　

本文的主要重点在于解决惯性 Cohen-Grossberg 神经网络（ICGNNs）的指数型混沌滞后同步与自适应混沌滞后同步问题。该问题是在离散时滞与无界分布时滞的背景下加以研究的。重要的是，本文所采用的方法通过直接构造 Lyapunov 泛函，绕过了惯性神经网络（INNs）中通常使用的标准降阶变换。研究初期构造了一个反馈控制方案，并引入了一个非平凡的 Lyapunov 泛函。该泛函纳入了状态变量及其导数，作为分析指数滞后同步的关键工具。由此推导出涉及多种参数的若干判据。此外，本文还设计了一种自适应控制策略。该策略能够调节控制增益，从而保证渐近滞后同步。研究中采用待定系数法构造 Lyapunov 泛函，并利用 Barbalat 引理（Barbalat lemma）支撑渐近滞后同步的实现。文章最后给出了用于数值验证的具体参数设定，并通过示例性的数值算例有效展示理论结果的实际有效性。该示例证实了所提出模型以及所导出理论结果的有效性。

该文发表于《Journal of Computational Science》，围绕具有离散时滞与无界分布时滞的惯性 Cohen-Grossberg 神经网络（inertial Cohen-Grossberg neural networks，ICGNNs）滞后同步问题展开系统研究。研究背景在于，人工神经网络（artificial neural networks，ANNs）因其较强的计算能力与广泛的工程应用而受到持续关注，而 Cohen-Grossberg 神经网络作为一类比 Hopfield 神经网络、细胞神经网络和递归神经网络更一般的模型，在神经科学、种群生态学及演化理论中具有重要描述能力。与此同时，含惯性项的神经网络由于包含二阶导数，能够更贴近某些生物神经膜与电感电路行为，其动力学往往比传统一阶模型更复杂，易出现振荡、分岔与混沌等现象，因此其同步控制问题具有明显的理论价值与应用意义。

现有研究虽然已对惯性神经网络（INNs）的稳定性、同步性及周期性进行了大量探讨，但多数工作主要采用变量代换后的降阶方法，即将原始二阶系统转化为两个一阶系统再进行分析。这类处理会增加系统维数，使理论推导更复杂。另一方面，已有滞后同步研究多集中于一阶神经网络，对二阶惯性 Cohen-Grossberg 神经网络的滞后同步关注不足。尤其是在同时存在离散时变时滞与无界分布时滞时，相关结果更为缺乏。文中指出，在真实神经系统和电子电路中，信号传播速度有限、放大器切换速度受限，导致时滞不可避免；而无界分布时滞较有界时滞更能反映神经元对更长历史状态的依赖，因此具有更现实的建模意义。基于此，研究人员针对 ICGNNs 在混合时滞条件下的滞后同步空白开展研究，目的在于建立无需降阶的直接分析框架，并分别实现指数型滞后同步与渐近滞后同步。

研究人员考虑了一类具有无界分布时滞的 ICGNNs 模型。系统中，神经元状态满足二阶微分方程，包含惯性项、阻尼项、放大函数、行为函数、即时连接项、离散时滞连接项以及分布时滞积分项。围绕驱动—响应框架，研究人员设计了两类控制器：一类为线性反馈控制器，用于建立全局指数滞后同步；另一类为自适应控制器，用于保证全局渐近滞后同步。全文的核心创新在于不采用常规降阶技术，而是直接针对原始二阶系统构造 Lyapunov 泛函（Lyapunov functional，用于分析稳定性与同步性的能量型函数），并结合解析技巧建立充分条件。文章进一步通过数值仿真验证了理论判据的有效性。

方法上，研究人员首先建立具有离散时滞与无界分布时滞的 ICGNNs 数学模型，并给出相关假设、定义与引理；随后针对误差系统构造包含状态变量及其导数的非平凡 Lyapunov 泛函，采用待定系数法确定泛函结构，在反馈控制与自适应控制框架下分别推导同步判据；其中指数滞后同步分析主要依赖 Lyapunov 理论，不等式估计与参数代数约束，渐近滞后同步分析则进一步使用 Barbalat 引理。最后，文章采用二维数值算例，在给定参数条件下对所得定理和推论进行仿真验证。本文未涉及生物样本或临床队列来源。

在研究结果部分，文章保留了若干关键结构与结论。

Preliminaries
该部分给出了研究对象的基础模型与理论准备。研究人员定义了一类带无界分布时滞的 ICGNNs，其中每个神经元状态变量 υ_i(t) 满足二阶动力学方程，υ?_i(t) 表示惯性项，β_i 为阻尼系数，α_i(.) 为放大函数，h_i(.) 为行为函数，同时还包含权值矩阵 a_ij、b_ij、c_ij 分别对应的无时滞、离散时滞及分布时滞耦合结构。该部分还引入后续定理所依赖的假设条件，为同步误差系统的建立与 Lyapunov 泛函构造奠定了基础。由这一部分可知，研究对象是具有更一般混合时滞结构的二阶神经网络模型，较既有 Hopfield 型或细胞型惯性网络滞后同步模型更具一般性。

Main results
该部分是全文理论核心。研究人员利用 Lyapunov 理论和多种解析技术，在非降阶框架下分析全局滞后同步与全局指数滞后同步。文中首先提出 Theorem 1，在 Assumptions 1–4 成立时，若反馈控制器（3）及一组代数不等式条件满足，则所研究系统实现指数滞后同步。该结论表明，通过恰当设计反馈控制律，并对系统参数、激活函数界、时滞项影响及耦合权值施加约束，可以保证误差系统以指数速度收敛到零。随后，文章还给出两个 corollaries，作为 Theorem 1 的直接推广或简化判据，用以建立全局指数滞后同步的更易检验条件。进一步地，围绕自适应控制策略，研究人员又构造了另一类 Lyapunov 泛函，并借助 Barbalat 引理证明在自适应增益调节机制下系统能够达到渐近滞后同步。由此，文章在同一模型框架下同时获得了指数型与自适应两类滞后同步结果，拓展了 ICGNNs 同步控制的理论体系。

Numerical simulations
该部分通过数值实验检验理论结果。研究人员为避免不必要复杂度并便于展示，选取二维 ICGNNs 作为验证对象，构造含离散时滞与无界分布时滞的具体模型，并赋予特定参数。仿真结果用于验证所建立判据的可行性，图形化结果表明，在所设计控制器作用下，驱动系统与响应系统之间的误差满足理论预期，能够实现相应的滞后同步。该部分结论说明，前述定理不仅具有数学上的充分性，也具有较好的数值可实现性。

Conclusion and future scope
该部分总结了全文主要结论。研究人员指出，本文针对 ICGNNs 研究了两类滞后同步问题。不同于惯性神经网络中传统的降阶方法，作者直接构造了两个不同的 Lyapunov 泛函，并为所考虑的 ICGNNs 设计了两类控制器，以实现滞后同步。文章提出了 Theorem 1 及两个推论，它们以代数不等式形式给出了建立所提系统全局指数滞后同步的充分条件。与此同时，研究还建立了相应的自适应控制框架，用于保证渐近滞后同步。整体而言，论文填补了惯性 Cohen-Grossberg 神经网络在离散时滞与无界分布时滞共同作用下滞后同步研究的空白。

从讨论意义看，本文的价值主要体现在三个方面。其一，在方法论上，研究摆脱了二阶惯性神经网络分析中普遍使用的降阶路径，转而直接对原系统构造 Lyapunov 泛函，从而为复杂二阶时滞神经网络的同步分析提供了新的技术路线。其二，在模型层面，本文同时纳入离散时滞与无界分布时滞，使模型更贴近实际神经信息传播与工程反馈链路中长期历史依赖的特征。其三，在控制层面，反馈控制与自适应控制的双重设计使所得结果兼具指数收敛保证与参数自调节能力，增强了理论结果的适用范围。由于这些结论均建立在原文明确给出的假设、定理、推论与数值验证基础上，因此可以认为该研究对复杂惯性神经网络同步控制理论具有明确推进作用。

研究结论部分可译为：本文探讨了 ICGNNs 的两类滞后同步问题。不同于 INNs 中传统的降阶方法，作者直接构造了两个不同的 Lyapunov 泛函，并为所研究的 ICGNNs 设计了两类控制器，目的均在于实现滞后同步。本文提出了 Theorem 1 及两个推论，它们以代数不等式形式给出了建立所提系统全局指数滞后同步的充分条件。为实现渐近滞后同步，还构造了自适应控制策略并结合相关理论工具完成证明。最后，通过数值模拟验证了理论结果的有效性。