相场模型基于能量(Energy-based)物理知情神经网络(Physics-Informed Neural Networks, PINNs)的局部平衡(Local Balance)约束

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Local balance for energy-based physics-informed neural networks on phase-field models

　　

摘要：基于能量最小化(Energy Minimization)的物理知情神经网络(PINNs)已成为求解凸能量泛函支配问题的有力框架。然而将其推广至以非凸能量泛函(Non?convex Energy Functional)为特征的相场模型(Phase?Field Models)时，往往无法获得非平凡或物理有效的稳态解。尽管局部约束已在凸问题设置中被引入以提高精度，但其在相场模型基于能量的PINNs中所起的作用尚不清楚。本研究揭示，对于相场模型，满足局部平衡(Local Balance)的稳态形式是必要而非仅仅是辅助性的。通过将解限制于物理可容许空间(Physically Admissible Space)，该条件的满足使具有物理意义的局部极小值从时间惯性(Temporal Inertia)或潜在全局能量极小(Latent Global Energy Minimum)的强吸引中释放出来。研究人员通过若干基准算例阐释了这一机制：通过两个独立相场方程的算例说明摆脱时间惯性的释放（其稳态具路径依赖性）；通过一个铁电微结构多物理相场模型算例说明逃离潜在全局能量极小的释放（其稳态具路径无关性）。该认识使改进的能量形式PINN可直接获得相场模型的稳态解，从而为将基于能量的PINNs拓展至更广泛复杂非凸问题提供了一步进展。

论文解读：《Local balance for energy-based physics-informed neural networks on phase-field models》（发表于 INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES）

一、研究背景与问题提出

物理知情神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）通过将方程残差或能量泛函嵌入损失函数来求解偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs），已在固体力学、流体力学、材料科学等领域获得广泛应用。PINNs主要有两种形式：强形式（Strong Form）直接惩罚PDE残差，能量形式（Energy Form）基于变分原理以能量泛函构造损失函数，后者在凸能量泛函问题中计算效率高且超参数少。然而相场模型（Phase-Field Models）的自由能泛函为非凸（Non-convex），存在多个局部极小值（两相体各自对应体相极小值及界面共存态对应的较高极小值），单纯能量最小化极易陷入平庸的体相极小值（Trivial Solution）；此外相场模型的稳态对初值敏感，演化具时间惯性（Temporal Inertia）导致的路径依赖性。现有增量分解策略虽可追踪瞬态演化，却难以直接获得最终稳态。混合深度能量法在凸或多凸泛函问题中加入局部约束（本构关系或平衡律）仅为提高精度之辅助手段，而其对非凸相场模型中能量形式PINN的作用尚未阐明。因此，研究人员开展本研究以明确稳态局部平衡（Local Balance）约束在基于能量的PINNs求解相场模型稳态时的必要性及其内在机理，并提出改进方法直接预测物理有效的非平凡稳态解。

二、主要关键技术方法概述

研究人员提出带多重物理约束的物理知情神经网络（PINN with Multiple Physical Constraints, mpc-PINN），在损失函数中同时耦合时间演化惯性项、自由能泛函最小化项及稳态形式的局部平衡律（Local Balance Law, 即稳态控制方程残差项L_residual），直接求解相场模型的稳态而无需追踪瞬态过程。通过理论分析阐明各损失项作用，并以三类典型相场基准算例——两个孤立相场方程（Allen–Cahn型，路径依赖稳态）及铁电微结构多物理相场模型（路径无关稳态）——进行对比验证，考察含与不含局部平衡残差约束时mpc-PINN所得解的物理合理性与非平凡性。

三、研究结果

Overview of strong-form and energy-form PINNs

研究人员回顾了强形式PINN（以PDE残差的加权平方和作为损失）与能量形式PINN（以能量泛函积分作为损失，适用于具变分结构的静态问题如线弹性）的基本原理，指出能量形式PINN因仅需求低阶导数而在适用问题上具效率优势，但对非凸泛函问题面临局部极值与鞍点困难。

PINN with multiple physical constraints (mpc-PINN)

研究人员构建了mpc-PINN，损失函数由三部分组成：①能量泛函最小化项；②时间惯性项（用以反映演化路径对稳态选择的影响）；③稳态局部平衡残差项L_residual（即相场模型稳态Allen–Cahn / Cahn–Hilliard型方程的域残差及边界条件残差）。理论分析表明，在非凸相场问题中仅能量最小化不足以锁定物理相关局部极小，引入稳态局部平衡约束可将神经网络解空间压缩至物理可容许子空间（Physically Admissible Space），从而解除平庸体相极小与时间惯性的过度吸引，使网络收敛至具物理意义的非平凡稳态局部极小。

Case studies: validating mpc-PINN and illustrating the critical role of L_residual

研究人员设置对比实验：①两个单独相场方程算例（无耦合场，稳态取决于初值即具路径依赖性），mpc-PINN不含L_residual时网络退化为能量极小而给出均匀体相解（丢失界面结构），加入L_residual后可依给定初值获正确非均匀稳态界面构型，证实局部平衡约束克服时间惯性干扰；②铁电微结构多物理相场模型算例（耦合力学与电场，稳态与路径无关但存多个能量极小），无L_residual时能量极小落入全局体相极小（单畴平凡解），加入L_residual后成功获得含畴壁的多畴非平凡微结构稳态，证实局部平衡约束助网络逃离潜在全局能量极小陷阱。三组算例共同表明L_residual项对非凸相场模型能量形式PINN为必要而非可选。

Conclusions（结论翻译）

本研究确定局部平衡（Local Balance）是基于能量的PINNs中用于直接预测相场模型物理有效非平凡稳态的必要约束。对于凸能量泛函支配的问题，额外施加局部约束仅用于提升局部精度，因为能量最小化配合边界条件通常已能保证稳态良好近似。然而对于相场模型，仅凭能量最小化无法满足要求——此时必须满足稳态形式的局部平衡律。通过将该约束纳入损失函数，可将解限定于物理可容许空间，从而使具物理意义的局部极小值从平庸解或时间惯性的过强吸引中解脱。所提出的带多重物理约束的mpc-PINN可不经瞬态追踪直接获得相场模型稳态，并通过典型算例验证了局部平衡残差项的必要性。该发现为将基于能量的PINNs拓展至更广泛类别的复杂非凸问题提供了理论与应用基础。

四、总结与讨论

研究人员指出，以往混合深度能量方法中局部约束被视作精度提升手段（针对凸/多凸泛函），而本文首次严格论证：对具非凸自由能泛函的相场模型，满足稳态局部平衡方程是能量形式PINN获得物理合理非平凡稳态解的必要条件。其核心机制是局部平衡约束将神经网络搜索空间约束至物理可容许子集，解除非凸能量景观中平庸全局极小与时间惯性的不当主导，使优化过程锁定具物理意义的局部极小。此认识不仅解释了既有能量形式PINN在相场问题中失效的原因，也为设计适用于广义非凸变分问题（如其他梯度系统、多稳态势能问题）的PINN损失函数结构提供了指导原则——即在非凸情形必须将稳态（或动态）局部物理定律以残差形式显式加入损失。该方法（mpc-PINN）避免了增量时间步进，可直接端到端预测相场模型稳态构型，对材料微结构演化、多畴铁电/铁磁体系平衡态预测等具应用价值。未来工作可进一步探讨自适应加权策略以平衡多损失项及在高维多场耦合相场系统中的扩展性。

Shang Lan, Zhang Yong, Wang Jie（Beihang University, Hangzhou International Innovation Institute）