一种用于高效谱随机有限元分析的递归多层次层次域分解方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A recursive multilevel hierarchical domain decomposition approach for efficient spectral stochastic finite element analysis

　　

洪哲代|罗博文|波尔·D·斯帕诺斯

摘要

谱随机有限元方法（SSFEM）已成为工程领域不确定性量化的强大工具。尽管域分解方法（DDM）已被集成到SSFEM中以提高计算效率，但随着随机维度和多项式混沌阶数的增加，全局扩展的Schur补（e-SC）系统会迅速扩大，导致接口系统变得极其庞大。此外，在精细的随机离散化下，高斯消元法可能会变得计算成本高昂。这些问题严重限制了传统基于DDM的SSFEM在大型工程系统中的应用。本文提出了一种用于高效SSFFE分析的递归多层层次域分解方法。该方法首先通过张量积分解将传统的e-SC系统重构为全局Kronecker e-SC系统。然后利用其层次结构将该系统划分为多层块形式。基于这种多层表示，开发了一种递归多层层次策略来解决所得到的Kronecker系统。在所提出的方法中，由于构建的Kronecker系统可以由低维Kronecker因子组合而成，因此可以通过一组小规模矩阵的逆运算来执行高斯消元，从而避免了传统DDM中固有的大规模矩阵运算问题。此外，由于多层划分使得全局系统能够转换为具有块对角优势的一组小规模子系统，因此可以大幅降低求解大规模全局Kronecker e-SC系统的计算复杂度。另外，递归细化策略能够迭代地减轻层次结构引起的近似误差，即使在高随机变异性下也能确保稳健的收敛性。对一个实际的大型重力坝进行的随机分析证明了该方法的有效性。结果表明，该方法为大规模谱随机有限元分析提供了一个准确且高效的框架，展示了其在复杂工程应用中的潜力。