《Sensors》：Sensor-Based Differential Flatness-Based Trajectory Tracking Method and Its Application to Wheeled Mobile Robot Control
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摘要：该研究在可持续性背景下，针对差速驱动双轮移动机器人（DDWMR）的运动学模型，探究其轨迹跟踪控制问题。研究人员采用基于微分平坦（differential flatness）的非线性到线性变换方法，将原始非线性系统转化为两个完全解耦的线性子系统，从而实现简
摘要：该研究在可持续性背景下，针对差速驱动双轮移动机器人（DDWMR）的运动学模型，探究其轨迹跟踪控制问题。研究人员采用基于微分平坦（differential flatness）的非线性到线性变换方法，将原始非线性系统转化为两个完全解耦的线性子系统，从而实现简单且鲁棒的控制器设计。与传统基于精确前馈线性化的微分平坦方法不同，所提出的方法执行对象线性化（plant linearization），确保在广泛的轨迹范围内实现可靠跟踪。所得的双环架构由内环非线性回路（实现状态延拓和静态反馈）和外环线性控制器（执行线性化系统的轨迹跟踪）组成。在圆形参考轨迹上的仿真结果表明，该方法具有高跟踪精度：最大瞬态偏差为0.28 m，调节时间约为120 s，稳态平均跟踪误差低于0.01 m。这些结果证实，基于对象线性化的框架在负责任的控制环境下，为DDWMR轨迹跟踪提供了准确性、鲁棒性和实用性。
该研究聚焦于移动机器人控制领域的核心挑战，特别是在可持续性要求日益增长的背景下，为非完整约束移动机器人提供了一种创新的轨迹跟踪控制框架。移动机器人技术在采矿、物流运输、行星探测、自动焊接及农业等领域已有三十余年的广泛应用，而当代移动机器人研究正日益受到可持续性以及环境、社会和治理（ESG）责任要求的深刻影响。可持续性在移动机器人控制中构成了一个集成范式，将能耗、生命周期资源利用和环境影响显式嵌入控制目标与约束中，从而将经典反馈控制转化为多目标、资源感知的优化问题，确保长期运行效率与生态兼容性，同时不损害系统稳定性或性能。国际标准IEEE 7000:2022为此提供了面向价值驱动、伦理合理设计的流程指南，联合国可持续发展目标（SDGs）也将移动机器人的贡献映射到多个维度：提升工作、物流和制造的效率与安全（SDGs 8, 9, 11），节能运动规划与资源感知操作（SDGs 7, 12, 13），环境与工业安全监测（SDGs 3, 6, 13），以及包容性人机交互与服务可及性（SDGs 10, 11）。该研究明确考虑了这些因素：所选的速度和航向控制方案允许将可持续性指标（循环能耗、制动/加速强度、预测驱动磨损）集成到控制器的目标函数和约束中，同时保持需求的可追溯性。
移动机器人的一个显著特征是非可积（即非完整）运动学约束的存在，这显著增加了控制合成的复杂性；此外，对于非完整移动机器人，光滑稳定化的必要条件（Brockett条件）通常无法满足，使得轨迹跟踪和路径跟随尤为困难。近年来，多种方法被提出并应用于非完整移动机器人，包括滑模控制、反步法和非线性模型预测控制（NMPC）等。其中，基于微分平坦的轨迹跟踪控制方法因其独特优势而备受关注。若被控对象具有微分平坦性，轨迹跟踪问题可通过反馈线性化处理，即将复杂的非线性设计问题转化为相对简单且研究充分的线性控制问题。微分平坦系统的特点在于存在平坦输出，使得状态向量和控制作用均可表示为该输出及其有限阶时间导数的代数函数。对于差分驱动移动机器人，常见的平坦输出信号选择为连接驱动轮轴中点的时间轨迹。
该研究的核心贡献在于提出了一种统一的A型平坦系统轨迹控制方法。A型平坦系统是指其平坦输出仅依赖于系统状态的特殊类型微分平坦控制系统，串联扭矩控制机械臂是其最著名的例子。研究人员将计算扭矩控制（CTC）及其类似方法识别为这种特殊类型平坦系统的控制方法，并提出了C类坐标变换的概念——一种保持系统轨迹等价的静态反馈变换。该框架允许确定两个给定控制系统之间是否存在C类变换连接，并在存在时生成该变换。若其中一个控制系统局部为平凡线性系统，则该框架可确定系统的平坦输出并合成线性化变换。
在具体技术实现层面，研究人员针对DDWMR的运动学模型展示了控制器合成过程。首先通过I类变换将DDWMR的单轮模型转化为具有特定结构的控制方程，随后应用C类线性化变换合成程序。该变换将原始非线性系统转化为两个完全解耦的线性子系统，使得轨迹跟踪问题简化为对"虚拟"平凡线性系统的控制。线性控制器采用双通道PD控制结构，其稳定性由线性信号变换器满足特定准则保证。仿真验证采用了三种典型参考轨迹："正弦"轨迹、"8字形"轨迹以及"带平滑边缘的矩形"轨迹，并对比了不同PD参数设置下的控制性能。此外，研究还与文献[50]至[54]中的方法进行了比较分析，所用圆形参考轨迹的初始姿态为(-1.0 m, -5.0 m, 0.0 rad)，初始速度为零。
研究结果部分，"系统的静态反馈线性化与A型平坦控制系统及A型平坦系统轨迹控制"介绍了C类坐标变换的数学框架。研究人员定义了保持轨迹等价的静态反馈变换条件，给出了变换前后系统动态方程的对应关系，并推导了线性化变换的合成方程。特别地，当变换结果为平凡线性系统时，原系统即为微分平坦系统，且可从变换分量中导出平坦输出。
"DDWMR控制器合成算法应用实例"部分详细展示了变换过程。通过选择适当的状态变量表示和坐标变换，将DDWMR运动学模型转化为可线性化形式。变换后的内环非线性回路实现了状态延拓与静态反馈，外环则采用标准线性控制器进行轨迹跟踪。研究给出了前向运动和前后向通用运动的两种控制器设计方案，并提供了相应的硬件可实现方案。
"所得控制系统分析"部分深入讨论了轨迹跟踪误差的动态特性。分析表明， tracking error的动态完全由外环双通道线性控制器的设计决定，且仅PD和PID两种线性控制器可用于该轨迹控制系统。通过特征方程根的配置，可实现误差指数的任意收敛速率，但实际控制效果受电机功率、机器人设计参数及环境摩擦系数等物理因素限制。该方法不对初始系统状态与期望轨迹的接近程度施加任何要求，且控制器参数不依赖于特定期望轨迹，这些特点通过大量仿真得到了验证。
仿真结果表明，在无扰动情况下，跟踪误差仅取决于线性控制器的参数设置。通过调整参数a，可获得不同的收敛特性：参数较大的系统A（a=0.5）相比参数较小的系统B（a=0.2）具有更快的收敛速率。与文献[51]中方法的比较显示，该系统A的收敛速率显著更高。对于大初始偏差的情况，控制器同样表现出良好的跟踪性能。在圆形轨迹测试中，系统A的最大瞬态偏差为0.28 m，调节时间约120 s，稳态平均跟踪误差低于0.01 m，且优于文献[53,54]中提出的控制器。
讨论部分，研究人员首先分析了所提控制系统的软硬件实现特点。该系统包含两个嵌套控制回路：外环位置反馈回路和内环航向角静态反馈回路。与许多需要测量平坦输出多阶导数的微分平坦方法不同，该方法仅需测量机器人中心的当前坐标和速度矢量，这是其显著优势之一。此外，该方法对控制器输入数据无限制要求，这也是区别于现有方法的重要特征。研究人员还探讨了与计算扭矩控制（CTC）技术的概念联系，指出两者在结构上的同源性：均通过静态反馈线性化将非线性对象转化为等价的平凡线性可控系统，均采用非线性内环线性化与线性外环跟踪的经典架构。
同时，研究人员坦诚指出了该方法的局限性：与经典CTC类似，其对模型不确定性较为敏感，真实对象与数学模型之间的微小差异可能导致跟踪性能明显下降。这一固有限制为后续研究指明了方向，即发展鲁棒、自适应及学习增强的补偿机制。与现有大多数基于精确前馈线性化的微分平坦方法相比，该方法的另一本质区别在于执行对象线性化而非轨迹线性化，从而避免了后者对初始状态匹配性的严格要求，在机器人大幅偏离期望路径时仍能保持良好的性能。此外，该方法最终得到的单输入单输出（SISO）控制结构，相比多变量耦合控制通道的设计，显著简化了控制器设计、调参和实现过程。
在可持续性方面，研究人员特别讨论了控制器能量消耗问题。虽然轨迹规划对能耗影响更为显著，但控制器设置通过影响轨迹收敛速率间接影响能耗：提高收敛速率会增加机器人中心加速度径向分量的平均值和峰值，反之降低收敛速率则可减少滑转、侧滑等不良现象的发生概率。该方法的可预测误差动态特性使得能够根据应用需求设置最小充分收敛速率，从而实现最小能耗，这为其在可持续城市移动场景中的应用提供了优势。
最后，研究结论指出，该方法为微分平坦系统的轨迹跟踪控制建立了一个通用且可扩展的基础，既保留了CTC方法设计透明、闭环动态显式可控、跟踪精度高等核心优势，又突破了其传统上局限于二阶机械系统的应用范围。仿真结果充分证实了这些优点，展示了该方法在理论发展和实际部署方面的巨大潜力。未来研究将沿两个方向展开：一是将方法从运动学模型扩展至完整动力学模型及其他类型移动机器人（如平衡机器人、飞行器、多自由度机器人平台）；二是发展鲁棒和自适应扩展，以克服对模型不确定性的敏感性，并计划利用DDWMR局部定位系统和PlatypOUs移动机器人平台进行实物实验验证。
