基于径向基函数神经网络的边界控制：固定关节驱动下柔性梁扰动衰减

《Actuators》：RBFNN-Based Boundary Control for Disturbance Attenuation of Flexible Beams Under Fixed-Joint Actuation

　　

本研究针对由四阶偏微分方程（PDE）所支配的柔性梁边界扰动衰减问题展开研究。研究人员提出了一种基于径向基函数神经网络（RBFNN）的边界扰动观测器，以在无需预先获知扰动动态特性的条件下，实现对扰动的高精度在线估计。此外，设计了一种仅作用于固定端的边界反馈控制器。控制目标在于保证期望角位置的精确跟踪、抑制弹性振动，并削弱未知时变边界扰动的影响。通过构造Lyapunov泛函，研究证明了闭环系统的稳定性。数值仿真结果表明，所提出的观测器与控制律具有良好有效性。

该论文发表于《Actuators》，研究对象为固定端驱动、自由端受扰的柔性梁系统，核心关注四阶偏微分方程（PDE）描述下的边界扰动抑制与精确控制问题。柔性梁因具有轻量化、高速运动和大工作空间等优势，被广泛应用于在轨服务、精密装配和微创手术机器人等高端工程场景。然而，这类结构固有柔性会在运行中诱发机械振动，进而削弱定位精度、降低系统性能。与此同时，柔性梁在数学上属于无穷维分布参数系统，兼具多模态、宽频带以及枢纽—梁强耦合等特征，使高性能鲁棒控制器的设计极具挑战性。现有研究中，大量方法依赖有限元法或假设模态法将系统降阶为常微分方程模型，虽然便于控制器设计，但高频模态截断会带来建模误差，甚至在闭环下诱发溢出不稳定（spillover instability）。因此，直接基于偏微分方程的建模与控制策略更能保持系统分布参数本质，为控制设计提供更可靠基础。

在此背景下，边界控制因实现便利而成为柔性PDE系统的重要技术路线。既有成果已在时滞控制、事件触发控制、自适应迭代学习控制和带扰动观测器的边界控制等方面取得进展，但多数研究主要针对常值扰动或形式相对简单的扰动。实际工程中的边界扰动往往未知、时变，且可能包含复杂非线性与高频未建模成分，传统线性观测器或高阶扰动观测器对此类信号的精确估计能力仍有限。另一方面，已有不少控制策略需要在梁自由端施加控制力矩，或同时在两端执行驱动，这在工程实现上往往较困难。基于这些问题，研究人员围绕扩展Euler–Bernoulli梁模型，研究了固定端施加控制输入、边界扰动作用于系统的柔性梁边界镇定问题，提出RBFNN扰动估计器与边界反馈控制器相结合的方案，用于在线估计并补偿未知时变边界扰动，从而保证闭环稳定并兼顾角位置跟踪与振动抑制。

方法上，研究以扩展Euler–Bernoulli梁理论为基础，建立含轴向张力T、黏性阻尼系数c以及刚柔耦合效应的四阶PDE模型，并在有界假设与RBFNN逼近假设下，构造辅助变量、RBFNN边界扰动观测器及带σ-修正（σ-modification）的自适应权值更新律，进而设计仅作用于固定端的边界反馈控制律；随后采用Lyapunov方法完成稳定性分析，并通过有限差分法进行数值仿真。仿真采用多类扰动场景，包括复合时变扰动、Gaussian白噪声、阶跃扰动和高频正弦扰动，同时进行了离散化敏感性与网格无关性分析。

在动态模型与预备知识部分，研究人员首先明确了建模基础与物理假设。所采用模型假定梁为细长结构，截面在弯曲过程中保持平面并垂直于中性轴，因此忽略剪切变形与截面转动惯量影响；弹性挠度相对梁长较小，系统处于线弹性范围内；同时引入轴向张力T与黏性阻尼效应以更准确刻画动力学行为。在此基础上，论文建立了单连杆柔性梁—刚性轮毂系统模型，其中横向位移由轮毂转角与弹性挠度共同描述，控制输入与未知时变扰动均通过边界作用于固定端。作者进一步提出扰动有界假设，以及未知扰动可由理想RBFNN在紧集上以有界误差逼近的假设，并给出后续稳定性分析所需的不等式工具与控制目标，即削弱未知时变边界扰动影响、使轮毂角位置跟踪误差一致最终有界（uniformly ultimately bounded），并抑制柔性梁弹性振动。

在控制器设计部分，研究人员构造了一个辅助变量，用于将角速度、角位置误差与边界控制设计有机关联起来；在此基础上，以RBFNN构造扰动估计器，用估计权值向量与Gaussian基函数向量对未知边界扰动进行在线重建，并定义了扰动估计误差与权值估计误差。为保证在线学习过程稳定，论文提出带σ-修正项的自适应律，其中梯度项负责减小扰动对辅助变量的不利影响，而泄漏项用于防止在逼近误差存在时权值发散，从而保证权值误差一致最终有界。进一步地，论文设计了固定端边界反馈控制律，其组成包括边界微分信号反馈、角速度阻尼项、辅助变量反馈项、弹性挠度/弯矩补偿项、角跟踪误差反馈项以及RBFNN扰动前馈补偿项。该控制律的目标是同时实现主动扰动补偿、边界扰动抑制、角位置精确跟踪与振动衰减。

在稳定性分析部分，论文利用Lyapunov方法建立闭环系统的一致最终有界性结论。研究人员构造了包含梁挠度能量项、速度相关项、辅助变量项、角跟踪误差项、RBFNN权值误差项在内的Lyapunov候选泛函，并通过Young不等式、Wirtinger不等式等工具对相关交叉项与积分项进行估计。研究特别强调，对于分布参数柔性结构，仅有位移小并不足以保证系统性能，因此所采用的稳定性定义同时关注位移与内应变的有界性。通过对Lyapunov泛函逐项求导、代入系统动力学方程、边界条件、自适应律与控制律，并在控制增益满足特定约束时消除或压制交叉项，论文最终证明闭环系统满足指数衰减到原点任意小邻域的性质。定理1指出，弹性挠度、角跟踪误差、辅助变量、RBFNN权值估计误差以及扰动估计误差均为一致最终有界；所有信号的收敛速度由参数μ决定，而稳态最终界由参数ε决定。文中还讨论了参数选择背后的物理含义，包括能量平衡、溢出抑制以及针对RBFNN逼近误差和外部噪声的鲁棒性裕度。随后，论文给出一个系统化的参数选取算法，以保证前述不等式约束可同时满足，从而确保所提边界控制方案的可实施性。

在数值仿真部分，论文采用有限差分法验证所提RBFNN边界抗扰控制策略的有效性。首先，在名义工况下设置复合时变扰动，该扰动由周期外部干扰、常值偏置以及与系统状态耦合的项共同构成，用以模拟复杂工程环境。研究比较了无控制、传统比例—微分（PD）控制、基于传统线性扰动观测器的控制，以及所提RBFNN边界抗扰控制四种情形。无控制情形下，梁的弹性挠度随时间与空间演化呈明显发散趋势，自由端位移持续增大，表明开环系统不稳定。随后，在扰动估计性能比较中，传统线性观测器虽可跟踪扰动低频趋势，但在高频分量估计上出现明显初始负过冲、持续振荡、相位滞后与幅值衰减；相比之下，RBFNN观测器收敛更快，约2 s内逼近真实扰动，3 s后几乎与真实扰动重合，显示出更优的瞬态性能和高频跟踪能力。误差定量结果进一步表明，RBFNN观测器稳态误差与均方根误差（RMSE）均显著小于传统线性观测器，说明其显著提升了扰动估计精度，为高精度扰动补偿奠定基础。

在振动抑制效果比较中，PD控制仅能依靠状态反馈增加阻尼，虽可在一定程度上抑制初始发散，但面对持续复合时变扰动时无法消除稳态残余振荡；基于传统线性扰动观测器的控制虽有所改善，但仍存在小幅抖振。相比之下，所提RBFNN控制方案可使自由端振动在较短时间内快速衰减至接近零，且稳态抖振几乎消失，表现出最优且鲁棒的振动衰减能力。在角位置跟踪比较中，PD控制由于不能主动补偿外部扰动，表现出较大初始超调和持续残余振荡；传统线性观测器方案波动减小，但仍不能实现理想稳定跟踪；RBFNN控制则表现为平滑响应、几乎无超调，并在约2 s内逼近期望角位置，将跟踪误差约束在可忽略的小邻域内，实现高精度定点控制。进一步地，论文给出了RBFNN控制下梁弹性挠度的三维时空分布，结果显示与开环严重发散形成鲜明对比，整个空间域内的弹性变形均被迅速抑制，系统从初始变形状态快速恢复并稳定于平衡位置。相应控制输入全过程平滑且有界，未出现抖振或饱和，说明优异控制性能并非依赖过大的执行代价，验证了该控制方案的工程可行性。

在鲁棒性验证与离散化敏感性分析部分，研究人员进一步叠加Gaussian白噪声、t = 5 s时刻激活的阶跃扰动以及高频正弦扰动，以模拟随机环境干扰、负载突变与未建模高频动力学。结果表明，所提RBFNN边界控制在三类严苛扰动下均能将自由端位移在约3 s内驱动至近零平衡状态；在稳态阶段，Gaussian噪声与阶跃扰动下残余位移振荡被紧密限制在很小幅值范围内，高频扰动虽引起较大的残余波纹，但整体位移仍保持严格有界。角位置跟踪结果进一步证实了控制器鲁棒性：系统能够以几乎无超调的瞬态响应达到期望角度，在测量噪声和高频扰动作用下，角跟踪误差仍被限制在很小范围内；面对阶跃扰动时虽出现轻微稳态偏移，但最大跟踪误差依旧严格有界，表明系统具有优异的定点跟踪能力与抗随机、高频及突变异常的性能。为排除数值耗散伪效应，论文还进行了网格无关性与离散化敏感性分析，对比基准细网格、粗空间网格和粗时间步长三种方案。结果显示三种离散方案总体收敛趋势一致，尽管粗时间离散带来相位滞后和幅值差异，粗空间离散增大了稳态振荡幅值，但三种情况下系统均能抑制振动并达到稳定状态，说明优异控制性能源于所提算法本身，同时高精度动力学评估仍需足够网格分辨率。

讨论部分表明，该研究通过将RBFNN扰动估计与固定端边界反馈控制相结合，弥补了传统线性观测器对复杂未知时变边界扰动尤其是高频成分估计不足的问题，同时规避了自由端施加控制在工程实现上的困难。Lyapunov分析给出的理论最终界虽然具有一定保守性，且与理想神经网络权值、逼近误差上界及多个设计参数相关，难以在仿真中进行直接数值对照，但仿真中位移与跟踪误差均收敛至平衡点附近的小邻域，表明实际控制效果与理论稳定性结论一致。参数讨论还揭示了收敛速度、控制能量和收敛区域之间的权衡关系，即增大部分控制参数可加快闭环收敛，但也会相应提高控制输入幅值，过于激进的参数选择还可能扩大最终收敛域。因此，论文所给出的参数选取算法对兼顾稳定性、控制性能和可实现性具有重要意义。

研究结论部分指出，研究人员系统考察了四阶偏微分方程柔性梁的边界扰动衰减问题，提出了用于估计未知时变边界扰动的RBFNN边界扰动观测器，并进一步设计了仅作用于固定端的边界反馈控制器以实现主动扰动补偿。通过构造包含弹性挠度、角跟踪误差、RBFNN权值估计误差和扰动估计误差的Lyapunov泛函，研究证明在适当控制增益下，这些信号均可指数衰减至原点任意小邻域。大量数值仿真进一步证实了所提控制方案在多种严苛条件下的有效性与鲁棒优势。论文最后指出，未来工作将把执行器饱和等输入约束显式纳入控制设计框架，以进一步提升实际应用中的运行安全性。