一类比例Caputo分数阶神经网络的同步分析

《Symmetry》：Synchronization Analysis for a Class of Proportional Caputo Fractional-Order Neural Networks

　　

本研究针对一类关于另一函数的比例Caputo分数阶神经网络的同步问题展开研究。研究人员建立了主从框架，并为响应系统提出了线性状态反馈控制器。在激活函数满足标准Lipschitz（Lipschitz）条件下，研究人员建立了确保同步误差收敛至零的充分条件。该分析基于误差系统的显式积分表示、广义Gronwall型不等式以及Mittag-Leffler（M-L）函数的渐近性质。所得到的准则明确揭示了分数阶次、比例参数、控制增益以及网络互联矩阵的作用。基于基准分数阶Hopfield神经网络的数值实验验证了所提方法的有效性。特别地，一个满足所有理论假设的缩放基准提供了对主要定理的严格验证，而原始基准则凸显了导出充分条件的保守性。

本研究聚焦于比例Caputo分数阶神经网络的同步问题，发表在《Symmetry》期刊。分数阶微积分已成为建模具有记忆和遗传效应的复杂动力学现象的重要数学框架，相较于经典整数阶算子，分数阶导数和积分为表征长程依赖性、反常动力学和非局部行为提供了额外的灵活性。近年来，局部比例导数及其关联的分数阶算子因其解析可处理性及应用潜力而受到广泛关注。神经网络作为一类核心非线性动力学系统，在优化、模式识别、信号处理、联想记忆和智能控制等领域具有广泛应用。由于其强非线性和内在记忆效应，神经网络成为分数阶建模的自然候选对象。在诸多动力学特性中，同步因其在协同动力学、安全通信、信号传输和网络化信息处理中的基础作用而备受瞩目。尽管已有大量关于标准Caputo型算子、时滞分数神经系统的研究成果，但针对由关于另一函数的比例Caputo分数阶导数驱动的神经网络的同步分析关注相对较少。这一算子为局部比例微积分与非局部分数动力学之间提供了有前景的 intermediate 框架。

研究人员开展了针对比例Caputo分数阶神经网络主从同步问题的理论研究。通过引入主从框架和线性状态反馈控制器，在激活函数满足标准Lipschitz条件的假设下，推导了确保同步误差收敛至零的充分条件。该分析依赖于误差系统的显式积分表示、广义Gronwall型不等式以及Mittag-Leffler函数的渐近估计。最终得到的同步准则明确揭示了比例参数λ、分数阶次ε、激活函数的Lipschitz常数以及网络互联矩阵之间的相互影响。数值实验结果表明：缩放后的基准模型严格满足定理条件，同步误差快速收敛至零；而原始基准模型虽不满足充分条件，仍实现了同步，揭示了准则的保守性；同时，线性控制器显著改善了瞬态同步速率，较大的比例参数λ会减缓收敛，而增加分数阶次ε则能加速同步。

本研究所用的关键技术方法包括：基于比例Caputo分数阶导数关于另一函数?的主从神经网络模型构建；线性状态反馈控制器设计；利用显式积分表示结合广义Gronwall不等式进行误差估计；Mittag-Leffler函数的渐近性质分析；以及基于三维分数阶Hopfield神经网络基准的数值验证。

**研究结果**

**比例Caputo分数阶神经网络模型与误差系统构建**

研究人员考虑了一类比例?-分数阶神经网络，其紧凑的矩阵形式为^?D^ε,λ₀?(t) = -?(t) + Af(?(t)) + J，其中?(t)为状态向量，A为神经元间互联权重矩阵，f(·)为激活函数向量，J为外部输入。为进行同步分析，研究人员假设每个激活函数f_i满足Lipschitz条件，即|f_i(u)-f_i(v)|≤l_i|u-v|，并定义L = diag(l₁,...,l_n)。在此基础上，建立了主系统与从系统的主从框架，主系统即上述网络模型，从系统引入控制输入u(t)。定义同步误差e(t) = η(t)-?(t)，得到闭环误差系统^?D^ε,λ₀e(t) = -(I+Q)e(t) + Ag(e(t))，其中Q为增益矩阵，g(e(t)) = f(η(t))-f(?(t))。

**主要同步定理**

研究人员提出了确保同步误差收敛至零的充分条件，即定理1。在假设H0（辅助函数?连续可微、严格递增且无界）和H1（Lipschitz条件）满足的条件下，若以下两个条件成立：(i) ρ(λI + L||A||)^ε(1-ε)^1-ε > 0有定义；(ii) ρ(λI + L||A||)^ε(1-ε)^1-ε > kΓ(ε)，其中ρ为与Mittag-Leffler函数界相关的常数，k = sup_t≥0||E_ε,1(-(I+Q)t^ε)||，则系统(8)的解收敛至零。证明过程中，研究人员利用变常数公式得到了误差系统的显式解表示，该表示包含对应闭环线性部分的自由响应项和非线性扰动传播的卷积型积分项；随后应用广义Gronwall不等式得到误差上界估计，再结合Mittag-Leffler函数的渐近性质（引理1），最终导出指数型衰减估计，并通过代数运算验证了充分条件的等价形式。

**数值实验：精确基准与缩放基准验证**

研究人员首先考察了精确Mahmoud基准，该基准采用三维分数阶Hopfield神经网络，参数为ε=0.98，λ=0.8，L=1（双曲正切激活函数），互联矩阵A取文献[8]报告的三神经元混沌区域参数。数值计算表明，此时定理1的第一个充分条件不满足（具体地，ρ(λI+L||A||)^ε(1-ε)^1-ε的计算值不足以保证条件成立），故定理无法直接应用。然而数值模拟显示同步误差仍快速收敛至数值零水平，在t=10时误差小于10^-3，t=15时小于10^-5，体现了定理条件的保守性。

为严格验证定理1，研究人员构建了缩放基准，将互联矩阵替换为A_scaled = 0.05A，保持激活函数和矩阵A不变，选择控制增益Q = 0.5I，比例参数λ=0.5，分数阶次ε=0.95。此时定理的两个充分条件均严格满足。主系统初始条件设为?(0) = (0.1, 0.2, -0.15)^T，从系统初始化为η(0) = (-0.5, 0.3, 0.4)^T。模拟结果显示三个从状态快速收敛至对应主状态，误差分量e₁, e₂, e₃均快速衰减至零，在t=5时各分量量级已达10^-5量级。半对数坐标下的误差范数呈现近直线衰减，与定理证明中的指数型估计一致，验证了理论预测。此外，受控与不受控情形的对比表明，线性控制器虽不能从发散 regime 创建同步，但显著加速了同步过程：受控情形下达阈值10^-3和10^-5的调节时间分别缩短为原来的约1/3和显著比例。

**比例参数与分数阶次的影响分析**

研究人员进一步分析了比例参数λ和分数阶次ε对同步性能的影响。固定ε=0.95，测试λ∈{0.3, 0.7, 1.0, 1.3}，虽这些值均超出定理预测的可容许上界（约0.24），但模拟显示同步误差仍收敛至极小值。同时，较大λ值明显减缓同步速度：达到误差10^-3的时间从λ=0.3时的约6秒增至λ=1.3时的约17秒，达到10^-5的时间从约9秒增至约23秒，表明λ对瞬态同步速率有显著影响。

固定λ=0.5，测试ε∈{0.80, 0.85, 0.90, 0.95}，所有情形均满足定理条件。最终误差均保持极小规模，显示同步机制在整个测试区间内的鲁棒性。较大ε值加速收敛：达到10^-3的时间从ε=0.80时的约8.5秒降至ε=0.95时的约6秒，达到10^-5的时间从约13秒降至约9秒，表明在本例中增加分数阶次可改善瞬态同步速率。

**讨论与结论**

本研究将同步框架扩展至关于另一函数的比例Caputo分数阶导数情形，填补了现有文献中该类算子下神经网络同步分析的空白。所建立的充分条件虽具保守性，但为理解和设计此类神经网络的同步控制提供了首个可验证的解析工具。保守性主要源于三个方面：Mittag-Leffler函数界的最坏情况估计、矩阵Mittag-Leffler函数范数化导致的方向信息丢失，以及广义Gronwall不等式提供的均匀上界而非精确估计。

研究结论部分指出：本研究针对一类关于另一函数的比例Caputo分数阶神经网络，通过引入主从框架和线性状态反馈控制器，推导了确保同步误差收敛至零的充分条件。证明依赖于误差系统的显式解表示、广义Gronwall不等式和Mittag-Leffler函数的渐近估计。所得结果为解析可处理的同步准则，明确了分数阶次、比例参数、激活函数Lipschitz常数及互联矩阵的依赖关系。数值实验从两个互补角度验证了理论结果：缩放基准严格满足定理所有充分条件，同步误差快速收敛至零，提供了对结果的严格数值验证；原始基准在控制器作用下亦实现同步，尽管定理条件未满足，说明了导出准则的保守性。此外，仿真表明线性控制器显著改善了瞬态同步速率，较大比例参数减缓收敛，而增加分数阶次可增强所考察示例中的同步速度。