犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets, HFSs)距离与相似度度量新方法：增强模式识别与决策中的应用

《Symmetry》：A Novel Methodology for Distance and Similarity Measures in Hesitant Fuzzy Sets: Enhancing Pattern Recognition and Decision-Making

　　

已有文献针对犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets, HFSs)提出了多种距离与相似度度量(Similarity Measure)，但部分方法在不等长犹豫模糊元素(Hesitant Fuzzy Elements, HFEs)情形下存在不足或无法给出可靠结果。本文基于公理化框架，提出一种计算两个HFSs间距离与相似度度量的新方法。传统做法为将较短HFE反复补入最小值（悲观者）或最大值（乐观者）使其等长，但该方法会引入偏差且缺乏直觉合理性。研究人员提出一种新颖且直观的技术——通过对较短HFE重复补零(adding zero)来实现长度相等，该方法公平、符合直觉，并满足距离与相似度度量的全部公理。若干数值算例表明所提方法优于既有方法。此外，研究人员将该方法应用于构建犹豫模糊TODIM(HF-TODIM)模型以处理交互式多准则决策(Multi-Criteria Decision-Making, MCDM)问题，并以畜禽品种评估遴选出最具盈利性的选项进行验证。结果表明该方法能以均衡且直观的方式妥善处理复杂不确定的犹豫模糊信息。

论文解读：《Symmetry》刊载——犹豫模糊集距离与相似度度量新方法及其在HF?TODIM决策中的应用

一、研究背景与立项依据

模糊集(Fuzzy Sets, FSs)由Zadeh提出后，产生了直觉模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs)、二型模糊集(Type?2 FSs)、毕达哥拉斯模糊集(Pythagorean Fuzzy Sets, PFSs)及q?阶正交模糊集(q?rung Orthopair Fuzzy Sets, q?ROFSs)等扩展形式。犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets, HFSs)由Torra提出，允许一个论域元素的隶属度用一组可能取值（称为犹豫模糊元素Hesitant Fuzzy Element, HFE）表示，特别适用于群决策中专家意见犹豫不决的场景，已被广泛应用于模式识别、聚类分析及多准则决策(Multi?Criteria Decision?Making, MCDM)。

现有HFS距离与相似度度量在处理两个HFE元素个数（基数cardinality）不等时，通常按决策者风险偏好将较短HFE补入最小隶属度（悲观）、最大隶属度（乐观）或任意值至与较长HFE等长（Xu and Xia, 2008相关文献）。这种做法导致结果随补入值不同而变化，引入主观偏差，且不满足距离度量公理中的包含性公理（containment property, P₄），在理论上不完善、直觉上亦难被接受。因此，亟需一种公平、无偏、满足全部公理化要求且符合直觉的不等长HFE处理方法。本文即针对此研究缺口，提出以补零方式等量化HFE长度并定义新型距离与相似度度量，进而嵌入犹豫模糊TODIM(HF?TODIM)方法进行实际应用验证。

二、主要关键技术方法概述

研究人员首先回顾HFS与HFE基本定义及既有距离／相似度度量公理（非负性、同一性、对称性、三角不等式或包含性），指出传统补最小／最大值法破坏公理P₄。核心创新为：对两个待比较HFE h_A(x)与h_B(x)，设|h_A|≤|h_B|，则将h_A重复补零(append zero repeatedly)至与h_B等长后再逐点配对计算。在此基础上构造基于指数函数的新距离度量d_new(A,B)=1/n·Σ_i=1ⁿ{1/ max(|h_A(x_i)|,|h_B(x_i)|) · Σ_j=1^max(…)[1?exp(?|h_Aij?h_Bij|)]}，及由其导出的相似度度量S_new(A,B)=1?d_new(A,B)，并严格证明二者满足HFS距离与相似度度量的四条公理。数值算例对比传统最小／最大补值法与补零法在公理符合性与模式识别结果上的差异。将所提距离度量代入TODIM（葡萄牙文Tomada de Decis?o Interativa e Multicritério，交互式多准则决策法，基于前景理论Prospect Theory）框架，构建HF?TODIM算法，以巴基斯坦畜牧业四种畜禽（绵羊sheep、山羊goat、水牛buffalo、奶牛cattle）四指标（肉质、肥料／役用、饲养成本〈成本型〉、出口副产品）的犹豫模糊决策矩阵为实证案例进行方案排序。

三、研究结果

3. A Novel Approach for Distance and Similarity in Hesitant Fuzzy Sets of Unequal Cardinality（不等基数HFS的新型距离与相似度方法）

研究人员论证传统补最小／最大值法会使距离不满足P₄公理，且违背"未参与评分者不应被赋予任何隶属度"的直觉；提出将短HFE补零至等长。定理1证明所定义新距离d_new满足Definition 7之四条公理（非负有界性、同一性、对称性、三角不等式／包含性）；定理2证明由S=1?d导出的新相似度S_new满足Definition 8之四条公理。说明补零策略是唯一在理论上严整且直觉合理的HFE长度对齐方式。

4. Numerical Analysis and Comparisons（数值分析与对比）

Example 1与Example 2显示：传统补最小或最大值时d(A,C)≠d(C,A)且出现d(A,B)>d(A,C)而A=C的矛盾情况，违反公理；补零法则使d(A,B)=d(B,A)且d(A,C)=0当A=C，符合公理要求。Example 3模式识别显示：传统方法因补0.7或0.9使待测样本h={0.6}误判归属，补零后S(h,h₂)最大，正确判定样本属模式h₂，证实补零法符合直觉判断并提高分类可靠性。

5. Application to Multi?Criteria Decision?Making（多准则决策应用）

5.1 The Hesitant Fuzzy TODIM (HF?TODIM)（犹豫模糊TODIM方法）

研究人员按八步HF?TODIM流程：建立犹豫模糊决策矩阵→归一化（成本型取互补）→加入理想准则求各准则权重→选定参考准则求相对权重ω′_j=w_j/w_r→以所提距离d_new计算备选方案两两支配度δ(A_i,A_k)，收益段φ_j=√[ω′_j·d(r_ij,r_kj)]，损失段φ_j=?(1/θ)√[ω′_j·|d(r_ij,r_kj)|]（θ为损失衰减因子）→累加得整体支配度→归一化得全局值G(A_i)→排序。实证中四 livestock备选方案计算得全局值分别为绵羊1、山羊0.9829、水牛0、奶牛0.5197，排名为A₁(sheep)?A₂(goat)?A₄(cattle)?A₃(buffalo)，最优为绵羊(sheep)。

5.2 Comparative Analysis（对比分析）

与其他MCDM方法对比，HF?TODIM同样得出绵羊(sheep)为最优备选，验证了所提距离度量嵌入TODIM框架的可行性与稳定性。

四、讨论与结论

研究人员总结：本文提出的短HFE补零法等长化方法在理论上满足HFS距离与相似度度量全部公理，克服了传统补最小／最大值法的偏差与公理违背问题；基于此构建的指数型新距离与相似度度量经数值算例验证具更高公平性与准确性；所开发的HF?TODIM模型成功应用于真实畜牧业多准则决策案例并得出合理排序（绵羊最具盈利性）。除Hausdorff距离外，已有基于补最小／最大的HFS距离与相似度公式均可改用补零法重新定义。该成果可为农业及其他领域含不确定犹豫信息的决策提供支撑工具。未来研究方向包括将该度量拓展至动态犹豫双极软模糊数据、大规模数据集及neutrosophic模糊数据，以及在医疗、金融、供应链管理等实时决策场景中提升计算效率。